Το συνημίτονο οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνο ονομάζεται. Ορισμός ημιτόνου, συνημίτονος, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης

Η τριγωνομετρία είναι κλάδος της μαθηματικής επιστήμης που μελετά τριγωνομετρικές συναρτήσειςκαι η χρήση τους στη γεωμετρία. Η ανάπτυξη της τριγωνομετρίας ξεκίνησε στην αρχαία Ελλάδα. Κατά τον Μεσαίωνα σημαντική συμβολήΣτην ανάπτυξη αυτής της επιστήμης συνέβαλαν επιστήμονες από τη Μέση Ανατολή και την Ινδία.

Αυτό το άρθρο είναι αφιερωμένο στις βασικές έννοιες και ορισμούς της τριγωνομετρίας. Εξετάζει τους ορισμούς των βασικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων: ημιτονοειδές, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη. Η σημασία τους επεξηγείται και απεικονίζεται στο πλαίσιο της γεωμετρίας.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Αρχικά, οι ορισμοί των τριγωνομετρικών συναρτήσεων των οποίων το όρισμα είναι γωνία εκφράστηκαν ως προς τον λόγο των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου.

Ορισμοί τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Το ημίτονο μιας γωνίας (sin α) είναι ο λόγος του σκέλους απέναντι από αυτή τη γωνία προς την υποτείνουσα.

Συνημίτονο γωνίας (συν α) - λόγος διπλανό πόδιστην υποτείνουσα.

Εφαπτομένη γωνίας (t g α) - ο λόγος της απέναντι πλευράς προς τη γειτονική πλευρά.

Γωνιακή συνεφαπτομένη (c t g α) - ο λόγος της γειτονικής πλευράς προς την αντίθετη πλευρά.

Αυτοί οι ορισμοί δίνονται για την οξεία γωνία ενός ορθογωνίου τριγώνου!

Ας δώσουμε μια εικονογράφηση.

Στο τρίγωνο ΑΒΓ με ορθή γωνία Γ, το ημίτονο της γωνίας Α είναι ίσο με τον λόγο του σκέλους BC προς την υποτείνουσα ΑΒ.

Οι ορισμοί του ημιτονοειδούς, συνημιτόνου, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης σας επιτρέπουν να υπολογίσετε τις τιμές αυτών των συναρτήσεων από τα γνωστά μήκη των πλευρών του τριγώνου.

Σημαντικό να θυμάστε!

Το εύρος τιμών του ημιτόνου και του συνημιτόνου είναι από -1 έως 1. Με άλλα λόγια, το ημίτονο και το συνημίτονο παίρνουν τιμές από -1 έως 1. Το εύρος τιμών της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης είναι ολόκληρη η αριθμητική γραμμή, δηλαδή αυτές οι συναρτήσεις μπορούν να λάβουν οποιεσδήποτε τιμές.

Οι ορισμοί που δίνονται παραπάνω ισχύουν για οξείες γωνίες. Στην τριγωνομετρία, εισάγεται η έννοια της γωνίας περιστροφής, η τιμή της οποίας, σε αντίθεση με μια οξεία γωνία, δεν περιορίζεται σε 0 έως 90 μοίρες Η γωνία περιστροφής σε μοίρες ή ακτίνια εκφράζεται με οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό από - ∞ έως + ∞. .

Σε αυτό το πλαίσιο, μπορούμε να ορίσουμε ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη γωνίας αυθαίρετου μεγέθους. Ας φανταστούμε έναν κύκλο μονάδας με το κέντρο του στην αρχή του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων.

Το αρχικό σημείο Α με συντεταγμένες (1, 0) περιστρέφεται γύρω από το κέντρο του μοναδιαίου κύκλου μέσα από μια ορισμένη γωνία α και πηγαίνει στο σημείο Α 1. Ο ορισμός δίνεται ως προς τις συντεταγμένες του σημείου A 1 (x, y).

Ημίτονο (αμαρτία) της γωνίας περιστροφής

Το ημίτονο της γωνίας περιστροφής α είναι η τεταγμένη του σημείου A 1 (x, y). sin α = y

Συνημίτονο (cos) της γωνίας περιστροφής

Το συνημίτονο της γωνίας περιστροφής α είναι η τετμημένη του σημείου A 1 (x, y). cos α = x

Εφαπτομένη (tg) της γωνίας περιστροφής

Η εφαπτομένη της γωνίας περιστροφής α είναι ο λόγος της τεταγμένης του σημείου A 1 (x, y) προς την τετμημένη του. t g α = y x

Συνεφαπτομένη (ctg) της γωνίας περιστροφής

Η συνεφαπτομένη της γωνίας περιστροφής α είναι ο λόγος της τετμημένης του σημείου A 1 (x, y) προς την τεταγμένη της. c t g α = x y

Το ημίτονο και το συνημίτονο ορίζονται για οποιαδήποτε γωνία περιστροφής. Αυτό είναι λογικό, γιατί η τετμημένη και η τεταγμένη ενός σημείου μετά την περιστροφή μπορούν να προσδιοριστούν σε οποιαδήποτε γωνία. Η κατάσταση είναι διαφορετική με την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη. Η εφαπτομένη είναι απροσδιόριστη όταν ένα σημείο μετά την περιστροφή πηγαίνει σε ένα σημείο με μηδενική τετμημένη (0, 1) και (0, - 1). Σε τέτοιες περιπτώσεις, η έκφραση για την εφαπτομένη t g α = y x απλά δεν έχει νόημα, αφού περιέχει διαίρεση με το μηδέν. Η κατάσταση είναι παρόμοια με την συνεφαπτομένη. Η διαφορά είναι ότι η συνεφαπτομένη δεν ορίζεται σε περιπτώσεις που η τεταγμένη ενός σημείου πηγαίνει στο μηδέν.

Σημαντικό να θυμάστε!

Το ημίτονο και το συνημίτονο ορίζονται για οποιεσδήποτε γωνίες α.

Η εφαπτομένη ορίζεται για όλες τις γωνίες εκτός από α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

Η συνεφαπτομένη ορίζεται για όλες τις γωνίες εκτός από α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Όταν λύνετε πρακτικά παραδείγματα, μην πείτε «ημίτονο της γωνίας περιστροφής α». Οι λέξεις «γωνία περιστροφής» απλώς παραλείπονται, υπονοώντας ότι είναι ήδη ξεκάθαρο από το πλαίσιο αυτό που συζητείται.

Αριθμοί

Τι γίνεται με τον ορισμό του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης ενός αριθμού και όχι της γωνίας περιστροφής;

Ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη ενός αριθμού

Ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη ενός αριθμού tείναι ένας αριθμός που είναι αντίστοιχα ίσος με ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη σε tακτίνιο.

Για παράδειγμα, το ημίτονο του αριθμού 10 π είναι ίσο με το ημίτονο της γωνίας περιστροφής 10 π rad.

Υπάρχει μια άλλη προσέγγιση για τον προσδιορισμό του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης ενός αριθμού. Ας το ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά.

Οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός tένα σημείο στον μοναδιαίο κύκλο συνδέεται με το κέντρο στην αρχή του ορθογώνιου καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων. Το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη καθορίζονται μέσω των συντεταγμένων αυτού του σημείου.

Το σημείο εκκίνησης στον κύκλο είναι το σημείο Α με συντεταγμένες (1, 0).

Θετικός αριθμός t

Αρνητικός αριθμός tαντιστοιχεί στο σημείο στο οποίο θα πάει το σημείο εκκίνησης αν κινηθεί γύρω από τον κύκλο αριστερόστροφα και περάσει τη διαδρομή t.

Τώρα που έχει εδραιωθεί η σύνδεση μεταξύ ενός αριθμού και ενός σημείου σε έναν κύκλο, προχωράμε στον ορισμό του ημιτονοειδούς, συνημιτόνου, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης.

Sine (αμαρτία) του t

Ημίτον ενός αριθμού t- τεταγμένη σημείου στον μοναδιαίο κύκλο που αντιστοιχεί στον αριθμό t. αμαρτία t = y

Συνημίτονο (συν) του t

Συνημίτονο ενός αριθμού t- τετμημένη του σημείου του μοναδιαίου κύκλου που αντιστοιχεί στον αριθμό t. cos t = x

Εφαπτομένη (tg) του t

Εφαπτομένη ενός αριθμού t- ο λόγος της τεταγμένης προς την τετμημένη ενός σημείου στον μοναδιαίο κύκλο που αντιστοιχεί στον αριθμό t. t g t = y x = αμαρτία t cos t

Οι τελευταίοι ορισμοί είναι σύμφωνοι και δεν έρχονται σε αντίθεση με τον ορισμό που δίνεται στην αρχή αυτής της παραγράφου. Σημειώστε τον κύκλο που αντιστοιχεί στον αριθμό t, συμπίπτει με το σημείο στο οποίο πηγαίνει το σημείο εκκίνησης μετά τη στροφή κατά γωνία tακτίνιο.

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις γωνιακού και αριθμητικού ορίσματος

Κάθε τιμή της γωνίας α αντιστοιχεί σε μια ορισμένη τιμή του ημιτόνου και του συνημιτόνου αυτής της γωνίας. Όπως όλες οι γωνίες α εκτός από α = 90 ° + 180 ° k, η k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) αντιστοιχούν σε μια συγκεκριμένη τιμή εφαπτομένης. Η συνεφαπτομένη, όπως αναφέρθηκε παραπάνω, ορίζεται για όλα τα α εκτός από α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Μπορούμε να πούμε ότι τα sin α, cos α, t g α, c t g α είναι συναρτήσεις της γωνίας άλφα, ή συναρτήσεις του γωνιακού ορίσματος.

Ομοίως, μπορούμε να μιλήσουμε για ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη ως συναρτήσεις ενός αριθμητικού ορίσματος. Κάθε πραγματικός αριθμός tαντιστοιχεί σε μια ορισμένη τιμή του ημιτόνου ή του συνημιτόνου ενός αριθμού t. Όλοι οι αριθμοί εκτός από π 2 + π · k, k ∈ Z, αντιστοιχούν σε μια τιμή εφαπτομένης. Η συνεφαπτομένη, ομοίως, ορίζεται για όλους τους αριθμούς εκτός από π · k, k ∈ Z.

Βασικές συναρτήσεις της τριγωνομετρίας

Ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη είναι οι βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Είναι συνήθως ξεκάθαρο από τα συμφραζόμενα με ποιο όρισμα της τριγωνομετρικής συνάρτησης (γωνιακό όρισμα ή αριθμητικό όρισμα) έχουμε να κάνουμε.

Ας επιστρέψουμε στους ορισμούς που δόθηκαν στην αρχή και στη γωνία άλφα, η οποία βρίσκεται στην περιοχή από 0 έως 90 μοίρες. Οι τριγωνομετρικοί ορισμοί του ημιτονοειδούς, συνημιτόνου, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης είναι πλήρως συνεπείς με γεωμετρικούς ορισμούς, που δίνεται χρησιμοποιώντας τους λόγους διαστάσεων ενός ορθογωνίου τριγώνου. Ας το δείξουμε.

Ας πάρουμε έναν κύκλο μονάδας με κέντρο σε ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Ας περιστρέψουμε το σημείο εκκίνησης Α (1, 0) κατά γωνία έως και 90 μοιρών και ας σχεδιάσουμε μια κάθετη στον άξονα της τετμημένης από το σημείο Α 1 (x, y) που προκύπτει. Στο ορθογώνιο τρίγωνο που προκύπτει, γωνία A 1 O H ίσο με γωνίαστροφή α, το μήκος του σκέλους O H είναι ίσο με την τετμημένη του σημείου A 1 (x, y). Το μήκος του σκέλους απέναντι από τη γωνία είναι ίσο με την τεταγμένη του σημείου A 1 (x, y) και το μήκος της υποτείνουσας είναι ίσο με ένα, αφού είναι η ακτίνα του μοναδιαίου κύκλου.

Σύμφωνα με τον ορισμό από τη γεωμετρία, το ημίτονο της γωνίας α είναι ίσο με το λόγο της απέναντι πλευράς προς την υποτείνουσα.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Αυτό σημαίνει ότι ο προσδιορισμός του ημιτονοειδούς μιας οξείας γωνίας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο μέσω του λόγου διαστάσεων ισοδυναμεί με τον προσδιορισμό του ημιτόνου της γωνίας περιστροφής α, με το άλφα να βρίσκεται στην περιοχή από 0 έως 90 μοίρες.

Ομοίως, η αντιστοιχία των ορισμών μπορεί να παρουσιαστεί για συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Θα ξεκινήσουμε τη μελέτη μας για την τριγωνομετρία με το ορθογώνιο τρίγωνο. Ας ορίσουμε τι είναι το ημίτονο και το συνημίτονο, καθώς και η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη οξείας γωνίας. Αυτά είναι τα βασικά της τριγωνομετρίας.

Να σας το υπενθυμίσουμε ορθή γωνίαείναι γωνία ίση με 90 μοίρες. Με άλλα λόγια, μισή στροφή γωνία.

Οξεία γωνία- λιγότερο από 90 μοίρες.

Αμβλεία γωνία- μεγαλύτερη από 90 μοίρες. Σε σχέση με μια τέτοια γωνία, το "αμβλύ" δεν είναι προσβολή, αλλά μαθηματικός όρος :-)

Ας σχεδιάσουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Μια ορθή γωνία συνήθως συμβολίζεται με . Λάβετε υπόψη ότι η πλευρά απέναντι από τη γωνία υποδεικνύεται με το ίδιο γράμμα, μόνο μικρό. Έτσι, η απέναντι πλευρά γωνία Α ορίζεται .

Η γωνία συμβολίζεται με το αντίστοιχο ελληνικό γράμμα.

Υποτείνουσαενός ορθογωνίου τριγώνου είναι η απέναντι πλευρά ορθή γωνία.

Πόδια- πλευρές που βρίσκονται απέναντι από οξείες γωνίες.

Το πόδι που βρίσκεται απέναντι από τη γωνία ονομάζεται απέναντι(σε σχέση με τη γωνία). Το άλλο σκέλος, που βρίσκεται σε μία από τις πλευρές της γωνίας, ονομάζεται γειτονικός.

ΚόλποςΗ οξεία γωνία σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος της απέναντι πλευράς προς την υποτείνουσα:

Συνημίτονοοξεία γωνία σε ορθογώνιο τρίγωνο - η αναλογία του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα:

Εφαπτομένη γραμμήοξεία γωνία σε ορθογώνιο τρίγωνο - ο λόγος της απέναντι πλευράς προς τη γειτονική:

Ένας άλλος (ισοδύναμος) ορισμός: η εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας είναι ο λόγος του ημιτόνου της γωνίας προς το συνημίτονό της:

Συνεφαπτομένηοξεία γωνία σε ορθογώνιο τρίγωνο - η αναλογία της γειτονικής πλευράς προς την αντίθετη (ή, που είναι η ίδια, η αναλογία συνημιτόνου προς ημίτονο):

Σημειώστε τις βασικές σχέσεις για ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη παρακάτω. Θα μας είναι χρήσιμοι όταν λύνουμε προβλήματα.

Ας αποδείξουμε μερικά από αυτά.

Εντάξει, δώσαμε ορισμούς και γράψαμε τύπους. Αλλά γιατί χρειαζόμαστε ακόμα ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη;

Το ξέρουμε αυτό το άθροισμα των γωνιών οποιουδήποτε τριγώνου είναι ίσο με.

Γνωρίζουμε τη σχέση μεταξύ κόμματαορθογώνιο τρίγωνο. Αυτό είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα: .

Αποδεικνύεται ότι γνωρίζοντας δύο γωνίες σε ένα τρίγωνο, μπορείτε να βρείτε την τρίτη. Γνωρίζοντας τις δύο πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου, μπορείτε να βρείτε την τρίτη. Αυτό σημαίνει ότι οι γωνίες έχουν τη δική τους αναλογία και οι πλευρές τη δική τους. Αλλά τι πρέπει να κάνετε εάν σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο γνωρίζετε μια γωνία (εκτός από τη σωστή γωνία) και μια πλευρά, αλλά πρέπει να βρείτε τις άλλες πλευρές;

Αυτό αντιμετώπισαν οι άνθρωποι στο παρελθόν όταν έφτιαχναν χάρτες της περιοχής και του έναστρου ουρανού. Εξάλλου, δεν είναι πάντα δυνατό να μετρηθούν απευθείας όλες οι πλευρές ενός τριγώνου.

Ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη - ονομάζονται επίσης συναρτήσεις τριγωνομετρικής γωνίας- δίνουν σχέσεις μεταξύ κόμματαΚαι γωνίεςτρίγωνο. Γνωρίζοντας τη γωνία, μπορείτε να βρείτε όλες τις τριγωνομετρικές της συναρτήσεις χρησιμοποιώντας ειδικούς πίνακες. Και γνωρίζοντας τα ημίτονο, τα συνημίτονα και τις εφαπτομένες των γωνιών ενός τριγώνου και μιας από τις πλευρές του, μπορείτε να βρείτε τα υπόλοιπα.

Θα σχεδιάσουμε επίσης έναν πίνακα με τις τιμές του ημιτόνου, του συνημιτόνου, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης για «καλές» γωνίες από έως.

Σημειώστε τις δύο κόκκινες παύλες στον πίνακα. Σε κατάλληλες τιμές γωνίας, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη δεν υπάρχουν.

Ας δούμε πολλά προβλήματα τριγωνομετρίας από την Τράπεζα Εργασιών FIPI.

1. Σε ένα τρίγωνο, η γωνία είναι , . Βρείτε .

Το πρόβλημα λύνεται σε τέσσερα δευτερόλεπτα.

Από , .

2. Σε ένα τρίγωνο, η γωνία είναι , , . Βρείτε .

Ας το βρούμε χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Το πρόβλημα έχει λυθεί.

Συχνά στα προβλήματα υπάρχουν τρίγωνα με γωνίες και ή με γωνίες και. Θυμηθείτε τις βασικές αναλογίες για αυτούς από καρδιάς!

Για ένα τρίγωνο με γωνίες και το σκέλος απέναντι από τη γωνία στο είναι ίσο με το ήμισυ της υποτείνουσας.

Ένα τρίγωνο με γωνίες και είναι ισοσκελές. Σε αυτό, η υποτείνουσα είναι φορές μεγαλύτερη από το πόδι.

Εξετάσαμε προβλήματα που λύνουν ορθογώνια τρίγωνα - δηλαδή βρίσκοντας άγνωστες πλευρές ή γωνίες. Αλλά δεν είναι μόνο αυτό! ΣΕ Επιλογές Ενιαίας Κρατικής Εξέτασηςστα μαθηματικά υπάρχουν πολλά προβλήματα όπου εμφανίζεται το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη ή η συνεφαπτομένη της εξωτερικής γωνίας ενός τριγώνου. Περισσότερα για αυτό στο επόμενο άρθρο.

Σε αυτό το άρθρο θα δείξουμε πώς να δίνουμε ορισμοί ημιτόνου, συνημίτονος, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης γωνίας και αριθμού στην τριγωνομετρία. Εδώ θα μιλήσουμε για σημειώσεις, θα δώσουμε παραδείγματα καταχωρήσεων και θα δώσουμε γραφικές απεικονίσεις. Συμπερασματικά, ας κάνουμε έναν παραλληλισμό μεταξύ των ορισμών του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης στην τριγωνομετρία και τη γεωμετρία.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Ορισμός ημιτόνου, συνημίτονος, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης

Ας δούμε πώς σχηματίζεται η ιδέα του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης σχολικό μάθημαμαθηματικά. Στα μαθήματα γεωμετρίας δίνεται ο ορισμός του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνο. Και αργότερα μελετάται η τριγωνομετρία, η οποία μιλά για ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη της γωνίας περιστροφής και του αριθμού. Ας παρουσιάσουμε όλους αυτούς τους ορισμούς, ας δώσουμε παραδείγματα και ας δώσουμε τα απαραίτητα σχόλια.

Οξεία γωνία σε ορθογώνιο τρίγωνο

Από το μάθημα της γεωμετρίας γνωρίζουμε τους ορισμούς του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνο. Δίνονται ως ο λόγος των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου. Ας δώσουμε τις διατυπώσεις τους.

Ορισμός.

Ημίτονο οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνοείναι ο λόγος της αντίθετης πλευράς προς την υποτείνουσα.

Ορισμός.

Συνημίτονο οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνοείναι η αναλογία του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα.

Ορισμός.

Εφαπτομένη οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνο– αυτή είναι η αναλογία της απέναντι πλευράς προς τη διπλανή πλευρά.

Ορισμός.

Συμεφαπτομένη οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνο- αυτή είναι η αναλογία της διπλανής πλευράς προς την αντίθετη πλευρά.

Οι ονομασίες για ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη εισάγονται επίσης εκεί - sin, cos, tg και ctg, αντίστοιχα.

Για παράδειγμα, αν το ABC είναι ορθογώνιο τρίγωνο με ορθή γωνία C, τότε το ημίτονο της οξείας γωνίας Α είναι ίσο με το λόγο της απέναντι πλευράς BC προς την υποτείνουσα AB, δηλαδή sin∠A=BC/AB.

Αυτοί οι ορισμοί σάς επιτρέπουν να υπολογίσετε τις τιμές του ημιτόνου, του συνημιτίου, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης μιας οξείας γωνίας από τα γνωστά μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου, καθώς και από τις γνωστές τιμές του ημιτόνου, του συνημιτίου, της εφαπτομένης, συνεφαπτομένη και το μήκος μιας από τις πλευρές για να βρείτε τα μήκη των άλλων πλευρών. Για παράδειγμα, αν γνωρίζαμε ότι σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο το σκέλος AC είναι ίσο με 3 και η υποτείνουσα AB είναι ίση με 7, τότε θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε την τιμή του συνημιτόνου της οξείας γωνίας Α εξ ορισμού: cos∠A=AC/ ΑΒ=3/7.

Γωνία περιστροφής

Στην τριγωνομετρία, αρχίζουν να βλέπουν τη γωνία ευρύτερα - εισάγουν την έννοια της γωνίας περιστροφής. Το μέγεθος της γωνίας περιστροφής, σε αντίθεση με μια οξεία γωνία, δεν περιορίζεται σε 0 έως 90 μοίρες, η γωνία περιστροφής σε μοίρες (και σε ακτίνια) μπορεί να εκφραστεί με οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό από −∞ έως +∞.

Υπό αυτό το πρίσμα, οι ορισμοί του ημιτόνου, του συνημιτίου, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης δίνονται όχι μιας οξείας γωνίας, αλλά μιας γωνίας αυθαίρετου μεγέθους - της γωνίας περιστροφής. Δίνονται μέσω των συντεταγμένων x και y του σημείου A 1, στο οποίο πηγαίνει το λεγόμενο σημείο εκκίνησης A(1, 0) μετά την περιστροφή του κατά γωνία α γύρω από το σημείο O - η αρχή του ορθογώνιου καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων και το κέντρο του κύκλου μονάδας.

Ορισμός.

Ημίτονο γωνίας περιστροφήςα είναι η τεταγμένη του σημείου Α 1, δηλαδή sinα=y.

Ορισμός.

Συνημίτονο της γωνίας περιστροφήςα ονομάζεται τετμημένη του σημείου Α 1, δηλαδή cosα=x.

Ορισμός.

Εφαπτομένη γωνίας περιστροφήςα είναι ο λόγος της τεταγμένης του σημείου A 1 προς την τετμημένη του, δηλαδή tana=y/x.

Ορισμός.

Συνεφαπτομένη της γωνίας περιστροφήςα είναι ο λόγος της τετμημένης του σημείου A 1 προς την τεταγμένη του, δηλαδή ctgα=x/y.

Το ημίτονο και το συνημίτονο ορίζονται για οποιαδήποτε γωνία α, αφού μπορούμε πάντα να προσδιορίσουμε την τετμημένη και την τεταγμένη του σημείου, η οποία προκύπτει περιστρέφοντας το σημείο εκκίνησης κατά γωνία α. Αλλά η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη δεν ορίζονται για καμία γωνία. Η εφαπτομένη δεν ορίζεται για γωνίες α στις οποίες το σημείο εκκίνησης πηγαίνει σε σημείο με μηδενική τετμημένη (0, 1) ή (0, −1), και αυτό συμβαίνει σε γωνίες 90°+180° k, k∈Z (π /2+π·k rad). Πράγματι, σε τέτοιες γωνίες περιστροφής, η έκφραση tgα=y/x δεν έχει νόημα, αφού περιέχει διαίρεση με το μηδέν. Όσον αφορά την συνεφαπτομένη, δεν ορίζεται για τις γωνίες α στις οποίες το σημείο εκκίνησης πηγαίνει στο σημείο με τη μηδενική τεταγμένη (1, 0) ή (−1, 0), και αυτό συμβαίνει για γωνίες 180° k, k ∈Z (π·k rad).

Έτσι, το ημίτονο και το συνημίτονο ορίζονται για οποιεσδήποτε γωνίες περιστροφής, η εφαπτομένη ορίζεται για όλες τις γωνίες εκτός από 90°+180°k, το k∈Z (π/2+πk rad) και η συνεφαπτομένη ορίζεται για όλες τις γωνίες εκτός από 180°·k , k∈Z (π·k rad).

Οι ορισμοί περιλαμβάνουν τις ονομασίες που είναι ήδη γνωστές σε εμάς sin, cos, tg και ctg, χρησιμοποιούνται επίσης για τον προσδιορισμό ημιτονοειδούς, συνημίτονος, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης της γωνίας περιστροφής (μερικές φορές μπορείτε να βρείτε τους χαρακτηρισμούς tan και cot που αντιστοιχούν σε εφαπτομένη και συνεφαπτομένη) . Άρα το ημίτονο γωνίας περιστροφής 30 μοιρών μπορεί να γραφεί ως sin30°, οι εγγραφές tg(−24°17′) και ctgα αντιστοιχούν στην εφαπτομένη της γωνίας περιστροφής −24 μοίρες 17 λεπτά και στην συνεφαπτομένη της γωνίας περιστροφής α . Θυμηθείτε ότι όταν γράφετε το μέτρο ακτίνων μιας γωνίας, ο χαρακτηρισμός "rad" συχνά παραλείπεται. Για παράδειγμα, το συνημίτονο μιας γωνίας περιστροφής τριών pi rad συνήθως συμβολίζεται cos3·π.

Συμπερασματικά αυτού του σημείου, αξίζει να σημειωθεί ότι όταν μιλάμε για ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη της γωνίας περιστροφής, η φράση «γωνία περιστροφής» ή η λέξη «περιστροφή» συχνά παραλείπεται. Δηλαδή, αντί για τη φράση «ημιτονοειδές άλφα γωνίας περιστροφής», συνήθως χρησιμοποιείται η φράση «ημίτονο της γωνίας άλφα» ή, ακόμη πιο σύντομη, «ημιτονοειδές άλφα». Το ίδιο ισχύει για το συνημίτονο, την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη.

Θα πούμε επίσης ότι οι ορισμοί του ημιτονοειδούς, συνημιτόνου, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνο είναι συνεπείς με τους ορισμούς που μόλις δόθηκαν για το ημίτονο, το συνημίτονο, την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη γωνίας περιστροφής που κυμαίνεται από 0 έως 90 μοίρες. Θα το δικαιολογήσουμε.

Αριθμοί

Ορισμός.

Ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη ενός αριθμούΤο t είναι ένας αριθμός ίσος με το ημίτονο, το συνημίτονο, την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη της γωνίας περιστροφής σε t ακτίνια, αντίστοιχα.

Για παράδειγμα, το συνημίτονο του αριθμού 8·π εξ ορισμού είναι ένας αριθμός ίσος με το συνημίτονο της γωνίας του 8·π rad. Και το συνημίτονο μιας γωνίας 8·π rad είναι ίσο με ένα, επομένως, το συνημίτονο του αριθμού 8·π είναι ίσο με 1.

Υπάρχει μια άλλη προσέγγιση για τον προσδιορισμό του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης ενός αριθμού. Συνίσταται στο γεγονός ότι κάθε πραγματικός αριθμός t συνδέεται με ένα σημείο στον μοναδιαίο κύκλο με το κέντρο στην αρχή του ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων και το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη καθορίζονται μέσω των συντεταγμένων αυτού του σημείου. Ας το δούμε αυτό με περισσότερες λεπτομέρειες.

Ας δείξουμε πώς δημιουργείται μια αντιστοιχία μεταξύ πραγματικών αριθμών και σημείων σε έναν κύκλο:

• στον αριθμό 0 εκχωρείται το σημείο εκκίνησης A(1, 0).
• θετικός αριθμόςΤο t σχετίζεται με το σημείο του μοναδιαίου κύκλου, στο οποίο θα φτάσουμε αν κινηθούμε κατά μήκος του κύκλου από το σημείο εκκίνησης αριστερόστροφα και περπατήσουμε μια διαδρομή μήκους t.
• αρνητικός αριθμόςΤο t σχετίζεται με το σημείο του μοναδιαίου κύκλου, στο οποίο θα φτάσουμε αν κινηθούμε κατά μήκος του κύκλου από το σημείο εκκίνησης δεξιόστροφα και περπατήσουμε μια διαδρομή μήκους |t| .

Τώρα προχωράμε στους ορισμούς του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης του αριθμού t. Ας υποθέσουμε ότι ο αριθμός t αντιστοιχεί σε ένα σημείο του κύκλου A 1 (x, y) (για παράδειγμα, ο αριθμός &pi/2; αντιστοιχεί στο σημείο A 1 (0, 1)).

Ορισμός.

Ημίτονο του αριθμού t είναι η τεταγμένη του σημείου στον μοναδιαίο κύκλο που αντιστοιχεί στον αριθμό t, δηλαδή sint=y.

Ορισμός.

Συνημίτονο του αριθμού t ονομάζεται τετμημένη του σημείου του μοναδιαίου κύκλου που αντιστοιχεί στον αριθμό t, δηλαδή κόστος=x.

Ορισμός.

Εφαπτομένη του αριθμού t είναι ο λόγος της τεταγμένης προς την τετμημένη ενός σημείου του μοναδιαίου κύκλου που αντιστοιχεί στον αριθμό t, δηλαδή tgt=y/x. Σε μια άλλη ισοδύναμη διατύπωση, η εφαπτομένη ενός αριθμού t είναι ο λόγος του ημιτόνου αυτού του αριθμού προς το συνημίτονο, δηλαδή tgt=sint/κόστος.

Ορισμός.

Συνεφαπτομένη του αριθμού t είναι ο λόγος της τετμημένης προς την τεταγμένη ενός σημείου στον μοναδιαίο κύκλο που αντιστοιχεί στον αριθμό t, δηλαδή ctgt=x/y. Μια άλλη διατύπωση είναι η εξής: η εφαπτομένη του αριθμού t είναι ο λόγος του συνημιτόνου του αριθμού t προς το ημίτονο του αριθμού t: ctgt=κόστος/sint.

Εδώ σημειώνουμε ότι οι ορισμοί που μόλις δόθηκαν είναι συνεπείς με τον ορισμό που δόθηκε στην αρχή αυτής της παραγράφου. Πράγματι, το σημείο στον μοναδιαίο κύκλο που αντιστοιχεί στον αριθμό t συμπίπτει με το σημείο που προκύπτει περιστρέφοντας το σημείο εκκίνησης κατά γωνία t ακτίνων.

Αξίζει ακόμα να διευκρινιστεί αυτό το σημείο. Ας πούμε ότι έχουμε την καταχώρηση sin3. Πώς μπορούμε να καταλάβουμε αν μιλάμε για το ημίτονο του αριθμού 3 ή το ημίτονο της γωνίας περιστροφής των 3 ακτίνων; Αυτό είναι συνήθως ξεκάθαρο από το πλαίσιο, διαφορετικά πιθανότατα δεν έχει θεμελιώδη σημασία.

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις γωνιακού και αριθμητικού ορίσματος

Σύμφωνα με τους ορισμούς που δόθηκαν στην προηγούμενη παράγραφο, κάθε γωνία περιστροφής α αντιστοιχεί σε μια πολύ συγκεκριμένη τιμή sinα, καθώς και στην τιμή cosα. Επιπλέον, όλες οι γωνίες περιστροφής εκτός από 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) αντιστοιχούν σε τιμές tgα και τιμές άλλες από 180°k, k∈Z (πk rad ) – τιμές του ctgα . Επομένως τα sinα, cosα, tanα και ctgα είναι συναρτήσεις της γωνίας α. Με άλλα λόγια, αυτές είναι συναρτήσεις του γωνιακού ορίσματος.

Μπορούμε να μιλήσουμε με παρόμοιο τρόπο για τις συναρτήσεις ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη ενός αριθμητικού ορίσματος. Πράγματι, κάθε πραγματικός αριθμός t αντιστοιχεί σε μια πολύ συγκεκριμένη τιμή sint, καθώς και σε κόστος. Επιπλέον, όλοι οι αριθμοί εκτός των π/2+π·k, k∈Z αντιστοιχούν σε τιμές tgt και οι αριθμοί π·k, k∈Z - τιμές ctgt.

Οι συναρτήσεις ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη λέγονται βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Είναι συνήθως ξεκάθαρο από τα συμφραζόμενα αν έχουμε να κάνουμε με τριγωνομετρικές συναρτήσεις ενός γωνιακού ορίσματος ή ενός αριθμητικού ορίσματος. Διαφορετικά, μπορούμε να σκεφτούμε την ανεξάρτητη μεταβλητή τόσο ως μέτρο της γωνίας (γωνιακό όρισμα) όσο και ως αριθμητικό όρισμα.

Ωστόσο, στο σχολείο μελετάμε κυρίως αριθμητικές συναρτήσεις, δηλαδή συναρτήσεις των οποίων τα ορίσματα, καθώς και οι αντίστοιχες τιμές συναρτήσεων, είναι αριθμοί. Επομένως, εάν μιλάμε γιαΕιδικά για τις συναρτήσεις, είναι σκόπιμο να θεωρούνται οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις ως συναρτήσεις αριθμητικών ορισμάτων.

Σχέση μεταξύ ορισμών από γεωμετρία και τριγωνομετρία

Εάν λάβουμε υπόψη τη γωνία περιστροφής α που κυμαίνεται από 0 έως 90 μοίρες, τότε οι ορισμοί του ημιτονοειδούς, συνημιτόνου, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης της γωνίας περιστροφής στο πλαίσιο της τριγωνομετρίας είναι πλήρως συνεπείς με τους ορισμούς του ημιτόνου, του συνημιτίου, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης ενός οξεία γωνία σε ορθογώνιο τρίγωνο, τα οποία δίνονται στο μάθημα της γεωμετρίας. Ας το δικαιολογήσουμε αυτό.

Ας απεικονίσουμε τον μοναδιαίο κύκλο στο ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Oxy. Ας σημειώσουμε το σημείο εκκίνησης A(1, 0) . Ας το περιστρέψουμε κατά γωνία α που κυμαίνεται από 0 έως 90 μοίρες, παίρνουμε το σημείο A 1 (x, y). Ας ρίξουμε την κάθετη A 1 H από το σημείο A 1 στον άξονα Ox.

Είναι εύκολο να δούμε ότι σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, η γωνία A 1 OH είναι ίση με τη γωνία περιστροφής α, το μήκος του ποδιού OH που βρίσκεται δίπλα σε αυτή τη γωνία είναι ίσο με την τετμημένη του σημείου A 1, δηλαδή | |=x, το μήκος του σκέλους A 1 H απέναντι από τη γωνία είναι ίσο με την τεταγμένη του σημείου A 1, δηλαδή |A 1 H|=y, και το μήκος της υποτείνουσας OA 1 είναι ίσο με ένα, αφού είναι η ακτίνα του μοναδιαίου κύκλου. Τότε, εξ ορισμού από τη γεωμετρία, το ημίτονο της οξείας γωνίας α σε ορθογώνιο τρίγωνο A 1 OH είναι ίσο με το λόγο του αντίθετου σκέλους προς την υποτείνουσα, δηλαδή sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. Και εξ ορισμού από την τριγωνομετρία, το ημίτονο της γωνίας περιστροφής α είναι ίσο με την τεταγμένη του σημείου Α 1, δηλαδή sinα=y. Αυτό δείχνει ότι ο προσδιορισμός του ημιτονοειδούς οξείας γωνίας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ισοδυναμεί με τον προσδιορισμό του ημιτόνου της γωνίας περιστροφής α όταν το α είναι από 0 έως 90 μοίρες.

Ομοίως, μπορεί να αποδειχθεί ότι οι ορισμοί του συνημιτόνου, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης μιας οξείας γωνίας α είναι συνεπείς με τους ορισμούς του συνημιτόνου, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης της γωνίας περιστροφής α.

Αναφορές.

1. Γεωμετρία. 7-9 τάξεις: σχολικό βιβλίο για γενική εκπαίδευση ιδρύματα / [Λ. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, κ.λπ.]. - 20η έκδ. Μ.: Εκπαίδευση, 2010. - 384 σελ.: ill. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V.Γεωμετρία: Σχολικό βιβλίο. για 7-9 τάξεις. γενικής εκπαίδευσης ιδρύματα / A. V. Pogorelov. - 2η έκδ. - Μ.: Εκπαίδευση, 2001. - 224 σελ.: ill. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Άλγεβρα και στοιχειώδεις συναρτήσεις: Φροντιστήριογια μαθητές της 9ης τάξης γυμνάσιο/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Επιμέλεια Διδάκτωρ Φυσικών και Μαθηματικών Επιστημών O. N. Golovin - 4th ed. Μ.: Εκπαίδευση, 1969.
4. Αλγεβρα:Σχολικό βιβλίο για την 9η τάξη. μέσος όρος σχολείο/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Εκδ. S. A. Telyakovsky - M.: Education, 1990. - 272 pp.: ISBN 5-09-002727-7
5. Αλγεβρακαι η αρχή της ανάλυσης: Proc. για τις τάξεις 10-11. γενικής εκπαίδευσης ιδρύματα / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn και άλλοι. Εκδ. A. N. Kolmogorov - 14th ed.: Education, 2004. - 384 pp.: ISBN 5-09-013651.
6. Mordkovich A. G.Άλγεβρα και οι απαρχές της ανάλυσης. 10η τάξη. Στις 2 σ. Μέρος 1: φροντιστήριο για εκπαιδευτικά ιδρύματα(επίπεδο προφίλ)/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4η έκδ., πρόσθ. - Μ.: Μνημοσύνη, 2007. - 424 σελ.: εικ. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Αλγεβρακαι η αρχή της μαθηματικής ανάλυσης. 10η τάξη: σχολικό βιβλίο. για γενική εκπαίδευση ιδρύματα: βασικά και προφίλ. επίπεδα /[Γιού. Μ. Kolyagin, Μ. V. Tkacheva, Ν. Ε. Fedorova, Μ. Ι. Shabunin]; επιμελήθηκε από A. B. Zhizhchenko. - 3η έκδ. - Ι.: Εκπαίδευση, 2010.- 368 σελ.: ill.- ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Μπασμάκοφ Μ. Ι.Άλγεβρα και οι απαρχές της ανάλυσης: Σχολικό βιβλίο. για τις τάξεις 10-11. μέσος όρος σχολείο - 3η έκδ. - Μ.: Εκπαίδευση, 1993. - 351 σελ.: εικ. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V. A., Mordkovich A. G.Μαθηματικά (εγχειρίδιο για όσους εισέρχονται σε τεχνικές σχολές): Proc. επίδομα.- Μ.; Πιο ψηλά σχολείο, 1984.-351 σ., εικ.

Οδηγίες

Εάν πρέπει να βρείτε το συνημίτονο γωνίασε ένα αυθαίρετο τρίγωνο, πρέπει να χρησιμοποιήσετε το θεώρημα συνημιτόνου:
αν η γωνία είναι οξεία: cos; = (a2 + b2 – c2)/(2ab);
αν γωνία: cos? = (c2 – a2 – b2)/(2ab), όπου a, b είναι τα μήκη των πλευρών που γειτνιάζουν με τη γωνία, c είναι το μήκος της πλευράς απέναντι από τη γωνία.

Χρήσιμες συμβουλές

Μαθηματική σημειογραφίασυνημίτονο – συν.
Η τιμή συνημιτόνου δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη από 1 και μικρότερη από -1.

Πηγές:

• πώς να υπολογίσετε το συνημίτονο μιας γωνίας
• Τριγωνομετρικές συναρτήσεις στον μοναδιαίο κύκλο

Συνημίτονοείναι βασική τριγωνομετρική συνάρτηση της γωνίας. Η ικανότητα προσδιορισμού συνημιτόνου θα είναι χρήσιμη σε διανυσματική άλγεβρακατά τον προσδιορισμό των προβολών των διανυσμάτων σε διάφορους άξονες.

Οδηγίες

сos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)

Υπάρχει ένα τρίγωνο με πλευρές a, b, c ίσες με 3, 4, 5 mm, αντίστοιχα.

Εύρημα συνημίτονοτη γωνία μεταξύ των μεγαλύτερων πλευρών.

Ας υποδηλώσουμε τη γωνία απέναντι από την πλευρά a με ?, τότε, σύμφωνα με τον παραπάνω τύπο, έχουμε:

сos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40 =32/40=0,8

Απάντηση: 0,8.

Εάν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, τότε για να βρείτε συνημίτονοκαι για μια γωνία αρκεί να γνωρίζουμε τα μήκη οποιωνδήποτε δύο πλευρών ( συνημίτονοη ορθή γωνία είναι 0).

Έστω ένα ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές a, b, c, όπου c είναι η υποτείνουσα.

Ας εξετάσουμε όλες τις επιλογές:

Να βρείτε cos?, αν είναι γνωστά τα μήκη των πλευρών a και b (του τριγώνου).

Ας χρησιμοποιήσουμε επιπλέον το Πυθαγόρειο θεώρημα:

сos?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(b?+b?+а?-а?)/(2*b*v(b?+а?)) =(2*b?)/(2*b*v(b?+a?))=b/v(b?+a?)

Για να διασφαλίσουμε ότι ο προκύπτων τύπος είναι σωστός, τον αντικαθιστούμε από το παράδειγμα 1, δηλ.

Αφού κάνουμε μερικούς βασικούς υπολογισμούς, παίρνουμε:

Παρόμοια βρέθηκε συνημίτονοσε ορθογώνιο τρίγωνοσε άλλες περιπτώσεις:

Γνωστά α και γ (υποτείνουσα και αντίθετη πλευρά), βρες cos;

сos?=(β?+γ?-α?)/(2*β*γ)=(σ?-α?+σ?-α?)/(2*σ*v(σ?-α?)) =(2*с?-2*а?)/(2*σ*v(σ?-α?))=v(σ?-α?)/σ.

Αντικαθιστώντας τις τιμές a=3 και c=5 από το παράδειγμα, παίρνουμε:

Γνωστά β και γ (υποτένουσα και παρακείμενο πόδι).

Βρείτε cos;

Έχοντας κάνει παρόμοιους μετασχηματισμούς (που φαίνεται στα παραδείγματα 2 και 3), λαμβάνουμε ότι σε αυτή την περίπτωση συνημίτονο V τρίγωνουπολογίζεται χρησιμοποιώντας έναν πολύ απλό τύπο:

Η απλότητα του παραγόμενου τύπου μπορεί να εξηγηθεί απλά: στην πραγματικότητα, δίπλα στη γωνία; το σκέλος είναι μια προβολή της υποτείνουσας, το μήκος του είναι ίσο με το μήκος της υποτείνουσας πολλαπλασιαζόμενο με το cos?.

Αντικαθιστώντας τις τιμές b=4 και c=5 από το πρώτο παράδειγμα, παίρνουμε:

Αυτό σημαίνει ότι όλοι οι τύποι μας είναι σωστές.

Συμβουλή 5: Πώς να βρείτε μια οξεία γωνία σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο

Κατευθείαν ανθρακικόςτο τρίγωνο είναι ίσως ένα από τα πιο διάσημα, από ιστορικής άποψης, γεωμετρικά σχήματα. Το πυθαγόρειο «παντελόνι» μπορεί να ανταγωνιστεί μόνο το «Εύρηκα!» Αρχιμήδης.

θα χρειαστείτε

• - σχέδιο ενός τριγώνου.
• - χάρακας
• - μοιρογνωμόνιο

Οδηγίες

Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180 μοίρες. Σε ορθογώνιο τρίγωνομια γωνία (ευθεία) θα είναι πάντα 90 μοίρες, και οι υπόλοιπες είναι οξείες, δηλ. λιγότερο από 90 μοίρες το καθένα. Για να προσδιορίσετε ποια είναι η γωνία σε ένα ορθογώνιο τρίγωνοείναι ευθεία, χρησιμοποιήστε έναν χάρακα για να μετρήσετε τις πλευρές του τριγώνου και να προσδιορίσετε τη μεγαλύτερη. Είναι η υποτείνουσα (ΑΒ) και βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία (Γ). Οι υπόλοιπες δύο πλευρές σχηματίζουν ορθή γωνία και σκέλη (AC, BC).

Αφού προσδιορίσετε ποια γωνία είναι οξεία, μπορείτε είτε να χρησιμοποιήσετε ένα μοιρογνωμόνιο για να υπολογίσετε τη γωνία χρησιμοποιώντας μαθηματικούς τύπους.

Για να προσδιορίσετε τη γωνία χρησιμοποιώντας ένα μοιρογνωμόνιο, ευθυγραμμίστε την κορυφή του (ας τη συμβολίσουμε με το γράμμα A) με ένα ειδικό σημάδι στο χάρακα στο κέντρο του ποδιού AC πρέπει να συμπίπτει με το πάνω άκρο του. Σημειώστε στο ημικυκλικό τμήμα του μοιρογνωμόνιου το σημείο που διέρχεται η υποτείνουσα ΑΒ. Η τιμή σε αυτό το σημείο αντιστοιχεί στη γωνία σε μοίρες. Εάν υπάρχουν 2 τιμές που υποδεικνύονται στο μοιρογνωμόνιο, τότε για μια οξεία γωνία πρέπει να επιλέξετε τη μικρότερη, για μια αμβλεία γωνία - τη μεγαλύτερη.

Βρείτε την τιμή που προκύπτει στα βιβλία αναφοράς Bradis και προσδιορίστε σε ποια γωνία αντιστοιχεί η προκύπτουσα αριθμητική τιμή. Οι γιαγιάδες μας χρησιμοποιούσαν αυτή τη μέθοδο.

Στο δικό μας αρκεί να πάρουμε με τη συνάρτηση υπολογισμού τριγωνομετρικών τύπων. Για παράδειγμα, η ενσωματωμένη αριθμομηχανή των Windows. Εκκινήστε την εφαρμογή "Αριθμομηχανή", στο στοιχείο μενού "Προβολή", επιλέξτε "Μηχανική". Υπολογίστε το ημίτονο της επιθυμητής γωνίας, για παράδειγμα, sin (A) = BC/AB = 2/4 = 0,5

Αλλάξτε την αριθμομηχανή σε αντίστροφες συναρτήσεις, κάνοντας κλικ στο κουμπί INV στην οθόνη της αριθμομηχανής και, στη συνέχεια, κάντε κλικ στο κουμπί λειτουργίας τόξου (υποδεικνύεται στην οθόνη ως αμαρτία στην μείον την πρώτη ισχύ). Στο παράθυρο υπολογισμού θα εμφανιστεί το ακόλουθο μήνυμα: asind (0,5) = 30. Δηλ. η τιμή της επιθυμητής γωνίας είναι 30 μοίρες.

Πηγές:

• Πίνακες Bradis (ημίτονο, συνημίτονο)

Το θεώρημα συνημιτόνου στα μαθηματικά χρησιμοποιείται συχνότερα όταν είναι απαραίτητο να βρεθεί η τρίτη πλευρά μιας γωνίας και οι δύο πλευρές. Ωστόσο, μερικές φορές η κατάσταση του προβλήματος τίθεται αντίστροφα: πρέπει να βρείτε μια γωνία με δεδομένες τρεις πλευρές.

Οδηγίες

Φανταστείτε ότι σας δίνεται ένα τρίγωνο στο οποίο είναι γνωστά τα μήκη δύο πλευρών και η τιμή μιας γωνίας. Όλες οι γωνίες αυτού του τριγώνου δεν είναι ίσες μεταξύ τους και οι πλευρές του είναι επίσης διαφορετικές σε μέγεθος. Η γωνία γ βρίσκεται απέναντι από την πλευρά του τριγώνου, που ονομάζεται ΑΒ, που είναι αυτό το σχήμα. Μέσα από αυτή τη γωνία, καθώς και από τις υπόλοιπες πλευρές AC και BC, μπορείτε να βρείτε την πλευρά του τριγώνου που είναι άγνωστη χρησιμοποιώντας το θεώρημα συνημιτόνου, αντλώντας από αυτό τον τύπο που παρουσιάζεται παρακάτω:
a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, όπου a=BC, b=AB, c=AC
Το θεώρημα συνημιτόνου ονομάζεται αλλιώς γενικευμένο Πυθαγόρειο θεώρημα.

Τώρα φανταστείτε ότι δίνονται και οι τρεις πλευρές του σχήματος, αλλά η γωνία γ είναι άγνωστη. Γνωρίζοντας ότι η μορφή a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, μετασχηματίστε αυτήν την παράσταση έτσι ώστε η επιθυμητή τιμή να γίνει η γωνία γ: b^2+c^2=2bc*cosγ+a^2.
Στη συνέχεια, βάλτε την παραπάνω εξίσωση σε μια ελαφρώς διαφορετική μορφή: b^2+c^2-a^2=2bc*cosγ.
Αυτή η έκφραση θα πρέπει στη συνέχεια να μετατραπεί στην παρακάτω: cosγ=√b^2+c^2-a^2/2bc.
Το μόνο που μένει είναι να αντικαταστήσουμε τους αριθμούς στον τύπο και να εκτελέσουμε τους υπολογισμούς.

Για να βρεθεί το συνημίτονο, που συμβολίζεται με γ, πρέπει να εκφραστεί με βάση το αντίστροφο της τριγωνομετρίας, που ονομάζεται συνημίτονο τόξου. Το συνημίτονο τόξου του αριθμού m είναι η τιμή της γωνίας γ για την οποία το συνημίτονο της γωνίας γ είναι ίσο με m. Η συνάρτηση y=arccos m είναι φθίνουσα. Φανταστείτε, για παράδειγμα, ότι το συνημίτονο της γωνίας γ είναι ίσο με το ένα μισό. Τότε η γωνία γ μπορεί να οριστεί μέσω του συνημιτόνου τόξου ως εξής:
γ = τόξο, m = τόξο 1/2 = 60°, όπου m = 1/2.
Με παρόμοιο τρόπο, μπορείτε να βρείτε τις υπόλοιπες γωνίες του τριγώνου με τις άλλες δύο άγνωστες πλευρές του.

Το ημίτονο και το συνημίτονο είναι δύο τριγωνομετρικές συναρτήσεις που ονομάζονται «άμεσες». Είναι αυτοί που πρέπει να υπολογίζονται πιο συχνά από άλλους, και για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα σήμερα ο καθένας από εμάς έχει μια σημαντική επιλογή επιλογών. Παρακάτω είναι μερικά από τα περισσότερα απλούς τρόπους.

Οδηγίες

Χρησιμοποιήστε ένα μοιρογνωμόνιο, ένα μολύβι και ένα κομμάτι χαρτί εάν δεν υπάρχει άλλος τρόπος υπολογισμού. Ένας από τους ορισμούς του συνημιτόνου δίνεται ως προς τις οξείες γωνίες σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο - είναι ίσος με την αναλογία μεταξύ του μήκους του σκέλους απέναντι από αυτή τη γωνία και του μήκους. Σχεδιάστε ένα τρίγωνο στο οποίο η μία από τις γωνίες είναι ορθή (90°) και η άλλη είναι η γωνία που θέλετε να υπολογίσετε. Το μήκος των πλευρών δεν έχει σημασία - σχεδιάστε τα με τον τρόπο που είναι πιο βολικό για εσάς να μετρήσετε. Μετρήστε το μήκος του επιθυμητού ποδιού και της υποτείνουσας και διαιρέστε το πρώτο με το δεύτερο χρησιμοποιώντας οποιοδήποτε με βολικό τρόπο.

Εκμεταλλευτείτε την τιμή των τριγωνομετρικών συναρτήσεων χρησιμοποιώντας την ενσωματωμένη αριθμομηχανή μηχανή αναζήτησης Nigma, αν έχετε πρόσβαση στο διαδίκτυο. Για παράδειγμα, εάν πρέπει να υπολογίσετε το συνημίτονο μιας γωνίας 20°, τότε αφού φορτώσετε την κύρια σελίδα της υπηρεσίας http://nigma.ru, εισαγάγετε στο πεδίο ερώτημα αναζήτησης"συνημίτονο 20" και κάντε κλικ στο κουμπί "Εύρεση!" Μπορείτε να παραλείψετε τους "μοίρες" και να αντικαταστήσετε τη λέξη "συνημίτονο" με cos - σε κάθε περίπτωση, η μηχανή αναζήτησης θα εμφανίσει το αποτέλεσμα με ακρίβεια 15 δεκαδικών ψηφίων (0,939692620785908).

Ανοίξτε το τυπικό πρόγραμμα που είναι εγκατεστημένο με λειτουργικό σύστημα Windows, εάν δεν υπάρχει πρόσβαση στο Διαδίκτυο. Μπορείτε να το κάνετε αυτό, για παράδειγμα, πατώντας ταυτόχρονα τα πλήκτρα win και r, μετά εισάγοντας την εντολή calc και κάνοντας κλικ στο κουμπί OK. Για τον υπολογισμό των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, εδώ υπάρχει μια διεπαφή που ονομάζεται "μηχανική" ή "επιστημονική" (ανάλογα με την έκδοση του λειτουργικού συστήματος) - επιλέξτε το επιθυμητό στοιχείο στην ενότητα "Προβολή" του μενού της αριθμομηχανής. Μετά από αυτό, εισαγάγετε την τιμή γωνίας και κάντε κλικ στο κουμπί cos στη διεπαφή του προγράμματος.

Βίντεο σχετικά με το θέμα

Συμβουλή 8: Πώς να προσδιορίσετε τις γωνίες σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο

Το ορθογώνιο χαρακτηρίζεται από ορισμένες σχέσεις μεταξύ γωνιών και πλευρών. Γνωρίζοντας τις τιμές ορισμένων από αυτά, μπορείτε να υπολογίσετε άλλα. Για το σκοπό αυτό, χρησιμοποιούνται τύποι που βασίζονται, με τη σειρά τους, στα αξιώματα και τα θεωρήματα της γεωμετρίας.

Οι έννοιες του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης είναι οι κύριες κατηγορίες της τριγωνομετρίας, κλάδος των μαθηματικών, και είναι άρρηκτα συνδεδεμένες με τον ορισμό της γωνίας. Η κυριαρχία αυτής της μαθηματικής επιστήμης απαιτεί απομνημόνευση και κατανόηση τύπων και θεωρημάτων, καθώς και ανεπτυγμένη χωρική σκέψη. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο οι τριγωνομετρικοί υπολογισμοί συχνά προκαλούν δυσκολίες σε μαθητές και μαθητές. Για να τα ξεπεράσετε, θα πρέπει να εξοικειωθείτε περισσότερο με τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις και τους τύπους.

Έννοιες στην τριγωνομετρία

Για να κατανοήσετε τις βασικές έννοιες της τριγωνομετρίας, πρέπει πρώτα να κατανοήσετε τι είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο και μια γωνία σε έναν κύκλο και γιατί όλοι οι βασικοί τριγωνομετρικοί υπολογισμοί σχετίζονται με αυτά. Ένα τρίγωνο στο οποίο μια από τις γωνίες είναι 90 μοίρες είναι ορθογώνιο. Ιστορικά, αυτή η φιγούρα χρησιμοποιήθηκε συχνά από ανθρώπους στην αρχιτεκτονική, τη ναυσιπλοΐα, την τέχνη και την αστρονομία. Κατά συνέπεια, μελετώντας και αναλύοντας τις ιδιότητες αυτού του αριθμού, οι άνθρωποι έφτασαν να υπολογίσουν τις αντίστοιχες αναλογίες των παραμέτρων του.

Οι κύριες κατηγορίες που σχετίζονται με τα ορθογώνια τρίγωνα είναι η υποτείνουσα και τα πόδια. Η υποτείνουσα είναι η πλευρά ενός τριγώνου απέναντι από τη σωστή γωνία. Τα πόδια, αντίστοιχα, είναι οι άλλες δύο πλευρές. Το άθροισμα των γωνιών οποιουδήποτε τριγώνου είναι πάντα 180 μοίρες.

Η σφαιρική τριγωνομετρία είναι ένα τμήμα της τριγωνομετρίας που δεν μελετάται στο σχολείο, αλλά σε εφαρμοσμένες επιστήμες όπως η αστρονομία και η γεωδαισία, οι επιστήμονες τη χρησιμοποιούν. Η ιδιαιτερότητα ενός τριγώνου στη σφαιρική τριγωνομετρία είναι ότι έχει πάντα άθροισμα γωνιών μεγαλύτερο από 180 μοίρες.

Γωνίες τριγώνου

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το ημίτονο μιας γωνίας είναι ο λόγος του σκέλους απέναντι από την επιθυμητή γωνία προς την υποτείνουσα του τριγώνου. Αντίστοιχα, συνημίτονο είναι η αναλογία του διπλανού σκέλους και της υποτείνουσας. Και οι δύο αυτές τιμές έχουν πάντα μέγεθος μικρότερο από ένα, αφού η υποτείνουσα είναι πάντα μεγαλύτερη από το πόδι.

Η εφαπτομένη μιας γωνίας είναι μια τιμή ίση με τον λόγο της απέναντι πλευράς προς τη γειτονική πλευρά της επιθυμητής γωνίας ή ημιτόνου προς συνημίτονο. Η συνεφαπτομένη, με τη σειρά της, είναι ο λόγος της γειτονικής πλευράς της επιθυμητής γωνίας προς την αντίθετη πλευρά. Η συνεφαπτομένη μιας γωνίας μπορεί επίσης να ληφθεί διαιρώντας τη μία με την τιμή της εφαπτομένης.

Κύκλος μονάδας

Ένας μοναδιαίος κύκλος στη γεωμετρία είναι ένας κύκλος του οποίου η ακτίνα είναι ίση με ένα. Ένας τέτοιος κύκλος κατασκευάζεται σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, με το κέντρο του κύκλου να συμπίπτει με το σημείο προέλευσης, και θέση εκκίνησηςΤο διάνυσμα ακτίνας προσδιορίζεται από τη θετική κατεύθυνση του άξονα Χ (άξονας τετμημένης). Κάθε σημείο του κύκλου έχει δύο συντεταγμένες: XX και YY, δηλαδή τις συντεταγμένες της τετμημένης και της τεταγμένης. Επιλέγοντας οποιοδήποτε σημείο του κύκλου στο επίπεδο ΧΧ και ρίχνοντας μια κάθετο από αυτόν στον άξονα της τετμημένης, λαμβάνουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζεται από την ακτίνα προς το επιλεγμένο σημείο (που συμβολίζεται με το γράμμα C), την κάθετη που σύρεται στον άξονα Χ (το σημείο τομής συμβολίζεται με το γράμμα G) και το τμήμα του άξονα της τετμημένης είναι μεταξύ της αρχής των συντεταγμένων (το σημείο ορίζεται με το γράμμα Α) και του σημείου τομής G. Το τρίγωνο ACG που προκύπτει είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο εγγεγραμμένο σε ένας κύκλος, όπου AG είναι η υποτείνουσα, και AC και GC είναι τα σκέλη. Η γωνία μεταξύ της ακτίνας του κύκλου AC και του τμήματος του άξονα της τετμημένης με την ένδειξη ΑΓ ορίζεται ως α (άλφα). Άρα, cos α = AG/AC. Λαμβάνοντας υπόψη ότι το AC είναι η ακτίνα του μοναδιαίου κύκλου και είναι ίση με ένα, προκύπτει ότι cos α=ΑΓ. Ομοίως, αμαρτία α=CG.

Επιπλέον, γνωρίζοντας αυτά τα δεδομένα, μπορείτε να προσδιορίσετε τη συντεταγμένη του σημείου C στον κύκλο, αφού cos α=AG και sin α=CG, που σημαίνει ότι το σημείο C έχει τις δεδομένες συντεταγμένες (cos α;sin α). Γνωρίζοντας ότι η εφαπτομένη είναι ίση με την αναλογία ημιτόνου προς συνημίτονο, μπορούμε να προσδιορίσουμε ότι tan α = y/x, και cot α = x/y. Λαμβάνοντας υπόψη τις γωνίες σε ένα σύστημα αρνητικών συντεταγμένων, μπορείτε να υπολογίσετε ότι οι τιμές ημιτόνου και συνημιτόνου ορισμένων γωνιών μπορεί να είναι αρνητικές.

Υπολογισμοί και βασικοί τύποι

Τιμές τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Έχοντας εξετάσει την ουσία των τριγωνομετρικών συναρτήσεων μέσω του κύκλου μονάδας, μπορούμε να εξαγάγουμε τις τιμές αυτών των συναρτήσεων για ορισμένες γωνίες. Οι τιμές παρατίθενται στον παρακάτω πίνακα.

Οι απλούστερες τριγωνομετρικές ταυτότητες

Οι εξισώσεις στις οποίες υπάρχει άγνωστη τιμή κάτω από το πρόσημο της τριγωνομετρικής συνάρτησης ονομάζονται τριγωνομετρικές. Ταυτότητες με την τιμή sin x = α, k - οποιοσδήποτε ακέραιος:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. sin x = 1, x = π/2 + 2πk.
3. sin x = -1, x = -π/2 + 2πk.
4. sin x = a, |a| > 1, δεν υπάρχουν λύσεις.
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

Ταυτότητες με την τιμή cos x = a, όπου k είναι οποιοσδήποτε ακέραιος:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x = -1, x = π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, δεν υπάρχουν λύσεις.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, x = ±arccos α + 2πk.

Ταυτότητες με την τιμή tg x = a, όπου k είναι οποιοσδήποτε ακέραιος:

1. tan x = 0, x = π/2 + πk.
2. tan x = a, x = arctan α + πk.

Ταυτότητες με την τιμή ctg x = a, όπου k είναι οποιοσδήποτε ακέραιος:

1. κούνια x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x = a, x = arcctg α + πk.

Φόρμουλες μείωσης

Αυτή η κατηγορία σταθερών τύπων υποδηλώνει μεθόδους με τις οποίες μπορείτε να μετακινηθείτε από τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις της φόρμας σε συναρτήσεις ορίσματος, δηλαδή να μειώσετε το ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη μιας γωνίας οποιασδήποτε τιμής στους αντίστοιχους δείκτες της γωνίας της διάστημα από 0 έως 90 μοίρες για μεγαλύτερη ευκολία υπολογισμού.

Οι τύποι για τη μείωση των συναρτήσεων για το ημίτονο μιας γωνίας μοιάζουν με αυτό:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = αμαρτία α.

Για συνημίτονο γωνίας:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Η χρήση των παραπάνω τύπων είναι δυνατή με την επιφύλαξη δύο κανόνων. Πρώτον, εάν η γωνία μπορεί να αναπαρασταθεί ως τιμή (π/2 ± a) ή (3π/2 ± a), η τιμή της συνάρτησης αλλάζει:

• από την αμαρτία στο cos?
• από cos στην αμαρτία?
• από tg σε ctg?
• από ctg σε tg.

Η τιμή της συνάρτησης παραμένει αμετάβλητη εάν η γωνία μπορεί να αναπαρασταθεί ως (π ± a) ή (2π ± a).

Δεύτερον, το πρόσημο της μειωμένης συνάρτησης δεν αλλάζει: αν ήταν αρχικά θετικό, παραμένει έτσι. Το ίδιο και οι αρνητικές συναρτήσεις.

Τύποι προσθήκης

Αυτοί οι τύποι εκφράζουν τις τιμές του ημιτόνου, του συνημιτίου, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης του αθροίσματος και της διαφοράς δύο γωνιών περιστροφής μέσω των τριγωνομετρικών τους συναρτήσεων. Συνήθως οι γωνίες συμβολίζονται ως α και β.

Οι τύποι μοιάζουν με αυτό:

1. sin(α ± β) = αμαρτία α * cos β ± cos α * αμαρτία.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Αυτοί οι τύποι ισχύουν για οποιεσδήποτε γωνίες α και β.

Τύποι διπλής και τριπλής γωνίας

Οι τριγωνομετρικοί τύποι διπλής και τριπλής γωνίας είναι τύποι που συσχετίζουν τις συναρτήσεις των γωνιών 2α και 3α, αντίστοιχα, με τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις της γωνίας α. Προέρχεται από τύπους προσθήκης:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2 α.
3. tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3 α.
5. cos3α = 4cos^3 α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Μετάβαση από το άθροισμα στο προϊόν

Λαμβάνοντας υπόψη ότι 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), απλοποιώντας αυτόν τον τύπο, λαμβάνουμε την ταυτότητα sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Ομοίως sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tana + tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Μετάβαση από το προϊόν στο άθροισμα

Αυτοί οι τύποι προκύπτουν από τις ταυτότητες της μετάβασης ενός αθροίσματος σε ένα προϊόν:

• sina * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sina * cosβ = 1/2*.

Τύποι μείωσης πτυχίου

Σε αυτές τις ταυτότητες, το τετράγωνο και οι κυβικές δυνάμεις του ημιτόνου και του συνημιτόνου μπορούν να εκφραστούν ως προς το ημίτονο και το συνημίτονο της πρώτης ισχύος μιας πολλαπλής γωνίας:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Καθολική αντικατάσταση

Οι τύποι για καθολική τριγωνομετρική υποκατάσταση εκφράζουν τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις ως προς την εφαπτομένη μισής γωνίας.

• sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), με x = π + 2πn;
• cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), όπου x = π + 2πn;
• tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), όπου x = π + 2πn;
• κούνια x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), με x = π + 2πn.

Ειδικές περιπτώσεις

Ειδικές περιπτώσεις των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων δίνονται παρακάτω (k είναι οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός).

Πηλίκα για ημίτονο:

Πηλίκα για συνημίτονο:

Πηλίκα για την εφαπτομένη:

Πηλίκα για συνεφαπτομένη:

Θεωρήματα

Θεώρημα ημιτόνων

Υπάρχουν δύο εκδοχές του θεωρήματος - απλή και εκτεταμένη. Απλό ημιτονικό θεώρημα: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Στην περίπτωση αυτή, a, b, c είναι οι πλευρές του τριγώνου και οι α, β, γ είναι οι αντίθετες γωνίες, αντίστοιχα.

Θεώρημα εκτεταμένου ημιτόνου για αυθαίρετο τρίγωνο: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. Σε αυτή την ταυτότητα, το R υποδηλώνει την ακτίνα του κύκλου στον οποίο είναι εγγεγραμμένο το δεδομένο τρίγωνο.

Θεώρημα συνημιτονίου

Η ταυτότητα εμφανίζεται ως εξής: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Στον τύπο, α, β, γ είναι οι πλευρές του τριγώνου και α είναι η γωνία απέναντι από την πλευρά α.

Θεώρημα εφαπτομένης

Ο τύπος εκφράζει τη σχέση μεταξύ των εφαπτομένων δύο γωνιών και του μήκους των πλευρών απέναντι τους. Οι πλευρές φέρουν την ένδειξη a, b, c και οι αντίστοιχες απέναντι γωνίες είναι α, β, γ. Τύπος του θεωρήματος της εφαπτομένης: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2).

Θεώρημα συνεφαπτομένης

Συνδέει την ακτίνα ενός κύκλου εγγεγραμμένου σε τρίγωνο με το μήκος των πλευρών του. Αν a, b, c είναι οι πλευρές του τριγώνου και οι A, B, C, αντίστοιχα, οι γωνίες απέναντι τους, r είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου και p είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου, το παρακάτω οι ταυτότητες είναι έγκυρες:

• κούνια A/2 = (p-a)/r;
• κούνια B/2 = (p-b)/r;
• κούνια C/2 = (p-c)/r.

Εφαρμογή

Η τριγωνομετρία δεν είναι μόνο μια θεωρητική επιστήμη που σχετίζεται με μαθηματικούς τύπους. Οι ιδιότητες, τα θεωρήματα και οι κανόνες του χρησιμοποιούνται στην πράξη από διάφορους κλάδους της ανθρώπινης δραστηριότητας - αστρονομία, εναέρια και θαλάσσια ναυσιπλοΐα, θεωρία της μουσικής, γεωδαισία, χημεία, ακουστική, οπτική, ηλεκτρονική, αρχιτεκτονική, οικονομία, μηχανολογία, εργασίες μέτρησης, γραφικά υπολογιστών, χαρτογραφία, ωκεανογραφία και πολλά άλλα.

Ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη είναι οι βασικές έννοιες της τριγωνομετρίας, με τη βοήθεια των οποίων μπορεί κανείς να εκφράσει μαθηματικά τις σχέσεις μεταξύ των γωνιών και των μηκών των πλευρών ενός τριγώνου και να βρει τα απαιτούμενα μεγέθη μέσω ταυτοτήτων, θεωρημάτων και κανόνων.