Mi az adatmátrix példa. Mátrixok

Ebben a témakörben megvizsgáljuk a mátrix fogalmát, valamint a mátrixok típusait. Mivel sok kifejezés van ebben a témában, hozzáteszem összefoglaló hogy könnyebb legyen eligazodni az anyagban.

A mátrix és elemének meghatározása. Jelölés.

Mátrix egy $m$ sorból és $n$ oszlopból álló táblázat. A mátrix elemei lehetnek egészen más jellegű objektumok: számok, változók vagy például más mátrixok. Például a $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ mátrix 3 sort és 2 oszlopot tartalmaz; elemei egész számok. A mátrix $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \right)$ 2 sort és 4 oszlopot tartalmaz.

A mátrixok írásának különböző módjai: show\hide

A mátrix nem csak kerek, hanem szögletes vagy dupla egyenes zárójelben is írható. Vagyis az alábbi bejegyzések ugyanazt a mátrixot jelentik:

$$ \left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right);\;\; \left[ \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right]; \;\; \left \Vert \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right \Vert $$

A $m\times n$ szorzatot hívják mátrix mérete. Például, ha egy mátrix 5 sort és 3 oszlopot tartalmaz, akkor $5\x3$ méretű mátrixról beszélünk. A $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ mátrix mérete $3 \x 2$.

Általában a mátrixokat jelölik nagybetűvel Latin ábécé: $A$, $B$, $C$ és így tovább. Például: $B=\left(\begin(array) (cccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$. A sorszámozás fentről lefelé halad; oszlopok - balról jobbra. Például a $B$ mátrix első sora az 5. és 3. elemet tartalmazza, a második oszlop pedig a 3, -87, 0 elemeket.

A mátrixok elemeit általában kis betűkkel jelöljük. Például az $A$ mátrix elemeit $a_(ij)$ jelöli. A $ij$ kettős index információt tartalmaz az elem mátrixbeli pozíciójáról. A $i$ szám a sorszám, a $j$ pedig az oszlopszám, amelynek metszéspontjában az $a_(ij)$ elem található. Például a mátrix második sorának és ötödik oszlopának metszéspontjában $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(array) \right)$ elem $a_(25) = 59 USD:

Ugyanígy az első sor és az első oszlop metszéspontjában az $a_(11)=51$ elem áll rendelkezésünkre; a harmadik sor és a második oszlop metszéspontjában - az elem $a_(32)=-15$ és így tovább. Ne feledje, hogy az $a_(32)$ bejegyzés „egy három kettő”, de nem „egy harminckettő”.

A $A$ mátrix rövidítéséhez, amelynek mérete $m\x n$, a $A_(m\times n)$ jelölést használjuk. Kicsit részletesebben is leírhatod:

$$ A_(m\times n)=(a_(ij)) $$

ahol az $(a_(ij))$ jelölés az $A$ mátrix elemeit jelöli. Teljesen kibontott formában a $A_(m\times n)=(a_(ij))$ mátrix a következőképpen írható fel:

$$ A_(m\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(array) \right) $$

Vessünk be egy másik kifejezést - egyenlő mátrixok.

Két azonos méretű $A_(m\times n)=(a_(ij))$ és $B_(m\times n)=(b_(ij))$ mátrixot hívunk. egyenlő, ha a megfelelő elemeik egyenlőek, azaz. $a_(ij)=b_(ij)$ minden $i=\overline(1,m)$ és $j=\overline(1,n)$ esetén.

Magyarázat a $i=\overline(1,m)$ bejegyzéshez: show\hide

A "$i=\overline(1,m)$" jelölés azt jelenti, hogy a $i$ paraméter 1 és m között változik. Például a $i=\overline(1,5)$ bejegyzés azt jelzi, hogy a $i$ paraméter az 1, 2, 3, 4, 5 értékeket veszi fel.

Tehát ahhoz, hogy a mátrixok egyenlőek legyenek, két feltételnek kell teljesülnie: a méretek egybeesésének és a megfelelő elemek egyenlőségének. Például a $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ mátrix nem egyenlő a mátrixszal $B=\left(\ begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$ mert az $A$ mátrix mérete $3\x2$ és a $B$ mátrix mérete: $2\x2 $. Ezenkívül a $A$ mátrix nem egyenlő a $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ mátrixszal , mivel $a_( 21)\neq c_(21)$ (azaz $0\neq 98$). De a $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ mátrixhoz nyugodtan írhatjuk $A= F$, mert a $A$ és $F$ mátrixok méretei és megfelelő elemei egybeesnek.

1. számú példa

Határozza meg a mátrix méretét $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \4 & 0 & -10 \\ \end(tömb) \jobbra)$. Jelölje meg, hogy az $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$ mekkora elemekkel egyenlő.

Ez a mátrix 5 sort és 3 oszlopot tartalmaz, így a mérete $5\×3$. Ehhez a mátrixhoz használhatja a $A_(5\×3)$ jelölést is.

Az $a_(12)$ elem az első sor és a második oszlop metszéspontjában van, tehát $a_(12)=-2$. Az $a_(33)$ elem a harmadik sor és a harmadik oszlop metszéspontjában van, tehát $a_(33)=23$. Az $a_(43)$ elem a negyedik sor és a harmadik oszlop metszéspontjában van, tehát $a_(43)=-5$.

Válasz: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

A mátrixok típusai méretüktől függően. Fő és másodlagos átló. Mátrix nyom.

Legyen adott egy $A_(m\x n)$ mátrix. Ha $m=1$ (a mátrix egy sorból áll), akkor az adott mátrix meghívásra kerül mátrix-sor. Ha $n=1$ (a mátrix egy oszlopból áll), akkor egy ilyen mátrixot hívunk mátrix-oszlop. Például a $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ egy sormátrix, a $\left(\begin(array) ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(array) \right)$ egy oszlopmátrix.

Ha a $A_(m\x n)$ mátrixra igaz a $m\neq n$ feltétel (azaz a sorok száma nem egyenlő az oszlopok számával), akkor gyakran mondják, hogy $A$ téglalap alakú mátrix. Például a $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ mátrix mérete: $2\x4 $, azok. 2 sort és 4 oszlopot tartalmaz. Mivel a sorok száma nem egyenlő az oszlopok számával, ez a mátrix téglalap alakú.

Ha a $A_(m\x n)$ mátrix teljesíti a $m=n$ feltételt (azaz a sorok száma megegyezik az oszlopok számával), akkor $A$-t $ sorrendű négyzetmátrixnak mondjuk. n$. Például a $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ egy másodrendű négyzetmátrix; $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ egy harmadrendű négyzetmátrix. BAN BEN Általános nézet a $A_(n\times n)$ négyzetmátrix a következőképpen írható fel:

$$ A_(n\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(array) \right) $$

Az $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ elemekről azt mondjuk, hogy főátló mátrixok $A_(n\times n)$. Ezeket az elemeket ún fő átlós elemek(vagy csak átlós elemek). Az $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ elemek be vannak kapcsolva oldalsó (kis)átló; felhívták őket oldalátlós elemek. Például a $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( tömb) \right)$ van:

A $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ elemek a fő átlós elemek; A $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ elemek oldalátlós elemek.

A főátlós elemek összegét ún ezt követi a mátrixés $\Tr A$ (vagy $\Sp A$) jelöli:

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

Például a $C=\left(\begin(array) (cccc) mátrixhoz 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \end(array)\right)$ van:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

Az átlós elemek fogalmát nem négyzetes mátrixoknál is használják. Például a $B=\left(\begin(array) (cccccc) mátrixhoz 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(array) \right)$ a fő átlós elemek: $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.

A mátrixok típusai az elemeik értékétől függően.

Ha a $A_(m\x n)$ mátrix minden eleme nulla, akkor egy ilyen mátrixot ún. nullaés általában $O$ betűvel jelöljük. Például: $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ - nulla mátrixok.

Legyen a $A_(m\times n)$ mátrix a következő formában:

Ezután ezt a mátrixot hívják trapéz alakú. Lehet, hogy nem tartalmaz nulla sort, de ha vannak, akkor a mátrix alján találhatók. Általánosabb formában egy trapézmátrix a következőképpen írható fel:

Ismétlem, a záró nullsorok nem szükségesek. Azok. Formálisan a következő feltételeket különböztethetjük meg egy trapézmátrix esetében:

1. A főátló alatti összes elem nulla.
2. A főátlón lévő $a_(11)$ és $a_(rr)$ közötti összes elem nem egyenlő nullával: $a_(11)\neq 0, \; a_(22)\neq 0, \ldots, a_(rr)\neq 0$.
3. Vagy az utolsó $m-r$ sorok összes eleme nulla, vagy $m=r$ (azaz egyáltalán nincsenek nulla sorok).

Példák trapézmátrixokra:

Térjünk át a következő definícióra. A $A_(m\x n)$ mátrix meghívásra kerül lépett, ha megfelel a következő feltételeknek:

Például a lépésmátrixok a következők lennének:

Összehasonlításképpen: $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & mátrix A 0 és 0 \end(array)\right)$ nem lépcsőzetes, mert a harmadik sornak ugyanaz a nulla része, mint a második sornak. Vagyis sérül a „minél alacsonyabb a vonal, annál nagyobb a nulla rész” elve. Hozzáteszem, hogy a trapézmátrix a lépcsős mátrix speciális esete.

Térjünk át a következő definícióra. Ha egy négyzetes mátrixnak a főátló alatt elhelyezkedő összes eleme nulla, akkor egy ilyen mátrixot ún. felső háromszögmátrix. Például: $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 Az \end(array) \right)$ egy felső háromszögmátrix. Vegye figyelembe, hogy a felső háromszögmátrix meghatározása nem mond semmit a főátló felett vagy a főátlón található elemek értékeiről. Lehetnek nullák vagy nem – mindegy. Például a $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ szintén egy felső háromszögmátrix.

Ha egy négyzetes mátrixnak a főátló felett elhelyezkedő összes eleme nulla, akkor egy ilyen mátrixot ún. alsó háromszögmátrix. Például: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - alsó háromszögmátrix. Vegye figyelembe, hogy az alsó háromszögmátrix meghatározása nem mond semmit a főátló alatt vagy azon lévő elemek értékeiről. Lehetnek nullák vagy nem – ez nem számít. Például: $\left(\begin(array) (cccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ és $\left(\ kezd (tömb) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ szintén alsó háromszögmátrixok.

A négyzetmátrixot ún átlós, ha ennek a mátrixnak minden olyan eleme, amely nem fekszik a főátlón, egyenlő nullával. Példa: $\left(\begin(tömb) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ end(tömb)\jobbra)$. A főátlón lévő elemek bármiek lehetnek (nullával egyenlőek vagy nem) – ez nem számít.

Az átlós mátrixot ún egyetlen, ha ennek a mátrixnak a főátlón található összes eleme egyenlő 1-gyel. Például $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\right)$ - negyedrendű identitásmátrix; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ a másodrendű azonosságmátrix.

Legyen egy n-edrendű négyzetmátrix

Az A -1 mátrixot hívjuk inverz mátrix az A mátrixhoz viszonyítva, ha A*A -1 = E, ahol E az n-edrendű azonosságmátrix.

Identitásmátrix- egy olyan négyzetmátrix, amelyben a főátló mentén a bal felső sarokból a jobb alsó sarokba átmenő összes elem egy, a többi pedig nulla, például:

inverz mátrix létezhet csak négyzetmátrixokhoz azok. azokra a mátrixokra, amelyekben a sorok és oszlopok száma egybeesik.

Tétel egy inverz mátrix létezési feltételére

Ahhoz, hogy egy mátrixnak legyen inverz mátrixa, szükséges és elegendő, hogy nem szinguláris legyen.

Az A = (A1, A2,...A n) mátrixot hívjuk nem degenerált, ha az oszlopvektorok lineárisan függetlenek. A mátrix lineárisan független oszlopvektorainak számát a mátrix rangjának nevezzük. Ezért mondhatjuk, hogy azért, hogy létezzen inverz mátrix, szükséges és elegendő, hogy a mátrix rangja egyenlő legyen a dimenziójával, pl. r = n.

Algoritmus az inverz mátrix megtalálására

1. Írja be a táblázatba az A mátrixot az egyenletrendszerek Gauss-módszerrel történő megoldásához, és rendelje hozzá a jobb oldali (az egyenletek jobb oldala helyett) E mátrixot!
2. Jordan-transzformációk segítségével redukálja le az A mátrixot egységoszlopokból álló mátrixra; ebben az esetben az E mátrixot egyidejűleg kell átalakítani.
3. Ha szükséges, rendezzük át az utolsó tábla sorait (egyenleteit) úgy, hogy az eredeti tábla A mátrixa alatt az E identitásmátrixot kapjuk.
4. Írja fel az A -1 inverz mátrixot, amely az utolsó táblázatban található az eredeti tábla E mátrixa alatt.

Az A mátrixhoz keresse meg az A -1 inverz mátrixot

Megoldás: A mátrixot írjuk, és az E identitásmátrixot a jobb oldalra rendeljük. Az A mátrixot az E identitásmátrixra redukáljuk. A számításokat a 31.1. táblázat tartalmazza.

Ellenőrizzük a számítások helyességét az eredeti A mátrix és az A inverz mátrix -1 szorzásával.

A mátrixszorzás eredményeként megkaptuk az azonosságmátrixot. Ezért a számításokat helyesen végezték el.

Válasz:

Mátrixegyenletek megoldása

A mátrix egyenletek így nézhetnek ki:

AX = B, HA = B, AXB = C,

ahol A, B, C a megadott mátrixok, X a kívánt mátrix.

A mátrixegyenleteket úgy oldjuk meg, hogy az egyenletet inverz mátrixokkal megszorozzuk.

Például az egyenletből a mátrix megtalálásához meg kell szoroznia ezt az egyenletet a bal oldalon lévővel.

Ezért az egyenlet megoldásához meg kell találnia az inverz mátrixot, és meg kell szoroznia az egyenlet jobb oldalán található mátrixszal.

A többi egyenletet is hasonlóan oldják meg.

Oldja meg az AX = B egyenletet, ha

Megoldás: Mivel az inverz mátrix egyenlő (lásd az 1. példát)

Mátrix módszer a közgazdasági elemzésben

Másokkal együtt ezeket is használják mátrix módszerek. Ezek a módszerek lineáris és vektor-mátrix algebrán alapulnak. Az ilyen módszereket komplex és többdimenziós elemzési célokra használják gazdasági jelenségek. Ezeket a módszereket leggyakrabban akkor alkalmazzák, amikor a szervezetek és strukturális felosztásaik működésének összehasonlító értékelésére van szükség.

A mátrixelemzési módszerek alkalmazásának folyamatában több szakasz különíthető el.

Az első szakaszban kialakul a rendszer gazdasági mutatókés ennek alapján egy forrásadatmátrixot állítanak össze, amely egy táblázat, amelyben a rendszerszámok az egyes soraiban jelennek meg. (i = 1,2,....,n), függőleges oszlopokban pedig a mutatók száma (j = 1,2,....,m).

A második szakaszban Minden függőleges oszlop esetében a rendelkezésre álló indikátorértékek közül a legnagyobbat azonosítjuk, amelyet egynek tekintünk.

Ezt követően az ebben az oszlopban szereplő összes összeget el kell osztani legmagasabb értékés standardizált együtthatók mátrixa jön létre.

A harmadik szakaszban a mátrix összes komponense négyzetes. Ha eltérő jelentőséggel bírnak, akkor minden mátrixmutatóhoz egy bizonyos súlytényezőt rendelnek k. Ez utóbbi értékét szakértői vélemény határozza meg.

Az utolsón, negyedik szakasz talált értékelési értékeket Rj növekedésük vagy csökkenésük sorrendjében vannak csoportosítva.

A felvázolt mátrixmódszereket érdemes alkalmazni például a különböző beruházási projektek összehasonlító elemzésénél, illetve a szervezetek tevékenységének egyéb gazdasági mutatóinak értékelésénél.

Pontok a térben, termék Rv ad egy másik vektort, amely meghatározza a pont forgatás utáni helyzetét. Ha v sorvektor, ugyanaz a transzformáció érhető el a használatával vR T, hol R T - transzponált R mátrix.

Enciklopédiai YouTube

1 / 5

C# - Konzol - Olimpia - Négyzetes spirál

Mátrix: definíció és alapfogalmak

Hol lehet erőt és ihletet meríteni A 4 négyzetes mátrix újratöltése

Mátrixok összege és különbsége, mátrix szorzása számmal

Transzponált mátrix / Transzponált mátrix

Feliratok

Főátló

Elemek a ii (én = 1, ..., n) alkotják egy négyzetmátrix főátlóját. Ezek az elemek a mátrix bal felső sarkától a jobb alsó sarkáig tartó képzeletbeli egyenes vonalon fekszenek. Például az ábrán látható 4x4-es mátrix főátlója tartalmazza az elemeket a 11 = 9, a 22 = 11, a 33 = 4, a 44 = 10.

A négyzetmátrix bal alsó és jobb felső sarkán áthaladó átlóját ún oldal.

Különleges típusok

Átlós és háromszögmátrixok

Ha a főátlón kívül minden elem nulla, Aátlósnak nevezzük. Ha a főátló felett (lent) minden elem nulla, A alsó (felső) háromszögmátrixnak nevezzük.

Identitásmátrix

csak elfogadja pozitív értékeket(illetve negatív értékek vagy mindkettő). Ha egy másodfokú forma csak nem negatív (illetve csak nem pozitív) értékeket vesz fel, akkor a szimmetrikus mátrixot pozitívan félhatározottnak (illetve negatív félhatározottnak) nevezzük. Egy mátrix akkor határozatlan, ha nem pozitív vagy negatív félig meghatározott.

A szimmetrikus mátrix akkor és csak akkor pozitív határozott, ha az összes sajátértékek pozitívak. A jobb oldali táblázat kettőt mutat lehetséges esetek 2x2 mátrixokhoz.

Ha két különböző vektort használunk, akkor bilineáris formát kapunk, amelyhez kapcsolódik A:

Ortogonális mátrix

Ortogonális mátrix egy négyzetes mátrix valós elemekkel, amelyek oszlopai és sorai ortogonális egységvektorok (azaz ortonormálisak). Az ortogonális mátrixot olyan mátrixként is meghatározhatja, amelynek inverze megegyezik a transzponáltjával:

honnan származik

Ortogonális mátrix A mindig visszafordítható ( A −1 = A T), egységes ( A −1 = A*), és normál ( A*A = A.A.*). Bármely ortonormális mátrix determinánsa +1 vagy -1. Lineáris leképezésként bármely +1 determinánsú ortonormális mátrix egyszerű forgatás, míg bármely −1 determinánsú ortonormális mátrix vagy egyszerű tükrözés vagy tükrözés és elforgatás összetétele.

Tevékenységek

Nyomon követni

Döntő det( A) vagy | A| négyzetmátrix A egy olyan szám, amely meghatározza a mátrix bizonyos tulajdonságait. Egy mátrix akkor és csak akkor invertálható, ha a determinánsa nem nulla.

Mátrix definíciója– meghatározott számú sort és oszlopot tartalmazó számtáblázatnak nevezik

A mátrix elemei a ij alakú számok, ahol i a sor száma j az oszlop száma

1. példa i = 2 j = 3

Kijelölés: A=

A mátrixok típusai:

1. Ha a sorok száma nem egyenlő az oszlopok számával, akkor a mátrix meghívásra kerül négyszögletes:

2. Ha a sorok száma megegyezik az oszlopok számával, akkor a mátrix meghívásra kerül négyzet:

A négyzetmátrix sorainak vagy oszlopainak számát nevezzük annak sorrendben. A példában n = 2

Tekintsünk egy n rendű négyzetmátrixot:

Az a 11, a 22 ......., a nn elemeket tartalmazó átlót nevezzük fő- , és az a 12, a 2 n -1, …….a n 1 elemeket tartalmazó átló kiegészítő.

Olyan mátrixot hívunk, amelyben csak a főátlón lévő elemek nullától eltérőek átlós:

4. példa n=3

3. Ha egy átlós mátrix elemei 1, akkor a mátrixot hívjuk egyetlenés az E betű jelöli:

6. példa n=3

4. Olyan mátrixot nevezünk, amelynek minden eleme egyenlő nullával nulla mátrixot és O betűvel jelöljük

7. példa

5. Háromszög alakú Az n-edrendű mátrix egy négyzetes mátrix, amelynek a főátló alatt található összes eleme nulla:

8. példa n=3

Műveletek a mátrixokon:

Az A és B mátrix összege egy C mátrix, amelynek elemei egyenlők az A és B mátrixok megfelelő elemeinek összegével.

Csak olyan mátrixok adhatók hozzá, amelyeknek ugyanannyi sora és oszlopa van.

Az A mátrix és a k szám szorzata olyan kA mátrixot nevezünk, amelynek minden eleme egyenlő ka ij-vel

10. példa

Ha egy mátrixot megszorozunk egy számmal, akkor a mátrix összes elemét megszorozzuk ezzel a számmal.

Mátrixok szorzata Egy mátrix mátrixszal való szorzásához ki kell választani az első mátrix első sorát, és meg kell szorozni a második mátrix első oszlopának megfelelő elemeivel, és össze kell adni az eredményt. Helyezze ezt az eredményt az eredménymátrixba az 1. sorba és a 10. oszlopba. Ugyanezeket a műveleteket hajtjuk végre az összes többi elemmel: 1. sor a második oszlopig, 3. stb., majd a következő sorokkal.

11. példa

Az A mátrix szorzata B mátrixszal csak akkor lehetséges, ha az első mátrix oszlopainak száma megegyezik a második mátrix oszlopainak számával.

- a mű létezik;

- a mű nem létezik

Példák 12 nincs mit megszorozni a II. mátrix utolsó sorát, azaz. a mű nem létezik

Mátrix transzponálás A sorelemek oszlopelemekre cserélésének műveletét:

13. példa

Hatalomra emeléssel egy mátrix önmagával való szekvenciális szorzásának nevezzük.

A mátrix egy téglalap alakú számtáblázat, amelyből áll m azonos hosszúságú vonalak ill n egyenlő hosszúságú oszlopok.

aij- benne lévő mátrixelem én -edik sor és j oszlop.

A rövidség kedvéért a mátrixot egyetlen nagybetűvel is jelölhetjük, pl. A vagy BAN BEN.

Általában egy méretmátrix m× nírd meg így

Példák:

Ha egy mátrixnak ugyanannyi sora van, mint az oszlopok száma, akkor a mátrix meghívásra kerül négyzet, és a sorok vagy oszlopok számát hívjuk meg sorrendben mátrixok. A fenti példákban a második mátrix négyzet – sorrendje 3, a negyedik mátrix pedig 1.

Olyan mátrixot hívunk meg, amelyben a sorok száma nem egyenlő az oszlopok számával négyszögletes. A példákban ez az első és a harmadik mátrix.

Főátló négyzetmátrixnak a bal felsőtől a jobb alsó sarok felé haladó átlót nevezzük.

Olyan négyzetmátrixot nevezünk, amelyben a főátló alatti összes elem nullával egyenlő háromszög alakú mátrix.

.

Egy négyzetmátrixot, amelyben minden elem, kivéve talán a főátlón lévőket, egyenlő nullával, az ún. átlós mátrix. Például, vagy.

Olyan átlós mátrixot nevezünk, amelyben minden átlós elem egyenlő eggyel egyetlen mátrixot és E betűvel jelöljük. Például egy 3. rendű azonosságmátrix alakja .

vissza a tartalomhoz

(36)85. Mik azok a lineáris műveletek mátrixokon? Példák.

Minden olyan esetben, amikor új matematikai objektumok kerülnek bevezetésre, meg kell állapodni a velük való működés szabályairól, és azt is meg kell határozni, hogy mely objektumok tekintendők egyenlőnek egymással.

A tárgyak természete nem számít. Ezek lehetnek valós vagy komplex számok, vektorok, mátrixok, karakterláncok vagy valami más.

A szabványos műveletek közé tartoznak a lineáris műveletek, nevezetesen: szorzás egy számmal és összeadás; ebben az esetben - egy mátrix szorzata egy számmal és mátrixok összeadása.

Amikor egy mátrixot megszorozunk egy számmal, minden mátrixelemet megszorozunk ezzel a számmal, és a mátrixösszeadás magában foglalja az egyenértékű pozíciókban elhelyezkedő elemek páronkénti összeadását.

Terminológiai kifejezés "lineáris kombináció"<" (векторов, матриц, строк, столбцов и так далее) всегда означает одно и тоже: алгебраическая сумма этих векторов (или матриц, строк, столбцов и так далее), предварительно умноженных на числовые коэффициенты.

Mátrixok A = || a i j|| És B = || a i j|| egyenlőnek tekintendők, ha azonos méretekkel rendelkeznek, és a megfelelő mátrixelemeik páronként egyenlőek:

Mátrix összeadás Az összeadási művelet csak azonos méretű mátrixokra van definiálva. A mátrixösszeadás eredménye A = || a i j|| És B = || b i j|| a mátrix C = || c i j|| , melynek elemei egyenlők a megfelelő mátrixelemek összegével.