Mit jelent másodfokú trinomit faktorozni. Példák faktoring polinomokra

Fontos számunkra az Ön személyes adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

Amikor kérelmet nyújt be az oldalon, összegyűjthetjük különféle információk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, címét Email stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik, hogy egyedi ajánlatokkal, promóciókkal és egyéb eseményekkel és közelgő eseményekkel kapcsolatba léphessünk Önnel.
Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.

Információk közlése harmadik felek számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

Szükség esetén - a törvénynek, a bírósági eljárásnak, a bírósági eljárásnak megfelelően és/vagy nyilvános megkeresés vagy kormányzati szervek az Orosz Föderáció területén - adja ki személyes adatait. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

A négyzetes trinom az ax^2+bx+c alakú polinom, ahol x változó, a, b és c néhány szám, és a nem egyenlő nullával.
Valójában az első dolog, amit tudnunk kell ahhoz, hogy figyelembe vehessük a balszerencsés trinomit, az a tétel. Így néz ki: „Ha x1 és x2 gyök másodfokú trinomikus ax^2+bx+c, majd ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).” Természetesen ennek a tételnek van bizonyítása, de ehhez némi elméleti tudás kell (ha kivesszük az a tényezőt az ax^2+bx+c polinomból, akkor ax^2+bx+c=a(x^2) +(b/a) x + c/a) Viette tétele szerint x1+x2=-(b/a), x1*x2=c/a, tehát b/a=-(x1+x2), c/ a=x1*x2 , x^2+ (b/a)x+c/a= x^2- (x1+x2)x+ x1x2=x^2-x1x-x2x+x1x2=x(x-x1) -x2(x-x1 )= (x-x1)(x-x2) Ez azt jelenti, hogy ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) Néha a tanárok kényszerítik a bizonyítás megtanulását, de). ha nem kötelező, azt tanácsolom, hogy jegyezd meg a végső képletet.

2. lépés

Vegyük például a 3x^2-24x+21 trinomit. Az első dolog, amit tennünk kell, hogy egyenlővé kell tenni a trinomit nullával: 3x^2-24x+21=0. A kapott másodfokú egyenlet gyökei rendre a trinom gyökei lesznek.

3. lépés

Oldjuk meg a 3x^2-24x+21=0 egyenletet. a=3, b=-24, c=21. Szóval, döntsük el. Aki nem tudja, hogyan döntsön másodfokú egyenletek, nézze meg az utasításaimat, ahol 2 megoldási módot találhat, ugyanazt az egyenletet példaként használva. A kapott gyökök x1=7, x2=1.

4. lépés

Most, hogy megvannak a trinomiális gyökei, nyugodtan behelyettesíthetjük őket az =) ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) képletbe.
kapjuk: 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-1)
Megszabadulhat a kifejezéstől, ha zárójelbe teszi: 3x^2-24x+21=(x-7)(x*3-1*3)
eredményül kapjuk: 3x^2-24x+21=(x-7)(3x-3). Megjegyzés: az eredményül kapott tényezők mindegyike ((x-7), (3x-3) elsőfokú polinom. Ennyi a bővítés =) Ha kétségei vannak a kapott válaszban, a zárójelek szorzásával mindig ellenőrizheti.

5. lépés

A megoldás ellenőrzése. 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-3)
(x-7)(3x-3)=3x^2-3x-21x+21=3x^2-24x+21. Most már biztosan tudjuk, hogy a döntésünk helyes! Remélem, az utasításaim segíteni fognak valakinek =) Sok sikert a tanuláshoz!

Esetünkben a D > 0 egyenletben 2 gyökot kaptunk. Ha volt D<0, то уравнение, как и многочлен, соответственно, корней бы не имело.
Ha egy négyzetes trinomnak nincs gyöke, akkor nem lehet faktorizálni, amelyek elsőfokú polinomok.

8 példát mutatunk be a faktoring polinomokra. Példákat tartalmaznak másodfokú és kétnegyedes egyenletek megoldására, példákat reciprok polinomokra, valamint példákat harmad- és negyedfokú polinomok egész gyökeinek megtalálására.

1. Példák másodfokú egyenlet megoldására

Példa 1.1

x 4 + x 3 - 6 x 2.

Megoldás

Kivesszük x-et 2 zárójelen kívül:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Az egyenlet gyökerei:
, .

Válasz

Példa 1.2

A harmadfokú polinom tényezője:
x 3 + 6 x 2 + 9 x.

Megoldás

Vegyük ki az x-et a zárójelekből:
.
Az x másodfokú egyenlet megoldása 2 + 6 x + 9 = 0:
Megkülönböztetője: .
Mivel a diszkrimináns nulla, az egyenlet gyöke többszörös: ;
.

Ebből megkapjuk a polinom faktorizációját:
.

Válasz

1.3. példa

Az ötödfokú polinom tényezője:
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3.

Megoldás

Kivesszük x-et 3 zárójelen kívül:
.
Az x másodfokú egyenlet megoldása 2-2 x + 10 = 0.
Megkülönböztetője: .
Mivel a diszkrimináns kisebb, mint nulla, az egyenlet gyökei összetettek: ;
, .

A polinom faktorizálása a következőképpen alakul:
.

Ha érdekel minket a valós együtthatókkal való faktorizálás, akkor:
.

Válasz

Példák faktorálási polinomokra képletekkel

Példák kétnegyedes polinomokra

2.1. példa

Tényező a biquadratikus polinomot:
x 4 + x 2 - 20.

Megoldás

Alkalmazzuk a képleteket:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b).

;
.

Válasz

Példa 2.2

Tényezzük azt a polinomot, amelyik biquadratikusra redukálódik:
x 8 + x 4 + 1.

Megoldás

Alkalmazzuk a képleteket:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b):

;

;
.

Válasz

2.3 példa ismétlődő polinommal

Tényező a reciprok polinomot:
.

Megoldás

A reciprok polinomnak páratlan foka van. Ezért gyöke x = - 1 . Osszuk el a polinomot x-szel - (-1) = x + 1. Ennek eredményeként a következőket kapjuk:
.
Csináljunk egy cserét:
, ;
;

;
.

Válasz

Példák egész gyökű polinomok faktorálására

Példa 3.1

Tényező a polinomot:
.

Megoldás

Tegyük fel, hogy az egyenlet

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6 · (-6) 2 + 11 · (-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6 · (-3) 2 + 11 · (-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6 · (-2) 2 + 11 · (-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6 · (-1) 2 + 11 · (-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.

Tehát három gyökeret találtunk:
x 1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = 3 .
Mivel az eredeti polinom harmadfokú, ezért legfeljebb három gyöke van. Mivel három gyökeret találtunk, ezek egyszerűek. Akkor
.

Válasz

Példa 3.2

Tényező a polinomot:
.

Megoldás

Tegyük fel, hogy az egyenlet

legalább egy egész gyökere van. Ekkor ez a szám osztója 2 (x nélküli tag). Vagyis a teljes gyök a számok egyike lehet:
-2, -1, 1, 2 .
Ezeket az értékeket egyenként helyettesítjük:
(-2) 4 + 2 · (-2) 3 + 3 · (-2) 3 + 4 · (-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2 · (-1) 3 + 3 · (-1) 3 + 4 · (-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54 .
Ha feltételezzük, hogy ennek az egyenletnek egész gyöke van, akkor ez a szám osztója 2 (x nélküli tag). Vagyis a teljes gyök a számok egyike lehet:
1, 2, -1, -2 .
Helyettesítsük x = -1 :
.

Tehát találtunk egy másik x gyökeret 2 = -1 . Az előző esethez hasonlóan lehetséges lenne a polinom elosztása -vel, de a tagokat csoportosítjuk:
.

Mivel az x egyenlet 2 + 2 = 0 nincs valódi gyöke, akkor a polinom faktorizálásának van alakja.

A polinomok kiterjesztése egy szorzat megszerzéséhez néha zavarónak tűnhet. De ez nem olyan nehéz, ha lépésről lépésre megérti a folyamatot. A cikk részletesen leírja, hogyan kell faktorozni egy másodfokú trinomit.

Sokan nem értik, hogyan kell egy négyzetes hármast számolni, és miért van ez így. Elsőre hiábavaló gyakorlatnak tűnhet. De a matematikában semmit sem csinálnak semmiért. Az átalakítás a kifejezés egyszerűsítése és a számítás egyszerűsítése érdekében szükséges.

A – ax²+bx+c alakú polinom, másodfokú trinomiálisnak nevezzük. Az "a" kifejezésnek negatívnak vagy pozitívnak kell lennie. A gyakorlatban ezt a kifejezést másodfokú egyenletnek nevezik. Ezért néha másképp mondják: hogyan tágítsunk ki egy másodfokú egyenletet.

Érdekes! A polinomot a legnagyobb foka, a négyzet miatt négyzetnek nevezzük. És egy trinomiális - a 3 összetevő miatt.

Néhány más típusú polinom:

lineáris binomiális (6x+8);
köbkvadrinomiális (x³+4x²-2x+9).

Másodfokú trinomiális faktorálása

Először is a kifejezés egyenlő nullával, majd meg kell találnia az x1 és x2 gyök értékeit. Lehet, hogy nincsenek gyökerek, lehet egy vagy két gyökér. A gyökerek jelenlétét a diszkrimináns határozza meg. Fejből kell tudni a képletét: D=b²-4ac.

Ha a D eredmény negatív, akkor nincsenek gyökök. Ha pozitív, akkor két gyökér van. Ha az eredmény nulla, akkor a gyökér egy. A gyökereket is a képlet segítségével számítjuk ki.

Ha a diszkrimináns kiszámításakor az eredmény nulla, akkor bármelyik képletet használhatja. A gyakorlatban a képlet egyszerűen lerövidül: -b / 2a.

A különböző diszkriminanciaértékek képletei eltérőek.

Ha D pozitív:

Ha D nulla:

Online számológépek

Van egy online számológép az interneten. Használható faktorizálás végrehajtására. Egyes források lehetőséget biztosítanak a megoldás lépésről lépésre történő megtekintésére. Az ilyen szolgáltatások segítenek a téma jobb megértésében, de meg kell próbálnia jól megérteni.

Hasznos videó: Másodfokú trinomikus faktorálása

Példák

Javasoljuk, hogy nézzen meg egyszerű példákat a másodfokú egyenlet faktorálására.

1. példa

Ez egyértelműen azt mutatja, hogy az eredmény két x, mert D pozitív. Ezeket be kell cserélni a képletbe. Ha a gyökök negatívnak bizonyulnak, a képlet előjele az ellenkezőjére változik.

Ismerjük a másodfokú trinom faktorálásának képletét: a(x-x1)(x-x2). Az értékeket zárójelbe tesszük: (x+3)(x+2/3). Hatványban nincs szám a tag előtt. Ez azt jelenti, hogy van ott egy, az lemegy.

2. példa

Ez a példa világosan bemutatja, hogyan kell megoldani egy egyenletet, amelynek egy gyöke van.

A kapott értéket behelyettesítjük:

3. példa

Adott: 5x²+3x+7

Először is számítsuk ki a diszkriminánst, mint az előző esetekben.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

A diszkrimináns negatív, ami azt jelenti, hogy nincsenek gyökerei.

Az eredmény kézhezvétele után nyissa ki a zárójeleket, és ellenőrizze az eredményt. Meg kell jelennie az eredeti trinomiálisnak.

Alternatív megoldás

Vannak, akik soha nem tudtak megbarátkozni a diszkriminátorral. Van egy másik módja a másodfokú trinom faktorizálásának. Az egyszerűség kedvéért a módszert egy példán mutatjuk be.

Adott: x²+3x-10

Tudjuk, hogy 2 zárójelet kell kapnunk: (_)(_). Ha a kifejezés így néz ki: x²+bx+c, minden zárójel elejére x: (x_)(x_) kerül. A maradék két szám az a szorzat, amely "c"-t ad, azaz ebben az esetben -10. Csak kiválasztással lehet megtudni, hogy melyek ezek a számok. A behelyettesített számoknak meg kell felelniük a fennmaradó tagnak.

Például a következő számok szorzata -10-et kap:

-1, 10;
-10, 1;
-5, 2;
-2, 5.

(x-1) (x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Nem.
(x-10) (x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Nem.
(x-5) (x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Nem.
(x-2) (x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Illik.

Ez azt jelenti, hogy az x2+3x-10 kifejezés transzformációja így néz ki: (x-2)(x+5).

Fontos!Ügyeljen arra, hogy ne keverje össze a jeleket.

Egy összetett trinomiális kiterjesztése

Ha „a” nagyobb, mint egy, nehézségek kezdődnek. De nem minden olyan nehéz, mint amilyennek látszik.

A faktorizáláshoz először meg kell nézni, hogy bármit ki lehet-e venni.

Például a következő kifejezéssel: 3x²+9x-30. Itt a 3-as szám ki van véve a zárójelből:

3(x²+3x-10). Az eredmény a már jól ismert trinomikus. A válasz így néz ki: 3(x-2)(x+5)

Hogyan lehet felbontani, ha a négyzetben lévő tag negatív? Ebben az esetben a -1 számot kivesszük a zárójelekből. Például: -x²-10x-8. A kifejezés ekkor így fog kinézni:

A séma alig különbözik az előzőtől. Csak néhány újdonság van. Tegyük fel, hogy a kifejezés adott: 2x²+7x+3. A választ is 2 zárójelbe írjuk, amit ki kell tölteni (_)(_). A 2. zárójelbe x, az 1.-be pedig ami maradt. Így néz ki: (2x_)(x_). Ellenkező esetben az előző séma megismétlődik.

A 3-as számot a következő számok adják:

-1, -3;
-3, -1;
3, 1;
1, 3.

Az egyenleteket úgy oldjuk meg, hogy ezeket a számokat helyettesítjük. Az utolsó lehetőség megfelelő. Ez azt jelenti, hogy a 2x²+7x+3 kifejezés transzformációja így néz ki: (2x+1)(x+3).

Egyéb esetek

Egy kifejezést nem mindig lehet konvertálni. A második módszerrel az egyenlet megoldása nem szükséges. De a kifejezések termékké alakításának lehetőségét csak a diszkriminánson keresztül ellenőrizzük.

Érdemes gyakorolni a másodfokú egyenletek megoldását, hogy a képletek használatakor ne legyen nehézség.

Hasznos videó: trinomiális faktorálás

Következtetés

Bármilyen módon használhatod. De jobb mindkettőt addig gyakorolni, amíg automatikussá nem válnak. A másodfokú egyenletek és a faktorpolinomok helyes megoldásának elsajátítása is szükséges azoknak, akik életüket a matematikával kívánják összekapcsolni. Az összes következő matematikai téma erre épül.