Osztók és többszörösek. Least Common Multiple (LCM) – Definíció, példák és tulajdonságok

Gondoljuk át a megoldást következő feladat. A fiú lépése 75 cm, a lányé pedig 60 cm Meg kell találni azt a legkisebb távolságot, amelyen mindketten egész számú lépést tesznek.

Megoldás. A teljes útnak, amelyen a gyerekek végigmennek, oszthatónak kell lennie 60-nal és 70-nel, mivel mindegyiküknek egész számú lépést kell megtennie. Más szavakkal, a válasznak 75 és 60 többszörösének kell lennie.

Először felírjuk a 75-ös szám összes többszörösét.

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Most írjuk fel azokat a számokat, amelyek 60 többszörösei lesznek.

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Most megtaláljuk azokat a számokat, amelyek mindkét sorban vannak.

• A számok közös többszörösei 300, 600 stb.

Közülük a legkisebb a 300. Ebben az esetben a 75 és 60 számok legkisebb közös többszörösének nevezzük.

Visszatérve a probléma feltételére, a legkisebb távolság, amelyen a srácok egész számú lépést tesznek meg, 300 cm lesz a fiú 4 lépésben, a lánynak pedig 5 lépést kell megtennie.

A legkisebb közös többszörös meghatározása

• Két a és b természetes szám legkisebb közös többszöröse a legkisebb természetes szám, amely a és b többszöröse.

Ahhoz, hogy megtaláljuk két szám legkisebb közös többszörösét, nem szükséges ezeknek a számoknak az összes többszörösét egymás után felírni.

A következő módszert használhatja.

Hogyan találjuk meg a legkisebb közös többszöröst

Először is fel kell bontani ezeket a számokat elsődleges tényezők.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Most írjuk fel mindazokat a tényezőket, amelyek az első szám (2,2,3,5) kiterjesztésében szerepelnek, és adjuk hozzá a második szám (5) bővítéséből származó összes hiányzó tényezőt.

Ennek eredményeként prímszámok sorozatát kapjuk: 2,2,3,5,5. Ezeknek a számoknak a szorzata lesz a legkevésbé gyakori tényező ezeknél a számoknál. 2*2*3*5*5 = 300.

Általános séma a legkisebb közös többszörös megtalálására

• 1. Oszd fel a számokat prímtényezőkre!
• 2. Írja le az egyik legfontosabb tényezőt!
• 3. Adja hozzá mindazokat a tényezőkhöz, amelyek a többiek bővítésében szerepelnek, de a kiválasztottban nem.
• 4. Keresse meg az összes felírt tényező szorzatát!

Ez a módszer univerzális. Használható tetszőleges számú természetes szám legkisebb közös többszörösének megtalálására.

Az LCM (legkisebb közös többszörös) megtalálása

Két egész szám legkisebb közös többszöröse az összes szám közül a legkisebb, amely maradék nélkül osztható mindkét adott számmal.

1. módszer. Az LCM-et viszont minden adott számhoz megtalálhatja, növekvő sorrendben kiírva az összes számot, amelyet úgy kapunk, hogy megszorozzuk őket 1-gyel, 2-vel, 3-mal, 4-gyel stb.

Példa a 6-os és 9-es számokhoz.
A 6-ot egymás után megszorozzuk 1-gyel, 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel.
Kapunk: 6, 12, 18 , 24, 30
A 9-et egymás után megszorozzuk 1-gyel, 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel.
Kapunk: 9, 18 , 27, 36, 45
Amint látja, a 6-os és 9-es számok LCM-je 18 lesz.

Ez a módszer akkor kényelmes, ha mindkét szám kicsi, és könnyű megszorozni őket egész számok sorozatával. Vannak azonban olyan esetek, amikor meg kell találni az LCM-et a kétjegyű ill háromjegyű számok, és akkor is, ha három vagy akár több kezdő szám van.

2. módszer. Az LCM-et úgy találhatja meg, hogy az eredeti számokat prímtényezőkké alakítja.
A dekompozíció után a kapott prímtényezők sorából azonos számokat kell kihúzni. Az első szám fennmaradó számai a második szorzóját jelentik, a második szám fennmaradó számai pedig az első szorzóját.

Példa a 75-ös és 60-as számokhoz.
A 75 és 60 számok legkisebb közös többszöröse megtalálható anélkül, hogy ezeknek a számoknak a többszöröseit sorba írnánk. Ehhez vegyen 75-öt és 60-at egyszerű tényezőkre:
75 = 3 * 5 * 5, a
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Mint látható, a 3. és 5. faktor mindkét sorban megjelenik. Mentálisan „áthúzzuk” őket.
Írjuk fel az egyes számok bővítésében szereplő fennmaradó tényezőket. A 75-ös szám bontásánál marad az 5-ös szám, a 60-as szám bontásánál pedig 2*2
Ez azt jelenti, hogy a 75-ös és 60-as számok LCM-jének meghatározásához meg kell szoroznunk a 75-ből (ez 5-ből) fennmaradó számokat 60-zal, és meg kell szoroznunk a 60-as kiterjesztésből fennmaradó számokat (ez 2 * 2). ) 75-tel. Vagyis a könnyebb érthetőség kedvéért azt mondjuk, hogy „keresztbe” szorozunk.
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Így találtuk meg a 60-as és 75-ös számok LCM-jét. Ez a 300-as szám.

Példa. Határozza meg a 12, 16, 24 számok LCM-jét
Ebben az esetben a cselekedeteink valamivel bonyolultabbak lesznek. De először, mint mindig, faktorizáljuk az összes számot
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Az LCM helyes meghatározásához az összes szám közül kiválasztjuk a legkisebbet (ez a 12-es szám), és egymás után végigmegyünk a faktorain, áthúzva azokat, ha legalább egy másik számsorban ugyanazzal a tényezővel találkozunk, amelyet még nem. át lett húzva.

1. lépés . Látjuk, hogy a 2 * 2 minden számsorozatban előfordul. Húzzuk át őket.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

2. lépés. A 12-es szám prímtényezőiben csak a 3-as szám marad meg, de a 24-es szám prímtényezőiben benne van. A 3-as számot mindkét sorból kihúzzuk, míg a 16-oshoz nem szükséges semmilyen művelet. .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Mint látható, a 12-es szám felbontásakor az összes számot „áthúztuk”. Ez azt jelenti, hogy a LOC megtalálása befejeződött. Már csak az értékét kell kiszámítani.
A 12-es számhoz vegye a 16-os szám fennmaradó tényezőit (növekvő sorrendben a következő)
12 * 2 * 2 = 48
Ez a NOC

Amint láthatja, ebben az esetben az LCM megtalálása valamivel nehezebb volt, de ha három vagy több számhoz kell megtalálnia, ez a módszer lehetővé teszi, hogy gyorsabban megtegye. Az LCM megtalálásának mindkét módszere azonban helyes.

Matematikából rengeteg feladatot kapnak az iskolások. Közülük nagyon gyakran a következő megfogalmazással vannak problémák: két jelentése van. Hogyan találjuk meg a megadott számok legkisebb közös többszörösét? Az ilyen feladatokat el kell tudni végezni, hiszen a megszerzett készségeket a törtekkel való munkavégzésre használják fel, amikor különböző nevezők. Ebben a cikkben megvizsgáljuk, hogyan lehet megtalálni a LOC-t és az alapvető fogalmakat.

Mielőtt megtalálná a választ arra a kérdésre, hogyan találja meg az LCM-et, meg kell határoznia a többszörös kifejezést. Ennek a fogalomnak a megfogalmazása leggyakrabban így hangzik: egy bizonyos A többszöröse egy természetes szám, amely maradék nélkül osztható A-val. Tehát 4 esetén a többszörösei 8, 12, 16, 20 és így tovább, a szükséges határig.

Ebben az esetben egy adott érték osztóinak száma korlátozható, de a többszörösek végtelenül sokak. Ugyanez vonatkozik a természeti értékekre is. Ez egy mutató, amely maradék nélkül van felosztva rájuk. Miután megértette bizonyos mutatók legkisebb értékének fogalmát, térjünk át annak megtalálására.

A NOC megtalálása

Két vagy több kitevő legkisebb többszöröse az a legkisebb természetes szám, amely teljes mértékben osztható az összes megadott számmal.

Számos módja van egy ilyen érték megtalálásának, fontolja meg a következő módszereket:

1. Ha a számok kicsik, írd fel egy sorba mindazokat, amelyek oszthatók vele. Addig csináld ezt, amíg valami közöset nem találsz köztük. Írásban K betűvel jelöljük. Például 4 és 3 esetén a legkisebb többszörös 12.
2. Ha ezek nagyok, vagy 3 vagy több érték többszörösét kell megtalálnia, akkor más technikát kell használnia, amely magában foglalja a számok prímtényezőkre történő felosztását. Először rakja ki a felsorolt ​​legnagyobbat, majd az összes többit. Mindegyiknek megvan a maga szorzószáma. Példaként bontsuk fel a 20-at (2*2*5) és az 50-et (5*5*2). A kisebbiknél húzd alá a tényezőket, és add hozzá a legnagyobbhoz. Az eredmény 100 lesz, ami a fenti számok legkisebb közös többszöröse.
3. 3 szám (16, 24 és 36) keresésekor az elvek ugyanazok, mint a másik kettőnél. Bővítsük ki mindegyiket: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. A 16-os szám bővítéséből csak két kettő nem szerepelt a legnagyobb bővítésében. Ezeket összeadjuk, és 144-et kapunk, ami a legkisebb eredmény a korábban feltüntetett számértékeknél.

Most már tudjuk, mi az általános technika két, három vagy több érték legkisebb értékének meghatározására. Vannak azonban privát módszerek is, segít a NOC keresésében, ha az előzőek nem segítenek.

Hogyan lehet megtalálni a GCD-t és a NOC-t.

Magán keresési módszerek

Mint minden matematikai résznél, az LCM megtalálásának vannak speciális esetei, amelyek bizonyos helyzetekben segítenek:

• ha az egyik szám maradék nélkül osztható a többivel, akkor e számok legkisebb többszöröse egyenlő vele (60 és 15 LCM-je 15);
• a viszonylag prímszámoknak nincs közös prímtényezője. Legkisebb értékük e számok szorzatával egyenlő. Így a 7-es és 8-as számok esetében 56 lesz;
• ugyanez a szabály más esetekben is működik, beleértve a speciális eseteket is, amelyekről a szakirodalomban olvashatunk. Ide tartoznak az összetett számok dekompozícióinak esetei is, amelyek az egyes cikkek, sőt kandidátusi értekezések témái.

A speciális esetek kevésbé gyakoriak, mint a szabványos példák. De nekik köszönhetően megtanulhat dolgozni a különböző bonyolultságú frakciókkal. Ez különösen igaz a törtekre, ahol egyenlőtlen nevezők vannak.

Néhány példa

Nézzünk meg néhány példát, amelyek segítenek megérteni a legkisebb többszörös keresésének elvét:

1. Keresse meg a LOC-t (35; 40). Először 35 = 5*7, majd 40 = 5*8 bontjuk fel. Adjon hozzá 8-at a legkisebb számhoz, és kapjon LOC 280-at.
2. NOC (45; 54). Mindegyiket felbontjuk: 45 = 3*3*5 és 54 = 3*3*6. A 6-os számot hozzáadjuk 45-höz. 270-nek megfelelő LCM-et kapunk.
3. Nos, az utolsó példa. Van 5 és 4. Ezeknek nincs prímszorosa, így ebben az esetben a legkisebb közös többszörösük a szorzatuk lesz, ami egyenlő 20-zal.

A példáknak köszönhetően megértheti, hogyan található a NOC, mik az árnyalatok és mi az ilyen manipulációk jelentése.

A NOC megtalálása sokkal könnyebb, mint amilyennek elsőre tűnik. Ehhez egyszerű bővítést és szorzást is használnak egyszerű értékek Egymás. A matematika ezen részével való munkavégzés segít a matematikai témák, különösen a törtek további tanulmányozásában különböző mértékben nehézségek.

Ne felejtse el rendszeresen megoldani a példákat különféle módszerek, ez fejleszti a logikai apparátust és lehetővé teszi számtalan kifejezés emlékezését. Tanulja meg, hogyan találhat ilyen kitevőt, és jól teljesíthet a többi matematikai szakaszban. Boldog matematika tanulást!

Videó

Ez a videó segít megérteni és emlékezni arra, hogyan találja meg a legkisebb közös többszöröst.

Hogyan lehet megtalálni a legkisebb közös többszöröst?

Meg kell találnunk mind a két szám mindegyik tényezőjét, amelyekre a legkisebb közös többszöröst találtuk, majd meg kell szorozni egymással azokat a tényezőket, amelyek az első és a második számban egybeesnek. A termék eredménye a szükséges többszörös lesz.

Például megvan a 3 és 5 szám, és meg kell találnunk az LCM-et (legkisebb közös többszörös). Minket szorozni kellés három és öt minden 1 2 3-tól kezdődő számhoz ...és így tovább, amíg mindkét helyen ugyanazt a számot nem látjuk.

Szorozzuk meg a hármat, és kapjuk: 3, 6, 9, 12, 15

Szorozzuk meg öttel, és kapjuk: 5, 10, 15

A prímtényezős módszer a legklasszikusabb módszer több szám legkisebb közös többszörösének (LCM) megtalálására. Ezt a módszert világosan és egyszerűen bemutatja a következő videó:

Az összeadás, szorzás, osztás, közös nevezőre redukálás és egyéb számtani műveletek nagyon izgalmas tevékenység, különösen csodálom azokat a példákat, amelyek egy egész lapot foglalnak el.

Tehát keresse meg két szám közös többszörösét, amely az a legkisebb szám, amellyel a két szám el van osztva. Szeretném megjegyezni, hogy a jövőben nem szükséges képletekhez folyamodni ahhoz, hogy megtaláld, amit keresel, ha fejben tudsz számolni (és ez tanítható), akkor maguk a számok is felbukkannak a fejedben és akkor a frakciók dióként megrepednek.

Először tanuljuk meg, hogy két számot meg lehet szorozni egymással, majd csökkenteni ezt a számot, és felváltva osztani ezzel a két számmal, így megtaláljuk a legkisebb többszöröst.

Például két szám 15 és 6. Szorozzuk meg, és kapjunk 90-et. Ez nyilvánvaló nagyobb szám. Ráadásul a 15 osztható 3-mal, a 6 pedig osztható 3-mal, ami azt jelenti, hogy 90-et is osztunk 3-mal. 30-at kapunk. Megpróbáljuk 30-zal osztani 15 egyenlő 2-vel. És 30 oszt 6 egyenlő 5-tel. Mivel 2 a határ, fordul ki, hogy a számok legkisebb többszöröse 15, a 6 pedig 30 lesz.

Nagyobb számokkal ez egy kicsit nehezebb lesz. de ha tudod, hogy melyik szám ad nulla maradékot osztásnál vagy szorzásnál, akkor elvileg nincs nagy nehézség.

• Hogyan lehet megtalálni a NOC-t

  Íme egy videó, amely két módszert kínál a legkisebb közös többszörös (LCM) megtalálására. A javasolt módszerek közül az első gyakorlása után jobban megértheti, mi a legkisebb közös többszörös.

Egy másik módszert mutatok be a legkisebb közös többszörös megtalálására. Nézzük meg egy világos példával.

Egyszerre három szám LCM-jét kell megtalálnia: 16, 20 és 28.

• Minden számot prímtényezőinek szorzataként ábrázolunk:
• Felírjuk az összes prímtényező hatványait:

16 = 224 = 2^24^1

20 = 225 = 2^25^1

28 = 227 = 2^27^1

• Kiválasztjuk az összes legnagyobb hatványú prímosztót (szorzót), megszorozzuk őket, és megtaláljuk az LCM-et:

LCM = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.

LCM(16; 20; 28) = 560.

Így a számítás eredménye az 560 szám lett. Ez a legkisebb közös többszörös, azaz maradék nélkül osztható mind a három számmal.

A legkisebb közös többszörös olyan szám, amely több megadott számra osztható anélkül, hogy maradékot hagyna. Egy ilyen szám kiszámításához minden számot ki kell venni, és egyszerű tényezőkre kell bontani. Az egyező számok törlődnek. Mindenkit egyenként hagy, egymás között megszorozza őket, és megkapja a kívántat - a legkisebb közös többszöröst.

NOC, ill legkisebb közös többszörös, két vagy több számból álló legkisebb természetes szám, amely maradék nélkül osztható a megadott számokkal.

Íme egy példa a 30 és 42 legkisebb közös többszörösének megtalálására.

• Az első lépés ezeknek a számoknak a prímtényezőkbe való beszámítása.

30-nál 2x3x5.

42 esetén ez 2 x 3 x 7. Mivel a 2 és a 3 a 30-as szám bővítésében szerepel, áthúzzuk őket.

• Felírjuk azokat a tényezőket, amelyek a 30-as szám bővítésében benne vannak. Ez 2 x 3 x 5.
• Most meg kell szoroznunk őket a hiányzó tényezővel, ami a 42 bővítésekor megvan, ami 7. 2 x 3 x 5 x 7-et kapunk.
• Megtaláljuk, hogy 2 x 3 x 5 x 7 mi egyenlő, és 210-et kapunk.

Ennek eredményeként azt találjuk, hogy a 30 és 42 számok LCM-je 210.

Megtalálni a legkisebb közös többszöröst, egymás után többet kell végrehajtania egyszerű műveletek. Nézzük meg ezt két számmal példaként: 8 és 12

1. Mindkét számot prímtényezőkké alakítjuk: 8=2*2*2 és 12=3*2*2
2. Az egyik szám ugyanazon tényezőit csökkentjük. Esetünkben a 2 * 2 egybeesik, csökkentsük őket a 12-es számra, akkor a 12-ből egy tényező marad: 3.
3. Keresse meg az összes fennmaradó tényező szorzatát: 2*2*2*3=24

Ellenőrizzük, hogy a 24 osztható-e 8-cal és 12-vel is, és ez a legkisebb természetes szám, amely osztható ezekkel a számokkal. Itt vagyunk megtalálta a legkisebb közös többszöröst.

Megpróbálom elmagyarázni a 6-os és a 8-as számokat példaként, a legkisebb közös többszörös egy olyan szám, amely osztható ezekkel a számokkal (esetünkben 6 és 8), és nem lesz maradék.

Tehát először elkezdjük szorozni a 6-ot 1-gyel, 2-vel, 3-mal stb. és a 8-at 1-gyel, 2-vel, 3-mal stb.

Két szám legkisebb közös többszöröse közvetlenül kapcsolódik e számok legnagyobb közös osztójához. Ez kapcsolat a GCD és a NOC között a következő tétel határozza meg.

Tétel.

Két pozitív egész a és b legkisebb közös többszöröse egyenlő a és b szorzatával osztva a legnagyobbal közös osztó a és b számok, azaz LCM(a, b)=a b:GCD(a, b).

Bizonyíték.

Hadd M az a és b számok többszöröse. Azaz M osztható a-val, és az oszthatóság definíciója szerint van olyan k egész szám, amelyre az M=a·k egyenlőség igaz. De M is osztható b-vel, akkor a·k osztható b-vel.

Jelöljük gcd(a, b)-t d-ként. Ekkor felírhatjuk az a=a 1 ·d és b=b 1 ·d egyenlőségeket, és a 1 =a:d és b 1 =b:d relatív prímszámok lesznek. Következésképpen az előző bekezdésben kapott feltétel, hogy a · k osztható b-vel, a következőképpen újrafogalmazható: a 1 · d · k osztva b 1 · d -vel, és ez az oszthatósági tulajdonságok miatt ekvivalens a feltétellel. hogy a 1 · k osztható b 1 -gyel.

A vizsgált tételből két fontos következményt is le kell írni.

Két szám közös többszörösei megegyeznek a legkisebb közös többszörösük többszörösével.

Ez valóban így van, mivel az a és b számok M bármely közös többszörösét az M=LMK(a, b)·t egyenlőség határozza meg valamilyen t egész értékre.

A koprím legkisebb közös többszöröse pozitív számok a és b egyenlő a szorzatukkal.

Ennek a ténynek az indoklása teljesen nyilvánvaló. Mivel a és b viszonylag prím, akkor gcd(a, b)=1, ezért GCD(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

Három vagy több szám legkisebb közös többszöröse

Három vagy több szám legkisebb közös többszörösének megtalálása lecsökkenthető két szám LCM-jének szekvenciális meghatározására. Hogy ez hogyan történik, azt a következő tétel jelzi, hogy a a 1 , a 2 , …, a k egybeesnek az m k-1 számok közös többszöröseivel, a k tehát egybeesnek az m k szám közös többszörösével. És mivel az m k szám legkisebb pozitív többszöröse maga az m k szám, akkor az a 1, a 2, ..., a k számok legkisebb közös többszöröse m k.

Bibliográfia.

• Vilenkin N.Ya. és a matematika. 6. évfolyam: tankönyv általános oktatási intézmények számára.
• Vinogradov I.M. A számelmélet alapjai.
• Mikhelovich Sh.H. Számelmélet.
• Kulikov L.Ya. és mások az algebrai és a számelméleti feladatok gyűjteménye: oktatóanyag fizika és matematika szakos hallgatók számára. pedagógiai intézetek szakterületei.