A szinusz, koszinusz és érintő képletei. Alapvető trigonometrikus azonosságok, megfogalmazásaik és származtatásuk

A trigonometria a matematikai tudomány egyik ága, amely a trigonometrikus függvényeket és azok geometriában való felhasználását vizsgálja. A trigonometria fejlődése az ókori Görögországban kezdődött. A középkor folyamán fontos hozzájárulás A Közel-Kelet és India tudósai hozzájárultak e tudomány fejlődéséhez.

Ez a cikk a trigonometria alapvető fogalmaival és definícióival foglalkozik. A fő definícióit tárgyalja trigonometrikus függvények: szinusz, koszinusz, érintő és kotangens. Jelentésüket a geometria kontextusában magyarázzuk és szemléltetjük.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kezdetben a trigonometrikus függvények definícióit, amelyek argumentuma egy szög, egy derékszögű háromszög oldalainak arányában fejezték ki.

A trigonometrikus függvények definíciói

Egy szög szinusza (sin α) az ezzel a szöggel ellentétes szár és a hipotenusz aránya.

Szög koszinusza (cos α) - arány szomszédos láb a hypotenushoz.

Szög érintő (t g α) - az ellenkező oldal és a szomszédos oldal aránya.

Szög kotangens (c t g α) - a szomszédos oldal és az ellenkező oldal aránya.

Ezeket a definíciókat a hegyesszög derékszögű háromszög!

Adjunk egy illusztrációt.

A C derékszögű ABC háromszögben az A szög szinusza megegyezik a BC láb és az AB hipotenusz arányával.

A szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definíciói lehetővé teszik ezen függvények értékeinek kiszámítását a háromszög oldalainak ismert hosszából.

Fontos emlékezni!

A szinusz és koszinusz értéktartománya -1 és 1 között van. Más szóval a szinusz és a koszinusz értéke -1 és 1 között van. Az érintő és a kotangens értéktartománya a teljes számegyenes, vagyis ezek a függvények bármilyen értéket felvehetnek.

A fent megadott definíciók hegyesszögekre vonatkoznak. A trigonometriában bevezetik az elforgatási szög fogalmát, amelynek értéke a hegyesszöggel ellentétben nem korlátozódik 0 és 90 fok között. .

Ebben az összefüggésben definiálhatunk tetszőleges nagyságú szög szinuszát, koszinuszát, érintőjét és kotangensét. Képzeljünk el egy egységkört, amelynek középpontja a derékszögű koordinátarendszer origójában van.

Az (1, 0) koordinátákkal rendelkező A kezdőpont az egységkör középpontja körül egy bizonyos α szögben elfordul, és az A 1 pontba kerül. A definíciót az A 1 (x, y) pont koordinátáiban adjuk meg.

A forgási szög szinusza (sin).

Az α elforgatási szög szinusza az A 1 (x, y) pont ordinátája. sin α = y

Az elforgatási szög koszinusza (cos).

Az α elforgatási szög koszinusza az A 1 (x, y) pont abszcissza. cos α = x

Az elforgatási szög érintője (tg).

Az α forgásszög érintője az A 1 (x, y) pont ordinátájának az abszcisszához viszonyított aránya. t g α = y x

Az elforgatási szög kotangense (ctg).

Az α elforgatási szög kotangense az A 1 (x, y) pont abszcisszájának az ordinátájához viszonyított aránya. c t g α = x y

A szinusz és a koszinusz bármely elforgatási szöghez definiálva van. Ez logikus, mert egy pont abszcissza és ordinátája elforgatás után tetszőleges szögben meghatározható. Más a helyzet az érintővel és a kotangenssel. Az érintő definiálatlan, ha egy pont az elforgatás után egy nulla abszcissza (0, 1) és (0, - 1) pontba kerül. Ilyen esetekben a t g α = y x érintő kifejezésnek egyszerűen nincs értelme, mivel nullával való osztást tartalmaz. Hasonló a helyzet a kotangenssel is. A különbség az, hogy a kotangens nincs meghatározva olyan esetekben, amikor egy pont ordinátája nullára megy.

Fontos emlékezni!

A szinusz és a koszinusz bármely α szögre definiálva van.

Az érintő minden szögre definiálva van, kivéve α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

A kotangens minden szögre definiálva van, kivéve α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Gyakorlati példák megoldásánál ne mondjuk, hogy „az α forgásszög szinusza”. A „forgásszög” szavakat egyszerűen kihagytuk, ami arra utal, hogy a szövegkörnyezetből már világos, hogy miről van szó.

Számok

Mi a helyzet egy szám szinuszának, koszinuszának, érintőjének és kotangensének meghatározásával, és nem a forgásszögével?

Egy szám szinusz, koszinusz, érintő, kotangens

Egy szám szinusza, koszinusza, érintője és kotangense t egy olyan szám, amely egyenlő a szinusz, a koszinusz, az érintő és a kotangens in t radián.

Például a 10 π szám szinusza egyenlő a 10 π rad elforgatási szög szinuszával.

Van egy másik megközelítés a szám szinuszának, koszinuszának, érintőjének és kotangensének meghatározására. Nézzük meg közelebbről.

Bármilyen valós szám t az egységkör egy pontja a derékszögű derékszögű koordinátarendszer origójának középpontjához kapcsolódik. A szinusz, a koszinusz, az érintő és a kotangens ennek a pontnak a koordinátáin keresztül határozható meg.

A kör kezdőpontja az (1, 0) koordinátákkal rendelkező A pont.

Pozitív szám t

Negatív szám t megfelel annak a pontnak, ahová a kezdőpont fog menni, ha a kört az óramutató járásával ellentétes irányban mozog, és áthalad a t úton.

Most, hogy létrejött a kapcsolat egy szám és egy kör pontja között, továbblépünk a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definíciójára.

Sine (sin) a t

Egy szám szinusza t- a számnak megfelelő egységkör pontjának ordinátája t. sin t = y

t koszinusza (cos).

Egy szám koszinusza t- a számnak megfelelő egységkör pontjának abszcisszán t. cos t = x

t érintője (tg).

Egy szám érintője t- a számnak megfelelő egységkör egy pontjának ordinátájának és abszcisszájának aránya t. t g t = y x = sin t cos t

A legújabb meghatározások összhangban vannak a jelen bekezdés elején megadott meghatározással, és nem mondanak ellent annak. Mutasson a számnak megfelelő körön t, egybeesik azzal a ponttal, ahová a kiindulási pont egy szöges elfordulás után megy t radián.

Szög- és numerikus argumentum trigonometrikus függvényei

Az α szög minden értéke ennek a szögnek a szinuszának és koszinuszának egy bizonyos értékének felel meg. Csakúgy, mint minden α szög, kivéve α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) egy bizonyos érintőértéknek felel meg. A kotangens a fentiek szerint minden α-ra definiálva van, kivéve α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Azt mondhatjuk, hogy sin α, cos α, t g α, c t g α az alfa szög függvényei, vagy a szögargumentum függvényei.

Hasonlóképpen beszélhetünk szinuszról, koszinuszról, érintőről és kotangensről, mint egy numerikus argumentum függvényéről. Minden valós szám t egy szám szinuszának vagy koszinuszának egy bizonyos értékének felel meg t. A π 2 + π · k, k ∈ Z kivételével minden szám érintőértéknek felel meg. A kotangens ehhez hasonlóan minden számra definiálva van, kivéve π · k, k ∈ Z.

A trigonometria alapfunkciói

Szinusz, koszinusz, érintő és kotangens az alapvető trigonometrikus függvények.

Általában a szövegkörnyezetből kiderül, hogy a trigonometrikus függvény melyik argumentumával (szögargumentumával vagy numerikus argumentumával) van dolgunk.

Térjünk vissza a legelején megadott definíciókhoz és az alfa szöghez, amely 0 és 90 fok között van. A szinusz, koszinusz, érintő és kotangens trigonometrikus definíciói teljes mértékben összhangban vannak geometriai meghatározások, amelyet egy derékszögű háromszög oldalarányaival adunk meg. Mutassuk meg.

Vegyünk egy derékszögű derékszögű koordinátarendszerben egy középpontos egységkört. Forgassuk el az A (1, 0) kezdőpontot legfeljebb 90 fokos szöggel, és az így kapott A 1 (x, y) pontból húzzunk merőlegest az abszcissza tengelyére. A kapott derékszögű háromszög az A 1 O H szög egyenlő az α elfordulási szöggel, az O H szár hossza egyenlő az A 1 (x, y) pont abszcisszán. A szöggel szemközti láb hossza megegyezik az A 1 (x, y) pont ordinátájával, a befogó hossza pedig eggyel, mivel ez az egységkör sugara.

A geometriai definíció szerint az α szög szinusza egyenlő a szemközti oldal és a hipotenúzus arányával.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Ez azt jelenti, hogy egy derékszögű háromszögben egy hegyesszög szinuszának a képarányon keresztül történő meghatározása egyenértékű az α elforgatási szög szinuszának meghatározásával, ahol az alfa 0 és 90 fok közötti tartományban van.

Hasonlóképpen kimutatható a definíciók megfelelése a koszinuszra, az érintőre és a kotangensre.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

A matematika egyik olyan területe, amellyel a diákok a legtöbbet küzdenek, a trigonometria. Nem meglepő: ahhoz, hogy szabadon elsajátíthasd ezt a tudásterületet, szükséged van térbeli gondolkodásra, arra, hogy képletekkel szinuszokat, koszinuszokat, érintőket, kotangenseket találj, a kifejezéseket leegyszerűsítsd, és a pi számot használd. számításokat. Ezen túlmenően a tételek bizonyításakor tudnia kell trigonometriát használni, ehhez pedig vagy fejlett matematikai memóriára, vagy összetett logikai láncok levezetésének képességére van szükség.

A trigonometria eredete

Ennek a tudománynak a megismerését a szinusz, a koszinusz és a szög tangensének meghatározásával kell kezdeni, de először meg kell értenie, mit csinál a trigonometria általában.

Történelmileg a matematikai tudomány ezen ágának fő vizsgálati tárgya a derékszögű háromszög volt. A 90 fokos szög jelenléte lehetővé teszi különféle műveletek végrehajtását, amelyek lehetővé teszik a kérdéses ábra összes paraméterének értékének meghatározását két oldal és egy szög vagy két szög és egy oldal használatával. A múltban az emberek észrevették ezt a mintát, és aktívan kezdték használni az épületek építésében, a navigációban, a csillagászatban és még a művészetben is.

Első fázis

Kezdetben az emberek a szögek és az oldalak kapcsolatáról beszéltek kizárólag a derékszögű háromszögek példáján. Ezután speciális képleteket fedeztek fel, amelyek lehetővé tették a felhasználás határainak kiterjesztését Mindennapi élet a matematikának ez az ága.

A trigonometria tanulmányozása az iskolában ma derékszögű háromszögekkel kezdődik, ezt követően a tanulók a megszerzett tudást a fizikában és absztrakt trigonometrikus egyenletek megoldásában használják fel, ami a középiskolában kezdődik.

Szférikus trigonometria

Később, amikor a tudomány a fejlődés következő szintjére ért, a szinuszos, koszinuszos, érintős és kotangenses képleteket elkezdték használni a gömbgeometriában, ahol más szabályok érvényesek, és a háromszög szögeinek összege mindig több, mint 180 fok. Ez a szekció nem tanulják az iskolában, de legalább azért tudni kell a létezéséről, mert a földfelszín és bármely más bolygó felszíne domború, ami azt jelenti, hogy minden felületi jelölés háromdimenziósan „ív alakú” lesz. hely.

Vegyük a földgömböt és a fonalat. Rögzítse a szálat a földgömb bármely két pontjához úgy, hogy feszes legyen. Figyelem: ív alakot öltött. Ilyen formákkal foglalkozik a gömbgeometria, amelyet a geodézia, a csillagászat és más elméleti és alkalmazott területeken használnak.

Derékszögű háromszög

Miután egy kicsit elsajátítottuk a trigonometria használatának módjait, térjünk vissza az alapvető trigonometriához, hogy jobban megértsük, mi az a szinusz, koszinusz, érintő, milyen számításokat lehet elvégezni a segítségükkel és milyen képleteket kell használni.

Az első lépés a derékszögű háromszöggel kapcsolatos fogalmak megértése. Először is, a hipotenusz a 90 fokos szöggel ellentétes oldal. Ez a leghosszabb. Emlékszünk arra, hogy a Pitagorasz-tétel szerint annak numerikus érték egyenlő a másik két oldal négyzetösszegének gyökével.

Például, ha a két oldal 3, illetve 4 centiméter, akkor a hipotenusz hossza 5 centiméter lesz. Egyébként az ókori egyiptomiak körülbelül négy és fél ezer évvel ezelőtt tudtak erről.

A két fennmaradó oldalt, amelyek derékszöget alkotnak, lábaknak nevezzük. Ezenkívül emlékeznünk kell arra, hogy egy téglalap alakú koordináta-rendszerben a háromszög szögeinek összege 180 fokkal egyenlő.

Meghatározás

Végül a geometriai alap szilárd ismeretében fordulhatunk a szög szinuszának, koszinuszának és tangensének meghatározásához.

A szög szinusza az ellenkező oldal (azaz a szemközti oldal) aránya kívánt szög) a hypotenusához. A szög koszinusza a szomszédos oldal és a hipotenusz aránya.

Ne feledje, hogy sem a szinusz, sem a koszinusz nem lehet nagyobb egynél! Miért? Mivel a hipotenusz alapértelmezés szerint a leghosszabb. Nem számít, milyen hosszú a láb, rövidebb lesz, mint a hipotenusz, ami azt jelenti, hogy az arányuk mindig kisebb lesz, mint egy. Így, ha egy feladatra adott válaszában 1-nél nagyobb értékű szinust vagy koszinust kap, keressen hibát a számításokban vagy az érvelésben. Ez a válasz egyértelműen helytelen.

Végül egy szög érintője a szemközti oldal és a szomszédos oldal aránya. A szinusz koszinuszos osztásával ugyanazt az eredményt kapjuk. Nézd: a képlet szerint az oldal hosszát elosztjuk a befogóval, majd elosztjuk a második oldal hosszával, és megszorozzuk a befogóval. Így ugyanazt az összefüggést kapjuk, mint az érintő definíciójában.

Ennek megfelelően a kotangens a sarokkal szomszédos oldal és az ellenkező oldal aránya. Ugyanezt az eredményt kapjuk, ha elosztjuk az egyiket az érintővel.

Tehát megvizsgáltuk a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definícióit, és áttérhetünk a képletekre.

A legegyszerűbb képletek

A trigonometriában nem nélkülözheti a képleteket - hogyan lehet nélkülük szinust, koszinust, érintőt, kotangenst találni? De pontosan erre van szükség a problémák megoldásához.

Az első képlet, amelyet tudnia kell a trigonometria tanulmányozásának megkezdésekor, azt mondja, hogy egy szög szinuszának és koszinuszának négyzeteinek összege eggyel egyenlő. Ez a képlet egyenes következménye a Pitagorasz-tételnek, de időt takarít meg, ha a szög méretét kell ismerni, nem pedig az oldalt.

Sok diák nem emlékszik a második képletre, amely szintén nagyon népszerű a megoldás során iskolai feladatokat: egynek és a szög érintőjének négyzetének összege egyenlő egy osztva a szög koszinuszának négyzetével. Nézze meg közelebbről: ez ugyanaz az állítás, mint az első képletben, csak az azonosság mindkét oldalát elosztottuk a koszinusz négyzetével. Kiderült, hogy egy egyszerű matematikai művelet teljesen felismerhetetlenné teszi a trigonometrikus képletet. Ne feledje: a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens, transzformációs szabályok és számos alapvető képlet ismeretében bármikor levezetheti a szükséges összetettebb képleteket egy papírlapon.

Képletek kettős szögekhez és argumentumok összeadásához

Két további képlet, amelyet meg kell tanulnia, a szinusz és a koszinusz értékéhez kapcsolódik a szögek összegéhez és különbségéhez. Ezeket az alábbi ábra mutatja be. Kérjük, vegye figyelembe, hogy az első esetben a szinusz és a koszinusz mindkét alkalommal megszorozódik, a második esetben pedig a szinusz és a koszinusz páros szorzata adódik össze.

A kettős szög argumentumokhoz képletek is kapcsolódnak. Teljesen az előzőekből származnak – edzésként próbálja meg saját maga is megszerezni őket az alfa szög felvételével egyenlő a szöggel béta.

Végül vegye figyelembe, hogy a dupla szög képletek átrendezhetők a szinusz, koszinusz, érintő alfa hatványának csökkentése érdekében.

Tételek

Az alapvető trigonometria két fő tétele a szinusztétel és a koszinusztétel. Ezeknek a tételeknek a segítségével könnyen megértheti, hogyan kell megtalálni a szinusz, a koszinusz és az érintő, tehát az ábra területét, az egyes oldalak méretét stb.

A szinusztétel kimondja, hogy a háromszög mindkét oldalának hosszát az ellenkező szöggel elosztva ugyanannyit kapunk. Ezenkívül ez a szám egyenlő lesz a körülírt kör két sugarával, vagyis azzal a körrel, amely egy adott háromszög összes pontját tartalmazza.

A koszinusztétel általánosítja a Pitagorasz-tételt, bármely háromszögre vetítve. Kiderül, hogy a két oldal négyzeteinek összegéből vonjuk ki a szorzatukat a szomszédos szög kettős koszinuszával szorozva - a kapott érték egyenlő lesz a harmadik oldal négyzetével. Így a Pitagorasz-tétel a koszinusztétel speciális esetének bizonyul.

Gondatlan hibák

Még annak tudatában is, hogy mi a szinusz, koszinusz és tangens, könnyen tévedhetünk a figyelmetlenség vagy a legegyszerűbb számítások hibája miatt. Az ilyen hibák elkerülése érdekében nézzük meg a legnépszerűbbeket.

Először is, ne konvertálja a törteket tizedesjegyekké, amíg meg nem kapja a végeredményt - a választ hagyhatja közönséges tört, hacsak a feltételek másként nem rendelkeznek. Az ilyen átalakulást nem lehet hibának nevezni, de emlékezni kell arra, hogy a probléma minden szakaszában új gyökerek jelenhetnek meg, amelyeket a szerző elképzelése szerint csökkenteni kell. Ebben az esetben felesleges matematikai műveletekre pazarolja az idejét. Ez különösen igaz az olyan értékekre, mint a három vagy a kettő gyökere, mivel ezek minden lépésnél megtalálhatók a problémákban. Ugyanez vonatkozik a „csúnya” számok kerekítésére is.

Figyeljük meg továbbá, hogy a koszinusztétel bármely háromszögre vonatkozik, a Pitagorasz-tételre azonban nem! Ha tévedésből elfelejti kivonni az oldalak szorzatának kétszeresét a köztük lévő szög koszinuszával, akkor nemcsak teljesen rossz eredményt kap, hanem a tárgy megértésének teljes hiányát is mutatja. Ez rosszabb, mint egy gondatlan tévedés.

Harmadszor, ne keverje össze a 30 és 60 fokos szögek értékeit szinuszokhoz, koszinuszokhoz, érintőkhöz, kotangensekhez. Ne felejtse el ezeket az értékeket, mert a 30 fok szinusza egyenlő a 60 koszinuszával, és fordítva. Könnyű összetéveszteni őket, aminek következtében elkerülhetetlenül hibás eredményt kap.

Alkalmazás

Sok diák nem siet a trigonometria tanulmányozásával, mert nem érti a gyakorlati jelentését. Mit jelent a szinusz, koszinusz, tangens egy mérnök vagy csillagász számára? Ezek olyan fogalmak, amelyek segítségével kiszámíthatja a távoli csillagok távolságát, megjósolhatja a meteorit esését, vagy kutatószondát küldhet egy másik bolygóra. Ezek nélkül lehetetlen épületet építeni, autót tervezni, kiszámítani a felület terhelését vagy egy tárgy pályáját. És ezek csak a legtöbbek nyilvánvaló példák! Végül is a trigonometriát ilyen vagy olyan formában mindenhol használják, a zenétől az orvostudományig.

Végül

Tehát szinusz, koszinusz, érintő. Használhatja őket számítások során, és sikeresen megoldhatja az iskolai feladatokat.

A trigonometria lényege abban rejlik, hogy egy háromszög ismert paramétereinek felhasználásával ki kell számítani az ismeretleneket. Összesen hat paraméter van: hossz három oldalaés a három szög mérete. Az egyetlen különbség a feladatok között abban rejlik, hogy különböző bemeneti adatokat adunk meg.

Most már tudja, hogyan kell szinust, koszinust, érintőt találni a lábak vagy a hipotenusz ismert hossza alapján. Mivel ezek a kifejezések nem jelentenek mást, mint egy arányt, és az arány tört, fő cél A trigonometrikus probléma egy közönséges egyenlet vagy egyenletrendszer gyökereinek megtalálása lesz. És itt a rendszeres iskolai matematika segít.

A szinusz és a koszinusz eredetileg a mennyiségek derékszögű háromszögben történő kiszámításának szükségességéből keletkezett. Észrevettük, hogy ha egy derékszögű háromszögben a szögek mértékét nem változtatjuk meg, akkor a méretarány, bármennyire is változik ezeknek az oldalaknak a hossza, mindig ugyanaz marad.

Így került bevezetésre a szinusz és a koszinusz fogalma. A derékszögű háromszög hegyesszögének szinusza a szemközti oldal és az alsó oldal aránya, a koszinusz pedig a befogóval szomszédos oldal aránya.

Koszinusz és szinusz tételei

A koszinuszokat és szinuszokat azonban nem csak derékszögű háromszögekre lehet használni. Bármely háromszög tompa vagy hegyesszögének vagy oldalának értékének meghatározásához elegendő a koszinuszok és szinuszok tételét alkalmazni.

A koszinusztétel meglehetősen egyszerű: „Egy háromszög egyik oldalának négyzete egyenlő a másik két oldal négyzeteinek összegével, mínusz ezen oldalak és a köztük lévő szög koszinuszának szorzata.”

A szinusztételnek két értelmezése van: kicsi és kiterjesztett. A moll szerint: "Egy háromszögben a szögek arányosak a szemközti oldalakkal." Ezt a tételt gyakran kiterjesztik a háromszög körülírt körének tulajdonsága miatt: „Egy háromszögben a szögek arányosak a szemközti oldalakkal, és arányuk megegyezik a körülírt kör átmérőjével.”

Származékok

A derivált egy matematikai eszköz, amely megmutatja, hogy egy függvény milyen gyorsan változik az argumentumában bekövetkezett változáshoz képest. A származékokat a geometriában és számos műszaki tudományágban használják.

A feladatok megoldása során ismernie kell a trigonometrikus függvények deriváltjainak táblázatos értékeit: szinusz és koszinusz. A szinusz származéka koszinusz, a koszinusz pedig szinusz, de mínusz előjellel.

Alkalmazás a matematikában

A szinuszokat és koszinuszokat különösen gyakran használják derékszögű háromszögek és az ezekkel kapcsolatos feladatok megoldására.

A szinuszok és koszinuszok kényelme a technológiában is megmutatkozik. A szögeket és oldalakat könnyű volt kiértékelni a koszinusz- és szinusztételek segítségével, az összetett alakzatokat és tárgyakat „egyszerű” háromszögekre bontva. Azok a mérnökök, akik gyakran foglalkoznak oldalarányok és fokmértékek számításaival, sok időt és erőfeszítést fordítottak a nem táblázatos szögek koszinuszainak és szinuszainak kiszámítására.

Ezután a Bradis táblák jöttek a segítségre, amelyek több ezer szinusz, koszinusz, érintő és különböző szögű kotangens értékét tartalmazták. BAN BEN szovjet idő néhány tanár arra kényszerítette diákjait, hogy memorizálják a Bradis-táblázatok oldalait.

A radián egy olyan ív szögértéke, amelynek hossza egyenlő a sugárral vagy 57,295779513°.

Fok (geometriában) - a kör 1/360 része vagy 1/90 része derékszög.

π = 3,141592653589793238462… (Pi hozzávetőleges értéke).

Koszinusz táblázat szögekhez: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Ebben a cikkben átfogó pillantást vetünk rá. Az alapvető trigonometrikus azonosságok olyan egyenlőségek, amelyek kapcsolatot létesítenek az egyik szög szinusza, koszinusza, érintője és kotangense között, és lehetővé teszik ezen trigonometrikus függvények bármelyikének megtalálását egy ismert másik szögön keresztül.

Azonnal soroljuk fel a fő trigonometrikus azonosságokat, amelyeket ebben a cikkben elemezünk. Írjuk le őket egy táblázatba, és az alábbiakban megadjuk ezeknek a képleteknek a kimenetét és a szükséges magyarázatokat.

Oldalnavigáció.

Egy szög szinusza és koszinusza közötti kapcsolat

Néha nem a fenti táblázatban felsorolt ​​fő trigonometrikus identitásokról beszélnek, hanem egyetlenegyről alapvető trigonometrikus azonosság kedves . Ennek a ténynek a magyarázata meglehetősen egyszerű: az egyenlőségeket a fő trigonometrikus azonosságból kapjuk, miután mindkét részét elosztjuk a, illetve az egyenlőségekkel. És a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definícióiból következik. Erről részletesebben a következő bekezdésekben fogunk beszélni.

Vagyis különösen érdekes az egyenlőség, amely a fő trigonometrikus azonosság elnevezést kapta.

A fő trigonometrikus azonosság bizonyítása előtt megadjuk annak megfogalmazását: egy szög szinuszának és koszinuszának négyzetösszege azonos eggyel. Most pedig bizonyítsuk be.

Az alapvető trigonometrikus azonosságot nagyon gyakran használják, amikor trigonometrikus kifejezések konvertálása. Lehetővé teszi, hogy egy szög szinuszának és koszinuszának négyzetösszegét eggyel helyettesítsük. Nem ritkábban az alapvető trigonometrikus azonosságot fordított sorrendben használjuk: az egységet bármely szög szinuszának és koszinuszának négyzetösszegével helyettesítjük.

Érintő és kotangens szinuszon és koszinuszon keresztül

Az érintőt és a kotangenst egy látószög szinuszával és koszinuszával összekötő azonosságok és azonnal következik a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definícióiból. Valójában definíció szerint a szinusz az y ordinátája, a koszinusz az x abszcisszája, az érintő pedig az ordináta és az abszcissza aránya, azaz , a kotangens pedig az abszcissza és az ordináta aránya, azaz .

A személyazonosságok ilyen egyértelműségének köszönhetően és Az érintőt és a kotangenst gyakran nem az abszcissza és az ordináta arányán, hanem a szinusz és a koszinusz arányán keresztül határozzák meg. Tehát egy szög érintője ennek a szögnek a szinuszának a koszinuszhoz viszonyított aránya, a kotangens pedig a koszinusz és a szinusz aránya.

Ennek a pontnak a végén meg kell jegyezni, hogy az azonosságok és minden olyan szögre érvényesül, amelynél a bennük szereplő trigonometrikus függvényeknek van értelme. Tehát a képlet bármely -re érvényes, kivéve (különben a nevező nulla lesz, és nem definiáltuk a nullával való osztást), és a képlet - mindenre , különbözik attól , ahol z tetszőleges .

Az érintő és a kotangens kapcsolata

Az előző kettőnél még nyilvánvalóbb trigonometrikus azonosság az alak egy szögének érintőjét és kotangensét összekötő azonosság. . Nyilvánvaló, hogy ez minden más szögre érvényes, mint , különben sem az érintő, sem a kotangens nincs meghatározva.

A képlet bizonyítéka Nagyon egyszerű. Definíció szerint és honnan . A bizonyítást egy kicsit másképp is meg lehetett volna csinálni. Mivel , Azt .

Tehát ugyanannak a szögnek az érintője és kotangense, amelynél értelmet nyernek, .

Először tekintsünk egy kört, amelynek sugara 1 és középpontja (0;0). Bármely αЄR esetén a 0A sugár megrajzolható úgy, hogy a 0A és a 0x tengely közötti szög radián mértéke egyenlő α-val. Az óramutató járásával ellentétes irány pozitívnak tekinthető. Legyen az A sugár végének koordinátái (a,b).

A szinusz definíciója

Definíció: A leírt módon megszerkesztett egységsugár ordinátájával megegyező b számot sinα-val jelöljük, és az α szög szinuszának nevezzük.

Példa: sin 3π cos3π/2 = 0 0 = 0

A koszinusz definíciója

Definíció: Az a számot, amely megegyezik a leírt módon megszerkesztett egységsugár végének abszcisszájával, cosα-val jelöljük, és az α szög koszinuszának nevezzük.

Példa: cos0 cos3π + cos3.5π = 1 (-1) + 0 = 2

Ezek a példák egy szög szinuszának és koszinuszának meghatározását használják az egységsugár és az egységkör végének koordinátái alapján. A vizuálisabb ábrázoláshoz meg kell rajzolnia egy egységkört, és meg kell rajzolnia rajta a megfelelő pontokat, majd meg kell számolnia az abszcisszákat a koszinusz és az ordináták kiszámításához a szinusz kiszámításához.

Érintő meghatározása

Definíció: A tgx=sinx/cosx függvényt x≠π/2+πk, kЄZ esetén az x szög kotangensének nevezzük. A tgx függvény definíciós tartománya minden valós szám, kivéve x=π/2+πn, nЄZ.

Példa: tg0 tgπ = 0 0 = 0

Ez a példa hasonló az előzőhöz. Egy szög érintőjének kiszámításához el kell osztani egy pont ordinátáját az abszcisszával.

A kotangens definíciója

Definíció: A ctgx=cosx/sinx függvényt x≠πk, kЄZ esetén az x szög kotangensének nevezzük. A ctgx = függvény definíciós tartománya minden valós szám, kivéve az x=πk, kЄZ pontokat.

Nézzünk egy példát egy szabályos derékszögű háromszög használatára

Hogy világosabb legyen, mi a koszinusz, szinusz, érintő és kotangens. Nézzünk egy példát egy szabályos derékszögű háromszögre, amelynek szöge y és oldalak a,b,c. Hipoténusz c, a és b lábak rendre. A c hipotenusz és a b y láb közötti szög.

Meghatározás: Az y szög szinusza a szemközti oldal és a hipotenúzus aránya: szinusz = a/c

Meghatározás: Az y szög koszinusza a szomszédos láb és az alsó rész aránya: cosy= in/c

Meghatározás: Az y szög érintője a szemközti oldal és a szomszédos oldal aránya: tgy = a/b

Meghatározás: Az y szög kotangense a szomszédos oldal és a szemközti oldal aránya: ctgy= in/a

Szinusz, koszinusz, érintő és kotangens trigonometrikus függvényeknek is nevezik. Minden szögnek megvan a maga szinusza és koszinusza. És szinte mindenkinek megvan a maga érintője és kotangense.

Úgy tartják, ha megadunk egy szöget, akkor annak szinusza, koszinusza, érintője és kotangense ismert számunkra! És fordítva. Adott egy szinusz, vagy bármely más trigonometrikus függvény, ismerjük a szöget. Még speciális táblázatokat is készítettek, ahol minden szöghez trigonometrikus függvényeket írnak.