Hogyan keressünk egy adott megoldást egy differenciálegyenletre. A legegyszerűbb elsőrendű differenciálegyenletek megoldása

Adott online számológép lehetővé teszi differenciálegyenletek online megoldását. Elég beírni az egyenletet a megfelelő mezőbe, a függvény deriváltját aposztrófon keresztül jelölni, és rákattintani az „egyenlet megoldása” gombra, és a népszerű WolframAlpha weboldal alapján megvalósított rendszer részletesen megadja differenciálegyenlet megoldása teljesen ingyenes. A Cauchy-problémát úgy is meghatározhatja, hogy a teljes halmazból lehetséges megoldások válassza ki az adott kezdeti feltételeknek megfelelő hányadost. A Cauchy-probléma egy külön mezőben van megadva.

Differenciálegyenlet

Alapértelmezés szerint az egyenletben szereplő függvény y egy változó függvénye x. Ha azonban az egyenletbe például y(t)-t ír be, akkor a számológép ezt automatikusan felismeri y változóból van függvény t. Számológép segítségével megteheti differenciálegyenleteket megoldani bármilyen bonyolultságú és típusú: homogén és inhomogén, lineáris vagy nemlineáris, első vagy másodrendű és magasabb rendű, elválasztható vagy el nem választható változókkal rendelkező egyenletek stb. Megoldás diff. az egyenlet elemző formában van megadva, és részletes leírást tartalmaz. A differenciálegyenletek nagyon gyakoriak a fizikában és a matematikában. Számításuk nélkül lehetetlen sok problémát megoldani (főleg a matematikai fizikában).

A differenciálegyenletek megoldásának egyik szakasza a függvények integrálása. A differenciálegyenletek megoldására szabványos módszerek léteznek. Szükséges az egyenleteket y és x elválasztható változókkal rendelkező formára redukálni és az elválasztott függvényeket külön integrálni. Ehhez néha bizonyos cserét kell végrehajtani.

I. Közönséges differenciálegyenletek

1.1. Alapfogalmak és definíciók

A differenciálegyenlet egy független változóra vonatkozó egyenlet x, a szükséges funkciót yés származékai vagy differenciáljai.

Szimbolikusan a differenciálegyenlet a következőképpen van felírva:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Egy differenciálegyenletet közönségesnek nevezünk, ha a szükséges függvény egy független változótól függ.

Differenciálegyenlet megoldása függvénynek nevezzük, amely ezt az egyenletet azonossággá alakítja.

A differenciálegyenlet sorrendje az ebben az egyenletben szereplő legmagasabb derivált sorrendje

Példák.

1. Tekintsünk egy elsőrendű differenciálegyenletet

Ennek az egyenletnek a megoldása az y = 5 ln x függvény. Valóban, helyettesítés y" az egyenletbe, megkapjuk az azonosságot.

Ez pedig azt jelenti, hogy az y = 5 ln x– függvény a megoldás erre a differenciálegyenletre.

2. Tekintsük a másodrendű differenciálegyenletet y" - 5y" +6y = 0. A függvény ennek az egyenletnek a megoldása.

Tényleg,.

Ezeket a kifejezéseket behelyettesítve az egyenletbe a következőt kapjuk: , – azonosság.

Ez pedig azt jelenti, hogy a függvény a megoldás erre a differenciálegyenletre.

Differenciálegyenletek integrálása a differenciálegyenletek megoldásának folyamata.

A differenciálegyenlet általános megoldása az alak függvényének nevezzük , amely annyi független tetszőleges állandót tartalmaz, amennyi az egyenlet sorrendje.

A differenciálegyenlet részleges megoldása tetszőleges állandók különböző számértékeinek általános megoldásából kapott megoldás. A tetszőleges állandók értékei az argumentum és a függvény bizonyos kezdeti értékeinél találhatók.

Egy differenciálegyenlet adott megoldásának grafikonját ún integrálgörbe.

Példák

1. Keressen egy adott megoldást egy elsőrendű differenciálegyenletre!

xdx + ydy = 0, Ha y= 4 at x = 3.

Megoldás. Az egyenlet mindkét oldalát integrálva azt kapjuk

Megjegyzés. Az integráció eredményeként kapott tetszőleges C konstans bármilyen további transzformációhoz alkalmas formában ábrázolható. Ebben az esetben, figyelembe véve a kör kanonikus egyenletét, célszerű egy tetszőleges C állandót a formában ábrázolni.

- a differenciálegyenlet általános megoldása.

Az egyenletnek a kezdeti feltételeket kielégítő sajátos megoldása y = 4 at x = 3-at kapunk az általánosból, ha a kezdeti feltételeket behelyettesítjük az általános megoldásba: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

C=5-öt behelyettesítve az általános megoldásba, azt kapjuk x 2 +y 2 = 5 2 .

Ez egy speciális megoldása egy általános megoldásból adott kezdeti feltételek mellett kapott differenciálegyenletnek.

2. Keresse meg a differenciálegyenlet általános megoldását!

Ennek az egyenletnek a megoldása bármely formájú függvény, ahol C tetszőleges állandó. Valóban, behelyettesítve az egyenletekbe, a következőt kapjuk: , .

Következésképpen ennek a differenciálegyenletnek végtelen számú megoldása van, mivel a C állandó különböző értékei esetén az egyenlőség az egyenlet különböző megoldásait határozza meg.

Például közvetlen helyettesítéssel ellenőrizheti, hogy a funkciók működnek megoldásai az egyenletnek.

Probléma, amelyben meg kell találnia az egyenletre adott megoldást y" = f(x,y) kielégíti a kezdeti feltételt y(x 0) = y 0, az úgynevezett Cauchy-probléma.

Az egyenlet megoldása y" = f(x,y), kielégíti a kezdeti feltételt, y(x 0) = y 0, a Cauchy-probléma megoldásának nevezik.

A Cauchy-probléma megoldásának egyszerű geometriai jelentése van. Valóban, e meghatározások szerint a Cauchy-probléma megoldására y" = f(x,y) tekintettel arra y(x 0) = y 0, az egyenlet integrálgörbéjének megtalálását jelenti y" = f(x,y) amely áthalad egy adott ponton M 0 (x 0,y 0).

II. Elsőrendű differenciálegyenletek

2.1. Alapfogalmak

Az elsőrendű differenciálegyenlet a forma egyenlete F(x,y,y") = 0.

Az elsőrendű differenciálegyenlet tartalmazza az első deriváltot, és nem tartalmazza a magasabb rendű deriváltokat.

Egyenlet y" = f(x,y) a deriváltra vonatkozóan megoldott elsőrendű egyenletnek nevezzük.

Egy elsőrendű differenciálegyenlet általános megoldása a forma függvénye, amely egy tetszőleges állandót tartalmaz.

Példa. Tekintsünk egy elsőrendű differenciálegyenletet.

Ennek az egyenletnek a megoldása a függvény.

Valóban, ha ezt az egyenletet az értékével helyettesítjük, azt kapjuk

vagyis 3x=3x

Ezért a függvény az egyenlet általános megoldása bármely C állandóra.

Keressen egy adott megoldást ennek az egyenletnek, amely kielégíti a kezdeti feltételt y(1)=1 A kezdeti feltételek helyettesítése x = 1, y = 1 az egyenlet általános megoldásába, honnan kapjuk C=0.

Így az általános megoldásból konkrét megoldást kapunk, ha ebbe az egyenletbe behelyettesítjük a kapott értéket C=0– privát megoldás.

2.2. Differenciálegyenletek elválasztható változókkal

Az elválasztható változókkal rendelkező differenciálegyenlet a következő alakú egyenlet: y"=f(x)g(y) vagy differenciálokon keresztül, hol f(x)És g(y)– meghatározott funkciók.

Azoknak y, amelyre , az egyenlet y"=f(x)g(y) ekvivalens az egyenlettel, amelyben a változó y csak a bal oldalon van jelen, az x változó pedig csak a jobb oldalon. Azt mondják: „Eq. y"=f(x)g(y Válasszuk szét a változókat."

A forma egyenlete elválasztott változó egyenletnek nevezzük.

Az egyenlet mindkét oldalának integrálása Által x, megkapjuk G(y) = F(x) + C az egyenlet általános megoldása, ahol G(y)És F(x)– egyes antiderivatívok, illetve a funkciók és f(x), C tetszőleges állandó.

Algoritmus elválasztható változókkal rendelkező elsőrendű differenciálegyenlet megoldására

1. példa

Oldja meg az egyenletet y" = xy

Megoldás. Függvény származéka y" cserélje ki ezzel

válasszuk szét a változókat

Integráljuk az egyenlőség mindkét oldalát:

2. példa

2yy" = 1-3x2, Ha y 0 = 3 at x 0 = 1

Ez egy elválasztott változó egyenlet. Képzeljük el differenciálműben. Ehhez átírjuk ezt az egyenletet a formába Innen

Az utolsó egyenlőség mindkét oldalát integrálva azt találjuk

A kezdeti értékek behelyettesítése x 0 = 1, y 0 = 3 meg fogjuk találni VEL 9=1-1+C, azaz C = 9.

Ezért a kívánt részintegrál akarat vagy

3. példa

Írj egyenletet egy ponton átmenő görbére! M(2;-3)és szögegyütthatós érintővel rendelkezik

Megoldás. Az állapot szerint

Ez egy elválasztható változókkal rendelkező egyenlet. A változókat elosztva a következőt kapjuk:

Az egyenlet mindkét oldalát integrálva a következőket kapjuk:

A kezdeti feltételeket felhasználva, x = 2És y = -3 meg fogjuk találni C:

Ezért a szükséges egyenletnek megvan a formája

2.3. Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek

Az elsőrendű lineáris differenciálegyenlet alak egyenlete y" = f(x)y + g(x)

Ahol f(x)És g(x)- néhány meghatározott funkció.

Ha g(x)=0 akkor a lineáris differenciálegyenletet homogénnek nevezzük, és a következő alakja van: y" = f(x)y

Ha akkor az egyenlet y" = f(x)y + g(x) heterogénnek nevezzük.

Általános megoldás lineáris homogén differenciálegyenlet y" = f(x)y képlet adja meg: ahol VEL– tetszőleges állandó.

Különösen, ha C = 0, akkor a megoldás az y = 0 Ha egy lineáris homogén egyenletnek van alakja y" = ky Ahol k valamilyen konstans, akkor általános megoldása a következő alakú: .

Lineáris inhomogén differenciálegyenlet általános megoldása y" = f(x)y + g(x) képlet adja meg ,

azok. egyenlő a megfelelő lineáris homogén egyenlet általános megoldásának és ezen egyenlet konkrét megoldásának összegével.

Lineárisra nem homogén egyenlet fajta y" = kx + b,

Ahol kÉs b- néhány szám és egy adott megoldás állandó függvény lesz. Ezért az általános megoldás alakja .

Példa. Oldja meg az egyenletet y" + 2y +3 = 0

Megoldás. Ábrázoljuk az egyenletet a formában y" = -2y - 3 Ahol k = -2, b = -3 Az általános megoldást a képlet adja meg.

Ezért ahol C tetszőleges állandó.

2.4. Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek megoldása Bernoulli módszerrel

Általános megoldás megtalálása egy elsőrendű lineáris differenciálegyenletre y" = f(x)y + g(x) redukál két differenciálegyenletet egymástól elválasztott változókkal helyettesítéssel y=uv, Hol uÉs v- ismeretlen függvények x. Ezt a megoldási módszert Bernoulli-módszernek nevezik.

Algoritmus elsőrendű lineáris differenciálegyenlet megoldására

y" = f(x)y + g(x)

1. Írja be a helyettesítést y=uv.

2. Differenciáld ezt az egyenlőséget! y" = u"v + uv"

3. Helyettesítő yÉs y" ebbe az egyenletbe: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) vagy u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Csoportosítsa az egyenlet tagjait úgy, hogy u vedd ki a zárójelből:

5. A zárójelből, nullával egyenlővé téve keresse meg a függvényt

Ez egy elválasztható egyenlet:

Osszuk el a változókat, és kapjuk:

Ahol . .

6. Cserélje be a kapott értéket v az egyenletbe (a 4. lépéstől):

és keresse meg a függvényt Ez egy elválasztható változókkal rendelkező egyenlet:

7. Írja le az általános megoldást a következő formában: , azaz .

1. példa

Keressen egy adott megoldást az egyenletre y" = -2y +3 = 0 Ha y =1 at x = 0

Megoldás. Oldjuk meg helyettesítéssel y=uv,.y" = u"v + uv"

Helyettesítés yÉs y" ebbe az egyenletbe kapjuk

A második és harmadik tagot az egyenlet bal oldalán csoportosítva kivesszük a közös tényezőt u zárójelből

A zárójelben lévő kifejezést nullával egyenlővé tesszük, és az eredményül kapott egyenlet megoldása után megtaláljuk a függvényt v = v(x)

Elválasztott változókkal egyenletet kapunk. Integráljuk ennek az egyenletnek mindkét oldalát: Keressük meg a függvényt v:

Helyettesítsük be a kapott értéket v az egyenletbe kapjuk:

Ez egy elválasztott változó egyenlet. Integráljuk az egyenlet mindkét oldalát: Keressük meg a függvényt u = u(x,c) Keressünk egy általános megoldást: Keressünk egy adott megoldást az egyenletre, amely kielégíti a kezdeti feltételeket y = 1 at x = 0:

III. Magasabb rendű differenciálegyenletek

3.1. Alapfogalmak és definíciók

A másodrendű differenciálegyenlet olyan egyenlet, amely legfeljebb másodrendű származékokat tartalmaz. Általános esetben egy másodrendű differenciálegyenletet a következőképpen írunk le: F(x,y,y,y") = 0

Egy másodrendű differenciálegyenlet általános megoldása az alak függvénye, amely két tetszőleges állandót tartalmaz C 1És C 2.

A másodrendű differenciálegyenlet sajátos megoldása tetszőleges állandók bizonyos értékeinek általános megoldásából nyert megoldás C 1És C 2.

3.2. Lineáris homogén másodrendű differenciálegyenletek -val állandó együtthatók.

Lineáris homogén másodrendű differenciálegyenlet állandó együtthatókkal formaegyenletnek nevezzük y" + py" +qy = 0, Hol pÉs q- állandó értékek.

Algoritmus homogén másodrendű, állandó együtthatós differenciálegyenletek megoldására

1. Írja fel a differenciálegyenletet a következő formában: y" + py" +qy = 0.

2. Készítse el karakterisztikus egyenletét, jelölve! y" keresztül r 2, y" keresztül r, y 1-ben: r 2 + pr + q = 0

Elsőrendű differenciálegyenletek. Példák megoldásokra.
Differenciálegyenletek elválasztható változókkal

Differenciálegyenletek (DE). Ez a két szó általában megrémíti az átlagembert. Úgy tűnik, hogy a differenciálegyenletek túlzó és nehezen elsajátítható dolgok sok diák számára. Úúúú... differenciálegyenletek, hogyan éljem túl ezt az egészet?!

Ez a vélemény és ez a hozzáállás alapvetően téves, mert valójában DIFFERENCIÁL-EGYENLETEK – EGYSZERŰ ÉS MÉG SZÓRAKOZÁS. Mit kell tudnia és tudnia kell ahhoz, hogy megtanulja a differenciálegyenletek megoldását? A diffúzok sikeres tanulmányozásához jól kell tudnod integrálni és megkülönböztetni. Minél jobban tanulmányozzák a témákat Egy változó függvényének deriváltjaÉs Határozatlan integrál, annál könnyebb lesz megérteni a differenciálegyenleteket. Többet mondok, ha többé-kevésbé tisztességes beilleszkedési készséged van, akkor már majdnem elsajátították a témát! Minél több integrál különféle típusok tudod, hogyan dönts – annál jobb. Miért? Sokat kell integrálnod. És megkülönböztetni. Is nagyon ajánlom tanulni találni.

Az esetek 95%-ában a tesztlapok háromféle elsőrendű differenciálegyenletet tartalmaznak: szétválasztható egyenletek amelyet ebben a leckében fogunk megvizsgálni; homogén egyenletekÉs lineáris inhomogén egyenletek. Azoknak, akik elkezdik tanulmányozni a diffúzorokat, azt javaslom, hogy pontosan ebben a sorrendben olvassák el a leckéket, és az első két cikk tanulmányozása után nem árt, ha egy további műhelyben megszilárdíthatják készségeiket - homogénné redukáló egyenletek.

Vannak még ritkább típusú differenciálegyenletek: teljes differenciálegyenletek, Bernoulli-egyenletek és néhány más. Az utolsó két típus közül a legfontosabb a teljes differenciálegyenletek, mivel ezen a differenciálegyenleten kívül figyelembe veszem új anyag – részleges integráció.

Ha már csak egy-két napod van hátra, Azt az ultragyors elkészítéshez Van villámpálya pdf formátumban.

Szóval, a tereptárgyak készen vannak – gyerünk:

Először is emlékezzünk a szokásos algebrai egyenletekre. Változókat és számokat tartalmaznak. A legegyszerűbb példa: . Mit jelent egy közönséges egyenlet megoldása? Ez a megtalálást jelenti számkészlet, amelyek kielégítik ezt az egyenletet. Könnyen észrevehető, hogy a gyerekek egyenletének egyetlen gyöke van: . Csak a móka kedvéért nézzük meg, és cseréljük be a talált gyökeret az egyenletünkbe:

– a helyes egyenlőséget kapjuk, ami azt jelenti, hogy a megoldást helyesen találtuk meg.

A diffúzorokat nagyjából ugyanígy tervezték!

Differenciálegyenlet első rendelésáltalános esetben tartalmaz:
1) független változó;
2) függő változó (függvény);
3) a függvény első deriváltja: .

Előfordulhat, hogy egyes elsőrendű egyenletekben nincs „x” és/vagy „y”, de ez nem jelentős - fontos hogy menjek a vezérlőterembe volt első származéka, és nem volt magasabb rendű származékai – stb.

Mit jelent ez? A differenciálegyenlet megoldása azt jelenti, hogy megtaláljuk összes funkció készlete, amelyek kielégítik ezt az egyenletet. Az ilyen függvényhalmaznak gyakran van alakja (– tetszőleges állandó), amelyet ún a differenciálegyenlet általános megoldása.

1. példa

Differenciálegyenlet megoldása

Teljes lőszer. Hol kezdjem megoldás?

Először is át kell írni a származékot egy kicsit más formában. Emlékeztetünk a nehézkes megnevezésre, amely valószínűleg sokaknak nevetségesnek és szükségtelennek tűnt. Ez az, ami a diffúzorokban érvényes!

A második lépésben nézzük meg, lehetséges-e külön változók? Mit jelent a változók szétválasztása? Durván szólva, a bal oldalon el kell mennünk csak "görögök", A a jobb oldalon szervez csak "X". A változók felosztása „iskolai” manipulációkkal történik: zárójelbe helyezés, kifejezések részről részre átvitele előjelváltással, tényezők átvitele részről részre az arányosság szabálya szerint stb.

Differenciálok és teljes szorzók és aktív résztvevők az ellenségeskedésben. A vizsgált példában a változók könnyen szétválaszthatók a faktorok arányos szabály szerinti feldobásával:

A változók el vannak választva. A bal oldalon csak az „Y”, a jobb oldalon csak az „X” található.

A következő szakasz az differenciálegyenlet integrálása. Egyszerű, integrálokat teszünk mindkét oldalra:

Természetesen integrálókat kell vennünk. Ebben az esetben táblázatosak:

Mint emlékszünk, minden antiderivatívhoz konstans van hozzárendelve. Itt két integrál van, de elég egyszer felírni a konstanst (mivel a konstans + konstans továbbra is egyenlő egy másik állandóval). A legtöbb esetben a jobb oldalon van elhelyezve.

Szigorúan véve, az integrálok felvétele után a differenciálegyenlet megoldottnak tekinthető. Csak az a helyzet, hogy az „y”-ünket nem „x”-en keresztül fejezzük ki, vagyis a megoldást bemutatjuk egy implicit forma. A differenciálegyenlet megoldását implicit formában ún a differenciálegyenlet általános integrálja. Vagyis ez egy általános integrál.

A válasz ebben a formában teljesen elfogadható, de van-e jobb lehetőség? Próbáljuk megszerezni általános megoldás.

Kérem, emlékezz az első technikára, nagyon gyakori, és gyakran használják gyakorlati feladatokban: ha integrálás után logaritmus jelenik meg a jobb oldalon, akkor sok esetben (de nem mindig!) célszerű a konstanst is a logaritmus alá írni.

vagyis HELYETT bejegyzéseket általában írják .

Miért van erre szükség? És a „játék” kifejezésének megkönnyítése érdekében. A logaritmusok tulajdonságának felhasználása . Ebben az esetben:

Most a logaritmusok és a modulok eltávolíthatók:

A funkció kifejezetten megjelenik. Ez az általános megoldás.

Válasz: általános megoldás: .

A sok differenciálegyenletre adott válaszok meglehetősen könnyen ellenőrizhetők. A mi esetünkben ez egészen egyszerűen megtörténik, vesszük a talált megoldást, és megkülönböztetjük:

Ezután behelyettesítjük a származékot az eredeti egyenletbe:

– megkapjuk a helyes egyenlőséget, ami azt jelenti, hogy az általános megoldás kielégíti az egyenletet, amit ellenőrizni kellett.

Állandót adni különböző jelentések, végtelenül sokat lehet kapni privát megoldások differenciálegyenlet. Nyilvánvaló, hogy a , stb. függvények bármelyike. kielégíti a differenciálegyenletet.

Néha az általános megoldást ún funkciócsalád. IN ebben a példábanáltalános megoldás - ez egy család lineáris függvények, vagy inkább egyenes arányosság családja.

Az első példa alapos áttekintése után célszerű megválaszolni néhány naiv kérdést a differenciálegyenletekkel kapcsolatban:

1)Ebben a példában el tudtuk különíteni a változókat. Ezt mindig meg lehet csinálni? Nem, nem mindig. És még gyakrabban a változókat nem lehet szétválasztani. Például be homogén elsőrendű egyenletek, először ki kell cserélnie. Más típusú egyenletekben, például egy elsőrendű lineáris inhomogén egyenletben, különféle technikákat és módszereket kell alkalmaznia az általános megoldás megtalálásához. Az elválasztható változókkal rendelkező egyenletek, amelyeket az első leckében tárgyalunk, a differenciálegyenletek legegyszerűbb típusai.

2) Mindig lehetséges a differenciálegyenlet integrálása? Nem, nem mindig. Nagyon könnyű egy „divatos” egyenletet kitalálni, amely nem integrálható, ráadásul vannak integrálok, amelyeket nem lehet felvenni. De az ilyen DE-k speciális módszerekkel megközelítőleg megoldhatók. D’Alembert és Cauchy garantálja... ...uh, lurkmore.hogy most sokat olvastam, majdnem hozzátettem, hogy „a másik világból”.

3) Ebben a példában egy megoldást kaptunk általános integrál formájában . Mindig lehet általános integrálból általános megoldást találni, vagyis az „y”-t kifejezetten kifejezni? Nem, nem mindig. Például: . Nos, hogy lehet itt „görögül” kifejezni?! Ilyen esetekben a választ általános integrálként kell írni. Ráadásul néha lehet általános megoldást találni, de olyan körülményesen és ügyetlenül van megírva, hogy jobb, ha a választ általános integrál formájában hagyjuk.

4) ...most talán ennyi is elég. Az első példában találkoztunk másik fontos pont , de hogy ne borítsam el a „bambákat” új információk lavinával, a következő leckére hagyom.

Nem fogunk rohanni. Egy másik egyszerű távirányító és egy másik tipikus megoldás:

2. példa

Keressen egy adott megoldást a differenciálegyenletre, amely kielégíti a kezdeti feltételt

Megoldás: állapot szerint, meg kell találni privát megoldás DE, amely megfelel egy adott kezdeti feltételnek. A kérdésnek ezt a megfogalmazását is nevezik Cauchy probléma.

Először találunk egy általános megoldást. Az egyenletben nincs „x” változó, de ez nem szabad összetéveszteni, a lényeg, hogy legyen az első deriváltja.

A deriváltot átírjuk megfelelő formában:

Nyilvánvalóan a változók szétválaszthatók, a fiúk balra, a lányok jobbra:

Integráljuk az egyenletet:

Az általános integrált megkapjuk. Itt egy állandót rajzoltam csillaggal, az tény, hogy hamarosan egy másik állandóvá változik.

Most megpróbáljuk az általános integrált általános megoldássá alakítani (az „y”-t kifejezetten kifejezni). Emlékezzünk a régi szép dolgokra az iskolából: . Ebben az esetben:

Az indikátorban lévő konstans valahogy nem kósernek tűnik, ezért általában a földre kerül. Részletekben ez így történik. A fokok tulajdonságát felhasználva a függvényt a következőképpen írjuk át:

Ha konstans, akkor valamilyen állandó is, nevezzük át a következő betűvel:

Ne feledje, hogy egy állandó „lerombolása”. második technika, amelyet gyakran használnak differenciálegyenletek megoldásánál.

Tehát az általános megoldás: . Ez az exponenciális függvények szép családja.

A végső szakaszban meg kell találni egy adott megoldást, amely kielégíti az adott kezdeti feltételt. Ez is egyszerű.

Mi a feladat? Fel kell venni ilyen az állandó értéke úgy, hogy a feltétel teljesüljön.

Különféle módon lehet formázni, de valószínűleg ez lesz a legegyértelműbb. Az általános megoldásban az „X” helyett egy nullát, az „Y” helyett pedig egy kettőt cserélünk:



vagyis

Szabványos kiviteli változat:

Most behelyettesítjük a konstans talált értékét az általános megoldásba:
– erre a konkrét megoldásra van szükségünk.

Válasz: privát megoldás:

Ellenőrizzük. A privát megoldás ellenőrzése két szakaszból áll:

Először is ellenőrizni kell, hogy az adott megoldás valóban megfelel-e a kezdeti feltételnek? Az „X” helyett nullát cserélünk, és meglátjuk, mi történik:
- igen, valóban kettős érkezett, ami azt jelenti, hogy a kezdeti feltétel teljesül.

A második szakasz már ismerős. A kapott konkrét megoldást vesszük, és megtaláljuk a származékot:

Behelyettesítjük az eredeti egyenletbe:

– a megfelelő egyenlőség létrejön.

Következtetés: az adott megoldást helyesen találták meg.

Térjünk át értelmesebb példákra.

3. példa

Differenciálegyenlet megoldása

Megoldás:Átírjuk a származékot a szükséges formában:

Értékeljük, hogy el lehet-e különíteni a változókat? Tud. A második tagot előjelváltással jobbra mozgatjuk:

És átvisszük a szorzót az arányosság szabálya szerint:

A változók el vannak választva, integráljuk mindkét részt:

Figyelmeztetnem kell, közeleg az ítélet napja. Ha nem tanultál jól határozatlan integrálok, kevés példát oldott meg, akkor nincs hova mennie – most el kell sajátítania őket.

A bal oldal integrálját könnyű megtalálni, a kotangens integráljával a leckében vizsgált standard technikával foglalkozunk Trigonometrikus függvények integrálása tavaly:

A jobb oldalon van egy logaritmus, és első technikai javaslatom szerint a konstanst is a logaritmus alá kell írni.

Most megpróbáljuk leegyszerűsíteni az általános integrált. Mivel csak logaritmusaink vannak, teljesen lehetséges (és szükséges) megszabadulni tőlük. Használatával ismert tulajdonságait A logaritmusokat minél jobban „pakoljuk”. Nagyon részletesen leírom:

A csomagolás barbár módon rongyosra készült:

Lehetséges a „játék” kifejezése? Tud. Mindkét részt négyszögölni kell.

De ezt nem kell megtenned.

Harmadik technikai tipp: ha egy általános megoldás eléréséhez hatványra kell emelni vagy gyökeret kell ereszteni, akkor a legtöbb esetben tartózkodnia kell ezektől a cselekvésektől, és a választ általános integrál formájában kell hagynia. Az a tény, hogy az általános megoldás egyszerűen szörnyűnek tűnik - nagy gyökerekkel, jelekkel és egyéb szeméttel.

Ezért a választ általános integrál formájában írjuk. Jó gyakorlatnak számít, ha formában jelenítjük meg, vagyis a jobb oldalon, ha lehetséges, csak egy állandót hagyjunk. Ezt nem kötelező megtenni, de mindig előnyös a professzor kedvében járni ;-)

Válasz:általános integrál:

! Jegyzet: Bármely egyenlet általános integrálja több módon is felírható. Tehát, ha az Ön eredménye nem esik egybe a korábban ismert válasszal, az nem jelenti azt, hogy rosszul oldotta meg az egyenletet.

Az általános integrált is elég könnyű ellenőrizni, a lényeg, hogy megtaláljuk egy implicit módon meghatározott függvény deriváltja. Megkülönböztetjük a választ:

Mindkét kifejezést megszorozzuk a következővel:

És ossza el:

Az eredeti differenciálegyenletet pontosan megkaptuk, ami azt jelenti, hogy az általános integrált helyesen találtuk meg.

4. példa

Keressen egy adott megoldást a differenciálegyenletre, amely kielégíti a kezdeti feltételt. Végezzen ellenőrzést.

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania.

Hadd emlékeztesselek arra, hogy az algoritmus két szakaszból áll:
1) általános megoldás megtalálása;
2) a szükséges konkrét megoldás megtalálása.

Az ellenőrzést szintén két lépésben hajtják végre (lásd a mintát a 2. példában), a következőket kell tennie:
1) győződjön meg arról, hogy a talált konkrét megoldás megfelel a kezdeti feltételnek;
2) ellenőrizze, hogy egy adott megoldás általában kielégíti-e a differenciálegyenletet.

Komplett megoldásés a válasz a lecke végén.

5. példa

Keressen egy adott megoldást a differenciálegyenletre , amely kielégíti a kezdeti feltételt. Végezzen ellenőrzést.

Megoldás: Először is keressünk egy általános megoldást. Ez az egyenlet már kész differenciálokat tartalmaz, ezért a megoldás leegyszerűsödik. Különválasztjuk a változókat:

Integráljuk az egyenletet:

A bal oldali integrál táblázatos, a jobb oldali integrált vettük egy függvény differenciáljel alá vonásának módszere:

Megkaptuk az általános integrált, sikeresen kifejezhető az általános megoldás? Tud. Mindkét oldalra logaritmusokat akasztunk. Mivel ezek pozitívak, a modulusjelek szükségtelenek:

(remélem mindenki érti az átalakulást, ilyeneket már tudni kell)

Tehát az általános megoldás:

Keressünk az adott kezdeti feltételnek megfelelő konkrét megoldást.
Az általános megoldásban „X” helyett nullát, „Y” helyett pedig kettő logaritmusát helyettesítjük:

Ismertebb dizájn:

A konstans talált értékét behelyettesítjük az általános megoldásba.

Válasz: privát megoldás:

Ellenőrzés: Először nézzük meg, hogy teljesül-e a kezdeti feltétel:
- zúg minden.

Most nézzük meg, hogy a talált adott megoldás egyáltalán kielégíti-e a differenciálegyenletet. A származék megkeresése:

Nézzük az eredeti egyenletet: – differenciálokban kerül bemutatásra. Az ellenőrzésnek két módja van. Lehetőség van a különbség kifejezésére a talált deriválttól:

Helyettesítsük be a talált konkrét megoldást és a kapott differenciált az eredeti egyenletbe :

Az alapvető logaritmikus azonosságot használjuk:

Megkapjuk a helyes egyenlőséget, ami azt jelenti, hogy az adott megoldást helyesen találtuk meg.

A második ellenőrzési módszer tükrözött és ismerősebb: az egyenletből Fejezzük ki a származékot, ehhez elosztjuk az összes darabot:

A transzformált DE-be pedig behelyettesítjük a kapott parciális megoldást és a talált deriváltot. Az egyszerűsítések eredményeként a helyes egyenlőséget is el kell érni.

6. példa

Differenciálegyenlet megoldása. Mutassa be a választ általános integrál formájában!

Ez egy példa arra, hogy önállóan oldd meg, teljes megoldást és válaszolj a lecke végén.

Milyen nehézségek várnak elválasztható változókkal rendelkező differenciálegyenletek megoldása során?

1) Nem mindig nyilvánvaló (főleg egy „teáskannánál”), hogy a változók elválaszthatók. Nézzünk egy feltételes példát: . Itt ki kell venni a tényezőket a zárójelből: és el kell választani a gyökereket: . Egyértelmű, hogy mi a következő lépés.

2) Magával az integrációval kapcsolatos nehézségek. Az integrálok gyakran nem a legegyszerűbbek, és ha vannak hibák a keresési készségekben határozatlan integrál, akkor sok diffúzorral nehéz lesz. Ráadásul a „mivel egyszerű a differenciálegyenlet, akkor legalább az integrálok legyenek bonyolultabbak” logika népszerű a gyűjtemények és oktatási kézikönyvek összeállítói körében.

3) Átalakítások állandóval. Amint azt mindenki észrevette, a differenciálegyenletekben a konstans meglehetősen szabadon kezelhető, és néhány transzformáció nem mindig egyértelmű egy kezdő számára. Nézzünk egy másik feltételes példát: . Célszerű az összes kifejezést megszorozni 2-vel: . Az eredményül kapott állandó is valamiféle állandó, amelyet a következővel jelölhetünk: . Igen, és mivel a jobb oldalon van egy logaritmus, akkor célszerű az állandót átírni egy másik állandó formájában: .

Az a baj, hogy gyakran nem foglalkoznak az indexekkel, és ugyanazt a betűt használják. Ennek eredményeként a döntési jegyzőkönyv a következő formában jelenik meg:

Miféle eretnekség? Ott vannak hibák! Szigorúan véve igen. Azonban tartalmi szempontból nincs hiba, mert egy változó állandó transzformációja eredményeként mégis változó állandót kapunk.

Vagy egy másik példa, tegyük fel, hogy az egyenlet megoldása során általános integrált kapunk. Ez a válasz csúnyán néz ki, ezért tanácsos az egyes kifejezések előjelét megváltoztatni: . Formailag van itt még egy hiba - jobbra kell írni. De informálisan azt sugallják, hogy a „mínusz ce” továbbra is állandó ( ami ugyanolyan könnyen bármilyen jelentést felvehet!), így a „mínusz” beírásának nincs értelme, és ugyanazt a betűt használhatja.

Igyekszem kerülni a hanyag megközelítést, és a konstansokhoz továbbra is különböző indexeket rendelek a konvertálás során.

7. példa

Differenciálegyenlet megoldása. Végezzen ellenőrzést.

Megoldás: Ez az egyenlet lehetővé teszi a változók szétválasztását. Különválasztjuk a változókat:

Integráljunk:

Itt nem szükséges az állandót logaritmusként definiálni, mivel ebből semmi hasznos nem lesz.

Válasz:általános integrál:

Ellenőrzés: különböztesse meg a választ ( implicit függvény):

Megszabadulunk a törtektől, ha mindkét tagot megszorozzuk a következővel:

Az eredeti differenciálegyenletet megkaptuk, ami azt jelenti, hogy az általános integrált helyesen találtuk meg.

8. példa

Keresse meg a DE egy adott megoldását.
,

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. Az egyetlen tipp, hogy itt kapsz egy általános integrált, és helyesebben szólva, arra kell törekedned, hogy ne egy konkrét megoldást találj, hanem részintegrál. Teljes megoldás és válasz a lecke végén.

A differenciálegyenlet olyan egyenlet, amely magában foglal egy függvényt és annak egy vagy több származékát. A legtöbb gyakorlati feladatban a függvények fizikai mennyiségeket képviselnek, a deriváltok e mennyiségek változási sebességének felelnek meg, és egy egyenlet határozza meg a köztük lévő kapcsolatot.

Ez a cikk bizonyos típusú közönséges differenciálegyenletek megoldási módszereit tárgyalja, amelyek megoldásai a következő formában írhatók fel: elemi függvények, azaz polinomiális, exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus, valamint ezek inverz függvényei. Ezen egyenletek közül sok megjelenik a igazi életet, bár a legtöbb más differenciálegyenlet nem oldható meg ezekkel a módszerekkel, és ezekre a választ speciális függvények vagy hatványsorok formájában írják fel, vagy numerikus módszerekkel találják meg.

A cikk megértéséhez jártasnak kell lennie a differenciál- és integrálszámításban, valamint a parciális deriváltakat is. A differenciálegyenletekre, különösen a másodrendű differenciálegyenletekre alkalmazott lineáris algebra alapjainak ismerete is ajánlott, bár ezek megoldásához elegendő a differenciál- és integrálszámítás ismerete.

Előzetes információ

• A differenciálegyenletek kiterjedt osztályozással rendelkeznek. Ez a cikk arról szól közönséges differenciálegyenletek, vagyis olyan egyenletekről, amelyek egy változó függvényét és származékait tartalmazzák. A közönséges differenciálegyenleteket sokkal könnyebb megérteni és megoldani, mint parciális differenciálegyenletek, amelyek több változó függvényeit tartalmazzák. Ez a cikk nem tárgyalja a parciális differenciálegyenleteket, mivel az egyenletek megoldására szolgáló módszereket általában az adott formájuk határozza meg.
  • Az alábbiakban néhány példa látható a közönséges differenciálegyenletekre.
    • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
  • Az alábbiakban néhány példát mutatunk be a parciális differenciálegyenletekre.
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2) )f)(\partial y^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
• Rendelés Egy differenciálegyenlet értékét az ebben az egyenletben szereplő legmagasabb derivált sorrendje határozza meg. A fenti közönséges differenciálegyenletek közül az első elsőrendű, míg a második egy másodrendű egyenlet. Fokozat egy differenciálegyenlet azon legnagyobb hatványa, amelyre ennek az egyenletnek az egyik tagját emeljük.
  • Például az alábbi egyenlet harmadrendű és másodfokú.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ jobb)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
• A differenciálegyenlet az lineáris differenciálegyenlet abban az esetben, ha a függvény és összes származéka elsőfokú. Ellenkező esetben az egyenlet nemlineáris differenciálegyenlet. A lineáris differenciálegyenletek abból a szempontból figyelemre méltóak, hogy megoldásaikból olyan lineáris kombinációkat lehet alkotni, amelyek az adott egyenlet megoldásai is lesznek.
  • Az alábbiakban néhány példa látható a lineáris differenciálegyenletekre.
  • Az alábbiakban néhány példát mutatunk be nemlineáris differenciálegyenletekre. Az első egyenlet a szinusztag miatt nemlineáris.
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • d 2 x d t 2 + (n x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
• Általános megoldás A közönséges differenciálegyenlet nem egyedi, hanem magában foglalja tetszőleges integrációs állandók. A legtöbb esetben a tetszőleges állandók száma megegyezik az egyenlet sorrendjével. A gyakorlatban ezeknek az állandóknak az értékeit a megadottak alapján határozzák meg kezdeti feltételek, vagyis a függvény és származékai értékei szerint x = 0. (\displaystyle x=0.) A megtaláláshoz szükséges kezdeti feltételek száma privát megoldás differenciálegyenlet, a legtöbb esetben megegyezik az adott egyenlet sorrendjével is.
  • Ez a cikk például az alábbi egyenlet megoldásával foglalkozik. Ez egy másodrendű lineáris differenciálegyenlet. Általános megoldása két tetszőleges állandót tartalmaz. Ezen állandók megtalálásához ismerni kell a kezdeti feltételeket x (0) (\displaystyle x(0))És x ′ (0) . (\displaystyle x"(0).)Általában a kezdeti feltételeket a ponton adják meg x = 0, (\displaystyle x=0,), bár ez nem szükséges. Ez a cikk azt is tárgyalja, hogyan lehet konkrét megoldásokat találni adott kezdeti feltételekre.
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2 )x=0)
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

Lépések

1. rész

A szolgáltatás használatakor bizonyos információk átkerülhetnek a YouTube-ra.

1. Elsőrendű lineáris egyenletek. IN ezt a részt Az elsőrendű lineáris differenciálegyenletek megoldására szolgáló módszerek általánosságban és olyan speciális esetek, amikor egyes tagok nullával egyenlők. Tegyük fel, hogy y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) p (x) (\displaystyle p(x))És q (x) (\displaystyle q(x)) függvények x. (\displaystyle x.)

   D y d x + p (x) y = q (x) (\megjelenítési stílus (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x) ))
   

   P (x) = 0. (\displaystyle p(x)=0.) A matematikai elemzés egyik fő tétele szerint a függvény deriváltjának integrálja is függvény. Így elég egyszerűen integrálni az egyenletet a megoldás megtalálásához. Figyelembe kell venni, hogy a határozatlan integrál kiszámításakor egy tetszőleges állandó jelenik meg.

   • y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

   Q (x) = 0. (\displaystyle q(x)=0.) A módszert használjuk a változók szétválasztása. Ebben az esetben különféle változók kerülnek átvitelre különböző oldalak egyenletek Például áthelyezheti az összes tagot innen y (\displaystyle y) egy, és az összes tagot x (\displaystyle x) az egyenlet másik oldalára. A tagok átvihetők is d x (\displaystyle (\mathrm (d) )x)És d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), amelyek a származékos kifejezésekben szerepelnek, de nem szabad elfelejteni, hogy ezek csak szimbólum, ami kényelmes a megkülönböztetéskor összetett funkció. E tagok megbeszélése, melyek ún differenciálművek, túlmutat e cikk keretein.

   • Először is át kell helyeznie a változókat az egyenlőségjel ellenkező oldalára.
     • 1 y d y = − p (x) d x (\megjelenítési stílus (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
   • Integráljuk az egyenlet mindkét oldalát. Az integrálást követően mindkét oldalon tetszőleges állandók jelennek meg, amelyek átvihetők az egyenlet jobb oldalára.
     • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
     • y (x) = e − ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Példa 1.1. Az utolsó lépésben a szabályt alkalmaztuk e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b))és lecserélték e C (\displaystyle e^(C))-on C (\displaystyle C), mivel ez is egy tetszőleges integrációs állandó.
     • d y d x − 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
     • 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = − cos ⁡ x + C ln ⁡ y = − 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e − 2 cos ⁡ x (\displaystyle (\begin) )(\frac (1)(2y))(\mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(igazítva)))

   P (x) ≠ 0, q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.) Az általános megoldás megtalálása érdekében bemutattuk integráló tényező függvényében x (\displaystyle x) hogy a bal oldalt közös deriváltra redukáljuk és így megoldjuk az egyenletet.

   • Szorozd meg mindkét oldalt μ (x) (\displaystyle \mu (x))
     • μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
   • Ahhoz, hogy a bal oldalt az általános deriváltra redukáljuk, a következő átalakításokat kell végrehajtani:
     • d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
   • Az utolsó egyenlőség azt jelenti d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). Ez egy olyan integráló tényező, amely elegendő bármely elsőrendű lineáris egyenlet megoldásához. Most levezethetjük a képletet ennek az egyenletnek a megoldásához μ , (\displaystyle \mu ,) bár az edzéshez hasznos az összes köztes számítás elvégzése.
     • μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Példa 1.2. Ez a példa bemutatja, hogyan lehet egy adott megoldást találni egy differenciálegyenletre adott kezdeti feltételek mellett.
     • t d y d t + 2 y = t 2, y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
     • d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
     • μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
     • d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(igazított)(\frac (\mathrm (d)) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(igazított)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4, C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
   
   Elsőrendű lineáris egyenletek megoldása (felvétele: Intuit - National Open University).

2. Nemlineáris elsőrendű egyenletek. Ez a rész néhány elsőrendű nemlineáris differenciálegyenlet megoldásának módszereit tárgyalja. Bár nincs általános módszer az ilyen egyenletek megoldására, néhányat meg lehet oldani az alábbi módszerekkel.

   D y d x = f (x, y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
   d y d x = h (x) g (y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).) Ha a funkció f (x , y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y)) egy változó függvényeire osztható, ilyen egyenletet nevezünk differenciálegyenlet elválasztható változókkal. Ebben az esetben használhatja a fenti módszert:

   • ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )x)
   • Példa 1.3.
     • d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4))))
     • ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\megjelenítési stílus (\) kezdődik(igazított)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1) (2))y^(2)&=(\frac (1) (4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(igazítva)))

   D y d x = g (x , y) h (x , y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).) Tegyük fel, hogy g (x, y) (\displaystyle g(x,y))És h (x, y) (\displaystyle h(x,y)) függvények x (\displaystyle x)És y. (\displaystyle y.) Majd homogén differenciálegyenlet egy egyenlet, amelyben g (\displaystyle g)És h (\displaystyle h) vannak homogén függvények ugyanolyan mértékben. Vagyis a függvényeknek ki kell elégíteniük a feltételt g (α x , α y) = α k g (x , y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),) Ahol k (\displaystyle k) homogenitási foknak nevezzük. Bármely homogén differenciálegyenlet használható megfelelő változók helyettesítése (v = y / x (\displaystyle v=y/x) vagy v = x / y (\displaystyle v=x/y)) alakítsa át elválasztható változókkal rendelkező egyenletté.

   • Példa 1.4. A homogenitás fenti leírása homályosnak tűnhet. Nézzük meg ezt a koncepciót egy példán keresztül.
     • d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
     • Először is meg kell jegyezni, hogy ez az egyenlet nemlineáris a következőhöz képest y. (\displaystyle y.) Azt is látjuk, hogy ebben az esetben lehetetlen a változókat szétválasztani. Ugyanakkor ez a differenciálegyenlet homogén, mivel mind a számláló, mind a nevező homogén 3 hatványával. Ezért változtathatunk a változókon v = y/x. (\displaystyle v=y/x.)
     • d y d x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = v x , d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm) (d) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
     • d v d x x = − 1 v 2. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).) Ennek eredményeként megvan a következő egyenlete v (\displaystyle v) elválasztható változókkal.
     • v (x) = − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
     • y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

   D y d x = p (x) y + q (x) y n . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).) Ez Bernoulli differenciálegyenlet- egy speciális, elsőfokú nemlineáris egyenlet, melynek megoldása elemi függvényekkel írható fel.

   • Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát ezzel (1 − n) y − n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
     • (1 − n) y − n d y d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • A bal oldalon található komplex függvény megkülönböztetésére szolgáló szabályt használjuk, és az egyenletet a következőre alakítjuk lineáris egyenlet viszonylag y 1 − n , (\displaystyle y^(1-n),) amelyeket a fenti módszerekkel lehet megoldani.
     • d y 1 − n d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   M (x, y) + N (x, y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0.) Ez egyenlet a teljes differenciálokban. Meg kell találni az ún potenciális funkció φ (x, y) , (\displaystyle \varphi (x,y),), amely megfelel a feltételnek d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)

   • Ennek a feltételnek a teljesítéséhez rendelkeznie kell teljes származék. A teljes derivált figyelembe veszi a többi változótól való függést. A teljes derivált kiszámításához φ (\displaystyle \varphi )Által x , (\displaystyle x,) azt feltételezzük y (\displaystyle y) attól is függhet x. (\displaystyle x.)
     • d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))+(\frac (\partial \varphi )(\partial y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
   • A feltételek összehasonlítása ad nekünk M (x, y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial x)))És N (x, y) = ∂ φ ∂ y. (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y)).) Ez tipikus eredmény több változós egyenleteknél, amelyekben a sima függvények vegyes deriváltjai egyenlők egymással. Néha ezt az esetet ún Clairaut tétele. Ebben az esetben a differenciálegyenlet teljes differenciálegyenlet, ha a következő feltétel teljesül:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\partial N)(\partial x)))
   • A teljes differenciálegyenletek megoldásának módszere hasonló a potenciális függvények megtalálásához több derivált jelenlétében, amelyet röviden tárgyalunk. Először is integráljuk M (\displaystyle M)Által x. (\displaystyle x.) Mivel M (\displaystyle M) egy függvény és x (\displaystyle x), És y , (\displaystyle y,) az integráció során egy hiányos függvényt kapunk φ , (\displaystyle \varphi ,) néven jelölték meg φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi ))). Az eredmény attól is függ y (\displaystyle y) integrációs állandó.
     • φ (x, y) = ∫ M (x, y) d x = φ ~ (x, y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (d) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
   • Ezek után kapni c (y) (\displaystyle c(y)) tekintetében vehetjük a kapott függvény parciális deriváltját y , (\displaystyle y,) egyenlővé tenni az eredményt N (x, y) (\displaystyle N(x,y))és integrálni. Először is integrálhatja N (\displaystyle N), majd vegyük a parciális deriváltot x (\displaystyle x), amely lehetővé teszi egy tetszőleges függvény megtalálását d(x). (\displaystyle d(x).) Mindkét módszer alkalmas, és általában az egyszerűbb függvényt választják az integrációhoz.
     • N (x, y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y))=(\frac (\) részleges (\tilde (\varphi )))(\partial y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
   • 1.5. példa. Felveheti a részleges deriváltokat, és láthatja, hogy az alábbi egyenlet egy teljes differenciálegyenlet.
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x, y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(igazított)\varphi &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\partial \varphi )(\partial y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(igazított)))
     • d c d y = 0, c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
     • x 3 + x y 2 = C (\megjelenítési stílus x^(3)+xy^(2)=C)
   • Ha a differenciálegyenlet nem teljes differenciálegyenlet, akkor bizonyos esetekben találhat olyan integráló tényezőt, amely lehetővé teszi, hogy teljes differenciálegyenletté konvertálja. Az ilyen egyenleteket azonban ritkán használják a gyakorlatban, és bár az integráló tényező létezik, előfordul, hogy megtalálja nem könnyű, ezért ezeket az egyenleteket ez a cikk nem veszi figyelembe.

2. rész

1. Homogén lineáris differenciálegyenletek állandó együtthatókkal. Ezeket az egyenleteket a gyakorlatban széles körben alkalmazzák, így megoldásuk elsődleges fontosságú. Ebben az esetben nem homogén függvényekről beszélünk, hanem arról, hogy az egyenlet jobb oldalán 0 van heterogén differenciálegyenletek. Alatt a (\displaystyle a)És b (\displaystyle b)állandók.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Karakterisztikus egyenlet. Ez a differenciálegyenlet abból a szempontból figyelemre méltó, hogy nagyon könnyen megoldható, ha odafigyelünk arra, hogy megoldásai milyen tulajdonságokkal rendelkezzenek. Az egyenletből egyértelmű, hogy y (\displaystyle y)és származékai arányosak egymással. A korábbi példákból, amelyeket az elsőrendű egyenletekről szóló részben tárgyaltunk, tudjuk, hogy csak egy exponenciális függvény rendelkezik ezzel a tulajdonsággal. Ezért lehetséges előterjeszteni ansatz(tanult találgatás) arról, hogy mi lesz egy adott egyenlet megoldása.

   • A megoldás exponenciális függvény alakja lesz e r x , (\displaystyle e^(rx),) Ahol r (\displaystyle r) egy állandó, amelynek értékét meg kell találni. Helyettesítse be ezt a függvényt az egyenletbe, és kapja meg a következő kifejezést
     • e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • Ez az egyenlet azt jelzi, hogy egy exponenciális függvény és egy polinom szorzatának nullának kell lennie. Ismeretes, hogy a kitevő nem lehet egyenlő nullával a fok egyetlen értékénél sem. Ebből arra következtetünk, hogy a polinom egyenlő nullával. Így a differenciálegyenlet megoldásának problémáját az algebrai egyenlet megoldásának sokkal egyszerűbb feladatára redukáltuk, amelyet egy adott differenciálegyenletre jellemző egyenletnek nevezünk.
     • r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
   • Két gyökerünk van. Mivel ez a differenciálegyenlet lineáris, általános megoldása részmegoldások lineáris kombinációja. Mivel ez egy másodrendű egyenlet, tudjuk, hogy az igazánáltalános megoldás, és nincs más. Ennek szigorúbb indoklása a megoldás létezéséről és egyediségéről szóló tételekben rejlik, amelyek a tankönyvekben találhatók.
   • Hasznos módszer annak ellenőrzésére, hogy két megoldás lineárisan független-e, a számítás Wronskiana. Vronskian W (\displaystyle W) egy olyan mátrix determinánsa, amelynek oszlopai függvényeket és azok egymást követő deriváltjait tartalmazzák. A lineáris algebra tétele kimondja, hogy a Wronski-függvények lineárisan függőek, ha a Wronski egyenlő nullával. Ebben a részben ellenőrizhetjük, hogy két megoldás lineárisan független-e – ehhez meg kell győződnünk arról, hogy a Wronskian nem nulla. A Wronski-féle inhomogén, állandó együtthatójú differenciálegyenletek változó paraméterekkel történő megoldása során fontos.
     • W = | y 1 y 2 y 1 ′ y 2 ′ | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
   • A lineáris algebra szempontjából egy adott differenciálegyenlet megoldásainak halmaza egy vektorteret alkot, amelynek mérete megegyezik a differenciálegyenlet nagyságrendjével. Ezen a téren lehet bázist választani lineárisan független döntéseket egymástól. Ez annak a ténynek köszönhető, hogy a függvény y (x) (\displaystyle y(x))érvényes lineáris operátor. Származék van lineáris operátor, mivel a differenciálható függvények terét az összes függvény terévé alakítja. Az egyenleteket homogénnek nevezzük azokban az esetekben, amikor bármely lineáris operátor esetén L (\displaystyle L) megoldást kell találnunk az egyenletre L [ y ] = 0. (\displaystyle L[y]=0.)

   Térjünk át most többre konkrét példák. A karakterisztikus egyenlet többszörös gyökének esetét kicsit később, a sorrend redukálásáról szóló részben fogjuk megvizsgálni.

   Ha a gyökerek r ± (\displaystyle r_(\pm )) különböző valós számok, a differenciálegyenletnek a következő megoldása van

   • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\megjelenítési stílus y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))

   Két összetett gyökér. Az algebra alaptételéből az következik, hogy a valós együtthatós polinomiális egyenletek megoldásainak gyökerei valósak vagy konjugált párokat alkotnak. Ezért ha egy komplex szám r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta) akkor a karakterisztikus egyenlet gyöke r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta ) ennek az egyenletnek a gyökere is. Így a megoldást formába írhatjuk c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α − i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x),) azonban ez egy összetett szám, és gyakorlati problémák megoldásához nem kívánatos.

   • Ehelyett használhatja Euler-képlet e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), amely lehetővé teszi, hogy a megoldást alakba írjuk trigonometrikus függvények:
     • e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − i c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ béta x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
   • Most ahelyett, hogy állandó c 1 + c 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2))írd le c 1 (\displaystyle c_(1)), és a kifejezés i (c 1 − c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2))) cserélje ki c 2. (\displaystyle c_(2).) Ezek után a következő megoldást kapjuk:
     • y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin\béta x))
   • Van egy másik módja is a megoldás amplitúdó és fázis szerinti megírásának, ami jobban megfelel a fizikai feladatoknak.
   • 2.1. példa. Keressünk megoldást az alábbiakban megadott differenciálegyenletre a megadott kezdeti feltételekkel. Ehhez ki kell venni a kapott oldatot, valamint származéka, és behelyettesítjük őket a kezdeti feltételekbe, ami lehetővé teszi számunkra tetszőleges állandók meghatározását.
     • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0, x (0) = 1, x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0, r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\fc (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )én)
     • x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\megjelenítési stílus x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1) )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\jobbra))
     • x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
     • x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 ( − 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(aligned)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\jobb)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\jobbra)\end(igazított)))
     • x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2, c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0) = -1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac) (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\jobbra))
   
   N-edrendű differenciálegyenletek megoldása állandó együtthatókkal (az Intuit - National Open University felvétele).

2. Csökkenő sorrend. A sorrendredukció egy módszer differenciálegyenletek megoldására, ha egy lineárisan független megoldás ismert. Ez a módszer abból áll, hogy eggyel csökkentjük az egyenlet sorrendjét, ami lehetővé teszi az egyenlet megoldását az előző részben ismertetett módszerekkel. Legyen ismert a megoldás. A sorrendcsökkentés fő gondolata, hogy megoldást találjunk az alábbi formában, ahol meg kell határozni a funkciót v (x) (\displaystyle v(x)), behelyettesítve a differenciálegyenletbe és megtalálni v(x). (\displaystyle v(x).) Nézzük meg, hogyan lehet a sorrendcsökkentéssel megoldani egy állandó együtthatós és többgyökös differenciálegyenletet.

   
   

   Több gyökér homogén differenciálegyenlet állandó együtthatókkal. Emlékezzünk vissza, hogy egy másodrendű egyenletnek két lineárisan független megoldással kell rendelkeznie. Ha a karakterisztikus egyenletnek több gyöke van, a megoldások halmaza Nem teret képez, mivel ezek a megoldások lineárisan függőek. Ebben az esetben sorrendcsökkentést kell alkalmazni egy második lineárisan független megoldás megtalálásához.

   • Legyen a karakterisztikus egyenletnek több gyöke r (\displaystyle r). Tegyük fel, hogy a második megoldás formába írható y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)), és behelyettesítjük a differenciálegyenletbe. Ebben az esetben a legtöbb tag, kivéve a függvény második deriváltjával rendelkező tagot v , (\displaystyle v,) csökkenni fog.
     • v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
   • 2.2. példa. Adjuk meg a következő egyenletet, amelynek több gyöke van r = − 4. (\displaystyle r=-4.) A helyettesítés során a legtöbb kifejezés lecsökken.
     • d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
     • y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(aligned)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\end(igazítva)))
     • v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\displaystyle (\begin(igazított )v""e^(-4x)&-(\cancel (8v"e^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))\\&+(\cancel (8v"e) ^(-4x)))-(\cancel (32ve^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))=0\end(igazított)))
   • Hasonlóan az ansatzunkhoz egy állandó együtthatós differenciálegyenlethez, ebben az esetben csak a második derivált lehet nulla. Kétszer integráljuk, és megkapjuk a kívánt kifejezést v (\displaystyle v):
     • v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
   • Ekkor egy állandó együtthatós differenciálegyenlet általános megoldása abban az esetben, ha a karakterisztikus egyenletnek több gyöke van, a következő formában írható fel. A kényelem kedvéért ne feledje, hogy a lineáris függetlenség eléréséhez elegendő a második tagot egyszerűen megszorozni x (\displaystyle x). Ez a megoldáshalmaz lineárisan független, így ennek az egyenletnek minden megoldását megtaláltuk.
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.) Rendeléscsökkentés alkalmazható, ha a megoldás ismert y 1 (x) (\displaystyle y_ (1) (x)), amely megtalálható vagy megadható a problémafelvetésben.

   • Formában keresünk megoldást y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x))és cseréld be ebbe az egyenletbe:
     • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • Mivel y 1 (\displaystyle y_(1)) egy differenciálegyenlet megoldása, minden kifejezés -vel v (\displaystyle v) csökkentik. A végén az marad elsőrendű lineáris egyenlet. Hogy ezt tisztábban lássuk, változtassunk a változókon w (x) = v ′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\) frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\jobbra)(\mathrm (d) )x\jobbra))
     • v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
   • Ha az integrálok kiszámíthatók, akkor az általános megoldást elemi függvények kombinációjaként kapjuk. Ellenkező esetben a megoldás integrált formában hagyható.

3. Cauchy-Euler egyenlet. A Cauchy-Euler egyenlet egy példa egy másodrendű differenciálegyenletre változók együtthatók, aminek pontos megoldásai vannak. Ezt az egyenletet a gyakorlatban például a Laplace-egyenlet gömbkoordinátákban történő megoldására használják.

   X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Karakterisztikus egyenlet. Mint látható, ebben a differenciálegyenletben minden tag tartalmaz egy teljesítménytényezőt, amelynek mértéke megegyezik a megfelelő derivált sorrendjével.

   • Így megpróbálhat megoldást keresni a formában y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),) ahol meg kell határozni n (\displaystyle n), mint ahogy exponenciális függvény formájában kerestünk megoldást egy állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenletre. A differenciálás és helyettesítés után azt kapjuk
     • x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\megjelenítési stílus x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • A karakterisztikus egyenlet használatához azt kell feltételeznünk x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). Pont x = 0 (\displaystyle x=0) hívott szabályos szinguláris pont differenciálegyenlet. Az ilyen pontok fontosak a differenciálegyenletek hatványsoros megoldásánál. Ennek az egyenletnek két gyöke van, amelyek lehetnek különbözőek és valósak, többszörösek vagy összetettek.
     • n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b) )))(2)))

   Két különböző valódi gyökér. Ha a gyökerek n ± (\displaystyle n_(\pm )) valódiak és különbözőek, akkor a differenciálegyenlet megoldása a következő alakú:

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − (\megjelenítési stílus y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))

   Két összetett gyökér. Ha a karakterisztikus egyenletnek gyökei vannak n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), a megoldás egy összetett függvény.

   • Ahhoz, hogy a megoldást valós függvénnyel alakítsuk át, megváltoztatjuk a változókat x = e t , (\displaystyle x=e^(t),) vagyis t = ln ⁡ x , (\megjelenítési stílus t=\ln x,)és használja az Euler-képletet. Hasonló műveleteket végeztünk korábban tetszőleges állandók meghatározásakor.
     • y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
   • Ekkor az általános megoldás így írható fel
     • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   Több gyökér. Egy második lineárisan független megoldás eléréséhez ismét csökkenteni kell a sorrendet.

   • Elég sok számítást igényel, de az elv ugyanaz marad: helyettesítjük y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1)) egy egyenletbe, amelynek első megoldása az y 1 (\displaystyle y_(1)). A redukciók után a következő egyenletet kapjuk:
     • v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
   • Ez egy elsőrendű lineáris egyenlet ehhez képest v ′ (x) . (\displaystyle v"(x).) Az ő megoldása az v (x) = c 1 + c 2 ln⁡ x . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.)Így a megoldás a következő formában írható fel. Ezt meglehetősen könnyű megjegyezni - a második lineárisan független megoldás megszerzéséhez egyszerűen egy további kifejezésre van szükség ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\megjelenítési stílus y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

4. Inhomogén lineáris differenciálegyenletek állandó együtthatókkal. Az inhomogén egyenleteknek van alakja L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),) Ahol f (x) (\displaystyle f(x))- az ún ingyenes tag. A differenciálegyenletek elmélete szerint ennek az egyenletnek az általános megoldása egy szuperpozíció privát megoldás y p (x) (\displaystyle y_(p)(x))És kiegészítő megoldás y c (x) . (\displaystyle y_(c)(x).) Azonban ebben az esetben egy adott megoldás nem a kezdeti feltételek által adott megoldást jelenti, hanem inkább egy heterogenitás jelenléte által meghatározott megoldást (szabad kifejezés). További megoldás a megfelelő homogén egyenlet megoldása, amelyben f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.) Az átfogó megoldás e két megoldás szuperpozíciója, mivel L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)), és azóta L [ y c ] = 0, (\displaystyle L=0,) az ilyen szuperpozíció valóban általános megoldás.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
   

   A meghatározatlan együtthatók módszere. A határozatlan együtthatók módszerét olyan esetekben alkalmazzuk, amikor a metszéspont exponenciális, trigonometrikus, hiperbolikus vagy hatványfüggvények kombinációja. Csak ezeknek a függvényeknek garantáltan véges számú lineárisan független deriváltjuk van. Ebben a részben az egyenletre egy speciális megoldást találunk.

   • Hasonlítsuk össze a kifejezéseket f (x) (\displaystyle f(x)) feltételekkel, anélkül, hogy figyelmet szentelnénk az állandó tényezőknek. Három eset lehetséges.
     • Nincs két egyforma tag. Ebben az esetben egy speciális megoldás y p (\displaystyle y_(p)) a kifejezések lineáris kombinációja lesz y p (\displaystyle y_(p))
     • f (x) (\displaystyle f(x)) tagot tartalmaz x n (\displaystyle x^(n)) és tagja y c , (\displaystyle y_(c),) Ahol n (\displaystyle n) nulla vagy pozitív egész szám, és ez a tag a karakterisztikus egyenlet egy külön gyökének felel meg. Ebben az esetben y p (\displaystyle y_(p)) függvény kombinációjából fog állni x n + 1 h (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),) lineárisan független származékai, valamint egyéb kifejezései f (x) (\displaystyle f(x))és ezek lineárisan független származékai.
     • f (x) (\displaystyle f(x)) tagot tartalmaz h (x) , (\displaystyle h(x),) ami egy mű x n (\displaystyle x^(n)) és tagja y c , (\displaystyle y_(c),) Ahol n (\displaystyle n) egyenlő 0-val vagy pozitív egész számmal, és ez a kifejezés megfelel a több- a karakterisztikus egyenlet gyöke. Ebben az esetben y p (\displaystyle y_(p)) a függvény lineáris kombinációja x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(Ahol s (\displaystyle s)- a gyök többszörössége) és lineárisan független származékai, valamint a függvény többi tagja f (x) (\displaystyle f(x))és lineárisan független származékai.
   • Írjuk fel y p (\displaystyle y_(p)) a fent felsorolt ​​kifejezések lineáris kombinációjaként. Ezeknek az együtthatóknak köszönhetően lineáris kombinációban ezt a módszert a "meghatározatlan együtthatók módszere". Amikor benne van y c (\displaystyle y_(c)) tagok eldobhatók tetszőleges állandók jelenléte miatt y c . (\displaystyle y_(c).) Ezt követően helyettesítjük y p (\displaystyle y_(p)) az egyenletbe, és egyenlőségjelet kell tenni hasonló kifejezésekkel.
   • Meghatározzuk az együtthatókat. Ebben a szakaszban egy algebrai egyenletrendszert kapunk, amely általában probléma nélkül megoldható. Ennek a rendszernek a megoldása lehetővé teszi számunkra, hogy megkapjuk y p (\displaystyle y_(p))és ezzel oldja meg az egyenletet.
   • 2.3. példa. Tekintsünk egy inhomogén differenciálegyenletet, amelynek szabad tagja véges számú lineárisan független származékot tartalmaz. Egy ilyen egyenlet sajátos megoldását a határozatlan együtthatók módszerével találhatjuk meg.
     • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t)
     • y p (t) = Ae 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\megjelenítési stílus y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 A e 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t ( \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(igazítva)))
     • ( 9 A + 6 A = 2, A = 2 15 - 25 B + 6 B = - 1, B = 1 19 - 25 C + 6 C = 0, C = 0 (\displaystyle (\begin(esetek)9A+ 6A =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ vége(esetek)))
     • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6 ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   Lagrange módszer. A Lagrange-módszer, vagy tetszőleges állandók variációjának módszere egy több általános módszer inhomogén differenciálegyenletek megoldása, különösen olyan esetekben, amikor a szabad tag nem tartalmaz véges számú lineárisan független derivált. Például ingyenes tagokkal tan⁡ x (\displaystyle \tan x) vagy x − n (\displaystyle x^(-n)) egy adott megoldás megtalálásához a Lagrange-módszert kell használni. A Lagrange módszerrel akár változó együtthatós differenciálegyenletek is megoldhatók, bár ebben az esetben a Cauchy-Euler egyenletet leszámítva ritkábban alkalmazzák, mivel a kiegészítő megoldás általában nem elemi függvényekkel fejeződik ki.

   • Tegyük fel, hogy a megoldás alakja a következő. Származékát a második sorban adjuk meg.
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\megjelenítési stílus y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
     • y ' = v 1 ' y 1 + v 1 y 1 ' + v 2 ' y 2 + v 2 y 2 ' (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
   • Mivel a javasolt megoldás tartalmazza két ismeretlen mennyiségeket kell előírni továbbiállapot. Válasszuk ki ezt a kiegészítő feltételt a következő formában:
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
   • Most megkaphatjuk a második egyenletet. A tagok cseréje és újraelosztása után csoportosíthatja a tagokat v1 (\displaystyle v_(1))és a tagokkal v2 (\displaystyle v_(2)). Ezek a kifejezések csökkennek, mert y 1 (\displaystyle y_(1))És y 2 (\displaystyle y_(2)) a megfelelő homogén egyenlet megoldásai. Ennek eredményeként a következő egyenletrendszert kapjuk
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 = f (x) (\displaystyle (\begin(aligned)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(igazítva)))
   • Ez a rendszer átalakítható mátrix egyenletté A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),) amelynek megoldása az x = A − 1 b . (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).) Mátrixhoz 2 × 2 (\displaystyle 2\x 2) az inverz mátrixot a determinánssal való osztással, az átlós elemek átrendezésével és a nem átlós elemek előjelének megváltoztatásával találjuk meg. Valójában ennek a mátrixnak a meghatározója egy Wronski-féle.
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ end(pmátrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmátrix)))
   • Kifejezések a v1 (\displaystyle v_(1))És v2 (\displaystyle v_(2)) alább adjuk meg. Akárcsak a sorrendredukciós módszernél, ebben az esetben is az integrálás során egy tetszőleges állandó jelenik meg, amely a differenciálegyenlet általános megoldásában egy további megoldást is tartalmaz.
     • v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
   
   A National Open University Intuit előadása "N-edrendű lineáris differenciálegyenletek állandó együtthatókkal."

Gyakorlati alkalmazás

A differenciálegyenletek kapcsolatot hoznak létre egy függvény és egy vagy több deriváltja között. Mivel az ilyen összefüggések rendkívül gyakoriak, a differenciálegyenletek széles körben alkalmazhatók számos területen, és mivel négy dimenzióban élünk, ezek az egyenletek gyakran differenciálegyenletek. magán származékai. Ez a rész az ilyen típusú legfontosabb egyenleteket tárgyalja.

• Exponenciális növekedés és hanyatlás. Radioaktív bomlás. Kamatos kamat. A kémiai reakciók sebessége. A gyógyszerek koncentrációja a vérben. Korlátlan népességnövekedés. Newton-Richmann törvény. A való világban sok olyan rendszer létezik, amelyekben a növekedés vagy hanyatlás üteme egy adott időpontban arányos a pillanatnyilag idő vagy jól közelíthető a modell szerint. Ennek a differenciálegyenletnek a megoldása, az exponenciális függvény ugyanis az egyik leginkább fontos funkciókat a matematikában és más tudományokban. Általánosabban, szabályozott népességnövekedés esetén a rendszer további kifejezéseket is tartalmazhat, amelyek korlátozzák a növekedést. Az alábbi egyenletben az állandó k (\displaystyle k) lehet nagyobb vagy kisebb nullánál.
  • d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
• Harmonikus rezgések. Mind a klasszikus, mind a kvantummechanikában a harmonikus oszcillátor az egyik legfontosabb fizikai rendszer, mivel egyszerűsége és széleskörű alkalmazása több közelítésben. összetett rendszerek, például egy egyszerű inga. A klasszikus mechanikában a harmonikus rezgéseket egy egyenlet írja le, amely az anyagi pont helyzetét a gyorsulásához köti a Hooke-törvény alapján. Ebben az esetben a csillapítás és a hajtóerő is figyelembe vehető. Az alábbi kifejezésben x ˙ (\displaystyle (\pont (x)))- idő deriváltja x , (\displaystyle x,) β (\displaystyle \beta)- a csillapítóerőt leíró paraméter, ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- a rendszer szögfrekvenciája, F (t) (\displaystyle F(t))- időfüggő hajtóerő. A harmonikus oszcillátor jelen van az elektromágneses oszcillációs áramkörökben is, ahol nagyobb pontossággal valósítható meg, mint a mechanikus rendszerekben.
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\pont (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
• Bessel-egyenlet. A Bessel-differenciálegyenletet a fizika számos területén használják, beleértve a hullámegyenlet, a Laplace-egyenlet és a Schrödinger-egyenlet megoldását, különösen hengeres vagy gömbszimmetria jelenlétében. Ez a változó együtthatós másodrendű differenciálegyenlet nem Cauchy-Euler egyenlet, így megoldásai nem írhatók fel elemi függvényként. A Bessel-egyenlet megoldásai a Bessel-függvények, amelyek sok területen való alkalmazásuk miatt jól tanulmányozottak. Az alábbi kifejezésben α (\displaystyle \alpha )- megfelelő konstans sorrendben Bessel-függvények.
  • x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
• Maxwell-egyenletek. A Lorentz-erő mellett a Maxwell-egyenletek képezik a klasszikus elektrodinamika alapját. Ez a négy parciális differenciálegyenlet az elektromosság számára E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ),t))és mágneses B (r , t) (\displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t)) mezőket. Az alábbi kifejezésekben ρ = ρ (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- töltéssűrűség, J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t))- áramsűrűség, és ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0))És μ 0 (\displaystyle \mu _(0))- elektromos és mágneses állandók, ill.
  • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle (\c)\dotnabla(igazítva) (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) ))(\partial t))\end(igazított)))
• Schrödinger egyenlet. A kvantummechanikában a Schrödinger-egyenlet a mozgás alapegyenlete, amely a részecskék mozgását írja le a hullámfüggvény változása szerint. Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t)) idővel. A mozgásegyenletet a viselkedés írja le Hamiltoni H^(\displaystyle (\hat (H))) - operátor, amely a rendszer energiáját írja le. A Schrödinger-egyenlet egyik jól ismert példája a fizikában az egyetlen nem relativisztikus részecske egyenlete, amely a potenciálnak van alávetve. V (r , t) (\displaystyle V((\mathbf (r) ),t)). Sok rendszert az időfüggő Schrödinger-egyenlet ír le, és az egyenlet bal oldalán E Ψ , (\displaystyle E\Psi ,) Ahol E (\displaystyle E)- részecske energia. Az alábbi kifejezésekben ℏ (\displaystyle \hbar )- csökkentett Planck-állandó.
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=(\hat (H))\Psi )
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\jobbra)\Psi )
• Hullámegyenlet. A fizika és a technológia nem képzelhető el hullámok nélkül, minden típusú rendszerben jelen vannak. Általában a hullámokat az alábbi egyenlet írja le, amelyben u = u (r , t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r) ),t)) a kívánt funkció, és c (\displaystyle c)- kísérletileg meghatározott állandó. d'Alembert volt az első, aki felfedezte, hogy az egydimenziós esetre a hullámegyenlet megoldása bármilyen függvény argumentummal x − c t (\displaystyle x-ct), amely egy tetszőleges alakú hullámot ír le, amely jobbra terjed. Az egydimenziós eset általános megoldása ennek a függvénynek a lineáris kombinációja egy második, argumentumokkal rendelkező függvényrel x + c t (\displaystyle x+ct), amely egy balra terjedő hullámot ír le. Ezt a megoldást a második sorban mutatjuk be.
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
  • u (x , t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\megjelenítési stílus u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
• Navier-Stokes egyenletek. A Navier-Stokes egyenletek a folyadékok mozgását írják le. Mivel a folyadékok a tudomány és a technológia szinte minden területén jelen vannak, ezek az egyenletek rendkívül fontosak az időjárás előrejelzésében, a repülőgépek tervezésében, az óceáni áramlatok tanulmányozásában és sok más alkalmazott probléma megoldásában. A Navier-Stokes egyenletek nemlineáris parciális differenciálegyenletek, és a legtöbb esetben nagyon nehezen megoldhatók, mivel a nemlinearitás turbulenciához vezet, a stabil megoldás numerikus módszerekkel történő eléréséhez pedig nagyon kis cellákra kell particionálni, ami jelentős számítási teljesítményt igényel. A hidrodinamika gyakorlati céljaira a turbulens áramlások szimulálására olyan módszereket alkalmaznak, mint az időátlagolás. Még olyan alapvető kérdések, mint a nemlineáris parciális differenciálegyenletek megoldásainak létezése és egyedisége kihívást jelentenek, és a Navier-Stokes egyenletek háromdimenziós megoldásának létének és egyediségének bizonyítása az ezredforduló matematikai problémái közé tartozik. Az alábbiakban látható az összenyomhatatlan folyadékáramlás egyenlete és a folytonossági egyenlet.
  • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h, ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\displaystyle (\frac (\partial (u)bf (u)bf )(\partial t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

• Sok differenciálegyenlet egyszerűen nem oldható meg a fenti módszerekkel, különösen az utolsó részben említettekkel. Ez akkor érvényes, ha az egyenlet változó együtthatókat tartalmaz, és nem Cauchy-Euler egyenlet, vagy ha az egyenlet nemlineáris, kivéve néhány nagyon ritka esetet. A fenti módszerek azonban számos fontos differenciálegyenletet megoldhatnak, amelyekkel gyakran találkozunk a tudomány különböző területein.
• A differenciálással ellentétben, amely lehetővé teszi bármely függvény deriváltjának megtalálását, sok kifejezés integrálja nem fejezhető ki elemi függvényekben. Tehát ne vesztegesse az időt azzal, hogy olyan integrált számítson ki, ahol ez lehetetlen. Nézd meg az integrálok táblázatát. Ha egy differenciálegyenlet megoldása nem fejezhető ki elemi függvényekkel, akkor néha integrál formában is ábrázolható, és ebben az esetben nem mindegy, hogy ez az integrál analitikusan kiszámítható-e.

Figyelmeztetések

• Megjelenés a differenciálegyenlet félrevezető lehet. Az alábbiakban például két elsőrendű differenciálegyenlet látható. Az első egyenlet könnyen megoldható a cikkben leírt módszerekkel. Első ránézésre kisebb változás y (\displaystyle y)-on y 2 (\displaystyle y^(2)) a második egyenletben nemlineárissá teszi, és nagyon nehéz lesz megoldani.
  • d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
  • d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))

Differenciálegyenletek megoldása. Online szolgáltatásunknak köszönhetően bármilyen típusú és bonyolultságú differenciálegyenletet megoldhat: inhomogén, homogén, nemlineáris, lineáris, első-, másodrendű, elválasztható vagy nem elválasztható változókkal stb. Megoldást kapsz differenciálegyenletekre analitikus formában -val részletes leírás. Sokan érdeklődnek: miért szükséges a differenciálegyenleteket online megoldani? Ez a fajta egyenlet nagyon elterjedt a matematikában és a fizikában, ahol lehetetlen lesz sok problémát megoldani a differenciálegyenlet kiszámítása nélkül. A differenciálegyenletek gyakoriak a közgazdaságtanban, az orvostudományban, a biológiában, a kémiában és más tudományokban is. Egy ilyen egyenlet megoldása az online mód Sokkal könnyebbé teszi a feladatait, lehetőséget ad az anyag jobb megértésére és önmaga tesztelésére. A differenciálegyenletek online megoldásának előnyei. Egy modern matematikai szolgáltatás weboldal lehetővé teszi, hogy bármilyen bonyolultságú differenciálegyenletet online megoldjon. Mint tudják, a differenciálegyenleteknek számos típusa létezik, és mindegyiknek megvan a maga megoldási módja. Szolgáltatásunkon online megoldásokat találhat bármilyen sorrendű és típusú differenciálegyenletre. A megoldás érdekében javasoljuk, hogy töltse ki a kezdeti adatokat, és kattintson a „Megoldás” gombra. A szolgáltatás működésében fellépő hibák kizártak, így Ön 100%-ig biztos lehet benne, hogy a helyes választ kapta. Oldja meg a differenciálegyenleteket szolgáltatásunkkal. Oldja meg a differenciálegyenleteket online. Alapértelmezés szerint egy ilyen egyenletben az y függvény az x változó függvénye. De megadhatja saját változó megnevezését is. Például, ha megadja az y(t)-t egy differenciálegyenletben, akkor szolgáltatásunk automatikusan megállapítja, hogy y a t változó függvénye. A teljes differenciálegyenlet sorrendje az egyenletben szereplő függvény deriváltjának maximális sorrendjétől függ. Egy ilyen egyenlet megoldása a kívánt függvény megtalálását jelenti. Szolgáltatásunk segít differenciálegyenletek online megoldásában. Nem sok erőfeszítést igényel az egyenlet megoldása. Csak be kell írnia az egyenlet bal és jobb oldalát a szükséges mezőkbe, és kattintson a „Megoldás” gombra. Belépéskor egy függvény deriváltját aposztrófpal kell jelölni. Pillanatok alatt kész, részletes megoldást kap a differenciálegyenletre. Szolgáltatásunk teljesen ingyenes. Differenciálegyenletek elválasztható változókkal. Ha egy differenciálegyenletben a bal oldalon van egy y-tól függő, a jobb oldalon pedig egy x-től függő kifejezés, akkor egy ilyen differenciálegyenletet elválasztható változókkal hívunk meg. A bal oldal tartalmazhatja y deriváltját az ilyen típusú differenciálegyenletek megoldása y függvényében, amelyet az egyenlet jobb oldalának integrálja fejez ki. Ha a bal oldalon van y függvényének differenciálja, akkor ebben az esetben az egyenlet mindkét oldala integrálva van. Ha a differenciálegyenletben a változók nincsenek elválasztva, akkor külön differenciálegyenlet létrehozásához el kell különíteni őket. Lineáris differenciálegyenlet. Lineárisnak nevezzük azt a differenciálegyenletet, amelynek függvénye és összes deriváltja elsőfokú. Általános nézet egyenletek: y’+a1(x)y=f(x). f(x) és a1(x) x folytonos függvényei. Az ilyen típusú differenciálegyenletek megoldása két, egymástól elválasztott változókkal rendelkező differenciálegyenlet integrálására redukálódik. A differenciálegyenlet sorrendje. A differenciálegyenlet lehet első, második, n-edrendű. A differenciálegyenlet sorrendje határozza meg a benne található legmagasabb derivált sorrendjét. Szolgáltatásunkban online differenciálegyenleteket oldhat meg az első, második, harmadik stb. rendelés. Az egyenlet megoldása tetszőleges y=f(x) függvény lesz, az egyenletbe behelyettesítve azonosságot kapunk. A differenciálegyenlet megoldásának folyamatát integrációnak nevezzük. Cauchy probléma. Ha magán a differenciálegyenleten kívül az y(x0)=y0 kezdeti feltétel is adott, akkor ezt Cauchy-feladatnak nevezzük. Az y0 és x0 mutatókat hozzáadjuk az egyenlet megoldásához, és meghatározzuk egy tetszőleges C állandó értékét, majd meghatározzuk az egyenlet adott megoldását ezen a C értéken. Ez a Cauchy-probléma megoldása. A Cauchy-problémát peremfeltételekkel kapcsolatos problémának is nevezik, ami nagyon gyakori a fizikában és a mechanikában. Lehetősége van a Cauchy-probléma beállítására is, vagyis az egyenlet összes lehetséges megoldása közül válassza ki az adott kezdeti feltételeknek megfelelő hányadost.