Amikor mínusz szor mínusz pluszt ad. Mínuszos műveletek

"Az ellenségem ellensége a barátom"

Miért egyenlő mínusz egyszer mínusz egy plusz egy? Miért egyenlő mínusz egyszer plusz egy mínusz eggyel? A legegyszerűbb válasz a következő: „Mert ezek a cselekvési szabályok vége negatív számok" Az iskolában tanult és életünk során alkalmazott szabályok. A tankönyvek azonban nem magyarázzák meg, hogy a szabályok miért olyanok, amilyenek. Ezt először az aritmetika fejlődéstörténete alapján próbáljuk megérteni, majd a modern matematika szemszögéből válaszolunk erre a kérdésre.

Réges-régen az emberek csak a természetes számokat ismerték: edények, zsákmány, ellenségek stb. számlálására használták őket. De a számok önmagukban teljesen haszontalanok – tudni kell kezelni őket. Az összeadás világos és érthető, ráadásul két természetes szám összege is természetes szám (egy matematikus azt mondaná, hogy a természetes számok halmaza az összeadás művelete alatt zárt). A szorzás lényegében ugyanaz, mint az összeadás, ha természetes számokról beszélünk. Az életben gyakran hajtunk végre ehhez a két művelethez kapcsolódó műveleteket (például vásárláskor összeadunk és szorozunk), és furcsa belegondolni, hogy őseink ritkábban találkoztak velük - az összeadást és a szorzást az emberiség nagyon sokáig uralta. ezelőtt. Gyakran el kell osztani bizonyos mennyiségeket másokkal, de itt az eredmény nem mindig természetes számként jelenik meg - így törtszámok.

Természetesen nem nélkülözheti a kivonást sem. De a gyakorlatban általában a kisebb számot kivonjuk a nagyobb számból, és nincs szükség negatív számokra. (Ha van cukorkám és odaadom a húgomnak, akkor marad egy kis cukorka, de ha akarnám, nem adhatok neki édességet.) Ez megmagyarázhatja, miért nem használnak negatív számokat sokáig.

A negatív számok az i.sz. 7. század óta jelentek meg az indiai dokumentumokban; A kínaiak láthatóan valamivel korábban kezdték használni őket. Tartozások elszámolására, vagy közbenső számításoknál használták az egyenletek megoldásának egyszerűsítésére - ez csak egy pozitív válasz megszerzésének eszköze volt. Az a tény, hogy a negatív számok a pozitív számokkal ellentétben nem fejezik ki egyetlen entitás jelenlétét sem, erős bizalmatlanságot keltett. Az emberek szó szerint kerülték a negatív számokat: ha egy problémára negatív válasz volt, azt hitték, hogy nincs válasz. Ez a bizalmatlanság nagyon sokáig fennmaradt, és még Descartes, a modern matematika egyik „alapítója” is „hamisnak” nevezte őket (a 17. században!).

Tekintsük az egyenletet példaként. Megoldható így: mozgasd az ismeretlennel rendelkező kifejezéseket a bal oldalra, a többit pedig jobbra, kiderül , , . Ezzel a megoldással nem is találkoztunk negatív számokkal.

De véletlenül másként is meg lehetett csinálni: az ismeretlennel rendelkező kifejezéseket áthelyezni a jobb oldalra, és megkapni a , . Az ismeretlen megtalálásához el kell osztani egy negatív számot egy másikkal: . De a helyes válasz ismert, és hátra van a következtetés.

Mit mutat be ez az egyszerű példa? Először is világossá válik a logika, amely meghatározta a negatív számokra vonatkozó műveletek szabályait: ezeknek a műveleteknek az eredményeinek egybe kell esnie a más módon, negatív számok nélkül kapott válaszokkal. Másodszor, a negatív számok használatának megengedésével megszabadulunk az unalmastól (ha az egyenlet bonyolultabbnak bizonyul, egy nagy szám kifejezések) olyan megoldási útvonal keresése, amelyen az összes műveletet csak a rendszer hajtja végre természetes számok. Sőt, már nem is gondolhatunk minden alkalommal az átalakított mennyiségek értelmességére – ez pedig már egy lépés afelé, hogy a matematikát elvont tudománnyá tegyük.

A negatív számokkal való művelet szabályai nem azonnal alakultak ki, hanem számos példa általánosításává váltak, amelyek az alkalmazott problémák megoldása során merültek fel. Általánosságban elmondható, hogy a matematika fejlődése szakaszokra osztható: minden következő szakasz az előzőtől egy új absztrakciós szinttel különbözik a tárgyak tanulmányozása során. Így a 19. században a matematikusok rájöttek, hogy az egész számokban és polinomokban minden külső különbség ellenére sok a közös: mindkettő összeadható, kivonható és szorozható. Ezekre a műveletekre ugyanazok a törvények vonatkoznak - mind a számok, mind a polinomok esetében. De nem mindig lehetséges az egész számokat úgy osztani egymással, hogy az eredmény ismét egész szám legyen. Ugyanez a helyzet a polinomokkal.

Aztán további matematikai objektumok halmazait fedezték fel, amelyeken ilyen műveleteket lehet végrehajtani: formális hatványsorok, folytonos függvények... Végül jött a megértés, hogy ha maguknak a műveleteknek a tulajdonságait tanulmányozzuk, akkor az eredményeket mindenre alkalmazni lehet. ezek a tárgyhalmazok (ez a megközelítés minden modern matematikára jellemző).

Ennek eredményeként egy új koncepció született: a gyűrű. Ez csak elemek és a rajtuk végrehajtható műveletek halmaza. Az alapvető szabályok itt pontosan azok a szabályok (ezeket axiómáknak nevezzük), amelyeknek a cselekvések alá vannak vetve, és nem a halmaz elemeinek természete (itt van, új szint absztrakciók!). Hangsúlyozni kívánva, hogy az axiómák bevezetése után kialakuló szerkezet a fontos, a matematikusok azt mondják: egész számok gyűrűje, polinomok gyűrűje stb. Az axiómákból kiindulva a gyűrűk egyéb tulajdonságaira is következtethetünk.

Megfogalmazzuk a gyűrű axiómáit (amelyek természetesen hasonlóak az egész számokkal való művelet szabályaihoz), majd bebizonyítjuk, hogy bármely gyűrűben a mínusz és a mínusz szorzása pluszt ad.

A gyűrű két bináris műveletből álló halmaz (azaz minden művelet a gyűrű két elemét foglalja magában), amelyeket hagyományosan összeadásnak és szorzásnak neveznek, és a következő axiómákkal:

Ne feledje, hogy a gyűrűk a legáltalánosabb felépítésben nem igénylik sem a szorzás cserélhetőségét, sem annak invertibilitását (vagyis az osztást nem mindig lehet megtenni), sem egy egység létezését - a szorzás semleges elemét. Ha ezeket az axiómákat bevezetjük, különböző algebrai struktúrákat kapunk, de ezekben minden gyűrűre bizonyított tétel igaz lesz.

Most bebizonyítjuk, hogy minden elemre és tetszőleges gyűrűre igaz, először is, , másodszor pedig . Ebből könnyen következnek az egységekre vonatkozó állítások: és .

Ehhez meg kell állapítanunk néhány tényt. Először is bebizonyítjuk, hogy minden elemnek csak egy ellentétje lehet. Valójában legyen egy elemnek két ellentéte: és . Azaz .

Nézzük az összeget. Az asszociatív és kommutatív törvényeket, valamint a nulla tulajdonságát felhasználva azt találjuk, hogy egyrészt az összeg egyenlő -vel, másrészt egyenlő -vel. Azt jelenti,.

Jegyezze meg most, hogy a és mindkettő ugyanannak az elemnek az ellentéte, tehát egyenlőnek kell lenniük.

Az első tény a következőképpen alakul: vagyis ellentétes, ami azt jelenti, hogy egyenlő.

A matematikai pontosság érdekében magyarázzuk el azt is, hogy miért . Valóban, . Vagyis a hozzáadás nem változtat az összegen. Ez azt jelenti, hogy ez a termék egyenlő nullával.

Azt pedig, hogy pontosan egy nulla van a gyűrűben (elvégre az axiómák azt mondják, hogy létezik ilyen elem, de semmi sem szól az egyediségéről!), egyszerű gyakorlatként hagyjuk az olvasóra.
Jevgenyij Epifanov

"Elemek"

Megjegyzések: 0

Jacques Sesiano Két évezred alatt a numerikus tartomány három fontos kiterjesztése történt. Először Kr.e. 450 körül. A Pitagorasz-iskola tudósai bebizonyították az irracionális számok létezését. Az övék kezdeti cél volt numerikus kifejezés egységnégyzet átlói. Másodszor, a XIII-XV. században az európai tudósok rendszereket oldottak meg lineáris egyenletek

, lehetővé tette egy negatív döntés lehetőségét. Harmadszor pedig, 1572-ben az olasz algebraista Raphael Bombelli komplex számokat használt egy bizonyos köbös egyenlet valós megoldására.

Proszkurjakov I. V. A könyv célja a számok, polinomok és algebrai törtek szigorú meghatározása és az iskolából már ismert tulajdonságaik igazolása, nem pedig új tulajdonságok megismertetése az olvasóval. Ezért az olvasó itt nem számára új tényeket fog találni (egyes tulajdonságok kivételével a valós és összetett számok), hanem megtanulja, hogyan bizonyítanak a számára jól ismert dolgok, kezdve azzal, hogy „kétszer kettő az négy” és a polinomokkal végzett műveletek szabályaival végződve És algebrai törtek . De az olvasó megismerkedhet számosáltalános fogalmak

, jelentős szerepet játszik az algebrában.

Ilja Scsurov Matematikus Ilja Shchurov o tizedesjegyek

, a Pi szám transzcendenciája és irracionalitása.

Ez négy novella lesz. Kezdjük a számokkal, majd a mozgásról, a változásról, majd a formákról és a méretekről, majd a kezdetről és a befejezésről. Ebben a kissé titkosított stílusban igyekszünk a matematikát kívülről és belülről szemlélni, és pontosan mint tantárgyat. Amit a matematikusok gondolnak és élnek – erről később beszélhetünk.

Vladlen Timorin

Vladlen Timorin matematikus a komplex számok előnyeiről, a Hamilton-kvaterniókról, a nyolcdimenziós Cayley-számokról és a számok változatosságáról a geometriában.

Megjegyzések: 0

Diophantusról keveset tudunk. Azt hiszem, Alexandriában élt. A 4. század előtt egyik görög matematikus sem említi, így valószínűleg a 3. század közepén élt. A legtöbb fő munka A Diophanta, az „Aritmetika” (Ἀριθμητικά) 13 „könyv” (βιβλία), azaz fejezet elején játszódik. Ma 10 van belőlük, mégpedig: 6 a görög szövegben és 4 másik a középkori arab fordításban, amelyeknek a helye a görög könyvek közepén van: I-III könyv görögül, IV-VII arabul, VIII-X. görögül. Diophantus „Aritmetika” elsősorban problémák gyűjteménye, összesen körülbelül 260-at, az igazat megvallva, nincs elmélet. csak vannak Általános utasítások a könyv bevezetőjében, és szükség esetén privát megjegyzéseket egyes problémákhoz. Az „aritmetika” már rendelkezik egy algebrai értekezés jellemzőivel. Az első Diophantus használat különböző jelek az ismeretlen kifejezésére és annak erejére, néhány számításra is; mint a középkor minden algebrai szimbolikája, szimbolikája is matematikai szavakból származik. Ezután Diophantus elmagyarázza a probléma algebrai megoldását. De Diophantus problémái nem a szokásos értelemben vett algebraiak, mert szinte mindegyik egy határozatlan egyenlet vagy ilyen egyenletrendszerek megoldásához vezet.

A matematika világa elképzelhetetlen nélkülük – prímszámok nélkül. Mi történt prímszámok mi a különleges bennük és milyen jelentőségük van Mindennapi élet? Ebben a filmben Marcus du Sautoy brit matematikaprofesszor felfedi a prímszámok titkát.

George Shabat

Az iskolában mindannyiunkba beleivódik az a téves elképzelés, hogy a Q racionális számok halmazán van egy egyedi természetes távolság (a különbség modulusa), amelyre nézve minden számtani művelet folytonos. Van azonban végtelen számú távolság is, az úgynevezett p-adic, minden p számhoz egy. Osztrovszkij tétele szerint a „hétköznapi” távolság az összes p-adikussal együtt már valóban kimerít minden ésszerű távolságot Q. Az adelic demokrácia kifejezést Yu I. Manin vezette be. Az adelic demokrácia elve szerint a Q-n minden ésszerű távolság egyenlő a matematika törvényei előtt (talán csak a hagyományos „kicsit=kicsit egyenlő...”) A kurzus bemutatja az adelic gyűrűt, amely lehetővé teszi a munkát mindezekkel a távolságokkal egyszerre.

Vladimir Arnold

J. L. Lagrange bebizonyította, hogy a hiányos hányadosok sorozata (egy bizonyos helyről indulva) akkor és csak akkor periodikus, ha az x szám másodfokú irracionalitás. R. O. Kuzmin bebizonyította, hogy szinte bármilyen valós szám hiányos hányadosainak sorozatában az m nem teljes hányadossal egyenlő d_m tört azonos (tipikus valós számok esetén). A d_m tört m→∞ 1/m^2-vel csökken, értékét Gauss (aki semmit sem bizonyított) megjósolta. V.I. Arnold kifejtette (körülbelül 20 évvel ezelőtt) azt a hipotézist, hogy a Gauss–Kuzmin statisztika d_m a gyökök folyamatos töredékeire is érvényes másodfokú egyenletek x^2+px+q=0 (p és q egész számmal): ha felírjuk azokat a hiányos hányadosokat, amelyek a p^2+q^2≤R egyenletek gyökeinek összes folyamatos történek periódusait alkotják. ^2, akkor az m hiányos hányados aránya közöttük a d_m számhoz fog fordulni, mint R→∞. V. A. Bykovszkij és habarovszki tanítványai nemrégiben bebizonyították ezt a régóta fennálló hipotézist. Ennek ellenére a nem betűk, hanem a belőlük összeállított szavak statisztikájának kérdése, amelyek az x^2+px+q=0 egyenletek bármely x gyökének folyamatos törtrészei, korántsem megoldott.

Reed Miles

A címet és az absztraktot olyan homályosra hagyom, amennyire csak lehetséges, hogy arról beszélhessek, amiről aznap kedvem van. A fajták osztályozása szempontjából sok érdekes fajta a Gorenstein-gyűrű Spec vagy Proj-ja. A ⩽3 kóddimenzióban a jól ismert szerkezetelmélet explicit módszereket biztosít a Gorenstein-gyűrűkkel történő számításhoz. Ezzel szemben nincs használható szerkezetelmélet a 4 kóddimenziójú gyűrűkre. Ennek ellenére sok esetben a Gorenstein-projekció (és ennek fordítottja, a Kustin–Miller-projekció) módszereket biztosít ezeknek a gyűrűknek a megtámadására. Ezek a módszerek a szabályos algebrai felületek kanonikus gyűrűinek szórványos osztályaira, valamint a Q-Fano 3-szorosok szisztematikusabb konstrukcióira vonatkoznak, ezek közötti Sarkisov-kapcsolatok és a Mori-elmélet A típusú 3-szoros átfordulásai.

A mínusz és a plusz a negatív és pozitív számok jele a matematikában. Különböző módon lépnek kölcsönhatásba önmagukkal, ezért a számokkal végzett műveletek során, például osztás, szorzás, kivonás, összeadás stb., figyelembe kell venni aláírja a szabályokat. E szabályok nélkül soha nem lesz képes megoldani a legegyszerűbb algebrai vagy geometriai problémát sem. E szabályok ismerete nélkül nem tanulhatsz nemcsak matematikát, hanem fizikát, kémiát, biológiát és még földrajzot sem.

Nézzük meg közelebbről a jelek alapvető szabályait.

Osztály.

Ha a „plusz”-t elosztjuk a „mínusz”-val, mindig „mínuszt” kapunk. Ha a „mínuszt” elosztjuk a „plusz”-val, akkor mindig „mínuszt” is kapunk. Ha a „plusz”-t elosztjuk a „plusz”-val, akkor „plusz”-t kapunk. Ha a „mínuszt” elosztjuk a „mínusszal”, akkor furcsa módon pluszt is kapunk.

Szorzás.

Ha a „mínuszt” megszorozzuk a „plusz”-val, mindig „mínuszt” kapunk. Ha a „plusz”-ot megszorozzuk a „mínusz”-val, akkor mindig „mínusz”-t is kapunk. Ha a „plusz”-t megszorozzuk a „plusz”-val, akkor pozitív számot, azaz „plusz”-t kapunk. Ugyanez vonatkozik két negatív számra is. Ha megszorozzuk a "mínuszt" a "mínusszal", akkor "plusz"-ot kapunk.

Kivonás és összeadás.

Különböző elveken alapulnak. Ha egy negatív szám abszolút értékben nagyobb, mint a pozitív számunk, akkor az eredmény természetesen negatív lesz. Bizonyára kíváncsi, mi az a modul, és egyáltalán miért van itt. Minden nagyon egyszerű. A modulus egy szám értéke, de előjel nélkül. Például -7 és 3. A Modulo -7 egyszerűen 7 lesz, a 3 pedig 3 marad. Ennek eredményeként azt látjuk, hogy a 7 nagyobb, vagyis kiderül, hogy a negatív számunk nagyobb. Így jön ki -7+3 = -4. Még egyszerűbbé is tehető. Csak tegyen egy pozitív számot az első helyre, és 3-7 = -4 lesz, talán ez valakinek egyértelműbb. A kivonás pontosan ugyanezen az elven működik.

Jól értjük a szorzást?

"- A és B a csövön ült. A leesett, B eltűnt, mi maradt a csövön?
– Az én leveled marad.

(A Fiatalok az Univerzumban című filmből)

Miért lesz nulla, ha egy számot megszorozunk nullával?

7 * 0 = 0

Miért kap két negatív szám szorzata pozitív számot?

7 * (-3) = + 21

A tanárok mindent megtesznek, hogy választ adjanak erre a két kérdésre.

De senkinek sincs bátorsága beismerni, hogy három szemantikai hiba van a szorzás megfogalmazásában!

Lehetséges-e hibázni az alapvető számtanban? Hiszen a matematika egzakt tudományként pozicionálja magát...

Az iskolai matematika tankönyvek nem adnak választ ezekre a kérdésekre, a magyarázatokat olyan szabályokkal helyettesítik, amelyeket meg kell tanulni. Talán ezt a témát nehéz megmagyarázni a középiskolában? Próbáljuk megérteni ezeket a kérdéseket.

7 a szorzó. 3 egy szorzó. 21-munka.

A hivatalos megfogalmazás szerint:

egy számot egy másik számmal megszorozni annyi szorzót összeadni, amennyit a szorzó előír.

Az elfogadott megfogalmazás szerint a 3-as tényező azt mondja, hogy az egyenlőség jobb oldalán három hetesnek kell lennie.

7 * 3 = 7 + 7 + 7 = 21

De a szorzásnak ez a megfogalmazása nem tudja megmagyarázni a fent feltett kérdéseket.

Javítsuk ki a szorzás megfogalmazását

A matematikában általában sok mindenről van szó, de nem beszélnek róla, és nem írják le.

Ez az egyenlet jobb oldalán lévő első hét előtti plusz jelre vonatkozik. Írjuk fel ezt a pluszt.

7 * 3 = + 7 + 7 + 7 = 21

De mihez jön hozzá az első hét? Ez természetesen nullát jelent. Írjunk fel nullát.

7 * 3 = 0 + 7 + 7 + 7 = 21

Mi van, ha megszorozzuk három mínusz héttel?

7 * 3 = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = - 21

A -7 szorzót összeadjuk, de valójában többször is kivonunk nullából. Nyissuk ki a zárójeleket.

7 * 3 = 0 - 7 - 7 - 7 = - 21

Most a szorzás pontosabb megfogalmazását tudjuk megadni.

A szorzás az a folyamat, amikor a szorzót (-7) ismételten hozzáadjuk (vagy nullából kivonjuk), ahányszor a szorzó jelzi. A szorzó (3) és előjele (+ vagy -) jelzi a nullához hozzáadott vagy abból kivont műveletek számát.

Ezzel a finomított és kissé módosított szorzási formulával könnyen megmagyarázhatóak a negatív szorzószámú szorzás „jelszabályai”.

7 * (-3) - három mínusz jelnek kell lennie a nulla után = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = -21

7 * (-3) - ismét három mínusz jelnek kell lennie a nulla = után

0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = + 21

Szorozd meg nullával

7 * 0 = 0 + ... nincs hozzáadás a nulla műveletekhez.

Ha a szorzás a nullához való összeadás, és a szorzó a nullához való összeadás műveleteinek számát mutatja, akkor a nulla szorzó azt mutatja, hogy semmit sem ad hozzá nullához. Ezért marad nulla.

Tehát a szorzás jelenlegi megfogalmazásában három szemantikai hibát találtunk, amelyek meggátolják a két „jelszabály” megértését (ha a szorzó negatív) és egy szám nullával való szorzását.

Nem kell összeadni a szorzót, hanem hozzá kell adni nullához.
A szorzás nem csak a nullához való hozzáadás, hanem a nullából való kivonás is.
A szorzó és előjele nem a tagok számát, hanem a plusz-mínusz jelek számát mutatja a szorzás tagokra (vagy kivontokra) történő felbontásakor.

A megfogalmazás valamelyest pontosítása után a szorzás és a szám nullával való szorzása jeleinek szabályait a kommutatív szorzási törvény, az eloszlási törvény nélkül, a számegyenlettel való analógiák, egyenletek nélkül tudtuk megmagyarázni. , bizonyítás nélkül az inverzből stb.

A szorzás finomított megfogalmazásának előjelszabályai nagyon egyszerűen származnak.

7 * (+3) = 0 + (+7) + (+7) + (+7) = +21 (++ = +)

7 * (+3) = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (- + = -)

7 * (-3) = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (+ - = -)

7 * (-3) = 0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = +21 (- - = +)

A szorzó és előjele (+3 vagy -3) jelzi az egyenlet jobb oldalán található "+" vagy "-" jelek számát.

A szorzás módosított megfogalmazása megfelel a szám hatványra emelésének műveletének.

2^3 = 1*2*2*2 = 8

2^0 = 1 (az egyiket nem szorozzák vagy osztják semmivel, így az egy marad)

2^-1 = 1: 2 = 1/2

2^-2 = 1: 2: 2 = 1/4

2^-3 = 1: 2: 2: 2 = 1/8

A matematikusok egyetértenek abban, hogy egy szám pozitív hatványra emelése azt jelenti, hogy egy számot sokszorosára szorozunk. És számot emelni negatív fokozat egy egység többszörös felosztása.

A szorzás műveletének hasonlónak kell lennie a hatványozás műveletéhez.

2*3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6

2*2 = 0 + 2 + 2 = 4

2*0 = 0 (semmit sem adnak hozzá nullához, és semmit nem vonnak ki nullából)

2*-1 = 0 - 2 = -2

2*-2 = 0 - 2 - 2 = -4

2*-3 = 0 - 2 - 2 - 2 = -6

A szorzás módosított megfogalmazása a matematikában semmit nem változtat, de visszaadja a szorzási művelet eredeti jelentését, elmagyarázza a „jelek szabályait”, egy számot szorozva nullával, és összeegyezteti a szorzást a hatványozással.

Ellenőrizzük, hogy a szorzási megfogalmazásunk összhangban van-e az osztási művelettel.

15: 5 = 3 (az 5 * 3 = 15 szorzás inverze)

A (3) hányados a nullához (+3) történő összeadás műveleteinek számának felel meg a szorzás során.

A 15-öt osztva 5-tel azt jelenti, hogy meg kell találni, hogy hányszor kell 5-öt kivonni 15-ből. Ezt szekvenciális kivonással végezzük, amíg nulla eredményt nem kapunk.

Az osztás eredményének meghatározásához meg kell számolni a mínusz jelek számát. Három van belőlük.

15: 5 = 3 művelet, amikor 15-ből ötöt vonunk ki, hogy nullát kapjunk.

15 - 5 - 5 - 5 = 0 (15:5 osztás)

0 + 5 + 5 + 5 = 15 (5*3-mal szorozva)

Osztani a maradékkal.

17 - 5 - 5 - 5 - 2 = 0

17: 5 = 3 és 2 maradék

Ha van maradékkal való osztás, miért nem szorozunk hozzáfűzéssel?

2 + 5 * 3 = 0 + 2 + 5 + 5 + 5 = 17

Nézzük meg a szövegezés különbségét a számológépen

A szorzás meglévő megfogalmazása (három kifejezés).

10 + 10 + 10 = 30

Javított szorzásformálás (három összeadás a nulla műveletekhez).

0 + 10 = = = 30

(Nyomja meg háromszor az „egyenlő” gombot.)

10 * 3 = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

A 3-as szorzó azt jelzi, hogy a 10-es szorzót háromszor hozzá kell adni nullához.

Próbáld meg a (-10) * (-3) szorzatát a (-10) mínusz háromszori hozzáadásával!

(-10) * (-3) = (-10) + (-10) + (-10) = -10 - 10 - 10 = -30 ?

Mit jelent a három mínusz jel? Talán?

(-10) * (-3) = (-10) - (-10) - (-10) = - 10 + 10 + 10 = 10?

Hoppá... Nem tudom a szorzatot a kifejezések összegére (vagy különbségére) lebontani (-10).

A felülvizsgált megfogalmazás ezt helyesen teszi.

0 - (-10) = = = +30

(-10) * (-3) = 0 - (-10) - (-10) - (-10) = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

A szorzó (-3) azt jelzi, hogy a szorzót (-10) háromszor kell kivonni nullából.

Összeadás és kivonás előírási szabályai

Fentebb egy egyszerű módszert mutattunk be a szorzás jeleinek szabályainak levezetésére a szorzás szóhasználatának megváltoztatásával.

De a következtetéshez az előjelek összeadás és kivonás szabályait használtuk. Szinte ugyanazok, mint a szorzásnál. Készítsünk vizualizációt az összeadás-kivonás előjelek szabályairól, hogy az első osztályos is megértse.

Mi a "mínusz", "negatív"?

A természetben nincs semmi negatív. Nem negatív hőmérséklet, nincs negatív irány, nincs negatív tömeg, nincsenek negatív töltések... Még a szinusz is természeténél fogva csak pozitív lehet.

De a matematikusok negatív számokkal álltak elő. Miért? Mit jelent a "mínusz"?

A mínusz jel az ellenkező irányt jelenti. Bal jobb. Felső alsó. Az óramutató járásával ellentétes irányba. Előre-hátra. Hideg meleg. Könnyű nehéz. Lassú gyors. Ha belegondol, sok más példát is hozhat, ahol kényelmes a használata negatív értékeket mennyiségeket

Az általunk ismert világban a végtelen a nulláról indul, és a plusz végtelenig tart.

A "mínusz végtelen" nem létezik a való világban. Ez ugyanaz a matematikai konvenció, mint a „mínusz” fogalma.

Tehát a „mínusz” az ellenkező irányt jelöli: mozgás, forgás, folyamat, szorzás, összeadás. Elemezzük a különböző irányokat pozitív és negatív (más irányban növekvő) számok összeadásakor és kivonásakor.

Az összeadás és kivonás előjelek szabályainak megértésének nehézsége abból adódik, hogy ezeket a szabályokat általában a számegyenesen magyarázzák el. A számegyenesen három különböző komponens keveredik, amelyekből szabályok származnak. A zűrzavar, a különböző fogalmak egy kupacba rakása miatt pedig megértési nehézségek keletkeznek.

A szabályok megértéséhez fel kell osztanunk:

az első tag és az összeg (a vízszintes tengelyen lesznek);
a második tag (a függőleges tengelyen lesz);
összeadási és kivonási műveletek iránya.

Ez a felosztás jól látható az ábrán. Képzelje el mentálisan, hogy a függőleges tengely el tud forogni, és ráhelyeződik a vízszintes tengelyre.

Az összeadási művelet mindig a függőleges tengely óramutató járásával megegyező irányba történő elforgatásával történik (plusz jel). A kivonási művelet mindig a függőleges tengely óramutató járásával ellentétes irányú elforgatásával történik (mínusz jel).

Példa. Diagram a jobb alsó sarokban.

Látható, hogy kettő van a közelben álló jel A mínusz jel (a kivonási művelet előjele és a 3-as szám előjele) eltérő jelentéssel bír. Az első mínusz a kivonás irányát mutatja. A második mínusz a szám jele a függőleges tengelyen.

Keresse meg az első tagot (-2) a vízszintes tengelyen. Keresse meg a második tagot (-3) a függőleges tengelyen. Mentálisan forgassa el a függőleges tengelyt az óramutató járásával ellentétes irányba, amíg a (-3) egy vonalba nem kerül a vízszintes tengelyen lévő számmal (+1). A szám (+1) az összeadás eredménye.

Kivonás művelet

ugyanazt az eredményt adja, mint a jobb felső sarokban lévő diagram összeadási művelete.

Ezért két szomszédos mínuszjel helyettesíthető egy pluszjellel.

Mindannyian megszoktuk, hogy kész aritmetikai szabályokat használunk anélkül, hogy a jelentésükön gondolkodnánk. Ezért gyakran észre sem vesszük, hogy az összeadás (kivonás) jeleinek szabályai mennyiben különböznek a szorzás (osztás) előjeleinek szabályaitól. Egyformának tűnnek? Majdnem... Egy kis eltérés látható a következő ábrán.

Most már minden megvan, ami a szorzás előjelszabályainak származtatásához szükséges. A kimeneti sorrend a következő.

Világosan bemutatjuk, hogyan érhető el az előjelek összeadás és kivonás szabályai.
Szemantikai változtatásokat végzünk a szorzás meglévő megfogalmazásán.
A szorzás módosított megfogalmazása és az összeadás jeleinek szabályai alapján levezetjük a szorzás jeleinek szabályait.

Jegyzet.

Az alábbiakban meg van írva Összeadás és kivonás előírási szabályai, kapott a vizualizációból. Pirosban pedig összehasonlításképpen ugyanazok a jelek szabályai a matematika tankönyvből. A zárójelben lévő szürke plusz egy láthatatlan plusz, amely nem pozitív számra van írva.

A kifejezések között mindig két előjel van: a műveleti jel és a számjel (nem pluszt írunk, hanem komolyan gondoljuk). Az előjelekre vonatkozó szabályok előírják, hogy az összeadás (kivonás) eredményének megváltoztatása nélkül az egyik karakterpárt egy másik párral kell helyettesíteni. Valójában csak két szabály létezik.

1. és 3. szabály (a megjelenítéshez) - a 4. és 2. szabály megkettőzése. Az iskolai értelmezés 1. és 3. szabálya nem esik egybe a vizuális sémával, ezért nem vonatkoznak a kiegészítésre szolgáló jelek szabályaira. Ezek még néhány szabály...

1. +(+) = -- ......... + (+) = + ???

2. +- = -(+)........ + - = - (+) rendben

3. -(+) = +- ......... - (+) = - ???

4. -- = +(+) ......... - - = + (+) rendben

Iskolai szabály 1. (piros szín) lehetővé teszi, hogy két pluszt egymás után egy pluszra cseréljen. A szabály nem vonatkozik az összeadás és kivonás jeleinek cseréjére.

A 3. iskolai szabály (piros) lehetővé teszi, hogy a kivonási művelet után ne írjunk pluszjelet pozitív számhoz. A szabály nem vonatkozik az összeadás és kivonás jeleinek cseréjére.

Az összeadásra vonatkozó jelek szabályainak jelentése egy karakterpár helyettesítése egy másik karakterpárral anélkül, hogy megváltoztatná az összeadás eredményét.

Az iskolai módszertanosok két szabályt kevertek egy szabályba:

Az előjelekre vonatkozó két szabály pozitív és negatív számok összeadásakor és kivonásakor (egy előjelpár cseréje egy másik előjelpárra);

Két szabály, hogy pozitív számhoz ne írjunk pluszjelet.

Kettő különböző szabályokat, egybe keverve hasonlóak a jelek szorzási szabályaihoz, ahol két jel egy harmadikat eredményez. Pontosan hasonlítanak.

Nagy zűrzavar! Ismét ugyanaz, a jobb kibontás érdekében. Emeljük ki pirossal a műveleti jeleket, hogy megkülönböztessük őket a számjelektől.

1. Összeadás és kivonás. Két jelszabály, amely szerint a kifejezések közötti jelpárok felcserélődnek. Művelet jele és szám jele.

+ + = - - |||||||||| 2 + (+2) = 2 - (-2)

+ - = - + |||||||||| 2 + (-2) = 2 - (+2)

2. Két szabály, amely szerint a pozitív számhoz tartozó pluszjelet nem szabad felírni. Ezek a nevezési lap szabályai. A kiegészítésre nem vonatkozik. Pozitív szám esetén csak a művelet előjelét írjuk le.

- + = - |||||||||| - (+2) = - 2

+ + = + |||||||||| + (+2) = + 2

3. Az előjelek négy szabálya a szorzáshoz. Amikor a tényezők két jele a termék harmadik jelét eredményezi. A szorzójel szabályok csak számjeleket tartalmaznak.

+ * + = + |||||||||| 2 * 2 = 2

+ * - = - |||||||||| 2 * (-2) = -2

- * + = - |||||||||| -2 * 2 = - 2

- * - = + |||||||||| -2 * -2 = 2

Most, hogy szétválasztottuk az űrlapszabályokat, világosnak kell lennie, hogy az összeadás és a kivonás előjelszabályai egyáltalán nem hasonlítanak a szorzás jelszabályaihoz.

V. Kozarenko

Két negatívum igenlővé tesz- Ez egy olyan szabály, amit az iskolában tanultunk, és egész életünkben alkalmazzuk. És melyikünket érdekelte, hogy miért? Természetesen könnyebb megjegyezni ezt a kijelentést anélkül, hogy fölösleges kérdéseket tenne fel, és nem mélyedne el a kérdés lényegében. Most már van elég információ, amit „meg kell emészteni”. De akit ez a kérdés még mindig érdekel, annak megpróbálunk magyarázatot adni erre a matematikai jelenségre.

Ősidők óta használták az emberek a pozitív természetes számokat: 1, 2, 3, 4, 5,... A számokkal számolták az állatállományt, a termést, az ellenséget stb. Két pozitív szám összeadásakor és szorzásakor mindig pozitív számot kaptak, amikor egy mennyiséget osztanak egy másikkal, nem mindig kaptak természetes számokat - így jelentek meg a törtszámok. Mi a helyzet a kivonással? Gyerekkorunk óta tudjuk, hogy jobb, ha kevesebbet adunk többhez, és kevesebbet vonunk ki a többből, és megint nem használunk negatív számokat. Kiderült, hogy ha van 10 almám, akkor csak 10-nél vagy 10-nél kevesebbet tudok adni valakinek. 13 almát nem tudok adni, mert nincs meg. Sokáig nem volt szükség negatív számokra.

Csak a Kr.u. 7. századtól. Egyes számlálórendszerekben negatív számokat használtak segédmennyiségekként, amelyek lehetővé tették, hogy pozitív számot kapjunk a válaszban.

Nézzünk egy példát, 6x – 30 = 3x – 9. A válasz megtalálásához az ismeretlen kifejezéseket a bal oldalon, a többit pedig a jobb oldalon kell hagyni: 6x – 3x = 30 – 9, 3x = 21, x = 7 Az egyenlet megoldása során még Nem voltak negatív számok. Mozgathatnánk az ismeretlennel jobb oldalra, az ismeretlen nélküli kifejezéseket balra: 9 – 30 = 3x – 6x, (-21) = (-3x). Ha egy negatív számot elosztunk egy negatív számmal, pozitív választ kapunk: x = 7.

Mit látunk?

Ha negatív számokkal dolgozunk, akkor ugyanarra a válaszra kell jutnunk, mint ha csak a számokkal dolgoznánk pozitív számok. Nem kell többé a cselekvések gyakorlati lehetetlenségére és értelmetlenségére gondolnunk – ezek segítségével sokkal gyorsabban megoldjuk a problémát, anélkül, hogy az egyenletet csak pozitív számokat tartalmazó formára redukálnánk. Példánkban nem alkalmaztunk összetett számításokat, de ha nagy számú tag van, akkor a negatív számokkal végzett számítások megkönnyíthetik a munkánkat.

Idővel hosszas kísérletek és számítások után sikerült azonosítani azokat a szabályokat, amelyek az összes számot és az azokon végzett műveletet szabályozzák (a matematikában ezeket axiómáknak nevezik). Innen jött egy axióma, amely kimondja, hogy ha két negatív számot megszorozunk, akkor pozitív számot kapunk.

blog.site, az anyag teljes vagy részleges másolásakor az eredeti forrásra mutató hivatkozás szükséges.

1) Miért egyenlő mínusz egyszer mínusz egy plusz egy?

2) Miért egyenlő mínusz egyszer plusz egy mínusz eggyel?

Az ellenségem ellensége a barátom

A legegyszerűbb válasz a következő: „Mert ezek a szabályok a negatív számokkal történő műveletekhez.” Az iskolában tanult és életünk során alkalmazott szabályok. A tankönyvek azonban nem magyarázzák meg, hogy a szabályok miért olyanok, amilyenek. Ezt először az aritmetika fejlődéstörténete alapján próbáljuk megérteni, majd a modern matematika szemszögéből válaszolunk erre a kérdésre.

Réges-régen az emberek csak a természetes számokat ismerték: 1, 2, 3,... Eszközök, zsákmány, ellenségek stb. számlálására használták. De a számok önmagukban teljesen haszontalanok – tudni kell kezelni őket. Az összeadás világos és érthető, ráadásul két természetes szám összege is természetes szám (egy matematikus azt mondaná, hogy a természetes számok halmaza az összeadás művelete alatt zárt). A szorzás lényegében ugyanaz, mint az összeadás, ha természetes számokról beszélünk. Az életben gyakran hajtunk végre ehhez a két művelethez kapcsolódó műveleteket (például vásárláskor összeadunk és szorozunk), és furcsa belegondolni, hogy őseink ritkábban találkoztak velük - az összeadást és a szorzást az emberiség nagyon sokáig uralta. ezelőtt. Gyakran el kell osztani bizonyos mennyiségeket másokkal, de itt az eredmény nem mindig természetes számként jelenik meg - így jelentek meg a törtszámok.

Természetesen nem nélkülözheti a kivonást sem. De a gyakorlatban általában a kisebb számot kivonjuk a nagyobb számból, és nincs szükség negatív számokra. (Ha van 5 cukorkám, és adok a húgomnak 3-at, akkor 5-3 = 2 cukorka marad, de 7 cukorkát akkor sem tudok adni neki, ha akarok.) Ez megmagyarázhatja, hogy az emberek miért nem használnak negatív számokat hosszú idő.

Tekintsük például az egyenletet 7x – 17 = 2x – 2. Megoldható így: az ismeretlennel rendelkező kifejezéseket mozgasd balra, a többit pedig jobbra, majd kiderül 7x – 2x = 17 – 2, 5x = 15, x = 3. Ezzel a megoldással nem is találkoztunk negatív számokkal.

De véletlenül másként is meg lehetett csinálni: áthelyezni az ismeretlen kifejezéseket a jobb oldalra, és megkapni 2-17 = 2x-7x, (–15) = (–5)x. Az ismeretlen megtalálásához el kell osztani egy negatív számot egy másikkal: x = (–15)/(–5). De a helyes válasz ismert, és ezt kell levonni (–15)/(–5) = 3 .

Mit mutat be ez az egyszerű példa? Először is világossá válik a logika, amely meghatározta a negatív számokkal való művelet szabályait: ezen műveletek eredményének meg kell egyeznie a más módon kapott válaszokkal, negatív számok nélkül. Másodszor, a negatív számok használatának megengedésével megszabadulunk az unalmas (ha bonyolultabbnak bizonyul az egyenlet, sok kifejezéssel) olyan megoldás keresésétől, amelyben minden művelet csak természetes számokon történik. Sőt, már nem is gondolhatunk minden alkalommal az átalakított mennyiségek értelmességére – ez pedig már egy lépés afelé, hogy a matematikát elvont tudománnyá tegyük.

Ennek eredményeként egy új koncepció született: gyűrű. Ez csak elemek és a rajtuk végrehajtható műveletek halmaza. Az alapvető szabályok itt a szabályok (ezeket hívják axiómák), amelyek cselekvéseknek vannak kitéve, és nem a halmaz elemeinek természete (íme, az absztrakció új szintje!). Hangsúlyozni kívánva, hogy az axiómák bevezetése után kialakuló szerkezet a fontos, a matematikusok azt mondják: egész számok gyűrűje, polinomok gyűrűje stb. Az axiómákból kiindulva a gyűrűk egyéb tulajdonságaira is következtethetünk.

Gyűrű egy halmaz két bináris művelettel (azaz minden művelet a gyűrű két elemét foglalja magában), amelyeket hagyományosan összeadásnak és szorzásnak neveznek, és a következő axiómákkal:

a gyűrű elemeinek hozzáadása kommutatív ( A + B = B + A bármely elemhez AÉs B) és asszociatív ( A + (B + C) = (A + B) + C) törvények; van egy speciális elem a gyűrűben 0 (semleges additív elem) olyan, hogy A+0=A, és bármely elemhez A van egy ellentétes elem (jelöljük (–A)), Mit A + (–A) = 0;
A szorzás megfelel a kombinációs törvénynek: A·(B·C) = (A·B)·C;
Az összeadást és a szorzást a következő zárójelek nyitási szabályai kapcsolják össze: (A + B) C = A C + B CÉs A (B + C) = A B + A C.

Most ezt bármely elemre bebizonyítjuk AÉs B egy tetszőleges gyűrű igaz, először is, (–A) B = – (A B), és másodszor (–(–A)) = A. Az egységekre vonatkozó állítások ebből könnyen következnek: (–1) 1 = – (1 1) = –1És (–1) · (–1) = – ((–1) · 1) = – (–1) = 1.

Ehhez meg kell állapítanunk néhány tényt. Először is bebizonyítjuk, hogy minden elemnek csak egy ellentétje lehet. Valójában hagyja, hogy az elem A két ellentéte van: BÉs VAL VEL. Azaz A + B = 0 = A + C. Nézzük az összeget A+B+C. Az asszociatív és kommutatív törvényeket, valamint a nulla tulajdonságát felhasználva azt kapjuk, hogy egyrészt az összeg egyenlő B:B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, másrészt pedig egyenlő C:A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Eszközök, B=C.

Ezt most jegyezzük meg A, És (–(–A)) ugyanannak az elemnek az ellentétei (–A), tehát egyenlőnek kell lenniük.

Az első tény így hangzik: 0 = 0 B = (A + (–A)) B = A B + (–A) B, vagyis (–A)·B szemben A·B, ami azt jelenti, hogy egyenlő – (A B).

A matematikai pontosság érdekében magyarázzuk meg, miért 0·B = 0 bármely elemhez B. Valóban, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. Azaz a kiegészítés 0·B nem változtat az összegen. Ez azt jelenti, hogy ez a termék egyenlő nullával.

A matematikai pontosság érdekében magyarázzuk el azt is, hogy miért . Valóban, . Vagyis a hozzáadás nem változtat az összegen. Ez azt jelenti, hogy ez a termék egyenlő nullával.