A derékszögű háromszög hegyesszögének koszinuszát ún. A szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definíciója

A trigonometria a matematikai tudomány egyik ága, amely tanulmányokat folytat trigonometrikus függvényekés felhasználásuk a geometriában. A trigonometria fejlődése az ókori Görögországban kezdődött. A középkor folyamán fontos hozzájárulás A Közel-Kelet és India tudósai hozzájárultak e tudomány fejlődéséhez.

Ez a cikk a trigonometria alapvető fogalmaival és definícióival foglalkozik. Az alapvető trigonometrikus függvények definícióit tárgyalja: szinusz, koszinusz, érintő és kotangens. Jelentésüket a geometria kontextusában magyarázzuk és szemléltetjük.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kezdetben a trigonometrikus függvények definícióit, amelyek argumentuma egy szög, egy derékszögű háromszög oldalainak arányával fejezték ki.

A trigonometrikus függvények definíciói

Egy szög szinusza (sin α) az ezzel a szöggel ellentétes szár és az alsó rész aránya.

Szög koszinusza (cos α) - arány szomszédos láb a hypotenushoz.

Szög érintő (t g α) - az ellenkező oldal és a szomszédos oldal aránya.

Szög kotangens (c t g α) - a szomszédos oldal és az ellenkező oldal aránya.

Ezek a meghatározások a derékszögű háromszög hegyesszögére vonatkoznak!

Adjunk egy illusztrációt.

A C derékszögű ABC háromszögben az A szög szinusza megegyezik a BC láb és az AB hipotenusz arányával.

A szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definíciói lehetővé teszik ezen függvények értékeinek kiszámítását a háromszög oldalainak ismert hosszából.

Fontos emlékezni!

A szinusz és koszinusz értéktartománya -1 és 1 között van. Más szóval a szinusz és a koszinusz értéke -1 és 1 között van. Az érintő és a kotangens értéktartománya a teljes számegyenes, vagyis ezek a függvények bármilyen értéket felvehetnek.

A fent megadott definíciók hegyesszögekre vonatkoznak. A trigonometriában bevezetik az elforgatási szög fogalmát, amelynek értéke a hegyesszöggel ellentétben nem korlátozódik 0 és 90 fok között. .

Ebben az összefüggésben definiálhatunk tetszőleges nagyságú szög szinuszát, koszinuszát, érintőjét és kotangensét. Képzeljünk el egy egységkört, amelynek középpontja a derékszögű koordinátarendszer origójában van.

Az (1, 0) koordinátákkal rendelkező A kezdőpont az egységkör középpontja körül egy bizonyos α szögben elfordul, és az A 1 pontba kerül. A definíciót az A 1 (x, y) pont koordinátáiban adjuk meg.

A forgási szög szinusza (sin).

Az α elforgatási szög szinusza az A 1 (x, y) pont ordinátája. sin α = y

Az elforgatási szög koszinusza (cos).

Az α elforgatási szög koszinusza az A 1 (x, y) pont abszcissza. cos α = x

Az elforgatási szög érintője (tg).

Az α elforgatási szög érintője az A 1 (x, y) pont ordinátájának az abszcisszához viszonyított aránya. t g α = y x

Az elforgatási szög kotangense (ctg).

Az α elforgatási szög kotangense az A 1 (x, y) pont abszcisszájának az ordinátájához viszonyított aránya. c t g α = x y

A szinusz és a koszinusz bármely elforgatási szöghez definiálva van. Ez logikus, mert egy pont abszcissza és ordinátája elforgatás után tetszőleges szögben meghatározható. Más a helyzet az érintővel és a kotangenssel. Az érintő akkor definiálatlan, ha egy pont az elforgatás után egy nulla abszcissza (0, 1) és (0, - 1) pontba kerül. Ilyen esetekben a t g α = y x érintő kifejezésnek egyszerűen nincs értelme, mivel nullával való osztást tartalmaz. Hasonló a helyzet a kotangenssel is. A különbség az, hogy a kotangens nincs meghatározva olyan esetekben, amikor egy pont ordinátája nullára megy.

Fontos emlékezni!

A szinusz és a koszinusz minden α szögre definiálva van.

Az érintő minden szögre definiálva van, kivéve α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

A kotangens minden szögre definiálva van, kivéve α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Gyakorlati példák megoldásánál ne mondjuk, hogy „az α forgásszög szinusza”. A „forgásszög” szavakat egyszerűen kihagytuk, ami arra utal, hogy a szövegkörnyezetből már világos, hogy miről van szó.

Számok

Mi a helyzet egy szám szinuszának, koszinuszának, érintőjének és kotangensének meghatározásával, és nem a forgásszögével?

Egy szám szinusz, koszinusz, érintő, kotangens

Egy szám szinusza, koszinusza, érintője és kotangense t egy olyan szám, amely egyenlő a szinusz, a koszinusz, az érintő és a kotangens in t radián.

Például a 10 π szám szinusza egyenlő a 10 π rad elforgatási szög szinuszával.

Van egy másik megközelítés a szám szinuszának, koszinuszának, érintőjének és kotangensének meghatározására. Nézzük meg közelebbről.

Bármilyen valós szám t az egységkör egy pontja a derékszögű derékszögű koordinátarendszer origójának középpontjához kapcsolódik. A szinusz, a koszinusz, az érintő és a kotangens ennek a pontnak a koordinátáin keresztül határozható meg.

A kör kezdőpontja az (1, 0) koordinátákkal rendelkező A pont.

Pozitív szám t

Negatív szám t megfelel annak a pontnak, ahová a kezdőpont fog menni, ha a kört az óramutató járásával ellentétes irányban mozog, és áthalad a t úton.

Most, hogy létrejött a kapcsolat egy szám és egy kör pontja között, továbblépünk a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definíciójára.

Sine (sin) a t

Egy szám szinusza t- a számnak megfelelő egységkör pontjának ordinátája t. sin t = y

t koszinusza (cos).

Egy szám koszinusza t- a számnak megfelelő egységkör pontjának abszcisszán t. cos t = x

t érintője (tg).

Egy szám érintője t- a számnak megfelelő egységkör egy pontjának ordinátájának és abszcisszájának aránya t. t g t = y x = sin t cos t

A legújabb meghatározások összhangban vannak a jelen bekezdés elején megadott meghatározással, és nem mondanak ellent annak. Mutasson a számnak megfelelő körön t, egybeesik azzal a ponttal, ahová a kiindulási pont egy szöges elfordulás után megy t radián.

Szög- és numerikus argumentum trigonometrikus függvényei

Az α szög minden értéke ennek a szögnek a szinuszának és koszinuszának egy bizonyos értékének felel meg. Csakúgy, mint minden α szög, kivéve α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) egy bizonyos érintőértéknek felel meg. A kotangens a fentiek szerint minden α-ra definiálva van, kivéve α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Azt mondhatjuk, hogy sin α, cos α, t g α, c t g α az alfa szög függvényei, vagy a szögargumentum függvényei.

Hasonlóképpen beszélhetünk szinuszról, koszinuszról, érintőről és kotangensről, mint egy numerikus argumentum függvényéről. Minden valós szám t egy szám szinuszának vagy koszinuszának egy bizonyos értékének felel meg t. A π 2 + π · k, k ∈ Z kivételével minden szám érintőértéknek felel meg. A kotangens ehhez hasonlóan minden számra definiálva van, kivéve π · k, k ∈ Z.

A trigonometria alapfunkciói

Szinusz, koszinusz, érintő és kotangens az alapvető trigonometrikus függvények.

Általában a szövegkörnyezetből kiderül, hogy a trigonometrikus függvény melyik argumentumával (szögargumentumával vagy numerikus argumentumával) van dolgunk.

Térjünk vissza a legelején megadott definíciókhoz és az alfa szöghez, amely 0 és 90 fok között van. A szinusz, koszinusz, érintő és kotangens trigonometrikus definíciói teljes mértékben összhangban vannak geometriai meghatározások, amelyet egy derékszögű háromszög oldalarányaival adunk meg. Mutassuk meg.

Vegyünk egy derékszögű derékszögű koordinátarendszerben egy középpontos egységkört. Forgassuk el az A (1, 0) kezdőpontot legfeljebb 90 fokos szöggel, és a kapott A 1 (x, y) pontból húzzunk merőlegest az abszcissza tengelyére. A kapott derékszögű háromszögben az A 1 O H szög szöggel egyenlőα fordulat, az O H láb hossza megegyezik az A 1 (x, y) pont abszcisszájával. A szöggel szemközti láb hossza megegyezik az A 1 (x, y) pont ordinátájával, a befogó hossza pedig eggyel, mivel ez az egységkör sugara.

A geometriai definíció szerint az α szög szinusza egyenlő a szemközti oldal és a hipotenúzus arányával.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Ez azt jelenti, hogy egy derékszögű háromszögben egy hegyesszög szinuszának a méretarányon keresztül történő meghatározása egyenértékű az α elforgatási szög szinuszának meghatározásával, ahol az alfa 0 és 90 fok közötti tartományban van.

Hasonlóképpen kimutatható a definíciók megfelelése a koszinuszra, az érintőre és a kotangensre.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

A trigonometria tanulmányozását a derékszögű háromszöggel kezdjük. Határozzuk meg, mi a szinusz és a koszinusz, valamint egy hegyesszög érintője és kotangense. Ez a trigonometria alapjai.

Emlékezzünk erre derékszög egy 90 fokkal egyenlő szög. Más szóval, fél elfordított szög.

Éles sarok- kevesebb, mint 90 fok.

Tompaszög- 90 foknál nagyobb. Egy ilyen szöghöz képest a „tompa” nem sértés, hanem matematikai kifejezés :-)

Rajzoljunk egy derékszögű háromszöget. A derékszöget általában jelöli. Felhívjuk figyelmét, hogy a sarokkal szemközti oldalt ugyanaz a betű jelöli, csak kicsi. Így az A szemközti szöget jelöljük.

A szöget a megfelelő görög betűvel jelöljük.

Átfogó derékszögű háromszögnek a szemközti oldala derékszög.

Lábak- hegyesszögekkel ellentétes oldalak.

A szöggel szemben fekvő lábat ún szemben(szöghez viszonyítva). A másik láb, amely a szög egyik oldalán fekszik, ún szomszédos.

Sinus A derékszögű háromszög hegyesszöge a szemközti oldal és a hipotenusz aránya:

Koszinusz hegyesszög egy derékszögű háromszögben - a szomszédos láb és a hipotenusz aránya:

Tangens hegyesszög egy derékszögű háromszögben - az ellenkező oldal és a szomszédos oldal aránya:

Egy másik (ekvivalens) definíció: a hegyesszög érintője a szög szinuszának és koszinuszának aránya:

Kotangens hegyesszög egy derékszögű háromszögben - a szomszédos oldal és az ellenkező oldal aránya (vagy, ami megegyezik, a koszinusz és a szinusz aránya):

Jegyezze fel a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens alapvető összefüggéseit alább. Hasznosak lesznek a problémák megoldása során.

Bizonyítsunk be néhányat közülük.

Rendben, megadtuk a definíciókat és felírtuk a képleteket. De miért van szükségünk még mindig szinuszra, koszinuszra, érintőre és kotangensre?

Tudjuk bármely háromszög szögeinek összege egyenlő.

Ismerjük a közti kapcsolatot a felek derékszögű háromszög. Ez a Pitagorasz-tétel: .

Kiderült, hogy egy háromszög két szögének ismeretében megtalálhatja a harmadikat. Egy derékszögű háromszög két oldalának ismeretében megtalálhatja a harmadikat. Ez azt jelenti, hogy a szögeknek megvan a saját arányuk, és az oldalaknak megvan a sajátjuk. De mit kell tennie, ha egy derékszögű háromszögben ismeri az egyik szöget (a derékszög kivételével) és az egyik oldalt, de meg kell találnia a többi oldalt?

Ezzel találkoztak az emberek a múltban, amikor térképeket készítettek a területről és a csillagos égboltról. Végül is nem mindig lehet közvetlenül megmérni a háromszög minden oldalát.

Szinusz, koszinusz és érintő – más néven trigonometrikus szögfüggvények- közötti kapcsolatokat adni a felekÉs sarkok háromszög. A szög ismeretében speciális táblázatok segítségével megtalálhatja az összes trigonometrikus függvényét. És a háromszög és az egyik oldal szögeinek szinuszainak, koszinuszainak és érintőinek ismeretében megtalálhatja a többit.

Rajzolunk egy táblázatot is a szinusz, koszinusz, tangens és kotangens értékeiről a „jó” szögek -tól -ig.

Kérjük, vegye figyelembe a két piros kötőjelet a táblázatban. Megfelelő szögértékeknél az érintő és a kotangens nem létezik.

Nézzünk meg néhány trigonometriai feladatot a FIPI Feladatbankból.

1. Egy háromszögben a szög , . Megtalálja .

A probléma négy másodperc alatt megoldódik.

Mert a , .

2. Egy háromszögben a szög , , . Megtalálja .

Keressük meg a Pitagorasz-tétel segítségével.

A probléma megoldódott.

A problémákban gyakran vannak háromszögek szögekkel és vagy szögekkel és. Emlékezz fejből az alapvető arányokra!

Egy olyan háromszögnél, amelynek szögei és az at szöggel ellentétes szár egyenlő a hypotenus fele.

Egy háromszög szögekkel és egyenlő szárú. Ebben a hypotenusa szor nagyobb, mint a láb.

Megvizsgáltuk a derékszögű háromszögek megoldásának problémáit – vagyis az ismeretlen oldalak vagy szögek megtalálását. De ez még nem minden! BAN BEN Egységes államvizsga lehetőségek a matematikában sok olyan probléma van, ahol megjelenik egy háromszög külső szögének szinusza, koszinusza, érintője vagy kotangense. Erről bővebben a következő cikkben.

Ebben a cikkben megmutatjuk, hogyan kell adni Szög és szám szinuszának, koszinuszának, érintőjének és kotangensének meghatározásai a trigonometriában. Itt szó lesz a jelölésekről, példákat adunk a bejegyzésekre és grafikus illusztrációkat adunk. Végezetül vonjunk párhuzamot a trigonometria és geometria szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definíciói között.

Oldalnavigáció.

A szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definíciója

Nézzük meg, hogyan alakul ki a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens fogalma iskolai tanfolyam matematika. A geometria órákon egy derékszögű háromszögben adott hegyesszög szinuszának, koszinuszának, érintőjének és kotangensének definíciója. Később pedig a trigonometriát tanulmányozzák, amely a forgásszög és a szám szinuszáról, koszinuszáról, tangenséről és kotangenséről beszél. Mutassuk be mindezeket a definíciókat, mondjunk példákat és tegyük meg a szükséges megjegyzéseket.

Hegyesszög derékszögű háromszögben

A geometria tantárgyból ismerjük a derékszögű háromszög hegyesszögének szinuszát, koszinuszát, érintőjét és kotangensét. Ezek egy derékszögű háromszög oldalainak arányaként vannak megadva. Adjuk meg megfogalmazásukat.

Meghatározás.

Hegyesszög szinusza derékszögű háromszögben az ellenkező oldal és a hipotenusz aránya.

Meghatározás.

Hegyesszög koszinusza derékszögű háromszögben a szomszédos láb és a hypotenus aránya.

Meghatározás.

Hegyesszög érintője derékszögű háromszögben– ez az ellenkező oldal és a szomszédos oldal aránya.

Meghatározás.

Hegyesszög kotangense derékszögű háromszögben- ez a szomszédos oldal és az ellenkező oldal aránya.

A szinusz, a koszinusz, az érintő és a kotangens megnevezése is itt található - sin, cos, tg és ctg.

Például, ha ABC egy derékszögű háromszög C derékszögű, akkor az A hegyesszög szinusza egyenlő a BC szemközti oldal és az AB hipotenusz arányával, azaz sin∠A=BC/AB.

Ezek a definíciók lehetővé teszik egy hegyesszög szinusz, koszinusz, tangens és kotangens értékeinek kiszámítását a derékszögű háromszög oldalainak ismert hosszából, valamint a szinusz, koszinusz, érintő ismert értékéből, kotangens és az egyik oldal hossza, hogy megtaláljuk a többi oldal hosszát. Például, ha tudnánk, hogy egy derékszögű háromszögben az AC szár egyenlő 3-mal és az AB hipotenusz egyenlő 7-tel, akkor az A hegyesszög koszinuszának értékét definíció szerint kiszámíthatjuk: cos∠A=AC/ AB=3/7.

Forgási szög

A trigonometriában elkezdik tágabban nézni a szöget - bevezetik a forgásszög fogalmát. Az elforgatási szög nagysága a hegyesszöggel ellentétben nem korlátozódik 0 és 90 fok között.

Ebben a megvilágításban a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definíciói nem hegyesszöget, hanem tetszőleges méretű szöget - a forgásszöget - adnak meg. Az A 1 pont x és y koordinátáin keresztül vannak megadva, amelyhez az úgynevezett A(1, 0) kezdőpont az O pont körüli α szöggel történő elforgatása után megy – a derékszögű derékszögű koordinátarendszer kezdete. és az egységkör középpontja.

Meghatározás.

A forgási szög szinuszaα az A 1 pont ordinátája, azaz sinα=y.

Meghatározás.

A forgási szög koszinuszaα-t az A 1 pont abszcisszájának nevezzük, azaz cosα=x.

Meghatározás.

A forgási szög érintőjeα az A 1 pont ordinátájának az abszcisszához viszonyított aránya, azaz tanα=y/x.

Meghatározás.

Az elforgatási szög kotangenseα az A 1 pont abszcisszán az ordinátához viszonyított aránya, azaz ctgα=x/y.

A szinusz és a koszinusz bármely α szögre definiálható, hiszen mindig meg tudjuk határozni a pont abszcisszáját és ordinátáját, amit a kezdőpont α szöggel történő elforgatásával kapunk. De az érintő és a kotangens nincs definiálva egyetlen szöghez sem. Az érintő nincs definiálva olyan α szögeknél, amelyeknél a kezdőpont egy nulla abszcissza (0, 1) vagy (0, −1) pontba megy, és ez 90°+180° k, k∈Z (π) szögeknél fordul elő. /2+π·k rad). Valójában ilyen elforgatási szögeknél nincs értelme a tgα=y/x kifejezésnek, mivel nullával való osztást tartalmaz. Ami a kotangenst illeti, az α szögekre nincs definiálva, ahol a kezdőpont a nulla ordinátájú (1, 0) vagy (−1, 0) ponthoz megy, és ez a 180° k, k ∈Z szögeknél fordul elő. (π·k rad).

Tehát a szinusz és a koszinusz minden elforgatási szögre definiálva, az érintő minden szögre van definiálva, kivéve 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad), és a kotangens minden szögre definiálva, kivéve 180° ·k , k∈Z (π·k rad).

A definíciók között szerepelnek az általunk már ismert sin, cos, tg és ctg elnevezések, ezek a forgásszög szinusz, koszinusz, érintő és kotangens jelölésére is szolgálnak (néha tangensnek és kotangensnek megfelelő tan és cot megjelölések is megtalálhatók) . Tehát egy 30 fokos elforgatási szög szinusza sin30°-nak írható fel, a tg(−24°17′) és ctgα bejegyzések megfelelnek a −24° 17 perc elforgatási szög tangensének és az α elforgatási szög kotangensének. . Emlékezzünk vissza, hogy egy szög radiánmértékének felírásakor a „rad” megjelölés gyakran kimarad. Például egy három pi rad elforgatási szög koszinuszát általában cos3·π-nek jelöljük.

Ennek a pontnak a végén érdemes megjegyezni, hogy amikor a forgásszög szinuszáról, koszinuszáról, érintőjéről és kotangenséről beszélünk, gyakran kimarad a „forgásszög” vagy a „forgás” szó. Vagyis az „alfa forgási szög szinusza” kifejezés helyett általában az „alfa szög szinusza” vagy még rövidebben a „szinusz alfa” kifejezést használják. Ugyanez vonatkozik a koszinuszra, az érintőre és a kotangensre is.

Azt is elmondjuk, hogy a derékszögű háromszög hegyesszögének szinuszának, koszinuszának, érintőjének és kotangensének definíciói összhangban vannak a 0 és 90 fok közötti forgásszög szinuszára, koszinuszára, érintőjére és kotangensére adott definíciókkal. Ezt meg fogjuk indokolni.

Számok

Meghatározás.

Egy szám szinusza, koszinusza, érintője és kotangense t egy szám, amely megegyezik az elforgatási szög szinuszával, koszinuszával, tangensével és kotangensével t radiánban.

Például a 8·π szám koszinusza definíció szerint egy olyan szám, amely egyenlő a 8·π rad szög koszinuszával. És a 8·π rad szög koszinusza egyenlő eggyel, ezért a 8·π szám koszinusza egyenlő 1-gyel.

Van egy másik megközelítés a szám szinuszának, koszinuszának, érintőjének és kotangensének meghatározására. Abból áll, hogy minden t valós szám az egységkör egy pontjához van társítva, amelynek középpontja a téglalap alakú koordinátarendszer origójában van, és a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens ennek a pontnak a koordinátáin keresztül határozható meg. Nézzük ezt részletesebben.

Mutassuk meg, hogyan jön létre megfeleltetés a valós számok és a kör pontjai között:

• a 0 számhoz az A(1, 0) kezdőpontot rendeljük;
• pozitív szám t az egységkör pontjához kötjük, amelyhez akkor jutunk el, ha a kör mentén a kezdőponttól az óramutató járásával ellentétes irányba haladunk, és egy t hosszúságú utat járunk be;
• negatív szám t az egységkör pontjához kötjük, amelyhez akkor jutunk el, ha a kör mentén a kezdőponttól az óramutató járásával megegyező irányban haladunk, és egy |t| .

Most áttérünk a t szám szinuszának, koszinuszának, érintőjének és kotangensének definícióira. Tegyük fel, hogy a t szám megfelel az A 1 (x, y) kör egy pontjának (például a &pi/2; szám az A 1 (0, 1) pontnak felel meg).

Meghatározás.

A szám szinusza t a t számnak megfelelő egységkör pontjának ordinátája, azaz sint=y.

Meghatározás.

A szám koszinusza t-t a t számnak megfelelő egységkör pontjának abszcisszájának nevezzük, azaz költség=x.

Meghatározás.

A szám érintője t a t számnak megfelelő egységkör egy pontjának ordinátájának az abszcisszánhoz viszonyított aránya, azaz tgt=y/x. Egy másik ekvivalens megfogalmazásban a t szám tangense e szám szinuszának a koszinuszhoz viszonyított aránya, azaz tgt=sint/cost.

Meghatározás.

A szám kotangense t az abszcissza és a t számnak megfelelő egységkör egy pontjának ordinátájához viszonyított aránya, azaz ctgt=x/y. Egy másik megfogalmazás a következő: a t szám tangense a t szám koszinuszának a t szám szinuszához viszonyított aránya: ctgt=cost/sint.

Itt megjegyezzük, hogy az imént megadott definíciók összhangban vannak a jelen bekezdés elején megadott meghatározással. Valóban, az egységkör t számnak megfelelő pontja egybeesik azzal a ponttal, amelyet a kezdőpont t radiános szöggel történő elforgatásával kapunk.

Ezt a pontot még érdemes tisztázni. Tegyük fel, hogy megvan a sin3 bejegyzés. Hogyan érthetjük meg, hogy a 3-as szám szinuszáról vagy 3 radián elfordulási szögének szinuszáról beszélünk? Ez általában egyértelmű a szövegkörnyezetből, különben valószínűleg nem alapvető fontosságú.

Szög- és numerikus argumentum trigonometrikus függvényei

Az előző bekezdésben megadott definíciók szerint minden α elfordulási szög egy nagyon specifikus sinα értéknek felel meg, valamint a cosα értéknek. Ezen túlmenően a 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) elforgatási szögek tgα értékeknek, és a 180°k-tól eltérő értékeknek, k∈Z (πk rad ) – értékeknek felelnek meg. of ctgα . Ezért sinα, cosα, tanα és ctgα az α szög függvényei. Más szóval, ezek a szögargumentum függvényei.

Hasonlóképpen beszélhetünk egy numerikus argumentum szinusz, koszinusz, tangens és kotangens függvényeiről. Valójában minden t valós szám egy nagyon konkrét sint értéknek és költségnek felel meg. Ezenkívül a π/2+π·k, k∈Z kivételével minden szám a tgt értéknek, a π·k, k∈Z számoknak pedig a ctgt értéknek felel meg.

A szinusz, koszinusz, érintő és kotangens függvényeket nevezzük alapvető trigonometrikus függvények.

A szövegkörnyezetből általában kiderül, hogy szögargumentum trigonometrikus függvényeivel vagy numerikus argumentumokkal van dolgunk. Ellenkező esetben a független változót a szög mértékének (szög argumentum) és numerikus argumentumnak is tekinthetjük.

Az iskolában azonban elsősorban numerikus függvényeket tanulunk, vagyis olyan függvényeket, amelyek argumentumai, valamint a hozzájuk tartozó függvényértékek számok. Ezért ha arról beszélünk kifejezetten a függvényekkel kapcsolatban a trigonometrikus függvényeket célszerű numerikus argumentumok függvényeinek tekinteni.

A geometriából és a trigonometriából származó definíciók kapcsolata

Ha figyelembe vesszük az α elforgatási szöget 0 és 90 fok között, akkor a forgási szög szinuszának, koszinuszának, tangensének és kotangensének definíciói a trigonometria kontextusában teljes mértékben összhangban vannak a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definícióival. hegyesszög egy derékszögű háromszögben, amelyeket a geometria tanfolyamon adunk meg. Ezt indokoljuk meg.

Ábrázoljuk az egységkört az Oxy derékszögű derékszögű koordinátarendszerben. Jelöljük ki a kezdőpontot A(1, 0) . Forgassuk el 0 és 90 fok közötti α szöggel, az A 1 (x, y) pontot kapjuk. Dobjuk az A 1 H merőlegest az A 1 pontból az Ox tengelyre.

Könnyen belátható, hogy egy derékszögű háromszögben az A 1 OH szög egyenlő az α elfordulási szöggel, az e szöggel szomszédos OH szár hossza megegyezik az A 1 pont abszcisszajával, azaz |OH |=x, a szöggel ellentétes A 1 H szár hossza egyenlő az A 1 pont ordinátájával, azaz |A 1 H|=y, az OA 1 befogó hossza pedig eggyel, mivel ez az egységkör sugara. Ekkor a geometriai definíció szerint egy α hegyesszög szinusza egy A 1 OH derékszögű háromszögben egyenlő a szemközti szár és a hipotenusz arányával, azaz sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. És a trigonometria definíciója szerint az α elforgatási szög szinusza egyenlő az A 1 pont ordinátájával, azaz sinα=y. Ez azt mutatja, hogy egy derékszögű háromszögben egy hegyesszög szinuszának meghatározása egyenértékű az α elforgatási szög szinuszának meghatározásával, ha α 0 és 90 fok között van.

Hasonlóképpen kimutatható, hogy az α hegyesszög koszinuszának, érintőjének és kotangensének definíciói összhangban vannak az α elforgatási szög koszinuszának, tangensének és kotangensének definícióival.

Bibliográfia.

1. Geometria. 7-9 évfolyam: tankönyv általános műveltségre intézmények / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev stb.]. - 20. kiadás M.: Oktatás, 2010. - 384 p.: ill. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V. Geometria: Tankönyv. 7-9 évfolyamnak. Általános oktatás intézmények / A. V. Pogorelov. - 2. kiadás - M.: Oktatás, 2001. - 224 p.: ill. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Algebra és elemi függvények: oktatóanyag 9. osztályos tanulók számára Gimnázium/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Szerkesztette a fizikai és matematikai tudományok doktora O. N. Golovin - 4. kiadás. M.: Oktatás, 1969.
4. Algebra: Tankönyv 9. osztály számára. átl. iskola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Szerk. S. A. Telyakovsky - M.: Oktatás, 1990. - 272 pp.: ISBN 5-09-002727-7
5. Algebraés az elemzés kezdete: Proc. 10-11 évfolyamnak. Általános oktatás intézmények / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn és mások; Szerk. A. N. Kolmogorov - 14. kiadás - M.: Oktatás, 2004. - 384 p.: ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkovich A. G. Az algebra és az elemzés kezdetei. 10-es fokozat. 2 p. 1. rész: tutorial for oktatási intézmények(profilszint)/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4. kiadás, add. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 p.: ill. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Algebraés a matematikai elemzés kezdete. 10. évfolyam: tankönyv. általános műveltségre intézmények: alap és profil. szintek /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacseva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; szerk. A. B. Zsizcsenko. - 3. kiadás - I.: Oktatás, 2010.- 368 p.: ill.- ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Basmakov M. I. Az algebra és az elemzés kezdetei: Tankönyv. 10-11 évfolyamnak. átl. iskola - 3. kiadás - M.: Nevelés, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (kézikönyv a műszaki iskolákba lépőknek): Proc. pótlék.- M.; Magasabb iskola, 1984.-351 p., ill.

Utasítás

Ha meg kell találnia a koszinuszát szög tetszőleges háromszögben a koszinusz tételt kell használni:
ha a szög hegyes: cos? = (a2 + b2 – c2)/(2ab);
ha szög: cos? = (c2 – a2 – b2)/(2ab), ahol a, b a sarokkal szomszédos oldalak hossza, c a sarokkal szemközti oldal hossza.

Hasznos tanács

Matematikai jelölés koszinusz – cos.
A koszinusz érték nem lehet nagyobb 1-nél és kisebb, mint -1.

Források:

• hogyan kell kiszámítani egy szög koszinuszát
• Trigonometrikus függvények az egységkörön

Koszinusz a szög alapvető trigonometrikus függvénye. A koszinusz meghatározásának képessége hasznos lesz vektor algebra vektorok különböző tengelyekre vetítéseinek meghatározásakor.

Utasítás

сos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)

Van egy háromszög, amelynek a, b, c oldalai rendre 3, 4, 5 mm.

megtalálja koszinusz a nagyobb oldalak közötti szög.

Jelöljük az a oldallal ellentétes szöget ?-vel, akkor a fenti képlet szerint kapunk:

сos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40 =32/40=0,8

Válasz: 0.8.

Ha a háromszög derékszögű, akkor keresse meg koszinuszés egy szöghez elegendő bármely két oldal hosszának ismerete ( koszinusz derékszög 0).

Legyen egy a, b, c oldalú derékszögű háromszög, ahol c a befogó.

Nézzük meg az összes lehetőséget:

Határozzuk meg a cos?-t, ha a háromszög a és b oldalainak hossza ismert

Ezenkívül használjuk a Pitagorasz-tételt:

сos?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(b?+b?+а?-а?)/(2*b*v(b?+а?)) =(2*b?)/(2*b*v(b?+a?))=b/v(b?+a?)

Annak érdekében, hogy a kapott képlet helyes legyen, behelyettesítjük az 1. példából, pl.

Néhány alapvető számítás elvégzése után a következőket kapjuk:

Hasonlóan találtak koszinusz téglalap alakban háromszög egyéb esetekben:

Ismert a és c (hipoténusz és ellentétes oldal), cos?

сos?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(с?-а?+с?-а?)/(2*с*v(с?-а?)) =(2*с?-2*а?)/(2*с*v(с?-а?))=v(с?-а?)/с.

A példában szereplő a=3 és c=5 értékeket behelyettesítve a következőt kapjuk:

Ismert b és c (hipoténusz és szomszédos láb).

Cos-t találni?

Ha hasonló átalakításokat végeztünk (lásd a 2. és 3. példát), ebben az esetben ezt kapjuk koszinusz V háromszög egy nagyon egyszerű képlettel számítjuk ki:

A levezetett képlet egyszerűsége egyszerűen magyarázható: valójában a sarokkal szomszédos? a láb a hypotenus egy vetülete, hossza megegyezik a hypotenus hosszával szorozva cos?-val.

Az első példában szereplő b=4 és c=5 értékeket behelyettesítve a következőket kapjuk:

Ez azt jelenti, hogy minden képletünk helyes.

5. tipp: Hogyan találhatunk hegyesszöget egy derékszögű háromszögben

Közvetlenül szénsavas a háromszög történelmi szempontból valószínűleg az egyik leghíresebb geometriai alakzat. A pitagoraszi „nadrágok” csak az „Eurekával” versenyezhetnek! Archimedes.

Szükséged lesz

• - háromszög rajza;
• - vonalzó;
• - szögmérő

Utasítás

Egy háromszög szögeinek összege 180 fok. Téglalapban háromszög az egyik szög (egyenes) mindig 90 fokos lesz, a többi pedig hegyes, pl. egyenként 90 foknál kisebb. Annak meghatározása, hogy mekkora szög van egy téglalapban háromszög egyenes, vonalzóval mérje meg a háromszög oldalait, és határozza meg a legnagyobbat. Ez a hipotenusz (AB), és a derékszöggel (C) szemben helyezkedik el. A fennmaradó két oldal derékszöget és lábakat (AC, BC) alkot.

Miután meghatározta, melyik szög hegyes, használhat szögmérőt a szög kiszámításához matematikai képletek segítségével.

A szög szögmérővel történő meghatározásához igazítsa a tetejét (jelöljük az A betűvel) a szögmérő lábának közepén lévő vonalzón található speciális jelöléssel, hogy AC egybeessen a felső élével. Jelölje meg a szögmérő félkör alakú részén azt a pontot, amelyen keresztül az AB hipotenusz. Az ezen a ponton lévő érték a fokban megadott szögnek felel meg. Ha 2 érték van feltüntetve a szögmérőn, akkor hegyesszögnél a kisebbet, a tompaszögnél a nagyobbat kell választani.

Keresse meg a kapott értéket a Bradis referenciakönyvekben, és határozza meg, hogy a kapott számérték melyik szögnek felel meg. Nagyanyáink ezt a módszert alkalmazták.

A miénkben elég a trigonometrikus képletek kiszámításának függvényét venni. Például a beépített Windows számológép. Indítsa el a "Számológép" alkalmazást, a "Nézet" menüpontban válassza a "Műszaki" menüpontot. Számítsa ki a kívánt szög szinuszát, például sin (A) = BC/AB = 2/4 = 0,5

Kapcsolja át a számológépet inverz függvények, a számológép kijelzőjén az INV gombra kattintva, majd az arcszinusz funkciógombra kattintva (a kijelzőn sin a mínusz első hatványhoz jelölve). A következő üzenet jelenik meg a számítási ablakban: asind (0,5) = 30. Azaz. a kívánt szög értéke 30 fok.

Források:

• Bradis asztalok (szinusz, koszinusz)

A koszinusztételt a matematikában leggyakrabban akkor használják, ha meg kell találni egy szög harmadik oldalát és két oldalát. Néha azonban a probléma feltétele fordítva van beállítva: meg kell találni egy szöget adott három oldallal.

Utasítás

Képzeld el, hogy kapsz egy háromszöget, amelyben ismert a két oldal hossza és egy szög értéke. Ennek a háromszögnek az összes szöge nem egyenlő egymással, és az oldalai is eltérő méretűek. A γ szög az AB-vel jelölt háromszög oldalával szemben helyezkedik el, ez az ábra. Ezen a szögön, valamint a fennmaradó AC és BC oldalakon keresztül a koszinusztétel segítségével megtalálhatja a háromszög ismeretlen oldalát, és ebből az alábbi képletet vezeti le:
a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, ahol a=BC, b=AB, c=AC
A koszinusz tételt egyébként általánosított Pitagorasz-tételnek nevezik.

Most képzeljük el, hogy az ábra mindhárom oldala adott, de a γ szöge ismeretlen. Tudva, hogy az a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ alak, alakítsa át ezt a kifejezést úgy, hogy a kívánt érték a γ szög legyen: b^2+c^2=2bc*cosγ+a^2.
Ezután tegye a fenti egyenletet egy kicsit más formába: b^2+c^2-a^2=2bc*cosγ.
Ezt a kifejezést ezután a következőre kell konvertálni: cosγ=√b^2+c^2-a^2/2bc.
Már csak a számokat kell behelyettesíteni a képletbe, és elvégezni a számításokat.

A γ-val jelölt koszinusz megtalálásához a trigonometria inverzével kell kifejezni, amelyet arc koszinusznak neveznek. Az m szám ív koszinusza annak a γ szögnek az értéke, amelynél a γ szög koszinusza egyenlő m-rel. Az y=arccos m függvény csökkenőben van. Képzeljük el például, hogy a γ szög koszinusza egyenlő felével. Ekkor a γ szög az ív koszinuszon keresztül a következőképpen definiálható:
γ = arccos, m = arccos 1/2 = 60°, ahol m = 1/2.
Hasonló módon megkeresheti a háromszög fennmaradó szögeit a másik két ismeretlen oldalával.

A szinusz és a koszinusz két trigonometrikus függvény, amelyeket "közvetlennek" neveznek. Ezeket gyakrabban kell számolni, mint másokat, és ennek a problémának a megoldására ma mindannyiunknak jelentős választási lehetőségei vannak. Az alábbiakban néhány a legtöbb egyszerű módokon.

Utasítás

Használjon szögmérőt, ceruzát és egy darab papírt, ha más számítási mód nem áll rendelkezésre. A koszinusz egyik definíciója egy derékszögű háromszög hegyesszögeiben van megadva - ez egyenlő az ezzel a szöggel ellentétes láb hosszúságának és a hossznak az arányával. Rajzolj egy háromszöget, amelyben az egyik szög derékszögű (90°), a másik pedig a kiszámítani kívánt szög. Az oldalak hossza nem számít – úgy rajzolja meg őket, ahogyan Önnek kényelmesebb a mérés. Mérje meg a kívánt láb és a hipotenúza hosszát, és ossza el az elsőt a másodikkal bármelyik segítségével kényelmes módon.

Használja ki a trigonometrikus függvények értékét a beépített számológép segítségével keresőmotor Nigma, ha van internet-hozzáférése. Például, ha ki kell számítania a 20°-os szög koszinuszát, akkor a http://nigma.ru szolgáltatás főoldalának betöltése után írja be a mezőbe keresési lekérdezés„Koszinusz 20”, és kattintson a „Keresés!” gombra. Kihagyhatja a „fok” szót, és a „koszinusz” szót cos-ra cserélheti – a kereső mindenesetre 15 tizedesjegy pontossággal mutatja az eredményt (0,939692620785908).

Nyissa meg a következővel telepített szabványos programot operációs rendszer Windows, ha nincs internet-hozzáférés. Ezt például úgy teheti meg, hogy egyszerre nyomja meg a win és az r billentyűket, majd írja be a calc parancsot, és kattintson az OK gombra. A trigonometrikus függvények kiszámításához itt található egy „mérnöki” vagy „tudományos” interfész (az operációs rendszer verziójától függően) - válassza ki a kívánt elemet a számológép menü „Nézet” részében. Ezt követően adja meg a szögértéket és kattintson a program felületén a cos gombra.

Videó a témáról

8. tipp: Hogyan határozzuk meg a szögeket egy derékszögű háromszögben

A négyszögletet bizonyos kapcsolatok jellemzik a sarkok és az oldalak között. Némelyik értékének ismeretében másokat is kiszámíthat. Erre a célra képleteket használnak, amelyek viszont a geometria axiómáin és tételein alapulnak.

A szinusz, koszinusz, érintő és kotangens fogalma a trigonometria, a matematika egyik ágának fő kategóriái, és elválaszthatatlanul kapcsolódnak a szög meghatározásához. Ennek a matematikai tudománynak az elsajátítása megköveteli a képletek és tételek memorizálását és megértését, valamint fejlett térbeli gondolkodást. Emiatt a trigonometrikus számítások gyakran nehézségeket okoznak az iskolásoknak és a diákoknak. Ezek leküzdéséhez jobban meg kell ismerkednie a trigonometrikus függvényekkel és képletekkel.

Fogalmak a trigonometriában

A trigonometria alapfogalmainak megértéséhez először meg kell értenie, hogy mi a derékszögű háromszög és a kör szöge, és miért van hozzájuk társítva minden alapvető trigonometrikus számítás. Az a háromszög, amelyben az egyik szög 90 fokos, téglalap alakú. Történelmileg ezt a figurát gyakran használták az építészetben, a navigációban, a művészetben és a csillagászatban. Ennek megfelelően az ábra tulajdonságainak tanulmányozásával és elemzésével az emberek kiszámították a paramétereinek megfelelő arányait.

A derékszögű háromszögekhez kapcsolódó fő kategóriák a hipotenusz és a lábak. A hipotenusz egy háromszög derékszöggel ellentétes oldala. A lábak a fennmaradó két oldal. Bármely háromszög szögeinek összege mindig 180 fok.

A gömbi trigonometria a trigonometria olyan része, amelyet nem az iskolában tanulnak, de olyan alkalmazott tudományokban, mint a csillagászat és a geodézia, a tudósok használják. A háromszög sajátossága a gömbi trigonometriában, hogy mindig 180 foknál nagyobb szögösszege van.

Egy háromszög szögei

Egy derékszögű háromszögben egy szög szinusza a kívánt szöggel ellentétes szár és a háromszög befogójának aránya. Ennek megfelelően a koszinusz a szomszédos láb és a hipotenusz aránya. Mindkét érték mindig kisebb, mint egy, mivel a hipotenusz mindig hosszabb, mint a láb.

A szög érintője egy olyan érték, amely megegyezik a kívánt szög szemközti oldalának a szomszédos oldalához viszonyított arányával, vagy szinusz és koszinusz. A kotangens pedig a kívánt szög szomszédos oldalának az ellenkező oldalhoz viszonyított aránya. Egy szög kotangensét úgy is megkaphatjuk, ha elosztjuk az egyiket az érintő értékével.

Egységkör

Az egységkör a geometriában olyan kör, amelynek sugara eggyel egyenlő. Egy ilyen kört derékszögű koordináta-rendszerben szerkesztünk úgy, hogy a kör középpontja egybeesik az origóponttal, és kezdő pozíció A sugárvektort az X tengely (abszcissza tengely) pozitív iránya határozza meg. A kör minden pontjának két koordinátája van: XX és YY, vagyis az abszcissza és az ordináta koordinátái. Az XX síkban a kör tetszőleges pontját kiválasztva, és abból merőlegest az abszcissza tengelyre ejtve egy derékszögű háromszöget kapunk, amelyet a kiválasztott pont sugara alkot (C betűvel jelölve), a merőlegest az X tengelyre húzzuk. (a metszéspontot G betű jelöli), a szakasz pedig az abszcissza tengelyt az origó (a pontot A betűvel jelöljük) és a G metszéspont között. Az így kapott ACG háromszög egy körbe írt derékszögű háromszög, ahol AG a hypotenus, és AC és GC a lábak. Az AC kör sugara és az abszcissza tengely AG jelölésű szakasza közötti szöget α (alfa)-ként határozzuk meg. Tehát cos α = AG/AC. Figyelembe véve, hogy AC az egységkör sugara, és egyenlő eggyel, kiderül, hogy cos α=AG. Hasonlóképpen, sin α=CG.

Ezen túlmenően ezen adatok ismeretében meghatározható a kör C pontjának koordinátája, mivel cos α=AG, és sin α=CG, ami azt jelenti, hogy a C pontnak a megadott koordinátái vannak (cos α;sin α). Tudva, hogy az érintő egyenlő a szinusz és a koszinusz arányával, megállapíthatjuk, hogy tan α = y/x, és cot α = x/y. A szögek negatív koordinátarendszerben történő figyelembevételével kiszámíthatja, hogy egyes szögek szinusz és koszinusz értéke negatív is lehet.

Számítások és alapképletek

Trigonometrikus függvényértékek

Ha figyelembe vesszük a trigonometrikus függvények lényegét az egységkörön keresztül, néhány szögre levezethetjük ezeknek a függvényeknek az értékeit. Az értékeket az alábbi táblázat tartalmazza.

A legegyszerűbb trigonometrikus azonosságok

Azokat az egyenleteket, amelyekben a trigonometrikus függvény előjele alatt ismeretlen érték található, trigonometrikusnak nevezzük. Azonosságok sin x = α, k - tetszőleges egész számmal:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. sin x = 1, x = π/2 + 2πk.
3. sin x = -1, x = -π/2 + 2πk.
4. sin x = a, |a| > 1, nincs megoldás.
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

A cos x = a értékű azonosságok, ahol k tetszőleges egész szám:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x = -1, x = π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, nincs megoldás.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, x = ±arccos α + 2πk.

A tg x = a értékű azonosságok, ahol k tetszőleges egész szám:

1. tan x = 0, x = π/2 + πk.
2. tan x = a, x = arctan α + πk.

Ctg x = a értékű azonosságok, ahol k tetszőleges egész szám:

1. gyermekágy x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x = a, x = arcctg α + πk.

Redukciós képletek

A konstans képletek ezen kategóriája azokat a módszereket jelöli, amelyekkel az alak trigonometrikus függvényeitől egy argumentum függvényei felé lehet lépni, azaz lecsökkenteni bármely értékű szög szinuszát, koszinuszát, tangensét és kotangensét a megfelelő szögmutatókra. a 0 és 90 fok közötti intervallum a számítások kényelmesebbé tétele érdekében.

A szög szinuszához tartozó függvények redukálására szolgáló képletek így néznek ki:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = sin α.

A szög koszinuszához:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

A fenti képletek használata két szabály szerint lehetséges. Először is, ha a szög értékként (π/2 ± a) vagy (3π/2 ± a) ábrázolható, a függvény értéke megváltozik:

• bűnből cos-ba;
• cos-ból bűnbe;
• tg-ről ctg-re;
• ctg-től tg-ig.

A függvény értéke változatlan marad, ha a szög ábrázolható (π ± a) vagy (2π ± a).

Másodszor, a redukált függvény előjele nem változik: ha kezdetben pozitív volt, akkor az is marad. Ugyanez a negatív függvényekkel.

Összeadási képletek

Ezek a képletek trigonometrikus függvényeiken keresztül fejezik ki két forgási szög összegének és különbségének szinusz, koszinusz, érintő és kotangens értékeit. A szögeket általában α és β jelöléssel jelöljük.

A képletek így néznek ki:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Ezek a képletek bármely α és β szögre érvényesek.

Dupla és hármas szög képletek

A kettős és hármasszögű trigonometrikus képletek olyan képletek, amelyek a 2α és 3α szögek függvényeit az α szög trigonometrikus függvényeihez kapcsolják. Összeadási képletekből származik:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2 α.
3. tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3 α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3α) / (1-tg^2α).

Átmenet az összegről a termékre

Figyelembe véve, hogy 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), leegyszerűsítve ezt a képletet, a sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2 azonosságot kapjuk. Hasonlóképpen sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tanα + tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Átmenet a termékről az összegre

Ezek a képletek az összeg szorzatra való átmenetének azonosságából következnek:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Fokozatcsökkentési képletek

Ezekben az azonosságokban a szinusz és a koszinusz négyzet- és köbhatványai a többszörös szög első hatványának szinuszával és koszinuszával fejezhetők ki:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Univerzális helyettesítés

Az univerzális trigonometrikus helyettesítés képletei a trigonometrikus függvényeket a félszög érintőjével fejezik ki.

• sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), ahol x = π + 2πn;
• cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), ahol x = π + 2πn;
• tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), ahol x = π + 2πn;
• kiságy x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), ahol x = π + 2πn.

Különleges esetek

Az alábbiakban a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek speciális eseteit mutatjuk be (k bármely egész szám).

A szinusz hányadosai:

A koszinusz hányadosai:

Az érintő hányadosai:

A kotangens hányadosai:

Tételek

Szinusztétel

A tételnek két változata van - egyszerű és kiterjesztett. Egyszerű szinusztétel: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Ebben az esetben a, b, c a háromszög oldalai, α, β, γ pedig a szemközti szögek.

Kiterjesztett szinusztétel tetszőleges háromszögre: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. Ebben az azonosságban R jelöli annak a körnek a sugarát, amelybe az adott háromszög be van írva.

Koszinusz tétel

Az azonosság a következőképpen jelenik meg: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. A képletben a, b, c a háromszög oldalai, α pedig az a oldallal ellentétes szög.

Érintőtétel

A képlet két szög érintője és a velük szemben lévő oldalak hossza közötti összefüggést fejezi ki. Az oldalak a, b, c jelzéssel vannak ellátva, a megfelelő szemközti szögek pedig α, β, γ. Az érintőtétel képlete: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2).

Kotangens tétel

A háromszögbe írt kör sugarát összekapcsolja oldalainak hosszával. Ha a, b, c a háromszög oldalai, és A, B, C a velük szemközti szögek, akkor r a beírt kör sugara, p pedig a háromszög fél kerülete, a következő a személyazonosság érvényes:

• kiságy A/2 = (p-a)/r;
• kiságy B/2 = (p-b)/r;
• kiságy C/2 = (p-c)/r.

Alkalmazás

A trigonometria nemcsak elméleti tudomány, amelyhez kapcsolódik matematikai képletek. Tulajdonságait, tételeit és szabályait a gyakorlatban az emberi tevékenység különböző ágai – csillagászat, légi és tengeri navigáció, zeneelmélet, geodézia, kémia, akusztika, optika, elektronika, építészet, közgazdaságtan, gépészet, mérési munka, számítógépes grafika, térképészet, oceanográfia és még sok más.

A szinusz, a koszinusz, az érintő és a kotangens a trigonometria alapfogalmai, amelyek segítségével matematikailag kifejezhető a háromszög oldalainak szögei és hossza közötti összefüggések, és azonosságokon, tételeken, szabályokon keresztül megtalálhatjuk a szükséges mennyiségeket.