Négyzetgyök. Műveletek négyzetgyökökkel

Tulajdonságok négyzetgyök

Eddig öt aritmetikai műveletet hajtottunk végre számokkal: összeadás, kivonás, szorzás, osztás és hatványozás, és a számításokban e műveletek különféle tulajdonságait aktívan felhasználták, például a + b = b + a, an-bn = (ab)n stb.

Ez a fejezet egy új műveletet – a kivonást – mutat be négyzetgyök nem negatív számból. A sikeres használathoz meg kell ismerkednie ennek a műveletnek a tulajdonságaival, amit ebben a részben fogunk megtenni.

Bizonyíték. Vezessük be a következő jelölést: https://pandia.ru/text/78/290/images/image005_28.jpg" alt="Equality" width="120" height="25 id=">!}.

Pontosan így fogjuk megfogalmazni a következő tételt.

(Egy rövid, a gyakorlatban kényelmesebb megfogalmazás: egy tört gyöke egyenlő a gyökök törtével, vagy a hányados gyöke egyenlő a gyökök hányadosával.)

Ezúttal csak egy rövid összefoglalást adunk a bizonyításról, Ön pedig megpróbál megfelelő megjegyzéseket tenni azokhoz, amelyek az 1. Tétel bizonyításának lényegét képezték.

3. megjegyzés. Természetesen ezt a példát másképp is meg lehet oldani, főleg, ha van kéznél mikroszámológép: szorozd meg a 36, ​​64, 9 számokat, majd vedd a kapott szorzat négyzetgyökét. Ön azonban egyetért azzal, hogy a fent javasolt megoldás kulturáltabbnak tűnik.

4. megjegyzés. Az első módszernél „fejjel” számításokat végeztünk. A második mód elegánsabb:
jelentkeztünk képlet a2 - b2 = (a - b) (a + b) és a négyzetgyök tulajdonságot használta.

5. megjegyzés. Néhány „forró fej” néha ezt a „megoldást” kínálja a 3. példában:

Ez természetesen nem igaz: látod - az eredmény nem ugyanaz, mint a 3. példában. A tény az, hogy nincs tulajdonság https://pandia.ru/text/78/290/images/image014_6.jpg" alt="Feladat" width="148" height="26 id=">!} Csak a négyzetgyökök szorzására és osztására vonatkozó tulajdonságok vannak. Legyen óvatos és körültekintő, ne vállaljon vágyálomokat.

Befejezésül ezt a bekezdést hadd jegyezzünk meg még egy dolgot, ami nagyon egyszerű és egyben fontos tulajdon:
ha a > 0 és n - természetes szám, Azt

Négyzetgyök műveletet tartalmazó kifejezések konvertálása

Eddig csak átalakításokat végeztünk racionális kifejezések, ehhez felhasználva a polinomokra vonatkozó műveletek szabályait és algebrai törtek, rövidített szorzóképletek stb. Ebben a fejezetben egy új műveletet vezettünk be - a négyzetgyök műveletet; ezt megállapítottuk

ahol felidézzük, a, b nemnegatív számok.

Ezek felhasználásával képletek, különféle átalakításokat hajthat végre négyzetgyök műveletet tartalmazó kifejezéseken. Nézzünk meg néhány példát, és minden példában feltételezzük, hogy a változók csak nem negatív értékeket vesznek fel.

3. példaÍrja be a szorzót a négyzetgyök jel alá:

6. példa. Egyszerűsítse a Megoldás kifejezést. Végezzünk szekvenciális transzformációkat:

Az x szám négyzetgyöke egy a szám, amelyet önmagával megszorozva az x számot kapjuk: a * a = a^2 = x, √x = a. Mint minden számnál, itt is elvégezheti az összeadás és a kivonás számtani műveleteit négyzetgyökkel.

Utasítás

• Először is, ha négyzetgyököket ad hozzá, próbálja meg kivonni ezeket a gyökereket. Ez akkor lehetséges, ha a gyökjel alatti számok tökéletes négyzetek. Például legyen adott a √4 + √9 kifejezés. Az első 4-es szám a 2-es négyzete. A második 9-es szám a 3-as szám négyzete. Így kiderül, hogy: √4 + √9 = 2 + 3 = 5.
• Ha a gyökérjel alatt nincsenek teljes négyzetek, akkor próbálja meg eltávolítani a szám szorzóját a gyökérjel alól. Például legyen adott a √24 + √54 kifejezés. Tényezősítsd a számokat: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. A 24-es szám 4-es tényezője, amely a négyzetgyök jelből kivehető. Az 54-es szám tényezője 9. Így kiderül, hogy: √24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 . BAN BEN ebben a példában A gyökjel alól a faktor eltávolításának eredményeként lehetőség nyílt az adott kifejezés egyszerűsítésére.
• Legyen két négyzetgyök összege egy tört nevezője, például A / (√a + √b). És legyen a feladata, hogy „megszabaduljon az irracionalitástól a nevezőben”. Ezután használhatja a következő módszert. Szorozzuk meg a tört számlálóját és nevezőjét a √a - √b kifejezéssel. Így a nevezőben a rövidített szorzóképletet kapjuk: (√a + √b) * (√a - √b) = a – b. Analógia szerint, ha a nevező tartalmazza a gyökök közötti különbséget: √a - √b, akkor a tört számlálóját és nevezőjét meg kell szorozni a √a + √b kifejezéssel. Például legyen a 4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3).
• Fontolja meg többet összetett példa megszabadulni az irracionalitástól a nevezőben. Legyen adott a 12 / (√2 + √3 + √5) tört. A tört számlálóját és nevezőjét meg kell szorozni a √2 + √3 - √5 kifejezéssel:
  12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 - √5)) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 - √5) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.
• Végül, ha csak hozzávetőleges értékre van szüksége, akkor egy számológép segítségével kiszámolhatja a négyzetgyököket. Számítsa ki az értékeket minden számhoz külön-külön, és írja le azokat a kívánt pontossággal (például két tizedesjegyig). Ezután hajtsa végre a szükséges aritmetikai műveleteket, mint a közönséges számoknál. Tegyük fel például, hogy ismernie kell a √7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 kifejezés hozzávetőleges értékét.

Fontos számunkra az Ön személyes adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor kérelmet nyújt be az oldalon, összegyűjthetjük különféle információk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, címét Email stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik számunkra, hogy egyedi ajánlatokkal, promóciókkal és egyéb eseményekkel és közelgő eseményekkel kapcsolatba léphessünk Önnel.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
• Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.

Információk közlése harmadik felek számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Szükség esetén - a törvénynek, a bírósági eljárásnak, a bírósági eljárásnak megfelelően és/vagy nyilvános megkeresések vagy a kormányzati szervek az Orosz Föderáció területén - adja ki személyes adatait. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

Gyökök összeadása és kivonása- az egyik leggyakoribb „botlókövek” azok számára, akik középiskolában matematika (algebra) tanfolyamokat végeznek. A helyes összeadás és kivonás megtanulása azonban nagyon fontos, mert a gyökök összegére vagy különbségére vonatkozó példák az egységes államvizsga alapvizsga programjában szerepelnek a „matematika” tudományágban.

Az ilyen példák megoldásának elsajátításához két dologra van szüksége - a szabályok megértésére és a gyakorlat megszerzésére. Egy-két tucat tipikus példa megoldása után a hallgató automatizálja ezt a képességét, és akkor már nem kell félnie az egységes államvizsgán. Az aritmetikai műveletek elsajátítását ajánlatos összeadással kezdeni, mert összeadásuk kicsit egyszerűbb, mint kivonásuk.

Ennek legegyszerűbb módja a négyzetgyök példakénti elmagyarázása. A matematikában létezik egy bevett „négyzetezés” kifejezés. A „négyzetesítés” azt jelenti, hogy egy adott számot egyszer megszorozunk önmagával.. Például, ha 2-es négyzetet adsz, akkor 4-et kapsz. Ha 7-et, akkor 49-et kapsz. A 9 négyzete 81. Tehát 4 négyzetgyöke 2, 49-é 7, 81-é pedig 9.

Ennek a témának a matematika oktatása általában négyzetgyökökkel kezdődik. Annak érdekében, hogy azonnal meg lehessen határozni, a hallgató Gimnázium fejből ismernie kell a szorzótáblát. Azoknak, akik nem ismerik határozottan ezt a táblázatot, tippeket kell használniuk. A szám gyöknégyzetének kinyerésének folyamata jellemzően táblázatos formában van megadva számos iskolai matematikafüzet borítóján.

A gyökerek a következő típusúak:

• négyzet;
• köbös (vagy ún. harmadfokú);
• negyedik fokozat;
• ötödik fokozat.

Hozzáadási szabályok

Egy tipikus példa sikeres megoldásához szem előtt kell tartani, hogy nem minden gyökszám egymásra rakhatók. Ahhoz, hogy összeálljanak, egyetlen mintára kell őket hozni. Ha ez lehetetlen, akkor a problémának nincs megoldása. Az ilyen problémák gyakran megtalálhatók a matematika tankönyvekben is, mint egyfajta csapdát a diákok számára.

Az összeadás nem megengedett azokban a feladatokban, amikor a radikális kifejezések eltérnek egymástól. Ezt úgy lehet szemléltetni egyértelmű példa:

• A tanuló a következő feladat elé néz: adja hozzá 4 és 9 négyzetgyökét;
• tapasztalatlan diák ismeri a szabályokat, általában ezt írja: „4 gyöke + 9 gyöke = 13 gyöke.”
• Nagyon könnyű bebizonyítani, hogy ez a megoldás helytelen. Ehhez meg kell találni a 13 négyzetgyökét, és ellenőrizni kell, hogy a példa helyesen van-e megoldva;
• mikrokalkulátor segítségével megállapíthatja, hogy ez körülbelül 3,6. Most már csak ellenőrizni kell a megoldást;
• 4=2 gyöke és 9=3 gyöke;
• A „kettő” és a „három” számok összege öt. Így ez a megoldási algoritmus hibásnak tekinthető.

Ha a gyökerek azonos fokozatúak, de eltérőek numerikus kifejezések, kivesszük a zárójelekből, és zárójelekbe teszik két radikális kifejezés összege. Így ebből az összegből már kivonják.

Összeadási algoritmus

A legegyszerűbb probléma helyes megoldásához a következőket kell tennie:

1. Határozza meg, hogy pontosan mihez kell kiegészíteni.
2. Fedezze fel, hogy lehetséges-e értékeket adni egymáshoz a matematikában meglévő szabályok alapján.
3. Ha nem összecsukhatóak, akkor át kell alakítani őket, hogy összecsukhatóak legyenek.
4. Miután elvégezte az összes szükséges átalakítást, el kell végeznie az összeadást, és le kell írnia a kész választ. A példa összetettségétől függően fejben vagy mikrokalkulátorral is összeadást végezhet.

Mik a hasonló gyökerek

Egy kiegészítési példa helyes megoldásához először át kell gondolnia, hogyan egyszerűsítheti azt. Ehhez alapvető ismeretekkel kell rendelkeznie arról, hogy mi a hasonlóság.

A hasonlóak azonosításának képessége segít a hasonló összeadási példák gyors megoldásában, egyszerűsített formába hozva azokat. Egy tipikus kiegészítési példa egyszerűsítéséhez a következőket kell tennie:

1. Keress hasonlókat, és különítsd el őket egy csoportba (vagy több csoportba).
2. Írd át a meglévő példát úgy, hogy az azonos jelzővel rendelkező gyökök egyértelműen kövessék egymást (ezt nevezzük csoportosításnak).
3. Ezután még egyszer meg kell írni a kifejezést, ezúttal úgy, hogy a hasonlóak (amelyeknek ugyanaz a mutatója és ugyanaz a gyökfigura) is kövessék egymást.

Ezek után az egyszerűsített példa általában könnyen megoldható.

Bármely összeadási példa helyes megoldásához világosan meg kell értenie az összeadás alapvető szabályait, valamint tudnia kell, hogy mi a gyökér és mi lehet.

Néha az ilyen problémák első pillantásra nagyon nehéznek tűnnek, de általában könnyen megoldhatók a hasonlóak csoportosításával. A legfontosabb a gyakorlás, és akkor a tanuló elkezdi „megtörni a problémákat, mint a diót”. A gyökerek hozzáadása a matematika egyik legfontosabb része, ezért a tanároknak elegendő időt kell fordítaniuk a tanulásra.

Videó

Ez a videó segít megérteni a négyzetgyökös egyenleteket.

1. tény.
\(\bullet\) Vegyünk néhány non-t negatív szám\(a\) (vagyis \(a\geqslant 0\) ). Akkor (számtani) négyzetgyök az \(a\) számból egy ilyen nemnegatív \(b\) számot nevezünk, négyzetre vetve a \(a\) számot kapjuk: \[\sqrt a=b\quad \text(ugyanaz, mint )\quad a=b^2\] A definícióból az következik \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Ezek a korlátozások fontos feltétel a négyzetgyök létezését, és emlékezni kell rájuk!
Emlékezzünk vissza, hogy bármely szám négyzetre vetve nem negatív eredményt ad. Vagyis \(100^2=10000\geqslant 0\) és \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Mi egyenlő \(\sqrt(25)\)? Tudjuk, hogy \(5^2=25\) és \((-5)^2=25\) . Mivel definíció szerint nemnegatív számot kell találnunk, ezért a \(-5\) nem megfelelő, ezért \(\sqrt(25)=5\) (mivel \(25=5^2\) ).
A \(\sqrt a\) értékének meghatározását az \(a\) szám négyzetgyökének felvételével, az \(a\) számot pedig gyök kifejezésnek nevezzük.
\(\bullet\) A definíció alapján a \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\) kifejezés stb. nincs értelme.

2. tény.
A gyors számításokhoz hasznos lesz megtanulni a négyzettáblázatot természetes számok\(1\)-től \(20\)-ig: \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

3. tény.
Milyen műveleteket lehet végrehajtani négyzetgyökökkel?
\(\golyó\) A négyzetgyök összege vagy különbsége NEM EGYENLŐ az összeg vagy különbség négyzetgyökével, azaz \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]Így, ha például ki kell számítania a \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , akkor először meg kell találnia a \(\sqrt(25)\) és \(\) értékeket. sqrt(49)\ ), majd hajtsa össze őket. Ennélfogva, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Ha a \(\sqrt a\) vagy \(\sqrt b\) értékek nem találhatók a \(\sqrt a+\sqrt b\) hozzáadásakor, akkor egy ilyen kifejezés nem transzformálódik tovább, és úgy marad, ahogy van. Például a \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) összegben azt találhatjuk, hogy \(\sqrt(49)\) \(7\) , de a \(\sqrt 2\) nem alakítható át mindenesetre, ezért \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Sajnos ezt a kifejezést nem lehet tovább egyszerűsíteni\(\bullet\) A négyzetgyökök szorzata/hányadosa egyenlő a szorzat/hányados négyzetgyökével, azaz \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (feltéve, hogy az egyenlőség mindkét oldalának van értelme)
Példa: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Ezekkel a tulajdonságokkal kényelmesen megkeresheti a négyzetgyökét nagy számok azok faktorálásával.
Nézzünk egy példát. Keressük meg a következőt: \(\sqrt(44100)\) . Mivel \(44100:100=441\) , akkor \(44100=100\cdot 441\) . Az oszthatóság kritériuma szerint a \(441\) szám osztható \(9\)-el (mivel számjegyeinek összege 9 és osztható 9-cel), ezért \(441:9=49\), azaz \(441=9\ cdot 49\) .
Így kaptuk: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Nézzünk egy másik példát: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Mutassuk meg, hogyan kell számokat beírni a négyzetgyök jel alá a \(5\sqrt2\) kifejezés példáján (a \(5\cdot \sqrt2\) kifejezés rövid jelölése). Mivel \(5=\sqrt(25)\) , akkor \ Vegye figyelembe azt is, hogy pl.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Miert van az? Magyarázzuk meg az 1. példa segítségével). Ahogy már érted, a \(\sqrt2\) számot nem tudjuk valahogy átalakítani. Képzeljük el, hogy \(\sqrt2\) valamilyen \(a\) szám. Ennek megfelelően a \(\sqrt2+3\sqrt2\) kifejezés nem más, mint \(a+3a\) (egy szám \(a\) plusz még három azonos szám \(a\)). És tudjuk, hogy ez négy ilyen számmal egyenlő \(a\) , azaz \(4\sqrt2\) .

4. tény.
\(\bullet\) Gyakran mondják, hogy „nem tudod kivonni a gyökeret”, amikor nem tudsz megszabadulni a gyökér (gyök) \(\sqrt () \ \) jelétől, amikor egy szám értékét megtalálod. . Például felveheti a \(16\) szám gyökerét, mert \(16=4^2\) , ezért \(\sqrt(16)=4\) . De lehetetlen kivonni a \(3\) szám gyökét, azaz megtalálni a \(\sqrt3\), mert nincs olyan szám, amely négyzetbe vonva \(3\) -t adna.
Az ilyen számok (vagy az ilyen számokkal rendelkező kifejezések) irracionálisak. Például számok \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) stb. irracionálisak.
Szintén irracionálisak a \(\pi\) (a „pi” szám, megközelítőleg \(3,14\)), \(e\) (ezt a számot Euler-számnak nevezik, ez megközelítőleg egyenlő \(2,7) \)) stb.
\(\bullet\) Kérjük, vegye figyelembe, hogy bármely szám racionális vagy irracionális. És együtt az összes racionális és minden irracionális szám egy halmazt alkot valós számok halmaza. Ezt a halmazt a \(\mathbb(R)\) betű jelöli.
Ez azt jelenti, hogy az összes bekapcsolt szám Ebben a pillanatban tudjuk, hogy valós számoknak nevezzük.

5. tény.
\(\bullet\) Az \(a\) valós szám modulusa egy nem negatív szám \(|a|\) egyenlő a \(a\) és \(0\) pont távolságával. igazi vonal. Például \(|3|\) és \(|-3|\) egyenlő 3-mal, mivel a \(3\) és \(-3\) és \(0\) pontok távolsága a azonos és egyenlő \(3 \) .
\(\bullet\) Ha \(a\) nemnegatív szám, akkor \(|a|=a\) .
Példa: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Ha \(a\) negatív szám, akkor \(|a|=-a\) .
Példa: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Azt mondják, hogy negatív számoknál a modulus „megeszi” a mínuszt, míg a pozitív számokat, valamint a \(0\) számot változatlanul hagyja a modulus.
DE Ez a szabály csak a számokra vonatkozik. Ha a modulus jele alatt egy ismeretlen \(x\) (vagy más ismeretlen), például \(|x|\) található, amelyről nem tudjuk, hogy pozitív, nulla vagy negatív, akkor szabaduljon meg a modulusból nem tudjuk. Ebben az esetben ez a kifejezés ugyanaz marad: \(|x|\) . \(\bullet\) A következő képletek érvényesek: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( megadva ) a\geqslant 0\] Nagyon gyakran elkövetik a következő hibát: azt mondják, hogy \(\sqrt(a^2)\) és \((\sqrt a)^2\) ugyanaz. Ez csak akkor igaz, ha \(a\) – pozitív szám vagy nulla. De ha \(a\) negatív szám, akkor ez hamis. Elég ezt a példát végiggondolni. Vegyük \(a\) helyett a \(-1\) számot. Ekkor \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , de a \((\sqrt (-1))^2\) kifejezés egyáltalán nem létezik (végül is, a gyök jele alá nem lehet negatív számokat tenni!).
Ezért felhívjuk a figyelmet arra, hogy \(\sqrt(a^2)\) nem egyenlő \((\sqrt a)^2\) -vel! Példa: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), mert \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Mivel \(\sqrt(a^2)=|a|\) , akkor \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (a \(2n\) kifejezés páros számot jelöl)
Vagyis ha olyan szám gyökerét vesszük, amely bizonyos mértékig van, ez a fok megfeleződik.
Példa:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (vegye figyelembe, hogy ha a modul nincs megadva, akkor kiderül, hogy a szám gyöke egyenlő \(-25\) ) de ne felejtsük el, hogy a gyökér definíciója szerint ez nem fordulhat elő: gyökér kinyerésekor mindig pozitív számot vagy nullát kell kapnunk)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (mivel a páros hatvány bármely szám nem negatív)

6. tény.
Hogyan hasonlítsunk össze két négyzetgyököt?
\(\bullet\) Négyzetgyökre igaz: ha \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aPélda:
1) Hasonlítsa össze a \(\sqrt(50)\) és \(6\sqrt2\) . Először is alakítsuk át a második kifejezést \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Így, mivel \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Milyen egész számok között található a \(\sqrt(50)\)?
Mivel \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) és \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Hasonlítsuk össze \(\sqrt 2-1\) és \(0,5\) . Tegyük fel, hogy \(\sqrt2-1>0,5\) : \[\begin(igazított) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((egyet ad hozzá mindkét oldalhoz))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((mindkét oldal négyzetre emelése))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(igazított)\] Látjuk, hogy helytelen egyenlőtlenséget kaptunk. Ezért a feltételezésünk helytelen volt, és \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Vegye figyelembe, hogy egy bizonyos szám hozzáadása az egyenlőtlenség mindkét oldalához nem befolyásolja az előjelét. Egy egyenlőtlenség mindkét oldalának pozitív számmal való szorzása/osztása szintén nem befolyásolja az előjelét, de negatív számmal való szorzás/osztás megfordítja az egyenlőtlenség előjelét!
Egy egyenlet/egyenlőtlenség mindkét oldalát CSAK HA mindkét oldal nem negatív. Például az előző példa egyenlőtlenségében mindkét oldalt négyzetre emelheti, az egyenlőtlenségben \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Nem szabad elfelejteni, hogy \[\begin(igazított) &\sqrt 2\kb 1,4\\ &\sqrt 3\kb 1,7 \end(igazított)\] Ezen számok hozzávetőleges jelentésének ismerete segít a számok összehasonlításában! \(\bullet\) Ahhoz, hogy a négyzettáblázatban nem szereplő nagy számból kinyerjük a gyökét (ha ki lehet húzni), először meg kell határozni, hogy melyik „száz” között található, majd – melyik „ tízes”, majd határozza meg ennek a számnak az utolsó számjegyét. Mutassuk meg, hogyan működik ez egy példán.
Vegyük \(\sqrt(28224)\) . Tudjuk, hogy \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\) stb. Vegye figyelembe, hogy a \(28224\) \(10\,000\) és \(40\,000\) között van. Ezért a \(\sqrt(28224)\) \(100\) és \(200\) között van.
Most határozzuk meg, hogy számunk melyik „tíz” között található (azaz például \(120\) és \(130\) között). A négyzettáblázatból is tudjuk, hogy \(11^2=121\) , \(12^2=144\) stb., majd \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \) ) . Tehát azt látjuk, hogy a \(28224\) \(160^2\) és \(170^2\) között van. Ezért a \(\sqrt(28224)\) szám \(160\) és \(170\) között van.
Próbáljuk meg meghatározni az utolsó számjegyet. Emlékezzünk arra, hogy milyen egyjegyű számok adnak négyzetre \(4\)-t a végén? Ezek a \(2^2\) és \(8^2\) . Ezért a \(\sqrt(28224)\) 2-re vagy 8-ra végződik. Ellenőrizzük ezt. Keressük meg a következőt: \(162^2\) és \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Ezért \(\sqrt(28224)=168\) . Voálá!

A matematika egységes államvizsga megfelelő megoldásához először elméleti anyagot kell tanulmányoznia, amely számos tételbe, képletbe, algoritmusba stb. vezet be. Első pillantásra úgy tűnhet, hogy ez meglehetősen egyszerű. Valójában azonban meglehetősen nehéz feladat megtalálni azt a forrást, amelyben az egységes matematika államvizsga elmélete könnyen és érthető módon kerül bemutatásra bármely képzettségi szintű hallgató számára. Az iskolai tankönyveket nem mindig lehet kéznél tartani. A matematika egységes államvizsga alapképleteinek megtalálása pedig még az interneten is nehéz lehet.

Miért olyan fontos, hogy ne csak az egységes államvizsgázók számára tanuljanak elméletet matematikából?

1. Mert kitágítja a látókörét. A matematika elméleti anyagának tanulmányozása hasznos mindenkinek, aki választ szeretne kapni az őket körülvevő világ ismeretével kapcsolatos kérdések széles körére. A természetben minden rendezett és világos logikával rendelkezik. Pontosan ez tükröződik a tudományban, amelyen keresztül meg lehet érteni a világot.
2. Mert fejleszti az intelligenciát. A matematika egységes államvizsga referenciaanyagainak tanulmányozásával, valamint különféle problémák megoldásával az ember megtanul logikusan gondolkodni és érvelni, hozzáértően és világosan megfogalmazni a gondolatait. Fejleszti az elemzés, az általánosítás és a következtetések levonásának képességét.

Meghívjuk Önt, hogy személyesen értékelje az oktatási anyagok rendszerezésére és bemutatására irányuló megközelítésünk összes előnyét.