A matematikai elvárás nagyobb, mint 1. Matematikai elvárási képlet

Az X valószínűségi változó matematikai elvárása az átlagérték.

1. M(C) = C

2. M(CX) = CM(X), Ahol C= konst

3. M(X ± Y) = M(X) ± M(Y)

4. Ha a valószínűségi változók xÉs Y akkor függetlenek M(XY) = M(X) M(Y)

Diszperzió

Az X valószínűségi változó varianciáját nevezzük

D(X) = S(x – M(X)) 2 p = M(X 2 ) – M 2 (X).

A diszperzió egy valószínűségi változó értékeinek átlagos értékétől való eltérésének mértéke.

1. D(C) = 0

2. D(X + C) = D(X)

3. D(CX) = C 2 D(X), Ahol C= konst

4. Független valószínűségi változókhoz

D(X ± Y) = D(X) + D(Y)

5. D(X ± Y) = D(X) + D(Y) ± 2Cov(x, y)

Az X valószínűségi változó varianciájának négyzetgyökét szórásnak nevezzük .

@3. feladat: Az X valószínűségi változó csak két értéket (0 vagy 1) vegyen fel valószínűségekkel q, p, Ahol p + q = 1. Keresse meg a matematikai elvárást és szórást.

Megoldás:

M(X) = 1 p + 0 q = p; D(X) = (1 – p) 2 p + (0 – p) 2 q = pq.

@4. feladat: Valószínűségi változó elvárása és varianciája x egyenlők 8-cal. Határozzuk meg a valószínűségi változók matematikai elvárását és varianciáját: a) X-4; b) 3X-4.

Megoldás: M(X – 4) = M(X) – 4 = 8 – 4 = 4; D(X – 4) = D(X) = 8; M(3X-4) = 3M(X)-4 = 20; D(3X – 4) = 9D(X) = 72.

@5. feladat: A családok összessége gyermekszám szerinti megoszlása ​​a következő:

Határozza meg x 1, x 2És p2, ha ez ismert M(X)=2; D(X) = 0,9.

Megoldás: p 2 valószínűség egyenlő p 2 = 1 – 0,1 – 0,4 – 0,35 = 0,15. Az ismeretlen x-et a következő egyenletekből találjuk meg: M(X) = x 1 · 0,1 + x 2 · 0,15 + 2 · 0,4 + 3 · 0,35 = 2; D(X) = ·0,1 + ·0,15 + 4·0,4 + 9·0,35 – 4 = 0,9. x 1 = 0; x 2 = 1.

Populáció és minta. Paraméterbecslések

Szelektív megfigyelés

Statisztikai megfigyelés Szervezhet folyamatos és nem folyamatos. A folyamatos megfigyelés magában foglalja a vizsgált sokaság összes egységének (általános sokaság) vizsgálatát. Népesség egy halmaza a fizikai ill jogalanyok, amelyet a kutató feladatának megfelelően tanulmányoz. Ez gyakran gazdaságilag nem életképes, és néha lehetetlen. Ebben a tekintetben az általános populációnak csak egy részét vizsgálják - mintapopuláció .

A mintapopulációból kapott eredmények általános sokaságra általánosíthatók, ha követjük elveket követve:

1. A mintapopulációt véletlenszerűen kell meghatározni.

2. A minta sokaságában az egységek számának elegendőnek kell lennie.

3. Biztosítani kell reprezentativitás ( a minta reprezentativitása). A reprezentatív minta a sokaság kisebb, de pontos modellje, amelyet tükrözni kíván.

Mintatípusok

A gyakorlatban a következő típusú mintákat használják:

a) szigorúan véletlenszerű, b) mechanikus, c) tipikus, d) soros, e) kombinált.

Megfelelő véletlenszerű mintavétel

Nál nél tényleges véletlenszerű minta az egységek kiválasztása a mintapopulációban véletlenszerűen történik, például sorsolással vagy véletlenszám-generátor használatával.

A minták ismételhetők vagy nem ismétlhetők. Az újramintavételezés során a mintavételezett egység visszaküldésre kerül, és megőrzi az ismételt mintavételezési lehetőséget. A nem ismétlődő mintavételnél a mintában szereplő populációs egység a jövőben nem vesz részt a mintában.

A mintavételes megfigyelésben rejlő hibákat, amelyek abból adódnak, hogy a mintapopuláció nem reprodukálja teljesen az általános sokaságot, ún. standard hibák . A mintából nyert mutatók értékei és az általános sokaság mutatóinak megfelelő értékei közötti átlagos négyzetes különbséget jelentik.

A standard hiba számítási képlete véletlenszerű ismételt mintavétel esetén a következő: , véletlenszerű, nem ismétlődő mintavételnél pedig a következő: , ahol S 2 a minta sokaságának varianciája, n/N – minta megosztás, n, N- a mintában és az általános sokaságban lévő egységek száma. Nál nél n = N standard hiba m = 0.

Mechanikus mintavétel

Nál nél mechanikus mintavétel A sokaságot egyenlő intervallumokra osztják, és minden intervallumból véletlenszerűen választanak ki egy egységet.

Például 2%-os mintavételi arány esetén minden 50. egység kerül kiválasztásra a populációs listából.

A mechanikai mintavétel standard hibája egy valóban véletlenszerű, nem ismétlődő mintavétel hibája.

Tipikus minta

Nál nél tipikus minta az általános sokaságot homogén tipikus csoportokra osztjuk, majd minden csoportból véletlenszerűen kiválasztunk egységeket.

Heterogén populáció esetén tipikus mintát használunk. Egy tipikus minta többet ad pontos eredményeket, mert a reprezentativitás biztosított.

Például a tanárokat általános népességként a következő kritériumok szerint csoportokra osztják: nem, tapasztalat, végzettség, végzettség, városi és vidéki iskolák stb.

Egy tipikus minta standard hibáit úgy definiáljuk, mint egy valóban véletlenszerű minta hibáit, azzal az egyetlen különbséggel S 2 helyébe a csoporton belüli eltérések átlaga lép.

Soros mintavétel

Nál nél sorozatos mintavétel az általános populációt külön csoportokra (sorozatokra) osztják, majd a véletlenszerűen kiválasztott csoportokat folyamatos megfigyelésnek vetik alá.

Egy soros minta standard hibáit úgy definiáljuk, mint egy valóban véletlenszerű minta hibáit, azzal az egyetlen különbséggel, hogy S 2 helyébe a csoportok közötti eltérések átlaga lép.

Kombinált minta

Kombinált minta két vagy több mintatípus kombinációja.

Pontbecslés

A végső cél mintamegfigyelés célja a sokaság jellemzőinek megtalálása. Mivel ezt közvetlenül nem lehet megtenni, a mintapopuláció jellemzőit kiterjesztjük az általános sokaságra.

A sokaság számtani átlagának adatokból történő meghatározásának alapvető lehetősége átlagos minta bizonyított Csebisev tétele. Korlátlan nagyítással n annak a valószínűsége, hogy a minta átlaga és az általános átlag közötti különbség tetszőlegesen kicsi lesz, 1-re hajlik.

Ez azt jelenti, hogy a sokaság jellemzői pontossággal. Ezt az értékelést ún pont .

Intervallumbecslés

Az intervallumbecslés alapja az központi határérték tétel.

Intervallumbecslés lehetővé teszi a kérdés megválaszolását: milyen intervallumon belül és milyen valószínűséggel található a populációs paraméter ismeretlen, kívánt értéke?

Általában bizalmi valószínűségről beszélünk p = 1 – a, amellyel az intervallumban lesz – D< < + D, где D = t kr m > 0 határhiba minták, a - szignifikancia szint (a valószínűsége, hogy az egyenlőtlenség hamis lesz), t kr- kritikus érték, amely az értékektől függ nés a. Kis mintára n< 30 t kr a Student t-eloszlás kritikus értékével van megadva egy kétoldali teszthez n– 1 szabadságfok a szignifikanciaszinttel ( t kr(n – 1. a) pontja a „Student-féle t-eloszlás kritikus értékei” táblázatban található, 2. melléklet). n > 30 esetén t kr a normál eloszlás törvényének kvantilise ( t kr az F(t) = (1) Laplace-függvény értéktáblázatából található – a)/2 érvként). p = 0,954-nél a kritikus érték t kr= 2 p = 0,997 kritikus értéknél t kr= 3. Ez azt jelenti, hogy a határhiba általában 2-3-szor nagyobb, mint a standard hiba.

A mintavételi módszer lényege tehát, hogy a sokaság egy bizonyos kis részének statisztikai adatai alapján meg lehet találni egy olyan intervallumot, amelyben megbízhatósági valószínűséggel p az általános populáció kívánt jellemzője megtalálható ( átlagos szám dolgozók, átlagos pontszám, átlagos termelékenység, átlag szórás stb.).

@1. feladat. A társaság vállalkozásainak hitelezőivel történő elszámolások sebességének meghatározására 100 fizetési bizonylatból álló véletlenszerű mintavétel történt egy kereskedelmi bankban, amelynél a pénz átutalásának és átvételének átlagos ideje 22 nap (= 22) volt. szórás 6 nap (S = 6). Valószínűséggel p= 0,954 határozza meg a mintaátlag és a konfidencia intervallum maximális hibáját átlagos időtartama e társaság vállalkozásainak települései.

Megoldás: A mintaátlag határhibája szerint(1)egyenlő D= 2· 0,6 = 1,2, a konfidenciaintervallum pedig (22 – 1,2; 22 + 1,2), azaz. (20,8; 23,2).

§6.5 Korreláció és regresszió

A DSV-k jellemzői és tulajdonságaik. Várakozás, szórás, szórás

Az eloszlási törvény teljes mértékben jellemzi a valószínűségi változót. Ha azonban lehetetlen megtalálni az eloszlási törvényt, vagy ez nem szükséges, akkor korlátozhatja magát egy valószínűségi változó numerikus jellemzőinek nevezett értékek megtalálására. Ezek az értékek meghatároznak egy átlagos értéket, amely köré a valószínűségi változó értékei csoportosulnak, és azt, hogy milyen mértékben szóródnak az átlagérték körül.

Matematikai elvárás A diszkrét valószínűségi változó a valószínűségi változó összes lehetséges értékének és valószínűségeinek szorzatának összege.

A matematikai elvárás akkor áll fenn, ha az egyenlőség jobb oldalán lévő sorozatok abszolút konvergálnak.

A valószínűség szempontjából azt mondhatjuk, hogy a matematikai várakozás megközelítőleg megegyezik a valószínűségi változó megfigyelt értékeinek számtani átlagával.

Példa. A diszkrét valószínűségi változó eloszlásának törvénye ismert. Keresse meg a matematikai elvárást.

Megoldás:

9.2 Tulajdonságok matematikai elvárás

1. Egy állandó érték matematikai elvárása megegyezik magával az állandóval.

2. A konstans tényező kivehető a matematikai elvárás jeleként.

3. Két független valószínűségi változó szorzatának matematikai elvárása megegyezik matematikai elvárásaik szorzatával.

Ez a tulajdonság tetszőleges számú valószínűségi változóra igaz.

4. Két valószínűségi változó összegének matematikai elvárása megegyezik a tagok matematikai elvárásainak összegével.

Ez a tulajdonság tetszőleges számú valószínűségi változóra is igaz.

Végezzünk el n független kísérletet, amelyekben az A esemény bekövetkezésének valószínűsége egyenlő p-vel.

Tétel. Az A esemény előfordulásai számának M(X) matematikai elvárása n független próbában egyenlő a kísérletek számának és az esemény bekövetkezési valószínűségének szorzatával az egyes próbákban.

Példa. Határozzuk meg a Z valószínűségi változó matematikai elvárását, ha ismertek X és Y matematikai elvárásai: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y!

Megoldás:

9.3. Egy diszkrét valószínűségi változó szórása

A matematikai elvárás azonban nem képes teljes mértékben jellemezni a véletlenszerű folyamatot. A matematikai elvárás mellett olyan értéket kell megadni, amely a valószínűségi változó értékeinek a matematikai elvárástól való eltérését jellemzi.

Ez az eltérés egyenlő a valószínűségi változó és a matematikai elvárása közötti különbséggel. Ebben az esetben az eltérés matematikai elvárása nulla. Ez azzal magyarázható, hogy egyes lehetséges eltérések pozitívak, mások negatívak, és kölcsönös törlésük eredményeként nullát kapunk.

Diszperzió (szórás) egy diszkrét valószínűségi változó matematikai elvárása a valószínűségi változó matematikai elvárásától való négyzetes eltérésére.

A gyakorlatban ez a varianciaszámítási módszer kényelmetlen, mert nehézkes számításokhoz vezet nagyszámú valószínűségi változó érték esetén.

Ezért egy másik módszert alkalmaznak.

Tétel. A variancia egyenlő az X valószínűségi változó négyzetének matematikai elvárása és a matematikai elvárás négyzete közötti különbséggel.

Bizonyíték. Figyelembe véve, hogy az M(X) matematikai elvárás és az M2(X) matematikai elvárás négyzete állandó mennyiség, felírhatjuk:

Példa. Határozzuk meg az eloszlási törvény által adott diszkrét valószínűségi változó varianciáját!

Megoldás: .

9.4 Diszperziós tulajdonságok

1. Egy állandó érték varianciája nulla. .

2. A konstans tényező a diszperziós jelből négyzetre emelve vehető ki. .

3. Két független valószínűségi változó összegének szórása egyenlő ezen változók szórásának összegével. .

4. Két független valószínűségi változó különbségének szórása egyenlő ezen változók szórásának összegével. .

Tétel. Az A esemény előfordulásai számának szórása n független próbában, amelyek mindegyikében az esemény bekövetkezésének p valószínűsége állandó, megegyezik a kísérletek számának a bekövetkezési és a nem bekövetkezési valószínűségek szorzatával. az esemény előfordulása az egyes kísérletekben.

9.5. Egy diszkrét valószínűségi változó szórása

Szórás az X valószínűségi változót hívják Négyzetgyök diszperziótól.

Tétel. Véges számú, egymástól független valószínűségi változó összegének szórása egyenlő ezen változók szórása négyzetösszegének négyzetgyökével.

2. Valószínűségszámítás alapjai

Várható érték

Tekintsünk egy valószínűségi változót számértékekkel. Gyakran hasznos egy számot társítani ehhez a funkcióhoz - annak „átlagértékéhez”, vagy ahogy mondják, „átlagértékéhez”, „központi tendencia indexéhez”. Számos okból, amelyek egy része később derül ki, általában a matematikai elvárást használják „átlagértékként”.

3. definíció. Valószínűségi változó matematikai elvárása x hívott szám

azok. a valószínűségi változó matematikai elvárása egy valószínűségi változó értékeinek súlyozott összege súlyokkal, egyenlő valószínűségek megfelelő elemi események.

6. példa. Számítsuk ki a kocka felső lapján megjelenő szám matematikai várható értékét. A 3. definícióból egyenesen következik, hogy

2. állítás. Legyen a valószínűségi változó xértékeket vesz fel x 1, x 2,…, xm. Akkor az egyenlőség igaz

(5)

azok. a valószínűségi változó matematikai elvárása a valószínűségi változó értékeinek súlyozott összege, amelynek súlya megegyezik azzal a valószínűséggel, hogy a valószínűségi változó bizonyos értékeket vesz fel.

Ellentétben (4), ahol az összegzés közvetlenül elemi eseményeken történik, egy véletlen esemény több elemi eseményből is állhat.

Néha az (5) relációt a matematikai elvárás definíciójának tekintik. A 3. definíciót használva azonban, amint az alább látható, könnyebb a valós jelenségek valószínűségi modelljéhez szükséges matematikai elvárás tulajdonságait megállapítani, mint az (5) összefüggést.

Az (5) összefüggés bizonyításához (4) tagokba csoportosítunk -val ugyanazok az értékek véletlen változó:

Mivel a konstans tényező kivehető az összeg előjeléből, akkor

Egy esemény valószínűségének meghatározásával

Az utolsó két relációt felhasználva megkapjuk a szükséges értéket:

A matematikai várakozás fogalma a valószínűség-statisztikai elméletben megfelel a mechanika súlypont fogalmának. Tegyük pontokba x 1, x 2,…, xm a tömegszám tengelyén P(x= x 1 ), P(x= x 2 ),…, P(x= x m) illetőleg. Ekkor az (5) egyenlőség megmutatja, hogy ennek az anyagi pontrendszernek a súlypontja egybeesik a matematikai elvárással, ami a 3. definíció természetességét mutatja.

3. állítás. Hadd x- véletlenszerű érték, M(X)– a matematikai elvárása, A– egy bizonyos szám. Akkor

1) M(a)=a; 2) M(X-M(X))=0; 3M[(x- a) 2 ]= M[(x- M(x)) 2 ]+(a- M(x)) 2 .

Ennek bizonyítására először vegyünk egy olyan valószínűségi változót, amely állandó, azaz. a függvény az elemi események terét egyetlen pontra képezi le A. Mivel a konstans tényező az összeg előjelén túl is kivehető, akkor

Ha egy összeg minden tagját két tagra osztjuk, akkor a teljes összeget két összegre osztjuk, amelyek közül az elsőt az első tagok, a másodikat a második tagok alkotják. Ezért két valószínűségi változó összegének matematikai elvárása X+Y, az elemi események ugyanazon a terén definiált, egyenlő a matematikai elvárások összegével M(X)És M(U) ezek a valószínűségi változók:

M(X+Y)=M(X)+M(Y).

És ezért M(X-M(X)) = M(X)-M(M(X)). Ahogy fentebb látható, M(M(X)) = M(X). Ennélfogva, M(X-M(X)) = M(X) - M(X) = 0.

Mert a (X - a) 2 = ((x – M(x)) + (M(x) - a)} 2 = (x - M(x)) 2 + 2(x - M(x))(M(x) - a) + (M(x) – a) 2 , Azt M[(X - a) 2 ] =M(x - M(x)) 2 + M{2(x - M(x))(M(x) - a)} + M[(M(x) – a) 2 ]. Egyszerűsítsük le az utolsó egyenlőséget. Ahogy a 3. állítás bizonyításának elején látható, egy állandó matematikai elvárása maga ez az állandó, ezért M[(M(x) – a) 2 ] = (M(x) – a) 2 . Mivel a konstans tényező kivehető az összeg előjeléből, akkor M{2(x - M(x))(M(x) - a)} = 2(M(x) - a)M(x - M(x)). Az utolsó egyenlőség jobb oldala 0, mert a fent látható módon M(X-M(X))=0. Ennélfogva, M[(x- a) 2 ]= M[(x- M(x)) 2 ]+(a- M(x)) 2 , amit bizonyítani kellett.

A fentiekből az következik M[(x- a) 2 ] eléri a minimumot A, egyenlő M[(x- M(x)) 2 ], nál nél a = M(X), mivel a 3) egyenlőség második tagja mindig nem negatív, és csak a megadott értékre egyenlő 0-val A.

4. állítás. Legyen a valószínűségi változó xértékeket vesz fel x 1, x 2,…, xm, és f a numerikus argumentum valamilyen függvénye. Akkor

Ennek bizonyítására csoportosítsunk a matematikai elvárást definiáló (4) egyenlőség jobb oldalára azonos értékű tagokat:

Azt a tényt, hogy az állandó tényező kivehető az összeg előjeléből, valamint egy véletlen esemény valószínűségének meghatározását (2) kapjuk

Q.E.D.

5. állítás. Hadd xÉs U– az elemi események ugyanazon terében meghatározott valószínűségi változók, AÉs b- néhány szám. Akkor M(fejsze+ által)= aM(x)+ bM(Y).

A matematikai elvárás definícióját és az összegző szimbólum tulajdonságait felhasználva egyenlőségláncot kapunk:

A szükséges bevált.

A fentiekből látható, hogy a matematikai elvárás hogyan függ a másik referenciapontra és egy másik mértékegységre való átmenettől (átmenet Y=fejsze+b), valamint a valószínűségi változók függvényeihez. A kapott eredményeket folyamatosan felhasználják a műszaki-gazdasági elemzésben, egy vállalkozás pénzügyi-gazdasági tevékenységének értékelésében, az egyik pénznemről a másikra való átállás során a külgazdasági számításokban, a szabályozási és műszaki dokumentációban stb. A vizsgált eredmények lehetővé teszik a ugyanazon számítási képletek használata a különböző paraméterek léptékéhez és eltolásához.

Minden egyes értéket teljes mértékben meghatároz az eloszlásfüggvénye. A gyakorlati problémák megoldásához is elegendő több numerikus jellemző ismerete, amelyeknek köszönhetően lehetővé válik egy valószínűségi változó főbb jellemzőinek rövid bemutatása.

Ezek a mennyiségek elsősorban várható értékÉs diszperzió .

Várható érték— egy valószínűségi változó átlagos értéke a valószínűségszámításban. Jelölve: .

A legtöbb egyszerű módon valószínűségi változó matematikai elvárása X(w), találd meg hogyan integrálLebesgue a valószínűségi mértékkel kapcsolatban R eredeti valószínűségi tér

Megtalálható az as érték matematikai elvárása is Lebesgue integrál tól től x valószínűségi eloszlás szerint R X mennyiségeket x:

ahol az összes lehetséges érték halmaza x.

Függvények matematikai elvárása valószínűségi változóból x terjesztésen keresztül találták meg R X. Például, Ha x- valószínűségi változó és értékekkel f(x)- egyértelmű Borel-félefunkció x , Ez:

Ha F(x)- elosztási funkció x, akkor a matematikai elvárás reprezentálható integrálLebesgue - Stieltjes (vagy Riemann - Stieltjes):

ebben az esetben az integrálhatóság x Ami azt illeti ( * ) az integrál végességének felel meg

Konkrét esetekben, ha x diszkrét eloszlású valószínű értékekkel x k, k = 1, 2, . , és a valószínűségek, akkor

Ha x abszolút folytonos eloszlású valószínűségi sűrűséggel p(x), Azt

ebben az esetben a matematikai elvárás léte egyenértékű a megfelelő sorozat vagy integrál abszolút konvergenciájával.

Egy valószínűségi változó matematikai elvárásának tulajdonságai.

• Egy állandó érték matematikai elvárása ezzel az értékkel egyenlő:

C- állandó;

• M=C.M[X]

• A véletlenszerűen vett értékek összegének matematikai elvárása megegyezik a matematikai várakozásaik összegével:

• Független véletlenszerűen vett változók szorzatának matematikai elvárása = matematikai elvárásaik szorzata:

M=M[X]+M[Y]

Ha xÉs Y független.

ha a sorozat konvergál:

Algoritmus a matematikai elvárások kiszámításához.

A diszkrét valószínűségi változók tulajdonságai: minden értékük átszámozható természetes számokkal; minden értékhez rendeljen egy nem nulla valószínűséget.

1. Szorozd meg a párokat egyesével: x i tovább p i.

2. Adja hozzá minden pár szorzatát x i p i.

Például, Mert n = 4 :

Egy diszkrét valószínűségi változó eloszlásfüggvénye lépésenként azokon a pontokon ugrásszerűen növekszik, amelyek valószínűsége pozitív előjelű.

Példa: Keresse meg a matematikai elvárást a képlet segítségével!

A diszkrét és folytonos valószínűségi változók alapvető numerikus jellemzői: matematikai elvárás, diszperzió és szórás. Tulajdonságaik és példáik.

Az eloszlási törvény (eloszlásfüggvény és eloszlási sorozat vagy valószínűségi sűrűség) teljes mértékben leírja egy valószínűségi változó viselkedését. A feltett kérdés megválaszolásához azonban számos probléma esetén elegendő a vizsgált érték néhány számszerű jellemzőjének ismerete (például átlagértéke és az attól való esetleges eltérés). Tekintsük a diszkrét valószínűségi változók főbb numerikus jellemzőit.

Meghatározás 7.1.Matematikai elvárás A diszkrét valószínűségi változó a lehetséges értékei és a hozzájuk tartozó valószínűségek szorzatának összege:

M(x) = x 1 R 1 + x 2 R 2 + … + x p p p.(7.1)

Ha egy valószínűségi változó lehetséges értékeinek száma végtelen, akkor ha a kapott sorozat abszolút konvergál.

1. megjegyzés. A matematikai elvárást néha ún súlyozott átlag, mivel ez megközelítőleg egyenlő a valószínűségi változó megfigyelt értékeinek számtani átlagával nagyszámú kísérletek.

Jegyzet 2. A matematikai elvárás definíciójából következik, hogy értéke nem kisebb, mint egy valószínűségi változó lehető legkisebb értéke, és nem több, mint a legnagyobb.

3. megjegyzés. Egy diszkrét valószínűségi változó matematikai elvárása az nem véletlenszerű(állandó. Később látni fogjuk, hogy ugyanez igaz a folytonos valószínűségi változókra is.

Példa 1. Határozzuk meg egy valószínűségi változó matematikai elvárását x- a szabványos alkatrészek száma a 10 alkatrészből álló tételből kiválasztott három közül, köztük 2 hibás. Hozzuk létre a terjesztési sorozatot x. A problémakörülményekből az következik x 1, 2, 3 értéket vehet fel. Ekkor

2. példa Határozza meg egy valószínűségi változó matematikai elvárását! x- az érmefeldobások száma a címer első megjelenése előtt. Ez a mennyiség végtelen számú értéket vehet fel (a lehetséges értékek halmaza a halmaz természetes számok). Terjesztési sorozata a következő formában van:

+ (számításkor a végtelenül csökkenő összeg képlete geometriai progresszió: , ahol ).

A matematikai várakozás tulajdonságai.

1) Egy állandó matematikai elvárása megegyezik magával az állandóval:

M(VAL VEL) = VAL VEL.(7.2)

Bizonyíték. Ha figyelembe vesszük VAL VEL diszkrét valószínűségi változóként, amely csak egy értéket vesz fel VAL VEL valószínűséggel R= 1, akkor M(VAL VEL) = VAL VEL?1 = VAL VEL.

2) A konstans tényező kivehető a matematikai elvárás előjeléből:

M(CX) = CM(x). (7.3)

Bizonyíték. Ha a valószínűségi változó x eloszlási sorozatok szerint

Akkor M(CX) = Cx 1 R 1 + Cx 2 R 2 + … + Cx p p p = VAL VEL(x 1 R 1 + x 2 R 2 + … + x p r p) = CM(x).

Meghatározás 7.2. Két valószínűségi változót nevezünk független, ha az egyik eloszlási törvénye nem függ attól, hogy a másik milyen értékeket vett fel. Ellenkező esetben a valószínűségi változók függő.

Meghatározás 7.3. Hívjuk független valószínűségi változók szorzata xÉs Y valószínűségi változó XY, amelyek lehetséges értékei megegyeznek az összes lehetséges érték szorzatával x minden lehetséges értékre Y, és a megfelelő valószínűségek egyenlők a tényezők valószínűségeinek szorzatával.

3) Két független valószínűségi változó szorzatának matematikai elvárása megegyezik a matematikai várakozásaik szorzatával:

M(XY) = M(x)M(Y). (7.4)

Bizonyíték. A számítások egyszerűsítése érdekében arra az esetre szorítkozunk, amikor xÉs Y csak két lehetséges értéket vegyünk fel:

Ennélfogva, M(XY) = x 1 y 1 ?p 1 g 1 + x 2 y 1 ?p 2 g 1 + x 1 y 2 ?p 1 g 2 + x 2 y 2 ?p 2 g 2 = y 1 g 1 (x 1 p 1 + x 2 p 2) + + y 2 g 2 (x 1 p 1 + x 2 p 2) = (y 1 g 1 + y 2 g 2) (x 1 p 1 + x 2 p 2) = M(x)?M(Y).

1. megjegyzés. Hasonlóképpen tudjuk bizonyítani ezt a tulajdonságot több a tényezők lehetséges értékeit.

Jegyzet 2. A 3. tulajdonság tetszőleges számú független valószínűségi változó szorzatára igaz, amit matematikai indukció bizonyít.

Meghatározás 7.4. Határozzuk meg valószínűségi változók összege xÉs Y valószínűségi változóként X+Y, amelyek lehetséges értékei megegyeznek az egyes lehetséges értékek összegével x minden lehetséges értékkel Y; az ilyen összegek valószínűsége megegyezik a feltételek valószínűségeinek szorzatával (függő valószínűségi változók esetén az egyik tag valószínűségének szorzata a második feltételes valószínűségével).

4) Két (függő vagy független) valószínűségi változó összegének matematikai elvárása egyenlő a következő feltételek matematikai elvárásainak összegével:

M (X+Y) = M (x) + M (Y). (7.5)

Bizonyíték.

Tekintsük ismét a 3. tulajdonság igazolásában megadott eloszlási sorozatok által meghatározott valószínűségi változókat. Ezután a lehetséges értékeket X+Y vannak x 1 + nál nél 1 , x 1 + nál nél 2 , x 2 + nál nél 1 , x 2 + nál nél 2. Jelöljük ezek valószínűségét mint R 11 , R 12 , R 21 és R 22. meg fogjuk találni M(x+Y) = (x 1 + y 1)p 11 + (x 1 + y 2)p 12 + (x 2 + y 1)p 21 + (x 2 + y 2)p 22 =

= x 1 (p 11 + p 12) + x 2 (p 21 + p 22) + y 1 (p 11 + p 21) + y 2 (p 12 + p 22).

Bizonyítsuk be R 11 + R 22 = R 1 . Valóban, az esemény, hogy X+Yértékeket vesz fel x 1 + nál nél 1 ill x 1 + nál nél 2, amelynek valószínűsége az R 11 + R 22 egybeesik azzal az eseménnyel, hogy x = x 1 (valószínűsége R 1). Hasonló módon bebizonyosodik, hogy p 21 + p 22 = R 2 , p 11 + p 21 = g 1 , p 12 + p 22 = g 2. Eszközök,

M(X+Y) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + y 1 g 1 + y 2 g 2 = M (x) + M (Y).

Megjegyzés. A 4. tulajdonságból az következik, hogy tetszőleges számú valószínűségi változó összege egyenlő a feltételek matematikai elvárásainak összegével.

Példa. Határozza meg az öt dobókocka dobásakor kapott pontok összegének matematikai elvárását!

Határozzuk meg a dobott pontok számának matematikai elvárását egy dobókocka dobásakor:

M(x 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) Ugyanez a szám egyenlő a tetszőleges kockán dobott pontok számának matematikai elvárásával. Ezért a 4-es tulajdonság szerint M(x)=

Diszperzió.

Ahhoz, hogy fogalmunk legyen egy valószínűségi változó viselkedéséről, nem elég csak a matematikai elvárásait ismerni. Tekintsünk két valószínűségi változót: xÉs Y, amelyet az űrlap terjesztési sorozata határoz meg

meg fogjuk találni M(x) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, M(Y) = 0?0,5 + 100?0,5 = 50. Mint látható, mindkét mennyiség matematikai elvárásai egyenlők, de ha HM(x) jól leírja egy valószínűségi változó viselkedését, mivel annak legvalószínűbb lehetséges értéke (és a fennmaradó értékek nem sokban térnek el 50-től), akkor az értékek Y jelentősen eltávolodott tőle M(Y). Ezért a matematikai elvárással együtt kívánatos tudni, hogy a valószínűségi változó értékei mennyire térnek el tőle. A variancia jellemzi ezt a mutatót.

Meghatározás 7.5.Diszperzió (szórás) egy valószínűségi változónak a matematikai elvárásától való eltérésének négyzetének matematikai elvárása:

D(x) = M (X-M(x))². (7.6)

Határozzuk meg a valószínűségi változó varianciáját x(szabvány részek száma a kiválasztottak között) jelen előadás 1. példájában. Számítsuk ki az egyes lehetséges értékek négyzetes eltérését a matematikai elvárástól:

(1 - 2,4) 2 = 1,96; (2-2,4) 2 = 0,16; (3 - 2,4) 2 = 0,36. Ennélfogva,

1. megjegyzés. A diszperzió meghatározásakor nem magát az átlagtól való eltérést kell értékelni, hanem annak négyzetét. Ez azért történik, hogy a különböző előjelek eltérései ne zárják ki egymást.

Jegyzet 2. A diszperzió definíciójából következik, hogy ez a mennyiség csak nem negatív értékeket vesz fel.

3. megjegyzés. A variancia kiszámítására van egy számításokhoz kényelmesebb képlet, amelynek érvényességét a következő tétel bizonyítja:

7.1. Tétel.D(x) = M(x²) - M²( x). (7.7)

Bizonyíték.

Mit használ M(x) egy állandó érték, és a matematikai elvárás tulajdonságait a (7.6) képletet a következő alakra alakítjuk:

D(x) = M(X-M(x))² = M(x² - 2 X?M(x) + M²( x)) = M(x²) - 2 M(x)?M(x) + M²( x) =

= M(x²) - 2 M²( x) + M²( x) = M(x²) - M²( x), amit bizonyítani kellett.

Példa. Számítsuk ki a valószínűségi változók szórását! xÉs Y szakasz elején tárgyaljuk. M(x) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.

M(Y) = (0 2 ?0,5 + 100²?0,5) - 50² = 5000 - 2500 = 2500. Tehát a második valószínűségi változó varianciája több ezerszer nagyobb, mint az elsőé. Így ezeknek a mennyiségeknek az eloszlási törvényeinek ismerete nélkül is az ismert diszperziós értékek alapján kijelenthetjük, hogy x alig tér el matematikai elvárásától, míg for Y ez az eltérés igen jelentős.

A diszperzió tulajdonságai.

1) Egy állandó érték varianciája VAL VEL egyenlő nullával:

D (C) = 0. (7.8)

Bizonyíték. D(C) = M((C-M(C))²) = M((C-C)²) = M(0) = 0.

2) Az állandó tényező a diszperziós előjelből négyzetre emelve vehető ki:

D(CX) = C² D(x). (7.9)

Bizonyíték. D(CX) = M((CX-M(CX))²) = M((CX-CM(x))²) = M(C²( X-M(x))²) =

= C² D(x).

3) Két független valószínűségi változó összegének szórása egyenlő szórásaik összegével:

D(X+Y) = D(x) + D(Y). (7.10)

Bizonyíték. D(X+Y) = M(x² + 2 XY + Y²) - ( M(x) + M(Y))² = M(x²) + 2 M(x)M(Y) +

+ M(Y²) - M²( x) - 2M(x)M(Y) - M²( Y) = (M(x²) - M²( x)) + (M(Y²) - M²( Y)) = D(x) + D(Y).

Következmény 1. Több egymástól független valószínűségi változó összegének szórása egyenlő szórásaik összegével.

Következmény 2. Egy állandó és egy valószínűségi változó összegének szórása megegyezik a valószínűségi változó varianciájával.

4) Két független valószínűségi változó különbségének szórása egyenlő szórásaik összegével:

D(X-Y) = D(x) + D(Y). (7.11)

Bizonyíték. D(X-Y) = D(x) + D(-Y) = D(x) + (-1)² D(Y) = D(x) + D(x).

A variancia egy valószínűségi változó átlagtól való négyzetes eltérésének átlagos értékét adja meg; Magának az eltérésnek a kiértékeléséhez a szórásnak nevezett értéket használjuk.

Meghatározás 7.6.Szórásσ valószínűségi változó x a variancia négyzetgyökének nevezzük:

Példa. Az előző példában az átlagok szórások xÉs Y rendre egyenlők