Számítás nélkül határozza meg, hogy helyes vagy helytelen tört-e. Nem megfelelő tört

A közönséges törteket \textit (helyes) és \textit (nem megfelelő) törtekre osztják. Ez a felosztás a számláló és a nevező összehasonlításán alapul.

Helyes törtek

Megfelelő tört Egy közönséges $\frac(m)(n)$ törtet hívunk meg, amelyben a számláló kisebb, mint a nevező, azaz. millió dollár

1. példa

Például a $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$ törtek helyesek. , tehát hogy mindegyikben a számláló kisebb, mint a nevező, ami megfelel a megfelelő tört definíciójának.

Létezik a megfelelő tört definíciója, amely a tört eggyel való összehasonlításán alapul.

helyes, ha egynél kisebb:

2. példa

Például a $\frac(6)(13)$ köztört megfelelő, mert A $\frac(6)(13) feltétel teljesül

Nem megfelelő törtek

Nem megfelelő tört Meghívunk egy közönséges $\frac(m)(n)$ törtet, amelyben a számláló nagyobb vagy egyenlő, mint a nevező, azaz. $m\ge n$.

3. példa

Például a $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$ törtek szabálytalanok. , tehát hogyan lehet mindegyikben a számláló nagyobb vagy egyenlő a nevezővel, ami megfelel a nem megfelelő tört definíciójának.

Adjuk meg a nem megfelelő tört definícióját, amely az eggyel való összehasonlításon alapul.

A $\frac(m)(n)$ közönséges tört az rossz, ha egyenlő vagy nagyobb, mint egy:

\[\frac(m)(n)\ge 1\]

4. példa

Például a $\frac(21)(4)$ köztört helytelen, mert a $\frac(21)(4) >1$ feltétel teljesül;

a $\frac(8)(8)$ köztört helytelen, mert a $\frac(8)(8)=1$ feltétel teljesül.

Nézzük meg közelebbről a nem megfelelő tört fogalmát.

Vegyük például a $\frac(7)(7)$ helytelen törtet. Ennek a törtnek az a jelentése, hogy hét részt veszünk egy tárgyból, amelyet hét egyenlő részre osztunk. Így a rendelkezésre álló hét megosztásból a teljes objektum összeállítható. Azok. a $\frac(7)(7)$ helytelen tört az egész objektumot írja le, és a $\frac(7)(7)=1$. Tehát a nem megfelelő törtek, amelyekben a számláló egyenlő a nevezővel, egy egész objektumot írnak le, és egy ilyen tört helyettesíthető a $1$ természetes számmal.

$\frac(5)(2)$ - teljesen nyilvánvaló, hogy ebből az öt második részből $2$ egész objektumot lehet összeállítani (egy egész objektum $2$ részből fog állni, két egész objektum összeállításához pedig szükség van $2+2=4$ részvény) és egy második részvény marad. Ez azt jelenti, hogy a $\frac(5)(2)$ nem megfelelő tört egy objektum $2$-ját, a $\frac(1)(2)$ pedig ennek az objektumnak a részét írja le.

$\frac(21)(7)$ -- huszonegy hetedrészből $3$ egész objektumot készíthet ($3$ objektum 7$ megosztással mindegyikben). Azok. a $\frac(21)(7)$ tört $3$ egész objektumot ír le.

A vizsgált példákból a következő következtetést vonhatjuk le: egy helytelen tört helyettesíthető természetes számmal, ha a számláló teljesen osztható a nevezővel (például $\frac(7)(7)=1$ és $\ frac(21)(7)=3$) , vagy egy természetes szám és egy megfelelő tört összege, ha a számláló nem osztható teljesen a nevezővel (például $\ \frac(5)(2)=2 +\frac(1)(2)$). Ezért nevezik az ilyen törteket rossz.

1. definíció

A nem megfelelő tört természetes szám és megfelelő tört összegeként való ábrázolásának folyamatát (például $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) ún. elválasztja az egész részt egy nem megfelelő törttől.

A nem megfelelő törtekkel való munka során szoros kapcsolat van köztük és vegyes számok.

Nem megfelelő tört gyakran vegyes számként írják le - olyan szám, amely egy egész számból és egy tört részből áll.

Ha nem megfelelő törtet vegyes számként szeretne felírni, el kell osztania a számlálót a nevezővel egy maradékkal. A hányados a vegyes szám egész része lesz, a maradék a tört rész számlálója, az osztó pedig a tört rész nevezője.

5. példa

Írja be a $\frac(37)(12)$ helytelen törtet vegyes számként.

Megoldás.

Ossza el a számlálót a nevezővel egy maradékkal:

\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (maradék\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]

Válasz.$\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)$.

Ha vegyes számot nem megfelelő törtként szeretne írni, meg kell szoroznia a nevezőt a szám teljes részével, hozzá kell adnia a tört rész számlálóját a kapott szorzathoz, és a kapott összeget be kell írnia a tört számlálójába. A helytelen tört nevezője egyenlő lesz a vegyes szám tört részének nevezőjével.

6. példa

Írja be a $5\frac(3)(7)$ vegyes számot nem megfelelő törtként.

Megoldás.

Válasz.$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$.

Vegyes számok és megfelelő törtek összeadása

Vegyes szám kiegészítés$a\frac(b)(c)$ és megfelelő tört A $\frac(d)(e)$ végrehajtása úgy történik, hogy egy adott törthez hozzáadjuk egy adott vegyes szám tört részét:

7. példa

Adja hozzá a megfelelő $\frac(4)(15)$ törtet és a $3\frac(2)(5)$ vegyes számot.

Megoldás.

Használjuk a képletet egy vegyes szám és egy megfelelő tört összeadásához:

\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\left(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\right)=3+\ left(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+\frac(4)(15)\right)=3+\frac(6+4)(15)=3+\frac(10)( 15)\]

A \textit(5) számmal való osztással megállapíthatjuk, hogy a $\frac(10)(15)$ tört redukálható. Végezzük el a redukciót, és keressük meg az összeadás eredményét:

Tehát a megfelelő $\frac(4)(15)$ és a $3\frac(2)(5)$ kevert szám összeadásának eredménye $3\frac(2)(3)$.

Válasz:$3\frac(2)(3)$

Vegyes számok és helytelen törtek hozzáadása

Helytelen törtek és vegyes számok összeadása két vegyes szám hozzáadására redukálódik, amihez elegendő az egész részt elkülöníteni a nem megfelelő törttől.

8. példa

Számítsa ki a $6\frac(2)(15)$ vegyes szám és a $\frac(13)(5)$ helytelen tört összegét!

Megoldás.

Először vonjuk ki az egész részt a helytelen $\frac(13)(5)$ törtből:

Válasz:$8\frac(11)(15)$.

A „frakciók” szó sok embernek libabőrt okoz. Mert emlékszem az iskolára és a matematikából megoldott feladatokra. Ez egy kötelesség volt, amelyet teljesíteni kellett. Mi lenne, ha a megfelelő és helytelen törtekkel kapcsolatos problémákat úgy kezelnéd, mint egy rejtvényt? Hiszen sok felnőtt dönt a digitális és Japán keresztrejtvények. Kitaláltuk a szabályokat és ennyi. Itt is ugyanaz. Csak bele kell mélyedni az elméletbe – és minden a helyére kerül. A példák pedig az agy edzésének módszerévé válnak.

Milyen típusú törtek léteznek?

Kezdjük azzal, hogy mi az. A tört olyan szám, amelynek van egy része. Kétféle formában írható. Az elsőt közönségesnek hívják. Vagyis olyan, amelyiknek vízszintes vagy ferde vonala van. Egyenértékű az osztásjellel.

Egy ilyen jelölésben a vonal feletti számot számlálónak, az alatta lévő számot nevezőnek nevezzük.

A közönséges törtek között megkülönböztetünk megfelelő és helytelen törteket. Az előbbinél a számláló abszolút értéke mindig kisebb, mint a nevező. A rosszakat hívják így, mert náluk minden fordítva van. A megfelelő tört értéke mindig kisebb egynél. Míg a hibás mindig nagyobb ennél a számnál.

Vannak vegyes számok is, vagyis olyanok, amelyeknek egész és tört része van.

A második típusú jelölés a tizedes tört. Róla külön beszélgetés folyik.

Miben különböznek a helytelen törtek a vegyes számoktól?

Lényegében semmi. Ezek csak ugyanazon szám különböző felvételei. A helytelen törtek egyszerű lépések után könnyen kevert számokká válnak. És fordítva.

Minden a konkrét helyzettől függ. Néha kényelmesebb a nem megfelelő tört használata a feladatokban. És néha át kell alakítani vegyes számmá, és akkor a példa nagyon könnyen megoldható. Ezért mit kell használni: helytelen törtek, vegyes számok, a problémamegoldó megfigyelőképességétől függ.

A vegyes számot az egész rész és a tört rész összegével is összehasonlítjuk. Ráadásul a második mindig kisebb egynél.

Hogyan ábrázoljunk egy vegyes számot helytelen törtként?

Ha bármilyen műveletet kell végrehajtania több beírt számmal különböző típusok, akkor ugyanolyanná kell tenni őket. Az egyik módszer a számok helytelen törtként való ábrázolása.

Ebből a célból a következő algoritmust kell végrehajtania:

szorozzuk meg a nevezőt az egész résszel;
add hozzá a számláló értékét az eredményhez;
írd a választ a sor fölé;
hagyja a nevezőt változatlan.

Íme néhány példa arra, hogyan írhat helytelen törteket vegyes számokból:

17 ¼ = (17 x 4 + 1): 4 = 69/4;
39 ½ = (39 x 2 + 1): 2 = 79/2.

Hogyan írjunk hibás törtet vegyes számként?

A következő technika a fent tárgyaltnak az ellenkezője. Vagyis amikor az összes kevert szám helytelen törtekkel van helyettesítve. A műveletek algoritmusa a következő lesz:

ossza el a számlálót a nevezővel, hogy megkapja a maradékot;
írja be a hányadost a vegyes egész része helyére;
a maradékot a vonal fölé kell helyezni;
az osztó lesz a nevező.

Példák egy ilyen átalakításra:

76/14; 76:14 = 5 maradék 6; a válasz 5 egész és 6/14 lesz; ebben a példában a tört részt 2-vel kell csökkenteni, ami 3/7-et eredményez; a végső válasz 5 pont 3/7.

108/54; osztás után a 2 hányadosát maradék nélkül kapjuk meg; ez azt jelenti, hogy nem minden helytelen tört ábrázolható vegyes számként; a válasz egész szám lesz - 2.

Hogyan lehet egy egész számot helytelen törtté alakítani?

Vannak helyzetek, amikor ilyen intézkedésre van szükség. Ha ismert nevezővel szeretne helytelen törteket kapni, akkor a következő algoritmust kell végrehajtania:

megszorozunk egy egész számot a kívánt nevezővel;
írja ezt az értéket a sor fölé;
tedd alá a nevezőt.

A legegyszerűbb megoldás, ha a nevező egyenlő eggyel. Akkor nem kell szorozni semmit. Elég, ha a példában megadott egész számot felírjuk, és egyet a sor alá helyezünk.

Példa: Tegye az 5-öt helytelen törtté 3-as nevezővel. 5-öt 3-mal megszorozva 15-öt kapunk. Ez a szám lesz a nevező. A feladat válasza tört: 15/3.

A különböző számokkal kapcsolatos problémák megoldásának két megközelítése

A példában ki kell számítani az összeget és a különbséget, valamint két szám szorzatát és hányadosát: 2 egész szám 3/5 és 14/11.

Első megközelítésben a vegyes szám helytelen törtként jelenik meg.

A fent leírt lépések végrehajtása után a következő értéket kapja: 13/5.

Ahhoz, hogy megtudja az összeget, csökkentenie kell a törteket ugyanaz a nevező. A 13/5 11-gyel való szorzás után 143/55 lesz. És a 14/11 5-tel való szorzás után így fog kinézni: 70/55. Az összeg kiszámításához csak a számlálókat kell összeadni: 143 és 70, majd egy nevezővel felírni a választ. 213/55 - ez a helytelen tört a válasz a problémára.

A különbség megtalálásakor ugyanazokat a számokat vonjuk ki: 143 - 70 = 73. A válasz tört lesz: 73/55.

A 13/5 és 14/11 szorzásakor nem kell ezeket közös nevezőre redukálni. Elég a számlálókat és a nevezőket párban megszorozni. A válasz: 182/55.

Ugyanez vonatkozik a felosztásra is. Mert a helyes döntés az osztást szorzással kell helyettesíteni, és meg kell fordítani az osztót: 13/5: 14/11 = 13/5 x 11/14 = 143/70.

A második megközelítésben A helytelen törtből vegyes szám lesz.

Az algoritmus műveleteinek végrehajtása után a 14/11 vegyes számmá válik, amelynek egész része 1 és tört része 3/11.

Az összeg kiszámításakor külön-külön kell összeadni az egész és a tört részt. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. A végső válasz 3 pont 48/55. Első megközelítésben a tört 213/55 volt. A helyességét vegyes számmá alakítva ellenőrizheti. Miután 213-at elosztjuk 55-tel, a hányados 3, a maradék pedig 48. Könnyen belátható, hogy a válasz helyes.

Kivonáskor a „+” jelet „-” váltja fel. 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Az ellenőrzéshez az előző megközelítésben kapott választ vegyes számmá kell konvertálni: 73 osztva 55-tel, és a hányados 1, a maradék pedig 18.

A szorzat és hányados megtalálásához kényelmetlen a vegyes számok használata. Itt mindig ajánlatos áttérni a nem megfelelő törtekre.

Megfelelő tört

Szállás

Rend. aÉs b van egy szabály, amely lehetővé teszi, hogy a köztük lévő három kapcsolat közül csak egyet egyedileg azonosítsunk: „< », « >" vagy " = ". Ezt a szabályt úgy hívják rendelési szabályés a következőképpen van megfogalmazva: két nem negatív szám, és ugyanazzal az összefüggéssel kapcsolódnak egymáshoz, mint két egész szám és ; két nem pozitív szám aÉs b ugyanazzal a kapcsolattal állnak kapcsolatban, mint két nem negatív szám és ; ha hirtelen a nem negatív, de b- akkor negatív a > b.
src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Törtek hozzáadásaÖsszeadás művelet. aÉs b van egy ún összegzési szabály c. Ráadásul maga a szám c hívott összeg számok aÉs bés jelöli, és az ilyen szám megtalálásának folyamatát hívjuk összegzés. Az összegzési szabály a következő formájú: .
Szorzási művelet.Összeadás művelet. aÉs b van egy ún szorzási szabály, amely valamilyen racionális számot rendel hozzájuk c. Ráadásul maga a szám c hívott munka számok aÉs bés -vel jelöljük, és az ilyen szám megtalálásának folyamatát is hívják szorzás. A szorzási szabály így néz ki: .
A sorrendi viszony tranzitivitása. A racionális számok tetszőleges hármasára a , bÉs c Ha a kevesebb bÉs b kevesebb c, Azt a kevesebb c, és ha a egyenlő bÉs b egyenlő c, Azt a egyenlő c.
6435">Az összeadás kommutativitása. A racionális kifejezések helyének megváltoztatása nem változtatja meg az összeget. Az összeadás asszociativitása.
A három racionális szám összeadásának sorrendje nem befolyásolja az eredményt. Nulla jelenléte.
Létezik egy 0 racionális szám, amely összeadáskor minden más racionális számot megtart. Ellentétes számok jelenléte.
Bármely racionális számnak van egy ellentétes racionális száma, amelyhez hozzáadva 0-t kapunk. A szorzás kommutativitása.
A racionális tényezők helyének megváltoztatása nem változtatja meg a terméket. A szorzás asszociativitása.
A három racionális szám szorzásának sorrendje nem befolyásolja az eredményt. Az egység elérhetősége.
Létezik egy racionális 1-es szám, amely minden más racionális számot megszoroz. Reciprok számok jelenléte.
Minden racionális számnak van egy inverz racionális száma, amelyet megszorozva 1-et kapunk. A szorzás eloszlása az összeadáshoz viszonyítva.
A szorzási művelet az összeadási művelettel az elosztási törvényen keresztül egyeztethető össze: A rendelési viszony összekapcsolása az összeadás műveletével.
Ugyanaz a racionális szám hozzáadható egy racionális egyenlőtlenség bal és jobb oldalához./pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0"> a Arkhimédész axiómája. a Bármi legyen is a racionális szám

, annyi egységet vehet fel, hogy azok összege meghaladja

src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

További tulajdonságok

Racionális számok számozása

A racionális számok számának becsléséhez meg kell találni a halmazuk számosságát. Könnyű bizonyítani, hogy a racionális számok halmaza megszámlálható. Ehhez elég egy olyan algoritmust megadni, amely racionális számokat számlál, azaz bijekciót hoz létre a racionális és a természetes számok halmazai között.

A legegyszerűbb algoritmus így néz ki. Egy végtelen táblázat jön létre közönséges törtek, mindegyiken én-adik sor mindegyikben j oszlopa, amelynek a törtje található. A határozottság érdekében feltételezzük, hogy a táblázat sorai és oszlopai egytől kezdődően vannak számozva. A táblázat celláit jelöli, ahol én- annak a táblázatnak a sorszáma, amelyben a cella található, és j- oszlopszám.

Az eredményül kapott táblázatot a következő formális algoritmus szerint egy „kígyó” segítségével járjuk be.

Ezek a szabályok felülről lefelé keresnek, és a következő pozíciót az első mérkőzés alapján választják ki.

Egy ilyen bejárás során minden új racionális szám egy másikhoz kapcsolódik természetes szám. Vagyis az 1/1-es tört az 1-es számhoz, a 2/1-es tört a 2-eshez van rendelve stb. Megjegyzendő, hogy csak az irreducibilis törtek vannak számozva. Az irreducibilitás formális jele, hogy a tört számlálójának és nevezőjének legnagyobb közös osztója eggyel egyenlő.

Ezt az algoritmust követve minden pozitív racionális számot felsorolhatunk. Ez azt jelenti, hogy a pozitív racionális számok halmaza megszámlálható. Könnyű bijekciót létrehozni a pozitív és negatív racionális számok halmazai között úgy, hogy minden racionális számhoz egyszerűen hozzárendeli az ellentétét. Hogy. a negatív racionális számok halmaza is megszámlálható. Egyesülésük a megszámlálható halmazok tulajdonságával is megszámlálható. A racionális számok halmaza egy megszámlálható halmaz és egy véges halmaz uniójaként is megszámlálható.

A racionális számok halmazának megszámlálhatóságára vonatkozó állítás némi zavart okozhat, mivel első pillantásra úgy tűnik, hogy sokkal kiterjedtebb, mint a természetes számok halmaza. Valójában ez nem így van, és van elég természetes szám az összes racionális szám felsorolásához.

A racionális számok hiánya

Egy ilyen háromszög befogója semmilyen racionális számmal nem fejezhető ki

1 / alakú racionális számok n szabadlábon n tetszőlegesen kis mennyiségek mérhetők. Ez a tény azt a félrevezető benyomást kelti, hogy a racionális számok bármilyen geometriai távolság mérésére használhatók. Könnyű kimutatni, hogy ez nem igaz.

A Pitagorasz-tételből tudjuk, hogy egy derékszögű háromszög befogóját a lábai négyzetösszegének négyzetgyökével fejezzük ki. Hogy. egy egyenlő szárú hipotenuszának hossza derékszögű háromszög egységszárral egyenlő, azaz olyan számmal, amelynek négyzete 2.

Ha feltételezzük, hogy egy szám valamilyen racionális számmal ábrázolható, akkor van ilyen egész més olyan természetes szám n, hogy , és a tört irreducibilis, azaz számok mÉs n- kölcsönösen egyszerű.

Ha , akkor , azaz m 2 = 2n 2. Ezért a szám m 2 páros, de kettő szorzata páratlan számok páratlan, ami azt jelenti, hogy maga a szám m is akár. Tehát van egy természetes szám k, így a szám m formában ábrázolható m = 2k. Szám négyzet m ebben az értelemben m 2 = 4k 2, de másrészt m 2 = 2n 2 jelentése 4 k 2 = 2n 2, ill n 2 = 2k 2. Ahogy a számnál korábban is látható volt m, ez azt jelenti, hogy a szám n- akár úgy is m. De akkor nem viszonylag elsődlegesek, mivel mindkettő ketté van osztva. Az így kapott ellentmondás bizonyítja, hogy nem racionális szám.

Az összes tudomány királynőjének – a matematikának – tanulmányozása közben egy ponton mindenki törtekkel találkozik. Bár ez a fogalom (mint maguk a törtek típusai vagy a velük végzett matematikai műveletek) egyáltalán nem bonyolult, óvatosan kell kezelni, mert igazi életet Iskolán kívül nagyon hasznos lesz. Frissítsük fel tehát ismereteinket a törtekkel kapcsolatban: mik ezek, mire valók, milyen típusok és hogyan lehet velük különféle számtani műveleteket végrehajtani.

Őfelsége töredéke: mi az

A matematikában a törtek olyan számok, amelyek mindegyike egy egység egy vagy több részéből áll. Az ilyen törteket közönségesnek vagy egyszerűnek is nevezik. Általában két számként írják őket, amelyeket vízszintes vagy perjellel választanak el, ezt „törtvonalnak” nevezik. Például: ½, ¾.

E számok közül a felső vagy az első a számláló (megmutatja, hogy hány részt vettünk ki a számból), az alsó vagy a második pedig a nevező (megmutatja, hogy az egység hány részre van felosztva).

A törtsáv valójában osztásjelként funkcionál. Például 7:9=7/9

Hagyományosan a közönséges törtek kisebbek egynél. Míg a tizedesjegyek nagyobbak lehetnek nála.

Mire valók a törtek? Igen, mindenre, mert a való világban nem minden szám egész szám. Például a kávézóban két iskolás lány együtt vett egy finom csokit. Amikor meg akarták osztani a desszertet, találkoztak egy barátjukkal, és úgy döntöttek, hogy őt is megajándékozzák. Most azonban helyesen kell felosztani a csokoládét, tekintve, hogy 12 négyzetből áll.

Eleinte a lányok mindent egyenlően akartak elosztani, majd mindegyiknek négy darab jutott. Ám miután végiggondolták a dolgot, úgy döntöttek, hogy nem 1/3-ával, hanem 1/4-ével kedveskednek barátjuknak. És mivel az iskoláslányok nem tanultak jól törteket, nem számoltak azzal, hogy ilyen helyzetben 9 darabot kapnak, amit nagyon nehéz kettéosztani. Ez a meglehetősen egyszerű példa megmutatja, milyen fontos egy szám egy részének helyes megtalálása. De az életben sokkal több ilyen eset van.

Törtfajták: közönséges és tizedes

Minden matematikai tört két nagy kategóriába sorolható: közönséges és decimális. Az első jellemzőit az előző bekezdésben ismertettük, így most érdemes a másodikra figyelni.

A tizedes egy szám törtrészének helyzeti jelölése, amelyet írásban, vesszővel elválasztva, kötőjel vagy perjel nélkül írnak le. Például: 0,75, 0,5.

Valójában a tizedes tört azonos a közönséges törttel, de a nevezője mindig egy, amelyet nullák követnek – innen ered a neve is.

A vessző előtti szám egész szám, az utána lévő pedig tört. Imádom egyszerű tört decimálisra konvertálható. Így az előző példában jelzett tizedes törtek a szokásos módon írhatók: ¾ és ½.

Érdemes megjegyezni, hogy mind a tizedes, mind a közönséges törtek lehetnek pozitívak vagy negatívak. Ha „-” jel előzi meg, ez a tört negatív, ha a „+” pozitív tört.

A közönséges törtek altípusai

Vannak ilyen típusú egyszerű törtek.

A tizedes tört altípusai

Az egyszerű törtekkel ellentétben a tizedes tört csak 2 típusra oszlik.

Végső - azért kapta ezt a nevet, mert a tizedesvessző után korlátozott (véges) számú számjegy van: 19.25.
A végtelen tört olyan szám, amelynek a tizedesvessző után végtelen számú számjegye van. Például ha 10-et elosztunk 3-mal, az eredmény egy végtelen tört 3,333...

Törtek hozzáadása

A törtekkel végzett különféle aritmetikai manipulációk végrehajtása kissé nehezebb, mint a közönséges számokkal. Ha azonban megérti az alapvető szabályokat, nem lesz nehéz bármilyen példát megoldani velük.

Például: 2/3+3/4. A legkisebb közös többszörösük 12 lesz, ezért szükséges, hogy ez a szám minden nevezőben szerepeljen. Ehhez megszorozzuk az első tört számlálóját és nevezőjét 4-gyel, így 8/12 lesz, ugyanezt tesszük a második taggal is, de csak 3 - 9/12-vel szorozzuk meg. Most könnyen megoldhatod a példát: 8/12+9/12= 17/12. A kapott tört hibás mértékegység, mert a számláló nagyobb, mint a nevező. A 17:12 = 1 és az 5/12 elosztásával helyes vegyessé alakítható és kell is.

Vegyes törtek összeadásakor a műveleteket először egész számokkal, majd törtekkel hajtjuk végre.

Ha a példa egy tizedes törtet és egy szabályos törtet tartalmaz, akkor mindkettőt egyszerűvé kell tenni, majd hozni őket ugyanarra a nevezőre, és össze kell adni őket. Például 3,1+1/2. A 3.1-es szám így írható fel vegyes frakció 3 és 1/10 vagy helytelenül - 31/10. A kifejezések közös nevezője 10 lesz, tehát az 1/2 számlálóját és nevezőjét felváltva 5-tel kell megszorozni, így 5/10-et kapunk. Akkor könnyen kiszámolhatsz mindent: 31/10+5/10=35/10. A kapott eredmény egy nem megfelelő redukálható tört, normál formába hozzuk, 5-tel csökkentve: 7/2 = 3 és 1/2, vagy tizedes - 3,5.

2 tizedes tört összeadásakor fontos, hogy a tizedesvessző után ugyanannyi számjegy legyen. Ha ez nem így van, akkor csak hozzá kell adni a szükséges számú nullát, mert in decimális ezt fájdalommentesen meg lehet tenni. Például 3,5+3,005. A probléma megoldásához hozzá kell adni 2 nullát az első számhoz, majd egyesével hozzá kell adni: 3,500+3,005=3,505.

Törtek kivonása

A törtek kivonásánál ugyanazt kell tenni, mint az összeadásnál: közös nevezőre redukálni, egy számlálót kivonni a másikból, és szükség esetén az eredményt átváltani vegyes törtté.

Például: 16/20-5/10. A közös nevező 20 lesz. A második törtet ehhez a nevezőhöz kell hozni úgy, hogy mindkét részét megszorozzuk 2-vel, így 10/20-at kapunk. Most meg tudod oldani a példát: 16/20-10/20= 6/20. Ez az eredmény azonban redukálható törtekre vonatkozik, ezért érdemes mindkét oldalt elosztani 2-vel, és az eredmény 3/10.

Törtek szorzása

Törtek osztása és szorzása - sokkal több egyszerű lépéseket mint az összeadás és a kivonás. A helyzet az, hogy ezeknek a feladatoknak az elvégzésekor nem kell közös nevezőt keresni.

A törtek szorzásához egyszerűen meg kell szoroznia mindkét számlálót egyenként, majd mindkét nevezőt. Csökkentse a kapott eredményt, ha a tört csökkenthető mennyiség.

Például: 4/9x5/8. Alternatív szorzás után az eredmény 4x5/9x8=20/72. Ez a tört 4-gyel csökkenthető, így a végső válasz a példában 5/18.

Hogyan kell osztani a törteket

A törtek osztása is egyszerű művelet, valójában még mindig a szorzás. Az egyik tört egy másikkal való osztásához meg kell fordítania a másodikat, és meg kell szoroznia az elsővel.

Például a törtek 5/19 és 5/7 elosztása. A példa megoldásához fel kell cserélni a második tört nevezőjét és számlálóját, és meg kell szorozni: 5/19x7/5=35/95. Az eredmény 5-tel csökkenthető – 7/19 derül ki.

Ha törtet el kell osztani egy prímszámmal, akkor a technika kissé eltér. Kezdetben ezt a számot hibás törtként kell írni, majd ugyanazon séma szerint kell osztani. Például a 2/13:5-öt úgy kell írni, hogy 2/13: 5/1. Most meg kell fordítania 5/1-et, és meg kell szoroznia a kapott törteket: 2/13x1/5 = 2/65.

Néha vegyes törteket kell osztani. Úgy kell kezelnie őket, mint az egész számokkal: fordítsa át őket helytelen törtekre, fordítsa meg az osztót, és mindent megszoroz. Például 8 ½: 3. Alakítson át mindent helytelen törtté: 17/2: 3/1. Ezt követi a 3/1-es átfordítás és a szorzás: 17/2x1/3= 17/6. Most át kell konvertálnia a nem megfelelő törtet a megfelelőre - 2 egész és 5/6.

Tehát, miután rájött, mik a törtek, és hogyan lehet velük különféle aritmetikai műveleteket végrehajtani, meg kell próbálnia nem feledkezni erről. Hiszen az emberek mindig hajlamosabbak valamit részekre osztani, mint összeadni, ezért tudnia kell helyesen csinálni.

Nem megfelelő tört

Szállás

Rend. aÉs b van egy szabály, amely lehetővé teszi, hogy a köztük lévő három kapcsolat közül csak egyet egyedileg azonosítsunk: „< », « >" vagy " = ". Ezt a szabályt úgy hívják rendelési szabályés a következőképpen van megfogalmazva: két nem negatív szám, és ugyanazzal az összefüggéssel kapcsolódnak egymáshoz, mint két egész szám és ; két nem pozitív szám aÉs b ugyanazzal a kapcsolattal állnak kapcsolatban, mint két nem negatív szám és ; ha hirtelen a nem negatív, de b- akkor negatív a > b.
src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Törtek hozzáadásaÖsszeadás művelet. aÉs b van egy ún összegzési szabály c. Ráadásul maga a szám c hívott összeg számok aÉs bés jelöli, és az ilyen szám megtalálásának folyamatát hívjuk összegzés. Az összegzési szabály a következő formájú: .
Szorzási művelet.Összeadás művelet. aÉs b van egy ún szorzási szabály, amely valamilyen racionális számot rendel hozzájuk c. Ráadásul maga a szám c hívott munka számok aÉs bés -vel jelöljük, és az ilyen szám megtalálásának folyamatát is hívják szorzás. A szorzási szabály így néz ki: .
A sorrendi viszony tranzitivitása. A racionális számok tetszőleges hármasára a , bÉs c Ha a kevesebb bÉs b kevesebb c, Azt a kevesebb c, és ha a egyenlő bÉs b egyenlő c, Azt a egyenlő c.
6435">Az összeadás kommutativitása. A racionális kifejezések helyének megváltoztatása nem változtatja meg az összeget. Az összeadás asszociativitása.
A három racionális szám összeadásának sorrendje nem befolyásolja az eredményt. Nulla jelenléte.
Létezik egy 0 racionális szám, amely összeadáskor minden más racionális számot megtart. Ellentétes számok jelenléte.
Bármely racionális számnak van egy ellentétes racionális száma, amelyhez hozzáadva 0-t kapunk. A szorzás kommutativitása.
A racionális tényezők helyének megváltoztatása nem változtatja meg a terméket. A szorzás asszociativitása.
A három racionális szám szorzásának sorrendje nem befolyásolja az eredményt. Az egység elérhetősége.
Létezik egy racionális 1-es szám, amely minden más racionális számot megszoroz. Reciprok számok jelenléte.
Minden racionális számnak van egy inverz racionális száma, amelyet megszorozva 1-et kapunk. A szorzás eloszlása az összeadáshoz viszonyítva.
A szorzási művelet az összeadási művelettel az elosztási törvényen keresztül egyeztethető össze: A rendelési viszony összekapcsolása az összeadás műveletével.
Ugyanaz a racionális szám hozzáadható egy racionális egyenlőtlenség bal és jobb oldalához./pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0"> a Arkhimédész axiómája. a Bármi legyen is a racionális szám

, annyi egységet vehet fel, hogy azok összege meghaladja

src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

További tulajdonságok

Racionális számok számozása

A legegyszerűbb algoritmus így néz ki. A közönséges törtek végtelen táblázatát állítják össze, mindegyikre én-adik sor mindegyikben j oszlopa, amelynek a törtje található. A határozottság érdekében feltételezzük, hogy a táblázat sorai és oszlopai egytől kezdődően vannak számozva. A táblázat celláit jelöli, ahol én- annak a táblázatnak a sorszáma, amelyben a cella található, és j- oszlopszám.

Az eredményül kapott táblázatot a következő formális algoritmus szerint egy „kígyó” segítségével járjuk be.

Ezek a szabályok felülről lefelé keresnek, és a következő pozíciót az első mérkőzés alapján választják ki.

Egy ilyen bejárás során minden új racionális szám egy másik természetes számhoz kapcsolódik. Vagyis az 1/1-es tört az 1-es számhoz, a 2/1-es tört a 2-eshez van rendelve stb. Megjegyzendő, hogy csak az irreducibilis törtek vannak számozva. Az irreducibilitás formális jele, hogy a tört számlálójának és nevezőjének legnagyobb közös osztója eggyel egyenlő.

A racionális számok hiánya

Egy ilyen háromszög befogója semmilyen racionális számmal nem fejezhető ki

A Pitagorasz-tételből tudjuk, hogy egy derékszögű háromszög befogóját a lábai négyzetösszegének négyzetgyökével fejezzük ki. Hogy. egységszárú egyenlő szárú derékszögű háromszög befogójának hossza egyenlő, azaz azzal a számmal, amelynek négyzete 2.