Másodrendű differenciálegyenlet általános megoldása online. Differenciálegyenletek online megoldása

I. Közönséges differenciálegyenletek

1.1. Alapfogalmak és definíciók

A differenciálegyenlet egy független változóra vonatkozó egyenlet x, a szükséges funkciót yés származékai vagy differenciáljai.

Szimbolikusan a differenciálegyenlet a következőképpen van felírva:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Egy differenciálegyenletet közönségesnek nevezünk, ha a szükséges függvény egy független változótól függ.

Differenciálegyenlet megoldása függvénynek nevezzük, amely ezt az egyenletet azonossággá alakítja.

A differenciálegyenlet sorrendje az ebben az egyenletben szereplő legmagasabb derivált sorrendje

Példák.

1. Tekintsünk egy elsőrendű differenciálegyenletet

Ennek az egyenletnek a megoldása az y = 5 ln x függvény. Valóban, helyettesítés y" az egyenletbe, megkapjuk az azonosságot.

Ez pedig azt jelenti, hogy az y = 5 ln x– függvény a megoldás erre a differenciálegyenletre.

2. Tekintsük a másodrendű differenciálegyenletet y" - 5y" +6y = 0. A függvény ennek az egyenletnek a megoldása.

Igazán, .

Ezeket a kifejezéseket behelyettesítve az egyenletbe a következőt kapjuk: , – azonosság.

Ez pedig azt jelenti, hogy a függvény a megoldás erre a differenciálegyenletre.

Differenciálegyenletek integrálása megoldáskeresés folyamatának nevezzük differenciál egyenletek.

A differenciálegyenlet általános megoldása az alak függvényének nevezzük , amely annyi független tetszőleges állandót tartalmaz, amennyi az egyenlet sorrendje.

A differenciálegyenlet részleges megoldása tetszőleges állandók különböző számértékeinek általános megoldásából kapott megoldás. A tetszőleges állandók értékei az argumentum és a függvény bizonyos kezdeti értékeinél találhatók.

Egy differenciálegyenlet adott megoldásának grafikonját ún integrálgörbe.

Példák

1. Keressen egy adott megoldást egy elsőrendű differenciálegyenletre!

xdx + ydy = 0, Ha y= 4 at x = 3.

Megoldás. Az egyenlet mindkét oldalát integrálva azt kapjuk

Megjegyzés. Az integráció eredményeként kapott tetszőleges C konstans bármilyen további transzformációhoz alkalmas formában ábrázolható. Ebben az esetben, figyelembe véve a kör kanonikus egyenletét, célszerű egy tetszőleges C állandót a formában ábrázolni.

- közös döntés differenciálegyenlet.

Az egyenletnek a kezdeti feltételeket kielégítő sajátos megoldása y = 4 at x = 3-at kapunk az általánosból, ha a kezdeti feltételeket behelyettesítjük az általános megoldásba: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

C=5-öt behelyettesítve az általános megoldásba, azt kapjuk x 2 +y 2 = 5 2 .

Ez egy speciális megoldása egy általános megoldásból adott kezdeti feltételek mellett kapott differenciálegyenletnek.

2. Keresse meg a differenciálegyenlet általános megoldását!

Ennek az egyenletnek a megoldása bármely formájú függvény, ahol C tetszőleges állandó. Valóban, behelyettesítve az egyenletekbe, a következőt kapjuk: , .

Következésképpen ennek a differenciálegyenletnek végtelen számú megoldása van, mivel a C állandó különböző értékei esetén az egyenlőség az egyenlet különböző megoldásait határozza meg.

Például közvetlen helyettesítéssel ellenőrizheti, hogy a funkciók működnek megoldásai az egyenletnek.

Probléma, amelyben meg kell találnia az egyenletre adott megoldást y" = f(x,y) kielégíti a kezdeti feltételt y(x 0) = y 0, az úgynevezett Cauchy-probléma.

Az egyenlet megoldása y" = f(x,y), kielégíti a kezdeti feltételt, y(x 0) = y 0, a Cauchy-probléma megoldásának nevezik.

A Cauchy-probléma megoldásának egyszerű geometriai jelentése van. Valóban, e meghatározások szerint oldja meg a Cauchy-problémát y" = f(x,y) tekintettel arra y(x 0) = y 0, az egyenlet integrálgörbéjének megtalálását jelenti y" = f(x,y) amely áthalad egy adott ponton M 0 (x 0,y 0).

II. Elsőrendű differenciálegyenletek

2.1. Alapfogalmak

Az elsőrendű differenciálegyenlet a forma egyenlete F(x,y,y") = 0.

Az elsőrendű differenciálegyenlet tartalmazza az első deriváltot, és nem tartalmazza a magasabb rendű deriváltokat.

Az egyenlet y" = f(x,y) a deriváltra vonatkozóan megoldott elsőrendű egyenletnek nevezzük.

Egy elsőrendű differenciálegyenlet általános megoldása a forma függvénye, amely egy tetszőleges állandót tartalmaz.

Példa. Tekintsünk egy elsőrendű differenciálegyenletet.

Ennek az egyenletnek a megoldása a függvény.

Valóban, ha ezt az egyenletet az értékével helyettesítjük, azt kapjuk

vagyis 3x=3x

Ezért a függvény az egyenlet általános megoldása bármely C állandóra.

Keressen egy adott megoldást ennek az egyenletnek, amely kielégíti a kezdeti feltételt y(1)=1 A kezdeti feltételek helyettesítése x = 1, y = 1 az egyenlet általános megoldásába, honnan kapjuk C=0.

Így az általános megoldásból konkrét megoldást kapunk, ha ebbe az egyenletbe behelyettesítjük a kapott értéket C=0– privát megoldás.

2.2. Differenciálegyenletek elválasztható változókkal

Az elválasztható változókkal rendelkező differenciálegyenlet a következő alakú egyenlet: y"=f(x)g(y) vagy differenciálokon keresztül, hol f(x)És g(y)– meghatározott funkciók.

Azoknak y, amelyre , az egyenlet y"=f(x)g(y) ekvivalens az egyenlettel, amelyben a változó y csak a bal oldalon van jelen, az x változó pedig csak a jobb oldalon. Azt mondják: „Eq. y"=f(x)g(y Válasszuk szét a változókat."

A forma egyenlete elválasztott változó egyenletnek nevezzük.

Az egyenlet mindkét oldalának integrálása Által x, kapunk G(y) = F(x) + C az egyenlet általános megoldása, ahol G(y)És F(x)– egyes antiderivatívák, illetve a funkciók és f(x), C tetszőleges állandó.

Algoritmus elválasztható változókkal rendelkező elsőrendű differenciálegyenlet megoldására

1. példa

Oldja meg az egyenletet y" = xy

Megoldás. Függvény származéka y" cserélje ki ezzel

válasszuk szét a változókat

Integráljuk az egyenlőség mindkét oldalát:

2. példa

2yy" = 1-3x2, Ha y 0 = 3 nál nél x 0 = 1

Ez egy elválasztott változó egyenlet. Képzeljük el differenciálműben. Ehhez átírjuk ezt az egyenletet a formába Innen

Az utolsó egyenlőség mindkét oldalát integrálva azt találjuk

A kezdeti értékek behelyettesítése x 0 = 1, y 0 = 3 meg fogjuk találni VAL VEL 9=1-1+C, azaz C = 9.

Ezért a szükséges parciális integrál a következő lesz vagy

3. példa

Írj egyenletet egy ponton átmenő görbére! M(2;-3)és szögegyütthatós érintővel rendelkezik

Megoldás. Az állapot szerint

Ez egy elválasztható változókkal rendelkező egyenlet. A változókat elosztva a következőt kapjuk:

Az egyenlet mindkét oldalát integrálva a következőket kapjuk:

A kezdeti feltételeket felhasználva, x = 2És y = -3 meg fogjuk találni C:

Ezért a szükséges egyenletnek megvan a formája

2.3. Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek

Az elsőrendű lineáris differenciálegyenlet alak egyenlete y" = f(x)y + g(x)

Ahol f(x)És g(x)- néhány meghatározott funkció.

Ha g(x)=0 akkor a lineáris differenciálegyenletet homogénnek nevezzük és a következő alakja van: y" = f(x)y

Ha akkor az egyenlet y" = f(x)y + g(x) heterogénnek nevezzük.

Lineáris homogén differenciálegyenlet általános megoldása y" = f(x)y képlettel adjuk meg: ahol VAL VEL– tetszőleges állandó.

Különösen, ha C = 0, akkor a megoldás az y = 0 Ha egy lineáris homogén egyenletnek van alakja y" = ky Ahol k valamilyen konstans, akkor általános megoldása a következő alakú: .

Lineáris inhomogén differenciálegyenlet általános megoldása y" = f(x)y + g(x) képlet adja meg ,

azok. egyenlő a megfelelő lineáris homogén egyenlet általános megoldásának és ezen egyenlet konkrét megoldásának összegével.

A forma lineáris inhomogén egyenletére y" = kx + b,

Ahol kÉs b- néhány szám és egy adott megoldás állandó függvény lesz. Ezért az általános megoldás alakja .

Példa. Oldja meg az egyenletet y" + 2y +3 = 0

Megoldás. Ábrázoljuk az egyenletet a formában y" = -2y - 3 Ahol k = -2, b = -3 Az általános megoldást a képlet adja meg.

Ezért ahol C tetszőleges állandó.

2.4. Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek megoldása Bernoulli módszerrel

Általános megoldás megtalálása egy elsőrendű lineáris differenciálegyenletre y" = f(x)y + g(x) redukál két differenciálegyenletet egymástól elválasztott változókkal helyettesítéssel y=uv, Ahol uÉs v- ismeretlen függvények x. Ezt a megoldási módszert Bernoulli-módszernek nevezik.

Algoritmus elsőrendű lineáris differenciálegyenlet megoldására

y" = f(x)y + g(x)

1. Írja be a helyettesítést y=uv.

2. Differenciáld ezt az egyenlőséget! y" = u"v + uv"

3. Helyettesítő yÉs y" ebbe az egyenletbe: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) vagy u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Csoportosítsa az egyenlet tagjait úgy, hogy u vedd ki a zárójelből:

5. A zárójelből nullával egyenlővé téve keresse meg a függvényt

Ez egy elválasztható egyenlet:

Osszuk el a változókat, és kapjuk:

Ahol . .

6. Cserélje be a kapott értéket v az egyenletbe (a 4. lépéstől):

és keresse meg a függvényt Ez egy elválasztható változókkal rendelkező egyenlet:

7. Írja le az általános megoldást a következő formában: , azaz .

1. példa

Keressen egy adott megoldást az egyenletre y" = -2y +3 = 0 Ha y=1 nál nél x = 0

Megoldás. Oldjuk meg helyettesítéssel y=uv,.y" = u"v + uv"

Helyettesítés yÉs y" ebbe az egyenletbe kapjuk

A második és harmadik tagot az egyenlet bal oldalán csoportosítva kivesszük a közös tényezőt u zárójelből

A zárójelben lévő kifejezést nullával egyenlővé tesszük, és az eredményül kapott egyenlet megoldása után megtaláljuk a függvényt v = v(x)

Elválasztott változókkal egyenletet kapunk. Integráljuk ennek az egyenletnek mindkét oldalát: Keressük meg a függvényt v:

Helyettesítsük be a kapott értéket v az egyenletbe kapjuk:

Ez egy elválasztott változó egyenlet. Integráljuk az egyenlet mindkét oldalát: Keressük meg a függvényt u = u(x,c) Keressünk egy általános megoldást: Keressünk egy adott megoldást az egyenletre, amely kielégíti a kezdeti feltételeket y = 1 nál nél x = 0:

III. Magasabb rendű differenciálegyenletek

3.1. Alapfogalmak és definíciók

A másodrendű differenciálegyenlet olyan egyenlet, amely legfeljebb másodrendű származékokat tartalmaz. Általános esetben egy másodrendű differenciálegyenletet a következőképpen írunk fel: F(x,y,y,y") = 0

Egy másodrendű differenciálegyenlet általános megoldása az alak függvénye, amely két tetszőleges állandót tartalmaz C 1És C 2.

A másodrendű differenciálegyenlet sajátos megoldása tetszőleges állandók bizonyos értékeinek általános megoldásából kapott megoldás C 1És C 2.

3.2. Lineáris homogén másodrendű differenciálegyenletek -val állandó együtthatók.

Lineáris homogén másodrendű differenciálegyenlet állandó együtthatókkal formaegyenletnek nevezzük y" + py" +qy = 0, Ahol pÉs q- állandó értékek.

Algoritmus homogén másodrendű, állandó együtthatós differenciálegyenletek megoldására

1. Írja fel a differenciálegyenletet a következő formában: y" + py" +qy = 0.

2. Készítse el karakterisztikus egyenletét, jelölve! y" keresztül r 2, y" keresztül r, y 1-ben: r 2 + pr + q = 0

Elsőrendű differenciálegyenletek. Példák megoldásokra.
Differenciálegyenletek elválasztható változókkal

Differenciálegyenletek (DE). Ez a két szó általában megrémíti az átlagembert. Úgy tűnik, hogy a differenciálegyenletek túlzó és nehezen elsajátítható dolgok sok diák számára. Úúúú... differenciálegyenletek, hogyan éljem túl ezt az egészet?!

Ez a vélemény és ez a hozzáállás alapvetően téves, mert valójában DIFFERENCIÁL-EGYENLETEK – EGYSZERŰ ÉS MÉG SZÓRAKOZÁS. Mit kell tudnia és tudnia kell ahhoz, hogy megtanulja a differenciálegyenletek megoldását? A diffúzok sikeres tanulmányozásához jól kell tudnod integrálni és megkülönböztetni. Minél jobban tanulmányozzák a témákat Egy változó függvényének deriváltjaÉs Határozatlan integrál, annál könnyebb lesz megérteni a differenciálegyenleteket. Többet mondok, ha többé-kevésbé tisztességes beilleszkedési készségekkel rendelkezel, akkor már majdnem elsajátították a témát! Minél több integrál különféle típusok tudod, hogyan kell dönteni – annál jobb. Miért? Sokat kell integrálnod. És megkülönböztetni. Is erősen ajánlott tanulni találni.

Az esetek 95%-ában be tesztek Háromféle elsőrendű differenciálegyenlet létezik: szétválasztható egyenletek amelyet ebben a leckében fogunk megvizsgálni; homogén egyenletekÉs lineáris inhomogén egyenletek. Azoknak, akik elkezdik tanulmányozni a diffúzorokat, azt javaslom, hogy pontosan ebben a sorrendben olvassák el a leckéket, és az első két cikk tanulmányozása után nem árt, ha egy további műhelyben megszilárdíthatják készségeiket - homogénné redukáló egyenletek.

Vannak még ritkább típusú differenciálegyenletek: teljes differenciálegyenletek, Bernoulli-egyenletek és néhány más. Az utolsó két típus közül a legfontosabbak a teljes differenciálegyenletek, mivel ezen a differenciálegyenleten kívül figyelembe veszem új anyag – részleges integráció.

Ha már csak egy-két napod van hátra, Azt az ultragyors elkészítéshez Van villámpálya pdf formátumban.

Szóval, a tereptárgyak készen vannak - menjünk:

Először is emlékezzünk a szokásos algebrai egyenletekre. Változókat és számokat tartalmaznak. A legegyszerűbb példa: . Mit jelent egy közönséges egyenlet megoldása? Ez a megtalálást jelenti számkészlet, amelyek kielégítik ezt az egyenletet. Könnyen észrevehető, hogy a gyermekegyenletnek egyetlen gyöke van: . Csak a móka kedvéért nézzük meg, és cseréljük be a talált gyökeret az egyenletünkbe:

– a helyes egyenlőséget kapjuk, ami azt jelenti, hogy a megoldást helyesen találtuk meg.

A diffúzorokat nagyjából ugyanígy tervezték!

Differenciálegyenlet első rendelésáltalában tartalmaz:
1) független változó;
2) függő változó (függvény);
3) a függvény első deriváltja: .

Előfordulhat, hogy egyes elsőrendű egyenletekben nincs „x” és/vagy „y”, de ez nem jelentős - fontos hogy menjek a vezérlőterembe volt első származéka, és nem volt magasabb rendű származékai – stb.

Mit jelent ? A differenciálegyenlet megoldása azt jelenti, hogy megtaláljuk összes funkció készlete, amelyek kielégítik ezt az egyenletet. Az ilyen függvényhalmaznak gyakran van alakja (– tetszőleges állandó), amelyet ún a differenciálegyenlet általános megoldása.

1. példa

Differenciálegyenlet megoldása

Teljes lőszer. Hol kezdjem megoldás?

Először is át kell írni a származékot egy kicsit más formában. Emlékeztetünk a nehézkes megnevezésre, amely valószínűleg sokaknak nevetségesnek és szükségtelennek tűnt. Ez az, ami a diffúzorokban érvényes!

A második lépésben nézzük meg, lehetséges-e külön változók? Mit jelent a változók szétválasztása? Durván mondva, a bal oldalon el kell mennünk csak "görögök", A a jobb oldalon szervez csak "X". A változók felosztása „iskolai” manipulációkkal történik: zárójelbe helyezés, kifejezések részről részre történő átvitele előjelváltással, tényezők átvitele részről részre az arányosság szabálya szerint stb.

Differenciálok és teljes szorzók és aktív résztvevők az ellenségeskedésben. A vizsgált példában a változók könnyen szétválaszthatók, ha a faktorokat az arányszabály szerint feldobjuk:

A változók el vannak választva. A bal oldalon csak az „Y”, a jobb oldalon csak az „X” található.

Következő szint - differenciálegyenlet integrálása. Egyszerű, integrálokat teszünk mindkét oldalra:

Természetesen integrálókat kell vennünk. Ebben az esetben táblázatosak:

Mint emlékszünk, minden antideriválthoz konstans van hozzárendelve. Itt két integrál van, de elég egyszer felírni a konstanst (mivel a konstans + konstans továbbra is egyenlő egy másik állandóval). A legtöbb esetben a jobb oldalon van elhelyezve.

Szigorúan véve, az integrálok felvétele után a differenciálegyenlet megoldottnak tekinthető. Csak az a helyzet, hogy az „y”-ünket nem „x”-en keresztül fejezzük ki, vagyis a megoldást bemutatjuk egy implicit forma. A differenciálegyenlet megoldását implicit formában ún a differenciálegyenlet általános integrálja. Vagyis ez egy általános integrál.

A válasz ebben a formában teljesen elfogadható, de van-e jobb lehetőség? Próbáljuk megszerezni közös döntés.

Kérem, emlékezz az első technikára, nagyon gyakori, és gyakran használják gyakorlati feladatokban: ha integrálás után logaritmus jelenik meg a jobb oldalon, akkor sok esetben (de nem mindig!) célszerű a logaritmus alá írni a konstanst is..

vagyis AHELYETT bejegyzéseket általában írják .

Miért van erre szükség? És a „játék” kifejezésének megkönnyítése érdekében. A logaritmusok tulajdonságának felhasználása . Ebben az esetben:

Most a logaritmusok és a modulok eltávolíthatók:

A funkció kifejezetten megjelenik. Ez az általános megoldás.

Válasz: közös döntés: .

A sok differenciálegyenletre adott válaszok meglehetősen könnyen ellenőrizhetők. A mi esetünkben ez egészen egyszerűen megtörténik, vesszük a talált megoldást és megkülönböztetjük:

Ezután behelyettesítjük a származékot az eredeti egyenletbe:

– megkapjuk a helyes egyenlőséget, ami azt jelenti, hogy az általános megoldás kielégíti az egyenletet, amit ellenőrizni kellett.

Állandót adni különböző jelentések, végtelenül sokat lehet kapni privát megoldások differenciálegyenlet. Nyilvánvaló, hogy a , stb. függvények bármelyike. kielégíti a differenciálegyenletet.

Néha az általános megoldást ún funkciócsalád. BAN BEN ebben a példában közös döntés - ez egy család lineáris függvények, vagy inkább egyenes arányosság családja.

Az első példa alapos áttekintése után célszerű megválaszolni néhány naiv kérdést a differenciálegyenletekkel kapcsolatban:

1)Ebben a példában el tudtuk különíteni a változókat. Ezt mindig meg lehet csinálni? Nem mindig. És még gyakrabban a változókat nem lehet szétválasztani. Például be homogén elsőrendű egyenletek, először ki kell cserélnie. Más típusú egyenletekben, például egy elsőrendű lineáris inhomogén egyenletben, különféle technikákat és módszereket kell alkalmaznia az általános megoldás megtalálásához. Az elválasztható változókkal rendelkező egyenletek, amelyeket az első leckében tárgyalunk, a differenciálegyenletek legegyszerűbb típusai.

2) Mindig lehetséges a differenciálegyenlet integrálása? Nem mindig. Nagyon könnyű egy olyan „divatos” egyenletet kitalálni, amely nem integrálható, ráadásul vannak integrálok, amelyeket nem lehet felvenni. De az ilyen DE-k speciális módszerekkel megközelítőleg megoldhatók. D'Alembert és Cauchy garantálja... ...uh, lurkmore.hogy most sokat olvastam, majdnem hozzátettem, hogy „a másik világból”.

3) Ebben a példában egy megoldást kaptunk általános integrál formájában . Mindig lehet általános integrálból általános megoldást találni, vagyis az „y”-t kifejezetten kifejezni? Nem mindig. Például: . Nos, hogy lehet itt „görögül” kifejezni?! Ilyen esetekben a választ általános integrálként kell írni. Ráadásul néha lehet általános megoldást találni, de olyan körülményesen és ügyetlenül van megírva, hogy jobb, ha a választ általános integrál formájában hagyjuk.

4) ...most talán ennyi is elég. Az első példában találkoztunk Másik fontos pont , de hogy ne borítsam el a „bambákat” új információk lavinával, a következő leckére hagyom.

Ne rohanjunk. Egy másik egyszerű távirányító és egy másik tipikus megoldás:

2. példa

Keressen egy adott megoldást a differenciálegyenletre, amely kielégíti a kezdeti feltételt

Megoldás: állapot szerint, meg kell találni privát megoldás DE, amely megfelel egy adott kezdeti feltételnek. A kérdésnek ezt a megfogalmazását is nevezik Cauchy probléma.

Először találunk egy általános megoldást. Az egyenletben nincs „x” változó, de ez nem szabad összetéveszteni, a lényeg, hogy legyen az első deriváltja.

A deriváltot átírjuk megfelelő formában:

Nyilvánvalóan a változók elválaszthatók, a fiúk balra, a lányok jobbra:

Integráljuk az egyenletet:

Az általános integrált megkapjuk. Itt egy állandót rajzoltam csillaggal, az tény, hogy hamarosan egy másik állandóvá változik.

Most megpróbáljuk az általános integrált általános megoldássá alakítani (az „y”-t kifejezetten kifejezni). Emlékezzünk a régi szép dolgokra az iskolából: . Ebben az esetben:

Az indikátorban lévő konstans valahogy nem kósernek tűnik, ezért általában a földre kerül. Részletesen, ez így történik. A fokok tulajdonságát felhasználva a függvényt a következőképpen írjuk át:

Ha konstans, akkor valamilyen állandó is, nevezzük át a következő betűvel:

Ne feledje, egy állandó „lebontása”. második technika, amelyet gyakran használnak differenciálegyenletek megoldásánál.

Tehát az általános megoldás: . Ez az exponenciális függvények szép családja.

A végső szakaszban meg kell találni egy adott megoldást, amely kielégíti az adott kezdeti feltételt. Ez is egyszerű.

mi a feladat? Fel kell venni ilyen az állandó értéke, hogy a feltétel teljesüljön.

Különféle módon lehet formázni, de valószínűleg ez lesz a legegyértelműbb. Az általános megoldásban az „X” helyett egy nullát, az „Y” helyett pedig kettőt cserélünk:



vagyis

Szabványos kiviteli változat:

Most behelyettesítjük a konstans talált értékét az általános megoldásba:
– erre a konkrét megoldásra van szükségünk.

Válasz: privát megoldás:

Ellenőrizzük. A privát megoldás ellenőrzése két szakaszból áll:

Először is ellenőrizni kell, hogy az adott megoldás valóban megfelel-e a kezdeti feltételnek? Az „X” helyett nullát cserélünk, és meglátjuk, mi történik:
– igen, valóban kettőt kapott, ami azt jelenti, hogy a kezdeti feltétel teljesül.

A második szakasz már ismerős. A kapott konkrét megoldást vesszük, és megtaláljuk a származékot:

Behelyettesítjük az eredeti egyenletbe:

– a megfelelő egyenlőség létrejön.

Következtetés: az adott megoldást helyesen találták meg.

Térjünk át értelmesebb példákra.

3. példa

Differenciálegyenlet megoldása

Megoldás: A deriváltot átírjuk a szükséges alakba:

Értékeljük, hogy el lehet-e különíteni a változókat? Tud. A második tagot előjelváltással jobbra mozgatjuk:

És átadjuk a szorzót az arányosság szabálya szerint:

A változók el vannak választva, integráljuk mindkét részt:

Figyelmeztetnem kell, közeleg az ítélet napja. Ha nem tanultál jól határozatlan integrálok, kevés példát oldott meg, akkor nincs hova mennie - most el kell sajátítania őket.

A bal oldal integrálját könnyű megtalálni, a kotangens integráljával a leckében vizsgált standard technikával foglalkozunk Trigonometrikus függvények integrálása tavaly:

A jobb oldalon van egy logaritmus, és első technikai javaslatom szerint a konstanst is a logaritmus alá kell írni.

Most megpróbáljuk leegyszerűsíteni az általános integrált. Mivel csak logaritmusaink vannak, teljesen lehetséges (és szükséges) megszabadulni tőlük. Használva ismert tulajdonságait A logaritmusokat lehetőleg „pakoljuk”. Nagyon részletesen leírom:

A csomagolás barbár módon rongyosra készült:

Lehetséges a „játék” kifejezése? Tud. Mindkét részt négyszögölni kell.

De ezt nem kell megtenned.

Harmadik technikai tipp: ha egy általános megoldás eléréséhez hatványra kell emelni vagy gyökeret kell ereszteni, akkor A legtöbb esetben tartózkodnia kell ezektől a cselekvésektől, és a választ általános integrál formájában kell hagynia. Az a tény, hogy az általános megoldás egyszerűen szörnyűnek tűnik - nagy gyökerekkel, jelekkel és egyéb szeméttel.

Ezért a választ általános integrál formájában írjuk. Jó gyakorlatnak tekinthető, ha formában jelenítjük meg, vagyis a jobb oldalon, ha lehetséges, csak egy állandót hagyjunk. Ezt nem kötelező megtenni, de mindig előnyös a professzor kedvében járni ;-)

Válasz:általános integrál:

! Jegyzet: Bármely egyenlet általános integrálja többféleképpen is felírható. Így ha az Ön eredménye nem esik egybe a korábban ismert válasszal, az nem jelenti azt, hogy rosszul oldotta meg az egyenletet.

Az általános integrált is elég könnyű ellenőrizni, a lényeg, hogy megtaláljuk egy implicit módon meghatározott függvény deriváltja. Megkülönböztetjük a választ:

Mindkét kifejezést megszorozzuk a következővel:

És ossza el:

Az eredeti differenciálegyenletet pontosan megkaptuk, ami azt jelenti, hogy az általános integrált helyesen találtuk meg.

4. példa

Keressen egy adott megoldást a differenciálegyenletre, amely kielégíti a kezdeti feltételt. Végezzen ellenőrzést.

Ez egy példa erre önálló döntés.

Hadd emlékeztesselek arra, hogy az algoritmus két szakaszból áll:
1) általános megoldás megtalálása;
2) a szükséges konkrét megoldás megtalálása.

Az ellenőrzést szintén két lépésben hajtják végre (lásd a mintát a 2. példában), a következőket kell tennie:
1) győződjön meg arról, hogy az adott megoldás megfelel a kezdeti feltételnek;
2) ellenőrizze, hogy egy adott megoldás általában kielégíti-e a differenciálegyenletet.

Komplett megoldásés a válasz a lecke végén.

5. példa

Keressen egy adott megoldást egy differenciálegyenletre , amely kielégíti a kezdeti feltételt. Végezzen ellenőrzést.

Megoldás: Először is keressünk egy általános megoldást. Ez az egyenlet már kész differenciálokat tartalmaz, ezért a megoldás leegyszerűsödik. Különválasztjuk a változókat:

Integráljuk az egyenletet:

A bal oldali integrál táblázatos, a jobb oldali integrált vettük egy függvény differenciáljel alá vonásának módszere:

Megkaptuk az általános integrált, sikeresen kifejezhető az általános megoldás? Tud. Mindkét oldalra logaritmusokat akasztunk. Mivel ezek pozitívak, a modulusjelek szükségtelenek:

(remélem mindenki érti az átalakulást, ilyeneket már tudni kell)

Tehát az általános megoldás:

Keressünk az adott kezdeti feltételnek megfelelő konkrét megoldást.
Az általános megoldásban „X” helyett nullát, „Y” helyett pedig kettő logaritmusát helyettesítjük:

Ismertebb dizájn:

A konstans talált értékét behelyettesítjük az általános megoldásba.

Válasz: privát megoldás:

Ellenőrzés: Először is ellenőrizzük, hogy teljesül-e a kezdeti feltétel:
- minden jó.

Most nézzük meg, hogy a talált adott megoldás egyáltalán kielégíti-e a differenciálegyenletet. A származék megkeresése:

Nézzük az eredeti egyenletet: – differenciálokban jelenik meg. Az ellenőrzésnek két módja van. Lehetőség van a különbség kifejezésére a talált deriválttól:

Helyettesítsük be a talált konkrét megoldást és a kapott differenciált az eredeti egyenletbe :

Az alapvető logaritmikus azonosságot használjuk:

Megkapjuk a helyes egyenlőséget, ami azt jelenti, hogy az adott megoldást helyesen találtuk meg.

A második ellenőrzési módszer tükrözött és ismerősebb: az egyenletből Fejezzük ki a származékot, ehhez elosztjuk az összes darabot:

A transzformált DE-be pedig behelyettesítjük a kapott parciális megoldást és a talált deriváltot. Az egyszerűsítések eredményeként a helyes egyenlőséget is el kell érni.

6. példa

Differenciálegyenlet megoldása. Mutassa be a választ általános integrál formájában!

Ez egy példa arra, hogy önállóan oldd meg, teljes megoldást és válaszolj a lecke végén.

Milyen nehézségek várnak elválasztható változókkal rendelkező differenciálegyenletek megoldása során?

1) Nem mindig nyilvánvaló (főleg egy „teáskannánál”), hogy a változók elválaszthatók. Nézzünk egy feltételes példát: . Itt ki kell venni a tényezőket a zárójelből: és el kell választani a gyökereket: . Egyértelmű, hogy mi a következő lépés.

2) Magával az integrációval kapcsolatos nehézségek. Az integrálok gyakran nem a legegyszerűbbek, és ha vannak hibák a keresési készségekben határozatlan integrál, akkor sok diffúzorral nehéz lesz. Ráadásul a „mivel a differenciálegyenlet egyszerű, akkor legalább az integrálok legyenek bonyolultabbak” logika népszerű a gyűjtemények és oktatási kézikönyvek összeállítói körében.

3) Átalakítások állandóval. Amint azt mindenki észrevette, a differenciálegyenletekben a konstans meglehetősen szabadon kezelhető, és néhány transzformáció nem mindig egyértelmű egy kezdő számára. Nézzünk egy másik feltételes példát: . Célszerű az összes kifejezést megszorozni 2-vel: . Az eredményül kapott állandó is valamiféle állandó, amelyet a következővel jelölhetünk: . Igen, és mivel a jobb oldalon van egy logaritmus, akkor célszerű az állandót átírni egy másik állandó formájában: .

Az a baj, hogy gyakran nem foglalkoznak az indexekkel, és ugyanazt a betűt használják. Ennek eredményeként a döntési jegyzőkönyv a következő formában jelenik meg:

Miféle eretnekség? Ott vannak hibák! Szigorúan véve igen. Azonban tartalmi szempontból nincs hiba, mert egy változó állandó transzformációja eredményeként mégis változó állandót kapunk.

Vagy egy másik példa, tegyük fel, hogy az egyenlet megoldása során általános integrált kapunk. Ez a válasz csúnyán néz ki, ezért tanácsos az egyes kifejezések előjelét megváltoztatni: . Formailag van itt még egy hiba - jobbra kell írni. De informálisan azt sugallják, hogy a „mínusz ce” továbbra is állandó ( ami ugyanolyan könnyen bármilyen jelentést felvehet!), így a „mínusz” beírásának nincs értelme, és ugyanazt a betűt használhatja.

Igyekszem kerülni a hanyag megközelítést, és a konstansokhoz továbbra is különböző indexeket rendelek a konvertálás során.

7. példa

Differenciálegyenlet megoldása. Végezzen ellenőrzést.

Megoldás: Ez az egyenlet lehetővé teszi a változók szétválasztását. Különválasztjuk a változókat:

Integráljunk:

Itt nem szükséges az állandót logaritmusként definiálni, mivel ebből semmi hasznos nem lesz.

Válasz:általános integrál:

Ellenőrzés: különböztesse meg a választ ( implicit függvény):

Megszabadulunk a törtektől, ha mindkét tagot megszorozzuk a következővel:

Az eredeti differenciálegyenletet megkaptuk, ami azt jelenti, hogy az általános integrált helyesen találtuk meg.

8. példa

Keresse meg a DE egy adott megoldását.
,

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. Az egyetlen utalás az, hogy itt kapsz egy általános integrált, és helyesebben szólva, arra kell törekedned, hogy ne egy konkrét megoldást találj, hanem részintegrál. Teljes megoldás és válasz a lecke végén.

Vagy már megoldották a származékra vonatkozóan, vagy megoldhatók a származékra vonatkozóan .

Közös döntés differenciál egyenletekírja be az intervallumot x, amely adott, az egyenlőség mindkét oldalának integráljával kereshető meg.

Kapunk .

Ha megnézzük a határozatlan integrál tulajdonságait, megtaláljuk a kívánt általános megoldást:

y = F(x) + C,

Ahol F(x)- az egyik primitív függvény f(x) közte x, A VAL VEL- tetszőleges állandó.

Felhívjuk figyelmét, hogy a legtöbb probléma esetén az intervallum x ne jelezze. Ez azt jelenti, hogy mindenki számára megoldást kell találni. x, amelyhez és a kívánt funkcióhoz y, és az eredeti egyenletnek van értelme.

Ha egy differenciálegyenlet egy adott megoldását kell kiszámítania, amely kielégíti a kezdeti feltételt y(x 0) = y 0, majd az általános integrál kiszámítása után y = F(x) + C, még mindig meg kell határozni az állandó értékét C = C 0, a kezdeti feltételt használva. Vagyis állandó C = C 0 egyenletből határozzuk meg F(x 0) + C = y 0, és a differenciálegyenlet kívánt részmegoldása a következő formában lesz:

y = F(x) + C 0.

Nézzünk egy példát:

Keressünk egy általános megoldást a differenciálegyenletre, és ellenőrizzük az eredmény helyességét. Keressünk ennek az egyenletnek egy olyan megoldását, amely kielégíti a kezdeti feltételt.

Megoldás:

Miután integráltuk a megadott differenciálegyenletet, a következőt kapjuk:

.

Vegyük ezt az integrált a részenkénti integráció módszerével:

Hogy., a differenciálegyenlet általános megoldása.

Annak érdekében, hogy az eredmény helyes legyen, végezzünk ellenőrzést. Ehhez a kapott megoldást behelyettesítjük az adott egyenletbe:

.

Vagyis mikor az eredeti egyenlet azonossággá változik:

ezért a differenciálegyenlet általános megoldását helyesen határoztuk meg.

A megoldás, amit találtunk, egy általános megoldás a differenciálegyenletre mindegyikre érvényesérvértékek x.

Marad az ODE egy adott megoldásának kiszámítása, amely kielégíti a kezdeti feltételt. Más szóval, ki kell számítani az állandó értékét VAL VEL, amelynél az egyenlőség igaz lesz:

.

.

Aztán csere C = 2 az ODE általános megoldásába a differenciálegyenletnek egy olyan sajátos megoldását kapjuk, amely kielégíti a kezdeti feltételt:

.

Közönséges differenciálegyenlet megoldható a deriváltra az egyenlet 2 oldalának elosztásával f(x). Ez az átalakítás egyenértékű lesz, ha f(x) semmilyen körülmények között nem válik nullává x a differenciálegyenlet integrálási intervallumából x.

Vannak valószínű helyzetek, amikor az érvelés bizonyos értékeire x ∈ x funkciókat f(x)És g(x) egyidejűleg nullává válik. Hasonló értékekre x a differenciálegyenlet általános megoldása tetszőleges függvény y, ami bennük meghatározott, mert .

Ha egyes argumentumértékekre x ∈ x a feltétel teljesül, ami azt jelenti, hogy ebben az esetben az ODE-nek nincs megoldása.

Mindenki másnak x az intervallumból x a differenciálegyenlet általános megoldását a transzformált egyenletből határozzuk meg.

Nézzünk példákat:

1. példa

Keressünk egy általános megoldást az ODE-re: .

Megoldás.

Az alapvető elemi függvények tulajdonságaiból jól látható, hogy a függvény természetes logaritmus nem negatív argumentumértékekhez van definiálva, tehát a kifejezés hatóköre az ln(x+3) van egy intervallum x > -3 . Ez azt jelenti, hogy az adott differenciálegyenletnek van értelme x > -3 . Ezeknél az argumentumértékeknél a kifejezés x+3 nem tűnik el, így a derivált ODE-ját úgy oldhatja meg, hogy a 2 részt elosztja x + 3.

Kapunk .

Ezután integráljuk a kapott differenciálegyenletet, amelyet a deriváltra vonatkozóan megoldottak: . Ennek az integrálnak a felvételéhez a differenciáljel összesítésének módszerét használjuk.

Közönséges differenciálegyenlet egy egyenlet, amely egy független változót, ennek a változónak egy ismeretlen függvényét és különböző rendű deriváltjait (vagy differenciálisait) viszonyítja.

A differenciálegyenlet sorrendje a benne foglalt legmagasabb derivált sorrendjének nevezzük.

A közönségesek mellett a parciális differenciálegyenleteket is tanulmányozzák. Ezek független változókra vonatkozó egyenletek, ezeknek a változóknak egy ismeretlen függvénye és részleges deriváltjai ugyanazon változókra vonatkoztatva. De csak mérlegelni fogjuk közönséges differenciálegyenletek és ezért a rövidség kedvéért elhagyjuk a „közönséges” szót.

Példák differenciálegyenletekre:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Az (1) egyenlet negyedrendű, a (2) egyenlet harmadrendű, a (3) és (4) egyenlet másodrendű, az (5) egyenlet elsőrendű.

Differenciálegyenlet n A sorrendnek nem feltétlenül kell explicit függvényt tartalmaznia, hanem annak összes származékát az elsőtől kezdve n-edik rendű és független változó. Nem tartalmazhat bizonyos sorrendek kifejezett származékait, függvényeket vagy független változókat.

Például az (1) egyenletben egyértelműen nincsenek harmad- és másodrendű származékok, valamint függvény; a (2) egyenletben - a másodrendű derivált és a függvény; a (4) egyenletben - a független változó; az (5) egyenletben - függvények. Csak a (3) egyenlet tartalmazza explicit módon az összes deriváltot, a függvényt és a független változót.

Differenciálegyenlet megoldása minden függvény meghívva van y = f(x), ha behelyettesítjük az egyenletbe, azonossággá válik.

A differenciálegyenlet megoldásának folyamatát nevezzük annak integráció.

1. példa Keresse meg a differenciálegyenlet megoldását!

Megoldás. Írjuk fel ezt az egyenletet a formába. A megoldás az, hogy a függvényt a deriváltjából keressük. Az eredeti függvény, amint az integrálszámításból ismeretes, az antiderivált, azaz.

Az az ami megoldása ennek a differenciálegyenletnek . Változás benne C, különböző megoldásokat fogunk kapni. Megállapítottuk, hogy egy elsőrendű differenciálegyenletnek végtelen számú megoldása van.

A differenciálegyenlet általános megoldása n A sorrend a megoldása, amely kifejezetten az ismeretlen függvényre vonatkozik és tartalmazza n független tetszőleges állandók, pl.

Az 1. példában szereplő differenciálegyenlet megoldása általános.

A differenciálegyenlet részleges megoldása olyan megoldást nevezünk, amelyben tetszőleges állandóknak adott számértékeket adunk.

2. példa Keresse meg a differenciálegyenlet általános megoldását és konkrét megoldását .

Megoldás. Integráljuk az egyenlet mindkét oldalát a differenciálegyenlet sorrendjének megfelelő számú alkalommal.

,

.

Ennek eredményeként egy általános megoldást kaptunk -

egy adott harmadrendű differenciálegyenlet.

Most keressünk egy konkrét megoldást meghatározott feltételek. Ehhez cserélje ki értékeiket tetszőleges együtthatók helyett, és kapja meg

.

Ha a differenciálegyenlet mellett a kezdeti feltételt alakban adjuk meg, akkor egy ilyen feladatot ún. Cauchy probléma . Helyettesítse be a és értékeket az egyenlet általános megoldásába, és keresse meg egy tetszőleges állandó értékét C, majd a talált érték egyenletének adott megoldása C. Ez a megoldás a Cauchy-problémára.

3. példa Oldja meg a Cauchy-feladatot az 1. példából származó differenciálegyenlethez tárgyban.

Megoldás. Helyettesítsük be a kezdeti feltétel értékeit az általános megoldásba y = 3, x= 1. Azt kapjuk

Felírjuk a Cauchy-probléma megoldását erre az elsőrendű differenciálegyenletre:

A differenciálegyenletek megoldása, még a legegyszerűbbek is, jó integrációs és deriválási készségeket igényel, beleértve az összetett függvényeket is. Ez látható a következő példában.

4. példa Keresse meg a differenciálegyenlet általános megoldását!

Megoldás. Az egyenlet olyan formában van felírva, hogy azonnal integrálható legyen mindkét oldal.

.

A változó változtatással (helyettesítéssel) történő integrálás módszerét alkalmazzuk. Akkor legyen.

Elvétele kötelező dxés most - figyelem - ezt egy komplex függvény differenciálási szabályai szerint tesszük, hiszen xés van összetett funkció("alma" - extrakció négyzetgyök vagy ami ugyanaz - az „egy felére” emelés és a „darált hús” a gyökér alatti kifejezés):

Megtaláljuk az integrált:

Visszatérve a változóhoz x, kapunk:

.

Ez az elsőfokú differenciálegyenlet általános megoldása.

Nem csak a készségek korábbi szakaszok A differenciálegyenletek megoldásában szükség lesz a felsőfokú matematikára, de az elemi, vagyis az iskolai matematikából származó készségekre is. Mint már említettük, bármilyen sorrendű differenciálegyenletben nem lehet független változó, azaz változó x. Az arányokról az iskolából származó, az iskolából nem feledkezett tudás (azonban attól függően, hogy ki) segít megoldani ezt a problémát. Ez a következő példa.