3 ponton áthaladó sík általános egyenlete. Sík egyenlet

Egy sík egyenlete. Hogyan írjunk fel egy sík egyenletet?
Kölcsönös megállapodás repülőgépek. Feladatok

A térgeometria nem sokkal bonyolultabb, mint a „lapos” geometria, és ezzel a cikkel kezdődnek az űrbeli repüléseink. A téma elsajátításához jól kell értened vektorok, ezen kívül célszerű tisztában lenni a sík geometriájával - sok hasonlóság, sok analógia lesz, így sokkal jobban megemészthető az információ. Leckeim sorozatában a 2D-s világ egy cikkel nyit Egy síkon lévő egyenes egyenlete. De most Batman elhagyta a lapos TV képernyőjét, és a Bajkonuri kozmodromról indul.

Kezdjük rajzokkal és szimbólumokkal. Sematikusan a síkot paralelogramma formájában is megrajzolhatjuk, ami a tér benyomását kelti:

A sík végtelen, de csak egy darabját van lehetőségünk ábrázolni. A gyakorlatban a paralelogramma mellett egy ovális vagy akár egy felhő is rajzolódik. Technikai okokból számomra kényelmesebb pontosan így és pontosan ebben a helyzetben ábrázolni a gépet. A valódi síkok, amelyeket a gyakorlati példákban figyelembe veszünk, bármilyen módon elhelyezhetők - gondolatban vegye a rajzot a kezébe, és forgassa el a térben, így a sík bármilyen dőlést, bármilyen szöget biztosít.

Megnevezések: a síkokat általában kis görög betűkkel jelölik, nyilván azért, hogy ne keverjék össze őket egyenes vonal egy síkon vagy azzal egyenes vonal a térben. Megszoktam a betű használatát. A rajzon a „szigma” betű látható, és egyáltalán nem lyuk. Bár a lyukas repülőgép minden bizonnyal elég vicces.

Egyes esetekben célszerű ugyanazokat a görög betűket alsó indexekkel használni a síkok jelölésére, például .

Nyilvánvaló, hogy a síkot egyedileg három határozza meg különféle pontokat, nem ugyanazon az egyenesen fekszik. Ezért a repülőgépek hárombetűs jelölései meglehetősen népszerűek - például a hozzájuk tartozó pontok szerint stb. A betűk gyakran zárójelben vannak: , hogy ne keverjük össze a síkot egy másik geometriai alakzattal.

Gyakorlott olvasóknak ajánlom gyors hozzáférésű menü:

Hogyan készítsünk sík egyenletét egy pont és két vektor felhasználásával?
Hogyan készítsünk sík egyenletét egy pont és egy normálvektor segítségével?

és nem fogunk sokáig várni:

Általános sík egyenlet

A sík általános egyenlete alakja , ahol az együtthatók nem egyenlők nullával egyszerre.

Számos elméleti számítás és gyakorlati probléma érvényes mind a szokásos ortonormális, mind a tér affin bázisára (ha az olaj olaj, térjünk vissza a leckéhez A vektorok lineáris (nem) függése. A vektorok alapja). Az egyszerűség kedvéért feltételezzük, hogy minden esemény ortonormális alapon és derékszögű derékszögű koordinátarendszerben történik.

Most gyakoroljuk egy kicsit a térbeli képzeletünket. Nem baj, ha a tied rossz, most fejlesztjük egy kicsit. Még az idegeken való játék is edzést igényel.

A legáltalánosabb esetben, amikor a számok nem egyenlőek nullával, a sík mindhárom koordinátatengelyt metszi. Például így:

Még egyszer megismétlem, hogy a sík minden irányban a végtelenségig folytatódik, és ennek csak egy részét van lehetőségünk ábrázolni.

Tekintsük a síkok legegyszerűbb egyenleteit:

Hogyan kell megérteni ezt az egyenletet? Gondoljon bele: „Z” MINDIG nulla, „X” és „Y” bármely értéke esetén. Ez a "natív" koordinátasík egyenlete. Valójában formálisan az egyenlet a következőképpen írható át: , ahonnan jól látható, hogy nekünk nem mindegy, hogy „x” és „y” milyen értékeket vesz fel, fontos, hogy „z” egyenlő legyen nullával.

Hasonlóképpen:
– a koordinátasík egyenlete;
– a koordinátasík egyenlete.

Bonyolítsuk egy kicsit a problémát, tekintsünk egy síkot (itt és a továbbiakban a bekezdésben feltételezzük, hogy a numerikus együtthatók nem egyenlők nullával). Írjuk át az egyenletet a következő alakba: . Hogyan kell megérteni? Az „X” MINDIG az „y” és „z” bármely értéke esetén egy bizonyos számmal egyenlő. Ez a sík párhuzamos a koordinátasíkkal. Például egy sík párhuzamos egy síkkal, és áthalad egy ponton.

Hasonlóképpen:
– a koordinátasíkkal párhuzamos sík egyenlete;
– a koordinátasíkkal párhuzamos sík egyenlete.

Adjunk hozzá tagokat: . Az egyenlet a következőképpen írható át: , vagyis a „zet” bármi lehet. Mit jelent? Az „X” és az „Y” összefüggést köti össze, amely egy bizonyos egyenest húz a síkban (megtudhatja egy síkban lévő egyenes egyenlete?). Mivel a „z” tetszőleges lehet, ez az egyenes bármely magasságban „megismétlődik”. Így az egyenlet a koordinátatengellyel párhuzamos síkot határoz meg

Hasonlóképpen:
– a koordinátatengellyel párhuzamos sík egyenlete;
– a koordinátatengellyel párhuzamos sík egyenlete.

Ha a szabad tagok nullák, akkor a síkok közvetlenül áthaladnak a megfelelő tengelyeken. Például a klasszikus „egyenes arányosság”: . Rajzolj egy egyenest a síkban, és gondolatban szorozd fel és le (mivel a „Z” tetszőleges). Következtetés: az egyenlet által meghatározott sík átmegy a koordinátatengelyen.

Befejezzük az áttekintést: a sík egyenlete áthalad az origón. Nos, itt teljesen nyilvánvaló, hogy a pont kielégíti ezt az egyenletet.

És végül a rajzon látható eset: – a sík minden koordinátatengellyel barátkozik, miközben mindig „levág” egy háromszöget, amely a nyolc oktáns bármelyikében elhelyezhető.

Lineáris egyenlőtlenségek a térben

Az információk megértéséhez jól kell tanulnia lineáris egyenlőtlenségek a síkban, mert sok minden hasonló lesz. A bekezdés rövid áttekintő jellegű lesz, számos példával, mivel az anyag a gyakorlatban meglehetősen ritka.

Ha az egyenlet egy síkot határoz meg, akkor az egyenlőtlenségeket
kérdez félszóközök. Ha az egyenlőtlenség nem szigorú (a lista utolsó kettője), akkor az egyenlőtlenség megoldása a féltér mellett magában foglalja magát a síkot is.

5. példa

Keresse meg a sík egységnyi normálvektorát! .

Megoldás: Az egységvektor olyan vektor, amelynek hossza egy. Jelöljük ezt a vektort . Teljesen világos, hogy a vektorok kollineárisak:

Először eltávolítjuk a normálvektort a sík egyenletéből: .

Hogyan találhatunk egységvektort? Az egységvektor megtalálásához szüksége van minden osszuk el a vektor koordinátáját a vektor hosszával.

Írjuk át a normálvektort a formába, és keressük meg a hosszát:

A fentiek szerint:

Válasz:

Ellenőrzés: amit ellenőrizni kellett.

Azok az olvasók, akik figyelmesen tanulmányozták a lecke utolsó bekezdését, valószínűleg észrevették ezt az egységvektor koordinátái pontosan a vektor iránykoszinuszai:

Tartsunk egy kis szünetet az aktuális problémától: amikor egy tetszőleges nem nulla vektort kapsz, és a feltételnek megfelelően meg kell találni az iránykoszinuszait (lásd a lecke utolsó feladatait Vektorok pontszorzata), akkor valójában talál egy ehhez kollineáris egységvektort. Tulajdonképpen két feladat egy üvegben.

Az egységnyi normálvektor megtalálásának szükségessége a matematikai elemzés egyes problémáinál felmerül.

Kitaláltuk, hogyan lehet kihalászni egy normál vektort, most válaszoljunk az ellenkező kérdésre:

Hogyan készítsünk sík egyenletét egy pont és egy normálvektor segítségével?

A normálvektor és egy pont merev konstrukciója jól ismert a darts számára. Kérjük, nyújtsa előre a kezét, és mentálisan válasszon egy tetszőleges pontot a térben, például egy kis macskát a kredencben. Nyilvánvaló, hogy ezen a ponton keresztül egyetlen, a kezére merőleges síkot rajzolhat.

A vektorra merőleges ponton átmenő sík egyenletét a következő képlet fejezi ki:

Ahhoz, hogy egyetlen síkot át lehessen húzni a tér bármely három pontján, szükséges, hogy ezek a pontok ne feküdjenek ugyanazon az egyenesen.

Tekintsük az M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) pontokat az általános derékszögű koordinátarendszerben.

Ahhoz, hogy egy tetszőleges M(x, y, z) pont egy síkban feküdjön az M 1, M 2, M 3 pontokkal, szükséges, hogy a vektorok egysíkúak legyenek.

(
) = 0

És így,

Három ponton áthaladó sík egyenlete:

Két pont adott sík és a síkkal kollineáris vektor egyenlete.

Legyen adott az M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) pont és a vektor
.

Készítsünk egyenletet az adott M 1 és M 2 pontokon átmenő síkra és egy tetszőleges, a vektorral párhuzamos M (x, y, z) pontra .

Vektorok
és vektor
egy síkban kell lennie, pl.

(
) = 0

Sík egyenlet:

Egy sík egyenlete egy pont és két vektor felhasználásával,

kollineáris a síkkal.

Legyen két vektor adott
És
, kollineáris síkok. Ekkor a síkhoz tartozó tetszőleges M(x, y, z) pontra a vektorok
egy síkban kell lennie.

Sík egyenlet:

Sík egyenlete pontonként és normálvektoronként .

Tétel. Ha adott egy M pont a térben 0 (X 0 , y 0 , z 0 ), akkor az M ponton átmenő sík egyenlete 0 merőleges a normálvektorra (A, B, C) alakja:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Bizonyíték. A síkhoz tartozó tetszőleges M(x, y, z) ponthoz vektort alkotunk. Mert vektor a normálvektor, akkor merőleges a síkra, és ezért merőleges a vektorra
. Aztán a skalárszorzat

= 0

Így megkapjuk a sík egyenletét

A tétel bizonyítást nyert.

Sík egyenlete szegmensekben.

Ha az Ax + Bi + Cz + D = 0 általános egyenletben mindkét oldalt elosztjuk (-D)

cseréje
, megkapjuk a sík egyenletét szegmensekben:

Az a, b, c számok a sík metszéspontjai az x, y, z tengelyekkel, ill.

Sík egyenlete vektor formában.

Ahol

- az aktuális pont sugárvektora M(x, y, z),

Egységvektor, amelynek az origóból egy síkra ejtett merőleges iránya.

,  és  a vektor által az x, y, z tengellyel alkotott szögek.

p ennek a merőlegesnek a hossza.

Koordinátákban ez az egyenlet így néz ki:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Egy pont és egy sík távolsága.

Egy tetszőleges M 0 (x 0, y 0, z 0) pont és az Ax+By+Cz+D=0 sík távolsága:

Példa. Határozzuk meg a sík egyenletét, tudva, hogy a P(4; -3; 12) pont az origóból erre a síkra ejtett merőleges alapja.

Tehát A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, a következő képletet használjuk:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Példa. Határozzuk meg egy P(2; 0; -1) ponton átmenő sík egyenletét és!

Q(1; -1; 3) merőleges a 3x + 2y – z + 5 = 0 síkra.

Normálvektor a 3x + 2y – z + 5 = 0 síkra
párhuzamos a kívánt síkkal.

Kapunk:

Példa. Határozzuk meg az A(2, -1, 4) pontokon áthaladó sík egyenletét és!

B(3, 2, -1) merőleges a síkra x + nál nél + 2z – 3 = 0.

A sík szükséges egyenlete a következő alakú: A x+B y+C z+ D = 0, normálvektor erre a síkra (A, B, C). Vektor
(1, 3, -5) a síkhoz tartozik. A nekünk adott sík, a kívántra merőleges, normálvektorral rendelkezik (1, 1, 2). Mert Az A és B pont mindkét síkhoz tartozik, és a síkok egymásra merőlegesek, akkor

Tehát a normálvektor (11, -7, -2). Mert az A pont a kívánt síkhoz tartozik, akkor a koordinátáinak ki kell elégíteniük ennek a síknak az egyenletét, azaz. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

Összességében megkapjuk a sík egyenletét: 11 x - 7y – 2z – 21 = 0.

Példa. Határozzuk meg a sík egyenletét, tudva, hogy a P(4, -3, 12) pont az origóból erre a síkra ejtett merőleges alapja.

A normálvektor koordinátáinak megkeresése
= (4, -3, 12). A sík szükséges egyenlete a következő: 4 x – 3y + 12z+ D = 0. A D együttható megkereséséhez behelyettesítjük a P pont koordinátáit az egyenletbe:

16 + 9 + 144 + D = 0

Összességében megkapjuk a szükséges egyenletet: 4 x – 3y + 12z – 169 = 0

Példa. Adottak a piramis A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1) csúcsainak koordinátái,

Határozzuk meg az A 1 A 2 él hosszát.

Határozza meg az A 1 A 2 és A 1 A 4 élek közötti szöget.

Keresse meg az A 1 A 4 él és az A 1 A 2 A 3 lap közötti szöget.

Először keressük meg az A 1 A 2 A 3 arc normálvektorát vektorok keresztszorzataként
És
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Határozzuk meg a normálvektor és a vektor közötti szöget
.

-4 – 4 = -8.

A vektor és a sík közötti kívánt szög  egyenlő lesz:  = 90 0 - .

Keresse meg az arc területét A 1 A 2 A 3.

Keresse meg a piramis térfogatát!

Határozzuk meg az A 1 A 2 A 3 sík egyenletét!

Használjuk a képletet a három ponton átmenő sík egyenletére.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z-4 = 0;

A számítógépes verzió használatakor Felsőfokú matematika szak” futtathat egy programot, amely a fenti példát a piramis csúcsainak tetszőleges koordinátáira megoldja.

A program elindításához kattintson duplán az ikonra:

A megnyíló programablakba írja be a piramis csúcsainak koordinátáit, majd nyomja meg az Enter billentyűt. Így az összes döntési pontot egyenként lehet megszerezni.

Megjegyzés: A program futtatásához telepítenie kell a Maple programot ( Waterloo Maple Inc.) a számítógépére, a MapleV Release 4-től kezdődő bármely verziójára.

Ebben a leckében megvizsgáljuk, hogyan használhatjuk a determinánst a létrehozáshoz sík egyenlet. Ha nem tudja, mi az a determináns, menjen a lecke első részéhez - „Mátrixok és meghatározók”. Ellenkező esetben azt kockáztatja, hogy semmit sem fog megérteni a mai anyagból.

Egy sík egyenlete három pont felhasználásával

Egyáltalán miért van szükségünk síkegyenletre? Egyszerű: ennek ismeretében könnyen kiszámolhatunk szögeket, távolságokat és egyéb baromságokat a C2 feladatban. Általában nem nélkülözheti ezt az egyenletet. Ezért megfogalmazzuk a problémát:

Feladat. Három olyan pont van megadva a térben, amelyek nem ugyanazon az egyenesen helyezkednek el. A koordinátáik:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3);

Létre kell hoznia egy egyenletet a három ponton áthaladó síkra. Ezenkívül az egyenletnek így kell kinéznie:

Ax + By + Cz + D = 0

ahol az A, B, C és D számok azok az együtthatók, amelyeket valójában meg kell találni.

Nos, hogyan kapjuk meg a sík egyenletét, ha csak a pontok koordinátáit ismerjük? A legegyszerűbb, ha a koordinátákat behelyettesítjük az Ax + By + Cz + D = 0 egyenletbe. Egy három egyenletrendszert kapunk, amely könnyen megoldható.

Sok diák rendkívül fárasztónak és megbízhatatlannak tartja ezt a megoldást. A tavalyi matematika egységes államvizsga azt mutatta, hogy valóban nagy a valószínűsége a számítási hiba elkövetésének.

Ezért a legfejlettebb tanárok elkezdtek egyszerűbb és elegánsabb megoldásokat keresni. És megtalálták! Igaz, a kapott technika inkább a felsőbb matematikához kapcsolódik. Személy szerint át kellett turkálnom a teljes szövetségi tankönyvlistán, hogy megbizonyosodjunk arról, jogunk van-e ezt a technikát minden indoklás és bizonyíték nélkül használni.

Egy determinánson keresztüli sík egyenlete

Elég a dalszövegből, lássuk a dolgot. Először egy tétel arról, hogy a mátrix determinánsa és a sík egyenlete hogyan függ össze.

Tétel. Adjuk meg három pont koordinátáit, amelyeken keresztül a síkot meg kell rajzolni: M = (x 1, y 1, z 1); N = (x 2, y 2, z 2); K = (x 3, y 3, z 3). Ekkor ennek a síknak az egyenlete felírható a determinánson keresztül:

Példaként próbáljunk meg találni egy olyan síkpárt, amely valóban előfordul a C2 feladatban. Nézd meg, milyen gyorsan történik minden kiszámítása:

A1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);

Összeállítunk egy determinánst, és egyenlővé tesszük nullával:

Bővítjük a meghatározót:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (-1) 1 x + 0 1 (z - 1) + 1 0 y = -x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x - y + z - 1 = 0;

Mint látható, a d szám kiszámításakor kicsit „fésültem” az egyenletet, hogy az x, y és z változók a megfelelő sorrendben legyenek. Ez minden! A sík egyenlet készen áll!

Feladat. Írj egyenletet a pontokon átmenő síkra:

A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D1 = (0, 1, 1);

A pontok koordinátáit azonnal behelyettesítjük a determinánsba:

Ismét bővítjük a meghatározót:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Tehát ismét megkapjuk a sík egyenletét! Az utolsó lépésnél ismét meg kellett változtatnunk a benne lévő jeleket, hogy „szebb” formulát kapjunk. Ebben a megoldásban ezt egyáltalán nem szükséges megtenni, de mégis ajánlott - a probléma további megoldásának egyszerűsítése érdekében.

Amint látja, a sík egyenletének összeállítása most sokkal könnyebb. Behelyettesítjük a pontokat a mátrixba, kiszámítjuk a determinánst - és kész, az egyenlet kész.

Ezzel véget is érhet a lecke. Sok diák azonban folyamatosan elfelejti, hogy mi van a determinánsban. Például, hogy melyik sorban van x 2 vagy x 3, és melyik sorban csak x. Ahhoz, hogy ez valóban elkerülhető legyen, nézzük meg, honnan származnak az egyes számok.

Honnan származik a determinánst tartalmazó képlet?

Tehát nézzük meg, honnan származik egy ilyen kemény egyenlet egy determinánssal. Ez segít emlékezni rá és sikeresen alkalmazni.

A C2 feladatban megjelenő összes síkot három pont határozza meg. Ezeket a pontokat mindig jelöljük a rajzon, vagy akár közvetlenül a feladat szövegében is jelezzük. Mindenesetre egy egyenlet létrehozásához fel kell írnunk a koordinátáikat:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3).

Tekintsünk egy másik pontot a síkunkon tetszőleges koordinátákkal:

T = (x, y, z)

Vegyünk egy tetszőleges pontot az első háromból (például M pontot), és rajzoljunk belőle vektorokat a fennmaradó három pont mindegyikéhez. Három vektort kapunk:

MN = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1);
MK = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1);
MT = (x − x 1, y − y 1, z − z 1).

Most készítsünk négyzetmátrixot ezekből a vektorokból, és egyenlősítsük a determinánsát nullával. A vektorok koordinátái a mátrix soraivá válnak - és megkapjuk azt a determinánst, amelyet a tétel jelez:

Ez a képlet azt jelenti, hogy az MN, MK és MT vektorokra épített paralelepipedon térfogata nullával egyenlő. Ezért mindhárom vektor ugyanabban a síkban van. Konkrétan egy tetszőleges T = (x, y, z) pont az, amit kerestünk.

Egy determináns pontjainak és egyeneseinek cseréje

A determinánsoknak számos nagyszerű tulajdonsága van, amelyek még könnyebbé teszik megoldás a C2 feladatra. Például számunkra nem mindegy, hogy melyik pontból rajzoljuk a vektorokat. Ezért a következő determinánsok ugyanazt a síkegyenletet adják, mint a fenti:

A determináns sorait is felcserélheti. Az egyenlet változatlan marad. Például sokan szeretnek olyan vonalat írni, amelynek legfelül a T = (x; y; z) pont koordinátái. Kérem, ha Önnek kényelmes:

Vannak, akiket megzavar, hogy az egyik sor x, y és z változókat tartalmaz, amelyek nem tűnnek el a pontok helyettesítésekor. De nem szabad eltűnniük! A számokat a determinánsba behelyettesítve a következő konstrukciót kell kapnia:

Ezután a determinánst kibővítjük a lecke elején megadott diagram szerint, és megkapjuk a sík standard egyenletét:

Ax + By + Cz + D = 0

Vessen egy pillantást egy példára. Ez az utolsó a mai órán. Szándékosan felcserélem a sorokat, hogy megbizonyosodjon arról, hogy a válasz ugyanazt a sík egyenletét adja.

Feladat. Írj egyenletet a pontokon átmenő síkra:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1).

Tehát 4 pontot veszünk figyelembe:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Először hozzunk létre egy standard determinánst, és egyenlővé tegyük nullával:

Bővítjük a meghatározót:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Ennyi, megkaptuk a választ: x + y + z − 2 = 0.

Most rendezzünk át néhány sort a determinánsban, és nézzük meg, mi történik. Például írjunk egy sort az x, y, z változókkal nem alul, hanem felül:

Ismét kibővítjük a kapott determinánst:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Pontosan ugyanazt a síkegyenletet kaptuk: x + y + z − 2 = 0. Ez azt jelenti, hogy valóban nem függ a sorok sorrendjétől. Már csak a választ le kell írni.

Tehát meg vagyunk győződve arról, hogy a sík egyenlete nem függ a vonalak sorrendjétől. Hasonló számításokat végezhetünk, és bebizonyíthatjuk, hogy a sík egyenlete nem attól a ponttól függ, amelynek koordinátáit kivonjuk a többi pontból.

A fenti feladatban a B 1 = (1, 0, 1) pontot használtuk, de teljesen felvehető volt a C = (1, 1, 0) vagy D 1 = (0, 1, 1) pont. Általában bármely ismert koordinátájú pont a kívánt síkon fekszik.

Beállíthatod különböző utak(egy pont és egy vektor, két pont és egy vektor, három pont stb.). Ezt szem előtt tartva lehet a sík egyenlete különböző fajták. Továbbá, figyelemmel bizonyos feltételek a síkok lehetnek párhuzamosak, merőlegesek, metszőek stb. Ebben a cikkben erről fogunk beszélni. Megtanuljuk, hogyan kell létrehozni egy sík általános egyenletét és így tovább.

Az egyenlet normál alakja

Tegyük fel, hogy van egy R 3 tér, amelynek téglalap alakú XYZ koordinátarendszere van. Határozzuk meg az α vektort, amely felszabadul az O kezdőpontból. Az α vektor végén át rajzolunk egy P síkot, amely merőleges lesz rá.

Jelöljünk egy tetszőleges pontot P-n Q = (x, y, z) alakban. Jelöljük a Q pont sugárvektorát p betűvel. Ebben az esetben az α vektor hossza egyenlő р=IαI és Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Ez egy oldalra irányított egységvektor, mint az α vektor. α, β és γ azok a szögek, amelyek az Ʋ vektor és az x, y, z tértengelyek pozitív irányai között alakulnak ki. Bármely QϵП pont vetülete az Ʋ vektorra egy állandó érték, amely egyenlő p-vel: (p,Ʋ) = p(p≥0).

A fenti egyenletnek akkor van értelme, ha p=0. Csak az a helyzet, hogy a P sík ebben az esetben metszi a koordináták origójának számító O pontot (α=0), és az O pontból felszabaduló Ʋ egységvektor iránya ellenére merőleges lesz P-re, ami azt jelenti, hogy az Ʋ vektor előjel pontossággal van meghatározva. Az előző egyenlet a P sík egyenlete, vektor alakban kifejezve. De koordinátákban ez így fog kinézni:

P itt nagyobb vagy egyenlő, mint 0. Megtaláltuk a térbeli sík egyenletét normál alakban.

Általános egyenlet

Ha a koordinátákban megadott egyenletet megszorozzuk bármely olyan számmal, amely nem egyenlő nullával, akkor ezzel egyenértékű egyenletet kapunk, amely pontosan azt a síkot határozza meg. Így fog kinézni:

Itt A, B, C olyan számok, amelyek egyszerre különböznek a nullától. Ezt az egyenletet általános síkegyenletnek nevezzük.

Síkok egyenletei. Különleges esetek

Egyenlet be Általános nézet további feltételek mellett módosítható. Nézzünk meg néhányat közülük.

Tegyük fel, hogy az A együttható 0. Ez azt jelenti, hogy ez a sík párhuzamos az adott Ox tengellyel. Ebben az esetben az egyenlet alakja megváltozik: Ву+Cz+D=0.

Hasonlóképpen, az egyenlet alakja megváltozik a következő feltételek mellett:

Először is, ha B = 0, akkor az egyenlet Ax + Cz + D = 0-ra változik, ami az Oy tengellyel való párhuzamosságot jelzi.
Másodszor, ha C=0, akkor az egyenlet Ax+By+D=0-ra transzformálódik, ami az adott Oz tengellyel való párhuzamosságot jelzi.
Harmadszor, ha D=0, az egyenlet így fog kinézni: Ax+By+Cz=0, ami azt jelenti, hogy a sík metszi az O-t (az origót).
Negyedszer, ha A=B=0, akkor az egyenlet Cz+D=0-ra változik, ami párhuzamosnak bizonyul Oxy-val.
Ötödször, ha B=C=0, akkor az egyenlet Ax+D=0 lesz, ami azt jelenti, hogy az Oyz síkja párhuzamos.
Hatodszor, ha A=C=0, akkor az egyenlet Ву+D=0 alakot vesz fel, azaz párhuzamosságot jelent Oxz-nek.

Az egyenlet típusa szegmensekben

Abban az esetben, ha az A, B, C, D számok különböznek nullától, a (0) egyenlet alakja a következő lehet:

x/a + y/b + z/c = 1,

amelyben a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Eredményként azt kapjuk, hogy ez a sík egy pontban metszi az Ox tengelyt (a,0,0), Oy - (0,b,0) és Oz - (0,0,c). ).

Az x/a + y/b + z/c = 1 egyenletet figyelembe véve nem nehéz vizuálisan elképzelni a sík adott koordinátarendszerhez viszonyított elhelyezkedését.

Normál vektor koordináták

A P sík n normálvektorának koordinátái együtthatók általános egyenlet egy adott sík, azaz n (A, B, C).

A normál n koordinátáinak meghatározásához elegendő egy adott sík általános egyenletének ismerete.

Ha szegmensekben x/a + y/b + z/c = 1 alakú egyenletet használunk, valamint általános egyenletet használunk, akkor egy adott sík bármely normálvektorának koordinátáit felírhatjuk: (1 /a + 1/b + 1/ -val).

Érdemes megjegyezni, hogy a normálvektor számos probléma megoldásában segít. A leggyakoribbak a síkok merőlegességének vagy párhuzamosságának bizonyításával kapcsolatos problémák, a síkok közötti szögek vagy a síkok és egyenesek közötti szögek megállapításának problémái.

A síkegyenlet típusa a pont és a normálvektor koordinátái szerint

Egy adott síkra merőleges, nullától eltérő n vektort egy adott síkra normálisnak nevezzük.

Tegyük fel, hogy a koordinátatérben (téglalap koordinátarendszerben) az Oxyz adottak:

Mₒ pont koordinátákkal (xₒ,yₒ,zₒ);
nulla vektor n=A*i+B*j+C*k.

Létre kell hozni egy egyenletet egy síkra, amely átmegy az Mₒ ponton, amely merőleges az n-re.

Kiválasztjuk a tér tetszőleges pontját és jelöljük M (x y, z). Legyen bármely M (x,y,z) pont sugárvektora r=x*i+y*j+z*k, az Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) pont sugárvektora pedig - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Az M pont egy adott síkhoz fog tartozni, ha az MₒM vektor merőleges az n vektorra. Írjuk fel az ortogonalitási feltételt a skalárszorzat segítségével:

[MₒM, n] = 0.

Mivel MₒM = r-rₒ, a sík vektoregyenlete így fog kinézni:

Ennek az egyenletnek más alakja is lehet. Ehhez a skalárszorzat tulajdonságait használjuk, a transzformációt pedig az bal oldal egyenletek = - . Ha c-vel jelöljük, akkor a következő egyenletet kapjuk: - c = 0 vagy = c, amely a síkhoz tartozó adott pontok sugárvektorainak normálvektorára való vetületek állandóságát fejezi ki.

Most megkaphatjuk a sík = 0 vektoregyenletének koordinátaformáját. Mivel r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, és n = A*i+B *j+С*k:

Kiderült, hogy van egy egyenletünk a normál n-re merőleges ponton átmenő síkra:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

A síkegyenlet típusa két pont koordinátái szerint és egy, a síkkal kollineáris vektor

Határozzuk meg két tetszőleges M′ (x′,y′,z′) és M″ (x″,y″,z″) pontot, valamint egy a (a′,a″,a‴) vektort.

Most létrehozhatunk egy egyenletet egy adott síkra, amely átmegy a meglévő M′ és M″ pontokon, valamint bármely olyan M ponton, amelynek koordinátái (x, y, z) párhuzamosak az adott a vektorral.

Ebben az esetben az M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) és M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) vektoroknak egy síkban kell lenniük a vektorral a=(a′,a″,a‴), ami azt jelenti, hogy (M′M, M″M, a)=0.

Tehát a térbeli síkegyenletünk így fog kinézni:

Három pontot metsző sík egyenletének típusa

Tegyük fel, hogy három pontunk van: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), amelyek nem tartoznak ugyanabba az egyenesbe. Fel kell írni egy adott három ponton áthaladó sík egyenletét. A geometria elmélete azt állítja, hogy ez a fajta sík valóban létezik, de ez az egyetlen és egyedülálló. Mivel ez a sík metszi az (x′,y′,z′ pontot), az egyenlet alakja a következő lesz:

Itt A, B, C egyszerre különbözik a nullától. Ezenkívül az adott sík további két pontot metsz: (x″,y″,z″) és (x‴,y‴,z‴). E tekintetben a következő feltételeknek kell teljesülniük:

Most komponálhatunk homogén rendszer ismeretlen u, v, w:

Miénkben x,y eset vagy z tetszőleges pontként működik, amely kielégíti az (1) egyenletet. Adott az (1) egyenlet és a (2) és (3) egyenletrendszer, a fenti ábrán látható egyenletrendszert az N (A,B,C) vektor teljesíti, amely nem triviális. Ezért ennek a rendszernek a determinánsa nulla.

Az általunk kapott (1) egyenlet a sík egyenlete. Pontosan 3 ponton megy át, és ez könnyen ellenőrizhető. Ehhez ki kell terjesztenünk a determinánsunkat az első sor elemeire. A determináns meglévő tulajdonságaiból következik, hogy síkunk egyszerre metszi három kezdetben megadott pontot (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Vagyis megoldottuk a ránk bízott feladatot.

Diéder szög a síkok között

A diéderszög egy térbeli geometriai alakzat, amelyet két félsík alkot, amelyek egy egyenesből erednek. Más szóval, ez az a térrész, amelyet ezek a félsíkok korlátoznak.

Tegyük fel, hogy van két síkunk a következő egyenletekkel:

Tudjuk, hogy az N=(A,B,C) és N¹=(A¹,B1,C1) vektorok merőlegesek az adott síkra. Ebben a tekintetben az N és N¹ vektorok közötti φ szög egyenlő azzal a szöggel (diéder), amely e síkok között helyezkedik el. A pontterméknek a következő formája van:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

pont azért

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Elég figyelembe venni, hogy 0≤φ≤π.

Valójában két metsző sík két szöget (diédert) alkot: φ 1 és φ 2. Összegük egyenlő π-vel (φ 1 + φ 2 = π). A koszinuszukat illetően abszolút értékük egyenlő, de előjelben különböznek, azaz cos φ 1 = -cos φ 2. Ha a (0) egyenletben A, B és C helyére -A, -B és -C számokat cserélünk, akkor a kapott egyenlet ugyanazt a síkot fogja meghatározni, az egyetlen, a cos egyenletben a φ szöget. φ= NN 1 /| N||N 1 | helyébe π-φ kerül.

Egy merőleges sík egyenlete

Azokat a síkokat, amelyek között a szög 90 fokos, merőlegesnek nevezzük. A fent bemutatott anyagot felhasználva megtalálhatjuk egy másikra merőleges sík egyenletét. Tegyük fel, hogy két síkunk van: Ax+By+Cz+D=0 és A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Azt mondhatjuk, hogy merőlegesek lesznek, ha cosφ=0. Ez azt jelenti, hogy NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Párhuzamos sík egyenlet

Két olyan síkot, amelyek nem tartalmaznak közös pontokat, párhuzamosnak nevezzük.

A feltétel (egyenleteik megegyeznek az előző bekezdésben leírtakkal), hogy a rájuk merőleges N és N¹ vektorok kollineárisak legyenek. Ez azt jelenti, hogy az alábbi arányossági feltételek teljesülnek:

A/A1=B/B1=C/C1.

Ha az arányossági feltételeket kiterjesztjük - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

ez azt jelzi, hogy ezek a síkok egybeesnek. Ez azt jelenti, hogy az Ax+By+Cz+D=0 és az A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 egyenletek egy síkot írnak le.

Távolság a síktól a ponttól

Tegyük fel, hogy van egy P sík, amelyet a (0) egyenlet ad meg. Meg kell találni a távolságot egy ponttól, amelynek koordinátái (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Ehhez normál alakba kell vinnie a P sík egyenletét:

(ρ,v)=р (р≥0).

Ebben az esetben ρ (x,y,z) a P-n elhelyezkedő Q pontunk sugárvektora, p a nullapontból kiengedett P merőleges hossza, v az egységvektor, amely az irány a.

Valamely P-hez tartozó Q = (x, y, z) pont ρ-ρº sugárvektora, valamint egy adott Q 0 = (xₒ, уₒ, zₒ) pont sugárvektora olyan vektor, amelynek v-re vetületének abszolút értéke egyenlő azzal a d távolsággal, amelyet Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) és P között meg kell találni:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, de

(ρ-ρ 0,v)= (ρ,v)-(ρ 0,v) =р-(ρ 0,v).

Szóval kiderül

d=|(ρ 0 ,v)-р|.

Így megtaláljuk az eredményül kapott kifejezés abszolút értékét, vagyis a kívánt d-t.

A paraméternyelv használatával a következőt kapjuk:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Ha egy adott Q 0 pont a P sík másik oldalán van, mint a koordináták origója, akkor a ρ-ρ 0 és v vektor között tehát van:

d=-(ρ-ρ 0,v)=(ρ 0,v)-р>0.

Abban az esetben, ha a Q 0 pont a koordináták origójával együtt P ugyanazon az oldalán található, akkor a létrehozott szög hegyes, azaz:

d=(ρ-ρ 0,v)=р - (ρ 0, v)>0.

Ennek eredményeként kiderül, hogy az első esetben (ρ 0 ,v)>р, a másodikban (ρ 0 ,v)<р.

Érintősík és egyenlete

A felület érintési síkja az Mº érintkezési pontban egy olyan sík, amely tartalmazza a felület ezen pontján keresztül rajzolt görbék összes lehetséges érintőjét.

Az ilyen típusú F(x,y,z)=0 felületi egyenletnél az érintősík egyenlete az Mº(xº,yº,zº) érintőpontban így fog kinézni:

F x (xº,yº,zº)(x-xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.

Ha a felületet explicit formában z=f (x,y) adjuk meg, akkor az érintősíkot a következő egyenlet írja le:

z-zº =f(xº,yº)(x-xº)+f(xº,yº)(y-yº).

Két sík metszéspontja

A koordinátarendszerben (téglalap alakú) Oxyz található, két П′ és П″ sík adott, amelyek metszik egymást és nem esnek egybe. Mivel a téglalap alakú koordinátarendszerben található bármely síkot egy általános egyenlet határozza meg, feltételezzük, hogy P′ és P″ az A′x+B′y+C′z+D′=0 és A″x egyenletek alapján. +B″y+ С″z+D″=0. Ebben az esetben a P′ sík normál n′ (A′,B′,C′), a P″ sík normál n″ (A″,B″,C″) értéke van. Mivel síkjaink nem párhuzamosak és nem esnek egybe, ezek a vektorok nem kollineárisak. Ezt a feltételt a matematika nyelvén a következőképpen írhatjuk fel: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. A P′ és P″ metszéspontjában lévő egyenest jelöljük a betűvel, ebben az esetben a = P′ ∩ P″.

a egy egyenes, amely a P′ és P″ (közös) síkok összes pontjának halmazából áll. Ez azt jelenti, hogy az a egyeneshez tartozó bármely pont koordinátáinak egyidejűleg teljesíteniük kell az A′x+B′y+C′z+D′=0 és az A″x+B″y+C″z+D″=0 egyenletet. . Ez azt jelenti, hogy a pont koordinátái a következő egyenletrendszer részmegoldásai lesznek:

Ennek eredményeként kiderül, hogy ennek az egyenletrendszernek az (általános) megoldása meghatározza a P′ és P″ metszéspontjaként működő egyenes minden pontjának koordinátáit, és meghatározza az egyenest. a az Oxyz (téglalap alakú) koordinátarendszerben a térben.