Egy szabályos hatszögletű prizma alapterülete 3. Minden, amit a prizmákról tudni kell (2019)

Tegyük fel, hogy Akhilleusz tízszer gyorsabban fut, mint a teknősbéka, és ezer lépéssel mögötte van. Amíg Akhilleusz lefutja ezt a távot, a teknősbéka száz lépést kúszik ugyanabba az irányba. Amikor Akhilleusz száz lépést fut, a teknősbéka újabb tíz lépést kúszik, és így tovább. A folyamat a végtelenségig folytatódik, Akhilleusz soha nem éri utol a teknősbékát.

Ez az érvelés logikus megrázkódtatássá vált minden következő generáció számára. Arisztotelész, Diogenész, Kant, Hegel, Hilbert... Valamennyien így vagy úgy tekintették Zénón apóriáját. A sokk olyan erős volt, hogy " ... a mai napig folynak a viták a tudományos közösségben a paradoxonok lényegéről ... ; egyik sem lett általánosan elfogadott megoldás a problémára..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Mindenki megérti, hogy becsapják, de senki sem érti, miből áll a megtévesztés.

Matematikai szempontból Zénó aporiájában egyértelműen bemutatta a mennyiségből a -ba való átmenetet. Ez az átmenet állandó helyett alkalmazást jelent. Amennyire én értem, az alkalmazás matematikai apparátusa változó mértékegységek a mérést vagy még nem fejlesztették ki, vagy nem alkalmazták Zénó apóriájára. Használata a mi hétköznapi logika csapdába vezet bennünket. Mi a gondolkodás tehetetlensége miatt állandó időegységeket alkalmazunk a reciprok értékre. Fizikai szempontból ez úgy tűnik, mintha az idő lelassulna, amíg teljesen meg nem áll abban a pillanatban, amikor Akhilleusz utoléri a teknőst. Ha megáll az idő, Akhilleusz többé nem tudja lehagyni a teknősbékát.

Ha megfordítjuk a megszokott logikánkat, minden a helyére kerül. Akhilleusz állandó sebességgel fut. Útjának minden következő szakasza tízszer rövidebb, mint az előző. Ennek megfelelően a leküzdésére fordított idő tízszer kevesebb, mint az előzőnél. Ha ebben a helyzetben alkalmazzuk a „végtelen” fogalmát, akkor helyes lenne azt mondani, hogy „Achilles végtelenül gyorsan utoléri a teknőst”.

Hogyan lehet elkerülni ezt a logikai csapdát? Maradjon állandó időegységben, és ne váltson át reciprok mértékegységekre. Zénón nyelvén ez így néz ki:

Amíg Akhilleusz ezer lépést fut, addig a teknősbéka száz lépést kúszik ugyanabba az irányba. Az elsővel megegyező következő időintervallumban Akhilleusz újabb ezer lépést fut, a teknősbéka pedig száz lépést kúszik. Most Akhilleusz nyolcszáz lépéssel megelőzi a teknősbékát.

Ez a megközelítés adekvát módon írja le a valóságot minden logikai paradoxon nélkül. De ez nem komplett megoldás Problémák. Einstein kijelentése a fénysebesség ellenállhatatlanságáról nagyon hasonlít Zénón „Achilles és a teknős” című apóriájához. Ezt a problémát még tanulmányoznunk, újragondolnunk és megoldanunk kell. A megoldást pedig nem végtelenül nagy számokban, hanem mértékegységekben kell keresni.

Zénó másik érdekes apóriája egy repülő nyílról mesél:

A repülő nyíl mozdulatlan, hiszen az idő minden pillanatában nyugalomban van, és mivel minden pillanatban nyugalomban van, mindig nyugalomban van.

Ebben az apóriában a logikai paradoxont ​​nagyon egyszerűen leküzdjük - elég tisztázni, hogy minden időpillanatban egy repülő nyíl nyugalomban van a tér különböző pontjain, ami valójában mozgás. Itt még egy szempontot kell megjegyezni. Egy úton lévő autóról készült fénykép alapján lehetetlen meghatározni sem a mozgás tényét, sem a távolságot. Annak megállapításához, hogy egy autó mozog-e, két fényképre van szüksége, amelyek ugyanarról a pontról készültek, különböző időpontokban, de nem tudja meghatározni a távolságot tőlük. Az autótól való távolság meghatározásához két fényképre van szüksége különböző pontokat tér egy adott időpontban, de ezekből lehetetlen meghatározni a mozgás tényét (természetesen további adatokra van szükség a számításokhoz, a trigonometria segít). Amire szeretnék rámutatni Speciális figyelem, hogy két pont az időben és két pont a térben különböző dolog, amit nem szabad összetéveszteni, mert más-más lehetőséget biztosítanak a kutatáshoz.

2018. július 4., szerda

A halmaz és a multihalmaz közötti különbségek nagyon jól le vannak írva a Wikipédián. Lássuk.

Amint láthatja, „nem lehet két azonos elem egy halmazban”, de ha egy halmazban azonos elemek vannak, akkor az ilyen halmazt „multisetnek” nevezzük. Ésszerű lények soha nem fogják megérteni az ilyen abszurd logikát. Ez a beszélő papagájok és képzett majmok szintje, akiknek nincs intelligenciája a „teljesen” szóból. A matematikusok közönséges oktatóként viselkednek, és abszurd elképzeléseiket hirdetik nekünk.

Egyszer régen a hidat építő mérnökök egy csónakban voltak a híd alatt, miközben tesztelték a hidat. Ha a híd összeomlott, a középszerű mérnök meghalt teremtménye romjai alatt. Ha a híd bírta a terhelést, a tehetséges mérnök más hidakat épített.

Bármennyire is bújnak a matematikusok a „figyelj, a házban vagyok” kifejezés mögé, vagy inkább: „a matematika elvont fogalmakat tanulmányoz”, van egy köldökzsinór, amely elválaszthatatlanul összeköti őket a valósággal. Ez a köldökzsinór pénz. Alkalmazzuk a matematikai halmazelméletet magukra a matematikusokra.

Nagyon jól tanultunk matematikát, most a pénztárnál ülünk, és kiosztjuk a fizetéseket. Tehát egy matematikus jön hozzánk a pénzéért. Kiszámoljuk neki a teljes összeget, és az asztalunkra fektetjük különböző kupacokba, amelyekbe azonos címletű bankjegyeket teszünk. Ezután minden kupacból kiveszünk egy számlát, és megadjuk a matematikusnak a „matematikai fizetési halmazát”. Magyarázzuk el a matematikusnak, hogy a fennmaradó számlákat csak akkor kapja meg, ha bebizonyítja, hogy az azonos elemek nélküli halmaz nem egyenlő az azonos elemeket tartalmazó halmazzal. Itt kezdődik a móka.

Először is működni fog a képviselők logikája: „Ezt másokra lehet alkalmazni, de rám nem!” Aztán elkezdenek biztosítani bennünket arról, hogy az azonos címletű bankjegyek rendelkeznek különböző számok számlák, ami azt jelenti, hogy nem tekinthetők azonos elemeknek. Oké, számoljuk a fizetéseket érmében – nincsenek számok az érméken. Itt a matematikus eszeveszetten emlékezni kezd a fizikára: a különböző érmékben különböző mennyiségű szennyeződés van, a kristályszerkezet és az atomok elrendezése minden érménél egyedi...

És most nekem van a legtöbb érdeklődés Kérdezzen: hol van az a vonal, amelyen túl egy multihalmaz elemei halmaz elemeivé válnak és fordítva? Ilyen vonal nem létezik – mindent a sámánok döntenek el, a tudomány itt meg sem hazudik.

Nézz ide. Azonos pályaterületű futballstadionokat választunk. A mezők területei megegyeznek - ami azt jelenti, hogy van egy multihalmazunk. De ha megnézzük ezeknek a stadionoknak a nevét, sokat kapunk, mert a nevek különbözőek. Amint látja, ugyanaz az elemkészlet halmaz és multihalmaz is. Melyik a helyes? És itt a matematikus-sámán-éles előhúz egy adu ászt az ingujjából, és mesélni kezd nekünk vagy egy halmazról, vagy egy multihalmazról. Mindenesetre meg fog győzni minket az igazáról.

Ahhoz, hogy megértsük, hogyan operálnak a modern sámánok a halmazelmélettel, a valósághoz kötve, elég egy kérdésre válaszolni: miben különböznek egy halmaz elemei egy másik halmaz elemeitől? Megmutatom, minden "nem egyetlen egészként elképzelhető" vagy "egyetlen egészként nem elképzelhető" nélkül.

2018. március 18. vasárnap

Egy szám számjegyeinek összege sámánok tánca tamburával, aminek semmi köze a matematikához. Igen, a matematika órán azt tanítják, hogy keressük meg egy szám számjegyeinek összegét és használjuk, de ezért ők sámánok, hogy megtanítsák leszármazottaikat tudásukra és bölcsességükre, különben a sámánok egyszerűen kihalnak.

Bizonyítékra van szüksége? Nyissa meg a Wikipédiát, és próbálja meg megtalálni a "Számjegyek összege" oldalt. Ő nem létezik. A matematikában nincs olyan képlet, amellyel bármely szám számjegyeinek összegét meg lehetne találni. Hiszen a számok grafikus szimbólumok, amelyekkel számokat írunk, és a matematika nyelvén a feladat így hangzik: „Keresd meg a tetszőleges számot ábrázoló grafikus szimbólumok összegét!” A matematikusok nem tudják megoldani ezt a problémát, de a sámánok könnyen meg tudják oldani.

Találjuk ki, mit és hogyan tegyünk annak érdekében, hogy megtaláljuk egy adott szám számjegyeinek összegét. Tehát legyen az 12345 szám. Mit kell tenni, hogy megtaláljuk ennek a számnak a számjegyeinek összegét? Vegyük sorra az összes lépést.

1. Írja fel a számot egy papírra. Mit tettünk? A számot grafikus számszimbólummá alakítottuk át. Ez nem matematikai művelet.

2. Egy kapott képet több, egyedi számokat tartalmazó képre vágunk. A kép kivágása nem matematikai művelet.

3. Alakítsa át az egyes grafikus szimbólumokat számokká. Ez nem matematikai művelet.

4. Adja hozzá a kapott számokat. Ez most a matematika.

Az 12345 számjegyeinek összege 15. Ezek a sámánok által tanított „szabás- és varrótanfolyamok”, amelyeket a matematikusok használnak. De ez még nem minden.

Matematikai szempontból nem mindegy, hogy melyik számrendszerben írunk egy számot. Tehát különböző számrendszerekben ugyanazon szám számjegyeinek összege eltérő lesz. A matematikában a számrendszert alsó indexként tüntetjük fel a számtól jobbra. VAL VEL egy nagy szám 12345 Nem akarom becsapni a fejem, nézzük a 26-os számot a cikkből. Írjuk fel ezt a számot bináris, oktális, decimális és hexadecimális számrendszerben. Nem nézünk mikroszkóp alatt minden lépést, ezt már megtettük. Nézzük az eredményt.

Mint látható, a különböző számrendszerekben ugyanazon szám számjegyeinek összege eltérő. Ennek az eredménynek semmi köze a matematikához. Ez ugyanaz, mintha egy téglalap területét méterben és centiméterben határozná meg, teljesen más eredményeket kapna.

A nulla minden számrendszerben ugyanúgy néz ki, és nincs számjegyösszege. Ez egy újabb érv amellett, hogy. Kérdés matematikusokhoz: hogyan lehet a matematikában kijelölni valamit, ami nem szám? A matematikusok számára a számokon kívül semmi sem létezik? Ezt megengedhetem a sámánoknak, de nem a tudósoknak. A valóság nem csak a számokból áll.

A kapott eredményt annak bizonyítékának kell tekinteni, hogy a számrendszerek a számok mértékegységei. Hiszen nem hasonlíthatjuk össze a számokat különböző mértékegységekkel. Ha ugyanazok a műveletek ugyanazon mennyiség különböző mértékegységeivel eltérő eredményre vezetnek az összehasonlítás után, akkor ennek semmi köze a matematikához.

Mi az igazi matematika? Ilyenkor egy matematikai művelet eredménye nem függ a szám nagyságától, az alkalmazott mértékegységtől és attól, hogy ki végzi el ezt a műveletet.

Ó! Ez nem a női mosdó?
- Fiatal nő! Ez egy laboratórium a lelkek indefil szentségének tanulmányozására a mennybemenetelük során! Halo a tetején és nyíl felfelé. Milyen másik wc?

Női... A tetején lévő halo és a lefelé mutató nyíl férfi.

Ha egy ilyen dizájnművészeti alkotás naponta többször felvillan a szemed előtt,

Akkor nem meglepő, hogy hirtelen egy furcsa ikont talál az autójában:

Én személy szerint igyekszem mínusz négy fokot látni egy kakiló emberben (egy kép) (több képből álló kompozíció: mínusz jel, négyes szám, fokok megjelölése). És szerintem ez a lány nem bolond, aki nem ismeri a fizikát. Csak erős sztereotípiája van a grafikus képek észlelésével kapcsolatban. A matematikusok pedig állandóan ezt tanítják nekünk. Íme egy példa.

Az 1A nem „mínusz négy fok” vagy „egy a”. Ez a "pooping man" vagy a "huszonhat" szám hexadecimális jelöléssel. Azok, akik folyamatosan ebben a számrendszerben dolgoznak, automatikusan egy számot és egy betűt egyetlen grafikus szimbólumként érzékelnek.

A különböző prizmák különböznek egymástól. Ugyanakkor sok a közös bennük. A prizma alapterületének meghatározásához meg kell értenie, hogy milyen típusú.

Általános elmélet

A prizma bármely poliéder oldalain amelyek paralelogramma alakúak. Ezenkívül az alapja bármilyen poliéder lehet - a háromszögtől az n-szögig. Ráadásul a prizma alapjai mindig egyenlőek egymással. Ami nem vonatkozik az oldalfelületekre, az az, hogy méretük jelentősen eltérhet.

A problémák megoldása során nem csak a prizma alapterületével találkozunk. Szükséges lehet az oldalfelület ismerete, vagyis minden olyan lap, amely nem alap. A teljes felület a prizmát alkotó összes lap egyesülése lesz.

Néha a problémák a magassággal kapcsolatosak. Az alapokra merőleges. A poliéder átlója olyan szakasz, amely páronként összeköt két olyan csúcsot, amelyek nem tartoznak ugyanahhoz a laphoz.

Meg kell jegyezni, hogy az egyenes vagy ferde prizma alapterülete nem függ a köztük és az oldallapok közötti szögtől. Ha ugyanazok az ábrák vannak a felső és az alsó oldalon, akkor területük egyenlő lesz.

Háromszög prizma

Az alján egy három csúcsú alak, azaz egy háromszög van. Mint tudod, lehet másképp is. Ha igen, akkor elég megjegyezni, hogy a területét a lábak szorzatának fele határozza meg.

A matematikai jelölés így néz ki: S = ½ av.

A bázis területének megtudásához Általános nézet, hasznosak lesznek a képletek: Gém és az, amelyikben az oldal fele a hozzá húzott magasságba kerül.

Az első képletet a következőképpen kell felírni: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Ez a jelölés egy fél kerületet (p) tartalmaz, azaz három oldal összegét osztva kettővel.

Második: S = ½ n a * a.

Ha tudnia kell az alap területét háromszög prizma, ami szabályos, akkor a háromszög egyenlő oldalúnak bizonyul. Van rá egy képlet: S = ¼ a 2 * √3.

Négyszögletű prizma

Alapja az ismert négyszögek bármelyike. Lehet téglalap vagy négyzet, paralelepipedon vagy rombusz. A prizma alapterületének kiszámításához minden esetben saját képletre lesz szüksége.

Ha az alap téglalap, akkor területét a következőképpen határozzuk meg: S = ab, ahol a, b a téglalap oldalai.

Amikor arról beszélünk egy négyszög alakú prizmáról, akkor a szabályos prizma alapterületét a négyzet képletével számítjuk ki. Mert ő fekszik az alapoknál. S = a 2.

Abban az esetben, ha az alap paralelepipedon, a következő egyenlőségre lesz szükség: S = a * n a. Előfordul, hogy egy paralelepipedon oldala és az egyik szög adott. Ezután a magasság kiszámításához egy további képletet kell használnia: n a = b * sin A. Ezenkívül az A szög szomszédos a „b” oldallal, és az n magasság ezzel a szöggel ellentétes.

Ha a prizma alján rombusz van, akkor a területének meghatározásához ugyanarra a képletre lesz szükség, mint a paralelogrammánál (mivel ez egy speciális eset). De ezt is használhatod: S = ½ d 1 d 2. Itt d 1 és d 2 a rombusz két átlója.

Szabályos ötszögletű prizma

Ebben az esetben a sokszöget háromszögekre osztjuk, amelyek területét könnyebb kideríteni. Bár előfordul, hogy a figuráknak különböző számú csúcsa lehet.

Mivel a prizma alapja szabályos ötszög, öt egyenlő oldalú háromszögre osztható. Ezután a prizma alapterülete egyenlő egy ilyen háromszög területével (a képlet fent látható), megszorozva öttel.

Szabályos hatszögletű prizma

Az ötszögletű prizmánál leírt elv szerint az alap hatszögét 6 egyenlő oldalú háromszögre lehet osztani. Az ilyen prizma alapterületének képlete hasonló az előzőhöz. Csak azt kell hattal szorozni.

A képlet így fog kinézni: S = 3/2 a 2 * √3.

Feladatok

1. sz. Adott egy szabályos egyenes, átlója 22 cm, a poliéder magassága 14 cm. Számítsa ki a prizma alapterületét és a teljes felületet.

Megoldás. A prizma alapja négyzet, oldala azonban ismeretlen. Értékét a négyzet átlójából (x), amely a prizma átlójához (d) és magasságához (h) viszonyít. x 2 = d 2 - n 2. Másrészt ez az „x” szakasz egy olyan háromszög hipotenusza, amelynek lábai egyenlők a négyzet oldalával. Vagyis x 2 = a 2 + a 2. Így kiderül, hogy a 2 = (d 2 - n 2)/2.

Cserélje be a d helyett a 22-es számot, és cserélje ki az „n”-et annak értékére - 14, akkor kiderül, hogy a négyzet oldala 12 cm Most csak megtudja az alap területét: 12 * 12 = 144 cm 2.

A teljes felület területének meghatározásához hozzá kell adni az alapterület kétszeresét, és négyszereznie kell az oldalfelületet. Ez utóbbi könnyen megtalálható a téglalap képletével: szorozzuk meg a poliéder magasságát és az alap oldalát. Vagyis 14 és 12, ez a szám 168 cm 2 lesz. teljes terület A prizma felülete 960 cm 2 -nek bizonyul.

Válasz. A prizma alapfelülete 144 cm2. A teljes felület 960 cm2.

2. sz. Adott Az alapnál egy 6 cm-es oldalfelület található. Ebben az esetben az oldallap átlója 10 cm. Számítsa ki a területeket: az alap és az oldalfelület.

Megoldás. Mivel a prizma szabályos, az alapja egy egyenlő oldalú háromszög. Ezért a területe egyenlő a 6 négyzetével, megszorozva ¼-vel és 3 négyzetgyökével. Egyszerű számítással a következő eredményt kapjuk: 9√3 cm 2. Ez a prizma egyik alapterülete.

Minden oldallap azonos, és téglalapok, amelyek oldalai 6 és 10 cm-esek A területük kiszámításához csak szorozza meg ezeket a számokat. Majd szorozd meg hárommal, mert a prizmának pontosan ennyi oldallapja van. Ezután a seb oldalsó felületének területe 180 cm 2 -nek bizonyul.

Válasz. Területek: alap - 9√3 cm 2, a prizma oldalfelülete - 180 cm 2.

A prizma minden csúcsából, például az A 1 csúcsból (ábra), három átló rajzolható (A 1 E, A 1 D, A 1 C).

Ezeket az alap átlói (AE, AD, AC) vetítik az ABCDEF síkra. A ferde A 1 E, A 1 D, A 1 C közül a legnagyobb a legnagyobb vetületű. Következésképpen a három felvett átló közül a legnagyobb A 1 D (a prizmában is vannak A 1 D-nek megfelelő átlók, de nincsenek nagyobbak).

Az A 1 AD háromszögből, ahol ∠DA 1 A = α és A 1 D = d , azt találjuk, hogy H=AA 1 = d kötözősaláta α ,
AD= d bűn α .

Az AOB egyenlő oldalú háromszög területe egyenlő 1/4 AO 2 √3. Ennélfogva,

S ocn. = 6 1/4 AO 2 √3 = 6 1/4 (AD/2) 2 √3.

V kötet = S H = 3√ 3 / 8 AD 2 AA 1

Válasz: 3√ 3/8 d 3 bűn 2 α kötözősaláta α .

Megjegyzés . Szabályos hatszög (a prizma alapja) ábrázolásához tetszőleges BCDO paralelogrammát készíthet. Az OA = OD, OF = OC és OE = OB szakaszokat a DO, CO, BO egyenesek folytatásaira kihelyezve az ABCDEF hatszöget kapjuk. Az O pont a középpontot jelöli.

Szabályos hatszögletű prizma- egy prizma, amelynek alapjainál két szabályos hatszög található, és minden oldallapja szigorúan merőleges ezekre az alapokra.

• A B C D E F A1 B1 C1 D1 E1 F1 - szabályos hatszögletű prizma
• a- a prizma alap oldalának hossza
• h- hossza oldalsó borda prizmák
• Sfő-- a prizma alapterülete
• Soldalán .- a prizma oldalsó felületének területe
• Steljes- a prizma teljes felülete
• Vprizmák- prizma térfogata

Prizma alapterülete

A prizma alján szabályos hatszögek vannak oldalakkal a. A szabályos hatszög tulajdonságai szerint a prizma alapjainak területe egyenlő

Ily módon

Sfő-= 3 3 √ 2 ⋅ a2