Egy csonka piramis felülete. Online számológép egy csonka piramis felületének kiszámításához

egy poliéder, amelyet a gúla alapja és egy vele párhuzamos szakasz alkot. Azt mondhatjuk, hogy a csonka piramis olyan piramis, amelynek a teteje le van vágva. Ennek a figurának számos egyedi tulajdonsága van:

• A piramis oldallapjai trapéz alakúak;
• A szabályos csonka gúla oldalsó élei azonos hosszúságúak és ugyanolyan szögben hajlanak az alaphoz;
• Az alapok hasonló sokszögek;
• Egy szabályos csonka piramisban a lapok azonos, egyenlő szárú trapézok, amelyek területe egyenlő. Ezenkívül egy szögben dőlnek az alaphoz.

A csonka piramis oldalfelületének képlete az oldalak területének összege:

Mivel a csonka piramis oldalai trapéz alakúak, a paraméterek kiszámításához a képletet kell használni trapéz alakú terület. Normál csonka piramis esetén a terület kiszámításához más képletet is alkalmazhat. Mivel minden oldala, lapja és szöge az alapnál egyenlő, alkalmazhatjuk az alap és az apotém kerületét, valamint az alapnál lévő szögből származtathatjuk a területet is.

Ha egy szabályos csonka gúlában a feltételek szerint adott az apotém (az oldal magassága) és az alap oldalainak hossza, akkor a terület a kerületek összegének félszorzatán keresztül számítható ki. az alapok és az apotém:

Nézzünk egy példát a csonka piramis oldalfelületének kiszámítására.
Adott egy szabályos ötszögletű piramis. Apothem l= 5 cm, az él hossza a nagy alapban az a= 6 cm, és a széle a kisebb alapnál van b= 4 cm Számítsa ki a csonka gúla területét!

Először is keressük meg az alapok kerületét. Mivel egy ötszögletű piramist kapunk, megértjük, hogy az alapok ötszögek. Ez azt jelenti, hogy az alapok öt azonos oldalú figurát tartalmaznak. Keressük meg a nagyobb alap kerületét:

Ugyanígy megtaláljuk a kisebb alap kerületét is:

Most kiszámolhatjuk egy szabályos csonka piramis területét. Helyettesítsd be az adatokat a képletbe:

Így kiszámítottuk egy szabályos csonka piramis területét a kerületeken és az apotémen keresztül.

Az oldalsó felület kiszámításának másik módja szabályos piramis, ez a képlet az alapnál lévő szögeken és ezeknek az alapoknak a területén keresztül.

Nézzünk egy számítási példát. Emlékezzünk rá, hogy ez a képlet csak szabályos csonka piramisra vonatkozik.

Legyen adott egy szabályos négyszög alakú piramis. Az alsó alap széle a = 6 cm, a felsőé pedig b = 4 cm A diéder szöge az alapnál β = 60°. Határozza meg egy szabályos csonka gúla oldalfelületét.

Először is számítsuk ki az alapok területét. Mivel a piramis szabályos, az alapok minden éle egyenlő egymással. Tekintettel arra, hogy az alap négyszög, megértjük, hogy ki kell számítani a tér területe. Ez a szélesség és hosszúság szorzata, de négyzetre vetve ezek az értékek megegyeznek. Keressük meg a nagyobb alap területét:


Most a talált értékeket használjuk az oldalfelület kiszámításához.

Néhány egyszerű képlet ismeretében könnyen kiszámítottuk egy csonka gúla oldalsó trapézjának területét különféle értékek segítségével.

Piramis. Csonka piramis

Piramis egy poliéder, melynek egyik lapja sokszög ( bázis ), és az összes többi lap olyan háromszög, amelynek közös csúcsa ( oldalsó arcok ) (15. ábra). A piramist az ún helyes , ha az alapja egy szabályos sokszög, és a gúla csúcsa az alap közepébe vetül (16. ábra). Olyan háromszög alakú gúlát nevezünk, amelynek minden éle egyenlő tetraéder .

Oldalsó borda a piramis oldallapjának az az oldala, amely nem tartozik az alaphoz Magasság A piramis a csúcsa és az alap síkja közötti távolság. Minden oldalsó bordák egy szabályos gúla egyenlő egymással, minden oldallapja egyenlő egyenlő szárú háromszög. A csúcsból húzott szabályos gúla oldallapjának magasságát ún apotém . Átlós szakasz A gúla egy olyan szakaszának nevezzük, amely két nem ugyanahhoz a laphoz tartozó oldalélen halad át.

Oldalsó felület piramis az összes oldallap területének összege. Teljes felület az összes oldallap és az alap területének összegének nevezzük.

Tételek

1. Ha egy gúlában az összes oldalél egyformán dől az alap síkjához, akkor a gúla teteje az alap közelében körülírt kör középpontjába vetül.

2. Ha egy piramisban minden oldalél rendelkezik egyenlő hosszúságúak, akkor a piramis csúcsát az alap közelében körülírt kör középpontjába vetítjük.

3. Ha egy gúla minden lapja egyformán dől az alap síkjához, akkor a gúla teteje az alapba írt kör középpontjába vetül.

Egy tetszőleges piramis térfogatának kiszámításához a megfelelő képlet a következő:

Ahol V- hangerő;

S alap– alapterület;

H– a piramis magassága.

Egy szabályos piramis esetében a következő képletek helyesek:

Ahol p– alap kerület;

h a– apotém;

H- magasság;

S tele

S oldal

S alap– alapterület;

V– szabályos piramis térfogata.

Csonka piramis a gúla alapja és a gúla alapjával párhuzamos vágósík közé zárt részét nevezzük (17. ábra). Szabályos csonka piramis a szabályos gúla alapja és a gúla alapjával párhuzamos vágósík közé zárt részét nevezzük.

Indoklás csonka piramis - hasonló sokszögek. Oldalsó arcok – trapézok. Magasság egy csonka gúla alapjai közötti távolság. Átlós a csonka gúla egy szakasz, amely összeköti a csúcsait, amelyek nem fekszenek ugyanazon a lapon. Átlós szakasz egy csonka gúlának egy olyan sík metszete, amely két nem ugyanahhoz a laphoz tartozó oldalélen halad át.

Egy csonka piramisra a következő képletek érvényesek:

(4)

Ahol S 1 , S 2 – a felső és alsó bázis területei;

S tele– teljes felület;

S oldal– oldalsó felület;

H- magasság;

V– csonka gúla térfogata.

Szabályos csonka piramis esetén a képlet helyes:

Ahol p 1 , p 2 – az alapok kerülete;

h a– szabályos csonka gúla apotémája.

1. példa Egy szabályos háromszög alakú piramisban a diéder szöge az alapnál 60º. Határozza meg az oldalél dőlésszögének érintőjét az alap síkjához!

Megoldás. Készítsünk rajzot (18. ábra).

A piramis szabályos, ami azt jelenti, hogy az alján egyenlő oldalú háromszög van, és minden oldallapja egyenlő egyenlő szárú háromszög. A diéder szög az alapnál a piramis oldallapjának az alap síkjához viszonyított dőlésszöge. A lineáris szög a szög a két merőleges között: stb. A piramis csúcsa a háromszög középpontjába van vetítve (a körülírt kör középpontja és a háromszög beírt köre ABC). Az oldalél dőlésszöge (pl S.B.) maga az él és az alap síkjára való vetülete közötti szög. A bordához S.B. ez a szög lesz a szög SBD. Az érintő megtalálásához ismerni kell a lábakat ÍGYÉs O.B.. Legyen a szakasz hossza BD egyenlő 3-mal A. Pont RÓL RŐL vonalszakasz BD részekre oszlik: és Attól találjuk ÍGY: Innen találjuk:

Válasz:

2. példa Keresse meg a megfelelő csonka térfogatát négyszög alakú piramis, ha alapjainak átlói cm és cm, magassága pedig 4 cm.

Megoldás. Egy csonka gúla térfogatának meghatározásához a (4) képletet használjuk. Az alapok területének meghatározásához meg kell találnia az alapnégyzetek oldalait, ismerve az átlójukat. Az alapok oldala 2 cm, illetve 8 cm Ez az alapok területét jelenti, és az összes adatot behelyettesítve a képletbe, kiszámítjuk a csonka gúla térfogatát:

Válasz: 112 cm3.

3. példa Határozza meg egy szabályos háromszög alakú csonka gúla oldallapjának területét, amelynek alapjai 10 cm és 4 cm, a gúla magassága pedig 2 cm.

Megoldás. Készítsünk rajzot (19. ábra).

Ennek a piramisnak az oldallapja egy egyenlő szárú trapéz. A trapéz területének kiszámításához ismernie kell az alapot és a magasságot. Az alapok az állapot szerint vannak megadva, csak a magasság marad ismeretlen. Meg fogjuk találni, honnan A 1 E merőleges egy pontból A 1 az alsó alap síkján, A 1 D– merőlegesen A 1 per AC. A 1 E= 2 cm, mivel ez a gúla magassága. Megtalálni DE Készítsünk egy további rajzot, amely a felülnézetet mutatja (20. ábra). Pont RÓL RŐL– a felső és az alsó alap középpontjának vetülete. mivel (lásd 20. ábra) és Másrészt rendben– a körbe írt sugár és OM– körbe írt sugár:

MK = DE.

A Pitagorasz-tétel szerint abból

Oldalsó arc területe:

Válasz:

4. példa A piramis alján egyenlő szárú trapéz található, melynek alapjai AÉs b (a> b). Mindegyik oldallap szöget zár be a piramis alapjának síkjával j. Határozza meg a piramis teljes felületét.

Megoldás. Készítsünk rajzot (21. ábra). A piramis teljes felülete SABCD egyenlő a területek és a trapéz területének összegével ABCD.

Használjuk azt az állítást, hogy ha a gúla minden lapja egyformán dől az alap síkjához, akkor a csúcs az alapba írt kör középpontjába vetül. Pont RÓL RŐL– csúcsvetítés S a piramis tövében. Háromszög GYEP a háromszög ortogonális vetülete CSD az alap síkjához. A síkidom ortogonális vetületének területére vonatkozó tételt felhasználva kapjuk:

Hasonlóképpen azt jelenti Így a probléma a trapéz területének megtalálására csökkent ABCD. Rajzoljunk trapézt ABCD külön-külön (22. ábra). Pont RÓL RŐL– trapézba írt kör középpontja.

Mivel a kör trapézba írható, akkor vagy A Pitagorasz-tételből azt kapjuk,

• 09.10.2014

  Az ábrán látható előerősítő 4 féle hangforráshoz készült, például mikrofon, CD-lejátszó, rádió stb. Ebben az esetben az előerősítő egy bemenettel rendelkezik, amely 50 mV-ról 500-ra változtathatja az érzékenységet. mV. erősítő kimeneti feszültsége 1000mV. Csatlakozás különböző forrásokból Az SA1 kapcsoló kapcsolásakor mindig kapunk jelet ...

• 20.09.2014

  A tápegység 15…20 W terhelésre készült. A forrás egy egyciklusú impulzusos nagyfrekvenciás átalakító áramköre szerint készül. A 20…40 kHz frekvencián működő önoszcillátor összeállítására tranzisztort használnak. A frekvenciát a C5 kapacitás szabályozza. A VD5, VD6 és C6 elemek alkotják az oszcillátor indító áramkörét. A híd-egyenirányító utáni másodlagos áramkörben van egy hagyományos lineáris stabilizátor egy mikroáramkörön, amely lehetővé teszi, hogy ...

• 28.09.2014

  Az ábrán egy K174XA11 mikroáramkörre épülő generátor látható, melynek frekvenciáját feszültség szabályozza. A C1 kapacitás 560-ról 4700 pF-ra történő változtatásával széles frekvenciatartomány érhető el, míg a frekvencia az R4 ellenállás változtatásával állítható be. Például a szerző rájött, hogy C1 = 560pF esetén a generátor frekvenciája R4 segítségével 600 Hz-ről 200 kHz-re változtatható, ...

• 03.10.2014

  Az egységet erős ULF táplálására tervezték, ±27 V kimeneti feszültségre és 3 A terhelésre tervezték mindkét karon. A tápegység bipoláris, komplett kompozit tranzisztorokon készült KT825-KT827. A stabilizátor mindkét karja ugyanazon áramkör szerint készül, de a másik karban (nincs látható) a kondenzátorok polaritását megváltoztatják, és más típusú tranzisztorokat használnak...

Ebben a leckében megnézünk egy csonka piramist, megismerkedünk egy szabályos csonka piramissal, és tanulmányozzuk azok tulajdonságait.

Idézzük fel az n-szögű gúla fogalmát a háromszög alakú piramis példáján. Az ABC háromszög adott. A háromszög síkján kívül veszünk egy P pontot, amely a háromszög csúcsaihoz kapcsolódik. A kapott poliéder felületet piramisnak nevezzük (1. ábra).

Rizs. 1. Háromszög alakú piramis

Vágjuk el a piramist a gúla alapjának síkjával párhuzamos síkkal. Az e síkok között kapott ábrát csonka gúlának nevezzük (2. ábra).

Rizs. 2. Csonka piramis

Alapvető elemek:

Felső alap;

ABC alsó alap;

Oldal arc;

Ha PH az eredeti piramis magassága, akkor ez a csonka gúla magassága.

A csonka piramis tulajdonságai az építési módból, nevezetesen az alapok síkjainak párhuzamosságából adódnak:

A csonka gúla minden oldallapja trapéz. Vegyük például az élt. Megvan a párhuzamos síkok tulajdonsága (mivel a síkok párhuzamosak, párhuzamos egyenesek mentén vágják az eredeti AVR piramis oldallapját), ugyanakkor nem párhuzamosak. Nyilvánvaló, hogy a négyszög trapéz, mint a csonka gúla összes oldallapja.

Az alapok aránya minden trapéznál azonos:

Több pár hasonló háromszögünk van azonos hasonlósági együtthatóval. Például a háromszögek és a RAB hasonlóak a síkok párhuzamossága és a hasonlósági együttható miatt:

Ugyanakkor a háromszögek és az RVS hasonlóak a hasonlósági együtthatóval:

Nyilvánvaló, hogy mindhárom hasonló háromszögpár hasonlósági együtthatója egyenlő, így az alapok aránya minden trapéz esetében azonos.

A szabályos csonka gúla olyan csonka gúla, amelyet egy szabályos gúla alappal párhuzamos síkú vágásával kapunk (3. ábra).

Rizs. 3. Szabályos csonka gúla

Meghatározás.

Egy gúlát szabályosnak nevezünk, ha az alapja szabályos n-szög, és a csúcsa ennek az n-szögnek a középpontjába (a beírt és körülírt kör középpontjába) vetül.

Ebben az esetben van egy négyzet a piramis alján, és a teteje az átlóinak metszéspontjában van kivetítve. Az így kapott szabályos négyszögletű csonka ABCD piramisnak van egy alsó és egy felső alapja. Az eredeti gúla magassága RO, a csonka piramisé (4. ábra).

Rizs. 4. Szabályos négyszögletű csonka gúla

Meghatározás.

A csonka gúla magassága az egyik alap bármely pontjából a második alap síkjára húzott merőleges.

Az eredeti piramis apotémja RM (M az AB közepe), a csonka gúla apotémja (4. ábra).

Meghatározás.

A csonka piramis apotémája bármely oldallap magassága.

Nyilvánvaló, hogy a csonka gúla minden oldaléle egyenlő egymással, vagyis az oldallapok egyenlő egyenlő szárú trapézok.

A szabályos csonka gúla oldalfelülete megegyezik az alapok kerülete és az apotém összegének felével.

Bizonyítás (egy szabályos négyszögletű csonka gúlára – 4. ábra):

Tehát bizonyítanunk kell:

Az oldalfelület területe itt az oldalfelületek - trapézok - területének összegéből áll. Mivel a trapézok azonosak, a következőket kapjuk:

Négyzet egyenlő szárú trapéz az alapok összegének fele és a magasság szorzata, az apotém a trapéz magassága. Nekünk van:

Q.E.D.

n-szögű piramis esetén:

Ahol n a piramis oldallapjainak száma, a és b a trapéz alapjai, és az apotéma.

Szabályos csonka négyszögletű gúla alapjának oldalai egyenlő 3 cm és 9 cm, magasság - 4 cm Keresse meg az oldalfelület területét.

Rizs. 5. Illusztráció az 1. feladathoz

Megoldás. Illusztráljuk a feltételt:

Kérdezte: , ,

Az O ponton keresztül az alsó alap két oldalával párhuzamos MN egyenest húzunk, és hasonlóan a ponton keresztül egyenest (6. ábra). Mivel a csonka gúla alapjainál lévő négyzetek és szerkezetek párhuzamosak, így az oldallapokkal megegyező trapézt kapunk. Ezenkívül az oldala áthalad az oldallapok felső és alsó széleinek felezőpontjain, és a csonka piramis apotémája lesz.

Rizs. 6. Kiegészítő konstrukciók

Tekintsük a kapott trapézt (6. ábra). Ebben a trapézben ismert a felső alap, az alsó alap és a magasság. Meg kell találni oldal, amely az adott csonka piramis apotémája. Rajzoljunk MN-re merőlegesen. A pontból leeresztjük a merőleges NQ-t. Azt találjuk, hogy a nagyobb alap három centiméteres szegmensekre van osztva (). Tekintsünk egy derékszögű háromszöget, a benne lévő lábak ismertek, ez Egyiptomi háromszög, a Pitagorasz-tétel segítségével meghatározzuk a hipotenusz hosszát: 5 cm.

Most minden elem megvan a piramis oldalsó felületének meghatározásához:

A piramist az alappal párhuzamos sík metszi. Egy háromszög alakú gúla példáján bizonyítsuk be, hogy a gúla oldaléleit és magasságát ez a sík arányos részekre osztja.

Bizonyíték. Illusztráljuk:

Rizs. 7. Illusztráció a 2. feladathoz

Adott a RABC piramis. PO - a piramis magassága. A piramist egy síkkal elvágjuk, csonka gúlát kapunk, és. Pont - az RO magasságának metszéspontja a csonka gúla alapjának síkjával. Be kell bizonyítani:

A megoldás kulcsa a párhuzamos síkok tulajdonsága. Két párhuzamos sík metszi bármely harmadik síkot úgy, hogy a metszésvonalak párhuzamosak legyenek. Innen: . A megfelelő vonalak párhuzamossága négy pár hasonló háromszög jelenlétét jelenti:

A háromszögek hasonlóságából következik a megfelelő oldalak arányossága. Fontos funkció az, hogy ezeknek a háromszögeknek a hasonlósági együtthatói azonosak:

Q.E.D.

Az alap magasságával és oldalával rendelkező, szabályos háromszög alakú RABC gúlát az ABC alappal párhuzamosan a PH magasság közepén áthaladó sík metsz fel. Keresse meg a kapott csonka piramis oldalfelületét.

Megoldás. Illusztráljuk:

Rizs. 8. Illusztráció a 3. feladathoz

Az ACB szabályos háromszög, H ennek a háromszögnek a középpontja (a beírt és körülírt körök középpontja). Az RM egy adott piramis apotémája. - egy csonka piramis apotémája. A párhuzamos síkok tulajdonsága szerint (két párhuzamos sík tetszőleges harmadik síkot úgy vág el, hogy a metszésvonalak párhuzamosak legyenek) több pár hasonló háromszögünk van, amelyek azonos hasonlósági együtthatóval rendelkeznek. Különösen érdekel minket a kapcsolat:

Keressük NM-et. Ez az alapba írt kör sugara, ismerjük a megfelelő képletet:

Most a PHM derékszögű háromszögből a Pitagorasz-tételt használva megtaláljuk az RM-et - az eredeti piramis apotémáját:

A kezdeti arányból:

Most már ismerjük az összes elemet a csonka piramis oldalsó felületének meghatározásához:

Tehát megismerkedtünk a csonka gúla és a szabályos csonka gúla fogalmával, megadtuk az alapvető definíciókat, megvizsgáltuk a tulajdonságokat, és bebizonyítottuk az oldalfelület területére vonatkozó tételt. A következő leckében a problémamegoldás lesz a hangsúly.

Bibliográfia

1. I. M. Szmirnova, V. A. Szmirnov. Geometria. 10-11. osztály: tankönyv tanulóknak oktatási intézmények(alap- és profilszintek) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. kiadás, rev. és további - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill.
2. Sharygin I.F. Geometria. 10-11. évfolyam: Tankönyv az általános műveltséghez oktatási intézmények/ Sharygin I.F. - M.: Túzok, 1999. - 208 p.: ill.
3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. Geometria. 10. évfolyam: Tankönyv általános oktatási intézmények számára a matematika elmélyült és szakirányú tanulmányozásával /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. kiadás, sztereotípia. - M.: Túzok, 2008. - 233 p.: ill.

1. Uztest.ru ().
2. Fmclass.ru ().
3. Webmath.expponenta.ru ().

Házi feladat