Szinusz és koszinusz az alkalmazott erők példáján. Hegyesszög szinusz, koszinusz, érintő, kotangens

Szerintem ennél többet érdemelsz. Itt van a kulcsom a trigonometriához:

• Rajzolja meg a kupolát, a falat és a mennyezetet
• A trigonometrikus függvények nem mások, mint százalék ez a három forma.

A szinusz és koszinusz metaforája: kupola

Ahelyett, hogy csak magukat a háromszögeket nézné, képzelje el őket működés közben egy konkrét valós példával.

Képzelje el, hogy egy kupola közepén tartózkodik, és fel akar függeszteni egy filmvetítő képernyőjét. Ujjával a kupolára mutat egy bizonyos „x” szögben, és a képernyőt ettől a ponttól fel kell függeszteni.

A szög, amelyre mutat, meghatározza:

• szinusz(x) = sin(x) = képernyő magassága (a padlótól a kupola rögzítési pontjáig)
• koszinusz(x) = cos(x) = távolság Öntől a képernyőig (szint szerint)
• hypotenus, a távolság Öntől a képernyő tetejéig, mindig azonos, egyenlő a kupola sugarával

Szeretné, hogy a képernyő a lehető legnagyobb legyen? Akassza fel közvetlenül maga fölé.

Szeretné, ha a képernyő a lehető legtávolabb lógna Öntől? Akassza fel egyenesen merőlegesen. A képernyő magassága ebben a helyzetben nulla lesz, és a legtávolabb lóg, ahogy kérte.

A képernyő magassága és távolsága fordítottan arányos: minél közelebb lóg a képernyő, annál nagyobb a magassága.

A szinusz és a koszinusz százalékok

Tanulmányaim során sajnos senki nem magyarázta el nekem, hogy a szinusz és koszinusz trigonometrikus függvények nem mások, mint százalékok. Értékük +100% és 0 és -100% között, illetve pozitív maximumtól nulláig a negatív maximumig terjed.

Tegyük fel, hogy 14 rubel adót fizettem. Nem tudod, mennyi. De ha azt mondod, hogy 95%-os adót fizettem, akkor megérted, hogy egyszerűen ki voltam húzva.

Az abszolút magasság nem jelent semmit. De ha a szinuszérték 0,95, akkor megértem, hogy a tévé szinte a kupola tetején lóg. Nagyon hamar eléri maximális magasság a kupola közepén, majd ismét hanyatlásnak indul.

Hogyan számíthatjuk ki ezt a százalékot? Nagyon egyszerű: osszuk el az aktuális képernyőmagasságot a lehetséges maximummal (a kupola sugarával, más néven hipotenuzussal).

Ezért azt mondják nekünk, hogy „koszinusz = ellenkező oldal / hipotenusz”. Az egész az érdeklődés felkeltéséről szól! A legjobb, ha a szinust úgy határozzuk meg, mint „az aktuális magasság százalékos aránya a lehetséges maximumhoz képest”. (A szinusz negatívvá válik, ha a szög a „föld alá” mutat. A koszinusz negatív lesz, ha a szög a mögötted lévő kupolapont felé mutat.)

Egyszerűsítsük a számításokat, feltételezve, hogy az egységkör középpontjában vagyunk (sugár = 1). Kihagyhatjuk az osztást, és csak a magassággal egyenlő szinust vehetjük fel.

Minden kör lényegében egy egység, méretaránya nagyítva vagy kicsinyítve a megfelelő méret. Tehát határozza meg az egységkör kapcsolatokat, és alkalmazza az eredményeket az adott körméretre.

Kísérlet: vegyen bármilyen szöget, és nézze meg, mit százalék magasságtól szélességig megjeleníti:

A szinuszérték növekedésének grafikonja nem csak egy egyenes. Az első 45 fok a magasság 70%-át fedi le, de az utolsó 10 fok (80°-tól 90°-ig) csak 2%-át.

Így egyértelműbb lesz számodra: ha körben sétálsz, 0°-nál szinte függőlegesen emelkedsz, de ahogy közeledsz a kupola tetejéhez, egyre kevésbé változik a magasság.

Érintő és szekáns. Fal

Egy nap a szomszéd falat épített közvetlenül egymás mellett a kupolájához. Sírta a kilátást az ablakból és jó ár viszonteladásra!

De lehet-e valahogy nyerni ebben a helyzetben?

Természetesen igen. Mi lenne, ha a szomszédunk falára akasztanánk egy filmvásznat? Megcélozza a szöget (x), és megkapja:

• tan(x) = tan(x) = képernyő magassága a falon
• távolság tőled a falig: 1 (ez a kupola sugara, a fal nem mozdul tőled sehova, igaz?)
• secant(x) = sec(x) = „létra hossza” a kupola közepétől a felfüggesztett képernyő tetejéig

Tisztázzunk néhány pontot az érintővel vagy a képernyő magasságával kapcsolatban.

• 0-val kezdődik, és végtelenül magasra mehet. A képernyőt egyre magasabbra feszítheti a falon, hogy végtelen vásznat készítsen kedvenc filmjének nézéséhez! (Egy ilyen hatalmasért persze sok pénzt kell kiadni).
• az érintő csak a szinusz felnagyított változata! És bár a szinusz növekedése lelassul, ahogy a kupola teteje felé haladsz, az érintő tovább növekszik!

A Sekansunak is van mivel dicsekednie:

• A szekáns 1-nél kezdődik (a létra a padlón van, tőled a falig), és onnan kezd emelkedni
• A szekáns mindig hosszabb, mint az érintő. A képernyő felakasztásához használt ferde létrának hosszabbnak kell lennie, mint maga a képernyő, igaz? (Az irreális méreteknél, amikor a képernyő tök hosszú, és a létrát szinte függőlegesen kell elhelyezni, a méretük majdnem megegyezik. De akkor is kicsit hosszabb lesz a szekáns).

Ne feledje, az értékek azok százalék. Ha úgy dönt, hogy a képernyőt 50 fokos szögben függeszti fel, tan(50)=1,19. A képernyő 19%-kal nagyobb, mint a faltól való távolság (a kupola sugara).

(Írja be az x=0 értéket, és ellenőrizze a megérzéseit – tan(0) = 0 és sec(0) = 1.)

Kotangens és koszekáns. Mennyezet

Hihetetlen, hogy a szomszédja most úgy döntött, hogy tetőt épít a kupolájára. (Mi van vele? Nyilván nem akarja, hogy kémkedj utána, miközben meztelenül mászkál az udvaron...)

Nos, ideje kijáratot építeni a tetőre, és beszélni a szomszéddal. Kiválaszthatja a dőlésszöget, és elkezdheti az építkezést:

• a tetőkivezetés és a padló közötti függőleges távolság mindig 1 (a kupola sugara)
• kotangens(x) = cot(x) = távolság a kupola teteje és a kilépési pont között
• koszekáns(x) = csc(x) = a tetőhöz vezető út hossza

Az érintő és a szekáns a falat, a COtangens és a COsecans pedig a mennyezetet írja le.

Intuitív következtetéseink ezúttal hasonlóak az előzőekhez:

• Ha a 0°-os szöget veszi, a tetőre való kilépés örökké tart, mivel soha nem éri el a mennyezetet. Probléma.
• A legrövidebb „létra” a tetőhöz akkor érhető el, ha a padlóhoz képest 90 fokos szögben építi meg. A kotangens 0 lesz (egyáltalán nem haladunk a tető mentén, szigorúan merőlegesen lépünk ki), a koszekáns pedig 1 lesz (a „létra hossza” minimális lesz).

Képzeld el a kapcsolatokat

Ha mindhárom tokot kupola-fal-mennyezet kombinációban rajzoljuk meg, az eredmény a következő lesz:

Nos, ez még mindig ugyanaz a háromszög, megnövelve, hogy elérje a falat és a mennyezetet. Vannak függőleges oldalaink (szinusz, érintő), vízszintes oldalaink (koszinusz, kotangens) és „hipoténuszaink” (szekáns, koszekáns). (A nyilakon láthatod, hogy az egyes elemek hova érnek. A koszekáns az Öntől a tetőig terjedő teljes távolság).

Egy kis varázslat. Minden háromszög azonos egyenlőséggel rendelkezik:

A Pitagorasz-tételből (a 2 + b 2 = c 2) láthatjuk, hogy az egyes háromszögek oldalai hogyan kapcsolódnak egymáshoz. Ezenkívül a „magasság/szélesség” aránynak is azonosnak kell lennie minden háromszögnél. (Egyszerűen lépj át a legnagyobb háromszögről a kisebbre. Igen, változott a méret, de az oldalak aránya változatlan marad).

Ha tudjuk, hogy az egyes háromszögek melyik oldala egyenlő 1-gyel (a kupola sugara), könnyen kiszámíthatjuk, hogy „sin/cos = tan/1”.

Mindig igyekeztem egyszerű vizualizációval emlékezni ezekre a tényekre. A képen jól látja ezeket a függőségeket, és megérti, honnan származnak. Ez a technika sokkal jobb, mint a száraz képletek memorizálása.

Ne feledkezzünk meg a többi szögről sem

Psst... Ne ragadj le egy grafikonon, azt gondolva, hogy az érintő mindig kisebb, mint 1. Ha növeled a szöget, akkor a fal elérése nélkül elérheted a mennyezetet:

A Pitagorasz kapcsolatok mindig működnek, de a relatív méretek változhatnak.

(Lehet, hogy észrevette, hogy a szinusz és koszinusz arány mindig a legkisebb, mert a kupola belsejében vannak).

Összefoglalva: mire kell emlékeznünk?

A legtöbbünk számára azt mondanám, hogy ez elég lesz:

• A trigonometria elmagyarázza a matematikai objektumok, például körök és ismétlődő intervallumok anatómiáját
• A kupola/fal/tető analógia a különböző trigonometrikus függvények közötti kapcsolatot mutatja
• A trigonometrikus függvények százalékos értékeket adnak, amelyeket a forgatókönyvünkre alkalmazunk.

Nem kell megjegyeznie az olyan képleteket, mint az 1 2 + kiságy 2 = csc 2 . Csak olyan ostoba tesztekre alkalmasak, amelyekben egy tény ismeretét úgy adják át, mint annak megértését. Szánjon rá egy percet, hogy rajzoljon egy félkört kupola, fal és tető formájában, címkézze fel az elemeket, és az összes képlet papíron megjelenik.

Alkalmazás: Inverz függvények

Bármely trigonometrikus függvény egy szöget vesz fel bemeneti paraméterként, és az eredményt százalékban adja vissza. sin(30) = 0,5. Ez azt jelenti, hogy a 30 fokos szög a maximális magasság 50%-át foglalja el.

Az inverz trigonometrikus függvényt sin -1 vagy arcsinként írjuk fel. Gyakran asin is írják különféle nyelveken programozás.

Ha a magasságunk a kupola magasságának 25%-a, mekkora a szögünk?

Az aránytáblázatunkban találhat egy arányt, ahol a szekáns el van osztva 1-gyel. Például a szekáns 1-gyel (hipoténusz a vízszinteshez képest) egyenlő lesz 1-gyel osztva a koszinusszal:

Tegyük fel, hogy a szekánsunk 3,5, azaz. Az egységkör sugarának 350%-a. A falhoz képest milyen dőlésszögnek felel meg ez az érték?

Függelék: Néhány példa

Unalmas feladat. Bonyolítsuk a banális „keresd meg a szinust” a következőre: „Mekkora a magasság a maximum százalékában (hipoténusz)?”

Először is figyelje meg, hogy a háromszög el van forgatva. Nincs ezzel semmi baj. A háromszögnek magassága is van, az ábrán zöld színnel jelöljük.

Mivel egyenlő a hipotenusz? A Pitagorasz-tétel szerint tudjuk, hogy:

3 2 + 4 2 = 2. hipotenúza 25 = 2. hipotenusz 5 = hipotenusz

Bírság! A szinusz a háromszög leghosszabb oldalának vagy hipotenuszának a magasságának százalékos aránya. Példánkban a szinusz 3/5 vagy 0,60.

Természetesen többféle úton járhatunk. Most már tudjuk, hogy a szinusz 0,60, egyszerűen megkereshetjük az arcszinust:

Asin(0,6)=36,9

Itt van egy másik megközelítés. Figyeljük meg, hogy a háromszög „a fal felé néz”, tehát a szinusz helyett az érintőt használhatjuk. A magasság 3, a faltól való távolság 4, tehát az érintő ¾ vagy 75%. Az arctangens segítségével százalékos értékről visszaléphetünk egy szögbe:

Tan = 3/4 = 0,75 atan(0,75) = 36,9 Példa: úszni fogsz a partra?

Ön egy csónakban ül, és van elég üzemanyaga 2 km megtételéhez. Jelenleg 0,25 km-re van a parttól. Maximum mekkora szögben lehet hozzá úszni a parthoz képest, hogy legyen elég üzemanyagod? Kiegészítés a problémafelvetéshez: csak az ív koszinusz értékek táblázata van.

Amink van? Híres háromszögünkben a partvonal „falként” ábrázolható, a falhoz rögzített „létra hossza” pedig a hajóval megtehető maximális távolság a parttól (2 km). Megjelenik egy szekáns.

Először is a százalékokra kell lépnie. Nálunk 2 / 0,25 = 8, vagyis a part (vagy a fal) egyenes távolság 8-szorosát úszhatjuk meg.

Felmerül a kérdés: "Mi a 8 szekánsa?" De nem tudunk rá válaszolni, hiszen csak ív koszinuszaink vannak.

A szekáns koszinuszhoz való viszonyítására a korábban levezetett függőségeinket használjuk: „sec/1 = 1/cos”

A 8 szekánsa egyenlő ⅛ koszinuszával. Egy szög, amelynek koszinusza ⅛, egyenlő acos(1/8) = 82,8. És ez a legnagyobb szög, amit megengedhetünk magunknak egy hajón a megadott mennyiségű üzemanyaggal.

Nem rossz, igaz? A kupola-fal-mennyezet hasonlat nélkül eltévedtem volna egy rakás képletben és számításban. A probléma vizualizálása nagyban leegyszerűsíti a megoldás keresését, és az is érdekes, hogy végül melyik trigonometrikus függvény segít.

Minden egyes probléma esetében gondolja át a következőt: A kupola (sin/cos), a fal (tan/sec) vagy a mennyezet (kiságy/csc) érdekel?

És a trigonometria sokkal élvezetesebb lesz. Egyszerű számítások az Ön számára!

A szinusz, koszinusz, érintő és kotangens fogalma a trigonometria, a matematika egyik ágának fő kategóriái, és elválaszthatatlanul kapcsolódnak a szög meghatározásához. Ennek a matematikai tudománynak az elsajátítása megköveteli a képletek és tételek memorizálását és megértését, valamint fejlett térbeli gondolkodást. Emiatt a trigonometrikus számítások gyakran nehézségeket okoznak az iskolásoknak és a diákoknak. Ezek leküzdéséhez jobban meg kell ismerkednie a trigonometrikus függvényekkel és képletekkel.

Fogalmak a trigonometriában

A trigonometria alapfogalmainak megértéséhez először meg kell értenie, hogy mi a derékszögű háromszög és a kör szöge, és miért van hozzájuk társítva minden alapvető trigonometrikus számítás. Az a háromszög, amelyben az egyik szög 90 fokos, téglalap alakú. Történelmileg ezt a figurát gyakran használták az építészetben, a navigációban, a művészetben és a csillagászatban. Ennek megfelelően az ábra tulajdonságainak tanulmányozásával és elemzésével az emberek kiszámították a paramétereinek megfelelő arányait.

A derékszögű háromszögekhez kapcsolódó fő kategóriák a hipotenusz és a lábak. Hipoténusz - a háromszög szemközti oldala derékszög. A lábak a fennmaradó két oldal. Bármely háromszög szögeinek összege mindig 180 fok.

A gömbi trigonometria a trigonometria olyan része, amelyet nem az iskolában tanulnak, de olyan alkalmazott tudományokban, mint a csillagászat és a geodézia, a tudósok használják. A háromszög sajátossága a gömbi trigonometriában, hogy mindig 180 foknál nagyobb szögösszege van.

Egy háromszög szögei

Egy derékszögű háromszögben egy szög szinusza a kívánt szöggel ellentétes szár és a háromszög befogójának aránya. Ennek megfelelően a koszinusz az arány szomszédos lábés hypotenusa. Mindkét érték mindig kisebb, mint egy, mivel a hipotenusz mindig hosszabb, mint a láb.

A szög érintője egy olyan érték, amely megegyezik a kívánt szög szemközti oldalának a szomszédos oldalához viszonyított arányával, vagy szinusz és koszinusz. A kotangens pedig a kívánt szög szomszédos oldalának az ellenkező oldalhoz viszonyított aránya. Egy szög kotangensét úgy is megkaphatjuk, ha elosztjuk az egyiket az érintő értékével.

Egységkör

Az egységkör a geometriában olyan kör, amelynek sugara eggyel egyenlő. Egy ilyen kört derékszögű koordináta-rendszerben szerkesztünk úgy, hogy a kör középpontja egybeesik az origóponttal, és kezdő pozíció A sugárvektort az X tengely (abszcissza tengely) pozitív iránya határozza meg. A kör minden pontjának két koordinátája van: XX és YY, vagyis az abszcissza és az ordináta koordinátái. Az XX síkban a kör tetszőleges pontját kiválasztva, és abból merőlegest az abszcissza tengelyre ejtve egy derékszögű háromszöget kapunk, amelyet a kiválasztott pont sugara alkot (C betűvel jelölve), a merőlegest az X tengelyre húzzuk. (a metszéspontot G betű jelöli), a szakasz pedig az abszcissza tengelyt az origó (a pontot A betűvel jelöljük) és a G metszéspont között. Az így kapott ACG háromszög egy körbe írt derékszögű háromszög, ahol AG a hypotenus, és AC és GC a lábak. Az AC kör sugara és az abszcissza tengely AG jelölésű szakasza közötti szöget α (alfa)-ként határozzuk meg. Tehát cos α = AG/AC. Figyelembe véve, hogy AC az egységkör sugara, és egyenlő eggyel, kiderül, hogy cos α=AG. Hasonlóképpen, sin α=CG.

Ezen túlmenően ezen adatok ismeretében meghatározható a kör C pontjának koordinátája, mivel cos α=AG, és sin α=CG, ami azt jelenti, hogy a C pontnak a megadott koordinátái vannak (cos α;sin α). Tudva, hogy az érintő egyenlő a szinusz és a koszinusz arányával, megállapíthatjuk, hogy tan α = y/x, és cot α = x/y. A szögek negatív koordinátarendszerben történő figyelembevételével kiszámíthatja, hogy egyes szögek szinusz és koszinusz értéke negatív is lehet.

Számítások és alapképletek

Trigonometrikus függvényértékek

Ha figyelembe vesszük a trigonometrikus függvények lényegét az egységkörön keresztül, néhány szögre levezethetjük ezeknek a függvényeknek az értékeit. Az értékeket az alábbi táblázat tartalmazza.

A legegyszerűbb trigonometrikus azonosságok

Azokat az egyenleteket, amelyekben a trigonometrikus függvény előjele alatt ismeretlen érték található, trigonometrikusnak nevezzük. Azonosságok sin x = α, k - tetszőleges egész számmal:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. sin x = 1, x = π/2 + 2πk.
3. sin x = -1, x = -π/2 + 2πk.
4. sin x = a, |a| > 1, nincs megoldás.
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

A cos x = a értékű azonosságok, ahol k tetszőleges egész szám:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x = -1, x = π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, nincs megoldás.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, x = ±arccos α + 2πk.

A tg x = a értékű azonosságok, ahol k tetszőleges egész szám:

1. tan x = 0, x = π/2 + πk.
2. tan x = a, x = arctan α + πk.

Ctg x = a értékű azonosságok, ahol k tetszőleges egész szám:

1. gyermekágy x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x = a, x = arcctg α + πk.

Redukciós képletek

A konstans képletek ezen kategóriája azokat a módszereket jelöli, amelyekkel az alak trigonometrikus függvényeitől egy argumentum függvényei felé lehet lépni, azaz lecsökkenteni bármely értékű szög szinuszát, koszinuszát, tangensét és kotangensét a megfelelő szögmutatókra. a 0 és 90 fok közötti intervallum a számítások kényelmesebbé tétele érdekében.

A szög szinuszához tartozó függvények redukálására szolgáló képletek így néznek ki:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = sin α.

A szög koszinuszához:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

A fenti képletek használata két szabály szerint lehetséges. Először is, ha a szög értékként (π/2 ± a) vagy (3π/2 ± a) ábrázolható, a függvény értéke megváltozik:

• bűnből cos-ba;
• cos-ból bűnbe;
• tg-ről ctg-re;
• ctg-től tg-ig.

A függvény értéke változatlan marad, ha a szög ábrázolható (π ± a) vagy (2π ± a).

Másodszor, a redukált függvény előjele nem változik: ha kezdetben pozitív volt, akkor az is marad. Ugyanez a negatív függvényekkel.

Összeadási képletek

Ezek a képletek trigonometrikus függvényeiken keresztül fejezik ki két forgási szög összegének és különbségének szinusz, koszinusz, érintő és kotangens értékeit. A szögeket általában α és β jelöléssel jelöljük.

A képletek így néznek ki:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Ezek a képletek bármely α és β szögre érvényesek.

Dupla és hármas szög képletek

A kettős és hármasszögű trigonometrikus képletek olyan képletek, amelyek a 2α és 3α szögek függvényeit az α szög trigonometrikus függvényeihez kapcsolják. Összeadási képletekből származik:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2 α.
3. tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3 α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3α) / (1-tg^2α).

Átmenet az összegről a termékre

Figyelembe véve, hogy 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), leegyszerűsítve ezt a képletet, a sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2 azonosságot kapjuk. Hasonlóképpen sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tanα + tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Átmenet a termékről az összegre

Ezek a képletek az összeg szorzatra való átmenetének azonosságából következnek:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Fokozatcsökkentési képletek

Ezekben az azonosságokban a szinusz és a koszinusz négyzet- és köbhatványai a többszörös szög első hatványának szinuszával és koszinuszával fejezhetők ki:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Univerzális helyettesítés

Az univerzális trigonometrikus helyettesítés képletei a trigonometrikus függvényeket a félszög érintőjével fejezik ki.

• sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), ahol x = π + 2πn;
• cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), ahol x = π + 2πn;
• tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), ahol x = π + 2πn;
• kiságy x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), ahol x = π + 2πn.

Különleges esetek

Az alábbiakban a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek speciális eseteit mutatjuk be (k bármely egész szám).

A szinusz hányadosai:

A koszinusz hányadosai:

Az érintő hányadosai:

A kotangens hányadosai:

Tételek

Szinusztétel

A tételnek két változata van - egyszerű és kiterjesztett. Egyszerű szinusztétel: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Ebben az esetben a, b, c a háromszög oldalai, α, β, γ pedig a szemközti szögek.

Kiterjesztett szinusztétel tetszőleges háromszögre: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. Ebben az azonosságban R jelöli annak a körnek a sugarát, amelybe az adott háromszög be van írva.

Koszinusz tétel

Az azonosság a következőképpen jelenik meg: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. A képletben a, b, c a háromszög oldalai, α pedig az a oldallal ellentétes szög.

Érintőtétel

A képlet két szög érintője és a velük szemben lévő oldalak hossza közötti összefüggést fejezi ki. Az oldalak a, b, c jelzéssel vannak ellátva, a megfelelő szemközti szögek pedig α, β, γ. Az érintőtétel képlete: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2).

Kotangens tétel

A háromszögbe írt kör sugarát összekapcsolja oldalainak hosszával. Ha a, b, c a háromszög oldalai, és A, B, C a velük szemközti szögek, akkor r a beírt kör sugara, p pedig a háromszög fél kerülete, a következő a személyazonosság érvényes:

• kiságy A/2 = (p-a)/r;
• kiságy B/2 = (p-b)/r;
• kiságy C/2 = (p-c)/r.

Alkalmazás

A trigonometria nemcsak elméleti tudomány, amelyhez kapcsolódik matematikai képletek. Tulajdonságait, tételeit és szabályait a gyakorlatban az emberi tevékenység különböző ágai – csillagászat, légi és tengeri navigáció, zeneelmélet, geodézia, kémia, akusztika, optika, elektronika, építészet, közgazdaságtan, gépészet, mérési munka, számítógépes grafika, térképészet, oceanográfia és még sok más.

A szinusz, a koszinusz, az érintő és a kotangens a trigonometria alapfogalmai, amelyek segítségével matematikailag kifejezhető a háromszög oldalainak szögei és hossza közötti összefüggések, és azonosságokon, tételeken, szabályokon keresztül megtalálhatjuk a szükséges mennyiségeket.

Ahol a derékszögű háromszög megoldásával kapcsolatos problémákat vették figyelembe, megígértem, hogy bemutatok egy technikát a szinusz és koszinusz definícióinak memorizálására. Használatával mindig gyorsan emlékezni fog, hogy melyik oldal tartozik a hypotenushoz (szomszédos vagy ellentétes). Úgy döntöttem, nem halogatom túl sokáig, szükséges anyag lent, kérjük, olvassa el 😉

A tény az, hogy többször is megfigyeltem, hogy a 10-11. évfolyamos tanulók nehezen emlékeznek ezekre a meghatározásokra. Nagyon jól emlékeznek arra, hogy a láb a hypotenusára utal, de melyik- elfelejtik és zavaros. A hiba ára, amint azt egy vizsgán tudja, elveszett pont.

Az általam közvetlenül bemutatott információknak semmi közük a matematikához. Összefügg a figuratív gondolkodással és a verbális- logikai kapcsolat. Pontosan így emlékszem rá, egyszer s mindenkorradefiníciós adatok. Ha elfelejti őket, mindig könnyen emlékezhet rájuk a bemutatott technikák segítségével.

Hadd emlékeztesselek a szinusz és a koszinusz definícióira egy derékszögű háromszögben:

Koszinusz hegyesszög derékszögű háromszögben ez a szomszédos láb és a hipotenusz aránya:

Sinus A derékszögű háromszög hegyesszöge a szemközti oldal és a hipotenusz aránya:

Szóval, milyen asszociációid vannak a koszinusz szóval?

Valószínűleg mindenkinek megvan a sajátja 😉Emlékezz a linkre:

Így a kifejezés azonnal megjelenik a memóriájában -

«… a SZOMSZÉD láb és a hypotenus aránya».

A koszinusz meghatározásával kapcsolatos probléma megoldódott.

Ha emlékeznie kell a szinusz definíciójára egy derékszögű háromszögben, akkor a koszinusz definíciójára emlékezve könnyen megállapíthatja, hogy egy derékszögű háromszög hegyesszögének szinusza a szemközti oldal és a hipotenusz aránya. Hiszen csak két láb van, ha a szomszédos szárat „foglalja” a koszinusz, akkor csak az ellenkező láb marad a szinusznál.

Mi a helyzet az érintővel és a kotangenssel? A zűrzavar ugyanaz. A tanulók tudják, hogy ez a lábak kapcsolata, de a probléma az, hogy emlékezzenek, melyik melyikre vonatkozik - vagy a szomszédos ellentéte, vagy fordítva.

Definíciók:

Tangens A derékszögű háromszög hegyesszöge a szemközti oldal és a szomszédos oldal aránya:

Kotangens A derékszögű háromszög hegyesszöge a szomszédos oldal és az ellenkező oldal aránya:

Hogyan emlékezzünk? Két módja van. Az egyik szintén verbális-logikai kapcsolatot, a másik matematikai kapcsolatot használ.

MATEMATIKAI MÓDSZER

Van egy ilyen meghatározás - egy hegyesszög érintője a szög szinuszának és koszinuszának aránya:

*A képlet memorizálása után mindig meghatározhatja, hogy egy derékszögű háromszög hegyesszögének érintője a szemközti oldal és a szomszédos oldal aránya.

Hasonlóképpen.Egy hegyesszög kotangense a szög koszinuszának és szinuszának aránya:

Így! Ha emlékszik ezekre a képletekre, mindig megállapíthatja, hogy:

- derékszögű háromszög hegyesszögének érintője a szemközti oldal és a szomszédos oldal aránya

— derékszögű háromszög hegyesszögének kotangense a szomszédos oldal és a szemközti oldal aránya.

SZÓLOGIKAI MÓDSZER

Az érintőről. Emlékezz a linkre:

Vagyis ha emlékeznie kell az érintő definíciójára, ezzel a logikai kapcsolattal könnyen megjegyezheti, mi az

"... az ellenkező oldal és a szomszédos oldal aránya"

Ha kotangensről beszélünk, akkor az érintő definíciójára emlékezve könnyen hangozhatja a kotangens definícióját -

"... a szomszédos oldal és az ellenkező oldal aránya"

Eszik érdekes technika az érintő és a kotangens emlékezéséről a helyszínen " Matematikai tandem " , néz.

UNIVERZÁLIS MÓDSZER

Csak meg tudod jegyezni.De amint a gyakorlat azt mutatja, a verbális-logikai kapcsolatoknak köszönhetően az ember hosszú ideig emlékszik az információkra, és nem csak a matematikaira.

Remélem, hogy az anyag hasznos volt az Ön számára.

Üdvözlettel: Alexander Krutitskikh

P.S: Hálás lennék, ha mesélne az oldalról a közösségi oldalakon.

Az A pont közepén.
α a radiánban kifejezett szög.

Érintő ( tan α) egy trigonometrikus függvény, amely egy derékszögű háromszög befogója és szára közötti α szögtől függ, egyenlő a szemközti szár hosszának arányával |BC| a szomszédos láb |AB| hosszához .

Kotangens ( ctg α) egy trigonometrikus függvény, amely egy derékszögű háromszög befogója és szára közötti α szögtől függ, egyenlő a szomszédos szár hosszának arányával |AB| a szemközti láb hosszára |BC| .

Tangens

Ahol n- egész.

A nyugati irodalomban az érintőt a következőképpen jelölik:
.
;
;
.

Az érintőfüggvény grafikonja, y = tan x

Kotangens

Ahol n- egész.

A nyugati irodalomban a kotangenst a következőképpen jelölik:
.
A következő jelöléseket is elfogadjuk:
;
;
.

A kotangens függvény grafikonja, y = ctg x

Az érintő és a kotangens tulajdonságai

Periodikaság

Függvények y = tg xés y = ctg x periodikusak π periódussal.

Paritás

Az érintő és a kotangens függvények páratlanok.

Meghatározási és értékterületek, növekvő, csökkenő

Az érintő és a kotangens függvények definíciós tartományukban folytonosak (lásd a folytonosság bizonyítását). Az érintő és a kotangens főbb tulajdonságait a táblázat tartalmazza ( n- egész).

Képletek

Szinuszos és koszinuszos kifejezések

; ;
; ;
;

Összegből és különbségből származó érintő és kotangens képlete

A többi képlet például könnyen beszerezhető

Érintők szorzata

Az érintők összegének és különbségének képlete

Ez a táblázat az érv bizonyos értékeinek érintők és kotangensek értékeit mutatja be.

Komplex számokat használó kifejezések

Kifejezések hiperbolikus függvényeken keresztül

;
;

Származékok

; .

.
Az n-edik rend deriváltja a függvény x változójára vonatkozóan:
.
Levezetési képletek a > > > tangenshez ; kotangensre >>>

Integrálok

Sorozatbővítések

Ahhoz, hogy megkapjuk az érintő kiterjesztését x hatványaiban, a függvények hatványsorában több tagot kell felvenni a kiterjesztésre. bűn xÉs cos xés osztjuk el ezeket a polinomokat egymással, . Ez a következő képleteket állítja elő.

Nál nél .

nál nél .
Ahol Bn- Bernoulli számok. Meghatározásuk vagy az ismétlődési relációból történik:
;
;
Ahol .
Vagy Laplace képlete szerint:

Inverz függvények

Inverz függvények az érintő és a kotangens az arctangens, illetve az arckotangens.

Arctangens, arctg

, Ahol n- egész.

Arccotangens, arcctg

, Ahol n- egész.

Referenciák:
BAN BEN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematika kézikönyve mérnökök és főiskolai hallgatók számára, „Lan”, 2009.
G. Korn, Matematika kézikönyve tudósoknak és mérnököknek, 2012.

A szinusz és a koszinusz eredetileg a mennyiségek derékszögű háromszögben történő kiszámításának szükségességéből keletkezett. Észrevettük, hogy ha egy derékszögű háromszög szögeinek fokszámát nem változtatjuk meg, akkor a méretarány, bármennyire is változik ezeknek az oldalaknak a hossza, mindig ugyanaz marad.

Így került bevezetésre a szinusz és a koszinusz fogalma. A derékszögű háromszög hegyesszögének szinusza a szemközti oldal és az alsó oldal aránya, a koszinusz pedig a befogóval szomszédos oldal aránya.

Koszinusz és szinusz tételei

A koszinuszokat és szinuszokat azonban nem csak derékszögű háromszögekre lehet használni. Bármely háromszög tompa vagy hegyesszögének vagy oldalának értékének meghatározásához elegendő a koszinuszok és szinuszok tételét alkalmazni.

A koszinusztétel meglehetősen egyszerű: „Egy háromszög egyik oldalának négyzete egyenlő a másik két oldal négyzeteinek összegével, mínusz ezen oldalak és a köztük lévő szög koszinuszának szorzata.”

A szinusztételnek két értelmezése van: kicsi és kiterjesztett. A moll szerint: "Egy háromszögben a szögek arányosak a szemközti oldalakkal." Ezt a tételt gyakran kiterjesztik a háromszög körülírt körének tulajdonsága miatt: „Egy háromszögben a szögek arányosak a szemközti oldalakkal, és arányuk megegyezik a körülírt kör átmérőjével.”

Származékok

A derivált egy matematikai eszköz, amely megmutatja, hogy egy függvény milyen gyorsan változik az argumentumában bekövetkezett változáshoz képest. A származékokat a geometriában és számos műszaki tudományágban használják.

A feladatok megoldása során ismernie kell a trigonometrikus függvények deriváltjainak táblázatos értékeit: szinusz és koszinusz. A szinusz származéka koszinusz, a koszinusz pedig szinusz, de mínusz előjellel.

Alkalmazás a matematikában

A megoldás során különösen gyakran használnak szinuszokat és koszinuszokat derékszögű háromszögekés a hozzájuk kapcsolódó feladatokat.

A szinuszok és koszinuszok kényelme a technológiában is megmutatkozik. A szögeket és oldalakat könnyű volt kiértékelni a koszinusz- és szinusztételek segítségével, az összetett alakzatokat és tárgyakat „egyszerű” háromszögekre bontva. Azok a mérnökök, akik gyakran foglalkoznak oldalarányok és fokmértékek számításaival, sok időt és erőfeszítést fordítottak a nem táblázatos szögek koszinuszainak és szinuszainak kiszámítására.

Ezután a Bradis táblák jöttek segítségül, amelyek több ezer szinusz, koszinusz, érintő és különböző szögű kotangens értékét tartalmazták. BAN BEN szovjet idő néhány tanár arra kényszerítette diákjait, hogy memorizálják a Bradis-táblázatok oldalait.

A radián egy olyan ív szögértéke, amelynek hossza egyenlő a sugárral vagy 57,295779513°.

Egy fok (geometriában) a kör 1/360-a vagy a derékszög 1/90-a.

π = 3,141592653589793238462… (Pi hozzávetőleges értéke).

Koszinusz táblázat szögekhez: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.