Apa yang dimaksud dengan mencari nilai terbesar suatu fungsi. Nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi

Dengan layanan ini Anda bisa mencari nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi satu variabel f(x) dengan solusi yang diformat dalam Word. Jika fungsi f(x,y) diberikan, maka perlu dicari titik ekstrem dari fungsi dua variabel. Anda juga dapat menemukan interval fungsi naik dan turun.

Aturan untuk memasukkan fungsi:

Kondisi yang diperlukan untuk ekstrem suatu fungsi dari satu variabel

Kondisi cukup untuk ekstrem suatu fungsi satu variabel

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Maka titik x* adalah titik minimum lokal (global) dari fungsi tersebut.

Jika pada titik x* syarat terpenuhi:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x*)< 0

Maka titik x* adalah maksimum lokal (global).

Contoh No.1. Temukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi: pada segmen.
Larutan.

Titik kritisnya adalah satu x 1 = 2 (f’(x)=0). Titik ini termasuk dalam segmen tersebut. (Intinya x=0 tidak kritis, karena 0∉).
Kami menghitung nilai fungsi di ujung segmen dan di titik kritis.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Jawaban: f menit = 5/2 pada x=2; f maks =9 pada x=1

Contoh No.2. Dengan menggunakan turunan orde tinggi, carilah titik ekstrem dari fungsi y=x-2sin(x) .
Larutan.
Tentukan turunan dari fungsi tersebut: y’=1-2cos(x) . Mari kita cari titik kritisnya: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Kita mencari y’’=2sin(x), hitung , yang berarti x= π / 3 +2πk, k∈Z adalah titik minimum dari fungsi tersebut; , yang berarti x=- π / 3 +2πk, k∈Z adalah titik maksimum dari fungsi tersebut.

Contoh No.3. Selidiki fungsi ekstrem di sekitar titik x=0.
Larutan. Di sini perlu untuk menemukan ekstrem dari fungsinya. Jika ekstrem x=0, cari tahu jenisnya (minimum atau maksimum). Jika di antara titik-titik yang ditemukan tidak ada x = 0, maka hitunglah nilai fungsi f(x=0).
Perlu dicatat bahwa ketika turunan pada setiap sisi suatu titik tertentu tidak mengubah tandanya, situasi yang mungkin terjadi tidak habis bahkan untuk fungsi-fungsi yang terdiferensiasi: dapat terjadi bahwa untuk lingkungan kecil sembarang di satu sisi titik x 0 atau di kedua sisi turunannya berubah tanda. Pada titik ini, perlu menggunakan metode lain untuk mempelajari fungsi secara ekstrem.

Nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi

Nilai terbesar suatu fungsi adalah yang terbesar, nilai terkecil adalah nilai terkecil dari seluruh nilainya.

Suatu fungsi hanya boleh mempunyai satu nilai terbesar dan hanya satu nilai terkecil, atau mungkin tidak mempunyai nilai sama sekali. Pencarian nilai terbesar dan terkecil dari fungsi kontinu didasarkan pada sifat-sifat fungsi berikut:

1) Jika dalam interval tertentu (berhingga atau tak terhingga) fungsi y=f(x) kontinu dan hanya mempunyai satu ekstrem dan jika maksimum (minimum), maka itu adalah nilai terbesar (terkecil) dari fungsi tersebut dalam interval ini.

2) Jika fungsi f(x) kontinu pada suatu ruas tertentu, maka fungsi tersebut tentu mempunyai nilai terbesar dan terkecil pada ruas tersebut. Nilai-nilai ini dicapai baik pada titik ekstrem yang terletak di dalam segmen, atau pada batas segmen ini.

Untuk mencari nilai terbesar dan terkecil pada suatu segmen, disarankan menggunakan skema berikut:

1. Temukan turunannya.

2. Temukan titik kritis dari fungsi yang =0 atau tidak ada.

3. Tentukan nilai fungsi pada titik kritis dan ujung ruas dan pilih f max terbesar dan f max terkecil.

Saat menyelesaikan masalah terapan, khususnya masalah optimasi, masalah mencari nilai terbesar dan terkecil (maksimum global dan minimum global) dari suatu fungsi pada interval X adalah penting , pilih variabel independen dan nyatakan nilai yang diteliti melalui variabel ini. Kemudian cari nilai terbesar atau terkecil yang diinginkan dari fungsi yang dihasilkan. Dalam hal ini interval perubahan variabel bebas, baik berhingga maupun tak terhingga, juga ditentukan dari kondisi permasalahan.

Contoh. Tangki yang berbentuk bagian atas terbuka sejajar dengan bagian bawah berbentuk persegi, bagian dalamnya harus dilapisi dengan timah. Berapa ukuran tangki jika kapasitasnya 108 liter? air agar biaya pengalengan minimal?

Larutan. Biaya melapisi tangki dengan timah akan minimal jika, untuk kapasitas tertentu, luas permukaannya minimal. Mari kita nyatakan dengan a dm sisi alasnya, b dm tinggi tangki. Maka luas S permukaannya sama dengan

DAN

Hubungan yang dihasilkan membentuk hubungan antara luas permukaan reservoir S (fungsi) dan sisi alas a (argumen). Mari kita periksa fungsi S secara ekstrim. Mari kita cari turunan pertama, samakan dengan nol dan selesaikan persamaan yang dihasilkan:

Jadi a = 6. (a) > 0 untuk a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Contoh. Temukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada interval.

Larutan: Fungsi yang ditentukan kontinu pada seluruh garis bilangan. Turunan dari suatu fungsi

Turunan untuk dan untuk . Mari kita hitung nilai fungsi pada titik-titik ini:

.

Nilai fungsi pada ujung-ujung interval tertentu adalah sama. Karena itu, nilai tertinggi fungsinya sama dengan at , nilai terkecil dari fungsi tersebut sama dengan at .

Pertanyaan tes mandiri

1. Merumuskan aturan L'Hopital untuk mengungkap ketidakpastian bentuk. Daftar Berbagai jenis ketidakpastian dimana aturan L'Hopital dapat digunakan.

2. Merumuskan tanda-tanda fungsi naik dan turun.

3. Menentukan maksimum dan minimum suatu fungsi.

4. Merumuskan kondisi yang diperlukan bagi keberadaan suatu ekstrem.

5. Nilai argumen apa (poin mana) yang disebut kritis? Bagaimana cara menemukan titik-titik tersebut?

6. Apa saja tanda-tanda cukup adanya suatu fungsi ekstrem? Buat garis besar skema untuk mempelajari suatu fungsi pada suatu ekstrem menggunakan turunan pertama.

7. Uraikan skema mempelajari suatu fungsi pada suatu ekstrem dengan menggunakan turunan kedua.

8. Definisi kecembungan dan kecekungan suatu kurva.

9. Apa yang disebut titik belok grafik suatu fungsi? Tunjukkan metode untuk menemukan titik-titik ini.

10. Merumuskan tanda-tanda kecembungan dan kecekungan suatu kurva yang perlu dan cukup pada suatu ruas tertentu.

11. Mendefinisikan asimtot suatu kurva. Bagaimana cara mencari asimtot vertikal, horizontal, dan miring dari grafik suatu fungsi?

12. Garis Besar skema umum meneliti suatu fungsi dan memplot grafiknya.

13. Merumuskan aturan untuk mencari nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi pada interval tertentu.

Pada artikel ini saya akan membicarakannya algoritma untuk mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi, poin minimum dan maksimum.

Dari teori pasti bermanfaat bagi kita tabel turunan Dan aturan diferensiasi. Semuanya ada di piring ini:

Algoritma untuk mencari nilai terbesar dan terkecil.

Lebih mudah bagi saya untuk menjelaskannya contoh spesifik. Mempertimbangkan:

Contoh: Tentukan nilai terbesar dari fungsi y=x^5+20x^3–65x pada ruas [–4;0].

Langkah 1. Kami mengambil turunannya.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

Langkah 2. Menemukan titik ekstrem.

Titik ekstrem kita menyebut titik-titik di mana fungsi tersebut mencapai nilai terbesar atau minimumnya.

Untuk mencari titik ekstrem, Anda perlu menyamakan turunan fungsi tersebut dengan nol (y" = 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Sekarang mari kita selesaikan masalah ini persamaan kuadrat dan akar yang ditemukan adalah titik ekstrem kita.

Saya menyelesaikan persamaan tersebut dengan mengganti t = x^2, lalu 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Mari kita kurangi persamaannya sebanyak 5, kita peroleh: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + akar(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - akar(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Kami membuat perubahan sebaliknya x^2 = t:

X_(1 dan 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 dan 4) = ±sqrt(-13) (kami kecualikan, tidak mungkin ada angka negatif, kecuali tentu saja kita berbicara tentang bilangan kompleks)

Total: x_(1) = 1 dan x_(2) = -1 - ini adalah titik ekstrem kita.

Langkah 3. Tentukan nilai terbesar dan terkecil.

Metode substitusi.

Dalam kondisi tersebut, kami diberi segmen [b][–4;0]. Intinya x=1 tidak termasuk dalam segmen ini. Jadi kami tidak mempertimbangkannya. Namun selain titik x=-1, kita juga perlu memperhatikan batas kiri dan kanan ruas kita, yaitu titik -4 dan 0. Untuk melakukannya, kita substitusikan ketiga titik tersebut ke dalam fungsi aslinya. Perhatikan bahwa yang asli adalah yang diberikan dalam kondisi (y=x^5+20x^3–65x), beberapa orang mulai mensubstitusikannya ke dalam turunan...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
kamu(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

Artinya nilai terbesar fungsi tersebut adalah [b]44 dan dicapai di titik [b]-1 yang disebut titik maksimum fungsi pada ruas [-4; 0].

Kami memutuskan dan menerima jawaban, kami baik-baik saja, Anda dapat bersantai. Tapi berhenti! Tidakkah menurut Anda menghitung y(-4) terlalu sulit? Dalam kondisi waktu yang terbatas, lebih baik menggunakan cara lain, saya sebut saja:

Melalui interval keteguhan tanda.

Interval ini ditemukan untuk turunan fungsi, yaitu persamaan bikuadrat kita.

Saya melakukannya seperti ini. Saya menggambar segmen terarah. Saya menempatkan poin: -4, -1, 0, 1. Meskipun 1 tidak termasuk dalam segmen yang diberikan, namun tetap harus diperhatikan untuk menentukan interval keteguhan tanda dengan benar. Mari kita ambil suatu bilangan yang berkali-kali lebih besar dari 1, katakanlah 100, dan secara mental substitusikan bilangan tersebut ke dalam persamaan bikuadrat kita 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Bahkan tanpa menghitung apa pun, menjadi jelas bahwa pada titik 100 fungsi memiliki tanda plus. Artinya untuk interval 1 sampai 100 mempunyai tanda tambah. Ketika melewati 1 (kita berjalan dari kanan ke kiri), fungsinya akan berubah tanda menjadi minus. Ketika melewati titik 0, fungsi tersebut akan mempertahankan tandanya, karena ini hanyalah batas segmen, dan bukan akar persamaan. Ketika melewati -1, fungsinya akan kembali berubah tanda menjadi plus.

Dari teori kita mengetahui dimana turunan dari fungsi tersebut (dan kita menggambarnya secara tepat) perubahan tanda dari plus ke minus (poin -1 dalam kasus kami) fungsi mencapai maksimum lokalnya (y(-1)=44, seperti yang dihitung sebelumnya) pada segmen ini (secara logika sangat bisa dimaklumi, fungsinya berhenti meningkat karena sudah mencapai maksimal dan mulai menurun).

Dengan demikian, dimana turunan dari fungsi tersebut perubahan tanda dari minus menjadi plus, tercapai minimum lokal suatu fungsi. Ya, ya, kami juga menemukan titik minimum lokal adalah 1, dan y(1) adalah nilai minimum fungsi pada segmen tersebut, katakanlah dari -1 hingga +∞. Tolong bayar perhatian yang sangat besar, bahwa ini hanya MINIMUM LOKAL yaitu minimum pada segmen tertentu. Karena fungsi minimum nyata (global) akan mencapai suatu tempat di sana, di -∞.

Menurut pendapat saya, metode pertama lebih sederhana secara teoritis, dan metode kedua lebih sederhana dari sudut pandang operasi aritmatika, tetapi jauh lebih kompleks dari sudut pandang teori. Lagi pula, terkadang ada kasus ketika fungsi tidak berubah tanda ketika melewati akar persamaan, dan secara umum Anda bisa bingung dengan maksimum dan minimum lokal, global, meskipun Anda tetap harus menguasainya dengan baik jika Anda berencana untuk masuk universitas teknik (dan untuk alasan apa lagi ambil profil Ujian Negara Bersatu dan selesaikan tugas ini). Namun latihan dan hanya latihan yang akan mengajarkan Anda untuk memecahkan masalah seperti itu untuk selamanya. Dan Anda dapat berlatih di situs web kami. Di Sini .

Jika Anda memiliki pertanyaan atau ada sesuatu yang tidak jelas, pastikan untuk bertanya. Saya akan dengan senang hati menjawab Anda dan melakukan perubahan dan penambahan artikel. Ingat kita membuat situs ini bersama-sama!

Dan untuk mengatasinya, Anda memerlukan pengetahuan minimal tentang topik tersebut. Yang berikutnya berakhir tahun akademik, semua orang ingin pergi berlibur, dan untuk mendekatkan momen ini, saya langsung ke intinya:

Mari kita mulai dengan areanya. Daerah yang dimaksud dalam kondisi tersebut adalah terbatas tertutup kumpulan titik pada suatu bidang. Misalnya himpunan titik-titik yang dibatasi oleh suatu segitiga, termasuk segitiga SELURUH (jika dari perbatasan“tusuk” minimal satu titik, maka wilayah tersebut tidak akan ditutup lagi). Dalam praktiknya, ada juga area yang berbentuk persegi panjang, melingkar, dan sedikit lebih besar. bentuk yang kompleks. Perlu dicatat bahwa dalam teori analisis matematis definisi yang ketat diberikan keterbatasan, isolasi, batasan, dll., tapi menurut saya semua orang mengetahui konsep ini pada tingkat intuitif, dan sekarang tidak diperlukan lagi.

Daerah datar secara standar dilambangkan dengan surat itu , dan, sebagai suatu peraturan, ditentukan secara analitis - dengan beberapa persamaan (belum tentu linier); lebih jarang kesenjangan. Kata-kata yang umum: “area tertutup, dibatasi oleh garis ».

Bagian integral dari tugas yang sedang dipertimbangkan adalah konstruksi suatu area dalam gambar. Bagaimana cara melakukannya? Anda perlu menggambar semua garis yang terdaftar (dalam hal ini 3 lurus) dan menganalisis apa yang terjadi. Area yang dicari biasanya diberi sedikit bayangan, dan batasnya ditandai dengan garis tebal:


Area yang sama juga dapat diatur kesenjangan linier: , yang karena alasan tertentu sering kali ditulis sebagai daftar yang disebutkan, bukan sistem.
Karena batas itu milik daerah, maka segala ketimpangan tentu saja tidak ada. longgar.

Dan sekarang inti masalahnya. Bayangkan sumbunya keluar lurus ke arah Anda dari titik asal. Pertimbangkan fungsi itu kontinu di setiap titik daerah. Grafik fungsi ini mewakili beberapa permukaan, dan kebahagiaan kecilnya adalah untuk menyelesaikan masalah saat ini kita tidak perlu mengetahui seperti apa permukaannya. Letaknya bisa lebih tinggi, lebih rendah, melintasi bidang - semua ini tidak masalah. Dan yang berikut ini penting: menurut Teorema Weierstrass, kontinu V terbatas tertutup dimana fungsi tersebut mencapai nilai terbesarnya (paling atas") dan yang paling sedikit (paling rendah") nilai-nilai yang perlu ditemukan. Nilai-nilai seperti itu tercapai atau V titik stasioner, milik wilayah tersebutD , atau di titik-titik yang terletak di perbatasan daerah ini. Hal ini mengarah pada algoritma solusi yang sederhana dan transparan:

Contoh 1

Secara terbatas daerah tertutup

Larutan: Pertama-tama, Anda perlu menggambarkan area pada gambar. Sayangnya, secara teknis sulit bagi saya untuk membuat model interaktif dari permasalahan tersebut, oleh karena itu saya akan segera menyajikan ilustrasi akhir yang menunjukkan semua poin “mencurigakan” yang ditemukan selama penelitian. Mereka biasanya dicantumkan satu demi satu saat ditemukan:

Berdasarkan pembukaan, keputusan tersebut dapat dengan mudah dibagi menjadi dua poin:

I) Temukan titik stasioner. Ini adalah tindakan standar yang kami lakukan berulang kali di kelas. tentang ekstrem dari beberapa variabel:

Ditemukan titik stasioner milik bidang: (tandai pada gambar), yang berarti kita harus menghitung nilai fungsi pada suatu titik tertentu:

- seperti di artikel Nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi pada suatu segmen, saya akan menyorot hasil penting dengan huruf tebal. Lebih mudah untuk menjiplaknya di buku catatan dengan pensil.

Perhatikan kebahagiaan kedua kita - tidak ada gunanya memeriksanya kondisi cukup untuk ekstrem. Mengapa? Bahkan jika suatu titik fungsi tersebut tercapai, misalnya, minimum lokal, maka ini BUKAN BERARTI nilai yang dihasilkan akan seperti itu minimal di seluruh wilayah (lihat awal pelajaran tentang ekstrem tanpa syarat) .

Apa yang harus dilakukan jika titik stasioner BUKAN termasuk dalam area tersebut? Hampir tidak ada! Perlu dicatat itu dan lanjutkan ke poin berikutnya.

II) Kami menjelajahi perbatasan wilayah.

Karena batasnya terdiri dari sisi-sisi segitiga, maka akan lebih mudah untuk membagi penelitian menjadi 3 subbagian. Tapi lebih baik tidak melakukannya. Dari sudut pandang saya, pertama-tama akan lebih menguntungkan untuk mempertimbangkan segmen-segmen yang sejajar dengan sumbu koordinat, dan pertama-tama, segmen-segmen yang terletak pada sumbu itu sendiri. Untuk memahami keseluruhan urutan dan logika tindakan, cobalah mempelajari akhir cerita “dalam satu tarikan napas”:

1) Mari kita lihat sisi bawah segitiga. Untuk melakukan ini, substitusikan langsung ke dalam fungsi:

Alternatifnya, Anda dapat melakukannya seperti ini:

Secara geometris, ini berarti bidang koordinat (yang juga diberikan oleh persamaan)"mengukir" dari permukaan parabola "spasial", yang puncaknya langsung dicurigai. Mari kita cari tahu dimana dia berada:

– nilai yang dihasilkan “jatuh” ke dalam area tersebut, dan mungkin saja terjadi pada titik tersebut (ditandai pada gambar) fungsinya mencapai nilai terbesar atau terkecil di seluruh wilayah. Dengan satu atau lain cara, mari kita lakukan perhitungan:

“Kandidat” lainnya, tentu saja, adalah ujung dari segmen tersebut. Mari kita hitung nilai fungsi pada titik (ditandai pada gambar):

Di sini, omong-omong, Anda dapat melakukan pemeriksaan kecil lisan menggunakan versi "dipreteli":

2) Untuk penelitian sisi kanan kita mengganti segitiga ke dalam fungsi dan “menertibkan”:

Di sini kita akan segera melakukan pemeriksaan kasar, “membunyikan” ujung segmen yang sudah diproses:
, Besar.

Situasi geometris terkait dengan poin sebelumnya:

– nilai yang dihasilkan juga “masuk ke dalam lingkup kepentingan kita”, yang berarti kita perlu menghitung berapa fungsi pada titik yang muncul sama dengan:

Mari kita periksa ujung kedua segmen ini:

Menggunakan fungsi , mari kita lakukan pemeriksaan kontrol:

3) Mungkin semua orang bisa menebak bagaimana cara menjelajahi sisi yang tersisa. Kami menggantinya ke dalam fungsi dan melakukan penyederhanaan:

Ujung segmen sudah diteliti, namun pada draftnya masih kami cek apakah sudah menemukan fungsinya dengan benar :
– bertepatan dengan hasil sub-paragraf ke-1;
– bertepatan dengan hasil sub-paragraf ke-2.

Masih mencari tahu apakah ada sesuatu yang menarik di dalam segmen tersebut:

- Ada! Mengganti garis lurus ke dalam persamaan, kita mendapatkan ordinat dari “ketertarikan” ini:

Kami menandai suatu titik pada gambar dan menemukan nilai fungsi yang sesuai:

Mari kita periksa perhitungannya menggunakan versi “anggaran”. :
, memesan.

Dan langkah terakhir: Kami dengan HATI-HATI memeriksa semua angka yang “tebal”, saya sarankan agar para pemula membuat satu daftar saja:

dari mana kita memilih nilai terbesar dan terkecil. Menjawab Mari kita tuliskan sesuai gaya masalah penemuannya nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi pada suatu segmen:

Untuk berjaga-jaga, saya akan mengomentari sekali lagi arti geometris dari hasilnya:
– inilah titik tertinggi permukaan di wilayah tersebut;
– ini adalah titik terendah dari permukaan di area tersebut.

Dalam tugas yang dianalisis, kami mengidentifikasi 7 poin yang “mencurigakan”, tetapi jumlahnya bervariasi dari satu tugas ke tugas lainnya. Untuk wilayah segitiga, “kumpulan penelitian” minimum terdiri dari tiga titik. Ini terjadi ketika suatu fungsi, misalnya, menentukan pesawat– jelas sekali bahwa tidak ada titik stasioner, dan fungsi tersebut hanya dapat mencapai nilai maksimum/terkecilnya pada titik sudut segitiga. Tetapi hanya ada satu atau dua contoh serupa - biasanya Anda harus berurusan dengan beberapa contoh permukaan orde ke-2.

Jika Anda menyelesaikan tugas seperti itu sedikit, maka segitiga dapat membuat kepala Anda pusing, dan itulah mengapa saya telah menyiapkan contoh yang tidak biasa bagi Anda untuk menjadikannya persegi :))

Contoh 2

Temukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada suatu area tertutup yang dibatasi oleh garis

Contoh 3

Temukan nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi dalam daerah tertutup terbatas.

Perhatian khusus Perhatikan tatanan rasional dan teknik mempelajari batas wilayah, serta rantai pemeriksaan perantara, yang hampir sepenuhnya menghindari kesalahan komputasi. Secara umum, Anda dapat menyelesaikannya sesuka Anda, tetapi dalam beberapa masalah, misalnya pada Contoh 2, ada kemungkinan membuat hidup Anda jauh lebih sulit. Contoh contoh tugas akhir di akhir pembelajaran.

Mari kita sistematiskan algoritme solusinya, jika tidak, dengan ketekunan saya sebagai laba-laba, algoritme tersebut entah bagaimana akan hilang dalam rangkaian panjang komentar pada contoh pertama:

– Pada langkah pertama, kita membangun area tersebut, disarankan untuk mengarsirnya dan menyorot perbatasan dengan garis tebal. Selama penyelesaian, akan muncul titik-titik yang perlu ditandai pada gambar.

– Temukan titik stasioner dan hitung nilai fungsinya hanya pada mereka yang termasuk dalam wilayah tersebut. Kami menyorot nilai yang dihasilkan dalam teks (misalnya, lingkari dengan pensil). Jika suatu titik stasioner BUKAN milik wilayah tersebut, maka kami menandai fakta ini dengan ikon atau secara lisan. Jika tidak ada titik stasioner sama sekali, maka kita menarik kesimpulan tertulis bahwa titik tersebut tidak ada. Bagaimanapun, poin ini tidak boleh dilewati!

– Kami sedang menjelajahi perbatasan wilayah. Pertama, memahami garis lurus yang sejajar dengan sumbu koordinat akan bermanfaat (jika ada sama sekali). Kami juga menyoroti nilai fungsi yang dihitung pada titik “mencurigakan”. Banyak yang telah dikatakan di atas tentang teknik solusi dan hal lain akan dikatakan di bawah - baca, baca ulang, selidiki!

– Dari bilangan yang dipilih, pilih nilai terbesar dan terkecil dan berikan jawabannya. Terkadang suatu fungsi mencapai nilai tersebut di beberapa titik sekaligus - dalam hal ini, semua poin ini harus tercermin dalam jawabannya. Misalkan, dan ternyata ini adalah nilai terkecil. Lalu kami menuliskannya

Contoh terakhir didedikasikan untuk orang lain ide-ide yang bermanfaat yang akan berguna dalam praktik:

Contoh 4

Temukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi di daerah tertutup .

Saya tetap mempertahankan rumusan penulis, yang luasnya diberikan dalam bentuk pertidaksamaan ganda. Kondisi ini dapat ditulis dengan sistem yang setara atau dalam bentuk yang lebih tradisional untuk soal ini:

Saya mengingatkan Anda bahwa dengan nonlinier kami menemukan ketidaksetaraan, dan jika Anda tidak memahami arti geometris dari notasi tersebut, mohon jangan menunda dan memperjelas situasinya sekarang ;-)

Larutan, seperti biasa, dimulai dengan membangun area yang mewakili semacam “satu-satunya”:

Hmm, terkadang Anda tidak hanya harus mengunyah granit ilmu pengetahuan saja...

I) Temukan titik stasioner:

Sistem ini adalah impian orang bodoh :)

Suatu titik stasioner termasuk dalam wilayah, yaitu terletak pada batasnya.

Jadi, tidak apa-apa... pelajarannya berjalan dengan baik - inilah arti minum teh yang benar =)

II) Kami menjelajahi perbatasan wilayah. Tanpa basa-basi lagi, mari kita mulai dengan sumbu x:

1) Jika , maka

Mari kita cari letak titik puncak parabola:
– hargai momen-momen seperti itu – Anda telah “mencapai” titik di mana semuanya sudah jelas. Namun kami tetap tidak lupa untuk memeriksa:

Mari kita hitung nilai fungsi di ujung segmen:

2) Mari kita berurusan dengan bagian bawah "satu-satunya" "dalam satu kesempatan" - tanpa kerumitan apa pun, kita substitusikan ke dalam fungsi, dan kita hanya akan tertarik pada segmennya:

Kontrol:

Hal ini sudah membawa keseruan dalam berkendara monoton di sepanjang jalur knurled. Mari kita temukan poin-poin penting:

Mari kita putuskan persamaan kuadrat, apakah kamu ingat hal lain tentang ini? ...Namun, ingat, tentu saja, jika tidak, Anda tidak akan membaca baris ini =) Jika dalam dua contoh sebelumnya perhitungan masuk desimal(yang, omong-omong, jarang terjadi), maka yang biasa menunggu kita di sini pecahan biasa. Kami menemukan akar “X” dan menggunakan persamaan tersebut untuk menentukan koordinat “permainan” yang sesuai dari titik “kandidat”:


Mari kita hitung nilai fungsi pada titik yang ditemukan:

Periksa sendiri fungsinya.

Sekarang kami mempelajari dengan cermat piala yang dimenangkan dan menuliskannya menjawab:

Ini adalah “kandidat”, ini adalah “kandidat”!

Untuk mengatasinya sendiri:

Contoh 5

Temukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi di area tertutup

Entri dengan kurung kurawal berbunyi seperti ini: “sekumpulan titik sedemikian rupa.”

Terkadang mereka menggunakan contoh seperti itu Metode pengali Lagrange, tetapi sepertinya tidak ada kebutuhan nyata untuk menggunakannya. Jadi, misalnya, jika suatu fungsi dengan luas “de” yang sama diberikan, maka setelah disubstitusikan ke dalamnya – dengan turunannya tidak ada kesulitan; Apalagi semuanya disusun dalam “satu garis” (dengan tanda) tanpa perlu mempertimbangkan setengah lingkaran atas dan bawah secara terpisah. Tapi, tentu saja masih ada lagi kasus yang kompleks, dimana tanpa fungsi Lagrange (di mana, misalnya, persamaan lingkarannya sama) Sulit untuk bertahan hidup – sama seperti sulitnya bertahan hidup tanpa istirahat yang cukup!

Selamat bersenang-senang semuanya dan sampai jumpa musim depan!

Solusi dan jawaban:

Contoh 2: Larutan: Mari kita gambarkan luas pada gambar:

Nilai terbesar (terkecil) suatu fungsi adalah nilai ordinat terbesar (terkecil) yang diterima pada interval yang dipertimbangkan.

Untuk mencari nilai terbesar atau terkecil suatu fungsi, Anda perlu:

1. Periksa titik stasioner mana yang termasuk dalam segmen tertentu.
2. Hitung nilai fungsi di ujung segmen dan di titik stasioner dari poin 3
3. Pilih nilai terbesar atau terkecil dari hasil yang diperoleh.

Untuk menemukan poin maksimum atau minimum, Anda perlu:

1. Temukan turunan dari fungsi $f"(x)$
2. Temukan titik stasioner dengan menyelesaikan persamaan $f"(x)=0$
3. Faktorkan turunan suatu fungsi.
4. Gambarlah garis koordinat, letakkan titik-titik stasioner di atasnya dan tentukan tanda-tanda turunannya pada interval yang dihasilkan, menggunakan notasi pada langkah 3.
5. Carilah titik maksimum atau minimum sesuai aturan: jika suatu titik turunannya berubah tanda dari plus ke minus, maka ini akan menjadi titik maksimum (jika dari minus ke plus, maka ini akan menjadi titik minimum). Dalam praktiknya, lebih mudah menggunakan gambar panah pada interval: pada interval yang turunannya positif, panah ditarik ke atas dan sebaliknya.

Tabel turunan beberapa fungsi dasar:

Aturan dasar diferensiasi

1. Turunan jumlah dan selisihnya sama dengan turunan masing-masing suku

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Cari turunan dari fungsi $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$

Turunan jumlah dan selisihnya sama dengan turunan masing-masing suku

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Turunan dari produk.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Cari turunan $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Turunan dari hasil bagi

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

Temukan turunan $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. Turunan fungsi yang kompleks sama dengan produk turunannya fungsi eksternal ke turunan dari fungsi dalam

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Tentukan titik minimum dari fungsi $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

1. Temukan ODZ dari fungsi: $x+11>0; x>-11$

2. Tentukan turunan fungsi $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$

3. Temukan titik stasioner dengan menyamakan turunannya dengan nol

$(2x+21)/(x+11)=0$

Pecahan sama dengan nol jika pembilangnya nol dan penyebutnya bukan nol.

$2x+21=0; x≠-11$

4. Mari kita menggambar garis koordinat, menempatkan titik-titik diam di atasnya dan menentukan tanda-tanda turunannya pada interval yang dihasilkan. Untuk melakukannya, substitusikan bilangan apa pun dari daerah paling kanan ke dalam turunannya, misalnya nol.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. Pada titik minimum, turunannya berubah tanda dari minus menjadi plus, sehingga titik $-10.5$ adalah titik minimum.

Jawaban: $-10,5$

Temukan nilai terbesar dari fungsi $y=6x^5-90x^3-5$ pada segmen $[-5;1]$

1. Temukan turunan dari fungsi $y′=30x^4-270x^2$

2. Samakan turunannya dengan nol dan temukan titik stasionernya

$30x^4-270x^2=0$

Mari kita keluarkan faktor total $30x^2$ dari tanda kurung

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

Mari kita samakan setiap faktor dengan nol

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Pilih titik stasioner yang termasuk dalam segmen $[-5;1]$ tertentu

Poin stasioner $x=0$ dan $x=-3$ cocok untuk kita

4. Hitung nilai fungsi pada ujung-ujung segmen dan pada titik-titik stasioner dari langkah 3