Sistem keputusan mendasar (contoh spesifik). Kumpulan solusi dasar untuk sistem persamaan linear homogen

Untuk memahami apa itu sistem mendasar solusi Anda dapat menonton video tutorial untuk contoh yang sama dengan mengklik. Sekarang mari kita beralih ke deskripsi keseluruhan pekerjaan yang diperlukan. Ini akan membantu Anda memahami inti masalah ini secara lebih rinci.

Bagaimana cara mencari sistem dasar penyelesaian persamaan linear?

Mari kita ambil sistem ini sebagai contoh persamaan linear:

Mari kita cari solusi dari sistem persamaan linier ini. Untuk memulainya, kita Anda perlu menuliskan matriks koefisien sistem.

Mari kita ubah matriks ini menjadi matriks segitiga. Kami menulis ulang baris pertama tanpa perubahan. Dan semua elemen yang berada di bawah $a_(11)$ harus dijadikan nol. Untuk membuat angka nol menggantikan elemen $a_(21)$, Anda perlu mengurangi baris pertama dari baris kedua, dan menulis selisihnya di baris kedua. Untuk membuat angka nol menggantikan elemen $a_(31)$, Anda perlu mengurangi baris pertama dari baris ketiga dan menulis selisihnya di baris ketiga. Untuk membuat angka nol menggantikan elemen $a_(41)$, Anda perlu mengurangi baris keempat yang pertama dikalikan 2 dan menuliskan selisihnya pada baris keempat. Untuk membuat angka nol menggantikan elemen $a_(31)$, Anda perlu mengurangi baris kelima yang pertama dikalikan 2 dan menuliskan selisihnya pada baris kelima.

Kami menulis ulang baris pertama dan kedua tanpa perubahan. Dan semua elemen yang berada di bawah $a_(22)$ harus dijadikan nol. Untuk membuat angka nol menggantikan elemen $a_(32)$, Anda perlu mengurangi baris kedua yang dikalikan 2 dengan baris ketiga dan menulis selisihnya pada baris ketiga. Untuk membuat angka nol menggantikan elemen $a_(42)$, Anda perlu mengurangi baris kedua dikalikan 2 dengan baris keempat dan menuliskan selisihnya pada baris keempat. Untuk membuat angka nol menggantikan elemen $a_(52)$, Anda perlu mengurangi baris kedua dikalikan 3 dengan baris kelima dan menuliskan selisihnya pada baris kelima.

Kami melihatnya tiga baris terakhir sama, jadi jika Anda mengurangkan angka ketiga dari angka keempat dan kelima, maka hasilnya akan menjadi nol.

Menurut matriks ini tuliskan sistem baru persamaan.

Kita melihat bahwa kita hanya mempunyai tiga persamaan bebas linier, dan lima persamaan yang tidak diketahui, sehingga sistem penyelesaian fundamental akan terdiri dari dua vektor. Jadi kita kita perlu memindahkan dua hal terakhir yang tidak diketahui ke kanan.

Sekarang, kita mulai mengungkapkan hal-hal yang tidak diketahui yang ada di sisi kiri melalui hal-hal yang tidak diketahui di sisi kanan. Kita mulai dengan persamaan terakhir, pertama kita nyatakan $x_3$, lalu kita substitusikan hasilnya ke persamaan kedua dan nyatakan $x_2$, lalu ke persamaan pertama dan di sini kita nyatakan $x_1$. Jadi, kami mengungkapkan semua hal yang tidak diketahui di sisi kiri melalui hal yang tidak diketahui di sisi kanan.

Lalu, alih-alih $x_4$ dan $x_5$, kita dapat mengganti angka apa pun dan mencari $x_1$, $x_2$, dan $x_3$. Masing-masing lima angka ini akan menjadi akar dari sistem persamaan awal kita. Untuk mencari vektor-vektor yang termasuk di dalamnya FSR kita perlu mengganti 1 sebagai ganti $x_4$, dan mengganti 0 sebagai ganti $x_5$, cari $x_1$, $x_2$ dan $x_3$, lalu sebaliknya $x_4=0$ dan $x_5=1$.

Sistem persamaan linear yang semua suku bebasnya sama dengan nol disebut homogen :

Setiap sistem homogen selalu konsisten, karena selalu demikian nol (remeh ) solusi. Timbul pertanyaan dalam kondisi apa sistem homogen akan mempunyai solusi nontrivial.

Teorema 5.2.Sistem homogen mempunyai solusi nontrivial jika dan hanya jika rank matriks utama angka yang lebih sedikit hal yang tidak dia ketahui.

Konsekuensi. Sistem homogen persegi mempunyai solusi nontrivial jika dan hanya jika determinan matriks utama sistem tidak sama dengan nol.

Contoh 5.6. Tentukan nilai parameter l yang sistemnya mempunyai solusi nontrivial, dan temukan solusi berikut:

Larutan. Sistem ini akan mempunyai solusi non-trivial jika determinan matriks utamanya sama dengan nol:

Jadi, sistem tersebut non-trivial jika l=3 atau l=2. Untuk l=3, rank matriks utama sistem adalah 1. Maka, hanya menyisakan satu persamaan dan asumsikan bahwa kamu=A Dan z=B, kita mendapatkan x=b-a, yaitu.

Untuk l=2, rank matriks utama sistem adalah 2. Kemudian, pilih minor sebagai basis:

kami mendapatkan sistem yang disederhanakan

Dari sini kita menemukan hal itu x=z/4, kamu=z/2. Percaya z=4A, kita mendapatkan

Himpunan semua solusi sistem homogen mempunyai arti yang sangat penting properti linier : jika kolom X 1 dan X 2 - solusi sistem homogen AX = 0, maka setiap kombinasi linear dari keduanya A X 1 + b X 2 juga akan menjadi solusi untuk sistem ini. Memang sejak itu KAPAK 1 = 0 Dan KAPAK 2 = 0 , Itu A(A X 1 + b X 2) = sebuah KAPAK 1 + b KAPAK 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Karena sifat inilah jika suatu sistem linear mempunyai lebih dari satu solusi, maka solusi-solusi tersebut jumlahnya tak terhingga.

Kolom bebas linier E 1 , E 2 , Ek, yang merupakan solusi dari sistem homogen, disebut sistem dasar solusi sistem persamaan linear homogen jika keputusan bersama sistem ini dapat ditulis sebagai kombinasi linier dari kolom-kolom berikut:

Jika sistem homogen memiliki N variabel, dan pangkat matriks utama sistem adalah sama dengan R, Itu k = n-r.

Contoh 5.7. Temukan sistem dasar solusi dari sistem persamaan linear berikut:

Larutan. Mari kita cari pangkat matriks utama sistem:

Jadi, himpunan solusi sistem persamaan ini membentuk subruang dimensi linier n-r= 5 - 2 = 3. Mari kita pilih minor sebagai basisnya

.

Kemudian, hanya menyisakan persamaan dasar (sisanya akan menjadi kombinasi linier dari persamaan ini) dan variabel dasar (kita memindahkan sisanya, yang disebut variabel bebas ke kanan), kita memperoleh sistem persamaan yang disederhanakan:

Percaya X 3 = A, X 4 = B, X 5 = C, kami menemukan

, .

Percaya A= 1, b = c= 0, kita memperoleh solusi basa pertama; percaya B= 1, a = c= 0, kita memperoleh solusi basa kedua; percaya C= 1, a = b= 0, kita memperoleh solusi basa ketiga. Akibatnya, sistem penyelesaian fundamental yang normal akan terbentuk

Dengan menggunakan sistem fundamental, solusi umum sistem homogen dapat ditulis sebagai

X = aE 1 + menjadi 2 + ce 3. A

Mari kita perhatikan beberapa sifat solusi sistem persamaan linear tak homogen KAPAK=B dan hubungannya dengan sistem persamaan homogen yang sesuai kapak = 0.

Solusi umum dari sistem tidak homogensama dengan jumlah solusi umum sistem homogen yang bersesuaian AX = 0 dan solusi partikular sembarang dari sistem tak homogen. Memang benar, biarlah Y 0 adalah solusi partikular sembarang dari sistem tak homogen, mis. AY 0 = B, Dan Y- solusi umum dari sistem heterogen, mis. AYO=B. Dengan mengurangkan satu persamaan dari persamaan lainnya, kita peroleh
A(Y Y 0) = 0, yaitu Y Y 0 adalah solusi umum dari sistem homogen yang bersesuaian KAPAK=0. Karena itu, Y Y 0 = X, atau Y=Y 0 + X. Q.E.D.

Misalkan sistem tak homogen berbentuk AX = B 1 + B 2 . Maka solusi umum sistem tersebut dapat ditulis sebagai X = X 1 + X 2 , dimana AX 1 = B 1 dan kapak 2 = B 2. Properti ini mengungkapkan properti universal apa pun sistem linier(aljabar, diferensial, fungsional, dll). Dalam fisika sifat ini disebut prinsip superposisi, di bidang teknik listrik dan radio - prinsip superposisi. Misalnya saja dalam teori linier rangkaian listrik arus dalam rangkaian apa pun dapat diperoleh sebagai jumlah aljabar arus yang disebabkan oleh masing-masing sumber energi secara terpisah.

Tujuan layanan. Kalkulator online dirancang untuk menemukan solusi non-sepele dan mendasar terhadap SLAE. Solusi yang dihasilkan disimpan dalam file Word (lihat contoh solusi).

instruksi. Pilih dimensi matriks:

Sifat-sifat sistem persamaan linier homogen

Dalil. Suatu sistem dalam kasus m=n mempunyai solusi nontrivial jika dan hanya jika determinan sistem ini sama dengan nol.

Dalil. Kombinasi linier apa pun dari solusi suatu sistem juga merupakan solusi sistem tersebut.
Definisi. Himpunan penyelesaian sistem persamaan linier homogen disebut sistem dasar solusi, jika himpunan ini terdiri dari solusi bebas linier dan setiap solusi sistem merupakan kombinasi linier dari solusi tersebut.

Dalil. Jika pangkat r matriks sistem lebih kecil dari bilangan n yang tidak diketahui, maka terdapat sistem solusi fundamental yang terdiri dari (n-r) solusi.

Algoritma untuk menyelesaikan sistem persamaan linier homogen

1. Mencari rank matriks.
2. Kami memilih minor dasar. Kami membedakan antara yang tidak diketahui yang bergantung (dasar) dan yang bebas.
3. Kami mencoret persamaan-persamaan sistem yang koefisiennya tidak termasuk dalam basis minor, karena merupakan konsekuensi dari persamaan lain (menurut teorema basis minor).
4. Kami memindahkan suku-suku persamaan yang mengandung hal-hal yang tidak diketahui bebas ke ruas kanan. Hasilnya, kita memperoleh sistem persamaan r dengan r persamaan yang tidak diketahui, setara dengan persamaan tertentu, yang determinannya bukan nol.
5. Kami memecahkan sistem yang dihasilkan dengan menghilangkan hal-hal yang tidak diketahui. Kami menemukan hubungan yang mengekspresikan variabel terikat melalui variabel bebas.
6. Jika pangkat matriks tidak sama dengan jumlah variabel, maka kita mencari solusi fundamental sistem tersebut.
7. Dalam kasus rang = n kita mempunyai solusi sepele.

Contoh. Tentukan basis dari sistem vektor (a 1, a 2,...,am), rangking dan nyatakan vektor-vektor tersebut berdasarkan basisnya. Jika a 1 =(0,0,1,-1), dan 2 =(1,1,2,0), dan 3 =(1,1,1,1), dan 4 =(3,2,1 ,4), dan 5 =(2,1,0,3).
Mari kita tuliskan matriks utama sistem:

Membiarkan M 0 – himpunan solusi sistem persamaan linear homogen (4).

Definisi 6.12. vektor Dengan 1 ,Dengan 2 , …, dengan hal, yang merupakan solusi dari sistem persamaan linear homogen disebut serangkaian solusi mendasar(disingkat FNR), jika

1) vektor Dengan 1 ,Dengan 2 , …, dengan hal independen linier (yaitu, tidak ada satupun yang dapat dinyatakan dalam bentuk yang lain);

2) solusi lain apa pun terhadap sistem persamaan linear homogen dapat dinyatakan dalam bentuk solusi Dengan 1 ,Dengan 2 , …, dengan hal.

Perhatikan bahwa jika Dengan 1 ,Dengan 2 , …, dengan hal– f.n.r. mana saja, lalu ekspresi k 1× Dengan 1 + k 2× Dengan 2 + … + k hal× dengan hal Anda dapat menggambarkan keseluruhan rangkaian M 0 solusi untuk sistem (4), demikian disebut pandangan umum dari solusi sistem (4).

Teorema 6.6. Setiap sistem persamaan linier homogen tak tentu mempunyai serangkaian solusi mendasar.

Cara mencari himpunan solusi mendasar adalah sebagai berikut:

Temukan solusi umum sistem persamaan linear homogen;

Membangun ( N – R) solusi parsial dari sistem ini, sedangkan nilai-nilai yang tidak diketahui bebas harus membentuk matriks identitas;

Tuliskan bentuk umum penyelesaian yang terdapat di dalamnya M 0 .

Contoh 6.5. Temukan serangkaian solusi mendasar untuk sistem berikut:

Larutan. Mari kita cari solusi umum untuk sistem ini.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ Ada lima hal yang tidak diketahui dalam sistem ini ( N= 5), yang mana ada dua hal utama yang tidak diketahui ( R= 2), ada tiga hal yang tidak diketahui ( N – R), yaitu himpunan solusi fundamental berisi tiga vektor solusi. Mari kita membangunnya. Kita punya X 1 dan X 3 – hal utama yang tidak diketahui, X 2 , X 4 , X 5 – hal yang tidak diketahui secara gratis

Nilai-nilai yang tidak diketahui secara gratis X 2 , X 4 , X 5 membentuk matriks identitas E urutan ketiga. Dapatkan vektor itu Dengan 1 ,Dengan 2 , Dengan 3 formulir f.n.r. dari sistem ini. Maka himpunan solusi dari sistem homogen tersebut adalah M 0 = {k 1× Dengan 1 + k 2× Dengan 2 + k 3× Dengan 3 , k 1 , k 2 , k 3 tentang R).

Sekarang mari kita cari tahu syarat-syarat adanya solusi tak nol dari sistem persamaan linear homogen, dengan kata lain, syarat-syarat adanya himpunan solusi fundamental.

Sistem persamaan linier homogen mempunyai penyelesaian yang tidak nol, yaitu tidak pasti

1) pangkat matriks utama sistem lebih kecil dari jumlah yang tidak diketahui;

2) dalam sistem persamaan linier homogen, jumlah persamaan lebih sedikit daripada jumlah persamaan yang tidak diketahui;

3) jika dalam sistem persamaan linier homogen jumlah persamaan sama dengan jumlah persamaan yang tidak diketahui, dan determinan matriks utama sama dengan nol (yaitu | A| = 0).

Contoh 6.6. Pada nilai parameter berapa A sistem persamaan linear yang homogen mempunyai solusi bukan nol?

Larutan. Mari kita buat matriks utama sistem ini dan cari determinannya: = = 1×(–1) 1+1 × = – A– 4. Penentu matriks ini sama dengan nol di A = –4.

Menjawab: –4.

7. Aritmatika N ruang vektor -dimensi

Konsep dasar

DI DALAM bagian sebelumnya Kita telah menjumpai konsep himpunan bilangan real yang disusun dalam urutan tertentu. Ini adalah matriks baris (atau matriks kolom) dan solusi sistem persamaan linier dengan N tidak dikenal. Informasi ini dapat diringkas.

Definisi 7.1. N-vektor aritmatika dimensi disebut himpunan terurut N bilangan real.

Cara A= (sebuah 1 , sebuah 2 , …, sebuah N), dimana Saya tentang R, Saya = 1, 2, …, N– pandangan umum vektor. Nomor N ditelepon dimensi vektor, dan bilangan a Saya disebut miliknya koordinat.

Misalnya: A= (1, –8, 7, 4, ) – vektor lima dimensi.

Siap N vektor -dimensi biasanya dilambangkan sebagai Rn.

Definisi 7.2. Dua vektor A= (sebuah 1 , sebuah 2 , …, sebuah N) Dan B= (b 1 , b 2 , …, b N) dengan dimensi yang sama setara jika dan hanya jika koordinat-koordinat yang bersesuaian sama, yaitu a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a N= b N.

Definisi 7.3.Jumlah dua N vektor -dimensi A= (sebuah 1 , sebuah 2 , …, sebuah N) Dan B= (b 1 , b 2 , …, b N) disebut vektor A + B= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, …, a N+ b N).

Definisi 7.4. Pekerjaan bilangan real k ke vektor A= (sebuah 1 , sebuah 2 , …, sebuah N) disebut vektor k× A = (k×a 1, k×a 2 , …, k×a N)

Definisi 7.5. Vektor HAI= (0, 0, …, 0) dipanggil nol(atau vektor nol).

Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa tindakan (operasi) penjumlahan vektor dan mengalikannya dengan bilangan real memiliki sifat-sifat berikut: " A, B, C Î Rn, " k, aku tentang R:

1) A + B = B + A;

2) A + (B+ C) = (A + B) + C;

3) A + HAI = A;

4) A+ (–A) = HAI;

5) 1× A = A, 1 tentang R;

6) k×( aku× A) = aku×( k× A) = (aku× k)× A;

7) (k + aku)× A = k× A + aku× A;

8) k×( A + B) = k× A + k× B.

Definisi 7.6. Sekelompok Rn operasi penjumlahan vektor dan mengalikannya dengan bilangan real yang diberikan padanya disebut ruang vektor berdimensi n aritmatika.

Di sekolah, kita masing-masing mempelajari persamaan dan, kemungkinan besar, sistem persamaan. Namun tidak banyak orang yang mengetahui bahwa ada beberapa cara untuk mengatasinya. Hari ini kita akan menganalisis secara rinci semua metode untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier yang terdiri lebih dari dua persamaan.

Cerita

Saat ini diketahui bahwa seni menyelesaikan persamaan dan sistemnya berasal dari Babilonia Kuno dan Mesir. Namun, persamaan dalam bentuknya yang biasa muncul setelah munculnya tanda sama dengan "=", yang diperkenalkan pada tahun 1556 oleh ahli matematika Inggris, Record. Ngomong-ngomong, tanda ini dipilih karena suatu alasan: artinya dua segmen sejajar yang sama besar. Dan itu benar contoh terbaik kesetaraan tidak dapat diciptakan.

Pendiri sebutan huruf modern untuk yang tidak diketahui dan tanda derajat adalah seorang ahli matematika Perancis, namun sebutannya sangat berbeda dari yang ada saat ini. Misalnya, ia melambangkan persegi dengan bilangan yang tidak diketahui dengan huruf Q (lat. “quadratus”), dan sebuah kubus dengan huruf C (lat. “cubus”). Notasi ini tampaknya janggal saat ini, namun pada saat itu merupakan cara yang paling mudah dipahami untuk menulis sistem persamaan aljabar linier.

Namun, kelemahan metode penyelesaian pada masa itu adalah matematikawan hanya mempertimbangkan akar positif. Mungkin ini disebabkan oleh fakta itu nilai-nilai negatif tidak punya aplikasi praktis. Dengan satu atau lain cara, matematikawan Italia Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano, dan Raphael Bombelli-lah yang pertama kali menghitung akar negatif pada abad ke-16. A tampilan modern, metode solusi utama (melalui diskriminan) baru diciptakan pada abad ke-17 berkat karya Descartes dan Newton.

Pada pertengahan abad ke-18, matematikawan Swiss Gabriel Cramer menemukan jalan baru untuk mempermudah penyelesaian sistem persamaan linear. Metode ini kemudian dinamai menurut namanya dan kami masih menggunakannya sampai hari ini. Namun kita akan membahas metode Cramer nanti, namun untuk saat ini mari kita bahas persamaan linear dan metode penyelesaiannya secara terpisah dari sistem.

Persamaan linear

Persamaan linier merupakan persamaan paling sederhana yang mempunyai variabel (variabel). Mereka diklasifikasikan sebagai aljabar. menulis ke pandangan umum jadi: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b. Kita perlu merepresentasikannya dalam bentuk ini saat menyusun sistem dan matriks nanti.

Sistem persamaan aljabar linier

Definisi istilah ini adalah: himpunan persamaan yang mempunyai besaran-besaran yang tidak diketahui dan penyelesaian yang sama. Biasanya, di sekolah setiap orang menyelesaikan sistem dengan dua atau bahkan tiga persamaan. Namun ada sistem dengan empat komponen atau lebih. Pertama-tama mari kita cari tahu cara menuliskannya agar mudah diselesaikan di masa mendatang. Pertama, sistem persamaan aljabar linier akan terlihat lebih baik jika semua variabel dituliskan sebagai x dengan subskrip yang sesuai: 1,2,3, dan seterusnya. Kedua, semua persamaan harus dibawa ke bentuk kanonik: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b.

Setelah semua langkah ini, kita dapat mulai berbicara tentang cara mencari solusi sistem persamaan linear. Matriks akan sangat berguna untuk ini.

Matriks

Matriks adalah tabel yang terdiri dari baris dan kolom, dan pada perpotongannya terdapat elemen-elemennya. Ini bisa berupa nilai atau variabel tertentu. Paling sering, untuk menunjukkan elemen, subskrip ditempatkan di bawahnya (misalnya, 11 atau 23). Indeks pertama berarti nomor baris, dan indeks kedua berarti nomor kolom. Berbagai operasi dapat dilakukan pada matriks, seperti pada elemen matematika lainnya. Dengan demikian, Anda dapat:

2) Kalikan matriks dengan bilangan atau vektor apa pun.

3) Transpose: mengubah baris matriks menjadi kolom, dan kolom menjadi baris.

4) Kalikan matriks jika jumlah baris salah satunya sama dengan jumlah kolom matriks lainnya.

Mari kita bahas semua teknik ini lebih terinci, karena akan berguna bagi kita di masa depan. Pengurangan dan penjumlahan matriks sangatlah mudah. Karena kita mengambil matriks dengan ukuran yang sama, setiap elemen dari satu tabel berkorelasi dengan setiap elemen dari tabel lainnya. Jadi, kita menjumlahkan (mengurangi) kedua elemen ini (penting agar keduanya berada di tempat yang sama dalam matriksnya). Saat mengalikan suatu matriks dengan suatu bilangan atau vektor, Anda cukup mengalikan setiap elemen matriks dengan bilangan (atau vektor tersebut). Transposisi adalah proses yang sangat menarik. Terkadang sangat menarik untuk melihatnya kehidupan nyata, misalnya, saat mengubah orientasi tablet atau ponsel. Ikon-ikon di desktop mewakili sebuah matriks, dan ketika posisinya berubah, posisinya berubah dan menjadi lebih lebar, tetapi tingginya berkurang.

Mari kita lihat proses lain seperti: Meskipun kita tidak membutuhkannya, akan tetap berguna untuk mengetahuinya. Anda dapat mengalikan dua matriks hanya jika jumlah kolom dalam satu tabel sama dengan jumlah baris pada tabel lainnya. Sekarang mari kita ambil elemen baris dari satu matriks dan elemen kolom yang bersesuaian dari matriks lainnya. Mari kita mengalikannya satu sama lain lalu menjumlahkannya (yaitu, misalnya, hasil kali elemen a 11 dan a 12 dengan b 12 dan b 22 akan sama dengan: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Dengan demikian, satu elemen tabel diperoleh, dan diisi lebih lanjut menggunakan metode serupa.

Sekarang kita dapat mulai membahas bagaimana sistem persamaan linear diselesaikan.

metode Gauss

Topik ini mulai dibahas di sekolah. Kita mengetahui konsep “sistem dua persamaan linier” dengan baik dan mengetahui cara menyelesaikannya. Namun bagaimana jika jumlah persamaannya lebih dari dua? Ini akan membantu kita

Tentu saja, metode ini nyaman digunakan jika Anda membuat matriks dari sistem. Namun Anda tidak perlu mengubahnya dan menyelesaikannya dalam bentuk aslinya.

Lantas, bagaimana metode ini menyelesaikan sistem persamaan linear Gaussian? Ngomong-ngomong, meskipun metode ini dinamai menurut namanya, metode ini ditemukan pada zaman kuno. Gauss mengusulkan hal berikut: melakukan operasi dengan persamaan untuk menghasilkan seluruh himpunan pandangan melangkah. Artinya, dari atas ke bawah (jika disusun dengan benar) dari persamaan pertama ke persamaan terakhir yang tidak diketahui harus dikurangi. Dengan kata lain, kita perlu memastikan bahwa kita mendapatkan, katakanlah, tiga persamaan: persamaan pertama ada tiga yang tidak diketahui, persamaan kedua ada dua, dan persamaan ketiga ada satu. Kemudian dari persamaan terakhir kita mencari variabel pertama yang tidak diketahui, substitusikan nilainya ke persamaan kedua atau pertama, lalu cari dua variabel sisanya.

Metode Cramer

Untuk menguasai metode ini, Anda harus memiliki keterampilan penjumlahan dan pengurangan matriks, dan Anda juga harus mampu mencari determinannya. Oleh karena itu, jika Anda melakukan semua ini dengan buruk atau tidak tahu caranya sama sekali, Anda harus belajar dan berlatih.

Apa inti dari metode ini, dan bagaimana cara membuatnya sehingga diperoleh sistem persamaan linear Cramer? Semuanya sangat sederhana. Kita harus membuat matriks koefisien numerik (hampir selalu) dari sistem persamaan aljabar linier. Untuk melakukan ini, kita cukup mengambil angka-angka di depan yang tidak diketahui dan menyusunnya dalam tabel sesuai urutan penulisannya dalam sistem. Jika ada tanda “-” di depan bilangan tersebut, maka kita tuliskan koefisien negatifnya. Jadi, kita telah menyusun matriks pertama koefisien untuk bilangan yang tidak diketahui, tidak termasuk bilangan setelah tanda sama dengan (tentu saja, persamaan tersebut harus direduksi menjadi bentuk kanonik, bila hanya bilangan yang ada di sebelah kanan, dan semua bilangan yang tidak diketahui dengan koefisien ada di kiri). Maka Anda perlu membuat beberapa matriks lagi - satu untuk setiap variabel. Untuk melakukan ini, kita mengganti setiap kolom dengan koefisien pada matriks pertama secara bergantian dengan kolom angka setelah tanda sama dengan. Jadi, kita memperoleh beberapa matriks dan kemudian mencari determinannya.

Setelah kita menemukan determinannya, itu persoalan kecil. Kami memiliki matriks awal, dan ada beberapa matriks yang dihasilkan yang sesuai dengan variabel berbeda. Untuk memperoleh solusi sistem, kita membagi determinan tabel yang dihasilkan dengan determinan tabel awal. Angka yang dihasilkan merupakan nilai salah satu variabel. Demikian pula, kita menemukan semua hal yang tidak diketahui.

Metode lain

Ada beberapa metode lain untuk memperoleh solusi sistem persamaan linear. Misalnya saja yang disebut metode Gauss-Jordan, yang digunakan untuk mencari solusi suatu sistem persamaan kuadrat dan juga dikaitkan dengan penggunaan matriks. Ada juga metode Jacobi untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier. Ini adalah cara termudah untuk beradaptasi dengan komputer dan digunakan dalam komputasi.

Kasus yang kompleks

Kompleksitas biasanya muncul ketika jumlah persamaan lebih kecil dari jumlah variabel. Kemudian kita dapat mengatakan dengan pasti bahwa sistem tersebut tidak konsisten (yaitu tidak memiliki akar), atau jumlah solusinya cenderung tak terhingga. Jika kita mempunyai kasus kedua, maka kita perlu menuliskan solusi umum sistem persamaan linear. Ini akan berisi setidaknya satu variabel.

Kesimpulan

Di sini kita sampai pada akhir. Mari kita rangkum: kita telah mengetahui apa itu sistem dan matriks, dan mempelajari cara menemukan solusi umum sistem persamaan linier. Selain itu, kami mempertimbangkan opsi lain. Kami menemukan cara menyelesaikan sistem persamaan linier: metode Gauss dan membicarakannya kasus-kasus sulit dan cara lain untuk mencari solusi.

Faktanya, topik ini jauh lebih luas, dan jika Anda ingin memahaminya lebih baik, kami sarankan untuk membaca literatur yang lebih khusus.