Cara mencari solusi khusus persamaan diferensial. Menyelesaikan persamaan diferensial orde pertama yang paling sederhana

Itu kalkulator daring memungkinkan Anda menyelesaikan persamaan diferensial secara online. Cukup dengan memasukkan persamaan Anda di bidang yang sesuai, yang menunjukkan turunan fungsi melalui tanda kutip, dan klik tombol "selesaikan persamaan". Dan sistem, yang diimplementasikan berdasarkan situs web WolframAlpha yang populer, akan memberikan rinciannya menyelesaikan persamaan diferensial benar-benar gratis. Anda juga dapat mendefinisikan masalah Cauchy dari keseluruhan himpunan solusi yang memungkinkan pilih hasil bagi yang sesuai dengan kondisi awal yang diberikan. Masalah Cauchy dimasukkan dalam kolom terpisah.

Persamaan diferensial

Secara default, fungsi dalam persamaan kamu adalah fungsi dari variabel X. Namun, Anda dapat menentukan sebutan Anda sendiri untuk variabel tersebut; jika Anda menulis, misalnya, y(t) dalam persamaan, kalkulator akan secara otomatis mengenalinya kamu ada fungsi dari suatu variabel T. Dengan bantuan kalkulator Anda bisa menyelesaikan persamaan diferensial dari segala kompleksitas dan jenis: homogen dan tidak homogen, linier atau nonlinier, orde pertama atau kedua dan orde lebih tinggi, persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan atau tidak dapat dipisahkan, dll. Perbedaan solusi persamaan diberikan dalam bentuk analitis dan memiliki penjelasan rinci. Persamaan diferensial sangat umum dalam fisika dan matematika. Tanpa perhitungannya tidak mungkin menyelesaikan banyak masalah (terutama dalam fisika matematika).

Salah satu tahapan penyelesaian persamaan diferensial adalah pengintegrasian fungsi. Ada metode standar untuk menyelesaikan persamaan diferensial. Persamaan tersebut perlu direduksi menjadi bentuk dengan variabel yang dapat dipisahkan y dan x dan secara terpisah mengintegrasikan fungsi-fungsi yang dipisahkan. Untuk melakukan ini, terkadang perlu dilakukan penggantian tertentu.

I. Persamaan diferensial biasa

1.1. Konsep dasar dan definisi

Persamaan diferensial adalah persamaan yang menghubungkan variabel bebas X, fungsi yang diperlukan kamu dan turunan atau diferensialnya.

Secara simbolis persamaan diferensialnya dituliskan sebagai berikut:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Persamaan diferensial disebut biasa jika fungsi yang diperlukan bergantung pada satu variabel bebas.

Memecahkan persamaan diferensial disebut fungsi yang mengubah persamaan ini menjadi identitas.

Urutan persamaan diferensial adalah orde turunan tertinggi yang termasuk dalam persamaan ini

Contoh.

1. Perhatikan persamaan diferensial orde pertama

Solusi persamaan ini adalah fungsi y = 5 ln x. Memang, menggantikan kamu" ke dalam persamaan, kita mendapatkan identitasnya.

Artinya fungsi y = 5 ln x– merupakan solusi persamaan diferensial tersebut.

2. Perhatikan persamaan diferensial orde kedua kamu" - 5 tahun" +6 tahun = 0. Fungsinya adalah solusi persamaan ini.

Benar-benar, .

Mengganti ekspresi ini ke dalam persamaan, kita memperoleh: , – identitas.

Artinya fungsi tersebut merupakan solusi persamaan diferensial tersebut.

Mengintegrasikan persamaan diferensial adalah proses mencari solusi persamaan diferensial.

Solusi umum persamaan diferensial disebut fungsi formulir , yang mencakup konstanta sembarang independen sebanyak orde persamaannya.

Solusi parsial persamaan diferensial adalah solusi yang diperoleh dari solusi umum untuk berbagai nilai numerik dari konstanta sembarang. Nilai konstanta sembarang ditemukan pada nilai awal tertentu dari argumen dan fungsi.

Grafik penyelesaian tertentu suatu persamaan diferensial disebut kurva integral.

Contoh

1. Temukan solusi khusus persamaan diferensial orde pertama

xdx + ydy = 0, Jika kamu= 4 jam X = 3.

Larutan. Mengintegrasikan kedua sisi persamaan, kita mendapatkan

Komentar. Konstanta sembarang C yang diperoleh sebagai hasil integrasi dapat direpresentasikan dalam bentuk apa pun yang sesuai untuk transformasi lebih lanjut. Dalam hal ini, dengan mempertimbangkan persamaan kanonik sebuah lingkaran, akan lebih mudah untuk menyatakan konstanta sembarang C dalam bentuk .

- solusi umum persamaan diferensial.

Solusi khusus dari persamaan yang memenuhi kondisi awal kamu = 4 jam X = 3 dicari dari persamaan umum dengan mensubstitusikan kondisi awal ke dalam solusi umum: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Mengganti C=5 ke dalam solusi umum, kita peroleh x 2 +kamu 2 = 5 2 .

Ini adalah solusi khusus persamaan diferensial yang diperoleh dari solusi umum pada kondisi awal tertentu.

2. Temukan solusi umum persamaan diferensial

Solusi persamaan ini adalah fungsi apa pun yang berbentuk , dengan C adalah konstanta sembarang. Memang, dengan mensubstitusikan persamaan tersebut, kita memperoleh: , .

Akibatnya, persamaan diferensial ini memiliki jumlah solusi yang tak terhingga, karena untuk nilai konstanta C yang berbeda, persamaan menentukan solusi persamaan yang berbeda.

Misalnya, dengan substitusi langsung Anda dapat memverifikasi fungsinya adalah solusi persamaan tersebut.

Masalah di mana Anda perlu menemukan solusi tertentu untuk persamaan tersebut kamu" = f(x,y) memenuhi kondisi awal kamu(x 0) = kamu 0, disebut masalah Cauchy.

Memecahkan persamaan kamu" = f(x,y), memenuhi kondisi awal, kamu(x 0) = kamu 0, disebut solusi untuk masalah Cauchy.

Penyelesaian masalah Cauchy mempunyai arti geometri yang sederhana. Memang menurut definisi tersebut, untuk memecahkan masalah Cauchy kamu" = f(x,y) mengingat bahwa kamu(x 0) = kamu 0, artinya mencari kurva integral dari persamaan tersebut kamu" = f(x,y) yang melalui suatu titik tertentu M 0 (x 0,kamu 0).

II. Persamaan diferensial orde pertama

2.1. Konsep dasar

Persamaan diferensial orde pertama adalah persamaan bentuk F(x,y,y") = 0.

Persamaan diferensial orde pertama mencakup turunan pertama dan tidak mencakup turunan orde tinggi.

Persamaannya kamu" = f(x,y) disebut persamaan orde pertama yang diselesaikan terhadap turunannya.

Solusi umum persamaan diferensial orde pertama adalah fungsi berbentuk , yang berisi satu konstanta sembarang.

Contoh. Pertimbangkan persamaan diferensial orde pertama.

Solusi persamaan ini adalah fungsinya.

Memang, dengan mengganti persamaan ini dengan nilainya, kita mendapatkan

itu adalah 3x=3x

Oleh karena itu, fungsi tersebut merupakan solusi umum persamaan untuk sembarang konstanta C.

Temukan solusi khusus untuk persamaan ini yang memenuhi kondisi awal kamu(1)=1 Mengganti kondisi awal x = 1, kamu =1 ke dalam solusi umum persamaan tersebut, kita mendapatkan dari mana C=0.

Jadi, kita memperoleh solusi khusus dari solusi umum dengan mensubstitusi nilai yang dihasilkan ke dalam persamaan ini C=0– solusi pribadi.

2.2. Persamaan diferensial dengan variabel yang dapat dipisahkan

Persamaan diferensial dengan variabel yang dapat dipisahkan adalah persamaan yang berbentuk: kamu"=f(x)g(y) atau melalui perbedaan, di mana f(x) Dan g(kamu)– fungsi tertentu.

Untuk itu kamu, yang mana , persamaannya kamu"=f(x)g(y) setara dengan persamaan, di mana variabelnya kamu hanya ada di sisi kiri, dan variabel x hanya ada di sisi kanan. Mereka mengatakan, "dalam Persamaan. kamu"=f(x)g(y Mari kita pisahkan variabelnya."

Persamaan bentuk disebut persamaan variabel terpisah.

Mengintegrasikan kedua sisi persamaan Oleh X, kita mendapatkan G(y) = F(x) + C adalah solusi umum persamaan, di mana G(kamu) Dan F(x)– beberapa antiturunan, masing-masing, dari fungsi dan f(x), C konstanta sewenang-wenang.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan diferensial orde pertama dengan variabel yang dapat dipisahkan

Contoh 1

Selesaikan persamaannya kamu" = xy

Larutan. Turunan dari suatu fungsi kamu" ganti dengan

mari kita pisahkan variabelnya

Mari kita integrasikan kedua sisi persamaan:

Contoh 2

2yy" = 1- 3x 2, Jika kamu 0 = 3 pada x 0 = 1

Ini adalah persamaan variabel terpisah. Bayangkan saja dalam perbedaan. Untuk melakukan ini, kita menulis ulang persamaan ini dalam bentuk Dari sini

Mengintegrasikan kedua sisi persamaan terakhir, kita temukan

Mengganti nilai awal x 0 = 1, kamu 0 = 3 kita akan menemukannya DENGAN 9=1-1+C, yaitu C = 9.

Oleh karena itu, diperlukan integral parsial akan atau

Contoh 3

Tuliskan persamaan kurva yang melalui suatu titik M(2;-3) dan mempunyai garis singgung dengan koefisien sudut

Larutan. Sesuai dengan kondisinya

Ini adalah persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan. Membagi variabelnya, kita mendapatkan:

Mengintegrasikan kedua sisi persamaan, kita mendapatkan:

Dengan menggunakan kondisi awal, x = 2 Dan kamu = - 3 kita akan menemukannya C:

Oleh karena itu, persamaan yang diperlukan memiliki bentuk

2.3. Persamaan diferensial linier orde pertama

Persamaan diferensial linier orde pertama merupakan persamaan bentuk kamu" = f(x)kamu + g(x)

Di mana f(x) Dan g(x)- beberapa fungsi tertentu.

Jika g(x)=0 maka persamaan diferensial linier tersebut disebut homogen dan berbentuk: kamu" = f(x)kamu

Jika maka persamaannya kamu" = f(x)kamu + g(x) disebut heterogen.

Keputusan bersama persamaan diferensial homogen linier kamu" = f(x)kamu diberikan oleh rumus: dimana DENGAN– konstanta sewenang-wenang.

Khususnya, jika C =0, maka solusinya adalah kamu = 0 Jika persamaan linier homogen mempunyai bentuk kamu" = baik Di mana k adalah suatu konstanta, maka solusi umumnya berbentuk: .

Solusi umum persamaan diferensial linier tak homogen kamu" = f(x)kamu + g(x) diberikan oleh rumus ,

itu. sama dengan jumlah solusi umum persamaan linear homogen dan solusi khusus persamaan ini.

Untuk linier tidak persamaan homogen baik kamu" = kx + b,

Di mana k Dan B- beberapa bilangan dan solusi tertentu akan menjadi fungsi konstan. Oleh karena itu, solusi umumnya berbentuk .

Contoh. Selesaikan persamaannya kamu" + 2kamu +3 = 0

Larutan. Mari kita nyatakan persamaannya dalam bentuk kamu" = -2kamu - 3 Di mana k = -2, b= -3 Solusi umum diberikan oleh rumus.

Oleh karena itu, di mana C adalah konstanta sembarang.

2.4. Penyelesaian persamaan diferensial linier orde pertama dengan metode Bernoulli

Mencari Solusi Umum Persamaan Diferensial Linier Orde Pertama kamu" = f(x)kamu + g(x) direduksi menjadi menyelesaikan dua persamaan diferensial dengan variabel terpisah menggunakan substitusi kamu=uv, Di mana kamu Dan ay- fungsi yang tidak diketahui dari X. Metode penyelesaian ini disebut metode Bernoulli.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier orde pertama

kamu" = f(x)kamu + g(x)

1. Masukkan substitusi kamu=uv.

2. Bedakan persamaan ini kamu" = kamu"v + uv"

3. Pengganti kamu Dan kamu" ke dalam persamaan ini: kamu"v + uv" =f(x)uv + g(x) atau kamu"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Kelompokkan suku-suku persamaan tersebut sehingga kamu keluarkan dari tanda kurung:

5. Dari tanda kurung, samakan dengan nol, carilah fungsinya

Ini adalah persamaan yang dapat dipisahkan:

Mari kita bagi variabelnya dan dapatkan:

Di mana . .

6. Gantikan nilai yang dihasilkan ay ke dalam persamaan (dari langkah 4):

dan temukan fungsinya. Ini adalah persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan:

7. Tuliskan penyelesaian umum dalam bentuk: , yaitu .

Contoh 1

Temukan solusi tertentu untuk persamaan tersebut kamu" = -2kamu +3 = 0 Jika kamu=1 pada x = 0

Larutan. Mari kita selesaikan dengan menggunakan substitusi kamu=uv,.kamu" = kamu"v + uv"

Mengganti kamu Dan kamu" ke dalam persamaan ini, kita dapatkan

Dengan mengelompokkan suku kedua dan ketiga di ruas kiri persamaan, kita keluarkan faktor persekutuannya kamu di luar tanda kurung

Kami menyamakan ekspresi dalam tanda kurung dengan nol dan, setelah menyelesaikan persamaan yang dihasilkan, kami menemukan fungsinya v = v(x)

Kami mendapatkan persamaan dengan variabel terpisah. Mari kita integrasikan kedua ruas persamaan ini: Temukan fungsinya ay:

Mari kita gantikan nilai yang dihasilkan ay ke dalam persamaan kita peroleh:

Ini adalah persamaan variabel terpisah. Mari kita integrasikan kedua sisi persamaan: Mari kita cari fungsinya kamu = kamu(x,c) Mari kita cari solusi umum: Mari kita cari solusi khusus dari persamaan yang memenuhi kondisi awal kamu = 1 pada x = 0:

AKU AKU AKU. Persamaan diferensial orde tinggi

3.1. Konsep dasar dan definisi

Persamaan diferensial orde kedua adalah persamaan yang mengandung turunan yang tidak lebih tinggi dari orde kedua. Secara umum, persamaan diferensial orde kedua ditulis sebagai: F(x,y,y",y") = 0

Solusi umum persamaan diferensial orde kedua adalah fungsi berbentuk , yang mencakup dua konstanta sembarang C 1 Dan dari 2.

Solusi khusus persamaan diferensial orde kedua adalah solusi yang diperoleh dari solusi umum untuk nilai konstanta sembarang tertentu C 1 Dan dari 2.

3.2. Persamaan diferensial homogen linier orde kedua dengan koefisien konstan.

Persamaan diferensial homogen linier orde kedua dengan koefisien konstan disebut persamaan bentuk y" + py" +qy = 0, Di mana P Dan Q- nilai konstan.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan diferensial homogen orde dua dengan koefisien konstan

1. Tuliskan persamaan diferensialnya dalam bentuk: y" + py" +qy = 0.

2. Buatlah persamaan karakteristiknya, yang menunjukkan kamu" melalui r 2, kamu" melalui R, kamu dalam 1: r 2 + pr +q = 0

Persamaan diferensial orde pertama. Contoh solusi.
Persamaan diferensial dengan variabel yang dapat dipisahkan

Persamaan diferensial (DE). Dua kata ini biasanya membuat takut kebanyakan orang. Persamaan diferensial nampaknya menjadi sesuatu yang mahal dan sulit dikuasai bagi banyak siswa. Uuuuuu... persamaan diferensial, bagaimana aku bisa bertahan dari semua ini?!

Pendapat dan sikap ini pada dasarnya salah, karena pada kenyataannya PERSAMAAN DIFERENSIAL - SEDERHANA DAN BAHKAN MENYENANGKAN. Apa yang perlu Anda ketahui dan dapat lakukan untuk mempelajari cara menyelesaikan persamaan diferensial? Agar berhasil mempelajari diffuses, Anda harus pandai mengintegrasikan dan membedakan. Semakin baik topik yang dipelajari Turunan dari suatu fungsi dari satu variabel Dan Integral tak tentu, semakin mudah untuk memahami persamaan diferensial. Saya akan mengatakan lebih banyak, jika Anda memiliki keterampilan integrasi yang kurang lebih baik, maka topiknya hampir dikuasai! Semakin banyak integralnya berbagai jenis Anda tahu bagaimana mengambil keputusan - itu lebih baik. Mengapa? Anda harus banyak berintegrasi. Dan bedakan. Juga Sangat disarankan belajar untuk menemukan.

Dalam 95% kasus, kertas ujian berisi 3 jenis persamaan diferensial orde pertama: persamaan yang dapat dipisahkan yang akan kita bahas dalam pelajaran ini; persamaan homogen Dan persamaan linier tidak homogen. Bagi mereka yang mulai mempelajari diffuser, saya menyarankan Anda untuk membaca pelajaran dengan urutan seperti ini, dan setelah mempelajari dua artikel pertama, tidak ada salahnya untuk mengkonsolidasikan keterampilan Anda dalam lokakarya tambahan - persamaan direduksi menjadi homogen.

Ada jenis persamaan diferensial yang lebih jarang lagi: persamaan diferensial total, persamaan Bernoulli dan beberapa lainnya. Yang paling penting dari dua jenis terakhir adalah persamaan diferensial total, karena selain persamaan diferensial ini saya akan mempertimbangkannya materi baru – integrasi parsial.

Jika Anda hanya punya satu atau dua hari tersisa, Itu untuk persiapan ultra-cepat Ada kursus kilat dalam format pdf.

Jadi, landmarknya sudah ditetapkan - ayo:

Pertama, mari kita ingat persamaan aljabar biasa. Mereka berisi variabel dan angka. Contoh paling sederhana: . Apa yang dimaksud dengan menyelesaikan persamaan biasa? Ini berarti menemukan kumpulan angka, yang memenuhi persamaan ini. Sangat mudah untuk melihat bahwa persamaan anak-anak memiliki akar tunggal: . Sekadar iseng, mari kita periksa dan gantikan akar yang ditemukan ke dalam persamaan kita:

– persamaan yang benar diperoleh, yang berarti solusi ditemukan dengan benar.

Diffusernya dirancang dengan cara yang hampir sama!

Persamaan diferensial pesanan pertama secara umum mengandung:
1) variabel bebas;
2) variabel terikat (fungsi);
3) turunan pertama fungsi: .

Pada beberapa persamaan orde 1 mungkin tidak ada “x” dan/atau “y”, namun hal ini tidak signifikan - penting untuk pergi ke ruang kontrol dulu turunan pertama, dan tidak memiliki turunan dari orde yang lebih tinggi – , dll.

Apa artinya? Memecahkan persamaan diferensial berarti menemukan kumpulan semua fungsi, yang memenuhi persamaan ini. Himpunan fungsi seperti itu sering kali berbentuk (– konstanta sembarang), yang disebut solusi umum persamaan diferensial.

Contoh 1

Selesaikan persamaan diferensial

Amunisi penuh. Di mana untuk memulai larutan?

Pertama-tama, Anda perlu menulis ulang turunannya dalam bentuk yang sedikit berbeda. Kami ingat sebutan rumit yang mungkin tampak konyol dan tidak perlu bagi banyak dari Anda. Inilah yang menjadi aturan dalam diffuser!

Pada langkah kedua, mari kita lihat apakah itu mungkin variabel terpisah? Apa yang dimaksud dengan memisahkan variabel? Secara kasar, di sisi kiri kita harus pergi hanya "Yunani", A di sisi kanan mengatur hanya "X". Pembagian variabel dilakukan dengan menggunakan manipulasi “sekolah”: mengeluarkannya dari tanda kurung, memindahkan suku dari bagian ke bagian dengan perubahan tanda, memindahkan faktor dari bagian ke bagian sesuai dengan aturan proporsi, dll.

Diferensial dan merupakan pengganda penuh dan peserta aktif dalam permusuhan. Dalam contoh yang sedang dipertimbangkan, variabel-variabel mudah dipisahkan dengan membuang faktor-faktornya menurut aturan proporsi:

Variabel dipisahkan. Di sisi kiri hanya ada “Y”, di sisi kanan – hanya “X”.

Tahap selanjutnya - integrasi persamaan diferensial. Sederhana saja, kita letakkan integral di kedua ruas:

Tentu saja kita perlu mengambil integral. Dalam hal ini mereka berbentuk tabel:

Seperti yang kita ingat, sebuah konstanta diberikan pada antiturunan apa pun. Ada dua integral di sini, tetapi konstanta cukup ditulis satu kali (karena konstanta + konstanta masih sama dengan konstanta lainnya). Dalam kebanyakan kasus, itu ditempatkan di sisi kanan.

Sebenarnya, setelah integral diambil, persamaan diferensial dianggap terselesaikan. Satu-satunya hal adalah bahwa "y" kita tidak diungkapkan melalui "x", yaitu solusi yang disajikan secara implisit membentuk. Penyelesaian persamaan diferensial dalam bentuk implisit disebut integral umum persamaan diferensial. Artinya, ini merupakan integral umum.

Jawaban dalam bentuk ini cukup bisa diterima, tapi adakah pilihan yang lebih baik? Mari kita coba untuk mendapatkannya keputusan bersama.

Silakan, ingat teknik pertama, ini sangat umum dan sering digunakan dalam tugas-tugas praktis: jika logaritma muncul di sisi kanan setelah integrasi, maka dalam banyak kasus (tetapi tidak selalu!) disarankan juga untuk menulis konstanta di bawah logaritma.

Itu adalah, ALIH-ALIH entri biasanya ditulis .

Mengapa hal ini perlu? Dan agar lebih mudah dalam mengekspresikan “permainan”. Menggunakan properti logaritma . Pada kasus ini:

Sekarang logaritma dan modul dapat dihapus:

Fungsi tersebut disajikan secara eksplisit. Ini adalah solusi umum.

Menjawab: keputusan bersama: .

Jawaban atas banyak persamaan diferensial cukup mudah untuk diperiksa. Dalam kasus kami, ini dilakukan dengan cukup sederhana, kami mengambil solusi yang ditemukan dan membedakannya:

Kemudian kita substitusikan turunannya ke persamaan awal:

– diperoleh persamaan yang benar, yang berarti bahwa solusi umum memenuhi persamaan tersebut, yang perlu diperiksa.

Memberikan konstanta arti yang berbeda, Anda bisa mendapatkan banyak sekali solusi pribadi persamaan diferensial. Jelas bahwa salah satu fungsi , , dll. memenuhi persamaan diferensial.

Terkadang solusi umum disebut keluarga fungsi. DI DALAM dalam contoh ini keputusan bersama - ini adalah keluarga fungsi linier, atau lebih tepatnya, keluarga berbanding lurus.

Setelah meninjau contoh pertama secara menyeluruh, adalah tepat untuk menjawab beberapa pertanyaan naif tentang persamaan diferensial:

1)Dalam contoh ini, kami dapat memisahkan variabel. Bisakah ini selalu dilakukan? Tidak, tidak selalu. Dan yang lebih sering lagi, variabel tidak dapat dipisahkan. Misalnya, di persamaan orde satu yang homogen, Anda harus menggantinya terlebih dahulu. Pada jenis persamaan lain, misalnya persamaan linier tak homogen orde pertama, Anda perlu menggunakan berbagai teknik dan metode untuk mencari solusi umum. Persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan, yang kita bahas pada pelajaran pertama, adalah jenis persamaan diferensial yang paling sederhana.

2) Apakah selalu mungkin untuk mengintegrasikan persamaan diferensial? Tidak, tidak selalu. Sangat mudah untuk menghasilkan persamaan “mewah” yang tidak dapat diintegrasikan; selain itu, ada integral yang tidak dapat diambil. Tetapi DE semacam itu dapat diselesaikan dengan menggunakan metode khusus. D'Alembert dan Cauchy jamin... ...ugh, lurkmore. Aku baru saja banyak membaca, aku hampir menambahkan "dari dunia lain".

3) Dalam contoh ini, kami memperoleh solusi dalam bentuk integral umum . Apakah selalu mungkin untuk menemukan solusi umum dari integral umum, yaitu menyatakan “y” secara eksplisit? Tidak, tidak selalu. Misalnya: . Nah, bagaimana Anda bisa mengekspresikan “Yunani” di sini?! Dalam kasus seperti ini, jawabannya harus ditulis sebagai integral umum. Selain itu, kadang-kadang solusi umum dapat ditemukan, tetapi ditulis dengan sangat rumit dan kikuk sehingga lebih baik membiarkan jawabannya dalam bentuk integral umum.

4) ...mungkin itu cukup untuk saat ini. Pada contoh pertama yang kita temui Yang lainnya poin penting , tetapi agar tidak menutupi "boneka" dengan banyak informasi baru, saya akan membiarkannya sampai pelajaran berikutnya.

Kami tidak akan terburu-buru. Remote control sederhana lainnya dan solusi khas lainnya:

Contoh 2

Temukan solusi khusus persamaan diferensial yang memenuhi kondisi awal

Larutan: sesuai dengan kondisi yang perlu dicari solusi pribadi DE yang memenuhi kondisi awal tertentu. Rumusan pertanyaan seperti ini disebut juga Masalah Cauchy.

Pertama kita menemukan solusi umum. Tidak ada variabel “x” dalam persamaan tersebut, tetapi hal ini tidak membingungkan, yang utama adalah persamaan tersebut memiliki turunan pertama.

Kami menulis ulang turunannya menjadi dalam bentuk yang tepat:

Tentunya variabelnya bisa dipisahkan, laki-laki ke kiri, perempuan ke kanan:

Mari kita integrasikan persamaannya:

Integral umum diperoleh. Di sini saya telah menggambar sebuah konstanta dengan tanda bintang, faktanya akan segera berubah menjadi konstanta lain.

Sekarang kita mencoba mengubah integral umum menjadi solusi umum (nyatakan “y” secara eksplisit). Mari kita mengingat hal-hal baik dari sekolah: . Pada kasus ini:

Konstanta dalam indikator terlihat tidak halal, sehingga biasanya diturunkan ke bumi. Secara detail, beginilah kejadiannya. Dengan menggunakan properti derajat, kita menulis ulang fungsinya sebagai berikut:

Jika suatu konstanta, maka juga suatu konstanta, mari kita desain ulang dengan huruf :

Ingatlah untuk "menghancurkan" sebuah konstanta teknik kedua, yang sering digunakan saat menyelesaikan persamaan diferensial.

Jadi, solusi umumnya adalah: . Ini adalah rangkaian fungsi eksponensial yang bagus.

Pada tahap akhir, Anda perlu mencari solusi tertentu yang memenuhi kondisi awal yang diberikan. Ini juga sederhana.

Apa tugasnya? Perlu mengambil seperti nilai konstanta sehingga kondisinya terpenuhi.

Ini dapat diformat dengan cara yang berbeda, tetapi ini mungkin cara yang paling jelas. Dalam solusi umum, alih-alih “X” kita substitusikan angka nol, dan alih-alih “Y” kita substitusikan dua:

Itu adalah,

Versi desain standar:

Sekarang kita substitusikan nilai konstanta yang ditemukan ke dalam solusi umum:
– ini adalah solusi khusus yang kami butuhkan.

Menjawab: solusi pribadi:

Mari kita periksa. Memeriksa solusi pribadi mencakup dua tahap:

Pertama, Anda perlu memeriksa apakah solusi tertentu yang ditemukan benar-benar memenuhi kondisi awal? Alih-alih “X” kita gantikan nol dan lihat apa yang terjadi:
– ya, memang mendapat dua, artinya syarat awal terpenuhi.

Tahap kedua sudah tidak asing lagi. Kami mengambil solusi khusus yang dihasilkan dan menemukan turunannya:

Kami substitusikan ke persamaan asli:

– kesetaraan yang benar diperoleh.

Kesimpulan: solusi tertentu ditemukan dengan benar.

Mari beralih ke contoh yang lebih bermakna.

Contoh 3

Selesaikan persamaan diferensial

Larutan: Kami menulis ulang turunannya dalam bentuk yang kami butuhkan:

Kami mengevaluasi apakah mungkin untuk memisahkan variabel? Bisa. Suku kedua kita pindahkan ke ruas kanan dengan perubahan tanda:

Dan kami mentransfer penggandanya sesuai dengan aturan proporsi:

Variabelnya dipisahkan, mari kita integrasikan kedua bagiannya:

Saya harus memperingatkan Anda, hari penghakiman sudah dekat. Jika Anda belum belajar dengan baik integral tak tentu, telah memecahkan beberapa contoh, maka tidak ada tujuan lagi - Anda harus menguasainya sekarang.

Integral ruas kiri mudah ditemukan; kita menangani integral kotangen menggunakan teknik standar yang kita bahas dalam pelajaran Mengintegrasikan fungsi trigonometri tahun lalu:

Di sisi kanan kita memiliki logaritma, dan menurut rekomendasi teknis pertama saya, konstanta juga harus ditulis di bawah logaritma.

Sekarang kita coba menyederhanakan integral umum. Karena kita hanya memiliki logaritma, sangat mungkin (dan perlu) untuk menghilangkannya. Dengan menggunakan properti yang diketahui Kami “mengemas” logaritma sebanyak mungkin. Saya akan menuliskannya dengan sangat rinci:

Kemasannya sudah jadi compang-camping secara biadab:

Apakah mungkin untuk mengekspresikan “permainan”? Bisa. Kedua bagian harus dikuadratkan.

Tapi Anda tidak perlu melakukan ini.

Tip teknis ketiga: jika untuk mendapatkan solusi umum perlu dipangkatkan atau berakar, maka Umumnya Anda sebaiknya menahan diri dari tindakan ini dan membiarkan jawabannya dalam bentuk integral umum. Faktanya adalah bahwa solusi umum akan terlihat sangat buruk - dengan akar besar, tanda-tanda dan sampah lainnya.

Oleh karena itu, jawabannya kami tuliskan dalam bentuk integral umum. Merupakan praktik yang baik untuk menyajikannya dalam bentuk , yaitu, di sisi kanan, jika memungkinkan, sisakan hanya sebuah konstanta. Hal ini tidak perlu dilakukan, tetapi menyenangkan profesor selalu bermanfaat ;-)

Menjawab: integral umum:

! Catatan: Integral umum persamaan apa pun dapat ditulis dengan lebih dari satu cara. Jadi, jika hasil Anda tidak sesuai dengan jawaban yang diketahui sebelumnya, bukan berarti Anda salah menyelesaikan persamaan.

Integral umum juga cukup mudah untuk diperiksa, yang penting bisa dicari turunan dari suatu fungsi yang ditentukan secara implisit. Mari kita bedakan jawabannya:

Kami mengalikan kedua suku dengan:

Dan bagi dengan:

Persamaan diferensial awal telah diperoleh secara eksak, artinya integral umum telah ditemukan dengan benar.

Contoh 4

Temukan solusi khusus persamaan diferensial yang memenuhi kondisi awal. Lakukan pemeriksaan.

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri.

Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa algoritma ini terdiri dari dua tahap:
1) mencari solusi umum;
2) menemukan solusi khusus yang diperlukan.

Pengecekan juga dilakukan dalam dua langkah (lihat contoh pada Contoh No. 2), Anda perlu:
1) memastikan bahwa solusi khusus yang ditemukan memenuhi kondisi awal;
2) periksa apakah solusi tertentu secara umum memenuhi persamaan diferensial.

Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.

Contoh 5

Temukan solusi khusus untuk persamaan diferensial , memenuhi kondisi awal. Lakukan pemeriksaan.

Larutan: Pertama, mari kita cari solusi umum. Persamaan ini sudah berisi diferensial yang sudah jadi dan oleh karena itu, solusinya disederhanakan. Kami memisahkan variabel:

Mari kita integrasikan persamaannya:

Integral di sebelah kiri adalah tabel, integral di sebelah kanan diambil metode menjumlahkan suatu fungsi di bawah tanda diferensial:

Integral umum telah diperoleh; apakah mungkin untuk berhasil menyatakan solusi umum? Bisa. Kami menggantung logaritma di kedua sisi. Karena positif, tanda modulus tidak diperlukan:

(Saya harap semua orang memahami transformasinya, hal-hal seperti itu seharusnya sudah diketahui)

Jadi, solusi umumnya adalah:

Mari kita cari solusi tertentu yang sesuai dengan kondisi awal yang diberikan.
Dalam solusi umum, alih-alih “X” kita substitusikan nol, dan alih-alih “Y” kita substitusikan logaritma dua:

Desain yang lebih familiar:

Kami mengganti nilai konstanta yang ditemukan ke dalam solusi umum.

Menjawab: solusi pribadi:

Periksa: Pertama, mari kita periksa apakah kondisi awal terpenuhi:
- semuanya baik.

Sekarang mari kita periksa apakah solusi tertentu yang ditemukan memenuhi persamaan diferensial. Menemukan turunannya:

Mari kita lihat persamaan aslinya: – disajikan dalam perbedaan. Ada dua cara untuk memeriksanya. Perbedaan dari turunan yang ditemukan dapat dinyatakan:

Mari kita substitusikan solusi partikular yang ditemukan dan diferensial yang dihasilkan ke dalam persamaan aslinya :

Kami menggunakan identitas logaritma dasar:

Persamaan yang benar diperoleh, artinya solusi partikular ditemukan dengan benar.

Metode pemeriksaan kedua dicerminkan dan lebih familiar: dari persamaan Mari kita nyatakan turunannya, untuk melakukan ini kita membagi semua bagiannya dengan:

Dan ke dalam DE yang ditransformasikan kita substitusikan solusi parsial yang diperoleh dan turunan yang ditemukan. Sebagai hasil penyederhanaan, persamaan yang benar juga harus diperoleh.

Contoh 6

Selesaikan persamaan diferensial. Sajikan jawabannya dalam bentuk integral umum.

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri, solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.

Kesulitan apa yang menanti ketika menyelesaikan persamaan diferensial dengan variabel yang dapat dipisahkan?

1) Tidak selalu jelas (terutama bagi “teko”) bahwa variabel dapat dipisahkan. Mari kita pertimbangkan contoh bersyarat: . Di sini Anda perlu mengeluarkan faktor-faktor dari tanda kurung: dan memisahkan akar-akarnya: . Sudah jelas apa yang harus dilakukan selanjutnya.

2) Kesulitan dalam integrasi itu sendiri. Integral seringkali bukan yang paling sederhana, dan jika ada kekurangan dalam keterampilan mencarinya integral tak tentu, maka akan sulit dengan banyak diffuser. Selain itu, logika “karena persamaan diferensialnya sederhana, setidaknya biarkan integralnya menjadi lebih rumit” sangat populer di kalangan penyusun koleksi dan manual pelatihan.

3) Transformasi dengan konstanta. Seperti yang diketahui semua orang, konstanta dalam persamaan diferensial dapat ditangani dengan cukup bebas, dan beberapa transformasi tidak selalu jelas bagi pemula. Mari kita lihat contoh kondisional lainnya: . Dianjurkan untuk mengalikan semua suku dengan 2: . Konstanta yang dihasilkan juga merupakan suatu konstanta, yang dapat dilambangkan dengan: . Ya, dan karena ada logaritma di ruas kanan, maka disarankan untuk menulis ulang konstanta tersebut dalam bentuk konstanta lain: .

Masalahnya adalah mereka sering tidak peduli dengan indeks dan menggunakan huruf yang sama. Hasilnya, catatan keputusan mengambil bentuk berikut:

Ajaran sesat yang seperti apa? Ada kesalahan di sana! Sebenarnya, ya. Namun secara substantif tidak ada kesalahan, karena dari transformasi konstanta variabel tetap diperoleh konstanta variabel.

Atau contoh lain, misalkan dalam penyelesaian persamaan diperoleh integral umum. Jawaban ini terlihat jelek, jadi disarankan untuk mengubah tanda setiap suku: . Secara formal, ada kesalahan lain di sini - ini harus ditulis di sebelah kanan. Namun secara informal tersirat bahwa “minus ce” masih konstan ( yang bisa dengan mudah mempunyai arti apa pun!), jadi memberi tanda “minus” tidak masuk akal dan Anda bisa menggunakan huruf yang sama.

Saya akan mencoba menghindari pendekatan yang ceroboh, dan tetap menetapkan indeks yang berbeda ke konstanta saat mengonversinya.

Contoh 7

Selesaikan persamaan diferensial. Lakukan pemeriksaan.

Larutan: Persamaan ini memungkinkan pemisahan variabel. Kami memisahkan variabel:

Mari berintegrasi:

Konstanta di sini tidak perlu didefinisikan sebagai logaritma, karena tidak ada manfaatnya.

Menjawab: integral umum:

Periksa: Bedakan jawabannya ( fungsi implisit):

Kita menghilangkan pecahan dengan mengalikan kedua suku dengan:

Persamaan diferensial awal telah diperoleh yang berarti integral umum telah ditemukan dengan benar.

Contoh 8

Temukan solusi khusus dari DE.
,

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Satu-satunya petunjuk adalah bahwa di sini Anda akan mendapatkan integral umum, dan, lebih tepatnya, Anda perlu berusaha untuk menemukan bukan solusi tertentu, tetapi integral parsial. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.

Persamaan diferensial adalah persamaan yang melibatkan suatu fungsi dan satu atau lebih turunannya. Dalam sebagian besar permasalahan praktis, fungsi merepresentasikan besaran fisika, turunan menyatakan laju perubahan besaran tersebut, dan persamaan menentukan hubungan di antara keduanya.

Artikel ini membahas tentang metode penyelesaian beberapa jenis persamaan diferensial biasa yang penyelesaiannya dapat dituliskan dalam bentuk fungsi dasar, yaitu polinomial, eksponensial, logaritma, dan trigonometri, serta fungsi inversnya. Banyak dari persamaan ini muncul di kehidupan nyata, meskipun sebagian besar persamaan diferensial lainnya tidak dapat diselesaikan dengan metode ini, dan jawabannya ditulis dalam bentuk fungsi khusus atau deret pangkat, atau ditemukan dengan metode numerik.

Untuk memahami artikel ini, Anda harus mahir dalam kalkulus diferensial dan integral, serta memiliki pemahaman tentang turunan parsial. Disarankan juga untuk mengetahui dasar-dasar aljabar linier yang diterapkan pada persamaan diferensial, khususnya persamaan diferensial orde dua, meskipun pengetahuan tentang kalkulus diferensial dan integral sudah cukup untuk menyelesaikannya.

Informasi awal

Persamaan diferensial memiliki klasifikasi yang luas. Artikel ini membahas tentang persamaan diferensial biasa, yaitu tentang persamaan yang memuat fungsi suatu variabel dan turunannya. Persamaan diferensial biasa jauh lebih mudah dipahami dan diselesaikan dibandingkan persamaan diferensial biasa persamaan diferensial parsial, yang mencakup fungsi beberapa variabel. Artikel ini tidak membahas persamaan diferensial parsial, karena metode penyelesaian persamaan tersebut biasanya ditentukan oleh bentuk khususnya.
- Di bawah ini adalah beberapa contoh persamaan diferensial biasa.
  - d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
  - d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
- Di bawah ini adalah beberapa contoh persamaan diferensial parsial.
  - ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2 )f)(\sebagian y^(2)))=0)
  - ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
Memesan suatu persamaan diferensial ditentukan oleh orde turunan tertinggi yang termasuk dalam persamaan tersebut. Persamaan diferensial biasa pertama di atas berorde satu, sedangkan persamaan diferensial kedua berorde kedua. Derajat persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi yang menaikkan salah satu suku persamaan tersebut.
- Misalnya persamaan di bawah ini adalah persamaan orde ketiga dan derajat kedua.
  - (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ kanan)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
Persamaan diferensialnya adalah persamaan diferensial linier jika fungsi dan semua turunannya berada pada derajat pertama. Kalau tidak, persamaannya adalah persamaan diferensial nonlinier. Persamaan diferensial linier luar biasa karena solusinya dapat digunakan untuk membentuk kombinasi linier yang juga akan menjadi solusi persamaan yang diberikan.
- Di bawah ini adalah beberapa contoh persamaan diferensial linier.
- Di bawah ini adalah beberapa contoh persamaan diferensial nonlinier. Persamaan pertama adalah nonlinier karena suku sinusnya.
  - d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
  - d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \kiri((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\kanan)^(2)+tx^(2)=0)
Keputusan bersama persamaan diferensial biasa tidak unik, melainkan mencakup konstanta integrasi sewenang-wenang. Dalam kebanyakan kasus, jumlah konstanta sembarang sama dengan orde persamaan. Dalam prakteknya, nilai konstanta ini ditentukan berdasarkan yang diberikan kondisi awal, yaitu menurut nilai fungsi dan turunannya di x = 0. (\gaya tampilan x=0.) Banyaknya kondisi awal yang perlu dicari solusi pribadi persamaan diferensial, dalam banyak kasus juga sama dengan orde persamaan yang diberikan.
- Misalnya, artikel ini akan membahas penyelesaian persamaan di bawah ini. Ini adalah persamaan diferensial linier orde dua. Solusi umumnya mengandung dua konstanta sembarang. Untuk mencari konstanta tersebut perlu diketahui kondisi awal pada x (0) (\gaya tampilan x(0)) Dan x′ (0) . (\gaya tampilan x"(0).) Biasanya kondisi awal ditentukan pada titik tersebut x = 0 , (\gaya tampilan x=0,), meskipun hal ini tidak perlu. Artikel ini juga akan membahas cara mencari solusi khusus untuk kondisi awal tertentu.
  - d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2 )x=0)
  - x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

Langkah

Bagian 1

Persamaan orde pertama

Saat menggunakan layanan ini, beberapa informasi mungkin ditransfer ke YouTube.

Persamaan linier orde pertama. DI DALAM bagian ini metode penyelesaian persamaan diferensial linier orde pertama dalam kasus umum dan kasus khusus ketika beberapa suku sama dengan nol dipertimbangkan. Mari kita berpura-pura seperti itu y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) p (x) (\gaya tampilan p(x)) Dan q (x) (\gaya tampilan q(x)) adalah fungsi X. (\gaya tampilan x.)
D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x ))
P (x) = 0. (\gaya tampilan p(x)=0.) Menurut salah satu teorema utama analisis matematis, integral turunan suatu fungsi juga merupakan fungsi. Jadi, cukup dengan mengintegrasikan persamaan tersebut untuk menemukan solusinya. Perlu diingat bahwa ketika menghitung integral tak tentu, konstanta sembarang muncul.
- y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)
Q (x) = 0. (\displaystyle q(x)=0.) Kami menggunakan metode ini pemisahan variabel. Dalam hal ini, berbagai variabel ditransfer ke sisi yang berbeda persamaan Misalnya, Anda dapat memindahkan semua anggota dari y (\gaya tampilan y) menjadi satu, dan semua anggota dengan x (\gaya tampilan x) ke sisi lain persamaan. Anggota juga dapat ditransfer d x (\displaystyle (\mathrm (d) )x) Dan d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), yang termasuk dalam ekspresi turunan, namun harus diingat bahwa ini adil simbol, yang berguna saat membedakan fungsi yang kompleks. Pembahasan para anggota inilah yang disebut perbedaan, berada di luar cakupan artikel ini.
- Pertama, Anda perlu memindahkan variabel ke sisi berlawanan dari tanda sama dengan.
  - 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
- Mari kita integrasikan kedua sisi persamaan. Setelah integrasi, konstanta sembarang akan muncul di kedua sisi, yang dapat dipindahkan ke sisi kanan persamaan.
  - ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
  - y (x) = e − ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
- Contoh 1.1. Pada langkah terakhir kami menggunakan aturan tersebut e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b)) dan diganti e C (\gaya tampilan e^(C)) pada C (\gaya tampilan C), karena ini juga merupakan konstanta integrasi sembarang.
  - d y d x − 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
  - 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = − cos ⁡ x + C ln ⁡ y = − 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e − 2 cos ⁡ x (\displaystyle (\begin(sejajar )(\frac (1)(2y))(\mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(sejajar)))
P (x) ≠ 0 , q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.) Untuk menemukan solusi umum yang kami perkenalkan faktor pengintegrasian sebagai fungsi dari x (\gaya tampilan x) untuk mereduksi ruas kiri menjadi turunan persekutuan dan menyelesaikan persamaannya.
- Kalikan kedua ruasnya dengan μ (x) (\displaystyle \mu (x))
  - μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
- Untuk mereduksi ruas kiri menjadi turunan umum, harus dilakukan transformasi berikut:
  - d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
- Persamaan terakhir berarti itu d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). Ini adalah faktor pengintegrasian yang cukup untuk menyelesaikan persamaan linier orde pertama. Sekarang kita dapat memperoleh rumus untuk menyelesaikan persamaan ini μ , (\displaystyle \mu ,) meskipun berguna untuk pelatihan untuk melakukan semua perhitungan perantara.
  - μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
- Contoh 1.2. Contoh ini menunjukkan cara mencari solusi tertentu dari persamaan diferensial dengan kondisi awal tertentu.
  - t d y d t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\kuadrat y(2)=3)
  - d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
  - μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
  - d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(aligned)(\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(sejajar)))
  - 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
  - y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
Menyelesaikan persamaan linier orde pertama (dicatat oleh Intuit - Universitas Terbuka Nasional).
Persamaan orde pertama nonlinier. Bagian ini membahas metode penyelesaian beberapa persamaan diferensial nonlinier orde pertama. Meskipun tidak ada metode umum untuk menyelesaikan persamaan tersebut, beberapa persamaan dapat diselesaikan menggunakan metode di bawah ini.
D y d x = f (x , y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
d y d x = h (x) g (y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).) Jika fungsinya f (x , y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y)) dapat dibagi menjadi fungsi-fungsi dari satu variabel, persamaan seperti itu disebut persamaan diferensial dengan variabel yang dapat dipisahkan. Dalam hal ini, Anda dapat menggunakan metode di atas:
- ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )X)
- Contoh 1.3.
  - d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4)))))
  - ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\displaystyle (\ mulai(sejajar)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(sejajar)))
D kamu d x = g (x , y) h (x , y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).) Mari kita berpura-pura seperti itu g (x , y) (\gaya tampilan g(x,y)) Dan h (x , y) (\displaystyle h(x,y)) adalah fungsi x (\gaya tampilan x) Dan kamu. (\gaya tampilan y.) Kemudian persamaan diferensial homogen adalah persamaan di mana g (\gaya tampilan g) Dan h (\gaya tampilan h) adalah fungsi homogen pada tingkat yang sama. Artinya, fungsinya harus memenuhi syarat g (α x , α y) = α k g (x , y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),) Di mana k (\gaya tampilan k) disebut derajat homogenitas. Persamaan diferensial homogen apa pun dapat digunakan dengan cara yang sesuai substitusi variabel (v = y / x (\displaystyle v=y/x) atau v = x / y (\displaystyle v=x/y)) ubah menjadi persamaan yang dapat dipisahkan.
- Contoh 1.4. Deskripsi homogenitas di atas mungkin tampak tidak jelas. Mari kita lihat konsep ini dengan sebuah contoh.
  - d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
  - Untuk memulainya, perlu dicatat bahwa persamaan ini tidak linier terhadap kamu. (\gaya tampilan y.) Kita juga melihat bahwa dalam kasus ini tidak mungkin memisahkan variabel. Pada saat yang sama, persamaan diferensial ini homogen, karena pembilang dan penyebutnya homogen dengan pangkat 3. Oleh karena itu, kita dapat melakukan perubahan variabel v = kamu/x. (\gaya tampilan v=y/x.)
  - d y d x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
  - y = v x , d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
  - d v d x x = − 1 v 2 . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).) Hasilnya, kita mempunyai persamaan untuk v (\gaya tampilan v) dengan variabel yang dapat dipisahkan.
  - v (x) = − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
  - y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
D kamu d x = p (x) kamu + q (x) kamu n . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).) Ini Persamaan diferensial Bernoulli- jenis persamaan nonlinier khusus derajat pertama, yang penyelesaiannya dapat ditulis menggunakan fungsi dasar.
- Kalikan kedua ruas persamaan dengan (1 − n) y − n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
  - (1 − n) y − n d y d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
- Kami menggunakan aturan untuk membedakan fungsi kompleks di ruas kiri dan mengubah persamaannya menjadi persamaan linier relatif y 1 − n , (\displaystyle y^(1-n),) yang dapat diselesaikan dengan menggunakan metode di atas.
  - d y 1 − n d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
M (x , y) + N (x , y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0.) Ini persamaan dalam diferensial total. Penting untuk menemukan apa yang disebut fungsi potensial φ (x , y) , (\displaystyle \varphi (x,y),), yang memenuhi kondisi d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)
- Untuk memenuhi syarat tersebut maka perlu adanya turunan total. Turunan total memperhitungkan ketergantungan pada variabel lain. Untuk menghitung total turunan φ (\displaystyle \varphi ) Oleh x , (\gaya tampilan x,) kami berasumsi itu y (\gaya tampilan y) mungkin juga bergantung pada X. (\gaya tampilan x.)
  - d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))+(\frac (\partial \varphi )(\partial y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
- Membandingkan istilah memberi kita M (x , y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))) Dan N (x, y) = ∂ φ ∂ y. (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y)).) Ini adalah hasil tipikal untuk persamaan beberapa variabel, yang mana turunan campuran dari fungsi halus adalah sama satu sama lain. Terkadang kasus ini disebut teorema Clairaut. Dalam hal ini, persamaan diferensial tersebut merupakan persamaan diferensial total jika syarat berikut terpenuhi:
  - ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\partial N)(\partial x)))
- Cara menyelesaikan persamaan diferensial total mirip dengan mencari fungsi potensial dengan adanya beberapa turunan, yang akan kita bahas secara singkat. Pertama mari kita berintegrasi M (\gaya tampilan M) Oleh X. (\gaya tampilan x.) Karena M (\gaya tampilan M) adalah fungsi dan x (\gaya tampilan x), Dan y , (\gaya tampilan y,) setelah integrasi kita mendapatkan fungsi yang tidak lengkap φ , (\displaystyle \varphi ,) ditunjuk sebagai φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi ))). Hasilnya juga tergantung y (\gaya tampilan y) konstanta integrasi.
  - φ (x , y) = ∫ M (x , y) d x = φ ~ (x , y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (d) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
- Setelah ini, untuk mendapatkan c (y) (\gaya tampilan c(y)) kita dapat mengambil turunan parsial dari fungsi yang dihasilkan terhadap y , (\gaya tampilan y,) menyamakan hasilnya N (x , y) (\displaystyle N(x,y)) dan mengintegrasikan. Anda juga dapat melakukan integrasi terlebih dahulu N (\gaya tampilan N), lalu ambil turunan parsial terhadap x (\gaya tampilan x), yang memungkinkan Anda menemukan fungsi arbitrer d(x). (\gaya tampilan d(x).) Kedua metode ini cocok, dan biasanya fungsi yang lebih sederhana dipilih untuk integrasi.
  - N (x , y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y))=(\frac (\ parsial (\tilde (\varphi )))(\partial y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
- Contoh 1.5. Anda dapat mengambil turunan parsial dan melihat bahwa persamaan di bawah ini merupakan persamaan diferensial total.
  - 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
  - φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x , y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(aligned)\varphi &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\partial \varphi )(\partial y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(sejajar)))
  - d c d y = 0 , c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
  - x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
- Jika persamaan diferensial bukan persamaan diferensial total, dalam beberapa kasus Anda dapat menemukan faktor pengintegrasi yang memungkinkan Anda mengubahnya menjadi persamaan diferensial total. Namun, persamaan seperti itu jarang digunakan dalam praktik, dan meskipun merupakan faktor pengintegrasi ada, kebetulan menemukannya tidak mudah, oleh karena itu persamaan ini tidak dibahas dalam artikel ini.

Bagian 2

Persamaan orde kedua

Persamaan diferensial linier homogen dengan koefisien konstan. Persamaan ini banyak digunakan dalam praktik, sehingga penyelesaiannya merupakan hal yang sangat penting. Dalam hal ini, kita tidak berbicara tentang fungsi homogen, tetapi tentang fakta bahwa ada 0 di sisi kanan persamaan heterogen persamaan diferensial. Di bawah a (\gaya tampilan a) Dan b (\gaya tampilan b) adalah konstanta.
D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+oleh=0)
Persamaan karakteristik. Persamaan diferensial ini luar biasa karena dapat diselesaikan dengan sangat mudah jika Anda memperhatikan sifat-sifat apa yang seharusnya dimiliki oleh penyelesaiannya. Dari persamaan tersebut jelas bahwa y (\gaya tampilan y) dan turunannya sebanding satu sama lain. Dari contoh sebelumnya, yang telah dibahas pada bagian persamaan orde pertama, kita mengetahui bahwa hanya fungsi eksponensial yang memiliki sifat ini. Oleh karena itu, dimungkinkan untuk dikemukakan ansatz(tebakan yang cerdas) tentang solusi persamaan yang diberikan.
- Solusinya akan berbentuk fungsi eksponensial e r x , (\displaystyle e^(rx),) Di mana r (\gaya tampilan r) adalah konstanta yang nilainya harus dicari. Substitusikan fungsi ini ke dalam persamaan dan dapatkan ekspresi berikut
  - e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
- Persamaan ini menunjukkan bahwa hasil kali fungsi eksponensial dan polinomial harus sama dengan nol. Diketahui bahwa eksponen tidak boleh sama dengan nol untuk nilai derajat apa pun. Dari sini kita menyimpulkan bahwa polinomialnya sama dengan nol. Jadi, kita telah mereduksi masalah penyelesaian persamaan diferensial menjadi masalah yang lebih sederhana yaitu penyelesaian persamaan aljabar, yang disebut persamaan karakteristik untuk persamaan diferensial tertentu.
  - r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
  - r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
- Kami mendapat dua akar. Karena persamaan diferensial ini linier, maka solusi umumnya adalah kombinasi linier dari solusi parsial. Karena ini adalah persamaan orde kedua, kita tahu bahwa ini adalah persamaan orde dua Sungguh solusi umum, dan tidak ada yang lain. Pembenaran yang lebih ketat untuk hal ini terletak pada teorema tentang keberadaan dan keunikan suatu solusi, yang dapat ditemukan di buku teks.
- Cara yang berguna untuk memeriksa apakah dua solusi bebas linier adalah dengan menghitung salah. Vronskian W (\gaya tampilan W) adalah determinan suatu matriks yang kolom-kolomnya berisi fungsi dan turunannya yang berurutan. Teorema aljabar linier menyatakan bahwa fungsi-fungsi yang termasuk dalam Wronskian bergantung linier jika Wronskian sama dengan nol. Pada bagian ini kita dapat memeriksa apakah dua solusi bebas linear - untuk melakukan hal ini kita perlu memastikan bahwa Wronskian tidak nol. Wronskian penting ketika menyelesaikan persamaan diferensial tak homogen dengan koefisien konstan dengan metode parameter yang bervariasi.
  - W = | kamu 1 kamu 2 kamu 1′ kamu 2′ | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
- Dalam aljabar linier, himpunan semua solusi persamaan diferensial tertentu membentuk ruang vektor yang dimensinya sama dengan orde persamaan diferensial. Di ruang ini seseorang dapat memilih basisnya independen linier keputusan satu sama lain. Hal ini dimungkinkan karena fungsinya y (x) (\gaya tampilan y(x)) sah operator linier. Turunan adalah operator linier, karena mengubah ruang fungsi terdiferensiasi menjadi ruang semua fungsi. Persamaan disebut homogen jika, untuk sembarang operator linier L (\gaya tampilan L) kita perlu menemukan solusi persamaan tersebut L [ y ] = 0. (\displaystyle L[y]=0.)
Sekarang mari kita beralih ke pembahasan beberapa hal contoh spesifik. Kita akan membahas kasus akar ganda dari persamaan karakteristik nanti, di bagian pengurangan orde.
Jika akarnya r ± (\displaystyle r_(\pm )) adalah bilangan real yang berbeda, persamaan diferensial mempunyai penyelesaian sebagai berikut
- y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))
Dua akar kompleks. Dari teorema dasar aljabar dapat disimpulkan bahwa penyelesaian persamaan polinomial dengan koefisien real mempunyai akar-akar real atau membentuk pasangan konjugasi. Oleh karena itu, jika bilangan kompleks r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta ) adalah akar persamaan karakteristik r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta ) juga merupakan akar dari persamaan ini. Dengan demikian, penyelesaiannya dapat kita tuliskan dalam bentuk c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α − i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alfa -i\beta)x),) namun, ini adalah bilangan kompleks dan tidak diinginkan untuk memecahkan masalah praktis.
- Sebagai gantinya Anda bisa menggunakan rumus Euler e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), yang memungkinkan kita menulis solusinya dalam bentuk fungsi trigonometri:
  - e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − i c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ beta x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
- Sekarang Anda bisa, bukan konstanta c 1 + c 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2)) tuliskan c 1 (\gaya tampilan c_(1)), dan ekspresi i (c 1 − c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2))) digantikan oleh c 2 . (\gaya tampilan c_(2).) Setelah ini kami mendapatkan solusi berikut:
  - y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\dosa\beta x))
- Ada cara lain untuk menulis solusi dalam bentuk amplitudo dan fase, yang lebih cocok untuk masalah fisika.
- Contoh 2.1. Mari kita cari solusi persamaan diferensial di bawah ini dengan kondisi awal yang diberikan. Untuk melakukan ini, Anda perlu mengambil solusi yang dihasilkan, serta turunannya, dan substitusikan ke dalam kondisi awal, yang memungkinkan kita menentukan konstanta sembarang.
  - d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\x"(0)=-1)
  - r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )Saya)
  - x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1 )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\kanan))
  - x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
  - x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(sejajar)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\kanan)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\kanan)\end(sejajar)))
  - x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2 , c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
  - x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\kanan))
Menyelesaikan persamaan diferensial orde ke-n dengan koefisien konstan (dicatat oleh Intuit - Universitas Terbuka Nasional).
Mengurangi pesanan. Reduksi orde adalah metode untuk menyelesaikan persamaan diferensial ketika satu solusi bebas linier diketahui. Metode ini terdiri dari menurunkan orde persamaan sebanyak satu, yang memungkinkan Anda menyelesaikan persamaan menggunakan metode yang dijelaskan di bagian sebelumnya. Biarkan solusinya diketahui. Ide utama dari reduksi orde adalah untuk mencari solusi dalam bentuk di bawah ini, di mana fungsi tersebut perlu didefinisikan v (x) (\gaya tampilan v(x)), substitusikan ke dalam persamaan diferensial dan temukan v(x). (\gaya tampilan v(x).) Mari kita lihat bagaimana reduksi orde dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial dengan koefisien konstan dan akar ganda.

Banyak akar persamaan diferensial homogen dengan koefisien konstan. Ingatlah bahwa persamaan orde kedua harus memiliki dua solusi bebas linier. Jika persamaan karakteristik memiliki banyak akar, himpunan solusinya Bukan membentuk ruang karena penyelesaiannya bergantung linier. Dalam hal ini, perlu menggunakan reduksi orde untuk mencari solusi bebas linier kedua.
- Biarkan persamaan karakteristik memiliki banyak akar r (\gaya tampilan r). Mari kita asumsikan bahwa solusi kedua dapat ditulis dalam bentuk y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)), dan substitusikan ke dalam persamaan diferensial. Dalam hal ini, sebagian besar suku, kecuali suku dengan turunan kedua dari fungsi tersebut v , (\gaya tampilan v,) akan berkurang.
  - v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
- Contoh 2.2. Biarkan persamaan berikut diberikan yang memiliki banyak akar r = − 4. (\displaystyle r=-4.) Selama substitusi, sebagian besar persyaratan dikurangi.
  - d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
  - y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(sejajar)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\end(sejajar)))
  - v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\displaystyle (\begin(sejajar )v""e^(-4x)&-(\cancel (8v"e^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))\\&+(\cancel (8v"e ^(-4x)))-(\cancel (32ve^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))=0\end(sejajar)))
- Mirip dengan ansatz kita untuk persamaan diferensial dengan koefisien konstan, dalam hal ini hanya turunan keduanya yang bisa sama dengan nol. Kami mengintegrasikan dua kali dan mendapatkan ekspresi yang diinginkan v (\gaya tampilan v):
  - v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
- Maka penyelesaian umum persamaan diferensial dengan koefisien konstan jika persamaan karakteristik mempunyai akar ganda dapat dituliskan dalam bentuk berikut. Untuk memudahkan, Anda dapat mengingat bahwa untuk memperoleh independensi linier, cukup mengalikan suku kedua dengan x (\gaya tampilan x). Himpunan solusi ini tidak bergantung linier, sehingga kita telah menemukan semua solusi persamaan ini.
  - y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))
D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.) Pengurangan pesanan berlaku jika solusinya diketahui kamu 1 (x) (\displaystyle y_(1)(x)), yang dapat ditemukan atau diberikan dalam rumusan masalah.
- Kami sedang mencari solusi dalam bentuk y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x)) dan substitusikan ke dalam persamaan ini:
  - v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
- Karena kamu 1 (\gaya tampilan y_(1)) adalah solusi persamaan diferensial, semua suku dengan v (\gaya tampilan v) sedang dikurangi. Pada akhirnya itu tetap ada persamaan linier orde pertama. Untuk melihatnya lebih jelas, mari kita lakukan perubahan variabel w (x) = v ′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
  - y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
  - w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\ frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\kanan)(\mathrm (d) )x\kanan))
  - v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
- Jika integral dapat dihitung, kita memperoleh solusi umum sebagai kombinasi fungsi dasar. Jika tidak, penyelesaiannya dapat dibiarkan dalam bentuk integral.
Persamaan Cauchy-Euler. Persamaan Cauchy-Euler merupakan contoh persamaan diferensial orde dua dengan variabel koefisien yang mempunyai solusi eksak. Persamaan ini digunakan dalam praktik, misalnya untuk menyelesaikan persamaan Laplace dalam koordinat bola.
X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+oleh=0)
Persamaan karakteristik. Seperti yang Anda lihat, dalam persamaan diferensial ini, setiap suku mengandung faktor daya, yang derajatnya sama dengan orde turunan yang bersesuaian.
- Dengan demikian, Anda bisa mencoba mencari solusi dalam bentuk tersebut y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),) di mana perlu untuk menentukan n (\gaya tampilan n), sama seperti kita mencari solusi dalam bentuk fungsi eksponensial untuk persamaan diferensial linier dengan koefisien konstan. Setelah diferensiasi dan substitusi kita peroleh
  - x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
- Untuk menggunakan persamaan karakteristik, kita harus berasumsi bahwa x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). Dot x = 0 (\gaya tampilan x=0) ditelepon titik tunggal beraturan persamaan diferensial. Poin-poin tersebut penting ketika menyelesaikan persamaan diferensial menggunakan deret pangkat. Persamaan ini mempunyai dua akar, yang dapat berbeda dan nyata, konjugat ganda atau kompleks.
  - n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b )))(2)))
Dua akar real yang berbeda. Jika akarnya n ± (\displaystyle n_(\pm )) nyata dan berbeda, maka penyelesaian persamaan diferensial tersebut berbentuk sebagai berikut:
- y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))
Dua akar kompleks. Jika persamaan karakteristik mempunyai akar n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), solusinya adalah fungsi yang kompleks.
- Untuk mengubah solusi menjadi fungsi nyata, kita melakukan perubahan variabel x = e t , (\displaystyle x=e^(t),) itu adalah t = ln ⁡ x , (\displaystyle t=\ln x,) dan gunakan rumus Euler. Tindakan serupa telah dilakukan sebelumnya ketika menentukan konstanta arbitrer.
  - y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta itu)))
- Maka solusi umumnya dapat ditulis sebagai
  - y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))
Akar ganda. Untuk mendapatkan solusi bebas linier kedua, perlu dilakukan pengurangan orde lagi.
- Butuh perhitungan yang cukup banyak, namun prinsipnya tetap sama: kita substitusi y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1)) menjadi persamaan yang solusi pertamanya adalah kamu 1 (\gaya tampilan y_(1)). Setelah direduksi diperoleh persamaan sebagai berikut:
  - v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
- Ini adalah persamaan linier orde pertama terhadap v ′ (x) . (\gaya tampilan v"(x).) Solusinya adalah v (x) = c 1 + c 2 ln ⁡ x . (\gaya tampilan v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.) Dengan demikian penyelesaiannya dapat dituliskan dalam bentuk berikut. Hal ini cukup mudah untuk diingat - untuk mendapatkan solusi bebas linier kedua hanya memerlukan suku tambahan dengan ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
  - y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))
Persamaan diferensial linier tidak homogen dengan koefisien konstan. Persamaan tak homogen mempunyai bentuk L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),) Di mana f (x) (\gaya tampilan f(x))- disebut anggota bebas. Menurut teori persamaan diferensial, solusi umum persamaan ini adalah superposisi solusi pribadi y p (x) (\displaystyle y_(p)(x)) Dan solusi tambahan kamu c (x) . (\gaya tampilan y_(c)(x).) Namun dalam hal ini solusi partikular bukan berarti solusi yang diberikan oleh kondisi awal, melainkan solusi yang ditentukan oleh adanya heterogenitas (suku bebas). Solusi tambahan adalah solusi persamaan homogen yang bersesuaian di mana f (x) = 0. (\gaya tampilan f(x)=0.) Solusi keseluruhannya adalah superposisi dari kedua solusi ini, karena L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)), dan sejak itu L [ y c ] = 0 , (\displaystyle L=0,) superposisi seperti itu memang merupakan solusi umum.
D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+oleh=f(x))
Metode koefisien yang tidak dapat ditentukan. Metode koefisien tak tentu digunakan jika suku intersepnya merupakan kombinasi fungsi eksponensial, trigonometri, hiperbolik, atau pangkat. Hanya fungsi-fungsi ini yang dijamin memiliki sejumlah turunan bebas linier yang terbatas. Pada bagian ini kita akan menemukan solusi khusus untuk persamaan tersebut.
- Mari kita bandingkan istilah-istilah di f (x) (\gaya tampilan f(x)) dengan syarat tanpa memperhatikan faktor konstan. Ada tiga kemungkinan kasus.
  - Tidak ada dua anggota yang sama. Dalam hal ini, solusi tertentu y p (\displaystyle y_(p)) akan menjadi kombinasi linier suku-suku dari y p (\displaystyle y_(p))
  - f (x) (\gaya tampilan f(x)) berisi anggota x n (\gaya tampilan x^(n)) dan anggota dari yc , (\displaystyle y_(c),) Di mana n (\gaya tampilan n) adalah nol atau bilangan bulat positif, dan suku ini berhubungan dengan akar terpisah dari persamaan karakteristik. Pada kasus ini y p (\displaystyle y_(p)) akan terdiri dari kombinasi fungsi x n + 1 jam (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),) turunannya yang bebas linier, serta suku-suku lainnya f (x) (\gaya tampilan f(x)) dan turunannya yang bebas linier.
  - f (x) (\gaya tampilan f(x)) berisi anggota h (x) , (\gaya tampilan h(x),) yang merupakan sebuah karya x n (\gaya tampilan x^(n)) dan anggota dari yc , (\displaystyle y_(c),) Di mana n (\gaya tampilan n) sama dengan 0 atau bilangan bulat positif, dan suku ini sesuai dengan banyak akar persamaan karakteristik. Pada kasus ini y p (\displaystyle y_(p)) adalah kombinasi linier dari fungsi tersebut x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(Di mana s (\gaya tampilan s)- multiplisitas akar) dan turunannya yang bebas linier, serta anggota fungsi lainnya f (x) (\gaya tampilan f(x)) dan turunannya yang bebas linier.
- Mari kita tuliskan y p (\displaystyle y_(p)) sebagai kombinasi linier dari istilah-istilah yang tercantum di atas. Berkat koefisien ini dalam kombinasi linier metode ini disebut "metode koefisien tak tentu". Ketika terkandung di dalamnya yc (\displaystyle y_(c)) anggota dapat dibuang karena adanya konstanta sembarang di dalamnya kamu c. (\gaya tampilan y_(c).) Setelah ini kita gantikan y p (\displaystyle y_(p)) ke dalam persamaan dan menyamakan suku-suku serupa.
- Kami menentukan koefisiennya. Pada tahap ini diperoleh sistem persamaan aljabar yang biasanya dapat diselesaikan tanpa masalah. Solusi dari sistem ini memungkinkan kita memperolehnya y p (\displaystyle y_(p)) dan dengan demikian memecahkan persamaan tersebut.
- Contoh 2.3. Mari kita perhatikan persamaan diferensial tak homogen yang suku bebasnya mengandung sejumlah turunan bebas linier yang terbatas. Solusi khusus untuk persamaan tersebut dapat ditemukan dengan metode koefisien tak tentu.
  - d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
  - y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t)
  - y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
  - 9 A e 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t ( \displaystyle (\begin(sejajar)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(sejajar)))
  - ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 − 25 B + 6 B = − 1 , B = 1 19 − 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\displaystyle (\begin(cases)9A+ 6A =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ akhir (kasus)))
  - y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6 ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)
Metode Lagrange. Metode Lagrange, atau metode variasi konstanta sembarang, adalah metode yang lebih tepat metode umum menyelesaikan persamaan diferensial tak homogen, terutama dalam kasus di mana suku bebasnya tidak mengandung turunan bebas linier dalam jumlah terbatas. Misalnya dengan syarat bebas tan ⁡ x (\displaystyle \tan x) atau x − n (\gaya tampilan x^(-n)) untuk mencari solusi tertentu perlu menggunakan metode Lagrange. Metode Lagrange bahkan dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial dengan koefisien variabel, meskipun dalam kasus ini, dengan pengecualian persamaan Cauchy-Euler, metode ini lebih jarang digunakan, karena solusi tambahan biasanya tidak dinyatakan dalam fungsi dasar.
- Anggaplah solusinya mempunyai bentuk berikut. Turunannya diberikan pada baris kedua.
  - y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
  - y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
- Karena solusi yang diusulkan berisi dua jumlah yang tidak diketahui, perlu diterapkan tambahan kondisi. Mari kita pilih kondisi tambahan ini dalam bentuk berikut:
  - v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
  - y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
  - y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
- Sekarang kita bisa mendapatkan persamaan kedua. Setelah substitusi dan redistribusi anggota, Anda dapat mengelompokkan anggota bersama v 1 (\gaya tampilan v_(1)) dan anggota dengan v 2 (\gaya tampilan v_(2)). Persyaratan ini dikurangi karena kamu 1 (\gaya tampilan y_(1)) Dan kamu 2 (\gaya tampilan y_(2)) adalah solusi dari persamaan homogen yang sesuai. Hasilnya, kita memperoleh sistem persamaan berikut
  - v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\displaystyle (\begin(sejajar)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(sejajar)))
- Sistem ini dapat diubah menjadi bentuk persamaan matriks A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),) yang solusinya adalah x = SEBUAH − 1 b . (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).) Untuk matriks 2 × 2 (\displaystyle 2\kali 2) invers matriks dicari dengan cara membagi dengan determinan, menata ulang elemen diagonal, dan mengubah tanda elemen nondiagonal. Faktanya, determinan matriks ini adalah Wronskian.
  - (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ akhir(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
- Ekspresi untuk v 1 (\gaya tampilan v_(1)) Dan v 2 (\gaya tampilan v_(2)) diberikan di bawah ini. Seperti pada metode reduksi orde, dalam hal ini, selama integrasi, muncul konstanta sembarang, yang mencakup solusi tambahan dalam solusi umum persamaan diferensial.
  - v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
  - v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
Kuliah dari National Open University Intuit bertajuk “Persamaan Diferensial Linier Orde N dengan Koefisien Konstan”.

Penggunaan praktis

Persamaan diferensial menetapkan hubungan antara suatu fungsi dan satu atau lebih turunannya. Karena hubungan seperti ini sangat umum, persamaan diferensial telah banyak diterapkan dalam berbagai bidang, dan karena kita hidup dalam empat dimensi, persamaan ini sering kali merupakan persamaan diferensial dalam berbagai bidang. pribadi turunan. Bagian ini membahas beberapa persamaan terpenting dari jenis ini.

Pertumbuhan dan pembusukan yang eksponensial. Peluruhan radioaktif. Bunga majemuk. Laju reaksi kimia. Konsentrasi obat dalam darah. Pertumbuhan penduduk yang tidak terbatas. hukum Newton-Richmann. Di dunia nyata, terdapat banyak sistem yang laju pertumbuhan atau penurunannya pada waktu tertentu sebanding dengan jumlah yang masuk saat ini waktu atau dapat didekati dengan baik oleh model. Hal ini karena penyelesaian persamaan diferensial ini, fungsi eksponensial, adalah salah satu penyelesaian yang terbanyak fungsi penting dalam matematika dan ilmu-ilmu lainnya. Secara umum, dengan pertumbuhan populasi yang terkendali, sistem tersebut mungkin menyertakan ketentuan tambahan yang membatasi pertumbuhan. Dalam persamaan di bawah ini, konstanta k (\gaya tampilan k) dapat lebih besar atau lebih kecil dari nol.
- d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
Getaran harmonik. Baik dalam mekanika klasik maupun kuantum, osilator harmonik adalah salah satu sistem fisika terpenting karena kesederhanaannya dan penerapannya yang luas dalam memperkirakan lebih banyak energi. sistem yang kompleks, seperti pendulum sederhana. Dalam mekanika klasik, getaran harmonik digambarkan dengan persamaan yang menghubungkan posisi suatu titik material dengan percepatannya melalui hukum Hooke. Dalam hal ini, redaman dan gaya penggerak juga dapat diperhitungkan. Dalam ekspresi di bawah ini x ˙ (\displaystyle (\titik (x)))- turunan waktu dari x , (\gaya tampilan x,) β (\gaya tampilan \beta )- parameter yang menggambarkan gaya redaman, ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- frekuensi sudut sistem, F (t) (\gaya tampilan F(t))- tergantung waktu penggerak. Osilator harmonik juga terdapat dalam rangkaian osilasi elektromagnetik, yang dapat diterapkan dengan akurasi lebih tinggi daripada sistem mekanis.
- x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
persamaan Bessel. Persamaan diferensial Bessel digunakan di banyak bidang fisika, termasuk menyelesaikan persamaan gelombang, persamaan Laplace, dan persamaan Schrödinger, terutama dengan adanya simetri silinder atau bola. Persamaan diferensial orde kedua dengan koefisien variabel ini bukan persamaan Cauchy-Euler, sehingga penyelesaiannya tidak dapat ditulis sebagai fungsi dasar. Solusi persamaan Bessel adalah fungsi Bessel, yang dipelajari dengan baik karena penerapannya di banyak bidang. Dalam ekspresi di bawah ini α (\gaya tampilan \alfa )- konstanta yang sesuai dalam urutan Fungsi Besel.
- x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) kamu=0)
persamaan Maxwell. Seiring dengan gaya Lorentz, persamaan Maxwell menjadi dasar elektrodinamika klasik. Itulah empat persamaan diferensial parsial kelistrikan E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ),t)) dan magnetis B (r , t) (\displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t)) bidang. Dalam ekspresi di bawah ini ρ = ρ (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- kepadatan muatan, J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t))- rapat arus, dan ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0)) Dan μ 0 (\displaystyle \mu _(0))- konstanta listrik dan magnet, masing-masing.
- ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle (\begin(aligned)\nabla \cdot (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) ))(\partial t))\end(sejajar)))
Persamaan Schrödinger. Dalam mekanika kuantum, persamaan Schrödinger merupakan persamaan gerak fundamental yang menggambarkan pergerakan partikel sesuai dengan perubahan fungsi gelombang. Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t)) bersama waktu. Persamaan gerak digambarkan oleh perilaku Hamiltonian H^(\displaystyle (\hat (H))) - operator, yang menggambarkan energi sistem. Salah satu contoh persamaan Schrödinger yang terkenal dalam fisika adalah persamaan untuk satu partikel non-relativistik yang mempunyai potensial V (r , t) (\displaystyle V((\mathbf (r) ),t)). Banyak sistem dijelaskan dengan persamaan Schrödinger yang bergantung pada waktu, dan di sisi kiri persamaan tersebut adalah E Ψ , (\displaystyle E\Psi ,) Di mana E (\gaya tampilan E)- energi partikel. Dalam ekspresi di bawah ini ℏ (\displaystyle \hbar )- mengurangi konstanta Planck.
- i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=(\hat (H))\Psi )
- i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\right)\Psi )
Persamaan gelombang. Fisika dan teknologi tidak dapat dibayangkan tanpa gelombang; keduanya ada di semua jenis sistem. Secara umum gelombang digambarkan dengan persamaan di bawah ini, dimana u = u (r , t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r) ),t)) adalah fungsi yang diinginkan, dan c (\gaya tampilan c)- konstanta yang ditentukan secara eksperimental. d'Alembert adalah orang pertama yang menemukan bahwa untuk kasus satu dimensi solusi persamaan gelombang adalah setiap fungsi dengan argumen x − c t (\displaystyle x-ct), yang menggambarkan gelombang berbentuk sembarang yang merambat ke kanan. Solusi umum untuk kasus satu dimensi adalah kombinasi linier dari fungsi ini dengan fungsi kedua yang memiliki argumen x + c t (\gaya tampilan x+ct), yang menggambarkan gelombang yang merambat ke kiri. Solusi ini disajikan pada baris kedua.
- ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
- u (x , t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
Persamaan Navier-Stokes. Persamaan Navier-Stokes menggambarkan pergerakan fluida. Karena fluida hadir di hampir setiap bidang ilmu pengetahuan dan teknologi, persamaan ini sangat penting untuk memprediksi cuaca, merancang pesawat terbang, mempelajari arus laut, dan memecahkan banyak masalah terapan lainnya. Persamaan Navier-Stokes adalah persamaan diferensial parsial nonlinier, dan dalam banyak kasus persamaan ini sangat sulit diselesaikan karena nonlinier menyebabkan turbulensi, dan memperoleh solusi stabil dengan metode numerik memerlukan partisi ke dalam sel yang sangat kecil, yang memerlukan daya komputasi yang signifikan. Untuk tujuan praktis dalam hidrodinamika, metode seperti rata-rata waktu digunakan untuk memodelkan aliran turbulen. Pertanyaan yang lebih mendasar seperti keberadaan dan keunikan solusi persamaan diferensial parsial nonlinier merupakan hal yang menantang, dan membuktikan keberadaan dan keunikan solusi persamaan Navier-Stokes dalam tiga dimensi merupakan salah satu masalah matematika milenium. Di bawah ini adalah persamaan aliran fluida tak mampat dan persamaan kontinuitasnya.
- ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\displaystyle (\frac (\partial (\mathbf (u) ) )(\partial t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

Banyak persamaan diferensial yang tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan metode di atas, terutama yang disebutkan di bagian terakhir. Hal ini berlaku pada kasus dimana persamaan tersebut mengandung koefisien variabel dan bukan merupakan persamaan Cauchy-Euler, atau ketika persamaan tersebut nonlinier, kecuali dalam beberapa kasus yang sangat jarang terjadi. Namun metode-metode di atas dapat menyelesaikan banyak persamaan diferensial penting yang sering dijumpai di berbagai bidang ilmu pengetahuan.
Berbeda dengan diferensiasi, yang memungkinkan Anda mencari turunan suatu fungsi, integral dari banyak ekspresi tidak dapat dinyatakan dalam fungsi dasar. Jadi jangan buang waktu mencoba menghitung integral jika hal ini tidak mungkin. Lihatlah tabel integral. Jika penyelesaian persamaan diferensial tidak dapat dinyatakan dalam fungsi dasar, terkadang penyelesaian tersebut dapat direpresentasikan dalam bentuk integral, dan dalam hal ini tidak masalah apakah integral ini dapat dihitung secara analitis.

Peringatan

Penampilan persamaan diferensial bisa menyesatkan. Misalnya, di bawah ini adalah dua persamaan diferensial orde pertama. Persamaan pertama dapat diselesaikan dengan mudah menggunakan metode yang dijelaskan dalam artikel ini. Sekilas, ada perubahan kecil y (\gaya tampilan y) pada kamu 2 (\gaya tampilan y^(2)) pada persamaan kedua menjadikannya non-linier dan menjadi sangat sulit diselesaikan.
- d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
- d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))

Memecahkan persamaan diferensial. Berkat layanan online kami, Anda dapat menyelesaikan persamaan diferensial apa pun jenis dan kompleksitasnya: tidak homogen, homogen, nonlinier, linier, orde pertama, kedua, dengan variabel yang dapat dipisahkan atau tidak dapat dipisahkan, dll. Anda mendapatkan solusi persamaan diferensial dalam bentuk analitik dengan Detil Deskripsi. Banyak orang yang tertarik: mengapa perlu menyelesaikan persamaan diferensial secara online? Persamaan jenis ini sangat umum dalam matematika dan fisika, di mana tidak mungkin menyelesaikan banyak masalah tanpa menghitung persamaan diferensial. Persamaan diferensial juga umum dalam bidang ekonomi, kedokteran, biologi, kimia dan ilmu-ilmu lainnya. Solusi untuk persamaan tersebut adalah mode online Itu membuat tugas Anda lebih mudah, memberi Anda kesempatan untuk lebih memahami materi dan menguji diri sendiri. Keuntungan menyelesaikan persamaan diferensial secara online. Situs web layanan matematika modern memungkinkan Anda menyelesaikan persamaan diferensial secara online dengan kompleksitas apa pun. Seperti yang Anda ketahui, ada banyak sekali jenis persamaan diferensial dan masing-masing persamaan memiliki metode penyelesaiannya sendiri. Di layanan kami, Anda dapat menemukan solusi persamaan diferensial pesanan dan jenis apa pun secara online. Untuk mendapatkan solusinya, kami sarankan Anda mengisi data awal dan klik tombol “Solusi”. Kesalahan dalam pengoperasian layanan tidak termasuk, sehingga Anda dapat 100% yakin bahwa Anda menerima jawaban yang benar. Selesaikan persamaan diferensial dengan layanan kami. Selesaikan persamaan diferensial secara online. Secara default, dalam persamaan seperti itu, fungsi y adalah fungsi dari variabel x. Namun Anda juga dapat menentukan penunjukan variabel Anda sendiri. Misalnya, jika Anda menentukan y(t) dalam persamaan diferensial, maka layanan kami akan secara otomatis menentukan bahwa y adalah fungsi dari variabel t. Orde seluruh persamaan diferensial akan bergantung pada orde maksimum turunan fungsi yang ada dalam persamaan tersebut. Menyelesaikan persamaan seperti itu berarti menemukan fungsi yang diinginkan. Layanan kami akan membantu Anda menyelesaikan persamaan diferensial secara online. Anda tidak memerlukan banyak usaha untuk menyelesaikan persamaan tersebut. Anda hanya perlu memasukkan sisi kiri dan kanan persamaan Anda ke dalam kolom yang wajib diisi dan klik tombol “Solusi”. Saat masuk, turunan suatu fungsi harus dilambangkan dengan apostrof. Dalam hitungan detik Anda akan menerima solusi rinci siap pakai untuk persamaan diferensial. Layanan kami benar-benar gratis. Persamaan diferensial dengan variabel yang dapat dipisahkan. Jika dalam suatu persamaan diferensial terdapat ekspresi di ruas kiri yang bergantung pada y, dan di ruas kanan terdapat ekspresi yang bergantung pada x, maka persamaan diferensial tersebut disebut dengan variabel yang dapat dipisahkan. Ruas kiri dapat berisi turunan y; penyelesaian persamaan diferensial jenis ini akan berbentuk fungsi y, yang dinyatakan melalui integral ruas kanan persamaan. Jika di ruas kiri terdapat diferensial fungsi y, maka dalam hal ini kedua ruas persamaan tersebut terintegrasi. Jika variabel-variabel dalam persamaan diferensial tidak dipisahkan, maka variabel-variabel tersebut perlu dipisahkan untuk mendapatkan persamaan diferensial yang terpisah. Persamaan diferensial linier. Persamaan diferensial yang fungsi dan semua turunannya berderajat satu disebut linier. Bentuk umum persamaan: y'+a1(x)y=f(x). f(x) dan a1(x) merupakan fungsi kontinu dari x. Penyelesaian persamaan diferensial jenis ini direduksi menjadi pengintegrasian dua persamaan diferensial dengan variabel terpisah. Urutan persamaan diferensial. Persamaan diferensial dapat berorde pertama, kedua, dan ke-n. Orde persamaan diferensial menentukan urutan turunan tertinggi yang dikandungnya. Di layanan kami, Anda dapat menyelesaikan persamaan diferensial secara online untuk persamaan pertama, kedua, ketiga, dst. memesan. Solusi persamaannya adalah fungsi apa pun y=f(x), dengan mensubstitusikannya ke dalam persamaan, Anda akan mendapatkan identitas. Proses mencari solusi persamaan diferensial disebut integrasi. Masalah Cauchy. Jika, selain persamaan diferensial itu sendiri, kondisi awal y(x0)=y0 diberikan, maka ini disebut masalah Cauchy. Indikator y0 dan x0 ditambahkan ke solusi persamaan dan nilai konstanta sembarang C ditentukan, dan kemudian solusi tertentu dari persamaan pada nilai C ini ditentukan. Masalah Cauchy disebut juga masalah dengan kondisi batas, yang sangat umum terjadi dalam fisika dan mekanika. Anda juga memiliki kesempatan untuk menetapkan masalah Cauchy, yaitu, dari semua kemungkinan solusi persamaan, pilih hasil bagi yang memenuhi kondisi awal yang diberikan.