Akar pangkat dua. Operasi dengan akar kuadrat

Properti akar kuadrat

Sejauh ini kita telah melakukan lima operasi aritmatika pada bilangan: penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan eksponensial, dan dalam perhitungan berbagai sifat operasi ini digunakan secara aktif, misalnya a + b = b + a, an-bn = (ab)n, dll.

Bab ini memperkenalkan operasi baru - ekstraksi akar pangkat dua dari bilangan non-negatif. Agar berhasil menggunakannya, Anda perlu memahami properti operasi ini, yang akan kita lakukan di bagian ini.

Bukti. Mari kita perkenalkan notasi berikut: https://pandia.ru/text/78/290/images/image005_28.jpg" alt="Kesetaraan" width="120" height="25 id=">!}.

Inilah tepatnya bagaimana kita akan merumuskan teorema berikutnya.

(Rumusan singkat yang lebih mudah digunakan dalam praktik: akar suatu pecahan sama dengan pecahan dari akar-akarnya, atau akar dari hasil bagi sama dengan hasil bagi dari akar-akarnya.)

Kali ini kami hanya akan memberikan ringkasan singkat dari pembuktiannya, dan Anda mencoba memberikan komentar yang sesuai dengan intisari pembuktian Teorema 1.

Catatan 3. Tentu saja, contoh ini dapat diselesaikan secara berbeda, terutama jika Anda memiliki mikrokalkulator: kalikan angka 36, 64, 9, lalu ambil akar kuadrat dari hasil perkaliannya. Namun, Anda akan setuju bahwa solusi yang diusulkan di atas terlihat lebih bersifat budaya.

Catatan 4. Pada metode pertama, kami melakukan perhitungan “langsung”. Cara kedua lebih elegan:
kami melamar rumus a2 - b2 = (a - b) (a + b) dan menggunakan sifat akar kuadrat.

Catatan 5. Beberapa orang yang “panas” terkadang menawarkan “solusi” ini untuk Contoh 3:

Ini tentu saja tidak benar: Anda lihat - hasilnya tidak sama dengan contoh 3. Faktanya adalah tidak ada properti https://pandia.ru/text/78/290/images/image014_6.jpg" alt="Tugas" width="148" height="26 id=">!} Yang ada hanyalah sifat-sifat yang berkaitan dengan perkalian dan pembagian akar kuadrat. Hati-hati dan hati-hati, jangan ambil angan-angan saja.

Sebagai penutup paragraf ini, mari kita perhatikan satu hal lagi yang cukup sederhana dan sekaligus properti penting:
jika a > 0 dan n - bilangan asli, Itu

Mengonversi Ekspresi yang Mengandung Operasi Akar Pangkat Dua

Sejauh ini kami baru melakukan transformasi ekspresi rasional, untuk ini menggunakan aturan tindakan pada polinomial dan pecahan aljabar, rumus perkalian yang disingkat, dll. Dalam bab ini, kami memperkenalkan operasi baru - operasi akar kuadrat; kami telah menetapkan itu

dimana, ingat, a, b adalah bilangan non-negatif.

Menggunakan ini rumus, Anda dapat melakukan berbagai transformasi pada ekspresi yang berisi operasi akar kuadrat. Mari kita lihat beberapa contoh, dan dalam semua contoh kita akan berasumsi bahwa variabel hanya mengambil nilai non-negatif.

Contoh 3. Masukkan pengali di bawah tanda akar kuadrat:

Contoh 6. Sederhanakan persamaan Solusi. Mari kita lakukan transformasi berurutan:

Akar kuadrat suatu bilangan x adalah bilangan a, yang jika dikalikan dengan bilangan itu sendiri akan menghasilkan bilangan x: a * a = a^2 = x, √x = a. Seperti halnya bilangan apa pun, Anda dapat melakukan operasi aritmatika penjumlahan dan pengurangan dengan akar kuadrat.

instruksi

Pertama, saat menjumlahkan akar kuadrat, coba ekstrak akar tersebut. Hal ini dapat terjadi jika bilangan-bilangan di bawah tanda akar adalah bilangan kuadrat sempurna. Misalnya, ekspresi √4 + √9 diberikan. Angka pertama 4 adalah kuadrat dari angka 2. Angka kedua 9 adalah kuadrat dari angka 3. Jadi ternyata: √4 + √9 = 2 + 3 = 5.
Jika tidak ada kuadrat lengkap di bawah tanda akar, coba hilangkan pengali bilangan tersebut dari bawah tanda akar. Misalnya, ekspresi √24 + √54 diberikan. Faktorkan bilangan-bilangan tersebut: 24 = 2*2*2*3, 54 = 2*3*3*3. Bilangan 24 mempunyai faktor 4, yang dapat diambil di bawah tanda akar kuadrat. Bilangan 54 mempunyai faktor 9. Jadi, ternyata: √24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 . DI DALAM dalam contoh ini Sebagai hasil dari menghilangkan faktor dari bawah tanda akar, ekspresi yang diberikan dapat disederhanakan.
Misalkan jumlah dua akar kuadrat menjadi penyebut suatu pecahan, misalnya A / (√a + √b). Dan biarlah tugas Anda adalah “menghilangkan irasionalitas dalam penyebutnya.” Kemudian Anda bisa menggunakan cara berikut ini. Kalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan persamaan √a - √b. Jadi, pada penyebutnya kita mendapatkan rumus perkalian yang disingkat: (√a + √b) * (√a - √b) = a – b. Analoginya, jika penyebutnya mengandung selisih akar-akarnya: √a - √b, maka pembilang dan penyebut pecahan tersebut harus dikalikan dengan persamaan √a + √b. Misalnya, pecahan 4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3).
Pertimbangkan lebih banyak contoh yang kompleks menghilangkan irasionalitas dalam penyebutnya. Misalkan pecahan 12 / (√2 + √3 + √5) diberikan. Pembilang dan penyebut pecahan perlu dikalikan dengan ekspresi √2 + √3 - √5:
12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 - √5)) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 - √5) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.
Terakhir, jika Anda hanya membutuhkan nilai perkiraan, Anda dapat menggunakan kalkulator untuk menghitung akar kuadrat. Hitung nilai secara terpisah untuk setiap angka dan tuliskan hingga ketelitian yang diperlukan (misalnya, dua tempat desimal). Dan kemudian lakukan operasi aritmatika yang diperlukan, seperti halnya bilangan biasa. Misalnya, Anda perlu mengetahui perkiraan nilai ekspresi √7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89.

Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

Saat Anda mengirimkan permintaan di situs, kami dapat mengumpulkannya berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat Anda Surel dll.

Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:

Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami menghubungi Anda dengan penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk keperluan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian guna meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk menyelenggarakan program tersebut.

Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

Apabila diperlukan - sesuai dengan peraturan perundang-undangan, acara peradilan, proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan masyarakat atau permohonan dari agensi pemerintahan di wilayah Federasi Rusia - ungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.

Perlindungan informasi pribadi

Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.

Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.

Penjumlahan dan pengurangan akar- salah satu “batu sandungan” paling umum bagi mereka yang mengikuti kursus matematika (aljabar) di sekolah menengah. Namun mempelajari penjumlahan dan pengurangan dengan benar sangatlah penting, karena contoh penjumlahan atau selisih akar-akar sudah termasuk dalam program Ujian Dasar Negara Terpadu pada disiplin ilmu “matematika”.

Untuk menguasai penyelesaian contoh-contoh seperti itu, Anda memerlukan dua hal - untuk memahami aturannya, dan juga untuk mendapatkan latihan. Setelah memecahkan satu atau dua lusin contoh umum, siswa akan membawa keterampilan ini ke otomatisme, dan kemudian dia tidak perlu lagi takut pada Ujian Negara Bersatu. Disarankan untuk mulai menguasai operasi aritmatika dengan penjumlahan, karena menjumlahkannya sedikit lebih mudah daripada mengurangkannya.

Cara termudah untuk menjelaskan hal ini adalah dengan menggunakan akar kuadrat sebagai contoh. Dalam matematika ada istilah “kuadrat” yang sudah mapan. “Mengkuadratkan” berarti mengalikan suatu bilangan tertentu dengan bilangan itu sendiri satu kali.. Misalnya, jika Anda mengkuadratkan 2, Anda mendapatkan 4. Jika Anda mengkuadratkan 7, Anda mendapatkan 49. Kuadrat dari 9 adalah 81. Jadi akar kuadrat dari 4 adalah 2, dari 49 adalah 7, dan dari 81 adalah 9.

Biasanya, pengajaran topik matematika ini dimulai dengan akar kuadrat. Untuk segera menentukannya, siswa sekolah menengah atas harus hafal tabel perkalian. Mereka yang tidak mengetahui tabel ini dengan pasti harus menggunakan petunjuk. Biasanya proses mengekstraksi akar kuadrat suatu bilangan diberikan dalam bentuk tabel di sampul banyak buku catatan matematika sekolah.

Akar adalah dari jenis berikut:

persegi;
kubik (atau disebut derajat ketiga);
derajat keempat;
derajat kelima.

Aturan tambahan

Agar berhasil menyelesaikan contoh tipikal, perlu diingat bahwa tidak semua bilangan akar dapat ditumpuk satu sama lain. Agar dapat disatukan, mereka harus dijadikan satu pola. Jika hal ini tidak memungkinkan, maka masalahnya tidak ada solusinya. Permasalahan seperti ini juga sering dijumpai pada buku pelajaran matematika sebagai semacam jebakan bagi siswa.

Penambahan tidak diperbolehkan dalam tugas ketika ekspresi radikal berbeda satu sama lain. Hal ini dapat diilustrasikan dengan contoh yang jelas:

Siswa dihadapkan pada tugas: menjumlahkan akar kuadrat dari 4 dan 9;
siswa yang tidak berpengalaman berpengetahuan tentang peraturan, biasanya ditulis: “akar 4 + akar 9 = akar 13.”
Sangat mudah untuk membuktikan bahwa solusi ini salah. Untuk melakukan ini, Anda perlu mencari akar kuadrat dari 13 dan memeriksa apakah contoh diselesaikan dengan benar;
menggunakan mikrokalkulator Anda dapat menentukan bahwa hasilnya kira-kira 3,6. Sekarang tinggal memeriksa solusinya;
akar dari 4=2, dan akar dari 9=3;
Jumlah angka “dua” dan “tiga” sama dengan lima. Dengan demikian, algoritma solusi ini dapat dianggap salah.

Jika akar-akarnya mempunyai derajat yang sama tetapi berbeda ekspresi numerik, dikeluarkan dari tanda kurung, dan dimasukkan ke dalam tanda kurung jumlah dari dua ekspresi radikal. Jadi, sudah diekstraksi dari jumlah ini.

Algoritma penjumlahan

Untuk menyelesaikan masalah paling sederhana dengan benar, Anda perlu:

Tentukan apa yang sebenarnya membutuhkan penambahan.
Cari tahu apakah mungkin untuk menambahkan nilai satu sama lain, berpedoman pada aturan yang ada dalam matematika.
Jika tidak bisa dilipat, Anda perlu mengubahnya agar bisa dilipat.
Setelah melakukan semua transformasi yang diperlukan, Anda perlu melakukan penambahan dan menuliskan jawaban yang sudah jadi. Anda dapat melakukan penjumlahan di kepala Anda atau menggunakan mikrokalkulator, tergantung pada kerumitan contohnya.

Apa persamaan akarnya

Untuk menyelesaikan contoh penjumlahan dengan benar, pertama-tama Anda harus memikirkan cara menyederhanakannya. Untuk melakukan ini, Anda perlu memiliki pengetahuan dasar tentang kesamaan.

Kemampuan untuk mengidentifikasi yang serupa membantu menyelesaikan contoh penjumlahan serupa dengan cepat, menjadikannya bentuk yang disederhanakan. Untuk menyederhanakan contoh penjumlahan biasa, Anda perlu:

Temukan yang serupa dan pisahkan menjadi satu kelompok (atau beberapa kelompok).
Tulis ulang contoh yang ada sedemikian rupa sehingga akar-akar yang memiliki indikator yang sama saling mengikuti dengan jelas (ini disebut “pengelompokan”).
Selanjutnya, Anda harus menulis kembali ekspresi tersebut, kali ini sedemikian rupa sehingga ekspresi serupa (yang memiliki indikator dan angka radikal yang sama) juga mengikuti satu sama lain.

Setelah ini, contoh yang disederhanakan biasanya mudah diselesaikan.

Untuk menyelesaikan contoh penjumlahan dengan benar, Anda perlu memahami dengan jelas aturan dasar penjumlahan, serta mengetahui apa itu akar dan apa itu akar.

Terkadang masalah seperti itu terlihat sangat sulit pada pandangan pertama, tetapi biasanya masalah tersebut mudah diselesaikan dengan mengelompokkan masalah serupa. Yang paling penting adalah latihan, dan kemudian siswa akan mulai “memecahkan masalah seperti orang gila.” Menjumlahkan akar adalah salah satu bagian terpenting dalam matematika, sehingga guru harus meluangkan cukup waktu untuk mempelajarinya.

Video

Video ini akan membantu Anda memahami persamaan dengan akar kuadrat.

Fakta 1.
\(\bullet\) Mari kita ambil yang non angka negatif\(a\) (yaitu, \(a\geqslant 0\) ). Lalu (aritmatika) akar pangkat dua dari bilangan \(a\) disebut bilangan non-negatif \(b\) , jika dikuadratkan kita memperoleh bilangan \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(sama dengan )\quad a=b^2\] Dari definisi tersebut berikut ini \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Pembatasan ini adalah suatu kondisi yang penting keberadaan akar kuadrat dan mereka harus diingat!
Ingatlah bahwa bilangan apa pun jika dikuadratkan memberikan hasil non-negatif. Yaitu, \(100^2=10000\geqslant 0\) dan \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) \(\sqrt(25)\) sama dengan apa? Kita tahu bahwa \(5^2=25\) dan \((-5)^2=25\) . Karena menurut definisi kita harus mencari bilangan non-negatif, maka \(-5\) tidak cocok, oleh karena itu, \(\sqrt(25)=5\) (karena \(25=5^2\) ).
Mencari nilai \(\sqrt a\) disebut mengambil akar kuadrat dari bilangan \(a\) , dan bilangan \(a\) disebut ekspresi radikal.
\(\bullet\) Berdasarkan definisi, ekspresi \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\), dll. tidak masuk akal.

Fakta 2.
Untuk perhitungan cepat, akan berguna jika mempelajari tabel kuadrat bilangan asli dari \(1\) hingga \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \kuad17^2=289\\ 8^2=64 & \kuad18^2=324\\ 9^2=81 & \kuad19^2=361\\ 10^2=100& \kuad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

Fakta 3.
Operasi apa yang dapat Anda lakukan dengan akar kuadrat?
\(\peluru\) Artinya, jumlah atau selisih akar kuadrat TIDAK SAMA dengan akar kuadrat dari jumlah atau selisihnya \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Jadi, jika Anda perlu menghitung, misalnya \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , maka awalnya Anda harus mencari nilai \(\sqrt(25)\) dan \(\ sqrt(49)\ ) lalu lipat. Karena itu, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Jika nilai \(\sqrt a\) atau \(\sqrt b\) tidak dapat ditemukan saat menambahkan \(\sqrt a+\sqrt b\), maka ekspresi tersebut tidak diubah lebih lanjut dan tetap apa adanya. Misalnya, dalam penjumlahan \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) kita dapat menemukan \(\sqrt(49)\) adalah \(7\) , tetapi \(\sqrt 2\) tidak dapat diubah menjadi bagaimanapun juga, Itu sebabnya \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Sayangnya ungkapan ini tidak dapat disederhanakan lagi\(\bullet\) Hasil kali/hasil bagi akar kuadrat sama dengan akar kuadrat hasil kali/hasil bagi, yaitu \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \teks(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (asalkan kedua sisi persamaan tersebut masuk akal)
Contoh: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Dengan menggunakan properti ini, akan lebih mudah untuk mencari akar kuadrat dari angka besar dengan memfaktorkannya.
Mari kita lihat sebuah contoh. Mari kita temukan \(\sqrt(44100)\) . Karena \(44100:100=441\) , maka \(44100=100\cdot 441\) . Berdasarkan kriteria habis dibagi, bilangan \(441\) habis dibagi \(9\) (karena jumlah angka-angkanya adalah 9 dan habis dibagi 9), maka \(441:9=49\), yaitu, \(441=9\ cdot 49\) .
Jadi kami mendapatkan: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Mari kita lihat contoh lainnya: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Mari kita tunjukkan cara memasukkan angka di bawah tanda akar kuadrat menggunakan contoh ekspresi \(5\sqrt2\) (notasi singkat untuk ekspresi \(5\cdot \sqrt2\)). Karena \(5=\sqrt(25)\) , maka \ Perhatikan juga bahwa, misalnya,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Mengapa demikian? Mari kita jelaskan menggunakan contoh 1). Seperti yang sudah Anda pahami, kita tidak bisa mengubah bilangan \(\sqrt2\). Bayangkan \(\sqrt2\) adalah suatu bilangan \(a\) . Oleh karena itu, ekspresi \(\sqrt2+3\sqrt2\) tidak lebih dari \(a+3a\) (satu angka \(a\) ditambah tiga angka lagi yang sama \(a\)). Dan kita tahu bahwa ini sama dengan empat bilangan \(a\) , yaitu \(4\sqrt2\) .

Fakta 4.
\(\bullet\) Mereka sering mengatakan “Anda tidak dapat mengekstrak akarnya” ketika Anda tidak dapat menghilangkan tanda \(\sqrt () \ \) dari akar (radikal) saat mencari nilai suatu bilangan . Misalnya, Anda dapat mengambil akar bilangan \(16\) karena \(16=4^2\) , maka \(\sqrt(16)=4\) . Tetapi tidak mungkin mengekstrak akar bilangan \(3\), yaitu menemukan \(\sqrt3\), karena tidak ada bilangan yang akan dikuadratkan \(3\) .
Angka-angka seperti itu (atau ekspresi dengan angka-angka seperti itu) tidak rasional. Misalnya saja angka \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) dan seterusnya. tidak rasional.
Yang juga tidak rasional adalah bilangan \(\pi\) (bilangan “pi”, kira-kira sama dengan \(3.14\)), \(e\) (bilangan ini disebut bilangan Euler, kira-kira sama dengan \(2.7 \)) dll.
\(\bullet\) Perlu diketahui bahwa bilangan apa pun bisa bersifat rasional atau irasional. Dan bersama-sama semua bilangan rasional dan irasional membentuk suatu himpunan yang disebut sekumpulan bilangan real. Himpunan ini dilambangkan dengan huruf \(\mathbb(R)\) .
Artinya semua nomor yang ada di saat ini kita tahu disebut bilangan real.

Fakta 5.
\(\bullet\) Modulus bilangan real \(a\) adalah bilangan non-negatif \(|a|\) yang sama dengan jarak dari titik \(a\) ke \(0\) di garis nyata. Misalnya, \(|3|\) dan \(|-3|\) sama dengan 3, karena jarak dari titik \(3\) dan \(-3\) ke \(0\) adalah sama dan sama dengan \(3 \) .
\(\bullet\) Jika \(a\) adalah bilangan non-negatif, maka \(|a|=a\) .
Contoh: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Jika \(a\) adalah bilangan negatif, maka \(|a|=-a\) .
Contoh: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Mereka mengatakan bahwa untuk bilangan negatif modulusnya “memakan” minus, sedangkan bilangan positif, serta bilangan \(0\), tidak diubah oleh modulusnya.
TETAPI Aturan ini hanya berlaku untuk angka. Jika di bawah tanda modulus Anda ada yang tidak diketahui \(x\) (atau yang tidak diketahui lainnya), misalnya \(|x|\) , yang kita tidak tahu apakah itu positif, nol atau negatif, maka singkirkan dari modulus kita tidak bisa. Dalam hal ini, ungkapan ini tetap sama: \(|x|\) . \(\bullet\) Rumus berikut berlaku: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \teks( disediakan ) a\geqslant 0\] Sangat sering terjadi kesalahan berikut: mereka mengatakan bahwa \(\sqrt(a^2)\) dan \((\sqrt a)^2\) adalah satu dan sama. Hal ini hanya berlaku jika \(a\) – nomor positif atau nol. Namun jika \(a\) adalah bilangan negatif, maka bilangan tersebut salah. Cukuplah untuk mempertimbangkan contoh ini. Mari kita ambil bilangan \(-1\) sebagai ganti \(a\). Kemudian \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , tetapi ekspresi \((\sqrt (-1))^2\) tidak ada sama sekali (lagipula, tidak mungkin menggunakan tanda akar untuk memasukkan angka negatif!).
Oleh karena itu, kami menarik perhatian Anda pada fakta bahwa \(\sqrt(a^2)\) tidak sama dengan \((\sqrt a)^2\) ! Contoh 1) \(\sqrt(\kiri(-\sqrt2\kanan)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), Karena \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Karena \(\sqrt(a^2)=|a|\) , maka \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (pernyataan \(2n\) menunjukkan bilangan genap)
Artinya, ketika mengambil akar suatu bilangan yang derajatnya sampai taraf tertentu, derajatnya dibelah dua.
Contoh:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (perhatikan jika modul tidak diberikan, ternyata akar bilangan tersebut sama dengan \(-25\ ) ; tapi kita ingat, bahwa menurut definisi akar hal ini tidak dapat terjadi: ketika mengekstrak akar, kita harus selalu mendapatkan bilangan positif atau nol)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (karena bilangan apa pun pangkat genap adalah non-negatif)

Fakta 6.
Bagaimana cara membandingkan dua akar kuadrat?
\(\bullet\) Untuk akar kuadrat memang benar: jika \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aContoh:
1) bandingkan \(\sqrt(50)\) dan \(6\sqrt2\) . Pertama, mari kita ubah ekspresi kedua menjadi \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Jadi, sejak \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Di antara bilangan bulat manakah \(\sqrt(50)\) berada?
Karena \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) , dan \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Mari kita bandingkan \(\sqrt 2-1\) dan \(0.5\) . Mari kita asumsikan bahwa \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(selaras) &\sqrt 2-1>0,5 \ \besar| +1\quad \text((tambahkan satu ke kedua sisi))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((mengkuadratkan kedua sisi))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(sejajar)\] Kami melihat bahwa kami telah memperoleh pertidaksamaan yang salah. Oleh karena itu, asumsi kami salah dan \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Perhatikan bahwa menambahkan bilangan tertentu pada kedua ruas pertidaksamaan tidak mempengaruhi tandanya. Mengalikan/membagi kedua ruas suatu pertidaksamaan dengan bilangan positif juga tidak mempengaruhi tandanya, tetapi mengalikan/membagi dengan bilangan negatif akan membalikkan tanda pertidaksamaan tersebut!
Anda dapat mengkuadratkan kedua ruas persamaan/pertidaksamaan HANYA JIKA kedua ruas tersebut non-negatif. Misalnya, pada pertidaksamaan pada contoh sebelumnya, Anda dapat mengkuadratkan kedua sisi, pada pertidaksamaan \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Perlu diingat hal itu \[\begin(selaras) &\sqrt 2\kira-kira 1,4\\ &\sqrt 3\kira-kira 1,7 \end(selaras)\] Mengetahui perkiraan arti angka-angka ini akan membantu Anda saat membandingkan angka! \(\bullet\) Untuk mengekstrak akar (jika dapat diekstraksi) dari suatu bilangan besar yang tidak ada dalam tabel kuadrat, pertama-tama Anda harus menentukan di antara “ratusan” yang mana, lalu – di antara “yang mana” puluhan”, lalu tentukan angka terakhir bilangan tersebut. Mari kita tunjukkan cara kerjanya dengan sebuah contoh.
Mari kita ambil \(\sqrt(28224)\) . Kita tahu bahwa \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\), dll. Perhatikan bahwa \(28224\) berada di antara \(10\,000\) dan \(40\,000\) . Oleh karena itu, \(\sqrt(28224)\) berada di antara \(100\) dan \(200\) .
Sekarang mari kita tentukan di antara “puluhan” mana bilangan kita berada (yaitu, misalnya, antara \(120\) dan \(130\)). Juga dari tabel kuadrat kita mengetahui bahwa \(11^2=121\) , \(12^2=144\) dst., lalu \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . Jadi kita melihat bahwa \(28224\) berada di antara \(160^2\) dan \(170^2\) . Oleh karena itu, bilangan \(\sqrt(28224)\) berada di antara \(160\) dan \(170\) .
Mari kita coba menentukan digit terakhir. Mari kita ingat bilangan satu digit manakah yang jika dikuadratkan akan menghasilkan \(4\) di akhir? Ini adalah \(2^2\) dan \(8^2\) . Oleh karena itu, \(\sqrt(28224)\) akan diakhiri dengan 2 atau 8. Mari kita periksa. Mari kita cari \(162^2\) dan \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Oleh karena itu, \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Untuk menyelesaikan Ujian Negara Bersatu dalam matematika secara memadai, Anda harus terlebih dahulu mempelajari materi teoretis, yang memperkenalkan Anda pada berbagai teorema, rumus, algoritme, dll. Pada pandangan pertama, tampaknya ini cukup sederhana. Namun, menemukan sumber yang menyajikan teori Ujian Negara Terpadu matematika dengan cara yang mudah dan dapat dipahami oleh siswa dengan tingkat pelatihan apa pun sebenarnya merupakan tugas yang agak sulit. Buku pelajaran sekolah tidak selalu bisa disimpan. Dan menemukan rumus dasar UN Unified State dalam matematika bisa jadi sulit bahkan di Internet.

Mengapa mempelajari teori matematika begitu penting tidak hanya bagi mereka yang mengikuti Ujian Negara Bersatu?

Karena itu memperluas wawasan Anda. Mempelajari materi teori matematika bermanfaat bagi siapa saja yang ingin mendapatkan jawaban atas berbagai pertanyaan yang berkaitan dengan pengetahuan tentang dunia sekitarnya. Segala sesuatu di alam ini teratur dan memiliki logika yang jelas. Inilah tepatnya yang tercermin dalam sains, yang melaluinya kita dapat memahami dunia.
Karena itu mengembangkan kecerdasan. Dengan mempelajari bahan referensi Ujian Negara Terpadu matematika, serta memecahkan berbagai masalah, seseorang belajar berpikir dan bernalar secara logis, merumuskan pikiran secara kompeten dan jelas. Ia mengembangkan kemampuan menganalisis, menggeneralisasi, dan menarik kesimpulan.

Kami mengundang Anda untuk mengevaluasi secara pribadi semua keuntungan dari pendekatan kami terhadap sistematisasi dan penyajian materi pendidikan.