Simpangan baku rumus variabel acak. Perhitungan standar deviasi di Microsoft Excel

instruksi

Misalkan ada beberapa bilangan yang mencirikan besaran homogen. Misalnya hasil pengukuran, penimbangan, pengamatan statistik dll. Semua besaran yang disajikan harus diukur dengan menggunakan ukuran yang sama. Untuk mencari simpangan baku, lakukan hal berikut:

Mendefinisikan rata-rata aritmatika semua angka: jumlahkan semua angka dan bagi hasilnya dengan jumlah total angka.

Tentukan penyebaran (penyebaran) bilangan: jumlahkan kuadrat simpangan yang ditemukan sebelumnya dan bagi jumlah yang dihasilkan dengan banyaknya bilangan.

Terdapat tujuh pasien di bangsal dengan suhu 34, 35, 36, 37, 38, 39, dan 40 derajat Celcius.

Hal ini diperlukan untuk menentukan deviasi rata-rata dari mean.
Larutan:
“di bangsal”: (34+35+36+37+38+39+40)/7=37 ºС;

Penyimpangan suhu dari rata-rata (dalam hal ini nilai normal): 34-37, 35-37, 36-37, 37-37, 38-37, 39-37, 40-37, menghasilkan: -3, - 2, -1 , 0, 1, 2, 3 (ºС);

Bagilah jumlah angka yang diperoleh sebelumnya dengan jumlahnya. Untuk perhitungan yang akurat, lebih baik menggunakan kalkulator. Hasil pembagian adalah mean aritmatika dari bilangan-bilangan yang dijumlahkan.

Perhatikan semua tahapan penghitungan, karena kesalahan pada salah satu penghitungan saja akan menyebabkan indikator akhir salah. Periksa perhitungan Anda di setiap tahap. Rata-rata aritmatika mempunyai meteran yang sama dengan angka-angka yang dijumlahkan, yaitu jika anda menentukan rata-rata kehadiran maka semua indikator anda adalah “orang”.

Metode perhitungan ini hanya digunakan dalam perhitungan matematis dan statistik. Misalnya, mean aritmatika dalam ilmu komputer memiliki algoritma perhitungan yang berbeda. Rata-rata aritmatika adalah indikator yang sangat relatif. Ini menunjukkan kemungkinan suatu peristiwa, asalkan hanya memiliki satu faktor atau indikator. Untuk analisis yang paling mendalam, banyak faktor yang harus dipertimbangkan. Untuk tujuan ini digunakan perhitungan besaran yang lebih umum.

Rata-rata aritmatika adalah salah satu ukuran tendensi sentral, yang banyak digunakan dalam matematika dan perhitungan statistik. Menemukan rata-rata aritmatika untuk beberapa nilai sangatlah sederhana, namun setiap tugas memiliki nuansa tersendiri, yang hanya perlu diketahui agar dapat melakukan perhitungan yang benar.

Hasil kuantitatif dari percobaan serupa.

Cara mencari mean aritmatika

Cari rata-ratanya bilangan aritmatika untuk array angka, Anda harus mulai dengan menentukan jumlah aljabar dari nilai-nilai ini. Misalnya, jika suatu array berisi angka 23, 43, 10, 74 dan 34, maka jumlah aljabarnya akan sama dengan 184. Saat menulis, mean aritmatika dilambangkan dengan huruf μ (mu) atau x (x dengan a batang). Berikutnya jumlah aljabar harus dibagi dengan jumlah angka dalam array. Pada contoh yang dibahas ada lima bilangan, sehingga mean aritmatikanya adalah 184/5 dan menjadi 36,8.

Fitur bekerja dengan angka negatif

Jika array berisi angka negatif, maka mean aritmatika ditemukan menggunakan algoritma serupa. Perbedaannya hanya ada ketika menghitung di lingkungan pemrograman, atau jika masalahnya memiliki kondisi tambahan. Dalam kasus ini, mencari mean aritmatika dari bilangan dengan tanda-tanda yang berbeda turun ke tiga langkah:

1. Mencari rata-rata aritmatika umum dengan menggunakan metode standar;
2. Mencari mean aritmatika dari bilangan negatif.
3. Perhitungan mean aritmatika bilangan positif.

Jawaban setiap tindakan ditulis dipisahkan dengan koma.

Pecahan natural dan desimal

Jika serangkaian angka disajikan desimal, penyelesaiannya dilakukan dengan menggunakan metode penghitungan mean aritmatika bilangan bulat, tetapi hasilnya dikurangi sesuai dengan persyaratan soal untuk keakuratan jawaban.

Saat bekerja dengan pecahan alami angka-angka tersebut harus direduksi menjadi penyebut yang sama, yang dikalikan dengan jumlah angka dalam larik. Pembilang jawabannya adalah jumlah pembilang unsur pecahan aslinya.

Matematikawan dan ahli statistik yang bijaksana menghasilkan indikator yang lebih andal, meskipun untuk tujuan yang sedikit berbeda - rata-rata deviasi linier . Indikator ini mencirikan ukuran penyebaran nilai suatu kumpulan data di sekitar nilai rata-ratanya.

Untuk menunjukkan ukuran sebaran data, Anda harus terlebih dahulu memutuskan apa yang akan dihitung sebarannya - biasanya ini adalah nilai rata-rata. Selanjutnya, Anda perlu menghitung seberapa jauh nilai kumpulan data yang dianalisis dari rata-rata. Jelas bahwa setiap nilai sesuai dengan nilai deviasi tertentu, namun kami tertarik pada penilaian keseluruhan, yang mencakup seluruh populasi. Oleh karena itu, simpangan rata-rata dihitung menggunakan rumus rata-rata aritmatika biasa. Tetapi! Namun untuk menghitung rata-rata simpangannya, harus dijumlahkan terlebih dahulu. Dan jika kita menjumlahkan bilangan positif dan negatif, keduanya akan saling menghilangkan dan jumlahnya cenderung nol. Untuk menghindari hal ini, semua deviasi diambil modulo, yaitu semua bilangan negatif menjadi positif. Sekarang deviasi rata-rata akan menunjukkan ukuran umum dari penyebaran nilai. Hasilnya, simpangan linier rata-rata akan dihitung menggunakan rumus:

A– deviasi linier rata-rata,

X– indikator yang dianalisis, dengan tanda hubung di atas – nilai rata-rata indikator,

N– jumlah nilai dalam kumpulan data yang dianalisis,

Saya harap operator penjumlahan tidak menakuti siapa pun.

Deviasi linier rata-rata yang dihitung menggunakan rumus yang ditentukan mencerminkan deviasi absolut rata-rata dari nilai rata-rata suatu populasi tertentu.

Pada gambar, garis merah adalah nilai rata-rata. Penyimpangan setiap observasi dari mean ditunjukkan dengan panah kecil. Mereka diambil modulo dan dijumlahkan. Kemudian semuanya dibagi dengan banyaknya nilai.

Untuk melengkapi gambarannya, kita perlu memberikan contoh. Misalkan ada sebuah perusahaan yang memproduksi stek untuk sekop. Setiap pemotongan harus memiliki panjang 1,5 meter, tetapi yang lebih penting, semuanya harus sama, atau setidaknya plus atau minus 5 cm. Namun, pekerja yang ceroboh akan memotong 1,2 m atau 1,8 m. Direktur perusahaan memutuskan untuk melakukan analisis statistik terhadap panjang stek. Saya memilih 10 buah dan mengukur panjangnya, menemukan rata-ratanya dan menghitung deviasi linier rata-rata. Rata-ratanya ternyata sesuai dengan kebutuhan - 1,5 m. Tetapi deviasi linier rata-rata adalah 0,16 m. Jadi ternyata setiap pemotongan rata-rata lebih panjang atau lebih pendek dari yang dibutuhkan sebesar 16 cm pekerja. Faktanya, saya belum melihat kegunaan nyata dari indikator ini, jadi saya sendiri yang memberikan contohnya. Namun, ada indikator seperti itu dalam statistik.

Penyebaran

Seperti deviasi linier rata-rata, varians juga mencerminkan sejauh mana penyebaran data di sekitar nilai rata-rata.

Rumus untuk menghitung varians adalah sebagai berikut:

(untuk rangkaian variasi (varian tertimbang))

(untuk data yang tidak dikelompokkan (varians sederhana))

Dimana: σ 2 – dispersi, Xi– kita menganalisis indikator sq (nilai karakteristik), – nilai rata-rata indikator, f i – jumlah nilai dalam kumpulan data yang dianalisis.

Dispersi adalah kuadrat rata-rata deviasi.

Pertama, dihitung nilai rata-ratanya, kemudian diambil selisih masing-masing nilai asli dan rata-rata, dikuadratkan, dikalikan dengan frekuensi nilai atribut yang bersangkutan, dijumlahkan lalu dibagi dengan banyaknya nilai dalam populasi.

Namun, dalam bentuknya yang murni, seperti mean aritmatika, atau indeks, dispersi tidak digunakan. Ini lebih merupakan indikator tambahan dan perantara yang digunakan untuk jenis analisis statistik lainnya.

Cara sederhana untuk menghitung varians

Deviasi standar

Untuk menggunakan varians dalam analisis data, diambil akar kuadrat dari varians tersebut. Ternyata yang disebut deviasi standar.

Omong-omong, deviasi standar juga disebut sigma - dari huruf Yunani yang artinya.

Deviasi standar, tentu saja, juga mencirikan ukuran penyebaran data, tetapi sekarang (tidak seperti varians) dapat dibandingkan dengan data asli. Biasanya, ukuran akar rata-rata kuadrat dalam statistik memberikan hasil yang lebih akurat daripada hasil linier. Oleh karena itu, rata-rata deviasi standar adalah ukuran penyebaran data yang lebih akurat daripada deviasi rata-rata linier.

Bahan dari Wikipedia - ensiklopedia gratis

Deviasi standar(sinonim: deviasi standar, deviasi standar, deviasi persegi; istilah terkait: deviasi standar, penyebaran standar) - dalam teori probabilitas dan statistik, indikator paling umum dari dispersi nilai variabel acak relatif terhadap ekspektasi matematisnya. Untuk array sampel nilai yang terbatas, sebagai ganti ekspektasi matematis rata-rata aritmatika dari populasi sampel digunakan.

Dasar-dasar

Standar deviasi diukur dalam satuan pengukuran itu sendiri variabel acak dan digunakan saat menghitung kesalahan standar rata-rata aritmatika, saat membangun interval kepercayaan, saat menguji hipotesis secara statistik, saat mengukur hubungan linier antara variabel acak. Didefinisikan sebagai akar kuadrat dari varians suatu variabel acak.

Deviasi standar:

$\sigma=\sqrt(\frac(1)(n)\sum_(i=1)^n\kiri(x_i-\bar(x)\kanan)^2).$

Deviasi Standar(perkiraan simpangan baku suatu variabel acak X relatif terhadap ekspektasi matematisnya berdasarkan estimasi variansnya yang tidak bias) $S$ :

$s=\sqrt(\frac(n)(n-1)\sigma^2)=\sqrt(\frac(1)(n-1)\sum_(i=1)^n\left(x_i-\bar (x)\kanan)^2);$

Aturan tiga sigma

Aturan tiga sigma ( $3\sigma$ ) - hampir semua nilai variabel acak yang terdistribusi normal terletak pada interval $\kiri(\bar(x)-3\sigma;\bar(x)+3\sigma\kanan)$ . Lebih tepatnya - dengan probabilitas kira-kira 0,9973, nilai variabel acak yang terdistribusi normal terletak pada interval yang ditentukan (asalkan nilainya $\bar(x)$ benar, dan tidak diperoleh sebagai hasil pengolahan sampel).

Jika nilai sebenarnya $\bar(x)$ tidak diketahui, maka sebaiknya jangan digunakan $\sigma$ , A S. Dengan demikian, aturan tiga sigma diubah menjadi aturan tiga S .

Interpretasi nilai standar deviasi

Nilai simpangan baku yang lebih besar menunjukkan penyebaran nilai yang lebih besar pada himpunan yang disajikan dengan nilai rata-rata himpunan tersebut; nilai yang lebih kecil, oleh karena itu, menunjukkan bahwa nilai-nilai dalam himpunan dikelompokkan di sekitar nilai rata-rata.

Misalnya, kita mempunyai tiga himpunan bilangan: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) dan (6, 6, 8, 8). Ketiga himpunan mempunyai nilai rata-rata sama dengan 7, dan simpangan baku masing-masing sama dengan 7, 5 dan 1. Himpunan terakhir mempunyai simpangan baku yang kecil, karena nilai-nilai dalam himpunan tersebut dikelompokkan di sekitar nilai rata-rata; set pertama memiliki yang paling banyak nilai yang besar deviasi standar - nilai dalam himpunan sangat berbeda dari nilai rata-rata.

Secara umum, deviasi standar dapat dianggap sebagai ukuran ketidakpastian. Misalnya, dalam fisika, simpangan baku digunakan untuk menentukan kesalahan serangkaian pengukuran besaran yang berurutan. Nilai ini sangat penting untuk menentukan masuk akalnya fenomena yang diteliti dibandingkan dengan nilai yang diprediksi oleh teori: jika nilai rata-rata pengukuran berbeda jauh dari nilai yang diprediksi oleh teori (deviasi standar besar), maka nilai yang diperoleh atau cara memperolehnya harus diperiksa kembali.

Penerapan Praktis

Dalam praktiknya, deviasi standar memungkinkan Anda memperkirakan seberapa besar perbedaan nilai suatu himpunan dari nilai rata-rata.

Ekonomi dan keuangan

Standar deviasi pengembalian portofolio $\sigma =\sqrt(D[X])$ diidentifikasi dengan risiko portofolio.

Iklim

Misalkan ada dua kota dengan rata-rata suhu maksimum harian yang sama, namun yang satu terletak di pesisir pantai dan yang lainnya di dataran. Diketahui bahwa kota-kota yang terletak di pesisir pantai memiliki berbagai suhu maksimum siang hari yang lebih rendah dibandingkan kota-kota yang terletak di pedalaman. Oleh karena itu, simpangan baku suhu harian maksimum untuk kota pesisir akan lebih kecil dibandingkan kota kedua, meskipun nilai rata-rata dari nilai tersebut adalah sama, yang dalam praktiknya berarti probabilitas suhu udara maksimum pada setiap hari dalam setahun akan berbeda lebih tinggi dari nilai rata-rata, lebih tinggi untuk kota yang terletak di pedalaman.

Olahraga

Mari kita asumsikan ada beberapa tim sepak bola yang dievaluasi berdasarkan serangkaian parameter, misalnya, jumlah gol yang dicetak dan kebobolan, peluang mencetak gol, dll. Kemungkinan besar tim terbaik di grup ini akan memilikinya. nilai-nilai terbaik Oleh lagi parameter. Semakin kecil deviasi standar tim untuk setiap parameter yang disajikan, semakin mudah diprediksi hasil tim tersebut; Sebaliknya, untuk tim dengan standar deviasi yang besar, hasil yang diperoleh sulit diprediksi, yang pada gilirannya disebabkan oleh ketidakseimbangan, misalnya. pertahanan yang kuat, tapi serangannya lemah.

Menggunakan deviasi standar parameter tim memungkinkan, pada tingkat tertentu, untuk memprediksi hasil pertandingan antara dua tim, menilai kekuatan dan kelemahan perintah, dan karena itu metode perjuangan yang dipilih.

Lihat juga

Tulis ulasan tentang artikel "Penyimpangan Root Mean Square"

Literatur

Borovikov V.Sejarah pertemuanBorovikov V. STATISTIK. Seni analisis data di komputer: Untuk para profesional / V. Borovikov. - Sankt Peterburg. : Petrus, 2003. - 688 hal. - ISBN 5-272-00078-1..

Indikator statistik

Deskriptif
statistik

Statistik
keluaran dan
penyelidikan
hipotesis







Peringkat keseluruhan

Korelasi dan
regresi

Grafis
metode

Kutipan yang mencirikan Deviasi Standar

Dan, dengan cepat membuka pintu, dia berjalan keluar ke balkon dengan langkah tegas. Percakapan tiba-tiba berhenti, topi dan topi dilepas, dan semua mata tertuju pada hitungan yang keluar.
- Halo teman-teman! - kata hitungan dengan cepat dan keras. - Terima kasih sudah datang. Saya akan mengungkapkannya kepada Anda sekarang, tetapi pertama-tama kita harus berurusan dengan penjahatnya. Kita perlu menghukum penjahat yang membunuh Moskow. Tunggu aku! “Dan Count dengan cepat kembali ke kamarnya, membanting pintu dengan kuat.
Gumaman kenikmatan terdengar di antara kerumunan. “Itu artinya dia akan mengendalikan semua penjahat! Dan Anda bilang bahasa Prancis... dia akan memberi Anda jarak penuh!” - kata orang-orang, seolah-olah saling mencela karena kurangnya iman.
Beberapa menit kemudian seorang petugas buru-buru keluar dari pintu depan, memesan sesuatu, dan para naga itu berdiri. Kerumunan dari balkon dengan penuh semangat bergerak menuju teras. Berjalan ke teras dengan langkah cepat dan marah, Rostopchin buru-buru melihat sekelilingnya, seolah mencari seseorang.
-Dimana dia? - kata penghitung, dan pada saat yang sama ketika dia mengatakan ini, dia melihat dari sudut rumah dua naga keluar di antara keduanya. pemuda dengan leher panjang dan tipis, dengan kepala setengah gundul dan terlalu banyak. Pria muda ini mengenakan mantel kulit domba rubah lusuh yang ditutupi kain biru dan celana harem tahanan yang kotor, dimasukkan ke dalam sepatu bot tipis yang tidak bersih dan sudah usang. Belenggu sangat bergantung pada kakinya yang kurus dan lemah, membuat langkah ragu-ragu pemuda itu menjadi sulit.
- A! - kata Rastopchin, buru-buru mengalihkan pandangannya dari pemuda bermantel kulit domba rubah dan menunjuk ke anak tangga paling bawah di teras. - Taruh di sini! “Pemuda itu, sambil membunyikan belenggunya, melangkah dengan berat ke anak tangga yang ditunjukkan, memegang kerah mantel kulit dombanya dengan jarinya, memutar lehernya yang panjang dua kali dan, sambil menghela nafas, melipat tangannya yang kurus dan tidak berfungsi di depan perutnya. dengan sikap tunduk.
Keheningan berlanjut selama beberapa detik sementara pemuda itu memposisikan dirinya di tangga. Hanya di barisan belakang orang-orang yang berdesak-desakan di satu tempat terdengar erangan, erangan, gemetar, dan derap kaki yang bergerak.
Rastopchin, menunggunya berhenti di tempat yang ditunjukkan, mengerutkan kening dan mengusap wajahnya dengan tangannya.
- Teman-teman! - kata Rastopchin dengan suara nyaring metalik, - pria ini, Vereshchagin, adalah bajingan yang sama yang menyebabkan Moskow binasa.
Seorang pemuda bermantel kulit domba rubah berdiri dalam pose patuh, mengatupkan kedua tangan di depan perut dan sedikit membungkuk. Ekspresinya yang kurus dan putus asa, yang dirusak oleh kepalanya yang dicukur, tampak sedih. Pada kata-kata pertama penghitungan, dia perlahan mengangkat kepalanya dan melihat ke bawah ke penghitungan, seolah ingin memberitahunya sesuatu atau setidaknya menatap tatapannya. Tapi Rastopchin tidak memandangnya. Pada leher pemuda yang panjang dan kurus, seperti tali, urat di belakang telinga menjadi tegang dan membiru, dan tiba-tiba wajahnya memerah.
Semua mata tertuju padanya. Dia memandang ke arah kerumunan, dan seolah terdorong oleh ekspresi wajah orang-orang itu, dia tersenyum sedih dan takut-takut, lalu menundukkan kepalanya lagi dan mengatur langkah kakinya.
“Dia mengkhianati tsar dan tanah airnya, dia menyerahkan dirinya kepada Bonaparte, dia sendiri dari semua orang Rusia yang mempermalukan nama Rusia, dan Moskow binasa karenanya,” kata Rastopchin dengan suara datar dan tajam; tapi tiba-tiba dia dengan cepat menatap Vereshchagin, yang terus berdiri dalam pose tunduk yang sama. Seolah-olah tatapan ini telah meledakkannya, dia, sambil mengangkat tangannya, hampir berteriak, menoleh ke arah orang-orang: “Hancurkan dia dengan penilaianmu!” Aku memberikannya padamu!
Orang-orang terdiam dan hanya saling menekan semakin erat. Saling berpelukan, menghirup rasa sesak yang terinfeksi ini, tidak memiliki kekuatan untuk bergerak dan menunggu sesuatu yang tidak diketahui, tidak dapat dipahami, dan mengerikan menjadi tak tertahankan. Orang-orang yang berdiri di barisan depan, yang melihat dan mendengar segala sesuatu yang terjadi di depan mereka, semuanya dengan mata terbuka lebar dan mulut terbuka, mengerahkan seluruh kekuatan mereka, menahan tekanan dari orang-orang di belakang mereka di punggung mereka.
- Kalahkan dia!.. Biarkan pengkhianat itu mati dan jangan mempermalukan nama orang Rusia itu! - teriak Rastopchin. - Rubi! saya perintahkan! - Mendengar bukan kata-kata, tetapi suara Rastopchin yang marah, kerumunan itu mengerang dan bergerak maju, tetapi berhenti lagi.
“Hitung!..” kata Vereshchagin yang pemalu sekaligus teatrikal di tengah keheningan sesaat yang terjadi lagi. “Hitung, satu dewa ada di atas kita…” kata Vereshchagin sambil mengangkat kepalanya, dan lagi-lagi pembuluh darah tebal di leher tipisnya dipenuhi darah, dan warna itu dengan cepat muncul dan menghilang dari wajahnya. Dia tidak menyelesaikan apa yang ingin dia katakan.
- Potong dia! Saya pesan!.. - teriak Rastopchin, tiba-tiba menjadi pucat seperti Vereshchagin.
- Pedang habis! - petugas itu berteriak kepada para naga, sambil menghunus pedangnya sendiri.
Gelombang lain yang lebih kuat melanda orang-orang, dan mencapai barisan depan, gelombang ini menggerakkan barisan depan, terhuyung-huyung, dan membawa mereka ke tangga beranda. Seorang pria jangkung, dengan ekspresi ketakutan di wajahnya dan tangan terangkat berhenti, berdiri di samping Vereshchagin.
- Rubi! - Hampir seorang perwira berbisik kepada para dragoon, dan salah satu prajurit tiba-tiba, dengan wajah terdistorsi karena marah, memukul kepala Vereshchagin dengan pedang tumpul.
"A!" - Vereshchagin berteriak singkat dan terkejut, melihat sekeliling dengan ketakutan dan seolah tidak mengerti mengapa hal ini dilakukan padanya. Erangan keterkejutan dan kengerian yang sama terdengar di antara kerumunan.
"Astaga!" – seruan sedih seseorang terdengar.
Tapi setelah seruan keterkejutan yang keluar dari Vereshchagin, dia berteriak kesakitan, dan tangisan ini menghancurkannya. Penghalang perasaan manusia, yang terbentang hingga tingkat tertinggi, yang masih menahan kerumunan, menerobos seketika. Kejahatan telah dimulai, itu harus diselesaikan. Erangan celaan yang menyedihkan itu ditenggelamkan oleh raungan massa yang mengancam dan marah. Seperti gelombang ketujuh terakhir yang menghancurkan kapal, gelombang terakhir yang tak terhentikan ini bangkit dari barisan belakang, mencapai barisan depan, menjatuhkannya dan menyerap segalanya. Dragoon yang menyerang ingin mengulangi pukulannya. Vereshchagin, sambil berteriak ngeri, melindungi dirinya dengan tangannya, bergegas menuju orang-orang. Pria jangkung yang dia tabrak meraih leher kurus Vereshchagin dengan tangannya dan, sambil berteriak liar, dia dan dia jatuh di bawah kaki kerumunan orang yang mengaum.
Beberapa memukul dan mencabik-cabik Vereshchagin, yang lain tinggi dan kecil. Dan tangisan orang-orang yang hancur dan mereka yang mencoba menyelamatkan lelaki jangkung itu hanya menimbulkan kemarahan orang banyak. Untuk waktu yang lama para dragoon tidak dapat membebaskan pekerja pabrik yang berlumuran darah dan dipukuli hingga setengah mati. Dan untuk waktu yang lama, terlepas dari ketergesaan kerumunan orang untuk menyelesaikan pekerjaan yang telah dimulai, orang-orang yang memukul, mencekik, dan mencabik-cabik Vereshchagin tidak dapat membunuhnya; tetapi massa menekan mereka dari semua sisi, dengan mereka di tengah, seperti satu massa, bergoyang dari sisi ke sisi dan tidak memberi mereka kesempatan untuk menghabisi atau melemparkannya.

$X$. Untuk memulainya, mari kita ingat kembali definisi berikut:

Definisi 1

Populasi-- sekumpulan objek yang dipilih secara acak dari jenis tertentu, di mana pengamatan dilakukan untuk memperoleh nilai tertentu dari suatu variabel acak, yang dilakukan dalam kondisi konstan ketika mempelajari satu variabel acak dari jenis tertentu.

Definisi 2

Varians umum-- rata-rata aritmatika dari deviasi kuadrat nilai varian populasi dari nilai rata-ratanya.

Biarkan nilai opsi $x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ masing-masing memiliki frekuensi $n_1,\ n_2,\dots ,n_k$. Kemudian varians umum dihitung dengan menggunakan rumus:

Mari kita pertimbangkan kasus khusus. Biarkan semua opsi $x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ berbeda. Dalam hal ini $n_1,\ n_2,\titik ,n_k=1$. Kami menemukan bahwa dalam kasus ini varians umum dihitung menggunakan rumus:

Konsep ini juga berkaitan dengan konsep deviasi standar umum.

Definisi 3

Deviasi standar umum

\[(\sigma )_g=\sqrt(D_g)\]

Varians sampel

Mari kita diberikan populasi sampel terhadap variabel acak $X$. Untuk memulainya, mari kita ingat kembali definisi berikut:

Definisi 4

Populasi sampel-- bagian dari objek yang dipilih dari populasi umum.

Definisi 5

Varians sampel-- rata-rata nilai aritmatika pilihan pengambilan sampel.

Biarkan nilai opsi $x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ masing-masing memiliki frekuensi $n_1,\ n_2,\dots ,n_k$. Kemudian varians sampel dihitung dengan menggunakan rumus:

Terkait juga dengan konsep ini adalah konsep deviasi standar sampel.

Definisi 6

Contoh simpangan baku -- akar kuadrat dari varian umum:

\[(\sigma )_в=\sqrt(D_в)\]

Varians yang dikoreksi

Untuk mencari varians terkoreksi $S^2$ perlu mengalikan varians sampel dengan pecahan $\frac(n)(n-1)$, yaitu

Konsep ini juga dikaitkan dengan konsep simpangan baku terkoreksi, yang dicari dengan rumus:

Dalam hal nilai varian tidak diskrit, tetapi mewakili interval, maka dalam rumus menghitung varian umum atau sampel, nilai $x_i$ diambil sebagai nilai tengah interval ke milik $x_i.$ mana.

Contoh soal mencari varians dan simpangan baku

Contoh 1

Populasi sampel ditentukan oleh tabel distribusi berikut:

Gambar 1.

Mari kita cari varians sampel, deviasi standar sampel, varians terkoreksi, dan deviasi standar terkoreksi.

Untuk mengatasi masalah tersebut, pertama-tama kita buat tabel perhitungannya:

Gambar 2.

Nilai $\overline(x_в)$ (rata-rata sampel) dalam tabel ditemukan dengan rumus:

\[\overline(x_in)=\frac(\sum\limits^k_(i=1)(x_in_i))(n)\]

\[\overline(x_in)=\frac(\sum\limits^k_(i=1)(x_in_i))(n)=\frac(305)(20)=15,25\]

Mari kita cari varians sampel menggunakan rumus:

Contoh deviasi standar:

\[(\sigma )_в=\sqrt(D_в)\kira-kira 5.12\]

Varians yang dikoreksi:

\[(S^2=\frac(n)(n-1)D)_в=\frac(20)(19)\cdot 26.1875\kira-kira 27.57\]

Deviasi standar yang dikoreksi.

Nilai-nilai yang diperoleh dari pengalaman mau tidak mau mengandung kesalahan karena berbagai macam sebab. Diantaranya, kita harus membedakan antara kesalahan sistematis dan kesalahan acak. Kesalahan sistematis disebabkan oleh alasan yang bertindak dengan cara yang sangat spesifik, dan selalu dapat dihilangkan atau diperhitungkan dengan cukup akurat. Kesalahan acak disebabkan oleh sejumlah besar penyebab individu yang tidak dapat dipertanggungjawabkan secara akurat dan bertindak dengan cara yang berbeda dalam setiap pengukuran individu. Kesalahan-kesalahan ini tidak dapat sepenuhnya dikesampingkan; kesalahan tersebut hanya dapat diperhitungkan secara rata-rata, untuk itu perlu diketahui hukum yang mengatur kesalahan acak.

Kami akan menyatakan besaran yang diukur dengan A, dan kesalahan acak dalam pengukuran dengan x. Karena kesalahan x dapat bernilai berapa pun, maka ini adalah variabel acak kontinu, yang sepenuhnya dicirikan oleh hukum distribusinya.

Realitas yang paling sederhana dan paling akurat mencerminkan (dalam sebagian besar kasus) adalah apa yang disebut hukum distribusi kesalahan normal:

Hukum distribusi ini dapat diperoleh dari berbagai premis teoritis, khususnya dari persyaratan bahwa nilai yang paling mungkin dari suatu besaran yang tidak diketahui yang serangkaian nilai dengan tingkat ketelitian yang sama diperoleh dengan pengukuran langsung adalah rata-rata aritmatika dari nilai-nilai ini. Kuantitas 2 disebut penyebaran hukum normal ini.

Rata-rata aritmatika

Penentuan dispersi dari data eksperimen. Jika untuk sembarang nilai A, n nilai a i diperoleh dengan pengukuran langsung dengan derajat ketelitian yang sama dan jika kesalahan nilai A tunduk pada hukum distribusi normal, maka nilai A yang paling mungkin adalah rata-rata aritmatika:

a - mean aritmatika,

a i - nilai terukur pada langkah ke-i.

Penyimpangan nilai observasi (untuk setiap observasi) ai dari nilai A dari rata-rata aritmatika: a saya - a.

Untuk menentukan varians hukum distribusi kesalahan normal dalam hal ini digunakan rumus:

2 - dispersi,
a - mean aritmatika,
n - jumlah pengukuran parameter,

Deviasi standar

Deviasi standar menunjukkan deviasi absolut dari nilai yang diukur dari rata-rata aritmatika. Sesuai dengan rumus ukuran ketelitian kombinasi linier kesalahan kuadrat rata-rata Rata-rata aritmatika ditentukan dengan rumus:

, Di mana

a - mean aritmatika,
n - jumlah pengukuran parameter,
a i - nilai terukur pada langkah ke-i.

Koefisien variasi

Koefisien variasi mencirikan ukuran relatif deviasi nilai terukur dari rata-rata aritmatika:

, Di mana

V - koefisien variasi,
- simpangan baku,
a - mean aritmatika.

Bagaimana nilai lebih koefisien variasi, semakin besar penyebarannya dan semakin sedikit keseragaman nilai yang dipelajari. Jika koefisien variasi kurang dari 10%, maka variabilitas rangkaian variasi dianggap tidak signifikan, 10% sampai 20% dianggap rata-rata, lebih dari 20% dan kurang dari 33% dianggap signifikan dan jika koefisien variasi melebihi 33%, hal ini menunjukkan heterogenitas informasi dan kebutuhan untuk mengecualikan nilai terbesar dan terkecil.

Deviasi linier rata-rata

Salah satu indikator cakupan dan intensitas variasi adalah deviasi linier rata-rata(modul deviasi rata-rata) dari mean aritmatika. Deviasi linier rata-rata dihitung dengan rumus:

, Di mana

_
a - deviasi linier rata-rata,
a - mean aritmatika,
n - jumlah pengukuran parameter,
a i - nilai terukur pada langkah ke-i.

Untuk memeriksa kesesuaian nilai yang dipelajari dengan hukum distribusi normal digunakan relasi indikator asimetri atas kesalahan dan sikapnya indikator kurtosis atas kesalahannya.

Indikator asimetri

Indikator asimetri(A) dan kesalahannya (m a) dihitung dengan menggunakan rumus berikut:

, Di mana

A - indikator asimetri,
- simpangan baku,
a - mean aritmatika,
n - jumlah pengukuran parameter,
a i - nilai terukur pada langkah ke-i.

Indikator kurtosis

Indikator kurtosis(E) dan kesalahannya (m e) dihitung dengan menggunakan rumus berikut:

, Di mana