Kas yra duomenų matricos pavyzdys. Matricos

Šioje temoje apžvelgsime matricos sąvoką, taip pat matricų tipus. Kadangi šioje temoje yra daug terminų, tai papildysiu santrauka kad būtų lengviau naršyti medžiagoje.

Matricos ir jos elemento apibrėžimas. Žymėjimas.

Matrica yra $m$ eilučių ir $n$ stulpelių lentelė. Matricos elementai gali būti visiškai kitokio pobūdžio objektai: skaičiai, kintamieji ar, pavyzdžiui, kitos matricos. Pavyzdžiui, matricoje $\left(\begin(masyvas) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(masyvas) \right)$ yra 3 eilutės ir 2 stulpeliai; jo elementai yra sveikieji skaičiai. Matrica $\left(\begin(masyvas) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(masyvas) \right)$ yra 2 eilutės ir 4 stulpeliai.

Skirtingi matricų rašymo būdai: rodyti\slėpti

Matrica gali būti rašoma ne tik apvaliais, bet ir kvadratiniais arba dvigubais tiesiais skliaustais. Tai reiškia, kad žemiau esantys įrašai reiškia tą pačią matricą:

$$ \left(\begin(masyvas) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(masyvas) \right);\;\; \left[ \begin(masyvas) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(masyvas) \right]; \;\; \left \Vert \begin(masyvas) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(masyvas) \right \Vert $$

Produktas $m\times n$ vadinamas matricos dydis. Pavyzdžiui, jei matricą sudaro 5 eilutės ir 3 stulpeliai, mes kalbame apie matricą, kurios dydis yra $5\x3$. Matricos $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ dydis yra $3 \times 2$.

Paprastai žymimos matricos didžiosiomis raidėmis Lotynų abėcėlė: $A$, $B$, $C$ ir pan. Pavyzdžiui, $B=\left(\begin(masyvas) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(masyvas) \right)$. Eilučių numeracija eina iš viršaus į apačią; stulpeliai - iš kairės į dešinę. Pavyzdžiui, pirmoje matricos $B$ eilutėje yra elementai 5 ir 3, o antrame stulpelyje yra elementai 3, -87, 0.

Matricų elementai dažniausiai žymimi mažomis raidėmis. Pavyzdžiui, matricos $A$ elementai žymimi $a_(ij)$. Dvigubas indeksas $ij$ turi informaciją apie elemento padėtį matricoje. Skaičius $i$ yra eilutės numeris, o skaičius $j$ yra stulpelio numeris, kurio sankirtoje yra elementas $a_(ij)$. Pavyzdžiui, matricos antros eilutės ir penktojo stulpelio sankirtoje $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(masyvas) \right)$ elementas $a_(25) = 59 USD:

Lygiai taip pat pirmos eilutės ir pirmo stulpelio sankirtoje turime elementą $a_(11)=51$; trečios eilutės ir antrojo stulpelio sankirtoje - elementas $a_(32)=-15$ ir pan. Atkreipkite dėmesį, kad įrašas $a_(32)$ yra „trys du“, bet ne „trisdešimt du“.

Norint sutrumpinti matricą $A$, kurios dydis yra $m\times n$, naudojamas užrašas $A_(m\times n)$. Galite parašyti šiek tiek išsamiau:

$$ A_(m\times n)=(a_(ij)) $$

kur žymėjimas $(a_(ij))$ žymi matricos $A$ elementus. Visiškai išplėstoje formoje matricą $A_(m\times n)=(a_(ij))$ galima parašyti taip:

$$ A_(m\times n)=\left(\begin(masyvas)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ltaškai & a_(2n) \\ \ltaškai & \ltaškai & \ltaškai & \ltaškai \\ a_(m1) & a_(m2) & \ltaškai & a_(mn) \end(masyvas) \dešinė) $$

Įveskime kitą terminą - lygios matricos.

Dvi vienodo dydžio matricos $A_(m\times n)=(a_(ij))$ ir $B_(m\times n)=(b_(ij))$ vadinamos lygus, jeigu juos atitinkantys elementai yra lygūs, t.y. $a_(ij)=b_(ij)$ visiems $i=\overline(1,m)$ ir $j=\overline(1,n)$.

Įrašo $i=\overline(1,m)$ paaiškinimas: rodyti\slėpti

Žymėjimas „$i=\overline(1,m)$“ reiškia, kad parametras $i$ svyruoja nuo 1 iki m. Pavyzdžiui, įrašas $i=\overline(1,5)$ rodo, kad parametras $i$ įgyja reikšmes 1, 2, 3, 4, 5.

Taigi, kad matricos būtų lygios, turi būti įvykdytos dvi sąlygos: dydžių sutapimas ir atitinkamų elementų lygybė. Pavyzdžiui, matrica $A=\left(\begin(masyvas)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(masyvas)\right)$ nėra lygi matricai $B=\left(\ begin(masyvas)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(masyvas)\right)$ nes matrica $A$ dydis $3\time 2$ ir matrica $B$ dydis yra $2\ kartus $2. Be to, matrica $A$ nėra lygi matricai $C=\left(\begin(masyvas)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & ​​​​0\end(masyvas)\right)$ , kadangi $a_( 21)\neq c_(21)$ (t.y. $0\neq 98$). Tačiau matricai $F=\left(\begin(masyvas)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ galime drąsiai parašyti $A= F$, nes ir $A$ bei $F$ matricų dydžiai ir atitinkami elementai sutampa.

1 pavyzdys

Nustatykite matricos dydį $A=\left(\begin(masyvas) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \ 4 & 0 & -10 \\ \end(masyvas) \right)$. Nurodykite, kam lygūs elementai $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$.

Šią matricą sudaro 5 eilutės ir 3 stulpeliai, todėl jos dydis yra 5 USD \ kartus 3 USD. Taip pat šiai matricai galite naudoti žymėjimą $A_(5\times 3)$.

Elementas $a_(12)$ yra pirmosios eilutės ir antrojo stulpelio sankirtoje, taigi $a_(12)=-2$. Elementas $a_(33)$ yra trečios eilutės ir trečio stulpelio sankirtoje, taigi $a_(33)=23$. Elementas $a_(43)$ yra ketvirtos eilutės ir trečio stulpelio sankirtoje, taigi $a_(43)=-5$.

Atsakymas: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

Matricų tipai priklausomai nuo jų dydžio. Pagrindinės ir antrinės įstrižainės. Matricos pėdsakas.

Tegu pateikta tam tikra matrica $A_(m\times n)$. Jei $m=1$ (matrica susideda iš vienos eilutės), tada iškviečiama duotoji matrica matrica-eilė. Jei $n=1$ (matrica susideda iš vieno stulpelio), tada tokia matrica vadinama matrica-stulpelis. Pavyzdžiui, $\left(\begin(masyvas) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(masyvas) \right)$ yra eilučių matrica, o $\left(\begin(masyvas) ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(masyvas) \right)$ yra stulpelių matrica.

Jei matricai $A_(m\times n)$ yra teisinga sąlyga $m\neq n$ (t.y. eilučių skaičius nėra lygus stulpelių skaičiui), tada dažnai sakoma, kad $A$ yra stačiakampė matrica. Pavyzdžiui, matricos $\left(\begin(masyvas) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(masyvas) \right)$ dydis yra $2\times 4 $, tie. yra 2 eilutės ir 4 stulpeliai. Kadangi eilučių skaičius nėra lygus stulpelių skaičiui, ši matrica yra stačiakampė.

Jei matrica $A_(m\times n)$ tenkina sąlygą $m=n$ (t.y. eilučių skaičius lygus stulpelių skaičiui), tai $A$ laikoma kvadratine matrica, kurios eilės $ n$. Pavyzdžiui, $\left(\begin(masyvas) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(masyvas) \right)$ yra antros eilės kvadratinė matrica; $\left(\begin(masyvas) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(masyvas) \right)$ yra trečios eilės kvadratinė matrica. IN bendras vaizdas kvadratinę matricą $A_(n\times n)$ galima parašyti taip:

$$ A_(n\times n)=\left(\begin(masyvas)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ltaškai & a_(2n) \\ \ltaškai & \ltaškai & \ltaškai & \ltaškai \\ a_(n1) & a_(n2) & \ltaškai & a_(nn) \end(masyvas) \dešinė) $$

Teigiama, kad elementai $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ yra pagrindinė įstrižainė matricos $A_(n\times n)$. Šie elementai vadinami pagrindiniai įstrižainiai elementai(arba tiesiog įstrižai elementai). Elementai $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ yra įjungti šoninė (mažoji) įstrižainė; jie vadinami šoniniai įstrižai elementai. Pavyzdžiui, matricai $C=\left(\begin(masyvas)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( masyvas) \right)$ turime:

Elementai $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ yra pagrindiniai įstrižainės elementai; elementai $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ yra šoniniai įstrižainės elementai.

Pagrindinių įstrižainių elementų suma vadinama po to seka matrica ir žymimas $\Tr A$ (arba $\Sp A$):

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ltaškai+a_(nn) $$

Pavyzdžiui, matricai $C=\left(\begin(masyvas) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 ir -9 bei 5 ir 6 \end(masyvas)\right)$ turime:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

Įstrižainių elementų sąvoka taip pat naudojama ne kvadratinėms matricoms. Pavyzdžiui, matricai $B=\left(\begin(masyvas) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(masyvas) \right)$ pagrindiniai įstrižainės elementai bus $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.

Matricų tipai priklausomai nuo jų elementų verčių.

Jei visi matricos $A_(m\times n)$ elementai yra lygūs nuliui, tada tokia matrica vadinama nulinis ir paprastai žymimas raide $O$. Pavyzdžiui, $\left(\begin(masyvas) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(masyvas) \right)$, $\left(\begin(masyvas) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(masyvas) \right)$ - nulinės matricos.

Tegul matrica $A_(m\times n)$ turi tokią formą:

Tada ši matrica vadinama trapecijos formos. Jame gali nebūti nulio eilučių, bet jei jos yra, jos yra matricos apačioje. Bendresne forma trapecijos matrica gali būti parašyta taip:

Vėlgi, nulio eilučių pabaigos nereikia. Tie. Formaliai galime išskirti šias trapecijos matricos sąlygas:

1. Visi elementai žemiau pagrindinės įstrižainės yra lygūs nuliui.
2. Visi elementai nuo $a_(11)$ iki $a_(rr)$, esantys pagrindinėje įstrižainėje, nėra lygūs nuliui: $a_(11)\neq 0, \; a_(22)\neq 0, \ldots, a_(rr)\neq 0$.
3. Arba visi paskutinių $m-r$ eilučių elementai yra nuliai, arba $m=r$ (t. y. nulių eilučių iš viso nėra).

Trapecijos formos matricų pavyzdžiai:

Pereikime prie kito apibrėžimo. Iškviečiama matrica $A_(m\times n)$ žingsniavo, jei jis atitinka šias sąlygas:

Pavyzdžiui, žingsnių matricos būtų tokios:

Palyginimui, matrica $\left(\begin(masyvas) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & 0 ir 0 \end(masyvas)\right)$ nėra ešelonas, nes trečioje eilutėje yra tokia pati nulinė dalis kaip ir antroje eilutėje. Tai yra, pažeidžiamas principas „kuo žemesnė linija, tuo didesnė nulinė dalis“. Pridursiu, kad trapecijos formos matrica yra ypatingas laiptuotos matricos atvejis.

Pereikime prie kito apibrėžimo. Jei visi kvadratinės matricos elementai, esantys po pagrindine įstrižaine, yra lygūs nuliui, tada tokia matrica vadinama viršutinė trikampė matrica. Pavyzdžiui, $\left(\begin(masyvas) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(masyvas) \right)$ yra viršutinė trikampė matrica. Atkreipkite dėmesį, kad viršutinės trikampės matricos apibrėžimas nieko nesako apie elementų, esančių virš pagrindinės įstrižainės arba pagrindinėje įstrižainėje, vertes. Jų gali būti nulis arba ne – nesvarbu. Pavyzdžiui, $\left(\begin(masyvas) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(masyvas) \right)$ taip pat yra viršutinė trikampė matrica.

Jei visi kvadratinės matricos elementai, esantys virš pagrindinės įstrižainės, yra lygūs nuliui, tada tokia matrica vadinama apatinė trikampė matrica. Pavyzdžiui, $\left(\begin(masyvas) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(masyvas) \right)$ – apatinė trikampė matrica. Atkreipkite dėmesį, kad apatinės trikampės matricos apibrėžimas nieko nesako apie elementų, esančių po pagrindine įstrižaine arba ant jos, vertes. Jų gali būti nulis arba ne – nesvarbu. Pavyzdžiui, $\left(\begin(masyvas) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(masyvas) \right)$ ir $\left(\ pradžia (masyvas) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(masyvas) \right)$ taip pat yra žemesnės trikampės matricos.

Kvadratinė matrica vadinama įstrižainės, jei visi šios matricos elementai, kurie nėra pagrindinėje įstrižainėje, yra lygūs nuliui. Pavyzdys: $\left(\begin(masyvas) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ end(masyvas)\right)$. Pagrindinės įstrižainės elementai gali būti bet kokie (lygūs nuliui arba ne) – tai nesvarbu.

Įstrižainė matrica vadinama vienišas, jei visi šios matricos elementai, esantys pagrindinėje įstrižainėje, yra lygūs 1. Pavyzdžiui, $\left(\begin(masyvas) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(masyvas)\right)$ - ketvirtos eilės tapatybės matrica; $\left(\begin(masyvas) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ yra antros eilės tapatybės matrica.

Tebūnie n-osios eilės kvadratinė matrica

Matrica A -1 vadinama atvirkštinė matrica matricos A atžvilgiu, jei A*A -1 = E, kur E yra n-osios eilės tapatumo matrica.

Tapatybės matrica- tokia kvadratinė matrica, kurioje visi elementai išilgai pagrindinės įstrižainės, einantys iš viršutinio kairiojo kampo į apatinį dešinįjį kampą, yra vienetai, o likusieji yra nuliai, pavyzdžiui:

atvirkštinė matrica gali egzistuoti tik kvadratinėms matricoms tie. toms matricoms, kuriose eilučių ir stulpelių skaičius sutampa.

Atvirkštinės matricos egzistavimo sąlygos teorema

Tam, kad matrica turėtų atvirkštinę matricą, būtina ir pakanka, kad ji būtų ne vienaskaita.

Vadinama matrica A = (A1, A2,...A n). neišsigimęs, jei stulpelių vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi. Tiesiškai nepriklausomų matricos stulpelių vektorių skaičius vadinamas matricos rangu. Todėl galime sakyti, kad tam, kad egzistuotų atvirkštinė matrica, būtina ir pakanka, kad matricos rangas būtų lygus jos matmeniui, t.y. r = n.

Atvirkštinės matricos radimo algoritmas

1. Įrašykite į lentelę lygčių sistemų sprendimo Gauso metodu matricą A ir dešinėje (vietoj dešiniųjų lygčių pusių) priskirkite jai matricą E.
2. Naudodami Jordano transformacijas, sumažinkite matricą A į matricą, susidedančią iš vienetinių stulpelių; šiuo atveju būtina tuo pačiu metu transformuoti matricą E.
3. Jei reikia, pertvarkykite paskutinės lentelės eilutes (lygtis), kad po pradinės lentelės matrica A gautumėte tapatybės matricą E.
4. Užrašykite atvirkštinę matricą A -1, kuri yra paskutinėje lentelėje po pradinės lentelės matrica E.

Matricai A raskite atvirkštinę matricą A -1

Sprendimas: Įrašome matricą A ir dešinėje priskiriame tapatybės matricą E, naudodami Jordano transformacijas, matricą A redukuojame iki tapatybės matricos E. Skaičiavimai pateikti 31.1 lentelėje.

Skaičiavimų teisingumą patikrinkime pradinę matricą A ir atvirkštinę matricą A padauginę -1.

Matricos daugybos rezultate buvo gauta tapatumo matrica. Todėl skaičiavimai buvo atlikti teisingai.

Atsakymas:

Matricinių lygčių sprendimas

Matricos lygtys gali atrodyti taip:

AX = B, HA = B, AXB = C,

kur A, B, C yra nurodytos matricos, X yra norima matrica.

Matricinės lygtys išsprendžiamos lygtį padauginus iš atvirkštinių matricų.

Pavyzdžiui, norėdami rasti matricą iš lygties, šią lygtį turite padauginti iš kairėje esančios.

Todėl norėdami rasti lygties sprendimą, turite rasti atvirkštinę matricą ir padauginti ją iš matricos, esančios dešinėje lygties pusėje.

Kitos lygtys sprendžiamos panašiai.

Išspręskite lygtį AX = B, jei

Sprendimas: Kadangi atvirkštinė matrica yra lygi (žr. 1 pavyzdį)

Matricos metodas ekonominėje analizėje

Kartu su kitais jie taip pat naudojami matricos metodai. Šie metodai yra pagrįsti tiesine ir vektorine matricine algebra. Tokie metodai naudojami sudėtingai ir daugiamačiai analizei ekonominiai reiškiniai. Dažniausiai šie metodai taikomi, kai reikia atlikti lyginamąjį organizacijų ir jų struktūrinių padalinių funkcionavimo vertinimą.

Matricinės analizės metodų taikymo procese galima išskirti kelis etapus.

Pirmajame etape sistema formuojasi ekonominiai rodikliai ir jos pagrindu sudaroma šaltinio duomenų matrica, kuri yra lentelė, kurios atskirose eilutėse rodomi sistemos numeriai (i = 1,2,....,n), o vertikaliuose stulpeliuose – rodiklių skaičiai (j = 1,2,....m).

Antrame etape Kiekviename vertikaliame stulpelyje nurodoma didžiausia iš galimų indikatoriaus verčių, kuri laikoma viena.

Po to visos šiame stulpelyje nurodytos sumos padalytos iš didžiausia vertė ir susidaro standartizuotų koeficientų matrica.

Trečiajame etape visi matricos komponentai yra kvadratiniai. Jei jie turi skirtingą reikšmę, kiekvienam matricos rodikliui priskiriamas tam tikras svorio koeficientas k. Pastarųjų vertę nustato ekspertų išvada.

Paskutiniame, ketvirtasis etapas rastos įvertinimo reikšmės Rj yra sugrupuoti pagal jų didėjimo ar mažėjimo tvarką.

Nurodytus matricinius metodus reikėtų naudoti, pavyzdžiui, atliekant įvairių investicinių projektų lyginamąją analizę, taip pat vertinant kitus ekonominius organizacijų veiklos rodiklius.

Taškai erdvėje, produktas Rv duoda kitą vektorių, kuris nustato taško padėtį po pasukimo. Jeigu v yra eilutės vektorius, tą pačią transformaciją galima gauti naudojant vR T, kur R T – perkelta į R matrica.

Enciklopedinis „YouTube“.

1 / 5

C# – konsolė – olimpiada – kvadratinė spiralė

Matrica: apibrėžimas ir pagrindinės sąvokos

Kur pasisemti jėgų ir įkvėpimo 4 kvadratų matricos įkrovimas

Matricų suma ir skirtumas, matricos dauginimas iš skaičiaus

Transponuota matrica / Transponuota matrica

Subtitrai

Pagrindinė įstrižainė

Elementai a ii (i = 1, ..., n) sudaro pagrindinę kvadratinės matricos įstrižainę. Šie elementai yra ant įsivaizduojamos tiesios linijos, einančios nuo viršutinio kairiojo kampo iki apatinio dešiniojo matricos kampo. Pavyzdžiui, pagrindinėje 4x4 matricos įstrižainėje paveiksle yra elementai a 11 = 9, a 22 = 11, a 33 = 4, a 44 = 10.

Kvadratinės matricos įstrižainė, einanti per apatinį kairįjį ir viršutinį dešinįjį kampus, vadinama pusėje.

Specialūs tipai

Įstrižainės ir trikampės matricos

Jei visi elementai, esantys už pagrindinės įstrižainės, yra lygūs nuliui, A vadinamas įstrižaine. Jei visi elementai aukščiau (žemiau) pagrindinės įstrižainės yra lygūs nuliui, A vadinama apatine (viršutine) trikampe matrica.

Tapatybės matrica

priima tik teigiamas vertes(atitinkamai neigiamos reikšmės arba abi). Jei kvadratinė forma turi tik neneigiamas (atitinkamai, tik ne teigiamas) reikšmes, simetrinė matrica vadinama teigiamai pusiau apibrėžta (atitinkamai neigiama pusiau apibrėžta). Matrica bus neapibrėžta, jei ji nėra nei teigiama, nei neigiama pusiau apibrėžta.

Simetrinė matrica yra teigiama apibrėžta tada ir tik tada, kai ji yra visa savąsias reikšmes yra teigiami. Lentelėje dešinėje rodomi du galimi atvejai 2x2 matricoms.

Jei naudosime du skirtingus vektorius, gausime dvilinijinę formą, susietą su A:

Stačiakampė matrica

Stačiakampė matrica yra kvadratinė matrica su realiais elementais, kurių stulpeliai ir eilutės yra stačiakampiai vienetų vektoriai (t. y. stačiakampiai). Taip pat galite apibrėžti stačiakampę matricą kaip matricą, kurios atvirkštinė vertė yra lygi jos transponavimui:

iš kur jis atsiranda

Stačiakampė matrica A visada grįžtamas ( A −1 = A T), vienetinis ( A −1 = A*), ir normalus ( A*A = A.A.*). Bet kurios ortonormalios matricos determinantas yra arba +1, arba –1. Kaip tiesinis atvaizdavimas, bet kuri ortonormali matrica su determinantu +1 yra paprastas sukimasis, o bet kuri ortonormali matrica su determinantu −1 yra arba paprastas atspindys, arba atspindžio ir sukimosi kompozicija.

Operacijos

Trasa

Determinantas det( A) arba | A| kvadratinė matrica A yra skaičius, nusakantis kai kurias matricos savybes. Matrica yra apverčiama tada ir tik tada, kai jos determinantas nėra nulis.

Matricos apibrėžimas– vadinama skaičių lentele, kurioje yra tam tikras skaičius eilučių ir stulpelių

Matricos elementai yra a ij formos skaičiai, kur i yra eilutės numeris j yra stulpelio numeris

1 pavyzdys i = 2 j = 3

Pavadinimas: A=

Matricų tipai:

1. Jei eilučių skaičius nėra lygus stulpelių skaičiui, tada iškviečiama matrica stačiakampis:

2. Jei eilučių skaičius lygus stulpelių skaičiui, tada iškviečiama matrica kvadratas:

Kvadratinės matricos eilučių arba stulpelių skaičius vadinamas jo tvarka. Pavyzdyje n = 2

Apsvarstykite kvadratinę n eilės matricą:

Vadinama įstrižainė, kurioje yra elementai a 11, a 22 ......., a nn pagrindinis , ir įstrižainė, kurioje yra elementai a 12, a 2 n -1, …….a n 1 – pagalbinis.

Vadinama matrica, kurioje tik pagrindinės įstrižainės elementai yra nuliniai įstrižainės:

4 pavyzdys n=3

3. Jei įstrižainės matricos elementai yra lygūs 1, tada matrica iškviečiama vienišas ir žymimas raide E:

6 pavyzdys n=3

4. Vadinama matrica, kurios visi elementai lygūs nuliui nulinis matrica ir žymimas raide O

7 pavyzdys

5. Trikampis N-osios eilės matrica yra kvadratinė matrica, kurios visi elementai, esantys žemiau pagrindinės įstrižainės, yra lygūs nuliui:

8 pavyzdys n=3

Veiksmai su matricomis:

Matricos A ir B suma yra matrica C, kurios elementai yra lygūs atitinkamų A ir B matricų elementų sumai.

Galima pridėti tik tokias matricas, kuriose yra tiek pat eilučių ir stulpelių.

Matricos A ir skaičiaus k sandauga vadinama tokia matrica kA, kurios kiekvienas elementas lygus ka ij

10 pavyzdys

Matricos padauginimas iš skaičiaus sumažinamas iki visų matricos elementų padauginimo iš to skaičiaus.

Matricų sandauga Norėdami padauginti matricą iš matricos, turite pasirinkti pirmosios matricos pirmąją eilutę ir padauginti iš atitinkamų antrosios matricos pirmojo stulpelio elementų ir pridėti rezultatą. Įdėkite šį rezultatą į rezultatų matricą 1 eilutėje ir 10 stulpelyje. Atliekame tuos pačius veiksmus su visais kitais elementais: 1 eilute į antrą stulpelį, į 3 ir t.t., tada su šiomis eilutėmis.

11 pavyzdys

Matricą A padauginti iš matricos B galima tik tuo atveju, jei pirmosios matricos stulpelių skaičius yra lygus antrosios matricos stulpelių skaičiui.

- darbas yra;

- kūrinio nėra

12 pavyzdžiai nėra iš ko dauginti paskutinę II matricos eilutę, t.y. kūrinys neegzistuoja

Matricos perkėlimas Eilučių elementų pakeitimo stulpelio elementais operacija vadinama:

13 pavyzdys

Pakeliant į valdžią vadinamas nuosekliu matricos dauginimu iš savęs.

Matrica yra stačiakampė skaičių lentelė, kurią sudaro m vienodo ilgio linijos arba n vienodo ilgio stulpeliai.

aij- esantis matricos elementas i -toji eilutė ir j stulpelis.

Trumpumo dėlei matrica gali būti pažymėta viena didžiąja raide, pavyzdžiui, A arba IN.

Apskritai, dydžio matrica m× n parašyk tai taip

Pavyzdžiai:

Jei matricoje yra tiek pat eilučių, kiek stulpelių, tada matrica iškviečiama kvadratas, ir iškviečiamas jo eilučių arba stulpelių skaičius tvarka matricos. Aukščiau pateiktuose pavyzdžiuose antroji matrica yra kvadratinė - jos tvarka yra 3, o ketvirtoji matrica yra 1.

Iškviečiama matrica, kurioje eilučių skaičius nėra lygus stulpelių skaičiui stačiakampio formos. Pavyzdžiuose tai yra pirmoji matrica ir trečioji.

Pagrindinė įstrižainė kvadratinės matricos įstrižainė, einanti iš viršutinio kairiojo į apatinį dešinįjį kampą.

Vadinama kvadratinė matrica, kurioje visi elementai žemiau pagrindinės įstrižainės yra lygūs nuliui trikampis matrica.

.

Kvadratinė matrica, kurioje visi elementai, išskyrus galbūt esančius pagrindinėje įstrižainėje, yra lygūs nuliui, vadinama įstrižainės matrica. Pavyzdžiui, arba.

Vadinama įstrižainė matrica, kurioje visi įstrižainės elementai yra lygūs vienetui vienišas matrica ir žymima raide E. Pavyzdžiui, 3 eilės tapatybės matrica turi formą .

atgal į turinį

(36)85.Kas yra tiesinės operacijos su matricomis? Pavyzdžiai.

Visais atvejais, kai įvedami nauji matematiniai objektai, reikia susitarti dėl veikimo su jais taisyklių, taip pat nustatyti, kurie objektai laikomi lygiaverčiais vienas kitam.

Objektų pobūdis neturi reikšmės. Tai gali būti realūs arba kompleksiniai skaičiai, vektoriai, matricos, eilutės ar kažkas kita.

Standartinės operacijos apima tiesines operacijas, būtent: daugyba iš skaičiaus ir sudėjimas; šiuo konkrečiu atveju - matricos padauginimas iš skaičiaus ir matricų pridėjimas.

Dauginant matricą iš skaičiaus, kiekvienas matricos elementas padauginamas iš to skaičiaus, o matricos pridėjimas apima elementų, esančių lygiavertėse pozicijose, pridėjimą poromis.

Terminologinė išraiška "linijinis derinys"<" (векторов, матриц, строк, столбцов и так далее) всегда означает одно и тоже: алгебраическая сумма этих векторов (или матриц, строк, столбцов и так далее), предварительно умноженных на числовые коэффициенты.

Matricos A = || a i j|| Ir B = || a i j|| laikomi lygiais, jei jų matmenys yra vienodi, o atitinkami jų matricos elementai yra poromis lygūs:

Matricos papildymas Sudėjimo operacija apibrėžiama tik tokio paties dydžio matricoms. Matricos pridėjimo rezultatas A = || a i j|| Ir B = || b i j|| yra matrica C = || c i j|| , kurio elementai yra lygūs atitinkamų matricos elementų sumai.