Kaip rasti didžiausią funkcijos reikšmę intervale.

Kas yra funkcijos ekstremumas ir kas tai yra būtina sąlyga ekstremalus?

Funkcijos ekstremumas yra funkcijos maksimumas ir minimumas.

Būtinoji funkcijos maksimumo ir minimumo (ekstremumo) sąlyga yra tokia: jei funkcijos f(x) taške x = a yra ekstremumas, tai išvestinė šiame taške yra arba nulis, arba begalinė, arba neegzistuoja.

Ši sąlyga yra būtina, bet nepakankama. Išvestinė taške x = a gali eiti į nulį, begalybę arba neegzistuoti, jei funkcija šiame taške neturi ekstremumo.

Kokia yra pakankama funkcijos ekstremumo sąlyga (maksimali arba mažiausia)?

Pirmoji sąlyga:

Jei pakankamai arti taško x = a išvestinė f?(x) yra teigiama į kairę nuo a ir neigiama į dešinę nuo a, tai taške x = a funkcija f(x) turi maksimalus

Jei pakankamai arti taško x = a išvestinė f?(x) yra neigiama kairėje nuo a ir teigiama į dešinę nuo a, tai taške x = a funkcija f(x) turi minimumas su sąlyga, kad funkcija f(x) čia yra ištisinė.

Vietoj to galite naudoti antrąją pakankamą funkcijos ekstremumo sąlygą:

Tegul taške x = a pirmoji išvestinė f?(x) išnyksta; jei antroji išvestinė f??(a) yra neigiama, tai funkcija f(x) turi maksimumą taške x = a, jei teigiama, tai turi minimumą.

Kas yra kritinis funkcijos taškas ir kaip jį rasti?

Tai funkcijos argumento reikšmė, kuriai esant funkcijai yra ekstremumas (t. y. maksimalus arba minimumas). Norėdami jį rasti, jums reikia rasti išvestinę funkcija f?(x) ir, prilyginant ją nuliui, išspręskite lygtį f?(x) = 0. Šios lygties šaknys, taip pat tie taškai, kuriuose šios funkcijos išvestinė neegzistuoja, yra kritiniai taškai, t.y. argumento reikšmės, kuriose gali būti ekstremumas. Juos nesunku atpažinti pažiūrėjus išvestinis grafikas: mus domina tos argumento reikšmės, kuriose funkcijos grafikas kerta abscisių ašį (Ox ašį), ir tos, kuriose grafikas nutrūksta.

Pavyzdžiui, suraskime parabolės ekstremumas.

Funkcija y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Funkcijos išvestinė: y?(x) = 6x + 2

Išspręskite lygtį: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

Šiuo atveju kritinis taškas yra x0=-1/3. Funkcija turi šią argumento reikšmę ekstremumas. Jam rasti, pakeiskite rastą skaičių funkcijos išraiškoje vietoj „x“:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Kaip nustatyti funkcijos maksimumą ir minimumą, t.y. jos didžiausias ir mažiausia vertė?

Jei išvestinės ženklas einant per kritinį tašką x0 pasikeičia iš „pliuso“ į „minusą“, tai x0 yra maksimalus taškas; jei išvestinės ženklas pasikeičia iš minuso į pliusą, tai x0 yra minimalus taškas; jei ženklas nesikeičia, tai taške x0 nėra nei maksimumo, nei minimumo.

Nagrinėjamu pavyzdžiu:

Paimame savavališką argumento reikšmę kritinio taško kairėje: x = -1

Esant x = -1, išvestinės vertė bus y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (t. y. ženklas yra „minusas“).

Dabar paimame savavališką argumento reikšmę kritinio taško dešinėje: x = 1

Esant x = 1, išvestinės reikšmė bus y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (t. y. ženklas yra „pliusas“).

Kaip matote, išvestinė ženklą iš minuso į pliusą, eidama per kritinį tašką, pakeitė. Tai reiškia, kad esant kritinei vertei x0 turime mažiausią tašką.

Didžiausia ir mažiausia funkcijos reikšmė ant intervalo(segmente) randami naudojant tą pačią procedūrą, tik atsižvelgiant į tai, kad galbūt ne visi kritiniai taškai bus nurodytame intervale. Tie kritiniai taškai, kurie yra už intervalo ribų, turi būti neįtraukti. Jei intervale yra tik vienas kritinis taškas, jis turės arba maksimumą, arba minimumą. Šiuo atveju, norėdami nustatyti didžiausias ir mažiausias funkcijos reikšmes, taip pat atsižvelgiame į funkcijos reikšmes intervalo galuose.

Pavyzdžiui, suraskime didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes

y(x) = 3sin(x) – 0,5x

intervalais:

Taigi, funkcijos išvestinė yra

y?(x) = 3cos(x) – 0,5

Išsprendžiame lygtį 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ±arkos(0,16667) + 2πk.

Mes randame kritinius taškus intervale [-9; 9]:

x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (neįtraukta į intervalą)

x = -arccos(0,16667) – 2π*1 = -7,687

x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = Arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arckos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (neįtraukta į intervalą)

Funkcijų reikšmes randame prie kritinių argumento verčių:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Matyti, kad intervale [-9; 9] funkcija turi didžiausią reikšmę, kai x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

o mažiausias - esant x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Ant intervalo [-6; -3] turime tik vieną kritinį tašką: x = -4,88. Funkcijos reikšmė, kai x = -4,88, yra lygi y = 5,398.

Raskite funkcijos reikšmę intervalo galuose:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Ant intervalo [-6; -3] turime didžiausią funkcijos reikšmę

y = 5,398, kai x = -4,88

mažiausia vertė -

y = 1,077, kai x = -3

Kaip rasti funkcijos grafiko vingio taškus ir nustatyti išgaubtą ir įgaubtą puses?

Norėdami rasti visus tiesės y = f(x) vingio taškus, turite rasti antrąją išvestinę, prilyginti ją nuliui (išspręsti lygtį) ir išbandyti visas tas x reikšmes, kurių antroji išvestinė lygi nuliui, begalinis arba neegzistuoja. Jei, einant per vieną iš šių reikšmių, antroji išvestinė keičia ženklą, tai funkcijos grafikas šiame taške turi linksnį. Jei jis nesikeičia, tada nėra lenkimo.

Lygties f šaknys? (x) = 0, taip pat galimi funkcijos ir antrosios išvestinės nutrūkimo taškai, padalina funkcijos apibrėžimo sritį į daugybę intervalų. Išgaubtumą kiekviename jų intervale lemia antrosios išvestinės ženklas. Jei antroji išvestinė tiriamo intervalo taške yra teigiama, tai linija y = f(x) yra įgaubta aukštyn, o jei neigiama, tada žemyn.

Kaip rasti dviejų kintamųjų funkcijos kraštutinumą?

Norint rasti funkcijos f(x,y), diferencijuojamos jos specifikacijos srityje, kraštutinumą, reikia:

1) suraskite kritinius taškus ir tam - išspręskite lygčių sistemą

fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) kiekvienam kritiniam taškui P0(a;b) ištirti, ar skirtumo ženklas išlieka nepakitęs

visuose taškuose (x;y) pakankamai arti P0. Jei skirtumas išlieka teigiamas, tai taške P0 turime minimumą, jei neigiamą, tai maksimumą. Jei skirtumas neišlaiko savo ženklo, tada taške P0 nėra ekstremumo.

Funkcijos ekstremumai nustatomi panašiai daugiau argumentai.

Su šia paslauga galite Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę vienas kintamasis f(x) su Word formatu suformatuotu sprendimu. Jei duota funkcija f(x,y), tai reikia rasti dviejų kintamųjų funkcijos ekstremumą. Taip pat galite rasti funkcijų didinimo ir mažėjimo intervalus.

Funkcijų įvedimo taisyklės:

Vieno kintamojo funkcijos ekstremumo būtina sąlyga

Pakankama vieno kintamojo funkcijos ekstremumo sąlyga

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Tada taškas x * yra lokalus (pasaulinis) funkcijos minimumas.

Jei taške x * įvykdoma sąlyga:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Tada taškas x * yra vietinis (pasaulinis) maksimumas.

1 pavyzdys. Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes: segmente.
Sprendimas.

Kritinis taškas yra vienas x 1 = 2 (f’(x)=0). Šis taškas priklauso segmentui. (Taškas x=0 nėra kritinis, nes 0∉).
Apskaičiuojame funkcijos reikšmes segmento galuose ir kritiniame taške.
f(1)=9, f(2)=5/2, f(3)=38/81
Atsakymas: f min = 5/2, kai x=2; f max = 9 ties x = 1

2 pavyzdys. Naudodami aukštesnės eilės išvestines, raskite funkcijos y=x-2sin(x) ekstremumą.
Sprendimas.
Raskite funkcijos išvestinę: y’=1-2cos(x) . Raskime kritinius taškus: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Randame y’’=2sin(x), apskaičiuojame , o tai reiškia, kad x= π / 3 +2πk, k∈Z yra funkcijos minimalūs taškai; , o tai reiškia, kad x=- π / 3 +2πk, k∈Z yra didžiausi funkcijos taškai.

3 pavyzdys. Ištirkite ekstremumo funkciją taško x=0 aplinkoje.
Sprendimas. Čia reikia rasti funkcijos kraštutinumą. Jei ekstremumas x=0, tada išsiaiškinkite jo tipą (minimalus arba maksimalus). Jei tarp rastų taškų nėra x = 0, tada apskaičiuokite funkcijos f(x=0) reikšmę.
Pažymėtina, kad kai išvestinė kiekvienoje duoto taško pusėje nekeičia savo ženklo, galimos situacijos nėra išnaudotos net diferencijuojamoms funkcijoms: gali atsitikti taip, kad savavališkai mažai kaimynystėje vienoje taško pusėje x 0 arba abiejose pusėse išvestinės keičiasi ženklas. Šiuose taškuose būtina naudoti kitus metodus, kad būtų galima ištirti ekstremumo funkcijas.

Praktikoje gana įprasta naudoti išvestinę, kad būtų galima apskaičiuoti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę. Šį veiksmą atliekame tada, kai sugalvojame, kaip sumažinti išlaidas, padidinti pelną, paskaičiuoti optimali apkrova gamybai ir pan., tai yra tais atvejais, kai būtina nustatyti optimalią vertę bet koks parametras. Norėdami teisingai išspręsti tokias problemas, turite gerai suprasti, kokios yra didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmės.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Paprastai šias reikšmes apibrėžiame per tam tikrą intervalą x, kuris savo ruožtu gali atitikti visą funkcijos sritį arba jos dalį. Tai gali būti kaip atkarpa [a; b ] , ir atvirasis intervalas (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), begalinis intervalas (a ; b), (a ; b ], [a ; b) arba begalinis intervalas - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

Šioje medžiagoje mes jums pasakysime, kaip apskaičiuoti didžiausias ir mažiausias aiškiai apibrėžtos funkcijos reikšmes su vienu kintamuoju y=f(x) y = f (x) .

Pagrindiniai apibrėžimai

Pradėkime, kaip visada, nuo pagrindinių apibrėžimų formulavimo.

1 apibrėžimas

Didžiausia funkcijos y = f (x) reikšmė tam tikrame intervale x yra reikšmė m a x y = f (x 0) x ∈ X, kuri bet kuriai reikšmei x x ∈ X, x ≠ x 0 sudaro nelygybę f (x) ≤ f (x) galioja 0) .

2 apibrėžimas

Mažiausia funkcijos y = f (x) reikšmė tam tikrame intervale x yra reikšmė m i n x ∈ X y = f (x 0) , kuri bet kuriai reikšmei x ∈ X, x ≠ x 0 sudaro nelygybę f(X f (x) ≥ f (x 0) .

Šie apibrėžimai yra gana akivaizdūs. Dar paprasčiau, galime pasakyti taip: didžiausia funkcijos reikšmė yra jos didžiausia reikšmė žinomame intervale ties abscisėmis x 0, o mažiausia yra mažiausia priimtina reikšmė tame pačiame intervale ties x 0.

3 apibrėžimas

Stacionarieji taškai yra tos funkcijos argumento reikšmės, kai jos išvestinė tampa 0.

Kodėl turime žinoti, kas yra stacionarūs taškai? Norėdami atsakyti į šį klausimą, turime prisiminti Ferma teoremą. Iš to išplaukia, kad stacionarus taškas yra taškas, kuriame yra diferencijuojamos funkcijos ekstremumas (t. y. jos vietinis minimumas arba maksimumas). Vadinasi, funkcija įgaus mažiausią arba didžiausią reikšmę tam tikru intervalu būtent viename iš stacionarių taškų.

Funkcija taip pat gali įgyti didžiausią arba mažiausią reikšmę tuose taškuose, kuriuose pati funkcija yra apibrėžta ir neegzistuoja pirmoji jos išvestinė.

Pirmas klausimas, kylantis studijuojant šią temą: ar visais atvejais galime nustatyti didžiausią ar mažiausią funkcijos reikšmę duotame intervale? Ne, mes negalime to padaryti, kai tam tikro intervalo ribos sutampa su apibrėžimo srities ribomis arba jei turime reikalą su begaliniu intervalu. Taip pat atsitinka, kad funkcija tam tikrame segmente arba begalybėje bus be galo maža arba be galo maža didelės vertės. Tokiais atvejais neįmanoma nustatyti didžiausios ir (arba) mažiausios vertės.

Šie taškai taps aiškesni, kai bus pavaizduoti diagramose:

Pirmajame paveikslėlyje pavaizduota funkcija, kuri stacionariuose taškuose, esančiuose atkarpoje [-6 ; 6].

Išsamiai panagrinėkime antroje diagramoje nurodytą atvejį. Pakeiskime atkarpos reikšmę į [ 1 ; 6 ] ir mes nustatome, kad maksimali funkcijos reikšmė bus pasiekta taške, kurio abscisė yra dešinėje intervalo riboje, o mažiausia reikšmė – stacionariame taške.

Trečiame paveiksle taškų abscisės žymi atkarpos ribinius taškus [ - 3 ; 2]. Jie atitinka didžiausią ir mažiausią tam tikros funkcijos reikšmę.

Dabar pažiūrėkime į ketvirtą paveikslėlį. Jame funkcija ima m a x y (didžiausia reikšmė) ir m i n y (mažiausią reikšmę) atviro intervalo stacionariuose taškuose (- 6; 6).

Jei imtume intervalą [ 1 ; 6), tada galime pasakyti, kad mažiausia joje esančios funkcijos reikšmė bus pasiekta stacionariame taške. Didžiausia vertybė mums bus nežinoma. Funkcija gali gauti didžiausią reikšmę, kai x yra lygi 6, jei x = 6 priklausytų intervalui. Būtent toks atvejis parodytas 5 diagramoje.

6 grafike ši funkcija mažiausią reikšmę įgyja ties dešiniąja intervalo riba (- 3; 2 ] ir negalime daryti konkrečių išvadų apie didžiausią reikšmę.

7 paveiksle matome, kad funkcija m a x y stacionariame taške, kurio abscisė lygi 1. Funkcija pasieks mažiausią reikšmę ties intervalo c riba dešinioji pusė. Esant minus begalybei, funkcijos reikšmės asimptotiškai priartės prie y = 3.

Jei imtume intervalą x ∈ 2 ; + ∞ , tada pamatysime, kad duotoji funkcija neužims nei mažiausios, nei didžiausios reikšmės. Jei x linkęs į 2, tada funkcijos reikšmės bus linkusios atėmus begalybę, nes tiesė x = 2 yra vertikali asimptotė. Jei abscisė linkusi padidinti begalybę, tada funkcijos reikšmės asimptotiškai priartės prie y = 3. Būtent toks atvejis parodytas 8 paveiksle.

Šioje pastraipoje pateiksime veiksmų, kuriuos reikia atlikti, norint rasti didžiausią arba mažiausią tam tikro segmento funkcijos reikšmę, seką.

1. Pirmiausia suraskime funkcijos apibrėžimo sritį. Patikrinkime, ar sąlygoje nurodytas segmentas į jį įtrauktas.
2. Dabar apskaičiuokime taškus, esančius šiame segmente, kuriuose nėra pirmosios išvestinės. Dažniausiai juos galima rasti funkcijose, kurių argumentas parašytas po modulio ženklu, arba laipsnio funkcijose, kurių eksponentas yra trupmeninis racionalusis skaičius.
3. Toliau išsiaiškinsime, kurie stacionarūs taškai pateks duotoje atkarpoje. Norėdami tai padaryti, turite apskaičiuoti funkcijos išvestinę, tada prilyginti ją 0 ir išspręsti gautą lygtį, o tada pasirinkti atitinkamas šaknis. Jei negauname nė vieno stacionaraus taško arba jie nepatenka į nurodytą segmentą, pereiname prie kito žingsnio.
4. Nustatome, kokias reikšmes funkcija įgis tam tikruose stacionariuose taškuose (jei yra), arba tuose taškuose, kuriuose nėra pirmosios išvestinės (jei yra), arba apskaičiuojame x = a ir reikšmes. x = b.
5. 5. Turime keletą funkcijų reikšmių, iš kurių dabar turime pasirinkti didžiausią ir mažiausią. Tai bus didžiausios ir mažiausios funkcijos, kurią turime rasti, reikšmės.

Pažiūrėkime, kaip teisingai pritaikyti šį algoritmą sprendžiant problemas.

1 pavyzdys

Būklė: pateikta funkcija y = x 3 + 4 x 2. Nustatykite jo didžiausias ir mažiausias reikšmes segmentuose [1; 4 ] ir [ - 4 ; -1].

Sprendimas:

Pradėkime nuo nurodytos funkcijos apibrėžimo srities. Šiuo atveju tai bus visų realiųjų skaičių, išskyrus 0, rinkinys. Kitaip tariant, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . Abu sąlygoje nurodyti segmentai bus apibrėžimo srityje.

Dabar apskaičiuojame funkcijos išvestinę pagal trupmenų diferenciacijos taisyklę:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Sužinojome, kad funkcijos išvestinė egzistuos visuose atkarpų taškuose [1; 4 ] ir [ - 4 ; -1].

Dabar turime nustatyti stacionarius funkcijos taškus. Padarykime tai naudodami lygtį x 3 – 8 x 3 = 0. Jis turi tik vieną tikrą šaknį, kuri yra 2. Tai bus stacionarus funkcijos taškas ir pateks į pirmąjį segmentą [1; 4].

Apskaičiuokime funkcijos reikšmes pirmojo segmento galuose ir šiame taške, t.y. jei x = 1, x = 2 ir x = 4:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Mes nustatėme, kad didžiausia funkcijos m a x y x ∈ reikšmė [1; 4 ] = y (2) = 3 bus pasiektas esant x = 1, o mažiausias m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – kai x = 2.

Antrasis segmentas neapima vieno stacionaraus taško, todėl funkcijų reikšmes turime apskaičiuoti tik nurodyto segmento galuose:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Tai reiškia m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Atsakymas: Segmentui [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3, m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 atkarpai [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Žiūrėti paveikslėlį:

Prieš studijuojant šį metodą, patariame peržvelgti, kaip teisingai apskaičiuoti vienpusę ribą ir ribą begalybėje, taip pat išmokti pagrindinius jų radimo būdus. Norėdami rasti didžiausią ir (arba) mažiausią funkcijos reikšmę atvirame arba begaliniame intervale, nuosekliai atlikite šiuos veiksmus.

1. Pirmiausia turite patikrinti, ar duotas intervalas bus nurodytos funkcijos srities poaibis.
2. Nustatykime visus taškus, esančius reikiamame intervale ir kuriuose nėra pirmosios išvestinės. Paprastai jie atsiranda funkcijoms, kurių argumentas yra modulio ženkle, ir laipsnio funkcijoms su trupmeniniu racionaliuoju rodikliu. Jei šių taškų trūksta, galite pereiti prie kito veiksmo.
3. Dabar nustatykime, kurie stacionarūs taškai pateks į nurodytą intervalą. Pirmiausia išvestinę prilyginame 0, išsprendžiame lygtį ir pasirenkame tinkamas šaknis. Jei neturime nė vieno stacionaraus taško arba jie nepatenka į nurodytą intervalą, nedelsdami pereiname prie tolesnių veiksmų. Jie nustatomi pagal intervalo tipą.

• Jei intervalas yra [ a ; b) , tada reikia apskaičiuoti funkcijos reikšmę taške x = a ir vienpusę ribą lim x → b - 0 f (x) .
• Jei intervalas turi formą (a; b ], tada reikia apskaičiuoti funkcijos reikšmę taške x = b ir vienpusę ribą lim x → a + 0 f (x).
• Jei intervalas turi formą (a; b), tada turime apskaičiuoti vienpuses ribas lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x).
• Jei intervalas yra [ a ; + ∞), tada turime apskaičiuoti reikšmę taške x = a ir ribą plius begalybėje lim x → + ∞ f (x) .
• Jei intervalas atrodo taip (- ∞ ; b ] , apskaičiuojame reikšmę taške x = b ir ribą minus begalybėje lim x → - ∞ f (x) .
• Jei - ∞ ; b , tada atsižvelgsime į vienpusę ribą lim x → b - 0 f (x) ir ribą minus begalybėje lim x → - ∞ f (x)
• Jei - ∞; + ∞ , tada atsižvelgiame į minuso ir pliuso begalybės ribas lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

1. Pabaigoje, remiantis gautomis funkcijų reikšmėmis ir ribomis, reikia padaryti išvadą. Čia yra daug variantų. Taigi, jei vienpusė riba yra lygi minus begalybei arba plius begalybei, tada iš karto aišku, kad nieko negalima pasakyti apie mažiausias ir didžiausias funkcijos reikšmes. Žemiau apžvelgsime vieną tipinis pavyzdys. Išsamūs aprašymai padės suprasti, kas yra kas. Jei reikia, galite grįžti prie 4 - 8 paveikslų pirmoje medžiagos dalyje.

Sąlyga: duota funkcija y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Apskaičiuokite jo didžiausią ir mažiausią reikšmę intervaluose - ∞ ; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2 ), 2 ; + ∞, [4; + ∞) .

Sprendimas

Pirmiausia randame funkcijos apibrėžimo sritį. Trupmenos vardiklyje yra kvadratinis trinaris, kuris neturėtų eiti į 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Gavome funkcijos apibrėžimo sritį, kuriai priklauso visi sąlygoje nurodyti intervalai.

Dabar atskirkime funkciją ir gaukime:

y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 " (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 ​​× + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Vadinasi, funkcijos išvestiniai egzistuoja visoje jos apibrėžimo srityje.

Pereikime prie stacionarių taškų paieškos. Funkcijos išvestinė tampa 0, kai x = - 1 2 . Tai stacionarus taškas, esantis intervaluose (- 3 ; 1 ] ir (- 3 ; 2).

Apskaičiuokime funkcijos reikšmę esant x = - 4 intervalui (- ∞ ; - 4 ], taip pat ribą minus begalybėje:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Kadangi 3 e 1 6 - 4 > - 1, tai reiškia, kad m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Tai neleidžia vienareikšmiškai nustatyti mažiausios Galime tik daryti išvadą, kad yra apribojimas žemiau – 1, nes būtent iki šios reikšmės funkcija asimptotiškai artėja prie minus begalybės.

Antrojo intervalo ypatumas yra tas, kad jame nėra nei vieno stacionaraus taško, nei vienos griežtos ribos. Vadinasi, negalėsime apskaičiuoti nei didžiausios, nei mažiausios funkcijos reikšmės. Apibrėžę ribą minus begalybėje ir argumentui link - 3 kairėje pusėje, gauname tik reikšmių intervalą:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Tai reiškia, kad funkcijų reikšmės bus intervale - 1; +∞

Norėdami rasti didžiausią funkcijos reikšmę trečiajame intervale, nustatome jos reikšmę stacionariame taške x = - 1 2, jei x = 1. Taip pat turėsime žinoti vienpusę ribą tuo atveju, kai argumentas linkęs į - 3 dešinėje:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Paaiškėjo, kad funkcija įgaus didžiausią reikšmę stacionariame taške m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Kalbant apie mažiausią reikšmę, mes negalime jos nustatyti. Viskas, ką mes žinome , yra apatinės ribos iki -4 buvimas.

Intervalui (- 3 ; 2) paimkite ankstesnio skaičiavimo rezultatus ir dar kartą apskaičiuokite, kam lygi vienpusė riba, kai kairėje pusėje linkstama į 2:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

Tai reiškia, kad m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, o mažiausia reikšmė negali būti nustatyta, o funkcijos reikšmes iš apačios riboja skaičius - 4 .

Remdamiesi tuo, ką gavome atlikdami du ankstesnius skaičiavimus, galime pasakyti, kad intervale [1; 2) funkcija įgis didžiausią reikšmę, kai x = 1, bet neįmanoma rasti mažiausios.

Intervale (2 ; + ∞) funkcija nepasieks nei didžiausios, nei mažiausios reikšmės, t.y. jis paims vertes iš intervalo - 1; + ∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0-4 = -1

Apskaičiavę, kuriai funkcijos reikšmė bus lygi, kai x = 4, sužinome, kad m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , o duotoji funkcija plius begalybėje asimptotiškai priartės prie tiesės y = - 1 .

Palyginkime tai, ką gavome kiekviename skaičiavime, su pateiktos funkcijos grafiku. Paveiksle asimptotės pavaizduotos punktyrinėmis linijomis.

Tai viskas, ką norėjome jums pasakyti apie didžiausių ir mažiausių funkcijos verčių radimą. Mūsų pateiktos veiksmų sekos padės kuo greičiau ir paprasčiau atlikti reikiamus skaičiavimus. Tačiau atminkite, kad dažnai pravartu pirmiausia išsiaiškinti, kokiais intervalais funkcija mažės, o kokiais didės, o po to galite padaryti tolesnes išvadas. Taip galite tiksliau nustatyti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes bei pagrįsti gautus rezultatus.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Didžiausia ir mažiausia funkcijos reikšmė

Didžiausia funkcijos reikšmė yra didžiausia, mažiausia reikšmė yra mažiausia iš visų jos reikšmių.

Funkcija gali turėti tik vieną didžiausią ir tik vieną mažiausią reikšmę arba gali neturėti jokios. Didžiausių ir mažiausių nuolatinių funkcijų reikšmių radimas grindžiamas šiomis šių funkcijų savybėmis:

1) Jei tam tikrame intervale (baigtiniame arba begaliniame) funkcija y=f(x) yra tolydi ir turi tik vieną ekstremumą ir jei tai yra didžiausia (minimali), tada ji bus didžiausia (mažiausia) funkcijos reikšmė šiame intervale.

2) Jei funkcija f(x) yra ištisinė tam tikrame atkarpoje, tai šiame segmente ji būtinai turi didžiausias ir mažiausias reikšmes. Šios vertės pasiekiamos ekstremaliuose taškuose, esančiuose atkarpos viduje, arba šios atkarpos ribose.

Norint rasti didžiausias ir mažiausias segmento vertes, rekomenduojama naudoti šią schemą:

1. Raskite išvestinę.

2. Raskite kritinius funkcijos taškus, kuriuose =0 arba neegzistuoja.

3. Raskite funkcijų reikšmes kritinius taškus o atkarpos galuose ir iš jų pasirinkite didžiausią f max ir mažiausią f max.

Sprendžiant taikomąsias problemas, ypač optimizavimo, svarbios funkcijos didžiausių ir mažiausių intervalo X reikšmių (visuotinio maksimumo ir globalinio minimumo) radimo uždaviniai. Norint išspręsti tokias problemas, remiantis sąlyga , pasirinkite nepriklausomą kintamąjį ir per šį kintamąjį išreikškite tiriamą reikšmę. Tada raskite norimą didžiausią arba mažiausią gautos funkcijos reikšmę. Šiuo atveju iš uždavinio sąlygų taip pat nustatomas nepriklausomo kintamojo kitimo intervalas, kuris gali būti baigtinis arba begalinis.

Pavyzdys. Bakas, kurio viršutinė dalis yra atviro stačiakampio gretasienio formos su kvadratiniu dugnu, viduje turi būti skarduota skarda. Kokie turėtų būti bako matmenys, jei jo talpa yra 108 litrai? vandens, kad jo skardinimo kaina butu minimali?

Sprendimas. Rezervuaro dengimo skarda kaina bus minimali, jei, esant tam tikrai talpai, jo paviršiaus plotas yra minimalus. Pažymėkime a dm pagrindo kraštą, b dm bako aukštį. Tada jo paviršiaus plotas S lygus

IR

Gautas ryšys nustato santykį tarp rezervuaro paviršiaus ploto S (funkcija) ir pagrindo a kraštinės (argumentas). Panagrinėkime ekstremumo funkciją S. Raskime pirmąją išvestinę, prilyginkime ją nuliui ir išspręskime gautą lygtį:

Taigi a = 6. (a) > 0, jei a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Pavyzdys. Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes ant intervalo.

Sprendimas: Nurodyta funkcija tęstinė visoje skaičių eilutėje. Funkcijos išvestinė

Išvestinė už ir už . Apskaičiuokime funkcijų reikšmes šiuose taškuose:

.

Funkcijos reikšmės nurodyto intervalo galuose yra lygios. Todėl didžiausia funkcijos reikšmė lygi at , mažiausia funkcijos reikšmė lygi at .

Savęs patikrinimo klausimai

1. Suformuluokite „L'Hopital“ taisyklę, kaip atskleisti formos neapibrėžtumus. Sąrašas Įvairių tipų neapibrėžtumų, kuriems galima taikyti L'Hopital taisyklę.

2. Suformuluokite funkcijų didėjimo ir mažėjimo požymius.

3. Apibrėžkite funkcijos maksimumą ir minimumą.

4. Suformuluokite būtinąją ekstremumo egzistavimo sąlygą.

5. Kokios argumento reikšmės (kurie taškai) vadinamos kritinėmis? Kaip rasti šiuos taškus?

6. Kokie yra pakankami funkcijos ekstremumo egzistavimo požymiai? Nubrėžkite funkcijos tyrimo ekstremumu schemą naudojant pirmąją išvestinę.

7. Nubrėžkite funkcijos, esančios ekstremumu, tyrimo naudojant antrąją išvestinę schemą.

8. Apibrėžkite kreivės išgaubtą ir įgaubtą.

9. Kas vadinama funkcijos grafiko vingio tašku? Nurodykite šių taškų radimo būdą.

10. Suformuluokite reikiamus ir pakankamus kreivės išgaubimo ir įgaubimo požymius duotoje atkarpoje.

11. Apibrėžkite kreivės asimptotę. Kaip rasti funkcijos grafiko vertikaliąsias, horizontaliąsias ir įstriąsias asimptotes?

12. Metmenys bendra schema funkcijos tyrimas ir jos grafiko sudarymas.

13. Suformuluokite taisyklę, kaip rasti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes duotame intervale.

Ir norint ją išspręsti, jums reikės minimalių žinių apie temą. Kitas baigiasi mokslo metai, visi nori atostogauti, o norėdamas priartinti šią akimirką, eisiu tiesiai prie reikalo:

Pradėkime nuo srities. Sąlygoje nurodytas plotas yra ribotas uždaryta taškų rinkinys plokštumoje. Pavyzdžiui, taškų, apribotų trikampiu, rinkinys, įskaitant VISĄ trikampį (jei iš sienų„išskirkite“ bent vieną tašką, tada regionas nebebus uždarytas). Praktikoje taip pat yra stačiakampių, apskritų ir šiek tiek didesnių sričių. sudėtingos formos. Pažymėtina, kad matematinės analizės teorijoje pateikiami griežti apibrėžimai apribojimai, izoliacija, ribos ir kt., bet manau, kad visi žino šias sąvokas intuityviu lygmeniu, ir dabar nieko daugiau nereikia.

Plokščia sritis paprastai žymima raide ir, kaip taisyklė, nurodoma analitiškai – keliomis lygtimis (nebūtinai linijinis); rečiau nelygybės. Tipiškas veiksmažodis: „uždara zona, apribotas linijomis ».

Neatsiejama nagrinėjamos užduoties dalis yra ploto sukūrimas brėžinyje. Kaip tai padaryti? Turite nubrėžti visas išvardytas linijas (šiuo atveju 3 tiesiai) ir analizuoti, kas atsitiko. Ieškoma sritis paprastai būna švelniai užtamsinta, o jos riba pažymėta stora linija:


Taip pat galima nustatyti tą pačią sritį tiesinės nelygybės: , kurie dėl tam tikrų priežasčių dažnai rašomi kaip išvardintas sąrašas, o ne kaip sistema.
Kadangi riba priklauso regionui, tada visos nelygybės, žinoma, atsainiai.

O dabar užduoties esmė. Įsivaizduokite, kad ašis išeina tiesiai į jus nuo pradžios. Apsvarstykite funkciją, kuri tęstinis kiekviename ploto taškas. Šios funkcijos grafikas parodo kai kuriuos paviršius, o maža laimė yra ta, kad norint išspręsti šiandieninę problemą, mums nereikia žinoti, kaip atrodo šis paviršius. Jis gali būti aukščiau, žemiau, kirsti plokštumą - visa tai nesvarbu. Ir svarbu tai: pagal Weierstrasso teoremos, tęstinis V ribotas uždarytas srityje funkcija pasiekia didžiausią vertę (aukščiausias") ir mažiausiai (mažiausias") vertybes, kurias reikia rasti. Tokios vertybės pasiekiamos arba V stacionarūs taškai, priklausantis regionuiD , arba taškuose, kurie yra ant šios srities ribos. Tai veda prie paprasto ir skaidraus sprendimo algoritmo:

1 pavyzdys

Ribotu būdu uždara zona

Sprendimas: Visų pirma, piešinyje turite pavaizduoti sritį. Deja, man techniškai sunku padaryti interaktyvų problemos modelį, todėl iš karto pateiksiu galutinę iliustraciją, kurioje matyti visi tyrimo metu rasti „įtartini“ taškai. Paprastai jie pateikiami vienas po kito, kai jie atrandami:

Remiantis preambule, sprendimą galima patogiai suskirstyti į du punktus:

I) Raskite stacionarius taškus. Tai yra standartinis veiksmas, kurį pakartotinai atlikome klasėje. apie kelių kintamųjų ekstremumus:

Rastas stacionarus taškas priklauso sritys: (pažymėkite ant piešinio), tai reiškia, kad turėtume apskaičiuoti funkcijos reikšmę tam tikrame taške:

- kaip straipsnyje Didžiausia ir mažiausia funkcijos reikšmės segmente, svarbius rezultatus paryškinsiu paryškintu šriftu. Juos patogu pieštuku atsekti sąsiuvinyje.

Atkreipkite dėmesį į mūsų antrąją laimę – nėra prasmės tikrinti pakankama sąlyga ekstremumui. Kodėl? Net jei funkcija tam tikru momentu pasiekia, pvz. vietinis minimumas, tada tai NEREIKIA, kad gauta reikšmė bus minimalus visame regione (žr. pamokos pradžią apie besąlyginius kraštutinumus) .

Ką daryti, jei stacionarus taškas nepriklauso regionui? Beveik nieko! Reikėtų tai pastebėti ir pereiti prie kito punkto.

II) Tiriame regiono sieną.

Kadangi kraštinė susideda iš trikampio kraštinių, studiją patogu suskirstyti į 3 poskyrius. Bet geriau to nedaryti. Mano požiūriu, pirmiausia naudingiau nagrinėti atkarpas, lygiagrečias koordinačių ašims, o pirmiausia gulinčias ant pačių ašių. Norėdami suvokti visą veiksmų seką ir logiką, pabandykite ištirti pabaigą „vienu įkvėpimu“:

1) Panagrinėkime apatinę trikampio kraštinę. Norėdami tai padaryti, pakeiskite tiesiai į funkciją:

Arba galite tai padaryti taip:

Geometriškai tai reiškia, kad koordinačių plokštuma (kuri taip pat pateikiama lygtyje)"išraižo" iš paviršiai„erdvinė“ parabolė, kurios viršūnė iškart kyla įtarimų. Išsiaiškinkime kur ji yra:

– gauta vertė „įkrito“ į sritį, ir gali pasirodyti, kad taške (pažymėta brėžinyje) funkcija pasiekia didžiausią arba mažiausią reikšmę visame regione. Vienaip ar kitaip, atlikime skaičiavimus:

Kiti „kandidatai“, žinoma, yra segmento galai. Apskaičiuokime funkcijos reikšmes taškuose (pažymėta brėžinyje):

Čia, beje, galite atlikti žodinį mini patikrinimą naudodami „nuplėštą“ versiją:

2) Norėdami ištirti dešinę trikampio pusę, pakeiskite ją funkcija ir „sutvarkykite dalykus“:

Čia mes iš karto atliksime grubų patikrinimą, „paskambinsime“ jau apdorotą segmento galą:
, Puiku.

Geometrinė situacija yra susijusi su ankstesniu tašku:

– gauta reikšmė taip pat „pateko į mūsų interesų sritį“, o tai reiškia, kad turime apskaičiuoti, kam lygi funkcija atsiradusiame taške:

Panagrinėkime antrąjį segmento galą:

Naudojant funkciją , atlikime kontrolinį patikrinimą:

3) Turbūt kiekvienas gali atspėti, kaip ištirti likusią pusę. Mes jį pakeičiame į funkciją ir atliekame supaprastinimus:

Segmento galai jau buvo ištirtos, bet juodraštyje vis tiek tikriname, ar teisingai radome funkciją :
– sutapo su 1 pastraipos rezultatu;
– sutapo su 2 pastraipos rezultatu.

Belieka išsiaiškinti, ar segmente yra kažkas įdomaus:

- Yra! Pakeitę tiesę į lygtį, gauname šio „įdomumo“ ordinatę:

Pažymime tašką brėžinyje ir randame atitinkamą funkcijos reikšmę:

Patikrinkime skaičiavimus naudodami „biudžeto“ versiją :
, įsakymas.

Ir paskutinis žingsnis: Atidžiai peržiūrime visus „paryškintus“ skaičius, pradedantiesiems rekomenduoju sudaryti net vieną sąrašą:

iš kurių parenkame didžiausias ir mažiausias reikšmes. Atsakymas Užsirašykime suradimo problemos stiliumi didžiausios ir mažiausios segmento funkcijos reikšmės:

Tik tuo atveju dar kartą pakomentuosiu geometrinę rezultato reikšmę:
– čia yra aukščiausias paviršiaus taškas regione;
– čia yra žemiausias paviršiaus taškas šioje srityje.

Analizuojamoje užduotyje nustatėme 7 „įtartinus“ taškus, tačiau jų skaičius įvairiose užduotyse skiriasi. Trikampio regiono minimalų „tyrimų rinkinį“ sudaro trys taškai. Taip atsitinka, kai, pavyzdžiui, funkcija nurodo lėktuvas– visiškai aišku, kad stacionarių taškų nėra, o didžiausias/mažiausias reikšmes funkcija gali pasiekti tik trikampio viršūnėse. Tačiau yra tik vienas ar du panašūs pavyzdžiai – dažniausiai tenka susidurti su kai kuriais 2 eilės paviršius.

Jei tokias užduotis spręsite šiek tiek, tai nuo trikampių gali suktis galva, todėl paruošiau jums neįprastų pavyzdžių, kad ji būtų kvadratinė :))

2 pavyzdys

Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes uždaroje zonoje, kurią riboja linijos

3 pavyzdys

Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes ribotame uždarame regione.

Ypatingas dėmesys Atkreipkite dėmesį į racionalią regiono ribos tyrimo tvarką ir techniką, taip pat į tarpinių patikrinimų grandinę, kuri beveik visiškai išvengs skaičiavimo klaidų. Paprastai tariant, galite tai išspręsti bet kokiu būdu, tačiau kai kuriose problemose, pavyzdžiui, 2 pavyzdyje, yra visos galimybės gerokai apsunkinti jūsų gyvenimą. Apytikslis baigiamųjų užduočių pavyzdys pamokos pabaigoje.

Susisteminkime sprendimo algoritmą, kitu atveju su mano, kaip voro, darbštumu jis kažkaip pasiklydo ilgoje 1-ojo pavyzdžio komentarų gijoje:

– Pirmuoju žingsniu statome plotą, patartina jį nuspalvinti ir paryškinti kraštą paryškinta linija. Sprendimo metu atsiras taškai, kuriuos reikia pažymėti brėžinyje.

– Raskite stacionarius taškus ir apskaičiuokite funkcijos reikšmes tik tuose iš jų kurie priklauso regionui. Tekste paryškiname gautas reikšmes (pavyzdžiui, apibraukite jas pieštuku). Jei stacionarus taškas NEPRIklauso regionui, tai pažymime šį faktą piktograma arba žodžiu. Jei stacionarių taškų iš viso nėra, darome raštišką išvadą, kad jų nėra. Bet kokiu atveju šio punkto negalima praleisti!

– Tiriame regiono sieną. Pirma, pravartu suprasti tiesias linijas, kurios yra lygiagrečios koordinačių ašims (jei tokių iš viso yra). Taip pat pabrėžiame funkcijų reikšmes, apskaičiuotas „įtartiniuose“ taškuose. Aukščiau daug pasakyta apie sprendimo techniką, o kai kas dar bus pasakyta žemiau – skaitykite, skaitykite dar kartą, gilinkitės į tai!

– Iš pasirinktų skaičių pasirinkite didžiausią ir mažiausią reikšmes ir pateikite atsakymą. Kartais atsitinka taip, kad funkcija pasiekia tokias reikšmes keliuose taškuose vienu metu - šiuo atveju visi šie taškai turėtų atsispindėti atsakyme. Tegu pvz. ir paaiškėjo, kad tai mažiausia vertė. Tada mes tai užrašome

Paskutiniai pavyzdžiai skirti kitiems naudingų idėjų kuris bus naudingas praktikoje:

4 pavyzdys

Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes uždarame regione .

Išlaikiau autoriaus formuluotę, kurioje plotas pateiktas dvigubos nelygybės forma. Ši sąlyga gali būti parašyta lygiaverte sistema arba tradicine šios problemos forma:

Primenu, kad su netiesinis susidūrėme su nelygybėmis, o jei nesuprantate žymėjimo geometrinės reikšmės, prašome nedelsti ir išsiaiškinti situaciją jau dabar;-)

Sprendimas, kaip visada, pradedama sukonstruoti sritį, kuri atstovauja tam tikrą „padą“:

Hmm, kartais tenka kramtyti ne tik mokslo granitą...

I) Raskite stacionarius taškus:

Sistema yra idiotų svajonė :)

Nejudantis taškas priklauso regionui, ty yra ant jo ribos.

Ir taip, viskas gerai... pamoka praėjo puikiai – štai ką reiškia gerti tinkamą arbatą =)

II) Tiriame regiono sieną. Be daugiau dėmesio, pradėkime nuo x ašies:

1) Jei , tada

Raskime, kur yra parabolės viršūnė:
– vertink tokias akimirkas – „pataikai“ tiesiai iki taško, nuo kurio viskas jau aišku. Tačiau vis tiek nepamirštame patikrinti:

Apskaičiuokime funkcijos reikšmes segmento galuose:

2) Apsvarstykime apatinę „pado“ dalį „vienu prisėdimu“ - be jokių kompleksų ją pakeičiame į funkciją, o mus domina tik segmentas:

Kontrolė:

Tai jau suteikia jaudulio monotoniškam važiavimui raižyta trasa. Raskime kritinius taškus:

Nuspręskime kvadratinė lygtis, ar prisimeni dar ką nors apie tai? ...Tačiau, žinoma, atminkite, kitaip jūs neskaitytumėte šių eilučių =) Jei dviejuose ankstesniuose pavyzdžiuose skaičiavimai po kablelio(kas, beje, reta), tada čia mūsų laukia įprasti bendrosios trupmenos. Mes randame „X“ šaknis ir naudojame lygtį, norėdami nustatyti atitinkamas „kandidatų“ taškų „žaidimo“ koordinates:


Apskaičiuokime funkcijos reikšmes rastuose taškuose:

Patikrinkite funkciją patys.

Dabar atidžiai studijuojame laimėtus trofėjus ir užrašome atsakyti:

Tai yra „kandidatai“, tai yra „kandidatai“!

Norėdami tai išspręsti patys:

5 pavyzdys

Raskite mažiausią ir didžiausią funkcijos reikšmes uždaroje teritorijoje

Įrašas su garbanotomis petnešomis skamba taip: „taškų rinkinys toks“.

Kartais tokiuose pavyzdžiuose jie naudojasi Lagranžo daugiklio metodas, tačiau vargu ar tikrai reikės jį naudoti. Taigi, pavyzdžiui, jei duota funkcija su ta pačia sritimi „de“, tai po pakeitimo į ją – su išvestine iš be sunkumų; Be to, viskas surašyta „vienoje eilutėje“ (su ženklais), nereikia atskirai apsvarstyti viršutinio ir apatinio puslankių. Bet, žinoma, yra ir daugiau sudėtingų atvejų, kur be Lagrange funkcijos (kur, pavyzdžiui, yra ta pati apskritimo lygtis) Sunku išsiversti – kaip ir be gero poilsio!

Visiems gero laiko ir iki greito pasimatymo kitame sezone!

Sprendimai ir atsakymai:

2 pavyzdys: Sprendimas: Pavaizduokime sritį brėžinyje: