Paprastųjų trupmenų skirstymas: taisyklės, pavyzdžiai, sprendiniai. Trupmenos dalijimas iš natūraliojo skaičiaus

Su trupmenomis galite daryti viską, įskaitant padalijimą. Šiame straipsnyje parodytas paprastųjų trupmenų padalijimas. Bus pateikti apibrėžimai ir aptarti pavyzdžiai. Išsamiai pakalbėkime apie trupmenų padalijimą iš natūraliųjų skaičių ir atvirkščiai. Bus aptartas bendrosios trupmenos padalijimas iš mišraus skaičiaus.

Dalijimosi trupmenos

Dalyba yra atvirkštinė daugybos vertė. Dalinant nežinomas veiksnys randamas su žinomu kito veiksnio sandauga, kur jam suteikta reikšmė išsaugoma paprastosiomis trupmenomis.

Jei reikia padalyti bendrąją trupmeną a b iš c d, tada norint nustatyti tokį skaičių, reikia padauginti iš daliklio c d, tai galiausiai duos dividendą a b. Gaukime skaičių ir parašykime jį a b · d c , kur d c yra c d skaičiaus atvirkštinė vertė. Lygybės gali būti parašytos naudojant daugybos savybes, būtent: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b, kur išraiška a b · d c yra a b padalijimo iš c d koeficientas.

Iš čia gauname ir suformuluojame paprastųjų trupmenų padalijimo taisyklę:

1 apibrėžimas

Norėdami padalyti bendrąją trupmeną a b iš c d, turite padauginti dividendą iš daliklio atvirkštinės vertės.

Taisyklę parašykime išraiškos forma: a b: c d = a b · d c

Dalijimosi taisyklės susiveda į dauginimą. Norėdami to laikytis, turite gerai suprasti trupmenų dauginimą.

Pereikime prie paprastųjų trupmenų padalijimo.

1 pavyzdys

Padalinkite 9 7 iš 5 3. Parašykite rezultatą kaip trupmeną.

Sprendimas

Skaičius 5 3 yra atvirkštinė trupmena 3 5. Būtina naudoti paprastųjų trupmenų padalijimo taisyklę. Šią išraišką rašome taip: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.

Atsakymas: 9 7: 5 3 = 27 35 .

Mažindami trupmenas, atskirkite visą dalį, jei skaitiklis didesnis už vardiklį.

2 pavyzdys

Padalinkite 8 15: 24 65. Atsakymą parašykite kaip trupmeną.

Sprendimas

Norėdami išspręsti, turite pereiti nuo dalybos prie daugybos. Parašykime tokia forma: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Būtina sumažinti, ir tai daroma taip: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Pasirinkite visą dalį ir gaukite 13 9 = 1 4 9.

Atsakymas: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

Nepaprastosios trupmenos dalijimas iš natūraliojo skaičiaus

Mes naudojame taisyklę dalyti trupmeną iš natūralusis skaičius: norint a b padalyti iš natūraliojo skaičiaus n, tereikia vardiklį padauginti iš n. Iš čia gauname išraišką: a b: n = a b · n.

Dalybos taisyklė yra daugybos taisyklės pasekmė. Todėl pavaizdavus natūralųjį skaičių trupmena, gaunama tokio tipo lygybė: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n.

Apsvarstykite šį trupmenos padalijimą iš skaičiaus.

3 pavyzdys

Padalinkite trupmeną 16 45 iš skaičiaus 12.

Sprendimas

Taikykime trupmenos padalijimo iš skaičiaus taisyklę. Gauname 16 45: 12 = 16 45 · 12 formos išraišką.

Sumažinkime trupmeną. Gauname 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135.

Atsakymas: 16 45: 12 = 4 135 .

Natūralaus skaičiaus dalijimas iš trupmenos

Padalijimo taisyklė yra panaši O natūraliojo skaičiaus dalijimo iš paprastosios trupmenos taisyklė: norint padalyti natūralųjį skaičių n iš paprastosios trupmenos a b, reikia skaičių n padauginti iš trupmenos a b atvirkštinės vertės.

Remiantis taisykle, turime n: a b = n · b a, o natūraliojo skaičiaus padauginimo iš paprastosios trupmenos taisyklės dėka gauname išraišką n forma: a b = n · b a. Šį padalijimą būtina apsvarstyti pavyzdžiu.

4 pavyzdys

Padalinkite 25 iš 15 28.

Sprendimas

Turime pereiti nuo dalybos prie daugybos. Parašykime tai išraiškos 25 forma: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15. Sumažinkime trupmeną ir gaukime rezultatą trupmenos 46 2 3 pavidalu.

Atsakymas: 25: 15 28 = 46 2 3 .

Trupmenos dalijimas iš mišraus skaičiaus

Dalydami bendrąją trupmeną iš mišraus skaičiaus, galite lengvai pradėti dalyti bendrąsias trupmenas. Reikia atlikti pervedimą mišrus skaičius V netinkama trupmena.

5 pavyzdys

Padalinkite trupmeną 35 16 iš 3 1 8.

Sprendimas

Kadangi 3 1 8 yra mišrus skaičius, pavaizduokime jį kaip netinkamą trupmeną. Tada gauname 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8. Dabar padalinkime trupmenas. Gauname 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10

Atsakymas: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

Mišrus skaičius dalijamas taip pat, kaip ir įprasti skaičiai.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Anksčiau ar vėliau visi vaikai mokykloje pradeda mokytis trupmenų: jų sudėties, dalybos, daugybos ir visko galimus veiksmus, kuriuos galima atlikti tik su trupmenomis. Kad vaikui būtų suteikta tinkama pagalba, patys tėvai neturėtų pamiršti sveikųjų skaičių skaidymo į trupmenas, antraip niekaip negalėsite jam padėti, o tik suklaidinsite. Jei reikėjo prisiminti šis veiksmas, bet jūs tiesiog negalite visos savo galvoje esančios informacijos sujungti į vieną taisyklę, tada šis straipsnis jums padės: išmoksite padalyti skaičių iš trupmenos ir pamatysite aiškius pavyzdžius.

Kaip padalyti skaičių į trupmeną

Užrašykite savo pavyzdį kaip apytikslį juodraštį, kad galėtumėte užsirašyti ir ištrinti. Atminkite, kad sveikasis skaičius rašomas tarp langelių, tiesiai jų sankirtoje ir trupmeniniai skaičiai- kiekvienas savo narve.

• Taikant šį metodą, trupmeną reikia apversti aukštyn kojomis, tai yra, vardiklį įrašyti į skaitiklį, o skaitiklį į vardiklį.
• Dalybos ženklas turi būti pakeistas į daugyba.
• Dabar belieka atlikti daugybą pagal jau išmoktas taisykles: skaitiklis dauginamas iš sveikojo skaičiaus, bet vardiklio neliečiate.

Žinoma, dėl tokio veiksmo gausite labai didelis skaičius skaitiklyje. Šioje būsenoje negalite palikti trupmenos – mokytojas tiesiog nepriims šio atsakymo. Sumažinkite trupmeną padalydami skaitiklį iš vardiklio. Parašykite gautą sveikąjį skaičių į kairę nuo trupmenos langelių viduryje, o likusi dalis bus naujas skaitiklis. Vardiklis lieka nepakitęs.

Šis algoritmas yra gana paprastas, net ir vaikui. Atlikęs penkis ar šešis kartus, vaikas prisimins procedūrą ir galės pritaikyti bet kokias trupmenas.

Kaip padalyti skaičių iš kablelio

Yra ir kitų tipų trupmenos – po kablelio. Padalijimas į juos vyksta pagal visiškai skirtingą algoritmą. Jei susiduriate su tokiu pavyzdžiu, vadovaukitės instrukcijomis:

• Pirma, konvertuokite abu skaičius į dešimtainius. Tai padaryti nesunku: jūsų daliklis jau pavaizduotas kaip trupmena, o dalijamą natūralųjį skaičių atskirkite kableliu, gaudami dešimtainę trupmeną. Tai yra, jei dividendas buvo 5, jūs gaunate trupmeną 5,0. Skaičius reikia atskirti tiek skaitmenų, kiek yra po kablelio ir daliklio.
• Po to jūs turite padaryti abi dešimtaines trupmenas natūraliais skaičiais. Iš pradžių tai gali atrodyti šiek tiek painu, bet tai yra labiausiai greitas būdas padalijimą, kuris užtruks kelias sekundes po kelių pratimų. Trupmena 5,0 taps skaičiumi 50, trupmena 6,23 taps 623.
• Atlikite padalijimą. Jei skaičiai dideli arba padalijimas įvyks su likusia dalimi, padarykite tai stulpelyje. Tokiu būdu galite aiškiai matyti visus šio pavyzdžio veiksmus. Nereikia dėti kablelio tyčia, nes per ilgą padalijimo procesą jis pasirodys savaime.

Tokio tipo padalijimas iš pradžių atrodo pernelyg painus, nes reikia paversti dividendą ir daliklį į trupmeną, o tada atgal į natūraliuosius skaičius. Tačiau po trumpos praktikos iš karto pradėsite matyti tuos skaičius, kuriuos tiesiog reikia padalyti vienas iš kito.

Atminkite, kad gebėjimas teisingai padalyti trupmenas ir sveikuosius skaičius gyvenime gali praversti daugybę kartų, todėl žinokite šias taisykles ir paprasti principai vaikui idealiai reikia, kad aukštesnėse klasėse jie netaptų suklupimo akmeniu, dėl kurio vaikas negalėtų išspręsti sudėtingesnių problemų.

Trupmena yra viena ar daugiau visumos dalių, kuri paprastai laikoma viena (1). Kaip ir su natūraliaisiais skaičiais, su trupmenomis galite atlikti visas pagrindines aritmetines operacijas (sudėti, atimti, dalyti, dauginti), turite žinoti darbo su trupmenomis ypatybes ir atskirti jų tipus. Yra keletas trupmenų tipų: dešimtainės ir paprastosios arba paprastosios. Kiekvienas trupmenų tipas turi savo specifiką, tačiau gerai supratę, kaip su jais elgtis, galėsite išspręsti bet kokius pavyzdžius su trupmenomis, nes žinosite pagrindinius aritmetinių skaičiavimų su trupmenomis principus. Pažvelkime į pavyzdžius, kaip padalyti trupmeną iš sveikojo skaičiaus naudojant skirtingų tipų trupmenomis.

Kaip padalyti dešimtainį skaičių iš sveikojo skaičiaus?
Dešimtainė yra trupmena, kuri gaunama padalijus vienetą į dešimt, tūkstantį ir pan. Aritmetika su dešimtainėmis dalimis yra gana paprasta.

Pažvelkime į pavyzdį, kaip padalyti trupmeną iš sveikojo skaičiaus. Tarkime, kad dešimtainę trupmeną 0,925 reikia padalyti iš natūraliojo skaičiaus 5.

• norint padalyti dešimtainę trupmeną iš natūraliojo skaičiaus, naudojama ilgoji dalyba;
  
• Kablelis dedamas į dalinį, kai baigiama dalyti visa dividendo dalis.
  

Sudėjus trupmenas su panašiais vardikliais

Yra du trupmenų pridėjimo tipai:

1. Sudėjus trupmenas su panašiais vardikliais
2. Sudėjus trupmenas su skirtingais vardikliais

Pirma, išmokime pridėti trupmenas su panašiais vardikliais. Čia viskas paprasta. Norėdami pridėti trupmenas su tais pačiais vardikliais, turite pridėti jų skaitiklius ir vardiklį palikti nepakeistą. Pavyzdžiui, pridėkime trupmenas ir . Pridėkite skaitiklius ir palikite vardiklį nepakeistą:

Šį pavyzdį galima nesunkiai suprasti, jei prisiminsime picą, kuri yra padalinta į keturias dalis. Jei į picą dedate picą, gausite picą:

2 pavyzdys. Pridėkite trupmenas ir .

Atsakymas buvo ne tinkama trupmena. Kai ateina užduoties pabaiga, įprasta atsikratyti netinkamų trupmenų. Norėdami atsikratyti netinkamos trupmenos, turite pasirinkti visą jos dalį. Mūsų atveju visa dalis yra lengvai izoliuojama - du padalinti iš dviejų, lygūs vienas:

Šį pavyzdį galima nesunkiai suprasti, jei prisiminsime apie picą, padalytą į dvi dalis. Jei į picą pridėsite daugiau picos, gausite vieną visą picą:

3 pavyzdys. Pridėkite trupmenas ir .

Vėlgi, sudedame skaitiklius ir vardiklį paliekame nepakeistą:

Šį pavyzdį galima nesunkiai suprasti, jei prisiminsime picą, kuri yra padalinta į tris dalis. Jei į picą pridėsite daugiau picos, gausite picą:

4 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę

Šis pavyzdys išspręstas lygiai taip pat, kaip ir ankstesni. Skaitikliai turi būti pridėti, o vardiklis paliktas nepakeistas:

Pabandykime pavaizduoti savo sprendimą naudodami piešinį. Jei pridėsite picą prie picos ir pridėsite daugiau picų, gausite 1 visą picą ir daugiau picų.

Kaip matote, nėra nieko sudėtingo pridedant trupmenas su tais pačiais vardikliais. Pakanka suprasti šias taisykles:

1. Norėdami pridėti trupmenas su tuo pačiu vardikliu, turite pridėti jų skaitiklius ir palikti vardiklį nepakeistą;

Sudėjus trupmenas su skirtingais vardikliais

Dabar išmokime pridėti trupmenas su skirtingais vardikliais. Sudedant trupmenas, trupmenų vardikliai turi būti vienodi. Tačiau jie ne visada yra vienodi.

Pavyzdžiui, trupmenas galima pridėti, nes jos turi tie patys vardikliai.

Tačiau trupmenų negalima pridėti iš karto, nes šios trupmenos skirtingus vardiklius. Tokiais atvejais trupmenos turi būti sumažintos iki to paties (bendro) vardiklio.

Yra keletas būdų, kaip sumažinti trupmenas iki to paties vardiklio. Šiandien apžvelgsime tik vieną iš jų, nes kiti metodai pradedantiesiems gali pasirodyti sudėtingi.

Šio metodo esmė ta, kad pirmiausia ieškoma abiejų trupmenų vardklių LCM. Tada LCM padalijamas iš pirmosios trupmenos vardiklio, kad būtų gautas pirmasis papildomas koeficientas. Tą patį jie daro ir su antrąja trupmena – LCM dalijamas iš antrosios trupmenos vardiklio ir gaunamas antras papildomas koeficientas.

Tada trupmenų skaitikliai ir vardikliai dauginami iš jų papildomų koeficientų. Dėl šių veiksmų trupmenos, kurios turėjo skirtingus vardiklius, virsta trupmenomis, turinčiomis tuos pačius vardiklius. Ir mes jau žinome, kaip pridėti tokias trupmenas.

1 pavyzdys. Sudėkime trupmenas ir

Pirmiausia randame mažiausią bendrą abiejų trupmenų vardikų kartotinį. Pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 2. Mažiausias bendras šių skaičių kartotinis yra 6

LCM (2 ir 3) = 6

Dabar grįžkime prie trupmenų ir . Pirmiausia padalykite LCM iš pirmosios trupmenos vardiklio ir gaukite pirmąjį papildomą koeficientą. LCM yra skaičius 6, o pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3. Padalinkite 6 iš 3, gausime 2.

Gautas skaičius 2 yra pirmasis papildomas daugiklis. Užrašome iki pirmosios trupmenos. Norėdami tai padaryti, padarykite nedidelę įstrižą liniją virš trupmenos ir užrašykite papildomą koeficientą, esantį virš jos:

Tą patį darome su antrąja trupmena. LCM padalijame iš antrosios trupmenos vardiklio ir gauname antrą papildomą koeficientą. LCM yra skaičius 6, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 2. Padalinkite 6 iš 2, gausime 3.

Gautas skaičius 3 yra antrasis papildomas daugiklis. Užrašome iki antros trupmenos. Vėlgi, ant antrosios trupmenos padarome nedidelę įstrižą liniją ir užrašome papildomą koeficientą, esantį virš jos:

Dabar viską paruošėme papildymui. Belieka padauginti trupmenų skaitiklius ir vardiklius iš jų papildomų koeficientų:

Atidžiai pažiūrėkite, prie ko priėjome. Padarėme išvadą, kad trupmenos, turinčios skirtingus vardiklius, virto trupmenomis, turinčiomis tuos pačius vardiklius. Ir mes jau žinome, kaip pridėti tokias trupmenas. Panagrinėkime šį pavyzdį iki galo:

Tai užbaigia pavyzdį. Pasirodo pridėti.

Pabandykime pavaizduoti savo sprendimą naudodami piešinį. Jei pridėsite picą prie picos, gausite vieną visą picą ir kitą šeštadalį picos:

Trupmenų mažinimas iki to paties (bendro) vardiklio taip pat gali būti pavaizduotas naudojant paveikslėlį. Sumažinę trupmenas ir iki bendro vardiklio, gavome trupmenas ir . Šios dvi frakcijos bus atstovaujamos tais pačiais picos gabalėliais. Skirtumas bus tik tas, kad šį kartą jie bus padalinti į lygias dalis (sumažinus iki to paties vardiklio).

Pirmame piešinyje pavaizduota trupmena (keturi gabalai iš šešių), o antrasis piešinys – trupmena (trys gabalai iš šešių). Pridėjus šiuos gabalus gauname (septynios dalys iš šešių). Ši trupmena netinkama, todėl paryškinome visą jos dalį. Rezultate gavome (vieną visą picą ir kitą šeštą picą).

Atkreipkite dėmesį, kad mes aprašėme šis pavyzdys per daug detaliai. IN švietimo įstaigos Neįprasta rašyti taip išsamiai. Turite mokėti greitai rasti abiejų vardiklių ir papildomų veiksnių LCM, taip pat greitai padauginti rastus papildomus veiksnius iš skaitiklių ir vardklių. Jei būtume mokykloje, šį pavyzdį turėtume parašyti taip:

Tačiau yra ir kita medalio pusė. Jei pirmaisiais matematikos studijų etapais nedarote išsamių pastabų, tada pradeda atsirasti tokių klausimų. „Iš kur toks skaičius?“, „Kodėl trupmenos staiga virsta visiškai skirtingomis trupmenomis? «.

Kad būtų lengviau pridėti trupmenas su skirtingais vardikliais, galite naudoti šias nuoseklias instrukcijas:

1. Raskite trupmenų vardiklių LCM;
2. Padalinkite LCM iš kiekvienos trupmenos vardiklio ir gaukite papildomą kiekvienos trupmenos koeficientą;
3. Trupmenų skaitiklius ir vardiklius padauginkite iš jų papildomų koeficientų;
4. Pridėkite trupmenas, turinčias tuos pačius vardiklius;
5. Jei atsakymas yra netinkama trupmena, paryškinkite visą jo dalį;

2 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę .

Pasinaudokime aukščiau pateiktomis instrukcijomis.

1 veiksmas. Raskite trupmenų vardiklių LCM

Raskite abiejų trupmenų vardiklių LCM. Trupmenų vardikliai yra skaičiai 2, 3 ir 4

2 veiksmas. Padalinkite LCM iš kiekvienos trupmenos vardiklio ir gaukite papildomą kiekvienos trupmenos koeficientą

Padalinkite LCM iš pirmosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 2. Padalinkite 12 iš 2, gausime 6. Gavome pirmąjį papildomą koeficientą 6. Jį rašome virš pirmosios trupmenos:

Dabar LCM padalijame iš antrosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3. Padalinkite 12 iš 3, gausime 4. Gauname antrą papildomą koeficientą 4. Rašome virš antrosios trupmenos:

Dabar LCM padalijame iš trečiosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o trečiosios trupmenos vardiklis yra skaičius 4. 12 padaliname iš 4, gauname 3. Gauname trečiąjį papildomą koeficientą 3. Jį užrašome virš trečiosios trupmenos:

3 veiksmas. Trupmenų skaitiklius ir vardiklius padauginkite iš jų papildomų koeficientų

Skaitiklius ir vardiklius padauginame iš jų papildomų koeficientų:

4 veiksmas. Sudėkite trupmenas su tais pačiais vardikliais

Padarėme išvadą, kad trupmenos, turinčios skirtingus vardiklius, virto trupmenomis, turinčiomis tuos pačius (bendruosius) vardiklius. Belieka pridėti šias trupmenas. Pridėkite:

Papildymas netilpo vienoje eilutėje, todėl likusią išraišką perkėlėme į kitą eilutę. Tai leidžiama matematikoje. Kai išraiška netelpa vienoje eilutėje, ji perkeliama į kitą eilutę, o pirmosios eilutės pabaigoje ir naujos eilutės pradžioje reikia dėti lygybės ženklą (=). Lygybės ženklas antroje eilutėje rodo, kad tai yra pirmoje eilutėje buvusios išraiškos tęsinys.

5 veiksmas. Jei pasirodo, kad atsakymas yra netinkama trupmena, paryškinkite visą jo dalį

Mūsų atsakymas pasirodė esąs netinkama trupmena. Turime pabrėžti visą jo dalį. Mes pabrėžiame:

Gavome atsakymą

Trupmenų su panašiais vardikliais atėmimas

Yra du trupmenų atėmimo tipai:

1. Trupmenų su panašiais vardikliais atėmimas
2. Trupmenų su skirtingais vardikliais atėmimas

Pirma, išmokime atimti trupmenas su panašiais vardikliais. Čia viskas paprasta. Norėdami iš vienos trupmenos atimti kitą, iš pirmosios trupmenos skaitiklio turite atimti antrosios trupmenos skaitiklį, tačiau vardiklį palikite tą patį.

Pavyzdžiui, suraskime išraiškos reikšmę. Norėdami išspręsti šį pavyzdį, iš pirmosios trupmenos skaitiklio turite atimti antrosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį palikti nepakeistą. Padarykime taip:

Šį pavyzdį galima nesunkiai suprasti, jei prisiminsime picą, kuri yra padalinta į keturias dalis. Jei pjaustysite picas iš picos, gausite picas:

2 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę.

Vėlgi, iš pirmosios trupmenos skaitiklio atimkite antrosios trupmenos skaitiklį ir palikite vardiklį nepakeistą:

Šį pavyzdį galima nesunkiai suprasti, jei prisiminsime picą, kuri yra padalinta į tris dalis. Jei pjaustysite picas iš picos, gausite picas:

3 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę

Šis pavyzdys išspręstas lygiai taip pat, kaip ir ankstesni. Iš pirmosios trupmenos skaitiklio reikia atimti likusių trupmenų skaitiklius:

Kaip matote, atimant trupmenas su tais pačiais vardikliais nėra nieko sudėtingo. Pakanka suprasti šias taisykles:

1. Norėdami iš vienos trupmenos atimti kitą, iš pirmosios trupmenos skaitiklio turite atimti antrosios trupmenos skaitiklį, o vardiklį palikti nepakeistą;
2. Jei pasirodo, kad atsakymas yra netinkama trupmena, tuomet reikia paryškinti visą jo dalį.

Trupmenų su skirtingais vardikliais atėmimas

Pavyzdžiui, galite atimti trupmeną iš trupmenos, nes trupmenos turi tuos pačius vardiklius. Bet jūs negalite atimti trupmenos iš trupmenos, nes šios trupmenos turi skirtingus vardiklius. Tokiais atvejais trupmenos turi būti sumažintos iki to paties (bendro) vardiklio.

Bendras vardiklis randamas naudojant tą patį principą, kurį naudojome pridėdami trupmenas su skirtingais vardikliais. Pirmiausia suraskite abiejų trupmenų vardklių LCM. Tada LCM dalijamas iš pirmosios trupmenos vardiklio ir gaunamas pirmasis papildomas koeficientas, kuris užrašomas virš pirmosios trupmenos. Panašiai LCM dalijamas iš antrosios trupmenos vardiklio ir gaunamas antras papildomas koeficientas, kuris užrašomas virš antrosios trupmenos.

Tada trupmenos dauginamos iš papildomų koeficientų. Dėl šių operacijų trupmenos, kurios turėjo skirtingus vardiklius, paverčiamos trupmenomis, turinčiomis tuos pačius vardiklius. Ir mes jau žinome, kaip atimti tokias trupmenas.

1 pavyzdys. Raskite posakio prasmę:

Šios trupmenos turi skirtingus vardiklius, todėl jas reikia sumažinti iki to paties (bendro) vardiklio.

Pirmiausia randame abiejų trupmenų vardiklių LCM. Pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 4. Mažiausias bendras šių skaičių kartotinis yra 12

LCM (3 ir 4) = 12

Dabar grįžkime prie trupmenų ir

Raskime papildomą pirmosios trupmenos koeficientą. Norėdami tai padaryti, padalykite LCM iš pirmosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3. Padalinkite 12 iš 3, gausime 4. Virš pirmosios trupmenos parašykite ketvertą:

Tą patį darome su antrąja trupmena. Padalinkite LCM iš antrosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 4. Padalinkite 12 iš 4, gausime 3. Ant antrosios trupmenos parašykite trejetą:

Dabar esame pasirengę atimti. Belieka padauginti trupmenas iš jų papildomų veiksnių:

Padarėme išvadą, kad trupmenos, turinčios skirtingus vardiklius, virto trupmenomis, turinčiomis tuos pačius vardiklius. Ir mes jau žinome, kaip atimti tokias trupmenas. Panagrinėkime šį pavyzdį iki galo:

Gavome atsakymą

Pabandykime pavaizduoti savo sprendimą naudodami piešinį. Jei išpjausite picą iš picos, gausite picą

Tai yra išsami sprendimo versija. Jei būtume mokykloje, šį pavyzdį turėtume išspręsti trumpiau. Toks sprendimas atrodytų taip:

Trupmenų sumažinimas iki bendro vardiklio taip pat gali būti pavaizduotas naudojant paveikslėlį. Sumažinę šias trupmenas iki bendro vardiklio, gavome trupmenas ir . Šios trupmenos bus pavaizduotos tomis pačiomis picos riekelėmis, tačiau šį kartą jos bus padalintos į lygias dalis (sumažintos iki to paties vardiklio):

Pirmoje nuotraukoje pavaizduota trupmena (aštuoni gabalėliai iš dvylikos), o antrame paveikslėlyje – trupmena (trys gabalai iš dvylikos). Iš aštuonių dalių iškirpę tris gabalus, gauname penkis gabalus iš dvylikos. Trupmena apibūdina šiuos penkis gabalus.

2 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę

Šios trupmenos turi skirtingus vardiklius, todėl pirmiausia turite jas sumažinti iki to paties (bendro) vardiklio.

Raskime šių trupmenų vardklių LCM.

Trupmenų vardikliai yra skaičiai 10, 3 ir 5. Mažiausias bendras šių skaičių kartotinis yra 30

LCM(10; 3; 5) = 30

Dabar kiekvienai frakcijai randame papildomų faktorių. Norėdami tai padaryti, padalykite LCM iš kiekvienos trupmenos vardiklio.

Raskime papildomą pirmosios trupmenos koeficientą. LCM yra skaičius 30, o pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 10. 30 padaliname iš 10, gauname pirmąjį papildomą koeficientą 3. Jį rašome virš pirmosios trupmenos:

Dabar randame papildomą antrosios trupmenos koeficientą. Padalinkite LCM iš antrosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 30, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3. Padalijus 30 iš 3, gauname antrą papildomą koeficientą 10. Rašome virš antrosios trupmenos:

Dabar randame papildomą trečiosios trupmenos koeficientą. Padalinkite LCM iš trečiosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 30, o trečiosios trupmenos vardiklis yra skaičius 5. Padalinkite 30 iš 5, gausime trečią papildomą koeficientą 6. Rašome virš trečiosios trupmenos:

Dabar viskas paruošta atimti. Belieka padauginti trupmenas iš jų papildomų veiksnių:

Priėjome išvados, kad trupmenos, turinčios skirtingus vardiklius, virto trupmenomis, turinčiomis tuos pačius (bendruosius) vardiklius. Ir mes jau žinome, kaip atimti tokias trupmenas. Užbaikime šį pavyzdį.

Pavyzdžio tęsinys netilps vienoje eilutėje, todėl tęsinį perkeliame į kitą eilutę. Nepamirškite apie lygybės ženklą (=) naujoje eilutėje:

Paaiškėjo, kad atsakymas yra įprasta trupmena, ir viskas, atrodo, mums tinka, bet tai yra pernelyg sudėtinga ir negražu. Turėtume tai padaryti paprasčiau. Ką galima padaryti? Galite sutrumpinti šią trupmeną.

Norėdami sumažinti trupmeną, jos skaitiklį ir vardiklį turite padalyti iš (GCD) iš skaičių 20 ir 30.

Taigi, randame skaičių 20 ir 30 gcd:

Dabar grįžtame prie savo pavyzdžio ir trupmenos skaitiklį ir vardiklį padaliname iš rasto gcd, tai yra iš 10

Gavome atsakymą

Trupmenos padauginimas iš skaičiaus

Norėdami padauginti trupmeną iš skaičiaus, turite padauginti trupmenos skaitiklį iš šio skaičiaus ir vardiklį palikti tą patį.

1 pavyzdys. Padauginkite trupmeną iš skaičiaus 1.

Padauginkite trupmenos skaitiklį iš skaičiaus 1

Įrašą galima suprasti kaip pusę 1 karto. Pavyzdžiui, jei vieną kartą paimsite picą, gausite picą

Iš daugybos dėsnių žinome, kad sukeitus daugiklį ir koeficientą sandauga nepasikeis. Jei išraiška parašyta kaip , sandauga vis tiek bus lygi . Vėlgi, sveikojo skaičiaus ir trupmenos dauginimo taisyklė veikia:

Šį žymėjimą galima suprasti kaip pusę vieno. Pavyzdžiui, jei yra 1 visa pica ir paimame pusę jos, tai turėsime picą:

2 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę

Padauginkite trupmenos skaitiklį iš 4

Atsakymas buvo netinkama trupmena. Pabrėžkime visą jo dalį:

Išraišką galima suprasti kaip du ketvirčius 4 kartus. Pavyzdžiui, jei paimsite 4 picas, gausite dvi visas picas

Ir jei sukeisime daugiklį ir daugiklį, gausime išraišką . Jis taip pat bus lygus 2. Ši išraiška gali būti suprantama kaip dvi picos iš keturių ištisų picų:

Trupmenų dauginimas

Norėdami padauginti trupmenas, turite padauginti jų skaitiklius ir vardiklius. Jei pasirodo, kad atsakymas yra netinkama trupmena, turite paryškinti visą jo dalį.

1 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę.

Gavome atsakymą. Patartina šią dalį sumažinti. Trupmeną galima sumažinti 2. Tada galutinis sprendimas bus tokia forma:

Posakį galima suprasti kaip picos paėmimą iš pusės picos. Tarkime, kad turime pusę picos:

Kaip paimti du trečdalius iš šios pusės? Pirmiausia turite padalyti šią pusę į tris lygias dalis:

Ir paimkite du iš šių trijų dalių:

Gaminsime picą. Prisiminkite, kaip atrodo pica, padalinta į tris dalis:

Vienas šios picos gabalas ir du mūsų paimti gabalai bus vienodo dydžio:

Kitaip tariant, mes kalbame apie maždaug tokio pat dydžio pica. Todėl išraiškos vertė yra

2 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę

Padauginkite pirmosios trupmenos skaitiklį iš antrosios trupmenos skaitiklio, o pirmosios trupmenos vardiklį iš antrosios trupmenos vardiklio:

Atsakymas buvo netinkama trupmena. Pabrėžkime visą jo dalį:

3 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę

Padauginkite pirmosios trupmenos skaitiklį iš antrosios trupmenos skaitiklio, o pirmosios trupmenos vardiklį iš antrosios trupmenos vardiklio:

Atsakymas pasirodė taisyklinga trupmena, bet būtų gerai, jei ji būtų sutrumpinta. Norėdami sumažinti šią trupmeną, šios trupmenos skaitiklį ir vardiklį turite padalyti iš didžiausios bendras daliklis(GCD) numeriai 105 ir 450.

Taigi, suraskime skaičių 105 ir 450 gcd:

Dabar savo atsakymo skaitiklį ir vardiklį padalijame iš gcd, kurį dabar radome, tai yra iš 15

Sveikąjį skaičių pavaizduoti kaip trupmeną

Bet koks sveikas skaičius gali būti pavaizduotas trupmena. Pavyzdžiui, skaičius 5 gali būti pavaizduotas kaip . Tai nepakeis penkių reikšmės, nes posakis reiškia „skaičius penkis padalytas iš vieno“, o tai, kaip žinome, yra lygi penkiems:

Abipusiai skaičiai

Dabar susipažinsime su labai įdomia matematikos tema. Tai vadinama „atvirkštiniais skaičiais“.

Apibrėžimas. Atvirkščiai į skaičiųa yra skaičius, kurį padauginus iša duoda vieną.

Pakeiskime šį apibrėžimą vietoj kintamojo a skaičių 5 ir pabandykite perskaityti apibrėžimą:

Atvirkščiai į skaičių 5 yra skaičius, kurį padauginus iš 5 duoda vieną.

Ar galima rasti skaičių, kurį padauginus iš 5 gaunamas vienas? Pasirodo, tai įmanoma. Įsivaizduokime penkis kaip trupmeną:

Tada padauginkite šią trupmeną iš savęs, tiesiog pakeiskite skaitiklį ir vardiklį. Kitaip tariant, padauginkime trupmeną iš pačios, tik aukštyn kojomis:

Kas bus dėl to? Jei ir toliau spręstume šį pavyzdį, gautume vieną:

Tai reiškia, kad atvirkštinis skaičius 5 yra skaičius , nes padauginę 5 iš gausite vieną.

Skaičiaus atvirkštinę vertę taip pat galima rasti bet kuriam kitam sveikajam skaičiui.

Taip pat galite rasti bet kurios kitos trupmenos atvirkštinį koeficientą. Norėdami tai padaryti, tiesiog apverskite.

Trupmenos dalijimas iš skaičiaus

Tarkime, kad turime pusę picos:

Padalinkime jį po lygiai tarp dviejų. Kiek picos gaus kiekvienas žmogus?

Matyti, kad padalijus pusę picos gavosi du vienodi gabalėliai, kurių kiekvienas sudaro po picą. Taigi visi gauna picą.

Trupmenų padalijimas atliekamas naudojant reciprokines vertes. Abipusiai skaičiai leidžia dalybą pakeisti daugyba.

Norėdami padalyti trupmeną iš skaičiaus, turite padauginti trupmeną iš daliklio atvirkštinės vertės.

Pagal šią taisyklę užrašysime savo picos pusės padalijimą į dvi dalis.

Taigi, jums reikia padalyti trupmeną iš skaičiaus 2. Čia dividendas yra trupmena, o daliklis yra skaičius 2.

Norėdami padalyti trupmeną iš skaičiaus 2, turite šią trupmeną padauginti iš daliklio 2 atvirkštinės vertės. Daliklio 2 atvirkštinė vertė yra trupmena. Taigi reikia padauginti iš

Norėdami išspręsti įvairias matematikos ir fizikos kursų problemas, turite padalyti trupmenas. Tai padaryti labai paprasta, jei žinote tam tikras šio matematinės operacijos atlikimo taisykles.

Prieš pereidami prie trupmenų padalijimo taisyklės formulavimo, prisiminkime keletą matematinių terminų:

1. Viršutinė trupmenos dalis vadinama skaitikliu, o apatinė – vardikliu.
2. Dalijant skaičiai vadinami taip: dividendas: daliklis = koeficientas

Kaip padalinti trupmenas: paprastosios trupmenos

Norėdami padalinti dvi paprastas trupmenas, padauginkite dividendą iš daliklio atvirkštinės vertės. Ši trupmena taip pat vadinama apversta, nes ji gaunama sukeitus skaitiklį ir vardiklį. Pavyzdžiui:

3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7

Kaip padalinti trupmenas: mišrios frakcijos

Jei turime padalinti mišrias trupmenas, tai čia taip pat viskas yra gana paprasta ir aišku. Pirmiausia mišrią trupmeną paverčiame įprasta netinkama trupmena. Norėdami tai padaryti, padauginkite tokios trupmenos vardiklį iš sveikojo skaičiaus ir pridėkite skaitiklį prie gautos sandaugos. Dėl to gavome naują mišrios trupmenos skaitiklį, tačiau jo vardiklis išliks nepakitęs. Be to, trupmenų padalijimas bus atliekamas lygiai taip pat, kaip ir paprastų trupmenų padalijimas. Pavyzdžiui:

10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40

Kaip padalyti trupmeną iš skaičiaus

Norint padalyti paprastąją trupmeną iš skaičiaus, pastaroji turėtų būti rašoma trupmena (netaisyklinga). Tai padaryti labai paprasta: šis skaičius rašomas vietoje skaitiklio, o tokios trupmenos vardiklis lygus vienetui. Tolesnis padalijimas atliekamas įprastu būdu. Pažvelkime į tai su pavyzdžiu:

5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77

Kaip padalinti po kablelio

Dažnai suaugusiam žmogui be skaičiuoklės pagalbos sunku padalyti sveiką skaičių ar dešimtainę trupmeną iš dešimtainės trupmenos.

Taigi, norint padalinti po kablelio skaičių, tereikia išbraukti kablelį daliklyje ir nustoti į tai kreipti dėmesį. Dividenduose kablelis turi būti perkeltas į dešinę tiksliai tiek vietų, kiek buvo daliklio trupmeninėje dalyje, prireikus pridedant nulius. Ir tada jie atlieka įprastą padalijimą iš sveikojo skaičiaus. Kad tai būtų aiškiau, apsvarstykite šį pavyzdį.