Kaip pridėti paprastas trupmenas. Internetinis skaičiuotuvas Skaičiuojant išraiškas su skaitinėmis trupmenomis

Su trupmenomis galite atlikti įvairias operacijas, pavyzdžiui, pridėti trupmenas. Frakcijų pridėjimą galima suskirstyti į keletą tipų. Kiekvienas trupmenų pridėjimo tipas turi savo taisykles ir veiksmų algoritmą. Pažvelkime į kiekvieną papildymo tipą išsamiai.

Sudėjus trupmenas su panašiais vardikliais.

Pažvelkime į pavyzdį, kaip pridėti trupmenas su bendru vardikliu.

Turistai leidosi į žygį iš taško A į tašką E. Pirmą dieną jie nuėjo nuo taško A iki B arba \(\frac(1)(5)\) viso tako. Antrą dieną jie ėjo iš taško B į D arba \(\frac(2)(5)\) visą kelią. Kiek toli jie nukeliavo nuo kelionės pradžios iki taško D?

Norėdami rasti atstumą nuo taško A iki taško D, turite pridėti trupmenas \(\frac(1)(5) + \frac(2)(5)\).

Pridedant trupmenas su tie patys vardikliai yra tai, kad reikia pridėti šių trupmenų skaitiklius, bet vardiklis išliks toks pat.

\(\frac(1)(5) + \frac(2)(5) = \frac(1 + 2)(5) = \frac(3)(5)\)

Pažodine forma trupmenų su tais pačiais vardikliais suma atrodys taip:

\(\bf \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a + b)(c)\)

Atsakymas: turistai visą kelią nuėjo \(\frac(3)(5)\).

Sudėjus trupmenas su skirtingais vardikliais.

Pažiūrėkime į pavyzdį:

Turite pridėti dvi trupmenas \(\frac(3)(4)\) ir \(\frac(2)(7)\).

Norėdami pridėti trupmenas su skirtingus vardiklius pirma reikia surasti, tada naudokite taisyklę, kad pridėtumėte trupmenas su panašiais vardikliais.

Vardiklių 4 ir 7 bendras vardiklis bus skaičius 28. Pirmoji trupmena \(\frac(3)(4)\) turi būti padauginta iš 7. Antroji trupmena \(\frac(2)(7)\ ) turi būti padaugintas iš 4.

\(\frac(3)(4) + \frac(2)(7) = \frac(3 \times \color(raudona) (7) + 2 \times \color(raudona) (4))(4 \ kartus \spalva(raudona) (7)) = \frac(21 + 8)(28) = \frac(29)(28) = 1\frac(1)(28)\)

Tiesiogine forma gauname tokią formulę:

\(\bf \frac(a)(b) + \frac(c)(d) = \frac(a \times d + c \times b)(b \times d)\)

Mišriųjų skaičių arba mišrių trupmenų pridėjimas.

Sudėjimas vyksta pagal sudėjimo dėsnį.

Mišrioms trupmenoms sudedame visas dalis su sveikosiomis dalimis ir trupmenines dalis su trupmenomis.

Jei mišrių skaičių trupmeninės dalys turi tuos pačius vardiklius, tada skaitiklius pridedame, tačiau vardiklis lieka toks pat.

Sudėkime mišrius skaičius \(3\frac(6)(11)\) ir \(1\frac(3)(11)\).

\(3\frac(6)(11) + 1\frac(3)(11) = (\spalva(raudona) (3) + \spalva(mėlyna) (\frac(6)(11))) + ( \spalva(raudona) (1) + \spalva(mėlyna) (\frac(3)(11))) = (\spalva(raudona) (3) + \spalva(raudona) (1)) + (\spalva( mėlyna) (\frac(6)(11)) + \spalva(mėlyna) (\frac(3)(11))) = \spalva(raudona)(4) + (\spalva(mėlyna) (\frac(6) + 3)(11))) = \spalva(raudona)(4) + \spalva(mėlyna) (\frac(9)(11)) = \spalva(raudona)(4) \spalva(mėlyna) (\frac (9) (11)\)

Jei mišrių skaičių trupmeninės dalys turi skirtingus vardiklius, tada randame bendrą vardiklį.

Sudėkime mišrius skaičius \(7\frac(1)(8)\) ir \(2\frac(1)(6)\).

Vardiklis skirtingas, todėl reikia rasti bendrą vardiklį, jis lygus 24. Pirmąją trupmeną \(7\frac(1)(8)\) padauginkite iš papildomo koeficiento 3, o antrąją trupmeną \( 2\frac(1)(6)\) iš 4.

\(7\frac(1)(8) + 2\frac(1)(6) = 7\frac(1 \times \color(red) (3))(8 \times \color(raudona) (3) ) = 2\frak(1\kartai \spalva(raudona) (4))(6\kartai \spalva(raudona) (4)) =7\frak(3)(24) + 2\frak(4)(24) ) = 9\frac(7)(24)\)

Susiję klausimai:
Kaip pridėti trupmenas?
Atsakymas: pirmiausia turite nuspręsti, koks tai išraiškos tipas: trupmenos turi tuos pačius vardiklius, skirtingus vardiklius arba mišrios trupmenos. Priklausomai nuo išraiškos tipo, pereiname prie sprendimo algoritmo.

Kaip išspręsti trupmenas su skirtingais vardikliais?
Atsakymas: reikia rasti bendrą vardiklį ir vadovautis taisykle pridėti trupmenas su tais pačiais vardikliais.

Kaip išspręsti mišrias frakcijas?
Atsakymas: mes pridedame sveikąsias dalis su sveikaisiais skaičiais ir trupmenines dalis su trupmenomis.

1 pavyzdys:
Ar iš dviejų sumos gaunama tinkama trupmena? Netinkama trupmena? Pateikite pavyzdžių.

\(\frac(2)(7) + \frac(3)(7) = \frac(2 + 3)(7) = \frac(5)(7)\)

Trupmena \(\frac(5)(7)\) yra tinkama trupmena, ji yra dviejų tinkamų trupmenų \(\frac(2)(7)\) ir \(\frac(3) sumos rezultatas. (7)\).

\(\frac(2)(5) + \frac(8)(9) = \frac(2 \times 9 + 8 \times 5)(5 \times 9) =\frac(18 + 40) (45) = \frac(58)(45)\)

Trupmena \(\frac(58)(45)\) yra netinkama trupmena, ji yra tinkamų trupmenų \(\frac(2)(5)\) ir \(\frac(8) sumos rezultatas (9)\).

Atsakymas: Atsakymas į abu klausimus yra taip.

2 pavyzdys:
Sudėkite trupmenas: a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11)\) b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9)\) .

a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11) = \frac(3 + 5)(11) = \frac(8)(11)\)

b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9) = \frac(1 \times \color(raudona) (3))(3 \times \color(raudona) (3)) + \frac(2)(9) = \frac(3)(9) + \frac(2)(9) = \frac(5)(9)\)

3 pavyzdys:
Mišriąją trupmeną parašykite kaip natūraliojo skaičiaus ir tinkamos trupmenos sumą: a) \(1\frac(9)(47)\) b) \(5\frac(1)(3)\)

a) \(1\frac(9)(47) = 1 + \frac(9)(47)\)

b) \(5\frac(1)(3) = 5 + \frac(1)(3)\)

4 pavyzdys:
Apskaičiuokite sumą: a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7)\) b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) ) \) c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15)\)

a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7) = (8 + 2) + (\frac(5)(7) + \frac(1)(7)) = 10 + \frac(6)(7) = 10\frac(6)(7)\)

b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) = 2 + (\frac(9)(13) + \frac(2)(13)) = 2\frac(11) )(13) \)

c) \(7\frak(2)(5) + 3\frak(4)(15) = 7\frak(2\kartai 3)(5\kartai 3) + 3\frak(4)(15) = 7\frac(6)(15) + 3\frac(4)(15) = (7 + 3)+(\frac(6)(15) + \frac(4)(15)) = 10 + \frac (10) (15) = 10\frak(10)(15) = 10\frak(2)(3)\)

1 užduotis:
Per pietus valgėme \(\frac(8)(11)\) iš torto, o vakare per vakarienę – \(\frac(3)(11)\). Ar manote, kad pyragas buvo visiškai suvalgytas ar ne?

Sprendimas:
Trupmenos vardiklis yra 11, jis rodo, į kiek dalių buvo padalintas pyragas. Per pietus suvalgėme 8 pyrago gabalėlius iš 11. Vakarienės metu suvalgėme 3 pyrago gabalėlius iš 11. Sudėkime 8 + 3 = 11, suvalgėme pyrago gabalėlius iš 11, tai yra visą pyragą.

\(\frac(8)(11) + \frac(3)(11) = \frac(11)(11) = 1\)

Atsakymas: visas pyragas buvo suvalgytas.

Veiksmai su trupmenomis.

Dėmesio!
Yra papildomų
Specialiajame 555 skyriuje nurodytos medžiagos.
Tiems, kurie labai „nelabai...“
Ir tiems, kurie „labai...“)

Taigi, kas yra trupmenos, trupmenų rūšys, transformacijos – prisiminėme. Pereikime prie pagrindinio klausimo.

Ką galite padaryti su trupmenomis? Taip, viskas taip pat, kaip ir su įprastais skaičiais. Sudėti, atimti, dauginti, padalyti.

Visi šie veiksmai su dešimtainis darbas su trupmenomis nesiskiria nuo darbo su sveikaisiais skaičiais. Tiesą sakant, tuo jie ir yra gerai, dešimtainiai. Vienintelis dalykas yra tai, kad reikia teisingai dėti kablelį.

Mišrūs skaičiai, kaip jau sakiau, yra mažai naudingi daugeliui veiksmų. Juos dar reikia konvertuoti bendrosios trupmenos.

Tačiau veiksmai su paprastosios trupmenos jie bus gudresni. Ir daug svarbiau! Leiskite man jums priminti: visi veiksmai su trupmeninėmis išraiškomis su raidėmis, sinusais, nežinomaisiais ir pan., niekuo nesiskiria nuo veiksmų su paprastomis trupmenomis! Veiksmai su paprastosiomis trupmenomis yra visos algebros pagrindas. Būtent dėl ​​šios priežasties mes čia labai detaliai išanalizuosime visą šią aritmetiką.

Trupmenų pridėjimas ir atėmimas.

Kiekvienas gali pridėti (atimti) trupmenas su tais pačiais vardikliais (labai tikiuosi!). Na, priminsiu tiems, kurie visiškai užmiršta: pridedant (atimant) vardiklis nesikeičia. Skaitikliai sudedami (atimami), kad būtų gautas rezultato skaitiklis. Tipas:

Trumpai tariant, į bendras vaizdas:

Ką daryti, jei vardikliai skiriasi? Tada, naudodami pagrindinę trupmenos savybę (čia ji vėl praverčia!), vardiklius padarome vienodus! Pavyzdžiui:

Čia turėjome padaryti trupmeną 4/10 iš trupmenos 2/5. Vien tam, kad vardikliai būtų vienodi. Leiskite man tik tuo atveju pažymėti, kad 2/5 ir 4/10 yra ta pati trupmena! Tik 2/5 mums nepatogūs, o 4/10 tikrai gerai.

Beje, tai yra bet kokių matematikos uždavinių sprendimo esmė. Kai mes iš nepatogus darome išraiškas tas pats, bet patogiau spręsti.

Kitas pavyzdys:

Situacija panaši. Čia mes gauname 48 iš 16. Paprasto dauginimo būdu 3. Viskas aišku. Bet mes susidūrėme su tokiu dalyku:

Kaip būti?! Sunku iš septynių surinkti devynetą! Bet mes protingi, žinome taisykles! Transformuokime kas trupmeną, kad vardikliai būtų vienodi. Tai vadinama „sumažinti iki bendro vardiklio“:

Oho! Iš kur aš sužinojau apie 63? Labai paprasta! 63 yra skaičius, kuris tuo pačiu metu dalijasi iš 7 ir 9. Tokį skaičių visada galima gauti padauginus vardiklius. Pavyzdžiui, jei skaičių padauginsime iš 7, rezultatas tikrai bus dalijamas iš 7!

Jei reikia pridėti (atimti) kelias trupmenas, nereikia to daryti poromis, žingsnis po žingsnio. Jums tereikia rasti visoms trupmenoms bendrą vardiklį ir kiekvieną trupmeną sumažinti iki to paties vardiklio. Pavyzdžiui:

O koks bus bendras vardiklis? Žinoma, galite padauginti iš 2, 4, 8 ir 16. Gauname 1024. Košmaras. Lengviau įvertinti, kad skaičius 16 puikiai dalijasi iš 2, 4 ir 8. Todėl iš šių skaičių nesunku gauti 16. Šis skaičius bus bendras vardiklis. Paverskime 1/2 į 8/16, 3/4 į 12/16 ir t.t.

Beje, jei imsite 1024 kaip bendrą vardiklį, viskas susitvarkys, galų gale viskas sumažės. Tačiau ne visi pasieks šį tikslą, dėl skaičiavimų...

Užbaikite pavyzdį patys. Ne koks logaritmas... Turėtų pasirodyti 29/16.

Taigi, trupmenų pridėjimas (atėmimas) aiškus, tikiuosi? Žinoma, lengviau dirbti sutrumpinta versija, su papildomais daugikliais. Bet šis malonumas prieinamas tiems, kurie sąžiningai dirbo žemesnėse klasėse... Ir nieko nepamiršo.

Ir dabar mes atliksime tuos pačius veiksmus, bet ne su trupmenomis, o su trupmeninės išraiškos. Čia bus atskleistas naujas grėblys, taip...

Taigi, turime pridėti dvi trupmenines išraiškas:

Reikia, kad vardikliai būtų vienodi. Ir tik su pagalba daugyba! Tai lemia pagrindinė trupmenos savybė. Todėl aš negaliu pridėti vieneto prie X pirmoje vardiklio trupmenoje. (tai būtų puiku!). Bet jei padauginsite vardiklius, pamatysite, viskas auga kartu! Taigi užrašome trupmenos eilutę, viršuje paliekame tuščią vietą, tada pridedame, o žemiau užrašome vardklių sandaugą, kad nepamirštume:

Ir, žinoma, mes nieko nedauginame dešinėje pusėje, neatidarome skliaustų! Ir dabar, žiūrėdami į bendrą vardiklį dešinėje, suprantame: norint gauti vardiklį x(x+1) pirmoje trupmenoje, reikia šios trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginti iš (x+1) . O antroje trupmenoje - iki x. Štai ką jūs gaunate:

Pastaba! Štai skliaustai! Tai grėblys, ant kurio užlipa daugelis žmonių. Žinoma, ne skliausteliuose, o jų nebuvime. Skliaustai atsiranda, nes dauginamės visi skaitiklis ir visi vardiklis! Ir ne jų atskiros dalys...

Dešinės pusės skaitiklyje rašome skaitiklių sumą, viskas kaip skaitinėse trupmenose, tada dešinės pusės skaitiklyje skliaustus atverčiame, t.y. Viską padauginame ir duodame panašius. Nereikia vardikliuose atversti skliaustų ar nieko dauginti! Apskritai vardikliuose (bet kokiuose) produktas visada yra malonesnis! Mes gauname:

Taigi mes gavome atsakymą. Procesas atrodo ilgas ir sunkus, bet tai priklauso nuo praktikos. Kai išspręsite pavyzdžius, priprasite, viskas taps paprasta. Tie, kurie laiku įvaldė trupmenas, visas šias operacijas atlieka viena kaire ranka, automatiškai!

Ir dar viena pastaba. Daugelis protingai elgiasi su trupmenomis, bet įstringa ties pavyzdžiais visas numeriai. Patinka: 2 + 1/2 + 3/4= ? Kur tvirtinti dviejų dalių? Nereikia niekur tvirtinti, reikia padaryti trupmeną iš dviejų. Tai nėra lengva, bet labai paprasta! 2 = 2/1. Kaip šitas. Bet koks sveikas skaičius gali būti parašytas trupmena. Skaitiklis yra pats skaičius, vardiklis yra vienas. 7 yra 7/1, 3 yra 3/1 ir pan. Tas pats ir su raidėmis. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1 ir kt. Ir tada mes dirbame su šiomis trupmenomis pagal visas taisykles.

Na, o trupmenų sudėjimo ir atėmimo žinios buvo atnaujintos. Buvo pakartotas trupmenų konvertavimas iš vienos rūšies į kitą. Taip pat galite pasitikrinti. Ar šiek tiek sutvarkysime?)

Apskaičiuoti:

Atsakymai (netvarkingai):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Trupmenų daugyba/dalyba – kitoje pamokoje. Taip pat yra užduočių visoms operacijoms su trupmenomis.

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)

Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Trupmenos yra įprasti skaičiai, kurias taip pat galima sudėti ir atimti. Tačiau kadangi jie turi vardiklį, jiems reikalingos sudėtingesnės taisyklės nei sveikiesiems skaičiams.

Panagrinėkime paprasčiausią atvejį, kai yra dvi trupmenos su vienodais vardikliais. Tada:

Norėdami pridėti trupmenas su tais pačiais vardikliais, turite pridėti jų skaitiklius ir vardiklį palikti nepakeistą.

Norėdami atimti trupmenas su tais pačiais vardikliais, turite atimti antrosios dalies skaitiklį iš pirmosios trupmenos skaitiklio ir vėl palikti vardiklį nepakeistą.

Kiekvienoje išraiškoje trupmenų vardikliai yra lygūs. Pagal trupmenų pridėjimo ir atėmimo apibrėžimą gauname:

Kaip matote, nėra nieko sudėtingo: tiesiog sudedame arba atimame skaitiklius ir viskas.

Bet net ir tokiuose paprasti veiksmaižmonės sugeba klysti. Dažniausiai pamirštama, kad vardiklis nesikeičia. Pavyzdžiui, juos pridedant, jie taip pat pradeda didėti, ir tai iš esmės neteisinga.

Atsikratyti Blogas įprotis Sudėti vardiklius yra gana paprasta. Išbandykite tą patį atimdami. Dėl to vardiklis bus lygus nuliui, o trupmena (staiga!) neteks prasmės.

Todėl atsiminkite kartą ir visiems laikams: sudėjus ir atimant vardiklis nesikeičia!

Daugelis žmonių taip pat daro klaidų pridėdami kelias neigiamas trupmenas. Kyla painiavos su ženklais: kur dėti minusą, o kur pliusą.

Šią problemą taip pat labai lengva išspręsti. Pakanka prisiminti, kad minusas prieš trupmenos ženklą visada gali būti perkeltas į skaitiklį – ir atvirkščiai. Ir, žinoma, nepamirškite dviejų paprastų taisyklių:

1. Plius prie minuso duoda minusą;
2. Du neigiami dalykai daro teigiamą.

Pažvelkime į visa tai su konkrečiais pavyzdžiais:

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Pirmuoju atveju viskas paprasta, tačiau antruoju trupmenų skaitiklius įvedame minusus:

Ką daryti, jei vardikliai skiriasi

Negalite tiesiogiai pridėti trupmenų su skirtingais vardikliais. Bent jau man šis metodas nežinomas. Tačiau pradines trupmenas visada galima perrašyti taip, kad vardikliai taptų vienodi.

Yra daug būdų konvertuoti trupmenas. Trys iš jų aptariamos pamokoje „Trupmenų redukcija į bendrą vardiklį“, todėl prie jų čia neapsiribosime. Pažvelkime į keletą pavyzdžių:

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Pirmuoju atveju trupmenas sumažiname iki bendro vardiklio, naudodami „kryžminio“ metodą. Antrajame ieškosime NOC. Atkreipkite dėmesį, kad 6 = 2 3; 9 = 3 · 3. Paskutiniai šių plėtimų veiksniai yra lygūs, o pirmieji yra santykinai pirminiai. Todėl LCM(6, 9) = 2 3 3 = 18.

Ką daryti, jei trupmena turi sveikąjį skaičių

Galiu jus pamaloninti: skirtingi vardikliai trupmenose nėra didžiausia blogybė. Daug daugiau klaidų pasitaiko, kai pridedamose trupmenose paryškinama visa dalis.

Žinoma, tokioms trupmenoms yra savi sudėjimo ir atimties algoritmai, tačiau jie yra gana sudėtingi ir reikalauja ilgo tyrimo. Geriau naudoti paprasta diagrama, pateikta žemiau:

1. Konvertuokite visas trupmenas, kuriose yra sveikoji dalis, į netinkamas. Gauname normalius terminus (net su skirtingais vardikliais), kurie apskaičiuojami pagal aukščiau aptartas taisykles;
2. Tiesą sakant, apskaičiuokite gautų trupmenų sumą arba skirtumą. Dėl to mes praktiškai rasime atsakymą;
3. Jei užduotyje reikėjo tik to, atliekame atvirkštinę transformaciją, t.y. Netinkamos trupmenos atsikratome paryškindami visą dalį.

Perėjimo prie netinkamų trupmenų ir visos dalies paryškinimo taisyklės išsamiai aprašytos pamokoje „Kas yra skaitinė trupmena“. Jei neprisimenate, būtinai pakartokite. Pavyzdžiai:

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Čia viskas paprasta. Vardikliai kiekvienos išraiškos viduje yra lygūs, todėl belieka visas trupmenas paversti netinkamomis ir suskaičiuoti. Mes turime:

Norėdami supaprastinti skaičiavimus, paskutiniuose pavyzdžiuose praleidau keletą akivaizdžių žingsnių.

Maža pastaba apie paskutinius du pavyzdžius, kur atimamos trupmenos su paryškinta sveikojo skaičiaus dalimi. Minusas prieš antrąją trupmeną reiškia, kad atimama visa trupmena, o ne tik jos dalis.

Dar kartą perskaitykite šį sakinį, pažiūrėkite į pavyzdžius – ir pagalvokite. Čia pradedantieji daro daugybę klaidų. Jie mėgsta duoti tokias užduotis bandymai. Taip pat keletą kartų su jais susidursite atliekant šios pamokos testus, kurie netrukus bus paskelbti.

Santrauka: bendra skaičiavimo schema

Baigdamas pateiksiu bendrą algoritmą, kuris padės rasti dviejų ar daugiau trupmenų sumą arba skirtumą:

1. Jei viena ar kelios trupmenos turi sveikąją dalį, konvertuokite šias trupmenas į netinkamas;
2. Suveskite visas trupmenas į bendrą vardiklį bet kokiu jums patogiu būdu (nebent, žinoma, tai padarė problemų autoriai);
3. Sudėkite arba atimkite gautus skaičius pagal trupmenų su panašiais vardikliais sudėjimo ir atėmimo taisykles;
4. Jei įmanoma, sutrumpinkite rezultatą. Jei trupmena neteisinga, pasirinkite visą dalį.

Atminkite, kad geriau paryškinti visą dalį pačioje problemos pabaigoje, prieš pat užrašant atsakymą.

Trupmenines išraiškas vaikui sunku suprasti. Dauguma žmonių turi sunkumų. Studijuodamas temą „skaidmenų su sveikaisiais skaičiais pridėjimas“, vaikas patenka į stuporą, jam sunku išspręsti problemą. Daugelyje pavyzdžių prieš atliekant veiksmą reikia atlikti daugybę skaičiavimų. Pavyzdžiui, konvertuokite trupmenas arba išverskite netinkama trupmenaį teisingą.

Aiškiai tai paaiškinkime vaikui. Imkime tris obuolius, iš kurių du bus sveiki, o trečią supjaustykime į 4 dalis. Atskirkite vieną griežinėlį nuo supjaustyto obuolio, o likusius tris padėkite šalia dviejų sveikų vaisių. Iš vienos pusės gauname ¼ obuolio, o iš kitos – 2 ¾. Jei juos sujungsime, gausime tris obuolius. Pabandykime 2 ¾ obuolių sumažinti ¼, tai yra, nuimkite kitą griežinėlį, gausime 2 2/4 obuolių.

Pažvelkime atidžiau į operacijas su trupmenomis, kuriose yra sveikųjų skaičių:

Pirmiausia prisiminkime trupmeninių išraiškų su bendru vardikliu skaičiavimo taisyklę:

Iš pirmo žvilgsnio viskas paprasta ir paprasta. Bet tai taikoma tik posakiams, kurių nereikia konvertuoti.

Kaip rasti išraiškos vertę, kai vardikliai skiriasi

Kai kuriose užduotyse reikia rasti posakio, kuriame vardikliai skiriasi, reikšmę. Pažvelkime į konkretų atvejį:
3 2/7+6 1/3

Raskime šios išraiškos reikšmę radę bendrą dviejų trupmenų vardiklį.

Skaičiams 7 ir 3 tai yra 21. Sveikąsias dalis paliekame tokias pačias, o trupmenines dalis paverčiame iki 21, tam padauginame pirmąją trupmeną iš 3, antrąją iš 7 ir gauname:
6/21+7/21, nepamirškite, kad ištisos dalys negali būti konvertuojamos. Dėl to gauname dvi trupmenas su tuo pačiu vardikliu ir apskaičiuojame jų sumą:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Ką daryti, jei pridėjimo rezultatas yra netinkama trupmena, kuri jau turi sveikąją dalį:
2 1/3+3 2/3
Šiuo atveju sudėjus sveikąsias dalis ir trupmenines dalis gauname:
5 3/3, kaip žinote, 3/3 yra vienas, o tai reiškia 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

Surasti sumą aišku, pažiūrėkime į atimtį:

Iš viso to, kas pasakyta, veiksmų taisyklė baigėsi mišrūs skaičiai, kuris skamba taip:

• Jei reikia atimti sveikąjį skaičių iš trupmeninės išraiškos, antrojo skaičiaus nereikia vaizduoti trupmenos, pakanka atlikti operaciją tik su sveikosiomis dalimis.

Pabandykime patys apskaičiuoti posakių reikšmę:

Pažvelkime atidžiau į pavyzdį po raide „m“:

4 5/11-2 8/11, pirmosios trupmenos skaitiklis yra mažesnis nei antrosios. Norėdami tai padaryti, pasiskoliname vieną sveikąjį skaičių iš pirmosios trupmenos, gauname
3 5/11+11/11=3 visa 16/11, iš pirmosios trupmenos atimkite antrąją:
3 11/16-2 8/11=1 visa 8/11

• Būkite atsargūs atlikdami užduotį, nepamirškite netinkamų trupmenų paversti mišriomis trupmenomis, paryškindami visą dalį. Norėdami tai padaryti, turite padalyti skaitiklio reikšmę iš vardiklio vertės, tada tai, kas atsitiks, pakeičia visą dalį, likusi dalis bus skaitiklis, pavyzdžiui:

19/4=4 ¾, patikrinkime: 4*4+3=19, vardiklis 4 lieka nepakitęs.

Apibendrinti:

Prieš pradedant užduotį, susijusią su trupmenomis, reikia išanalizuoti, kokia tai išraiška, kokias transformacijas reikia atlikti trupmenoje, kad sprendimas būtų teisingas. Ieškokite racionalesnio sprendimo. Neik sunkiausiu keliu. Suplanuokite visus veiksmus, pirmiausia išspręskite juos juodraštyje, tada perkelkite į savo mokyklinį sąsiuvinį.

Kad išvengtumėte painiavos sprendžiant trupmenines išraiškas, turite laikytis nuoseklumo taisyklės. Viską spręskite atsargiai, neskubėdami.

Veiksmai su trupmenomis. Šiame straipsnyje apžvelgsime pavyzdžius, viską išsamiai su paaiškinimais. Mes apsvarstysime paprastas trupmenas. Dešimtaines pažiūrėsime vėliau. Rekomenduoju žiūrėti viską ir studijuoti paeiliui.

1. Trupmenų suma, trupmenų skirtumas.

Taisyklė: sudėjus trupmenas su vienodais vardikliais, gaunama trupmena – kurios vardiklis lieka toks pat, o jo skaitiklis bus lygus trupmenų skaitiklių sumai.

Taisyklė: skaičiuodami skirtumą tarp trupmenų su vienodais vardikliais, gauname trupmeną - vardiklis lieka toks pat, o antrosios skaitiklis atimamas iš pirmosios trupmenos skaitiklio.

Formalus trupmenų su vienodais vardikliais sumos ir skirtumo žymėjimas:

Pavyzdžiai (1):

Aišku, kad kai pateikiamos paprastosios trupmenos, tada viskas paprasta, o jei jos sumaišomos? Nieko sudėtingo...

1 variantas– galite konvertuoti juos į paprastus ir tada apskaičiuoti.

2 variantas– galite „dirbti“ atskirai su sveikosiomis ir trupmeninėmis dalimis.

Pavyzdžiai (2):

Daugiau:

Ką daryti, jei pateikiamas dviejų mišrių trupmenų skirtumas ir pirmosios trupmenos skaitiklis yra mažesnis už antrosios trupmenos skaitiklį? Taip pat galite veikti dviem būdais.

Pavyzdžiai (3):

*Pavertė į paprastąsias trupmenas, apskaičiavo skirtumą, gautą netinkamą trupmeną pavertė mišriąja trupmena.

*Mes suskirstėme jį į sveikąsias ir trupmenines dalis, gavome trejetą, tada pateikėme 3 kaip 2 ir 1 sumą, o vieną pateikiame kaip 11/11, tada nustatėme skirtumą tarp 11/11 ir 7/11 ir apskaičiavome rezultatą. . Aukščiau pateiktų transformacijų prasmė yra paimti (pasirinkti) vienetą ir pateikti jį trupmenos pavidalu su mums reikalingu vardikliu, tada iš šios trupmenos galime atimti kitą.

Kitas pavyzdys:

Išvada: yra universalus požiūris - norint apskaičiuoti mišrių trupmenų su vienodais vardikliais sumą (skirtumą), jas visada galima konvertuoti į netinkamas, tada atlikti reikiamą veiksmą. Po to, jei rezultatas yra netinkama trupmena, konvertuojame ją į mišrią trupmeną.

Aukščiau pažvelgėme į pavyzdžius su trupmenomis, kurių vardikliai yra vienodi. Ką daryti, jei vardikliai skiriasi? Tokiu atveju trupmenos sumažinamos iki to paties vardiklio ir atliekamas nurodytas veiksmas. Norint pakeisti (pakeisti) trupmeną, naudojama pagrindinė trupmenos savybė.

Pažvelkime į paprastus pavyzdžius:

Šiuose pavyzdžiuose iš karto matome, kaip vieną iš trupmenų galima transformuoti, kad būtų gauti vienodi vardikliai.

Jei nurodysime būdus, kaip sumažinti trupmenas iki to paties vardiklio, vadinsime tai PIRMAS METODAS.

Tai yra, iš karto „vertindami“ trupmeną turite išsiaiškinti, ar šis metodas veiks – patikriname, ar didesnis vardiklis dalijasi iš mažesnio. O jei dalijasi, tada atliekame transformaciją – skaitiklį ir vardiklį padauginame taip, kad abiejų trupmenų vardikliai taptų lygūs.

Dabar pažvelkite į šiuos pavyzdžius:

Šis metodas jiems netaikomas. Taip pat yra būdų, kaip sumažinti trupmenas iki bendro vardiklio.

ANTRAS metodas.

Pirmosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginame iš antrosios vardiklio, o antrosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš pirmosios:

*Tiesą sakant, mes sumažiname trupmenas, kad susidarytų, kai vardikliai tampa lygūs. Toliau mes naudojame taisyklę, kaip pridėti trupmenas su vienodais vardikliais.

Pavyzdys:

*Šį metodą galima pavadinti universaliu ir jis visada veikia. Vienintelis neigiamas dalykas yra tai, kad po skaičiavimų galite gauti trupmeną, kurią reikės dar labiau sumažinti.

Pažiūrėkime į pavyzdį:

Matyti, kad skaitiklis ir vardiklis dalijasi iš 5:

TREČIAS metodas.

Turite rasti vardiklių mažiausiąjį bendrąjį kartotinį (LCM). Tai bus bendras vardiklis. Koks čia skaičius? Tai mažiausiai natūralusis skaičius, kuris dalijasi iš kiekvieno skaičiaus.

Pažiūrėkite, čia yra du skaičiai: 3 ir 4, yra daug skaičių, kurie iš jų dalijasi - tai yra 12, 24, 36, ... Mažiausias iš jų yra 12. Arba 6 ir 15, jie dalijasi iš 30, 60, 90... Mažiausias yra 30. Kyla klausimas – kaip nustatyti šį mažiausią bendrą kartotinį?

Yra aiškus algoritmas, tačiau dažnai tai galima padaryti iš karto be skaičiavimų. Pavyzdžiui, pagal aukščiau pateiktus pavyzdžius (3 ir 4, 6 ir 15) algoritmo nereikia, paėmėme didelius skaičius (4 ir 15), juos padvigubinome ir pamatėme, kad jie dalijasi iš antrojo skaičiaus, bet skaičių poros gali būti kiti, pavyzdžiui, 51 ir 119.

Algoritmas. Norėdami nustatyti mažiausią bendrąjį kelių skaičių kartotinį, turite:

- išskaidykite kiekvieną skaičių į PAprasti veiksniai

— užrašykite DIDESNIŲJŲ iš jų skaidymą

- padauginkite jį iš kitų skaičių TRŪKSTAMŲ faktorių

Pažiūrėkime į pavyzdžius:

50 ir 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

skilimo metu daugiau trūksta vieno penketuko

=> LCM(50,60) = 2,2∙3∙5∙5 = 300

48 ir 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

išplečiant didesnį skaičių trūksta dviejų ir trijų

=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Mažiausias bendrasis dviejų kartotinis pirminiai skaičiai lygus jų produktui

Klausimas! Kodėl naudinga rasti mažiausią bendrąjį kartotinį, nes galite naudoti antrąjį metodą ir tiesiog sumažinti gautą trupmeną? Taip, tai įmanoma, bet ne visada patogu. Pažiūrėkite į skaičių 48 ir 72 vardiklį, jei juos tiesiog padauginsite iš 48∙72 = 3456. Sutiksite, kad su mažesniais skaičiais dirbti maloniau.

Pažiūrėkime į pavyzdžius:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

didesnio skaičiaus išplėtimui trūksta trigubo

=> LOC(51,119) = 3∙7∙17

Dabar naudokime pirmąjį metodą:

*Pažiūrėkite į skaičiavimų skirtumus, pirmuoju atveju jų yra minimumas, bet antruoju reikia dirbti atskirai ant popieriaus lapo ir net trupmeną, kurią gavote, reikia sumažinti. LOC radimas labai supaprastina darbą.

Daugiau pavyzdžių:

*Antrame pavyzdyje aišku, kad mažiausias skaičius kuris dalijasi iš 40 ir 60 yra lygus 120.

REZULTATAS! BENDRAS SKAIČIAVIMO ALGORITMAS!

— trupmenas sumažiname į paprastas, jei yra sveikoji dalis.

- trupmenas suvedame į bendrą vardiklį (pirmiausia žiūrime, ar vienas vardiklis dalijasi iš kito; jei dalijasi, tada padauginame šios kitos trupmenos skaitiklį ir vardiklį; jei jis nedalomas, veikiame kitais metodais nurodyta aukščiau).

- Gavę trupmenas su vienodais vardikliais, atliekame operacijas (sudėti, atimti).

- jei reikia, sumažiname rezultatą.

- jei reikia, tada pasirinkite visą dalį.

2. Trupmenų sandauga.

Taisyklė paprasta. Dauginant trupmenas, jų skaitikliai ir vardikliai dauginami:

Pavyzdžiai: