Didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmių radimas segmente. Kaip rasti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes ribotame uždarame regione

Praktiniu požiūriu didžiausias susidomėjimas yra naudoti išvestinę, kad būtų galima rasti didžiausias ir mažiausias funkcijos reikšmes. Su kuo tai susiję? Maksimalus pelnas, kaštų minimizavimas, optimalios įrangos apkrovos nustatymas... Kitaip tariant, daugelyje gyvenimo sričių tenka spręsti kai kurių parametrų optimizavimo problemas. Ir tai yra didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmių radimo užduotys.

Reikėtų pažymėti, kad didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmės paprastai ieškomos tam tikrame intervale X, kuris yra arba visa funkcijos sritis, arba apibrėžimo srities dalis. Pats intervalas X gali būti atkarpa, atviras intervalas , begalinis intervalas.

Šiame straipsnyje mes kalbėsime apie tai, kaip aiškiai rasti didžiausias ir mažiausias vertes suteikta funkcija vienas kintamasis y=f(x) .

Puslapio naršymas.

Didžiausia ir mažiausia funkcijos reikšmė – apibrėžimai, iliustracijos.

Trumpai pažvelkime į pagrindinius apibrėžimus.

Didžiausia funkcijos reikšmė kad bet kam nelygybė yra tiesa.

Mažiausia funkcijos reikšmė y=f(x) intervale X vadinama tokia reikšme kad bet kam nelygybė yra tiesa.

Šie apibrėžimai yra intuityvūs: didžiausia (mažiausia) funkcijos reikšmė yra didžiausia (mažiausia) priimtina reikšmė nagrinėjamame intervale ties abscisėmis.

Stacionarūs taškai– tai yra argumento reikšmės, kurioms esant funkcijos išvestinė tampa nuliu.

Kodėl mums reikia stacionarių taškų ieškant didžiausių ir mažiausių verčių? Atsakymą į šį klausimą duoda Ferma teorema. Iš šios teoremos išplaukia, kad jei diferencijuojama funkcija tam tikru momentu turi ekstremumą (lokalų minimumą arba vietinį maksimumą), tai šis taškas yra stacionarus. Taigi funkcija dažnai paima didžiausią (mažiausią) reikšmę intervale X viename iš šio intervalo stacionarių taškų.

Be to, funkcija dažnai gali įgyti didžiausias ir mažiausias reikšmes taškuose, kuriuose pirmoji šios funkcijos išvestinė neegzistuoja, o pati funkcija yra apibrėžta.

Iš karto atsakykime į vieną dažniausių klausimų šia tema: „Ar visada įmanoma nustatyti didžiausią (mažiausią) funkcijos reikšmę“? Ne, ne visada. Kartais intervalo X ribos sutampa su funkcijos apibrėžimo srities ribomis arba intervalas X yra begalinis. O kai kurios funkcijos begalybėje ir apibrėžimo srities ribose gali turėti ir be galo dideles, ir be galo mažas reikšmes. Tokiais atvejais nieko negalima pasakyti apie didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę.

Aiškumo dėlei pateiksime grafinę iliustraciją. Pažvelkite į nuotraukas ir daug kas taps aiškiau.

Ant segmento

Pirmame paveikslėlyje funkcija paima didžiausias (max y) ir mažiausias (min y) reikšmes stacionarūs taškai, esantis segmento viduje [-6;6] .

Apsvarstykite atvejį, pavaizduotą antrame paveikslėlyje. Pakeiskime segmentą į . Šiame pavyzdyje mažiausia funkcijos reikšmė pasiekiama stacionariame taške, o didžiausia – taške, kurio abscisė atitinka dešiniąją intervalo ribą.

3 paveiksle atkarpos [-3;2] ribiniai taškai yra taškų, atitinkančių didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę, abscisės.

Atviru intervalu

Ketvirtajame paveikslėlyje funkcija paima didžiausias (max y) ir mažiausias (min y) vertes stacionariuose taškuose, esančiuose atviro intervalo viduje (-6;6).

Intervale negalima daryti išvadų apie didžiausią reikšmę.

Begalybėje

Septintame paveikslėlyje parodytame pavyzdyje funkcija paimama didžiausia vertė(max y) stacionariame taške, kurio abscisė x=1, o mažiausia reikšmė (min y) pasiekiama dešinėje intervalo riboje. Esant minus begalybei, funkcijos reikšmės asimptotiškai artėja prie y=3.

Per intervalą funkcija nepasiekia nei mažiausios, nei didžiausios reikšmės. Kai x = 2 artėja prie dešinės, funkcijos reikšmės linkusios atėmus begalybę (linija x = 2 yra vertikali asimptotė), o kai abscisė linkusi plius begalybė, funkcijos reikšmės asimptotiškai artėja prie y = 3. Šio pavyzdžio grafinė iliustracija parodyta 8 paveiksle.

Algoritmas, leidžiantis rasti didžiausią ir mažiausią ištisinės funkcijos reikšmes segmente.

Parašykime algoritmą, leidžiantį rasti didžiausią ir mažiausią segmento funkcijos reikšmes.

1. Surandame funkcijos apibrėžimo sritį ir patikriname, ar joje yra visas segmentas.
2. Randame visus taškus, kuriuose pirmoji išvestinė neegzistuoja ir kurie yra segmente (dažniausiai tokie taškai randami funkcijose su argumentu po modulio ženklu ir laipsnio funkcijose su trupmeniniu-racionaliuoju rodikliu). Jei tokių taškų nėra, pereikite prie kito punkto.
3. Nustatome visus stacionarius taškus, patenkančius į atkarpą. Norėdami tai padaryti, prilyginame jį nuliui, išsprendžiame gautą lygtį ir pasirenkame tinkamas šaknis. Jei nėra stacionarių taškų arba nė vienas iš jų nepatenka į atkarpą, pereikite prie kito taško.
4. Apskaičiuojame funkcijos reikšmes pasirinktuose stacionariuose taškuose (jei yra), taškuose, kuriuose nėra pirmosios išvestinės (jei yra), taip pat x=a ir x=b.
5. Iš gautų funkcijos reikšmių išrenkame didžiausią ir mažiausią – jos bus atitinkamai reikalingos didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmės.

Išanalizuokime pavyzdžio sprendimo algoritmą, kad surastume didžiausias ir mažiausias segmento funkcijos reikšmes.

Pavyzdys.

Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę

• ant segmento;
• atkarpoje [-4;-1] .

Sprendimas.

Funkcijos apibrėžimo sritis yra visa realiųjų skaičių rinkinys, išskyrus nulį, ty. Abu segmentai patenka į apibrėžimo sritį.

Raskite funkcijos išvestinę, atsižvelgiant į:

Akivaizdu, kad funkcijos išvestinė egzistuoja visuose atkarpų taškuose ir [-4;-1].

Iš lygties nustatome stacionarius taškus. Vienintelė tikroji šaknis yra x=2. Šis stacionarus taškas patenka į pirmąjį segmentą.

Pirmuoju atveju apskaičiuojame funkcijos reikšmes atkarpos galuose ir stacionariame taške, ty x=1, x=2 ir x=4:

Todėl didžiausia funkcijos vertė pasiekiama, kai x=1, ir mažiausia reikšmė – ties x=2.

Antruoju atveju funkcijų reikšmes apskaičiuojame tik atkarpos [-4;-1] galuose (nes jame nėra nė vieno stacionaraus taško):

Standartinis tokių uždavinių sprendimo algoritmas apima, suradus funkcijos nulius, nustatomi išvestinės intervaluose ženklai. Tada apskaičiuojamos reikšmės rastuose didžiausiuose (arba mažiausiuose) taškuose ir intervalo ribose, atsižvelgiant į tai, koks klausimas yra sąlygoje.

Patariu viską daryti kiek kitaip. Kodėl? Aš rašiau apie tai.

Tokias problemas siūlau spręsti taip:

1. Raskite išvestinę.
2. Raskite išvestinės nulius.
3. Nustatykite, kurie iš jų priklauso šiam intervalui.
4. Apskaičiuojame funkcijos reikšmes 3 žingsnio intervalo ir taškų ribose.
5. Padarome išvadą (atsakome į pateiktą klausimą).

Sprendžiant pateiktus pavyzdžius, sprendimas nebuvo detaliai svarstomas kvadratines lygtis, jūs turite sugebėti tai padaryti. Jie taip pat turėtų žinoti.

Pažiūrėkime į pavyzdžius:

77422. Raskite didžiausią funkcijos y=x reikšmę 3 –3x+4 atkarpoje [–2;0].

Raskime išvestinės nulius:

Taškas x = –1 priklauso sąlygoje nurodytam intervalui.

Apskaičiuojame funkcijos reikšmes taškuose –2, –1 ir 0:

Didžiausia funkcijos reikšmė yra 6.

Atsakymas: 6

77425. Raskite atkarpoje mažiausią funkcijos y = x 3 – 3x 2 + 2 reikšmę.

Raskime duotosios funkcijos išvestinę:

Raskime išvestinės nulius:

Taškas x = 2 priklauso sąlygoje nurodytam intervalui.

Apskaičiuojame funkcijos reikšmes 1, 2 ir 4 taškuose:

Mažiausia funkcijos reikšmė –2.

Atsakymas: -2

77426. Raskite atkarpoje [–3;3] didžiausią funkcijos y = x 3 – 6x 2 reikšmę.

Raskime duotosios funkcijos išvestinę:

Raskime išvestinės nulius:

Sąlygoje nurodytame intervale yra taškas x = 0.

Apskaičiuojame funkcijos reikšmes taškuose –3, 0 ir 3:

Mažiausia funkcijos reikšmė yra 0.

Atsakymas: 0

77429. Raskite atkarpoje mažiausią funkcijos y = x 3 – 2x 2 + x +3 reikšmę.

Raskime duotosios funkcijos išvestinę:

3x 2 – 4x + 1 = 0

Gauname šaknis: x 1 = 1 x 1 = 1/3.

Sąlygoje nurodytame intervale yra tik x = 1.

Raskime funkcijos reikšmes 1 ir 4 taškuose:

Mes nustatėme, kad mažiausia funkcijos reikšmė yra 3.

Atsakymas: 3

77430. Raskite didžiausią funkcijos y = x 3 + 2x 2 + x + 3 reikšmę atkarpoje [– 4; –1].

Raskime duotosios funkcijos išvestinę:

Raskime išvestinės nulius ir išspręskime kvadratinę lygtį:

3x 2 + 4x + 1 = 0

Paimkime šaknis:

Šaknis x = –1 priklauso sąlygoje nurodytam intervalui.

Funkcijos reikšmes randame taškuose –4, –1, –1/3 ir 1:

Mes nustatėme, kad didžiausia funkcijos reikšmė yra 3.

Atsakymas: 3

77433. Raskite atkarpoje mažiausią funkcijos y = x 3 – x 2 – 40x +3 reikšmę.

Raskime duotosios funkcijos išvestinę:

Raskime išvestinės nulius ir išspręskime kvadratinę lygtį:

3x 2 - 2x - 40 = 0

Paimkime šaknis:

Sąlygoje nurodytame intervale yra šaknis x = 4.

Raskite funkcijų reikšmes taškuose 0 ir 4:

Nustatėme, kad mažiausia funkcijos reikšmė yra –109.

Atsakymas: –109

Panagrinėkime būdą, kaip nustatyti didžiausias ir mažiausias funkcijų vertes be išvestinės. Šis metodas gali būti naudojamas, jei turite didelių problemų. Principas paprastas - visas sveikųjų skaičių reikšmes iš intervalo pakeičiame į funkciją (faktas yra tas, kad visuose tokiuose prototipuose atsakymas yra sveikasis skaičius).

77437. Raskite atkarpoje [–2;2] mažiausią funkcijos y=7+12x–x 3 reikšmę.

Pakeiskite taškus nuo –2 iki 2: Žiūrėti sprendimą

77434. Raskite didžiausią funkcijos y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 reikšmę atkarpoje [–2;0].

Tai viskas. Sėkmės tau!

Pagarbiai Aleksandras Krutitskichas.

P.S. Būčiau dėkingas, jei papasakotumėte apie svetainę socialiniuose tinkluose.

Dažnai fizikoje ir matematikoje reikia rasti mažiausią funkcijos reikšmę. Dabar mes jums pasakysime, kaip tai padaryti.

Kaip rasti mažiausią funkcijos reikšmę: instrukcijos

1. Norėdami apskaičiuoti mažiausią ištisinės funkcijos reikšmę tam tikrame segmente, turite vadovautis šiuo algoritmu:
2. Raskite funkcijos išvestinę.
3. Raskite tam tikroje atkarpoje taškus, kuriuose išvestinė lygi nuliui, taip pat visus kritinius taškus. Tada sužinokite funkcijos reikšmes šiuose taškuose, tai yra, išspręskite lygtį, kur x yra lygus nuliui. Sužinokite, kuri vertė yra mažiausia.
4. Nustatykite, kokią reikšmę turi funkcija galiniuose taškuose. Nustatykite mažiausią funkcijos reikšmę šiuose taškuose.
5. Palyginkite gautus duomenis su mažiausia verte. Mažiausias iš gautų skaičių bus mažiausia funkcijos reikšmė.

Atkreipkite dėmesį, kad jei funkcija segmente neturi mažiausių taškų, tai reiškia, kad šiame segmente ji didėja arba mažėja. Todėl mažiausia reikšmė turėtų būti apskaičiuojama baigtiniuose funkcijos segmentuose.

Visais kitais atvejais funkcijos reikšmė apskaičiuojama pagal nurodytą algoritmą. Kiekviename algoritmo taške turėsite išspręsti paprastą tiesinė lygtis su viena šaknimi. Išspręskite lygtį naudodami paveikslėlį, kad išvengtumėte klaidų.

Kaip rasti mažiausią funkcijos reikšmę pusiau atvirame segmente? Funkcijos pusiau atvirame arba atvirame periode mažiausią reikšmę reikia rasti taip. Funkcijos reikšmės galiniuose taškuose apskaičiuokite funkcijos vienpusę ribą. Kitaip tariant, išspręskite lygtį, kurioje tendencijos taškai pateikiami reikšmėmis a+0 ir b+0, kur a ir b yra kritinių taškų pavadinimai.

Dabar žinote, kaip rasti mažiausią funkcijos reikšmę. Svarbiausia yra atlikti visus skaičiavimus teisingai, tiksliai ir be klaidų.

Duota funkcija, kuri yra apibrėžta ir tęstinė tam tikru intervalu. Šiame intervale turite rasti didžiausią (mažiausią) funkcijos reikšmę.

Teoriniai pagrindai.
Teorema (antroji Weierstrasso teorema):

Jei funkcija yra apibrėžta ir tęstinė uždarame intervale, tai šiame intervale ji pasiekia didžiausias ir mažiausias reikšmes.

Funkcija gali pasiekti didžiausias ir mažiausias vertes vidiniuose intervalo taškuose arba jo ribose. Iliustruojame visus galimus variantus.

Paaiškinimas:
1) Funkcija pasiekia didžiausią reikšmę kairėje intervalo riboje taške, o mažiausią – dešinėje intervalo riboje taške .
2) Funkcija pasiekia didžiausią reikšmę taške (tai yra didžiausias taškas), o mažiausią reikšmę taško intervalo dešinėje.
3) Funkcija pasiekia didžiausią reikšmę kairėje intervalo riboje taške ir mažiausią reikšmę taške (tai yra mažiausias taškas).
4) Funkcija yra pastovi intervale, t.y. jis pasiekia minimalias ir didžiausias vertes bet kuriame intervalo taške, o minimalios ir didžiausios vertės yra lygios viena kitai.
5) Funkcija pasiekia didžiausią reikšmę taške ir mažiausią reikšmę taške (nepaisant to, kad funkcija šiame intervale turi ir didžiausią, ir mažiausią vertę).
6) Funkcija pasiekia didžiausią reikšmę taške (tai yra didžiausias taškas), o mažiausią reikšmę taške (tai yra mažiausias taškas).
komentaras:

„Maksimali“ ir „maksimali vertė“ yra skirtingi dalykai. Tai išplaukia iš maksimumo apibrėžimo ir intuityvaus frazės „didžiausia vertė“ supratimo.

2 uždavinio sprendimo algoritmas.



4) Iš gautų reikšmių pasirinkite didžiausią (mažiausią) ir užrašykite atsakymą.

4 pavyzdys:

Nustatykite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę segmente.
Sprendimas:
1) Raskite funkcijos išvestinę.

2) Išspręsdami lygtį, raskite stacionarius taškus (ir taškus, kuriems įtariamas ekstremumas). Atkreipkite dėmesį į taškus, kuriuose nėra dvipusės baigtinės išvestinės.

3) Apskaičiuokite funkcijos reikšmes stacionariuose taškuose ir intervalo ribose.

4) Iš gautų reikšmių pasirinkite didžiausią (mažiausią) ir užrašykite atsakymą.

Funkcija šioje atkarpoje pasiekia didžiausią reikšmę taške su koordinatėmis .

Funkcija šioje atkarpoje pasiekia mažiausią reikšmę taške su koordinatėmis .

Skaičiavimų teisingumą galite patikrinti žiūrėdami į tiriamos funkcijos grafiką.


komentaras: Funkcija didžiausią reikšmę pasiekia didžiausiame taške, o mažiausią – atkarpos riboje.

Ypatingas atvejis.

Tarkime, kad jums reikia rasti didžiausią ir mažiausią tam tikros segmento funkcijos reikšmes. Atlikus pirmąjį algoritmo tašką, t.y. išvestinį skaičiavimą, tampa aišku, kad, pavyzdžiui, reikia tik neigiamos reikšmės per visą nagrinėjamą segmentą. Atminkite, kad jei išvestinė yra neigiama, tada funkcija mažėja. Mes nustatėme, kad funkcija mažėja visame segmente. Ši situacija parodyta grafike Nr.1 ​​straipsnio pradžioje.

Funkcija segmente mažėja, t.y. jis neturi ekstremalių taškų. Paveikslėlyje matote, kad funkcija užims mažiausią reikšmę dešinėje atkarpos riboje, o didžiausią – kairėje. jei segmento išvestinė visur yra teigiama, tada funkcija didėja. Mažiausia reikšmė yra kairėje segmento kraštinėje, didžiausia – dešinėje.