Tarp stacionarių funkcijos taškų yra taškas. Funkcijos grafiko kritiniai taškai

Apibrėžimai:

Ekstremalumas iškviesti didžiausią arba mažiausią funkcijos reikšmę duotoje aibėje.

Ekstremalus taškas yra taškas, kuriame pasiekiama maksimali arba mažiausia funkcijos reikšmė.

Maksimalus taškas yra taškas, kuriame pasiekiama maksimali funkcijos reikšmė.

Minimalus taškas yra taškas, kuriame pasiekiama mažiausia funkcijos reikšmė.

Paaiškinimas.

Paveiksle, šalia taško x = 3, funkcija pasiekia didžiausią vertę (ty šalia šio konkretaus taško nėra aukštesnio taško). Kaimynystėje x = 8, ji vėl turi didžiausią reikšmę (paaiškinkime dar kartą: būtent šioje kaimynystėje nėra taško aukščiau). Šiuose taškuose padidėjimas užleidžia vietą mažėjimui. Tai yra didžiausi taškai:

x max = 3, x max = 8.

Netoli taško x = 5 pasiekiama mažiausia funkcijos reikšmė (ty šalia x = 5 taško žemiau nėra). Šiuo metu sumažėjimas užleidžia vietą padidėjimui. Tai yra minimalus taškas:

Maksimalus ir minimalus taškai yra funkcijos ekstremalūs taškai, o funkcijos reikšmės šiuose taškuose yra jos kraštutinumai.

Kritiniai ir stacionarūs funkcijos taškai:

Būtina ekstremumo sąlyga:

Pakankama sąlyga ekstremumui:

Segmente funkcija y = f(x) gali pasiekti mažiausią arba didžiausią vertę kritiniuose taškuose arba atkarpos galuose.

Tolydžios funkcijos tyrimo algoritmasy = f(x) monotoniškumui ir ekstremalumui:

§ 3 STACIONARINIAI TAŠKAI IR DIFERENCINIAI SKAIČIAI 369

aišku, kad paprastai kalbant, nagrinėjami du šeimos apskritimai, liečiantys tiesę l: jų centrai yra išilgai skirtingos pusės atkarpa P Q. Vienas iš lietimo taškų suteikia absoliučią j vertės maksimumą, o kitas – tik „santykinį“ maksimumą: tai reiškia, kad j reikšmės šiame taške yra didesnės už reikšmes kokioje nors aptariamo taško kaimynystėje. Didesnis iš dviejų maksimumų – absoliutus maksimumas – nustatomas pagal sąlyčio tašką, esantį ties aštrus kampas, sudarytą iš tiesės l ir atkarpos tęsinio P Q, o mažesnę - iš liesties taško, kuris yra šių tiesių suformuotame buku kampe. (Tiesės l susikirtimo taškas su atkarpos P Q tęsiniu suteikia mažiausią kampo j reikšmę, būtent j = 0.)

Ryžiai. 190. Iš kurio taško l atkarpa P Q matoma didžiausiu kampu?

Apibendrinant nagrinėjamą problemą, tiesę l galime pakeisti kokia nors kreive C ir kreivėje C ieškoti taškų R, iš kurių didžiausiu arba mažiausiu kampu matoma duotoji atkarpa P Q, nesikertanti C. Šiame uždavinyje, kaip ir ankstesniame, apskritimas, einantis per P, Q ir R, turi liesti kreivę C taške R.

§ 3. Stacionarūs taškai ir diferencialinis skaičiavimas

1. Ekstremalūs ir stacionarūs taškai. Ankstesnėse diskusijose mes visiškai nenaudojome diferencialinio skaičiavimo techninių metodų.

Sunku nepripažinti, kad mūsų elementarūs metodai yra paprastesni ir tiesesni už analizės metodus. Apskritai, sprendžiant konkrečią mokslinę problemą, geriau vadovautis jos asmenybe

ypatybes, o ne vien pasikliauti bendrieji metodai, nors, kita vertus, bendras principas, kuri paaiškina taikomų specialių procedūrų prasmę, žinoma, visada turėtų vaidinti pagrindinį vaidmenį. Būtent tai ir yra diferencialinio skaičiavimo metodų reikšmė svarstant ekstremalias problemas. Pastebėtas šiuolaikinis mokslas Bendrumo troškimas yra tik viena dalyko pusė, nes tai, kas matematikoje tikrai gyvybiškai svarbu, be jokios abejonės, priklauso nuo nagrinėjamų problemų individualių savybių ir taikomų metodų.

Jo istorinė raida diferencialiniam skaičiavimui labai didelę įtaką turėjo individualios problemos, susijusios su didžiausių ir mažiausios vertės kiekiai Ryšį tarp ekstremalių problemų ir diferencialinio skaičiavimo galima suprasti taip. VIII skyriuje išsamiai išnagrinėsime funkcijos f(x) išvestinę f0 (x) ir jos geometrinę reikšmę. Ten pamatysime, kad trumpai tariant, išvestinė f0 (x) yra kreivės y = f(x) liestinės nuolydis taške (x, y). Geometriškai akivaizdu, kad lygiosios kreivės y = f(x) maksimaliuose arba mažiausiuose taškuose kreivės liestinė būtinai turi būti horizontali, t.y., nuolydis turi būti lygus nuliui. Taigi ekstremumo taškams gauname sąlygą f0 (x) = 0.

Norėdami aiškiai suprasti, ką reiškia išvestinės f0 (x) išnykimas, apsvarstykite kreivę, parodytą 191 pav. Čia matome penkis taškus A, B, C, D, E, kuriuose kreivės liestinė yra horizontali; Atitinkamas f(x) reikšmes šiuose taškuose pažymėkime a, b, c, d, e. Aukščiausia vertė f(x) (brėžinyje parodytoje srityje) pasiekiamas taške D, mažiausias – taške A. Taške B yra maksimumas – ta prasme, kad visuose taškuose tam tikroje taško B kaimynystėje f(x) yra mažesnė už b, nors taškuose, artimuose D, f(x) reikšmė vis tiek yra didesnė už b. Dėl šios priežasties įprasta sakyti, kad taške B yra santykinis funkcijos f(x) maksimumas, o taške D – absoliutus maksimumas. Panašiai taške C yra santykinis minimumas, o taške A yra absoliutus minimumas. Galiausiai, kalbant apie tašką E, jame nėra nei maksimumo, nei minimumo, nors lygybė f0 (x) = 0 ten tebegalioja. Iš to išplaukia, kad išvestinės f0 (x) išnykimas yra būtinas, bet nepakankamas lygiosios funkcijos f(x) ekstremumo atsiradimo sąlyga; kitaip tariant, kiekviename taške, kuriame yra ekstremumas (absoliutus arba santykinis), lygybė f0 (x) = 0 tikrai galioja, bet ne kiekviename taške, kur f0 (x) = 0, turi būti ekstremumas. Tie taškai, kuriuose išvestinė f0 (x) išnyksta, nepaisant to, ar juose yra ekstremumas, vadinami stacionariais. Tolesnė analizė lemia daugiau ar mažiau

§ 3 STACIONARINIAI TAŠKAI IR DIFERENCINIAI SKAIČIAI 371

sunkiomis sąlygomis, apie funkcijos f(x) aukštesnes išvestines ir visiškai charakterizuojančias maksimumus, minimumus ir kitus stacionarius taškus.

Ryžiai. 191. Stacionarieji funkcijos taškai

2. Kelių kintamųjų funkcijų maksimumas ir minimumas. Balnelio taškai. Yra ekstremalių problemų, kurių negalima išreikšti naudojant vieno kintamojo funkcijos f(x) sąvoką. Paprasčiausias čia aktualus pavyzdys yra dviejų nepriklausomų kintamųjų funkcijos z = f(x, y) ekstremalių radimo problema.

Funkciją f(x, y) visada galime įsivaizduoti kaip paviršiaus aukštį z virš x, y plokštumos, ir šį paveikslą interpretuosime kaip, tarkime, kalnų peizažą. Funkcijos f(x, y) maksimumas atitinka kalno viršūnė, minimumas – duobės ar ežero dugnas. Abiem atvejais, nebent paviršius lygus, paviršiaus liestinė būtinai yra horizontali. Tačiau, be kalnų viršūnių ir žemiausių taškų duobėse, gali būti ir kitų taškų, kuriuose liestinės plokštuma yra horizontali: tai yra „balno“ taškai, atitinkantys kalnų perėjas. Panagrinėkime juos atidžiau. Tarkime (192 pav.), kad kalnų grandinėje yra dvi viršūnės A ir B, o skirtinguose kalnagūbrio šlaituose – du taškai C ir D; Tarkime, kad iš C reikia eiti į D. Pirmiausia panagrinėkime tuos takus, vedančius iš C į D, kurie gaunami kertant paviršių su plokštumomis, einančiomis per C ir D. Kiekvienas toks kelias turi aukščiausią tašką. Pasikeitus pjovimo plokštumos padėčiai, pasikeičia ir kelias, ir bus galima rasti kelią, kurio aukščiausias taškas bus ties

žemiausia įmanoma padėtis. Aukščiausias šio maršruto taškas E yra kalnų perėjos taškas mūsų kraštovaizdyje; jį galima vadinti ir balno tašku. Akivaizdu, kad taške E nėra nei maksimumo, nei minimumo, nes kad ir kaip arti E būtų paviršiaus taškai, esantys aukščiau E, ir tie, kurie yra žemiau E. Ankstesniame samprotavime negalėjome apsiriboti atsižvelgti tik į tuos kelius , kurie atsiranda plokštumoms susikertant su paviršiumi, ir atsižvelgti į bet kokius takus, jungiančius C ir D. Charakteristika, kurią suteikėme taškui E, nuo to nepasikeistų.

Lygiai taip pat, jei norėtume patekti iš viršūnės A į viršūnę B, tada kiekvienas kelias, kurį galėtume pasirinkti, turėtų žemiausią tašką; net ir įvertinę tik plokštumos pjūvius, rastume kelią AB, kurio mažiausias taškas būtų aukščiausiai, ir vėl gautume tą patį tašką E. Taigi šis balno taškas E turi savybę pateikti aukščiausią minimumą arba mažiausią maksimumą : čia yra „maksimumas“ arba „minimaximas“ - trumpiau minimax. Liestinės plokštuma taške E yra horizontali; iš tikrųjų, kadangi E yra žemiausias tako AB taškas, tada E liestinė AB yra horizontali ir panašiai, kadangi E yra aukščiausias kelio CD taškas, tai CD liestinė E yra horizontali. Todėl liestinės plokštuma, būtinai einanti per šias dvi liestinės linijas, yra horizontali. Taigi randame tris įvairių tipų taškai su horizontaliomis liestinės plokštumomis: didžiausi taškai, mažiausi taškai ir galiausiai balno taškai; Atitinkamai, yra trys skirtingi stacionarių funkcijų verčių tipai.

Kitas būdas geometriškai pavaizduoti funkciją f(x, y) yra lygių linijų brėžimas – tos pačios, kurios kartografijoje naudojamos aukščiams ant žemės nurodyti (žr. 308 psl.). Lygio linija yra kreivė x, y plokštumoje, išilgai kurios funkcijos f(x, y) reikšmė yra tokia pati; kitaip tariant, lygio linijos yra tokios pat kaip šeimos f(x, y) = c kreivės. Per įprastą

Ryžiai. 194. Staci vienetiniai taškai dvigubai sujungtame regione

§ 3 STACIONARINIAI TAŠKAI IR DIFERENCINIAI SKAIČIAI 373

lygiai viena lygio linija kerta plokštumos tašką; maksimalus ir minimalus taškai yra apsupti uždarų lygių linijų, kurios susikerta balno taškuose. Fig. Nubrėžtos 193 lygio linijos, atitinkančios 1 pav. 192.

Šiuo atveju ypač išryškėja nepaprasta balno taško E savybė: kiekvienas kelias, jungiantis A ir B ir nepraeinantis per E, iš dalies yra srityje, kurioje f(x, y)< f(E), тогда как путь AEB на рис. 192 имеет минимум как раз в точке E. Таким же образом мы убеждаемся, что значение f(x, y) в точке E представляет собой наименьший максимум на путях, связывающих C и D.

3. Minimax taškai ir topologija. Tarp jų yra gilus ryšys bendroji teorija stacionarūs taškai ir topologinės idėjos. Šiuo atžvilgiu galime pateikti tik trumpą nuorodą ir apsiriboti vienu pavyzdžiu.

Apsvarstykite kalnuotą kraštovaizdį žiedo formos saloje B su dviem pakrantės kontūrais C ir C0; jei aukštį virš jūros lygio pažymėsime, kaip ir anksčiau, u = f(x, y), ir tarkime, kad f(x, y) = 0 kontūruose C ir C0 ir f(x, y) > 0

viduje, tada saloje turi būti bent viena kalnų perėja: pav. 194 toks praėjimas yra dviejų lygių linijų susikirtimo taške. Nurodyto teiginio pagrįstumas paaiškėja, kai

Ar turėtume išsikelti sau užduotį surasti tokį kelią, susijungti

bendras C ir C0, kurios nepakiltų į didesnį aukštį nei tai neišvengiama. kas kelias nuo C iki C0 turi aukščiausią

aukščiausias taškas, o jei pasirinksime kelią, kurio aukščiausias taškas yra žemiausias, tai aukščiausiu tokiu būdu gautu tašku bus funkcijos u = f(x, y) balno taškas. (Verta paminėti trivialų atvejį, kuris yra išimtis, kai tam tikra horizontali plokštuma liečia žiedo formos kalnų grandinę išilgai uždaros kreivės.) Jei regionas ribojamas p uždarų kreivių, apskritai turi egzistuoti bent p − 1 minimalus taškai. Panašūs santykiai, kaip nustatė Marstonas Morse'as, taip pat vyksta daugiamačiuose regionuose,

bet topologinių galimybių ir stacionarių taškų tipų įvairovė šiuo atveju daug didesnė. Šie santykiai sudaro pagrindą šiuolaikinė teorija stacionarūs taškai.

4. Taško atstumas nuo paviršiaus. P taško atstumams

iš įvairių taškų Uždarai kreivei yra (bent) dvi stacionarios vertės: mažiausia ir didžiausia. Pereinant prie trijų dimensijų, naujų faktų neatrandama, jei apsiribojame paviršiumi C, kuris topologiškai yra lygiavertis sferai (pvz., elipsoidas). Bet jei paviršius yra 1 ar aukštesnės genties, situacija yra kitokia. Panagrinėkime toro C paviršių. Kad ir koks būtų taškas P, žinoma, kad tore C visada yra taškų, kurie suteikia didžiausią ir mažiausią atstumą nuo P, o atitinkamos atkarpos yra statmenos pačiam paviršiui. Bet dabar nustatysime, kad šiuo atveju yra ir minimalūs taškai. Įsivaizduokime vieną iš „dienovidinio“ apskritimų L ant toro (195 pav.) ir ant šio apskritimo L rasime tašką Q, esantį arčiausiai P. Tada, judindami apskritimą L išilgai toro, randame jo padėtį tokią, kad atstumas P Q tampa: a) minimalus – tada C gauname tašką, esantį arčiausiai P; b) maksimalus - tada gausite stacionarų minimumo tašką. Lygiai taip pat galėtume rasti tašką L, kuris yra labiausiai nutolęs nuo P, ir tada ieškoti L padėties, kurioje didžiausias rastas atstumas būtų: c) didžiausias (gauname tašką C toliausiai nuo P) , d) minimumas. Taigi mes gauname keturias skirtingas stacionarias vertes toro taško C atstumui nuo taško P.

Ryžiai. 195–196. Atstumas nuo taško iki paviršiaus

Pratimas. Pakartokite tuos pačius samprotavimus su kito tipo L0 uždaros kreivės C, kuri taip pat negali būti sutraukta iki taško (196 pav.).

Ankstesnėse diskusijose mes visiškai nenaudojome diferencialinio skaičiavimo techninių metodų.

Sunku nepripažinti, kad mūsų elementarūs metodai yra paprastesni ir tiesesni už analizės metodus. Apskritai, sprendžiant konkrečią mokslinę problemą, geriau vadovautis ja individualios savybės nei pasikliauti vien bendrais metodais, nors, kita vertus, bendras principas, kuris paaiškina taikomų specialių procedūrų prasmę, žinoma, visada turėtų vaidinti pagrindinį vaidmenį. Būtent tai ir yra diferencialinio skaičiavimo metodų reikšmė svarstant ekstremalias problemas. Šiuolaikiniame moksle pastebimas bendrumo troškimas yra tik viena dalyko pusė, nes tai, kas matematikoje tikrai gyvybiškai svarbu, be jokios abejonės, priklauso nuo individualių nagrinėjamų problemų ypatybių ir taikomų metodų.

Istorinėje raidoje diferencialinį skaičiavimą labai paveikė individualios problemos, susijusios su didžiausių ir mažiausių kiekių verčių radimu. Ryšį tarp ekstremalių problemų ir diferencialinio skaičiavimo galima suprasti taip. VIII skyriuje mes išsamiai išnagrinėsime funkcijos f(x) išvestinę f"(x) ir jos geometrinę reikšmę. Ten pamatysime, kad trumpai tariant, išvestinė f"(x) yra nuolydis kreivės liestinė y = f(x) taške (x, y). Geometriškai akivaizdu, kad lygiosios kreivės maksimumo arba minimumo taškuose y = f(x) kreivės liestinė tikrai turi būti horizontali, t.y., nuolydis turi būti lygus nuliui. Taigi gauname ekstremalių taškų sąlygą f"(x) = 0.

Norėdami aiškiai suprasti, ką reiškia išvestinės f"(x) išnykimas, apsvarstykite kreivę, parodytą 191 pav. Čia matome penkis taškus A, B, C, D, ?, kuriuose kreivės liestinė yra horizontali Pažymime atitinkamas f(x) reikšmes šiuose taškuose a B C D E. Didžiausia f(x) reikšmė (brėžinyje parodytoje srityje) pasiekiama taške D, mažiausia – taške A. Taške B yra didžiausia – ta prasme, kad visuose taškuose kažkokia kaimynystė taškuose B, f(x) reikšmė yra mažesnė už b, nors taškuose, artimuose D, f(x) reikšmė vis tiek yra didesnė už b. Dėl šios priežasties įprasta sakyti, kad taške B yra santykinis funkcijos maksimumas f(x), o taške D - absoliutus maksimumas. Lygiai taip pat taške C yra santykinis minimumas, ir taške A - absoliutus minimumas. Galiausiai, kalbant apie tašką E, jame nėra nei maksimumo, nei minimumo, nors lygybė jame vis tiek realizuojama f"(x) = Q, Iš to išplaukia, kad išvestinės f"(x) išnykimas yra būtina, bet visai ne pakankamai lygiosios funkcijos f(x) ekstremumo atsiradimo sąlyga; kitaip tariant, bet kurioje vietoje, kur yra ekstremumas (absoliutus arba santykinis), lygybė tikrai vyksta f"(x) = 0, bet ne visur f"(x) = 0, turi būti ekstremumas. Tie taškai, kuriuose išvestinė f"(x) išnyksta, nepaisant to, ar juose yra ekstremumas, vadinami stacionarus. Tolesnė analizė veda į daugiau ar mažiau sudėtingas sąlygas, susijusias su funkcijos f(x) aukštesnėmis išvestinėmis ir visiškai charakterizuojančiomis maksimumus, minimumus ir kitus stacionarius taškus.

Kritiniai taškai– tai taškai, kuriuose funkcijos išvestinė lygi nuliui arba neegzistuoja. Jei išvestinė yra lygi 0, tada funkcija šiame taške įgyja vietinis minimumas arba maksimumas. Grafike tokiuose taškuose funkcija turi horizontalią asimptotę, tai yra, liestinė yra lygiagreti Ox ašiai.

Tokie taškai vadinami stacionarus. Jei ištisinės funkcijos grafike matote „kuprotą“ arba „skylę“, atminkite, kad didžiausias arba minimumas pasiekiamas kritiniame taške. Kaip pavyzdį paimkime šią užduotį.

1 pavyzdys. Raskite funkcijos y=2x^3-3x^2+5 kritinius taškus.
Sprendimas.

Kritinių taškų paieškos algoritmas yra toks:

Taigi funkcija turi du kritinius taškus. Toliau, jei reikia ištirti funkciją, tada nustatome išvestinės ženklą kairėje ir dešinėje nuo kritinio taško. Jei išvestinė, eidama per kritinį tašką, pakeičia ženklą iš „-“ į „+“, tada funkcija paima vietinis minimumas . Jei nuo „+“ iki „-“ turėtų.

vietinis maksimumas Antrasis kritinių taškų tipas

tai trupmeninių ir iracionaliųjų funkcijų vardiklio nuliai


Logaritminės ir trigonometrinės funkcijos, kurios neapibrėžtos šiuose taškuose Trečiojo tipo kritiniai taškai
turi atskiras ištisines funkcijas ir modulius.

Pavyzdžiui, bet kuri modulio funkcija turi minimumą arba maksimumą lūžio taške.
Pavyzdžiui, modulis y = | x -5 | taške x = 5 turi minimumą (kritinį tašką).

Išvestinė jame neegzistuoja, bet dešinėje ir kairėje atitinkamai įgauna reikšmes 1 ir -1.

1)
2)
3)
4)
5)

Pabandykite nustatyti svarbiausius funkcijų taškus
Jei atsakymas yra y, gausite vertę
1) x=4;
2) x=-1;x=1;
3) x=9;
4) x=Pi*k;
5) x=1. tada jau žinai kaip rasti kritinius taškus