Atsitiktinių dydžių formulės standartinis nuokrypis. Standartinio nuokrypio skaičiavimas programoje Microsoft Excel

Instrukcijos

Tegul yra keli skaičiai, apibūdinantys vienarūšius dydžius. Pavyzdžiui, matavimų, svėrimo, statistiniai stebėjimai ir taip toliau. Visi pateikti dydžiai turi būti matuojami naudojant tą patį matavimą. Norėdami rasti standartinį nuokrypį, atlikite šiuos veiksmus:

Apibrėžkite vidutinis visi skaičiai: sudėkite visus skaičius ir padalykite sumą iš bendro skaičių skaičiaus.

Nustatykite skaičių sklaidą (sklaidą): sudėkite anksčiau rastų nuokrypių kvadratus ir gautą sumą padalinkite iš skaičių.

Skyriuje yra septyni pacientai, kurių temperatūra siekia 34, 35, 36, 37, 38, 39 ir 40 laipsnių šilumos.

Būtina nustatyti vidutinį nuokrypį nuo vidurkio.
Sprendimas:
„palatoje“: (34+35+36+37+38+39+40)/7=37 ºС;

Temperatūros nukrypimai nuo vidurkio (šiuo atveju normalios vertės): 34-37, 35-37, 36-37, 37-37, 38-37, 39-37, 40-37, todėl: -3, - 2, -1, 0, 1, 2, 3 (ºС);

Anksčiau gautų skaičių sumą padalinkite iš jų skaičiaus. Norint atlikti tikslius skaičiavimus, geriau naudoti skaičiuotuvą. Padalijimo rezultatas yra sudėtų skaičių aritmetinis vidurkis.

Atkreipkite dėmesį į visus skaičiavimo etapus, nes net vieno skaičiavimo klaida sukels neteisingą galutinį rodiklį. Patikrinkite savo skaičiavimus kiekviename etape. Aritmetinis vidurkis turi tą patį metrą kaip ir suminiai skaičiai, tai yra, jei nustatysite vidutinį lankomumą, tada visi jūsų rodikliai bus „žmogus“.

Šis skaičiavimo metodas naudojamas tik atliekant matematinius ir statistinius skaičiavimus. Pavyzdžiui, kompiuterių mokslo aritmetinis vidurkis turi skirtingą skaičiavimo algoritmą. Aritmetinis vidurkis yra labai santykinis rodiklis. Tai rodo įvykio tikimybę, jei ji turi tik vieną veiksnį arba rodiklį. Norint atlikti išsamesnę analizę, reikia atsižvelgti į daugelį veiksnių. Šiuo tikslu naudojamas bendresnių dydžių skaičiavimas.

Aritmetinis vidurkis yra vienas iš centrinės tendencijos matų, plačiai naudojamas matematikoje ir statistiniuose skaičiavimuose. Rasti kelių verčių aritmetinį vidurkį yra labai paprasta, tačiau kiekviena užduotis turi savo niuansų, kuriuos tiesiog būtina žinoti norint atlikti teisingus skaičiavimus.

Panašių eksperimentų kiekybiniai rezultatai.

Kaip rasti aritmetinį vidurkį

Darbo su neigiamais skaičiais ypatybės

1. Bendrojo aritmetinio vidurkio radimas standartiniu metodu;
2. Neigiamų skaičių aritmetinio vidurkio radimas.
3. Teigiamų skaičių aritmetinio vidurkio apskaičiavimas.

Kiekvieno veiksmo atsakymai rašomi atskirti kableliais.

Natūraliosios ir dešimtainės trupmenos

Dirbant su natūralios frakcijos juos reikia sumažinti iki bendro vardiklio, kuris padauginamas iš skaičių masyve. Atsakymo skaitiklis bus duotųjų pradinių trupmeninių elementų skaitiklių suma.

Išmintingi matematikai ir statistikai sugalvojo patikimesnį rodiklį, nors šiek tiek kitokiu tikslu - vidutinis tiesinis nuokrypis . Šis rodiklis apibūdina duomenų rinkinio verčių sklaidos pagal jų vidutinę vertę matą.

Norėdami parodyti duomenų sklaidos matą, pirmiausia turite nuspręsti, pagal ką ši sklaida bus apskaičiuojama – paprastai tai yra vidutinė vertė. Tada turite apskaičiuoti, kiek analizuojamų duomenų rinkinio reikšmės yra nuo vidurkio. Aišku, kad kiekviena reikšmė atitinka tam tikrą nuokrypio reikšmę, bet mus domina bendras vertinimas, apimantis visą populiaciją. Todėl vidutinis nuokrypis apskaičiuojamas naudojant įprastą aritmetinio vidurkio formulę. Bet! Tačiau norint apskaičiuoti nuokrypių vidurkį, pirmiausia juos reikia pridėti. Ir jei pridėsime teigiamus ir neigiamus skaičius, jie panaikins vienas kitą ir jų suma bus linkusi į nulį. Norint to išvengti, visi nuokrypiai imami modulo, tai yra, visi neigiami skaičiai tampa teigiami. Dabar vidutinis nuokrypis parodys apibendrintą reikšmių sklaidos matą. Dėl to vidutinis tiesinis nuokrypis bus apskaičiuojamas pagal formulę:

a- vidutinis tiesinis nuokrypis,

x– analizuojamas rodiklis, brūkšneliu aukščiau – vidutinė rodiklio reikšmė,

n– analizuojamo duomenų rinkinio verčių skaičius,

Tikiuosi, kad sumavimo operatorius nieko negąsdina.

Vidutinis tiesinis nuokrypis, apskaičiuotas naudojant nurodytą formulę, atspindi vidutinį absoliutų nuokrypį nuo konkrečios populiacijos vidutinės vertės.

Nuotraukoje raudona linija yra vidutinė vertė. Kiekvieno stebėjimo nuokrypiai nuo vidurkio žymimi mažomis rodyklėmis. Jie imami modulo ir sumuojami. Tada viskas padalijama iš reikšmių skaičiaus.

Norėdami užbaigti paveikslėlį, turime pateikti pavyzdį. Tarkime, yra įmonė, kuri gamina auginius kastuvams. Kiekvienas kirtimas turi būti 1,5 metro ilgio, bet dar svarbiau, kad jie visi būtų vienodi arba bent jau plius minus 5 cm. Tačiau neatsargūs darbuotojai nukirs 1,2 m arba 1,8 m. Įmonės direktorius nusprendė atlikti statistinę kirtimų ilgio analizę. Išsirinkau 10 vienetų ir išmatavau jų ilgį, suradau vidurkį ir paskaičiavau vidutinį tiesinį nuokrypį. Vidurkis pasirodė kaip tik tiek, kiek reikėjo – 1,5 m. Bet vidutinis tiesinis nuokrypis buvo 0,16 m. Taigi, kiekvienas pjūvis yra ilgesnis arba trumpesnis nei reikia vidutiniškai 16 cm darbininkai . Tiesą sakant, realaus šio rodiklio panaudojimo nemačiau, todėl pats sugalvojau pavyzdį. Tačiau statistikoje toks rodiklis yra.

Sklaida

Kaip ir vidutinis tiesinis nuokrypis, dispersija taip pat atspindi duomenų sklaidos apie vidutinę vertę mastą.

Dispersijos skaičiavimo formulė atrodo taip:

(variacijų serijai (svertinis dispersija))

(nesugrupuotiems duomenims (paprasta dispersija))

kur: σ 2 – dispersija, Xi– analizuojame kvadratinį rodiklį (charakteristikos reikšmę), – rodiklio vidutinę reikšmę, f i – reikšmių skaičių analizuojamame duomenų rinkinyje.

Dispersija yra vidutinis nuokrypių kvadratas.

Pirma, apskaičiuojama vidutinė vertė, tada imamas skirtumas tarp kiekvienos pradinės ir vidutinės vertės, pakeliamas kvadratas, padauginamas iš atitinkamo požymio reikšmės dažnio, pridedamas ir padalinamas iš populiacijos reikšmių skaičiaus.

Tačiau gryna forma, tokia kaip aritmetinis vidurkis arba indeksas, dispersija nenaudojama. Tai veikiau pagalbinis ir tarpinis rodiklis, naudojamas kitų tipų statistinei analizei.

Supaprastintas dispersijos skaičiavimo būdas

Standartinis nuokrypis

Norint naudoti dispersiją duomenų analizei, imama dispersijos kvadratinė šaknis. Pasirodo, vadinamasis standartinis nuokrypis.

Beje, standartinis nuokrypis dar vadinamas sigma – iš ją žyminčios graikų raidės.

Standartinis nuokrypis, žinoma, taip pat apibūdina duomenų sklaidos matą, tačiau dabar (skirtingai nuo dispersijos) jį galima palyginti su pradiniais duomenimis. Paprastai vidutiniai kvadratiniai matai statistikoje duoda tikslesnius rezultatus nei tiesiniai. Todėl vidutinis standartinis nuokrypis yra tikslesnis duomenų sklaidos matas nei tiesinis vidutinis nuokrypis.

Medžiaga iš Vikipedijos – laisvosios enciklopedijos

Standartinis nuokrypis(sinonimai: standartinis nuokrypis, standartinis nuokrypis, kvadratinis nuokrypis; susiję terminai: standartinis nuokrypis, standartinis paplitimas) - tikimybių teorijoje ir statistikoje labiausiai paplitęs atsitiktinio dydžio reikšmių sklaidos rodiklis, palyginti su jo matematiniais lūkesčiais. Ribotiems verčių pavyzdžių masyvams vietoj matematinis lūkestis naudojamas imties visumos aritmetinis vidurkis.

Pagrindinė informacija

Standartinis nuokrypis matuojamas pačiais matavimo vienetais atsitiktinis kintamasis ir naudojamas skaičiuojant standartinę aritmetinio vidurkio paklaidą, konstruojant pasikliautinuosius intervalus, statistiškai tikrinant hipotezes, matuojant tiesinį ryšį tarp atsitiktinių dydžių. Apibrėžiama kaip atsitiktinio dydžio dispersijos kvadratinė šaknis.

Standartinis nuokrypis:

$\backslash sigma=\backslash sqrt(\backslash frac(1)(n)\backslash sum\_(i=1)^n\backslash left(x\_i-\backslash bar(x)\backslash right)^2).$

Standartinis nuokrypis(atsitiktinio dydžio standartinio nuokrypio įvertis x palyginti su matematiniais lūkesčiais, pagrįstais nešališku jo dispersijos įvertinimu) $s$:

$s=\backslash sqrt(\backslash frac(n)(n-1)\backslash sigma^2)=\backslash sqrt(\backslash frac(1)(n-1)\backslash sum\_(i=1)^n\backslash left(x\_i-\backslash bar\; (x)\backslash dešinė)^2);$

Trijų sigmų taisyklė

Trijų sigmų taisyklė ($3\backslash sigma$) - beveik visos normaliai paskirstyto atsitiktinio dydžio reikšmės yra intervale $\backslash left(\backslash bar(x)-3\backslash sigma;\backslash bar(x)+3\backslash sigma\backslash right)$. Tiksliau – su maždaug 0,9973 tikimybe, normaliai paskirstyto atsitiktinio dydžio reikšmė yra nurodytame intervale (su sąlyga, kad reikšmė $\backslash bar\; (x)$ tiesa, o ne gauta apdorojant mėginį).

Jei tikroji vertė $\backslash bar\; (x)$ yra nežinomas, tuomet neturėtumėte naudoti $\backslash sigma$, A s. Taigi, trijų taisyklė sigma paverčiama trijų taisykle s .

Standartinio nuokrypio vertės aiškinimas

Didesnė standartinio nuokrypio vertė rodo didesnį reikšmių sklaidą pateiktame rinkinyje su vidutine rinkinio verte; atitinkamai mažesnė reikšmė rodo, kad rinkinio reikšmės yra sugrupuotos pagal vidutinę vertę.

Pavyzdžiui, turime tris skaičių rinkinius: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) ir (6, 6, 8, 8). Visų trijų rinkinių vidutinės vertės yra lygios 7, o standartiniai nuokrypiai atitinkamai yra lygūs 7, 5 ir 1. Paskutinis rinkinys turi nedidelį standartinį nuokrypį, nes rinkinio reikšmės yra sugrupuotos pagal vidutinę vertę; pirmame rinkinyje yra daugiausia didelę reikšmę standartinis nuokrypis - nustatytos vertės labai skiriasi nuo vidutinės vertės.

Bendrąja prasme standartinis nuokrypis gali būti laikomas neapibrėžtumo matu. Pavyzdžiui, fizikoje standartinis nuokrypis naudojamas tam tikro dydžio nuoseklių matavimų paklaidai nustatyti. Ši reikšmė yra labai svarbi nustatant tiriamo reiškinio tikimybę, lyginant su teorijos numatytu dydžiu: jei vidutinė matavimų vertė labai skiriasi nuo teorijos numatytų verčių (didelis standartinis nuokrypis), tada reikia dar kartą patikrinti gautas vertes arba jų gavimo būdą.

Praktinis naudojimas

Praktiškai standartinis nuokrypis leidžia įvertinti, kiek rinkinio verčių gali skirtis nuo vidutinės vertės.

Ekonomika ir finansai

Portfelio grąžos standartinis nuokrypis $\backslash sigma\; =\backslash sqrt(D[X])$ identifikuojama su portfelio rizika.

Klimatas

Tarkime, kad yra du miestai, kurių vidutinė maksimali paros temperatūra yra vienoda, tačiau vienas yra pakrantėje, o kitas – lygumoje. Yra žinoma, kad pakrantėje esančiuose miestuose yra daug skirtingų maksimalių dienos temperatūrų, kurios yra žemesnės nei miestuose, esančiuose sausumoje. Todėl pakrantės miesto didžiausios paros temperatūros standartinis nuokrypis bus mažesnis nei antrojo miesto, nepaisant to, kad vidutinė šios vertės reikšmė yra tokia pati, o tai praktiškai reiškia, kad tikimybė, kad maksimali oro temperatūra bet kuri tam tikra metų diena bus didesnė nei vidutinė vertė, didesnė miestui, esančiam viduje.

Sportas

Tarkime, kad yra kelios futbolo komandos, kurios vertinamos pagal tam tikrus parametrus, pavyzdžiui, įmuštų ir praleistų įvarčių skaičių, progas įmušti ir pan. Labiausiai tikėtina, kad geriausia šios grupės komanda turės geriausios vertybės Autorius daugiau parametrus. Kuo mažesnis kiekvieno pateikto parametro standartinis nuokrypis, tuo labiau nuspėjamas komandos rezultatas. Kita vertus, komandai su dideliu standartiniu nuokrypiu sunku nuspėti rezultatą, o tai savo ruožtu paaiškinama disbalansu, pvz. stipri gynyba, bet silpna ataka.

Komandos parametrų standartinio nuokrypio naudojimas leidžia vienu ar kitu laipsniu numatyti dviejų komandų rungtynių rezultatą, įvertinant stipriąsias ir silpnosios pusės komandas, taigi ir pasirinktus kovos būdus.

taip pat žr

Parašykite apžvalgą apie straipsnį "Šaknies vidurkis kvadratu"

Literatūra

• Borovikovas V. STATISTIKA. Duomenų analizės kompiuteriu menas: Profesionalams / V. Borovikovas. - Sankt Peterburgas. : Petras, 2003. - 688 p. - ISBN 5-272-00078-1..

Standartinį nuokrypį apibūdinanti ištrauka

$X$. Pirmiausia prisiminkime šį apibrėžimą:

1 apibrėžimas

Gyventojų skaičius- atsitiktinai atrinktų tam tikro tipo objektų rinkinys, kurio stebėjimai atliekami siekiant gauti konkrečias atsitiktinio dydžio reikšmes, atliekamos pastoviomis sąlygomis tiriant vieną tam tikro tipo atsitiktinį kintamąjį.

2 apibrėžimas

Bendra dispersija- populiacijos varianto verčių nukrypimų kvadratu nuo jų vidutinės vertės aritmetinis vidurkis.

Tegul parinkties $x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ reikšmės turi atitinkamai dažnius $n_1,\n_2,\dots ,n_k$. Tada bendroji dispersija apskaičiuojama pagal formulę:

Panagrinėkime ypatingą atvejį. Tegul visos parinktys $x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ skiriasi. Šiuo atveju $n_1,\ n_2,\dots ,n_k=1$. Pastebime, kad šiuo atveju bendroji dispersija apskaičiuojama naudojant formulę:

Ši sąvoka taip pat siejama su bendrojo standartinio nuokrypio sąvoka.

3 apibrėžimas

Bendras standartinis nuokrypis

\[(\sigma )_g=\sqrt(D_g)\]

Imties dispersija

Pateikiame pavyzdinę populiaciją atsitiktinio dydžio $X$ atžvilgiu. Pirmiausia prisiminkime šį apibrėžimą:

4 apibrėžimas

Imties populiacija-- dalis atrinktų objektų iš bendrosios populiacijos.

5 apibrėžimas

Imties dispersija-- vidutinis aritmetines vertes mėginių ėmimo galimybė.

Tegul parinkties $x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ reikšmės turi atitinkamai dažnius $n_1,\n_2,\dots ,n_k$. Tada imties dispersija apskaičiuojama pagal formulę:

Panagrinėkime ypatingą atvejį. Tegul visos parinktys $x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ skiriasi. Šiuo atveju $n_1,\ n_2,\dots ,n_k=1$. Pastebime, kad šiuo atveju imties dispersija apskaičiuojama naudojant formulę:

Taip pat su šia sąvoka susijusi imties standartinio nuokrypio samprata.

6 apibrėžimas

Mėginio standartinis nuokrypis -- Kvadratinė šaknis iš bendros dispersijos:

\[(\sigma )_в=\sqrt(D_в)\]

Pataisyta dispersija

Norint rasti pataisytą dispersiją $S^2$, imties dispersiją reikia padauginti iš trupmenos $\frac(n)(n-1)$, tai yra

Ši sąvoka taip pat siejama su pakoreguoto standartinio nuokrypio sąvoka, kuri randama pagal formulę:

Tuo atveju, kai variantų reikšmės nėra diskrečios, o reiškia intervalus, tada bendrųjų arba imties dispersijų skaičiavimo formulėse $x_i$ reikšmė laikoma intervalo vidurio reikšme. kuriai priklauso $x_i.$.

Problemos pavyzdys, kaip rasti dispersiją ir standartinį nuokrypį

1 pavyzdys

Imties visuma apibrėžiama pagal šią paskirstymo lentelę:

1 paveikslas.

Raskime imties dispersiją, imties standartinį nuokrypį, pataisytą dispersiją ir pataisytą standartinį nuokrypį.

Norėdami išspręsti šią problemą, pirmiausia sudarome skaičiavimo lentelę:

2 pav.

Vertė $\overline(x_в)$ (pavyzdžio vidurkis) lentelėje randama pagal formulę:

\[\overline(x_in)=\frac(\sum\limits^k_(i=1)(x_in_i))(n)\]

\[\overline(x_in)=\frac(\sum\limits^k_(i=1)(x_in_i))(n)=\frac(305)(20)=15,25\]

Raskime imties dispersiją naudodami formulę:

Standartinio nuokrypio pavyzdys:

\[(\sigma )_в=\sqrt(D_в)\apytiksliai 5,12\]

Pataisyta dispersija:

\[(S^2=\frac(n)(n-1)D)_в=\frac(20)(19)\cdot 26.1875\apytiksliai 27.57\]

Pataisytas standartinis nuokrypis.

Vertybės, gautos iš patirties, neišvengiamai turi klaidų dėl įvairių priežasčių. Tarp jų reikėtų atskirti sistemines ir atsitiktines klaidas. Sistemines klaidas sukelia priežastys, kurios veikia labai specifiniu būdu ir visada gali būti pašalintos arba į jas gana tiksliai atsižvelgiama. Atsitiktines klaidas sukelia labai daug atskirų priežasčių, kurių negalima tiksliai įvertinti ir kurios veikia skirtingai kiekviename atskirame matavime. Šių klaidų negalima visiškai atmesti; į juos galima atsižvelgti tik vidutiniškai, o tam būtina žinoti dėsnius, reglamentuojančius atsitiktines klaidas.

Išmatuotą dydį žymėsime A, o atsitiktinę matavimo paklaidą – x. Kadangi paklaida x gali įgyti bet kokią reikšmę, tai yra nuolatinis atsitiktinis kintamasis, kuriam visiškai būdingas jo pasiskirstymo dėsnis.

Paprasčiausias ir tiksliausiai tikrovę atspindintis (didžiąja dauguma atvejų) yra vadinamasis normalus klaidų pasiskirstymo dėsnis:

Šį pasiskirstymo dėsnį galima gauti iš įvairių teorinių prielaidų, visų pirma iš reikalavimo, kad labiausiai tikėtina nežinomo dydžio vertė, kuriai tiesioginiu matavimu gaunama vienodo tikslumo verčių serija, yra aritmetinis vidurkis. šias vertybes. 2 kiekis vadinamas dispersijašio normalaus įstatymo.

Vidutinis

Sklaidos nustatymas pagal eksperimentinius duomenis. Jei bet kuriai vertei A n vertės a i gaunamos tiesioginiu matavimu tuo pačiu tikslumu ir jei vertės A paklaidoms taikomas normalaus pasiskirstymo dėsnis, tada labiausiai tikėtina A reikšmė bus vidutinis:

a - aritmetinis vidurkis,

a i – išmatuota vertė i-ajame žingsnyje.

Stebimos reikšmės (kiekvienam stebėjimui) a i vertės A nuokrypis nuo aritmetinis vidurkis: a i - a.

Norėdami nustatyti normalaus klaidų pasiskirstymo dėsnio dispersiją šiuo atveju, naudokite formulę:

2 - dispersija,
a - aritmetinis vidurkis,
n – parametrų matavimų skaičius,

Standartinis nuokrypis

Standartinis nuokrypis rodo absoliutų išmatuotų verčių nuokrypį nuo aritmetinis vidurkis. Pagal tiesinio derinio tikslumo matavimo formulę vidutinė kvadratinė paklaida Aritmetinis vidurkis nustatomas pagal formulę:

, Kur

a - aritmetinis vidurkis,
n – parametrų matavimų skaičius,
a i – išmatuota vertė i-ajame žingsnyje.

Variacijos koeficientas

Variacijos koeficientas apibūdina santykinį išmatuotų verčių nuokrypio matą aritmetinis vidurkis:

, Kur

V – variacijos koeficientas,
- standartinis nuokrypis,
a – aritmetinis vidurkis.

Kaip daugiau vertės variacijos koeficientas, tuo santykinai didesnė tirtų verčių sklaida ir mažesnis vienodumas. Jeigu variacijos koeficientas mažesnis nei 10%, tada variacijų eilučių kintamumas laikomas nereikšmingu, nuo 10% iki 20% laikomas vidutiniu, daugiau nei 20% ir mažesnis nei 33% laikomas reikšmingu ir jei variacijos koeficientas viršija 33%, tai rodo informacijos nevienalytiškumą ir būtinybę išskirti didžiausias ir mažiausias vertes.

Vidutinis tiesinis nuokrypis

Vienas iš variacijos apimties ir intensyvumo rodiklių yra vidutinis tiesinis nuokrypis(vidutinio nuokrypio modulis) nuo aritmetinio vidurkio. Vidutinis tiesinis nuokrypis apskaičiuojamas pagal formulę:

, Kur

_
a - vidutinis tiesinis nuokrypis,
a - aritmetinis vidurkis,
n – parametrų matavimų skaičius,
a i – išmatuota vertė i-ajame žingsnyje.

Norint patikrinti tiriamų verčių atitiktį normaliojo skirstinio dėsniui, naudojamas santykis asimetrijos indikatoriusį jo klaidą ir požiūrį kurtozės indikatoriusį jo klaidą.

Asimetrijos indikatorius

Asimetrijos indikatorius(A) ir jo paklaida (m a) apskaičiuojama naudojant šias formules:

, Kur

A - asimetrijos indikatorius,
- standartinis nuokrypis,
a - aritmetinis vidurkis,
n – parametrų matavimų skaičius,
a i – išmatuota vertė i-ajame žingsnyje.

Kurtozės indikatorius

Kurtozės indikatorius(E) ir jo paklaida (m e) apskaičiuojama pagal šias formules:

, Kur