Atsitiktinių dydžių vidutinės reikšmės. Matematinis lūkestis yra atsitiktinio dydžio tikimybių skirstinys

Tikimybių teorija – speciali matematikos šaka, kurią studijuoja tik aukštųjų mokyklų studentai. Ar jums patinka skaičiavimai ir formulės? Jūs nebijote perspektyvų susipažinti su normaliuoju skirstiniu, ansamblio entropija, matematiniais lūkesčiais ir diskrečiąja sklaida atsitiktinis kintamasis? Tada ši tema jums bus labai įdomi. Susipažinkime su keliomis svarbiausiomis pagrindinėmis šios mokslo šakos sąvokomis.

Prisiminkime pagrindus

Net jei prisimenate paprasčiausias tikimybių teorijos sąvokas, nepamirškite pirmųjų straipsnio pastraipų. Esmė ta, kad be aiškaus pagrindinių dalykų supratimo negalėsite dirbti su toliau aptartomis formulėmis.

Taigi, įvyksta koks nors atsitiktinis įvykis, koks nors eksperimentas. Dėl savo veiksmų galime sulaukti kelių rezultatų – vieni iš jų pasitaiko dažniau, kiti rečiau. Įvykio tikimybė yra faktiškai gautų vieno tipo rezultatų skaičiaus santykis su iš viso galima. Tik žinodami klasikinį šios sąvokos apibrėžimą, galite pradėti tyrinėti nuolatinių atsitiktinių dydžių matematinius lūkesčius ir sklaidą.

Vidutinis

Dar mokykloje per matematikos pamokas pradėjai dirbti su aritmetiniu vidurkiu. Ši sąvoka plačiai naudojama tikimybių teorijoje, todėl jos negalima ignoruoti. Mums svarbiausia Šis momentas yra tai, kad su juo susidursime atsitiktinio dydžio matematinio lūkesčio ir sklaidos formulėse.

Turime skaičių seką ir norime rasti aritmetinį vidurkį. Viskas, ko mums reikia, yra susumuoti viską, kas turima, ir padalyti iš sekos elementų skaičiaus. Turėkime skaičius nuo 1 iki 9. Elementų suma bus lygi 45, o šią reikšmę padalinsime iš 9. Atsakymas: - 5.

Sklaida

Kalbėdamas moksline kalba, dispersija yra gautų charakteristikų nuokrypių nuo aritmetinio vidurkio kvadratas. Jis žymimas viena didžiąja lotyniška raide D. Ko reikia jai apskaičiuoti? Kiekvienam sekos elementui apskaičiuojame skirtumą tarp esamo skaičiaus ir aritmetinio vidurkio ir jį kvadratu. Bus lygiai tiek daug vertybių, kiek gali būti renginio, kurį svarstome, rezultatų. Toliau viską susumuojame ir padalijame iš sekos elementų skaičiaus. Jei turime penkis galimus rezultatus, padalinkite iš penkių.

Dispersija taip pat turi savybių, kurias reikia atsiminti, kad ją būtų galima panaudoti sprendžiant problemas. Pavyzdžiui, kai atsitiktinis dydis padidėja X kartų, dispersija padidėja X kvadratu kartų (t. y. X*X). Jis niekada nėra mažesnis už nulį ir nepriklauso nuo verčių keitimo aukštyn arba žemyn vienodais kiekiais. Be to, nepriklausomų bandymų atveju sumos dispersija yra lygi dispersijų sumai.

Dabar neabejotinai turime apsvarstyti diskretinio atsitiktinio dydžio dispersijos ir matematinio lūkesčio pavyzdžius.

Tarkime, kad atlikome 21 eksperimentą ir gavome 7 skirtingus rezultatus. Kiekvieną iš jų stebėjome atitinkamai 1, 2, 2, 3, 4, 4 ir 5 kartus. Kam bus lygi dispersija?

Pirmiausia apskaičiuokime aritmetinį vidurkį: elementų suma, žinoma, yra 21. Padalinkite ją iš 7, gaudami 3. Dabar iš kiekvieno pradinės sekos skaičiaus atimkite 3, kiekvieną reikšmę padėkite kvadratu ir sudėkite rezultatus. Rezultatas yra 12. Dabar tereikia skaičių padalyti iš elementų skaičiaus, ir, atrodytų, viskas. Bet yra laimikis! Tai aptarkime.

Priklausomybė nuo eksperimentų skaičiaus

Pasirodo, skaičiuojant dispersiją, vardiklyje gali būti vienas iš dviejų skaičių: arba N, arba N-1. Čia N yra atliktų eksperimentų skaičius arba sekos elementų skaičius (kuris iš esmės yra tas pats). Nuo ko tai priklauso?

Jei testų skaičius matuojamas šimtais, tai į vardiklį turime dėti N. Jei vienetais, tai N-1. Mokslininkai nusprendė ribą nubrėžti gana simboliškai: šiandien ji eina per skaičių 30. Jei atlikome mažiau nei 30 eksperimentų, tada sumą padalinsime iš N-1, o jei daugiau, tai iš N.

Užduotis

Grįžkime prie mūsų dispersijos problemos sprendimo pavyzdžio ir tikėtina vertė. Gavome tarpinį skaičių 12, kurį reikėjo padalyti iš N arba N-1. Kadangi atlikome 21 eksperimentą, tai yra mažiau nei 30, pasirinksime antrąjį variantą. Taigi atsakymas yra toks: dispersija yra 12/2 = 2.

Tikėtina vertė

Pereikime prie antrosios koncepcijos, kurią turime apsvarstyti šiame straipsnyje. Matematinis lūkestis yra visų galimų rezultatų, padaugintų iš atitinkamų tikimybių, rezultatas. Svarbu suprasti, kad gauta reikšmė, kaip ir dispersijos apskaičiavimo rezultatas, gaunami tik vieną kartą visa užduotis, nesvarbu, kiek rezultatų atsižvelgiama.

Matematinio lūkesčio formulė gana paprasta: paimame rezultatą, padauginame jį iš tikimybės, pridedame tą patį antram, trečiam rezultatui ir tt Viską, kas susiję su šia sąvoka, nesunku apskaičiuoti. Pavyzdžiui, numatomų verčių suma yra lygi numatomai sumos vertei. Tas pats pasakytina ir apie darbą. Ne kiekvienas dydis tikimybių teorijoje leidžia atlikti tokias paprastas operacijas. Paimkime problemą ir apskaičiuokime dviejų sąvokų, kurias iš karto ištyrėme, reikšmę. Be to, mus blaškė teorija – laikas praktikuotis.

Dar vienas pavyzdys

Atlikome 50 bandymų ir gavome 10 rūšių rezultatų – skaičių nuo 0 iki 9 – skirtinguose procentais. Tai yra atitinkamai: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Prisiminkite, kad norint gauti tikimybes, reikia padalyti procentines reikšmes iš 100. Taigi gauname 0,02; 0,1 ir kt. Pateiksime atsitiktinio dydžio dispersijos ir matematinio lūkesčio uždavinio sprendimo pavyzdį.

Aritmetinį vidurkį apskaičiuojame pagal formulę, kurią prisimename pradinė mokykla: 50/10 = 5.

Dabar paverskime tikimybes į rezultatų skaičių „gabalais“, kad būtų lengviau skaičiuoti. Gauname 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 ir 9. Iš kiekvienos gautos reikšmės atimame aritmetinį vidurkį, po kurio kiekvieną gautą rezultatą padalome kvadratu. Pažiūrėkite, kaip tai padaryti naudojant pirmąjį elementą kaip pavyzdį: 1 - 5 = (-4). Kitas: (-4) * (-4) = 16. Jei norite naudoti kitas reikšmes, atlikite šiuos veiksmus patys. Jei viską padarėte teisingai, sudėję juos visus gausite 90.

Tęskime dispersijos ir numatomos vertės skaičiavimą, 90 padalydami iš N. Kodėl mes pasirenkame N, o ne N-1? Teisingai, nes atliktų eksperimentų skaičius viršija 30. Taigi: 90/10 = 9. Gavome dispersiją. Jei gausite kitą numerį, nenusiminkite. Greičiausiai padarėte paprastą klaidą skaičiavimuose. Dar kartą patikrinkite, ką parašėte, ir tikriausiai viskas atsistos į savo vietas.

Galiausiai prisiminkite matematinio lūkesčio formulę. Visų skaičiavimų nepateiksime, tik parašysime atsakymą, kuriuo galėsite pasitikrinti atlikę visas reikalingas procedūras. Numatoma vertė bus 5,48. Prisiminkime tik, kaip atlikti operacijas, kaip pavyzdį naudodami pirmuosius elementus: 0*0.02 + 1*0.1... ir pan. Kaip matote, mes tiesiog padauginame rezultato vertę iš jos tikimybės.

Nukrypimas

Kita sąvoka, glaudžiai susijusi su sklaida ir matematiniais lūkesčiais, yra standartinis nuokrypis. Jis žymimas arba lotyniškomis raidėmis sd, arba graikiškomis mažosiomis raidėmis „sigma“. Ši koncepcija rodo, kiek vidutiniškai reikšmės nukrypsta nuo centrinės funkcijos. Norėdami sužinoti jo vertę, turite apskaičiuoti Kvadratinė šaknis nuo dispersijos.

Jei nubraižote normalaus pasiskirstymo grafiką ir norite matyti tiesiai ant jo kvadratinis nuokrypis, tai galima padaryti keliais etapais. Paimkite pusę vaizdo į kairę arba į dešinę nuo režimo (centrinė reikšmė), nubrėžkite statmeną horizontaliai ašiai, kad gautų figūrų plotai būtų lygūs. Atkarpos tarp skirstinio vidurio ir gautos projekcijos į horizontaliąją ašį dydis parodys standartinį nuokrypį.

Programinė įranga

Kaip matyti iš formulių aprašymų ir pateiktų pavyzdžių, dispersijos ir matematinės lūkesčių skaičiavimas aritmetiniu požiūriu nėra pati paprasčiausia procedūra. Kad nebūtų gaištas laikas, prasminga naudotis programa, naudojama aukštosiose mokyklose švietimo įstaigų- jis vadinamas "R". Jame yra funkcijų, leidžiančių apskaičiuoti daugelio sąvokų reikšmes iš statistikos ir tikimybių teorijos.

Pavyzdžiui, nurodote reikšmių vektorių. Tai daroma taip: vektorius<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Pagaliau

Sklaida ir matematinis lūkestis yra be kurių sunku ką nors apskaičiuoti ateityje. Pagrindiniame paskaitų kurse universitetuose jos aptariamos jau pirmaisiais dalyko studijų mėnesiais. Būtent dėl ​​šių paprastų sąvokų nesuvokimo ir nesugebėjimo jų apskaičiuoti daugelis studentų iš karto pradeda atsilikti nuo programos, o vėliau sesijos pabaigoje gauna blogus pažymius, o tai atima stipendijas.

Praktikuokite bent vieną savaitę, pusvalandį per dieną, spręsdami užduotis, panašias į pateiktas šiame straipsnyje. Tada atlikdami bet kurį tikimybių teorijos testą galėsite susidoroti su pavyzdžiais be pašalinių patarimų ir sukčiavimo lapų.

X -4 6 10
р 0,2 0,3 0,5

Sprendimas: matematinis lūkestis yra lygus visų galimų X reikšmių ir jų tikimybių sandaugų sumai:

M (X) = 4 * 0,2 + 6 * 0,3 + 10 * 0,5 = 6.

Pats sprendimo pavyzdys (galite naudoti skaičiuotuvą).
Raskite diskretiškojo atsitiktinio dydžio X matematinį tikėjimą, nurodytą skirstymo dėsnio:

X 0,21 0,54 0,61
р 0,1 0,5 0,4

Matematinis lūkestis turi šias savybes.

Savybė 1. Pastovios reikšmės matematinė tikėtis lygi pačiai konstantai: M(C)=C.

Savybė 2. Pastovus koeficientas gali būti paimtas kaip matematinio lūkesčio ženklas: M(CX)=CM(X).

Savybė 3. Matematinis vienas nuo kito nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugos lūkestis yra lygus faktorių matematinių lūkesčių sandaugai: M (X1X2 ...Xn) = M (X1) M (X2)*. ..*M (Xn)

Savybė 4. Atsitiktinių dydžių sumos matematinis lūkestis yra lygus terminų matematinių lūkesčių sumai: M(Xg + X2+...+Xn) = M(Xg)+M(X2)+... +M(Xn).

189 uždavinys. Raskite atsitiktinio dydžio Z matematinę lūkesčius, jei žinomi X ir Y matematiniai lūkesčiai: Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3;

Sprendimas: Naudodamiesi matematinio lūkesčio savybėmis (matematinis sumos lūkestis yra lygus terminų matematinių lūkesčių sumai; pastovų koeficientą galima išimti iš matematinio lūkesčio ženklo), gauname M(Z )=M(X + 2Y)=M(X) + M(2Y)=M (X) + 2M(Y)= 5 + 2*3 = 11.

190. Naudodamiesi matematinio lūkesčio savybėmis, įrodykite, kad: a) M(X - Y) = M(X) - M (Y); b) nuokrypio X-M(X) matematinė lūkestis lygi nuliui.

191. Diskretusis atsitiktinis dydis X įgyja tris galimas reikšmes: x1= 4 Su tikimybe p1 = 0,5; xЗ = 6 Su tikimybe P2 = 0,3 ir x3 su tikimybe p3. Raskite: x3 ir p3, žinant, kad M(X)=8.

192. Pateikiamas galimų diskretinio atsitiktinio dydžio X reikšmių sąrašas: x1 = -1, x2 = 0, x3= 1, taip pat žinomi šios reikšmės ir jos kvadrato matematiniai lūkesčiai: M(X) = 0,1 , M(X^2) = 0 ,9. Raskite tikimybes p1, p2, p3, atitinkančias galimas xi reikšmes

194. 10 dalių partijoje yra trys nestandartinės dalys. Dvi dalys buvo parinktos atsitiktinai. Raskite matematinį diskretinio atsitiktinio dydžio X lūkestį – nestandartinių dalių skaičių tarp dviejų pasirinktų.

196. Raskite tokių penkių kauliukų metimų, kurių kiekviename ant dviejų kauliukų atsiras po vieną tašką, diskretinio atsitiktinio dydžio X skaičiaus matematinį tikėjimą, jei bendras metimų skaičius yra dvidešimt.

Lūkesčiai ir dispersija yra dažniausiai naudojamos atsitiktinio dydžio skaitinės charakteristikos. Jie apibūdina svarbiausius pasiskirstymo požymius: jo padėtį ir sklaidos laipsnį. Daugelyje praktinių uždavinių pilna, išsami atsitiktinio dydžio charakteristika – pasiskirstymo dėsnis – arba išvis negali būti gauta, arba visai nereikalinga. Tokiais atvejais apsiribojama apytiksliu atsitiktinio dydžio aprašymu, naudojant skaitines charakteristikas.

Tikėtina vertė dažnai vadinama tiesiog vidutine atsitiktinio dydžio verte. Atsitiktinio dydžio sklaida yra dispersijos charakteristika, atsitiktinio dydžio sklaida aplink jo matematinį lūkestį.

Diskretaus atsitiktinio dydžio lūkestis

Priartėkime prie matematinio lūkesčio sampratos, pirmiausia remdamiesi mechaniniu diskretiškojo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo aiškinimu. Tegul masės vienetas pasiskirsto tarp x ašies taškų x1 , x 2 , ..., x n, ir kiekvienas materialus taškas turi atitinkamą masę p1 , p 2 , ..., p n. Būtina pasirinkti vieną tašką abscisių ašyje, apibūdinantį visos materialių taškų sistemos padėtį, atsižvelgiant į jų mases. Natūralu tokiu tašku laikyti materialių taškų sistemos masės centrą. Tai yra atsitiktinio dydžio svertinis vidurkis X, prie kurios kiekvieno taško abscisė xiįeina su „svoriu“, lygiu atitinkamai tikimybei. Tokiu būdu gauta vidutinė atsitiktinio dydžio reikšmė X vadinamas jo matematiniu lūkesčiu.

Matematinė diskretiškojo atsitiktinio dydžio lūkesčiai yra visų jo galimų reikšmių sandaugų ir šių reikšmių tikimybių suma:

1 pavyzdys. Surengta loterija, kuriai laimi. Yra 1000 laimėjimų, iš kurių 400 yra 10 rublių. 300-20 rublių kiekvienas. 200-100 rublių kiekvienas. ir po 100-200 rublių. Koks yra vidutinis laimėjimas perkant vieną bilietą?

Sprendimas. Vidutinį laimėjimą rasime, jei bendrą laimėjimų sumą, kuri yra 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50 000 rublių, padalinsime iš 1000 (bendra laimėjimų suma). Tada gauname 50000/1000 = 50 rublių. Tačiau vidutinio laimėjimo apskaičiavimo išraiška gali būti pateikta tokia forma:

Kita vertus, tokiomis sąlygomis laimėjimo dydis yra atsitiktinis dydis, kurio reikšmės gali būti 10, 20, 100 ir 200 rublių. su tikimybėmis, atitinkamai lygiomis 0,4; 0,3; 0,2; 0.1. Todėl numatomas vidutinis laimėjimas yra lygus laimėjimų dydžio ir tikimybės juos gauti sandaugų sumai.

2 pavyzdys. Leidykla nusprendė išleisti naują knygą. Knygą jis planuoja parduoti už 280 rublių, iš kurių 200 gaus pats, 50 – knygynui ir 30 – autoriui. Lentelėje pateikiama informacija apie knygos išleidimo kaštus ir tikimybę parduoti tam tikrą knygos egzempliorių skaičių.

Raskite numatomą leidėjo pelną.

Sprendimas. Atsitiktinis dydis „pelnas“ yra lygus skirtumui tarp pardavimo pajamų ir išlaidų sąnaudų. Pavyzdžiui, jei parduodama 500 knygos egzempliorių, tada pardavimo pajamos yra 200 * 500 = 100 000, o išleidimo kaina - 225 000 rublių. Taigi leidėjui gresia 125 000 rublių nuostolis. Šioje lentelėje apibendrinamos tikėtinos atsitiktinio dydžio – pelno – reikšmės:

Taigi gauname matematinius leidėjo pelno lūkesčius:

.

3 pavyzdys. Tikimybė pataikyti vienu šūviu p= 0,2. Nustatykite sviedinių sunaudojimą, kuris matematiškai tikisi, kad smūgių skaičius lygus 5.

Sprendimas. Iš tos pačios matematinės lūkesčių formulės, kurią naudojome iki šiol, išreiškiame x- apvalkalo suvartojimas:

.

4 pavyzdys. Nustatykite atsitiktinio dydžio matematinį tikėjimą x smūgių skaičius trimis šūviais, jei kiekvieno šūvio pataikymo tikimybė p = 0,4 .

Patarimas: raskite atsitiktinių kintamųjų reikšmių tikimybę pagal Bernulio formulė .

Matematinės lūkesčių savybės

Panagrinėkime matematinio lūkesčio savybes.

1 nuosavybė. Matematinis pastovios vertės lūkestis yra lygus šiai konstantai:

2 nuosavybė. Pastovų koeficientą galima išimti iš matematinio lūkesčio ženklo:

3 nuosavybė. Atsitiktinių dydžių sumos (skirtumo) matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sumai (skirtumui):

4 nuosavybė. Atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai:

5 nuosavybė. Jei visos atsitiktinio dydžio reikšmės X sumažinti (padidėti) tuo pačiu skaičiumi SU, tada jo matematinis lūkestis sumažės (padidės) tokiu pat skaičiumi:

Kai negali apsiriboti vien matematiniais lūkesčiais

Daugeliu atvejų tik matematinis lūkestis negali pakankamai apibūdinti atsitiktinio dydžio.

Tegul atsitiktiniai dydžiai X Ir Y pateikiami šiais platinimo dėsniais:

Šių dydžių matematiniai lūkesčiai yra vienodi – lygūs nuliui:

Tačiau jų paskirstymo modeliai skiriasi. Atsitiktinė vertė X gali imti tik reikšmes, kurios mažai skiriasi nuo matematinio lūkesčio, ir atsitiktinį kintamąjį Y gali priimti vertes, kurios labai skiriasi nuo matematinio lūkesčio. Panašus pavyzdys: vidutinis darbo užmokestis neleidžia spręsti apie daug ir mažai apmokamų darbuotojų dalį. Kitaip tariant, iš matematinio lūkesčio negalima spręsti, kokie nukrypimai nuo jo, bent jau vidutiniškai, galimi. Norėdami tai padaryti, turite rasti atsitiktinio dydžio dispersiją.

Diskretinio atsitiktinio dydžio dispersija

Dispersija diskrečiųjų atsitiktinių dydžių X vadinamas jo nuokrypio nuo matematinio lūkesčio kvadrato matematiniu lūkesčiu:

Atsitiktinio dydžio standartinis nuokrypis X jos dispersijos kvadratinės šaknies aritmetinė reikšmė vadinama:

.

5 pavyzdys. Apskaičiuokite atsitiktinių dydžių dispersijas ir standartinius nuokrypius X Ir Y, kurių paskirstymo dėsniai pateikti aukščiau esančiose lentelėse.

Sprendimas. Atsitiktinių dydžių matematiniai lūkesčiai X Ir Y, kaip nurodyta aukščiau, yra lygūs nuliui. Pagal dispersijos formulę at E(X)=E(y)=0 gauname:

Tada atsitiktinių dydžių standartiniai nuokrypiai X Ir Y makiažas

.

Taigi su tais pačiais matematiniais lūkesčiais atsitiktinio dydžio dispersija X labai mažas, bet atsitiktinis dydis Y- reikšmingas. Tai yra jų pasiskirstymo skirtumų pasekmė.

6 pavyzdys. Investuotojas turi 4 alternatyvius investicinius projektus. Lentelėje su atitinkama tikimybe apibendrinamas šių projektų numatomas pelnas.

Raskite kiekvienos alternatyvos matematinį lūkestį, dispersiją ir standartinį nuokrypį.

Sprendimas. Parodykime, kaip šios vertės apskaičiuojamos trečiajai alternatyvai:

Lentelėje apibendrinamos rastos visų alternatyvų reikšmės.

Visos alternatyvos turi tuos pačius matematinius lūkesčius. Tai reiškia, kad ilgainiui visi turi vienodas pajamas. Standartinis nuokrypis gali būti interpretuojamas kaip rizikos matas – kuo jis didesnis, tuo didesnė investicijos rizika. Investuotojas, nenorintis didelės rizikos, rinksis 1 projektą, nes jo standartinis nuokrypis yra mažiausias (0). Jei investuotojas teikia pirmenybę rizikai ir didelei grąžai per trumpą laikotarpį, jis rinksis projektą su didžiausiu standartiniu nuokrypiu – 4 projektą.

Dispersijos savybės

Pateiksime dispersijos savybes.

1 nuosavybė. Pastovios vertės dispersija lygi nuliui:

2 nuosavybė. Pastovų koeficientą galima išimti iš dispersijos ženklo, padalijus jį kvadratu:

.

3 nuosavybė. Atsitiktinio dydžio dispersija yra lygi šios reikšmės kvadrato matematiniam lūkesčiui, iš kurio atimamas pačios reikšmės matematinio lūkesčio kvadratas:

,

Kur .

4 nuosavybė. Atsitiktinių dydžių sumos (skirtumo) dispersija yra lygi jų dispersijų sumai (skirtumui):

7 pavyzdys. Yra žinoma, kad diskretinis atsitiktinis dydis X ima tik dvi reikšmes: −3 ir 7. Be to, žinomas matematinis lūkestis: E(X) = 4. Raskite diskretinio atsitiktinio dydžio dispersiją.

Sprendimas. Pažymėkime pagal p tikimybė, su kuria atsitiktinis kintamasis įgauna reikšmę x1 = −3 . Tada vertės tikimybė x2 = 7 bus 1 − p. Išveskime matematinio lūkesčio lygtį:

E(X) = x 1 p + x 2 (1 − p) = −3p + 7(1 − p) = 4 ,

kur gauname tikimybes: p= 0,3 ir 1 − p = 0,7 .

Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis:

Šio atsitiktinio dydžio dispersiją apskaičiuojame pagal formulę iš 3 dispersijos savybės:

D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

Pats raskite matematinį atsitiktinio kintamojo lūkestį ir pažiūrėkite į sprendimą

8 pavyzdys. Diskretus atsitiktinis dydis X ima tik dvi vertes. Ji priima didesnę iš reikšmių 3 su tikimybe 0,4. Be to, žinoma atsitiktinio dydžio dispersija D(X) = 6 . Raskite atsitiktinio dydžio matematinį tikėjimą.

9 pavyzdys. Urnoje yra 6 balti ir 4 juodi rutuliai. Iš urnos ištraukiami 3 rutuliai. Baltų rutulių skaičius tarp ištrauktų rutulių yra diskretusis atsitiktinis dydis X. Raskite šio atsitiktinio dydžio matematinę lūkesčius ir dispersiją.

Sprendimas. Atsitiktinė vertė X gali gauti reikšmes 0, 1, 2, 3. Atitinkamas tikimybes galima apskaičiuoti iš tikimybių daugybos taisyklė. Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis:

Taigi matematinis šio atsitiktinio kintamojo lūkestis:

M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

Tam tikro atsitiktinio dydžio dispersija yra tokia:

D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

Ištisinio atsitiktinio dydžio lūkestis ir dispersija

Ištisiniam atsitiktiniam dydžiui mechaninis matematinio lūkesčio aiškinimas išliks ta pati reikšmė: masės centras masės vienetui, nuolat paskirstytam x ašyje su tankiu. f(x). Skirtingai nuo diskretinio atsitiktinio dydžio, kurio funkcijos argumentas xi staigiai keičiasi; nuolatinio atsitiktinio dydžio argumentas nuolat keičiasi. Tačiau matematinis nenutrūkstamo atsitiktinio dydžio lūkestis taip pat yra susijęs su jo vidutine verte.

Norėdami rasti ištisinio atsitiktinio dydžio matematinį lūkestį ir dispersiją, turite rasti apibrėžtuosius integralus . Jei pateikiama nuolatinio atsitiktinio dydžio tankio funkcija, tada jis tiesiogiai patenka į integrandą. Jei pateikiama tikimybių skirstinio funkcija, tada ją diferencijuojant reikia rasti tankio funkciją.

Visų galimų nuolatinio atsitiktinio dydžio verčių aritmetinis vidurkis vadinamas jo matematinis lūkestis, žymimas arba .

Laukimas yra atsitiktinio dydžio tikimybių skirstinys

Matematinis lūkestis, apibrėžimas, matematinė diskrečiųjų ir tolydinių atsitiktinių dydžių lūkesčiai, imtis, sąlyginis lūkestis, skaičiavimas, savybės, problemos, lūkesčių įvertinimas, sklaida, pasiskirstymo funkcija, formulės, skaičiavimo pavyzdžiai

Išplėskite turinį

Sutraukti turinį

Matematinis lūkestis yra apibrėžimas

Viena iš svarbiausių matematinės statistikos ir tikimybių teorijos sąvokų, apibūdinančių atsitiktinio dydžio reikšmių arba tikimybių pasiskirstymą. Paprastai išreiškiamas kaip visų galimų atsitiktinio dydžio parametrų svertinis vidurkis. Plačiai naudojamas atliekant techninę analizę, tiriant skaičių eilutes ir tiriant nuolatinius ir daug laiko reikalaujančius procesus. Jis svarbus vertinant riziką, prognozuojant kainų rodiklius prekiaujant finansų rinkose, naudojamas kuriant lošimo taktikos strategijas ir metodus azartinių lošimų teorijoje.

Matematinis lūkestis yra atsitiktinio dydžio vidutinė reikšmė, tikimybių teorijoje nagrinėjamas atsitiktinio dydžio tikimybių skirstinys.

Matematinis lūkestis yra tikimybių teorijos atsitiktinio dydžio vidutinės vertės matas. Atsitiktinio dydžio laukimas xžymimas M(x).

Matematinis lūkestis yra

Matematinis lūkestis yra tikimybių teorijoje – svertinis visų galimų atsitiktinio dydžio verčių vidurkis.

Matematinis lūkestis yra visų galimų atsitiktinio dydžio reikšmių sandaugų ir šių reikšmių tikimybių suma.

Matematinis lūkestis yra vidutinė nauda iš konkretaus sprendimo, su sąlyga, kad toks sprendimas gali būti svarstomas didelių skaičių ir tolimojo atstumo teorijos rėmuose.

Matematinis lūkestis yra lošimų teorijoje – laimėjimų suma, kurią žaidėjas gali uždirbti arba prarasti vidutiniškai už kiekvieną statymą. Azartinių lošimų kalboje tai kartais vadinama „žaidėjo pranašumu“ (jei žaidėjui jis teigiamas) arba „namo pranašumu“ (jei žaidėjui jis yra neigiamas).

Matematinis lūkestis yra pelno, tenkančio vienam laimėjimui, procentas, padaugintas iš vidutinio pelno, atėmus nuostolio tikimybę, padaugintą iš vidutinio nuostolio.

Matematinis atsitiktinio dydžio lūkestis matematinėje teorijoje

Viena iš svarbių atsitiktinio dydžio skaitmeninių charakteristikų yra jo matematinė prognozė. Supažindinkime su atsitiktinių dydžių sistemos samprata. Panagrinėkime atsitiktinių dydžių, kurie yra to paties atsitiktinio eksperimento rezultatai, rinkinį. Jei yra viena iš galimų sistemos reikšmių, tai įvykis atitinka tam tikrą tikimybę, atitinkančią Kolmogorovo aksiomas. Funkcija, apibrėžta bet kokioms galimoms atsitiktinių dydžių reikšmėms, vadinama jungtiniu paskirstymo dėsniu. Ši funkcija leidžia apskaičiuoti bet kokių įvykių tikimybę iš. Visų pirma, atsitiktinių dydžių ir jungtinis pasiskirstymo dėsnis, kuris paima reikšmes iš aibės ir, yra pateikiamas tikimybėmis.

Terminą „matematiniai lūkesčiai“ įvedė Pierre'as Simonas Marquisas de Laplasas (1795) ir jis kilęs iš sąvokos „tikėtina laimėjimo vertė“, kuri pirmą kartą atsirado XVII amžiuje azartinių lošimų teorijoje Blaise'o Pascalio ir Christiano darbuose. Huygensas. Tačiau pirmąjį išsamų teorinį šios koncepcijos supratimą ir įvertinimą pateikė Pafnuty Lvovich Chebyshev (XIX a. vidurys).

Atsitiktinių skaitinių dydžių pasiskirstymo dėsnis (paskirstymo funkcija ir pasiskirstymo eilutė arba tikimybių tankis) visiškai apibūdina atsitiktinio dydžio elgesį. Tačiau daugelyje problemų pakanka žinoti kai kurias skaitines tiriamo dydžio charakteristikas (pavyzdžiui, jo vidutinę vertę ir galimą nuokrypį nuo jos), kad būtų galima atsakyti į užduotą klausimą. Pagrindinės atsitiktinių dydžių skaitmeninės charakteristikos yra matematinės lūkesčiai, dispersija, režimas ir mediana.

Matematinis diskretiškojo atsitiktinio kintamojo lūkestis yra jo galimų reikšmių sandaugų ir atitinkamų tikimybių suma. Kartais matematinis lūkestis vadinamas svertiniu vidurkiu, nes jis yra maždaug lygus daugelio eksperimentų metu stebimų atsitiktinio kintamojo verčių aritmetiniam vidurkiui. Iš matematinio lūkesčio apibrėžimo išplaukia, kad jo reikšmė yra ne mažesnė už mažiausią įmanomą atsitiktinio dydžio reikšmę ir ne didesnė už didžiausią. Atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis yra neatsitiktinis (pastovus) kintamasis.

Matematinis lūkestis turi paprastą fizinę prasmę: jei vienetinę masę dedate ant tiesės, tam tikruose taškuose pastatote tam tikrą masę (diskrečiam pasiskirstymui) arba „užtepdami“ ją tam tikru tankiu (absoliučiai nenutrūkstamam pasiskirstymui) , tada taškas, atitinkantis matematinius lūkesčius, bus koordinačių "svorio centras" yra tiesus.

Vidutinė atsitiktinio dydžio reikšmė yra tam tikras skaičius, kuris tarsi yra jo „atstovas“ ir pakeičia jį apytiksliais skaičiavimais. Kai sakome: „vidutinis lempos veikimo laikas yra 100 valandų“ arba „vidutinis smūgio taškas taikinio atžvilgiu pasislenka 2 m į dešinę“, nurodome tam tikrą atsitiktinio dydžio skaitinę charakteristiką, apibūdinančią jo vietą. skaitinėje ašyje, t.y. „padėties charakteristikos“.

Iš padėties charakteristikų tikimybių teorijoje svarbiausią vaidmenį atlieka matematinis atsitiktinio dydžio lūkestis, kuris kartais vadinamas tiesiog vidutine atsitiktinio dydžio reikšme.

Apsvarstykite atsitiktinį kintamąjį X, turintys galimas vertes x1, x2, …, xn su tikimybėmis p1, p2, …, pn. Turime tam tikru skaičiumi apibūdinti atsitiktinio dydžio reikšmių padėtį x ašyje, atsižvelgiant į tai, kad šios reikšmės turi skirtingas tikimybes. Šiuo tikslu natūralu naudoti vadinamąjį „svertinį vidurkį“. xi, o į kiekvieną reikšmę xi vidurkinimo metu reikia atsižvelgti su „svoriu“, proporcingu šios vertės tikimybei. Taigi apskaičiuosime atsitiktinio dydžio vidurkį X, kurį žymime M |X|:

Šis svertinis vidurkis vadinamas atsitiktinio dydžio matematiniu lūkesčiu. Taigi mes pristatėme vieną iš svarbiausių tikimybių teorijos sąvokų – matematinio lūkesčio sąvoką. Matematinis atsitiktinio dydžio lūkestis yra visų galimų atsitiktinio dydžio dydžių sandaugų ir šių dydžių tikimybių suma.

Tegul jis gaminamas N nepriklausomi eksperimentai, kurių kiekvieno vertė Xįgauna tam tikrą vertę. Tarkime, kad vertė x1 pasirodė m1 kartus, vertė x2 pasirodė m2 laikai, bendra reikšmė xi pasirodė mi kartų. Apskaičiuokime stebimų reikšmės X reikšmių aritmetinį vidurkį, kuris, priešingai nei matematinis M|X|žymime M*|X|:

Didėjant eksperimentų skaičiui N dažnius pi priartės (tikimybe suartės) prie atitinkamų tikimybių. Vadinasi, atsitiktinio dydžio stebimų verčių aritmetinis vidurkis M|X| didėjant eksperimentų skaičiui, jis priartės (tikimybe suartės) prie savo matematinių lūkesčių. Aukščiau suformuluotas ryšys tarp aritmetinio vidurkio ir matematinio lūkesčio sudaro vienos iš didelių skaičių dėsnio formų turinį.

Jau žinome, kad visos didelių skaičių dėsnio formos teigia, kad kai kurie vidurkiai yra stabilūs atliekant daugybę eksperimentų. Čia mes kalbame apie aritmetinio vidurkio stabilumą iš to paties dydžio stebėjimų serijos. Atliekant nedidelį skaičių eksperimentų, jų rezultatų aritmetinis vidurkis yra atsitiktinis; pakankamai padidinus eksperimentų skaičių, jis tampa „beveik neatsitiktinis“ ir stabilizuodamasis artėja prie pastovios vertės - matematinio lūkesčio.

Daugelio eksperimentų vidurkių stabilumą galima lengvai patikrinti eksperimentiškai. Pavyzdžiui, sverdami kūną laboratorijoje tiksliomis svarstyklėmis, kiekvieną kartą svėrimo rezultatas gauname naują vertę; Norėdami sumažinti stebėjimo paklaidą, kelis kartus pasveriame kūną ir naudojame gautų reikšmių aritmetinį vidurkį. Nesunku pastebėti, kad toliau didėjant eksperimentų (svėrimų) skaičiui, aritmetinis vidurkis į šį padidėjimą reaguoja vis rečiau ir, atlikus pakankamai daug eksperimentų, praktiškai nustoja keistis.

Pažymėtina, kad svarbiausia atsitiktinio dydžio padėties charakteristika – matematinis lūkestis – egzistuoja ne visiems atsitiktiniams dydžiams. Galima sudaryti tokių atsitiktinių dydžių, kuriems nėra matematinės lūkesčių, pavyzdžius, nes atitinkama suma arba integralas skiriasi. Tačiau tokie atvejai nėra labai svarbūs praktikai. Paprastai atsitiktiniai dydžiai, su kuriais susiduriame, turi ribotą galimų verčių diapazoną ir, žinoma, turi matematinius lūkesčius.

Be svarbiausių atsitiktinio dydžio padėties charakteristikų – matematinio lūkesčio – praktikoje kartais naudojamos ir kitos padėties charakteristikos, ypač atsitiktinio dydžio režimas ir mediana.

Atsitiktinio dydžio režimas yra labiausiai tikėtina jo reikšmė. Sąvoka „labiausiai tikėtina vertė“ griežtai kalbant taikoma tik nepertraukiamiems dydžiams; ištisiniam kiekiui režimas yra reikšmė, kuriai esant tikimybės tankis yra didžiausias. Paveiksluose parodytas atitinkamai nenutrūkstamų ir nuolatinių atsitiktinių dydžių režimas.

Jei pasiskirstymo daugiakampis (paskirstymo kreivė) turi daugiau nei vieną maksimumą, pasiskirstymas vadinamas „daugiarūšiu“.

Kartais yra paskirstymų, kurių minimumas yra viduryje, o ne maksimumas. Tokie paskirstymai vadinami „antimodaliniais“.

Bendru atveju atsitiktinio dydžio režimas ir matematinis lūkestis nesutampa. Konkrečiu atveju, kai skirstinys yra simetriškas ir modalus (t. y. turi modą) ir yra matematinis lūkestis, tada jis sutampa su skirstinio moda ir simetrijos centru.

Dažnai naudojama ir kita padėties charakteristika – vadinamoji atsitiktinio dydžio mediana. Ši charakteristika paprastai naudojama tik nuolatiniams atsitiktiniams dydžiams, nors ji gali būti oficialiai apibrėžta nenutrūkstamam kintamajam. Geometriškai mediana yra taško, kuriame pasiskirstymo kreivės aptvertas plotas yra padalintas per pusę, abscisė.

Simetriško modalinio pasiskirstymo atveju mediana sutampa su matematiniu lūkesčiu ir režimu.

Matematinis lūkestis yra vidutinė atsitiktinio dydžio reikšmė – atsitiktinio dydžio tikimybių skirstinio skaitinė charakteristika. Paprasčiausiu būdu, matematinis atsitiktinio dydžio lūkestis X(w) apibrėžiamas kaip Lebesgue integralas tikimybės mato atžvilgiu R pradinėje tikimybių erdvėje:

Matematinis lūkestis taip pat gali būti apskaičiuojamas kaip Lebesgue integralas X pagal tikimybių pasiskirstymą px kiekiai X:

Atsitiktinio dydžio su begaliniais matematiniais lūkesčiais sąvoka gali būti apibrėžta natūraliu būdu. Tipiškas pavyzdys yra kai kurių atsitiktinių pasivaikščiojimų grįžimo laikas.

Naudojant matematinį lūkestį, nustatomos daugelis skirstinio skaitinių ir funkcinių charakteristikų (kaip atitinkamų atsitiktinio dydžio funkcijų matematinės lūkesčiai), pavyzdžiui, generavimo funkcija, charakteristika, bet kokios eilės momentai, ypač sklaida, kovariacija. .

Matematinis lūkestis yra atsitiktinio dydžio reikšmių vietos charakteristika (vidutinė jo pasiskirstymo vertė). Šiuo atžvilgiu matematinis lūkestis yra tam tikras „tipinis“ pasiskirstymo parametras ir jo vaidmuo yra panašus į statinio momento - masės pasiskirstymo svorio centro koordinatės - vaidmenį mechanikoje. Nuo kitų vietos charakteristikų, kurių pagalba skirstinys aprašomas bendrais bruožais – medianų, modų, matematinis lūkestis skiriasi didesne reikšme, kurią ji ir atitinkama sklaidos charakteristika – dispersija – turi tikimybių teorijos ribinėse teoremose. Matematinio lūkesčio prasmę labiausiai atskleidžia didelių skaičių dėsnis (Čebyševo nelygybė) ir sustiprintas didelių skaičių dėsnis.

Diskretaus atsitiktinio dydžio lūkestis

Tegul yra koks nors atsitiktinis dydis, kuris gali turėti vieną iš kelių skaitinių reikšmių (pavyzdžiui, taškų skaičius metant kauliuką gali būti 1, 2, 3, 4, 5 arba 6). Dažnai praktikoje tokiai vertei kyla klausimas: kokią vertę ji turi „vidutiniškai“ atliekant daugybę testų? Kokios bus mūsų vidutinės pajamos (ar nuostoliai) iš kiekvieno rizikingo sandorio?

Tarkime, yra kažkokia loterija. Norime suprasti, ar apsimoka, ar ne, joje dalyvauti (ar net dalyvauti pakartotinai, reguliariai). Tarkime, kas ketvirtas bilietas yra laimėtojas, prizas bus 300 rublių, o bet kurio bilieto kaina bus 100 rublių. Taip ir atsitinka, kai dalyvauja be galo daug. Tris ketvirtadalius atvejų pralaimėsime, kas trys nuostoliai kainuos 300 rublių. Kas ketvirtu atveju laimėsime 200 rublių. (prizas atėmus kainą), tai yra, už keturis dalyvavimus prarandame vidutiniškai 100 rublių, už vieną - vidutiniškai 25 rublius. Iš viso mūsų griuvėsių vidutinė kaina bus 25 rubliai už bilietą.

Metame kauliukus. Jei tai ne apgaulė (neperkeliant svorio centro ir pan.), tai kiek taškų turėsime vidutiniškai vienu metu? Kadangi kiekvienas variantas yra vienodai tikėtinas, tiesiog imame aritmetinį vidurkį ir gauname 3,5. Kadangi tai VIDUTINIS, nereikia piktintis, kad joks konkretus ritinys nesuteiks 3,5 balo – na, šis kubas neturi veido su tokiu skaičiumi!

Dabar apibendrinkime savo pavyzdžius:

Pažiūrėkime į ką tik pateiktą paveikslėlį. Kairėje yra atsitiktinio dydžio pasiskirstymo lentelė. Reikšmė X gali turėti vieną iš n galimų verčių (rodoma viršutinėje eilutėje). Jokių kitų reikšmių negali būti. Prie kiekvienos galimos reikšmės žemiau parašyta jos tikimybė. Dešinėje yra formulė, kur M(X) vadinamas matematiniu lūkesčiu. Šios vertės reikšmė yra ta, kad atliekant daug testų (su dideliu imtimi), vidutinė vertė bus linkusi į tą patį matematinį lūkestį.

Vėl grįžkime prie to paties žaidimo kubo. Matematinis taškų skaičiaus lūkestis metant yra 3,5 (jei netikite, apskaičiuokite patys pagal formulę). Tarkime, išmetėte porą kartų. Rezultatai buvo 4 ir 6. Vidurkis buvo 5, tai toli gražu nėra 3,5. Metė dar vieną kartą, gavosi 3, tai yra vidutiniškai (4 + 6 + 3)/3 = 4,3333... Kažkaip toli nuo matematinio lūkesčio. Dabar atlikite beprotišką eksperimentą – sukite kubą 1000 kartų! Ir net jei vidurkis nėra tiksliai 3,5, jis bus arti to.

Apskaičiuokime aukščiau aprašytos loterijos matematinį lūkestį. Plokštelė atrodys taip:

Tada matematinė viltis bus tokia, kaip nustatėme aukščiau:

Kitas dalykas, kad tai padaryti „ant pirštų“, be formulės, būtų sunku, jei būtų daugiau galimybių. Na, tarkime, kad būtų 75% prarastų bilietų, 20% laimėtų bilietų ir 5% ypač laimėtų.

Dabar kai kurios matematinių lūkesčių savybės.

Tai lengva įrodyti:

Pastovus veiksnys gali būti paimtas kaip matematinio lūkesčio ženklas, tai yra:

Tai ypatingas matematinio lūkesčio tiesiškumo savybės atvejis.

Kita matematinio lūkesčio tiesiškumo pasekmė:

tai yra atsitiktinių dydžių sumos matematinis lūkestis yra lygus atsitiktinių dydžių matematinių lūkesčių sumai.

Tegul X, Y yra nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai, Tada:

Tai taip pat nesunku įrodyti) Darbas XY pats savaime yra atsitiktinis kintamasis, ir jei pradinės reikšmės galėtų užtrukti n Ir m atitinkamai vertybes XY gali gauti nm vertes. Kiekvienos reikšmės tikimybė apskaičiuojama remiantis tuo, kad nepriklausomų įvykių tikimybės padauginamos. Kaip rezultatas, mes gauname tai:

Ištisinio atsitiktinio dydžio lūkestis

Nuolatiniai atsitiktiniai dydžiai turi tokią charakteristiką kaip pasiskirstymo tankis (tikimybių tankis). Tai iš esmės apibūdina situaciją, kad atsitiktinis kintamasis dažniau paima kai kurias reikšmes iš realiųjų skaičių rinkinio, o kai kurias rečiau. Pavyzdžiui, apsvarstykite šią diagramą:

Čia X- faktinis atsitiktinis dydis, f(x)- pasiskirstymo tankis. Sprendžiant iš šio grafiko, eksperimentų metu vertė X dažnai bus skaičius, artimas nuliui. Šansai viršyti 3 arba būti mažesnis -3 veikiau grynai teorinis.

Pavyzdžiui, tebūnie vienodas paskirstymas:

Tai visiškai atitinka intuityvų supratimą. Tarkime, jei gausime daug atsitiktinių realiųjų skaičių su vienodu pasiskirstymu, kiekvienas segmentas |0; 1| , tada aritmetinis vidurkis turėtų būti apie 0,5.

Čia taip pat galioja diskretiesiems atsitiktiniams dydžiams taikomos matematinio lūkesčio savybės – tiesiškumas ir kt.

Ryšys tarp matematinių lūkesčių ir kitų statistinių rodiklių

Statistinėje analizėje kartu su matematiniu lūkesčiu yra tarpusavyje susijusių rodiklių sistema, atspindinti reiškinių homogeniškumą ir procesų stabilumą. Variacijos rodikliai dažnai neturi savarankiškos reikšmės ir yra naudojami tolesnei duomenų analizei. Išimtis yra variacijos koeficientas, apibūdinantis duomenų homogeniškumą, kuris yra vertinga statistinė charakteristika.

Statistikos mokslo procesų kintamumo ar stabilumo laipsnį galima išmatuoti naudojant kelis rodiklius.

Svarbiausias atsitiktinio dydžio kintamumą apibūdinantis rodiklis yra Sklaida, kuris glaudžiausiai ir tiesiogiai susijęs su matematiniu lūkesčiu. Šis parametras aktyviai naudojamas kitų tipų statistinėje analizėje (hipotezių tikrinimas, priežasties ir pasekmės ryšių analizė ir kt.). Kaip ir vidutinis tiesinis nuokrypis, dispersija taip pat atspindi duomenų sklaidos apie vidutinę vertę mastą.

Naudinga ženklų kalbą išversti į žodžių kalbą. Pasirodo, dispersija yra vidutinis nuokrypių kvadratas. Tai yra, pirmiausia apskaičiuojama vidutinė vertė, tada imamas skirtumas tarp kiekvienos pradinės ir vidutinės vertės, padalinamas kvadratu, pridedamas ir padalinamas iš populiacijos verčių skaičiaus. Skirtumas tarp individualios vertės ir vidurkio atspindi nuokrypio matą. Jis padalytas į kvadratą, kad visi nuokrypiai taptų išskirtinai teigiamais skaičiais ir būtų išvengta abipusio teigiamų ir neigiamų nuokrypių sunaikinimo juos sumuojant. Tada, atsižvelgiant į kvadratinius nuokrypius, tiesiog apskaičiuojame aritmetinį vidurkį. Vidutiniai – kvadratiniai – nuokrypiai. Nuokrypiai skaičiuojami kvadratu ir apskaičiuojamas vidurkis. Atsakymas į stebuklingą žodį „dispersija“ slypi tik trijuose žodžiuose.

Tačiau gryna forma, tokia kaip aritmetinis vidurkis arba indeksas, dispersija nenaudojama. Tai veikiau pagalbinis ir tarpinis rodiklis, naudojamas kitų tipų statistinei analizei. Jame net nėra įprasto matavimo vieneto. Sprendžiant iš formulės, tai yra pirminių duomenų matavimo vieneto kvadratas.

Išmatuokime atsitiktinį kintamąjį N kartų, pavyzdžiui, dešimt kartų matuojame vėjo greitį ir norime rasti vidutinę reikšmę. Kaip vidutinė vertė yra susijusi su pasiskirstymo funkcija?

Arba messime kauliuką daug kartų. Taškų skaičius, kuris atsiras ant kauliuko su kiekvienu metimu, yra atsitiktinis dydis ir gali turėti bet kokią natūralią reikšmę nuo 1 iki 6. Visiems kauliukų metimams apskaičiuotas kritusių taškų aritmetinis vidurkis taip pat yra atsitiktinis dydis, bet dideliems N jis linkęs į labai konkretų skaičių – matematinį lūkestį Mx. Šiuo atveju Mx = 3,5.

Kaip gavote šią vertę? Įleisti N bandymai n1 kai gausite 1 tašką, n2 vieną kartą – 2 taškai ir pan. Tada rezultatų, kai sumažėjo vienas taškas, skaičius:

Panašiai ir rezultatams, kai metami 2, 3, 4, 5 ir 6 taškai.

Tarkime, kad žinome atsitiktinio dydžio x pasiskirstymo dėsnį, tai yra, žinome, kad atsitiktinis dydis x gali turėti reikšmes x1, x2, ..., xk su tikimybėmis p1, p2, ..., pk.

Atsitiktinio dydžio x matematinė lūkestis Mx yra lygi:

Matematinis lūkestis ne visada yra pagrįstas kokio nors atsitiktinio kintamojo įvertinimas. Taigi vidutiniam darbo užmokesčiui įvertinti tikslingiau vartoti medianos sąvoką, ty tokią reikšmę, kad sutaptų žmonių, gaunančių mažesnį už medianą ir didesnį atlyginimą, skaičius.

Tikimybė p1, kad atsitiktinis dydis x bus mažesnis už x1/2, ir tikimybė p2, kad atsitiktinis dydis x bus didesnis už x1/2, yra vienoda ir lygi 1/2. Mediana nenustatoma vienareikšmiškai visiems skirstiniams.

Standartinis arba standartinis nuokrypis statistikoje vadinamas stebėjimo duomenų ar aibių nuokrypio nuo VIDUTINĖS reikšmės laipsnis. Žymima s arba s raidėmis. Mažas standartinis nuokrypis rodo, kad duomenys telkiasi aplink vidurkį, o didelis standartinis nuokrypis rodo, kad pradiniai duomenys yra toli nuo jo. Standartinis nuokrypis yra lygus dydžio, vadinamo dispersija, kvadratinei šaknei. Tai yra pradinių duomenų, nukrypusių nuo vidutinės reikšmės, skirtumų kvadrato sumos vidurkis. Atsitiktinio dydžio standartinis nuokrypis yra dispersijos kvadratinė šaknis:

Pavyzdys. Bandymo sąlygomis šaudydami į taikinį apskaičiuokite sklaidą ir vidurkį standartinis nuokrypis atsitiktinis kintamasis:

Variacija- charakteristikos vertės svyravimas, kintamumas tarp populiacijos vienetų. Individualios skaitinės charakteristikos reikšmės, rastos tiriamoje populiacijoje, vadinamos verčių variantais. Vidutinės reikšmės nepakankamumas pilnai apibūdinti populiaciją verčia papildyti vidutines reikšmes rodikliais, leidžiančiais įvertinti šių vidurkių tipiškumą, matuojant tiriamos charakteristikos kintamumą (variaciją). Variacijos koeficientas apskaičiuojamas pagal formulę:

Variacijų diapazonas(R) reiškia skirtumą tarp didžiausių ir mažiausių požymio verčių tiriamoje populiacijoje. Šis indikatorius suteikia bendriausią idėją apie tiriamos charakteristikos kintamumą, nes jis rodo skirtumą tik tarp didžiausių parinkčių verčių. Priklausomybė nuo kraštutinių charakteristikos verčių suteikia variacijos sferai nestabilų, atsitiktinį pobūdį.

Vidutinis tiesinis nuokrypis reiškia absoliutų (modulio) visų analizuojamos populiacijos verčių nuokrypių nuo jų vidutinės vertės aritmetinį vidurkį:

Matematiniai lūkesčiai azartinių lošimų teorijoje

Matematinis lūkestis yra Vidutinė pinigų suma, kurią lošėjas gali laimėti arba prarasti atlikdamas tam tikrą statymą. Tai labai svarbi sąvoka žaidėjui, nes ji yra labai svarbi daugelio žaidimų situacijų įvertinimui. Matematiniai lūkesčiai taip pat yra optimalus įrankis analizuojant pagrindinius kortelių išdėstymus ir žaidimų situacijas.

Tarkime, kad žaidžiate monetų žaidimą su draugu ir kiekvieną kartą statote vienodai 1 USD, nesvarbu, kas nutiktų. Uodegos reiškia, kad laimite, galvos reiškia, kad pralaimite. Šansai yra vienas prieš vieną, kad jis susilauks galvų, todėl statote nuo 1 USD iki 1 USD. Taigi jūsų matematiniai lūkesčiai yra lygūs nuliui, nes Žvelgiant iš matematinio taško, po dviejų metimų ar po 200 negali žinoti, ar pirmauja, ar pralaimėsi.

Jūsų valandinis pelnas yra lygus nuliui. Valandos laimėjimai yra pinigų suma, kurią tikitės laimėti per valandą. Galite mesti monetą 500 kartų per valandą, bet nelaimėsite ir nepralaimėsite, nes... jūsų šansai nėra nei teigiami, nei neigiami. Jei pažiūrėtumėte, rimto žaidėjo požiūriu, ši lažybų sistema nėra bloga. Bet tai tiesiog laiko švaistymas.

Bet tarkime, kad kažkas nori statyti 2 USD prieš jūsų 1 USD už tą patį žaidimą. Tada iš karto tikisi 50 centų iš kiekvieno statymo. Kodėl 50 centų? Vidutiniškai laimi vieną statymą, o pralaimi antrą. Statykite už pirmąjį dolerį ir prarasite 1 USD, statykite antroje ir laimėsite 2 USD. Jūs statote 1 USD du kartus ir esate priekyje 1 USD. Taigi kiekvienas jūsų vieno dolerio statymas davė 50 centų.

Jei per vieną valandą moneta pasirodys 500 kartų, jūsų valandinis laimėjimas jau bus 250 USD, nes... Vidutiniškai vieną dolerį praradote 250 kartų, o du dolerius laimėjote 250 kartų. 500 USD minus 250 USD yra lygus 250 USD, tai yra bendras laimėjimas. Atkreipkite dėmesį, kad numatoma vertė, kuri yra vidutinė suma, kurią laimite už statymą, yra 50 centų. Jūs laimėjote 250 USD statydami po dolerį 500 kartų, tai yra 50 centų už statymą.

Matematiniai lūkesčiai neturi nieko bendra su trumpalaikiais rezultatais. Jūsų oponentas, nusprendęs prieš jus statyti 2 USD, galėjo jus įveikti pirmus dešimt metimų iš eilės, tačiau jūs, turėdami statymo pranašumą 2:1, jei visi kiti dalykai yra vienodi, uždirbsite 50 centų už kiekvieną 1 USD statymą aplinkybės. Nesvarbu, ar laimite, ar pralaimite vieną statymą, ar kelis statymus, jei turite pakankamai pinigų, kad galėtumėte patogiai padengti išlaidas. Jei ir toliau statysite taip pat, tai per ilgą laiką jūsų laimėjimai priartės prie lūkesčių sumos atskirais metimais.

Kiekvieną kartą, kai atliekate geriausią statymą (statymas, kuris ilgainiui gali būti pelningas), kai šansai yra jūsų naudai, jūs privalote ką nors laimėti, nesvarbu, ar pralaimėsite, ar ne. duota ranka. Atvirkščiai, jei atliekate statymą, kuris yra nepalankus (ilguoju laikotarpiu nepelningas), kai šansai yra prieš jus, jūs ką nors prarandate, nepaisant to, ar laimite, ar pralaimite kortą.

Jūs atliekate statymą su geriausiu rezultatu, jei jūsų lūkesčiai yra teigiami, ir jis yra teigiamas, jei šansai yra jūsų pusėje. Kai statote blogiausią rezultatą, turite neigiamų lūkesčių, o tai atsitinka, kai šansai yra prieš jus. Rimti žaidėjai stato tik už geriausią rezultatą; jei atsitinka blogiausia, jie nusimeta. Ką reiškia šansai jūsų naudai? Galite laimėti daugiau, nei duoda realūs šansai. Tikrasis nusileidimo šansai yra 1:1, bet jūs gaunate 2:1 dėl šansų santykio. Šiuo atveju šansai yra jūsų naudai. Jūs tikrai gausite geriausią rezultatą, tikėdamiesi 50 centų už statymą.

Čia yra sudėtingesnis matematinio lūkesčio pavyzdys. Draugas užrašo skaičius nuo vieno iki penkių ir stato 5 USD prieš jūsų 1 USD, kad jūs neatspėsite skaičiaus. Ar turėtumėte sutikti su tokiu statymu? Ko čia tikėtis?

Vidutiniškai klysite keturis kartus. Remiantis tuo, tikimybė, kad jūs atspėsite skaičių, yra 4:1. Tikimybė, kad prarasite dolerį vienu bandymu. Tačiau jūs laimite 5:1, su galimybe pralaimėti 4:1. Taigi šansai yra jūsų naudai, galite atlikti statymą ir tikėtis geriausio rezultato. Jei atliksite šį statymą penkis kartus, vidutiniškai keturis kartus prarasite 1 USD ir vieną kartą laimėsite 5 USD. Remiantis tuo, už visus penkis bandymus uždirbsite 1 USD, o matematiškai tikimasi 20 centų už statymą.

Žaidėjas, kuris ketina laimėti daugiau nei stato, kaip aukščiau pateiktame pavyzdyje, rizikuoja. Priešingai, jis sugadina savo šansus, kai tikisi laimėti mažiau, nei stato. Lažytojas gali turėti teigiamų arba neigiamų lūkesčių, kurie priklauso nuo to, ar jis laimi, ar sugriaus šansus.

Jei statysite 50 USD, kad laimėtumėte 10 USD su 4:1 tikimybe laimėti, gausite neigiamą 2 USD lūkesčius, nes Vidutiniškai keturis kartus laimėsite 10 USD ir vieną kartą prarasite 50 USD, o tai rodo, kad nuostolis už statymą bus 10 USD. Bet jei statote 30 USD, kad laimėtumėte 10 USD, o tikimybė laimėti 4:1, tada šiuo atveju tikisi 2 USD, nes jūs vėl keturis kartus laimite 10 USD ir vieną kartą pralaimite 30 USD, gaudami 10 USD pelną. Šie pavyzdžiai rodo, kad pirmasis statymas yra blogas, o antrasis yra geras.

Matematiniai lūkesčiai yra bet kokios žaidimo situacijos centras. Kai lažybų tarpininkas skatina futbolo gerbėjus statyti 11 USD, kad laimėtų 10 USD, jis tikisi 50 centų už kiekvieną 10 USD. Jei kazino moka net pinigus iš leidimo linijos, tada kazino teigiamas lūkestis bus maždaug 1,40 USD už kiekvieną 100 USD, nes Šis žaidimas sukonstruotas taip, kad kiekvienas, kuris stato šioje eilutėje, vidutiniškai pralaimi 50,7% ir laimi 49,3% viso laiko. Be jokios abejonės, būtent šis, atrodytų, minimalus teigiamas lūkestis atneša milžinišką pelną kazino savininkams visame pasaulyje. Kaip pažymėjo „Vegas World“ kazino savininkas Bobas Stupakas, „vieno procento neigiama tikimybė per pakankamai ilgą atstumą sužlugdys turtingiausią pasaulio žmogų“.

Lūkesčiai žaidžiant pokerį

Pokerio žaidimas yra iliustratyviausias ir iliustratyviausias pavyzdys matematinių lūkesčių teorijos ir savybių panaudojimo požiūriu.

Tikėtina vertė pokeryje yra vidutinė nauda iš konkretaus sprendimo, su sąlyga, kad toks sprendimas gali būti svarstomas didelių skaičių ir ilgo nuotolio teorijos rėmuose. Sėkmingas pokerio žaidimas yra visada priimti ėjimus, kurių laukiama vertė yra teigiama.

Matematinė matematinio lūkesčio prasmė žaidžiant pokerį yra ta, kad priimdami sprendimus dažnai susiduriame su atsitiktiniais dydžiais (nežinome, kokias kortas turi oponentas rankose, kokios kortos ateis kituose statymų raunduose). Turime apsvarstyti kiekvieną iš sprendinių didelių skaičių teorijos požiūriu, kuri teigia, kad esant pakankamai didelei imčiai, atsitiktinio dydžio vidutinė reikšmė atitiks jo matematinius lūkesčius.

Tarp konkrečių matematinių lūkesčių skaičiavimo formulių pokeryje labiausiai tinka šios:

Žaidžiant pokerį galima apskaičiuoti numatomą statymų ir skambučių vertę. Pirmuoju atveju reikia atsižvelgti į kapitalą, o antruoju – į paties banko šansus. Vertindami matematinius lūkesčius dėl konkretaus ėjimo, turėtumėte atsiminti, kad sulenkimas visada turi nulinį lūkestį. Taigi kortų išmetimas visada bus pelningesnis sprendimas nei bet koks neigiamas žingsnis.

Lūkesčiai nurodo, ko galite tikėtis (pelno ar nuostolių) už kiekvieną rizikuojamą dolerį. Kazino uždirba pinigus, nes visų juose žaidžiamų žaidimų matematiniai lūkesčiai yra palankūs kazino. Turėdami pakankamai ilgą žaidimų seriją, galite tikėtis, kad klientas praras savo pinigus, nes „šansai“ yra kazino naudai. Tačiau profesionalūs kazino žaidėjai riboja savo žaidimus trumpais laikotarpiais, taip susidėliodami šansus savo naudai. Tas pats pasakytina ir apie investavimą. Jei jūsų lūkesčiai yra teigiami, galite uždirbti daugiau pinigų atlikdami daug sandorių per trumpą laiką. Tikėtis yra jūsų pelno, tenkančio vienam laimėjimui, procentas, padaugintas iš vidutinio pelno, atėmus jūsų praradimo tikimybę, padaugintą iš vidutinio nuostolio.

Pokeris taip pat gali būti vertinamas matematinių lūkesčių požiūriu. Galite manyti, kad tam tikras žingsnis yra pelningas, tačiau kai kuriais atvejais jis gali būti ne pats geriausias, nes kitas žingsnis yra pelningesnis. Tarkime, penkių kortų traukimo pokeryje pasiekėte pilną namą. Jūsų priešininkas atlieka statymą. Jūs žinote, kad jei padidinsite statymą, jis atsakys. Todėl kėlimas atrodo geriausia taktika. Bet jei padidinsite statymą, likę du žaidėjai tikrai nusimes. Bet jei skambinate, esate visiškai tikri, kad kiti du žaidėjai už jūsų padarys tą patį. Kai padidinate statymą, gaunate vieną vienetą, o kai tik skambinate, gaunate du. Taigi, skambinimas suteikia jums didesnę teigiamą tikėtiną vertę ir bus geriausia taktika.

Matematinis lūkestis taip pat gali padėti suprasti, kuri pokerio taktika yra mažiau pelninga, o kuri – pelningesnė. Pavyzdžiui, jei žaidžiate tam tikrą kombinaciją ir manote, kad jūsų pralaimėjimas bus vidutiniškai 75 centai, įskaitant ante, tuomet turėtumėte žaisti tą ranką, nes tai geriau nei sulankstyti, kai ante yra 1 USD.

Kita svarbi priežastis suprasti tikėtinos vertės sąvoką yra ta, kad ji suteikia jums ramybės jausmą, ar laimėsite statymą, ar ne: jei padarėte gerą statymą arba nusimetėte tinkamu laiku, žinosite, kad uždirbote arba sutaupė tam tikrą pinigų sumą, kurios silpnesnis žaidėjas negalėjo sutaupyti. Daug sunkiau nusimesti, jei esate nusiminęs, nes jūsų priešininkas ištraukė stipresnę ranką. Dėl viso to pinigai, kuriuos sutaupote nežaisdami, o ne lažindami, pridedami prie jūsų nakties ar mėnesio laimėjimo.

Tiesiog atminkite, kad jei pakeitėte rankas, jūsų oponentas būtų jums paskambinęs, ir, kaip pamatysite Fundamentalios pokerio teoremos straipsnyje, tai tik vienas iš jūsų privalumų. Turėtumėte džiaugtis, kai tai atsitiks. Jūs netgi galite išmokti džiaugtis pralaimėję ranką, nes žinote, kad kiti jūsų pozicijos žaidėjai būtų praradę daug daugiau.

Kaip minėta pradžioje monetų žaidimo pavyzdyje, valandinė pelno norma yra susijusi su matematiniais lūkesčiais, o ši sąvoka ypač svarbi profesionaliems žaidėjams. Kai einate žaisti pokerio, turėtumėte mintyse įvertinti, kiek galite laimėti per žaidimo valandą. Daugeliu atvejų turėsite pasikliauti savo intuicija ir patirtimi, tačiau taip pat galite naudoti šiek tiek matematikos. Pavyzdžiui, žaidžiate loteriją ir matote, kad trys žaidėjai stato 10 USD, o tada apsikeičia dviem kortomis, o tai yra labai bloga taktika. Galite suprasti, kad kiekvieną kartą statydami 10 USD, jie pralaimi apie 2 USD. Kiekvienas iš jų tai daro aštuonis kartus per valandą, o tai reiškia, kad visi trys praranda maždaug 48 USD per valandą. Jūs esate vienas iš likusių keturių žaidėjų, kurie yra maždaug lygūs, todėl šie keturi žaidėjai (ir jūs tarp jų) turi padalinti 48 USD, kiekvienas uždirbdamas 12 USD per valandą pelno. Jūsų valandinis koeficientas šiuo atveju yra tiesiog lygus jūsų trijų blogų žaidėjų per valandą prarastos pinigų sumos daliai.

Per ilgą laiką bendras žaidėjo laimėjimas yra jo matematinių lūkesčių atskirose rankose suma. Kuo daugiau rankų žaisite su teigiamais lūkesčiais, tuo daugiau laimite, ir atvirkščiai, kuo daugiau rankų žaidžiate su neigiamais lūkesčiais, tuo daugiau pralaimite. Todėl turėtumėte pasirinkti žaidimą, kuris gali maksimaliai padidinti jūsų teigiamus lūkesčius arba paneigti jūsų neigiamus lūkesčius, kad galėtumėte maksimaliai padidinti valandinį laimėjimą.

Teigiami matematiniai lūkesčiai žaidimų strategijoje

Jei mokate skaičiuoti kortas, galite turėti pranašumą prieš kazino, kol jie jūsų nepastebės ir išmes. Kazino mėgsta girtus žaidėjus ir netoleruoja kortų skaičiavimo žaidėjų. Privalumas leis jums laimėti daugiau kartų nei laimėti per tam tikrą laiką. Geras pinigų valdymas naudojant numatomos vertės skaičiavimus gali padėti gauti daugiau pelno iš savo pranašumo ir sumažinti nuostolius. Neturėdami pranašumo geriau skirsite pinigus labdarai. Žaidime biržoje pranašumą suteikia žaidimų sistema, kuri sukuria didesnį pelną nei nuostoliai, kainų skirtumai ir komisiniai. Joks pinigų valdymas negali išgelbėti blogos žaidimų sistemos.

Teigiamas lūkestis apibrėžiamas kaip vertė, didesnė už nulį. Kuo didesnis šis skaičius, tuo stipresni statistiniai lūkesčiai. Jei reikšmė mažesnė už nulį, matematinis lūkestis taip pat bus neigiamas. Kuo didesnis neigiamos reikšmės modulis, tuo prastesnė situacija. Jei rezultatas lygus nuliui, laukimas yra nenutrūkstamas. Galite laimėti tik tada, kai turite teigiamų matematinių lūkesčių ir pagrįstą žaidimo sistemą. Žaidimas pagal intuiciją veda į nelaimę.

Matematiniai lūkesčiai ir prekyba akcijomis

Matematinis lūkestis yra gana plačiai naudojamas ir populiarus statistinis rodiklis vykdant biržos prekybą finansų rinkose. Visų pirma, šis parametras naudojamas prekybos sėkmės analizei. Nesunku atspėti, kad kuo ši vertė didesnė, tuo daugiau priežasčių laikyti tiriamą prekybą sėkminga. Žinoma, prekiautojo darbo analizė negali būti atlikta naudojant vien šį parametrą. Tačiau apskaičiuota vertė, kartu su kitais darbo kokybės vertinimo metodais, gali žymiai padidinti analizės tikslumą.

Prekybos sąskaitų stebėjimo paslaugose dažnai skaičiuojamas matematinis lūkestis, leidžiantis greitai įvertinti su indėliu atliktus darbus. Išimtys apima strategijas, kuriose naudojami nepelningi sandoriai. Prekybininkui kurį laiką gali pasisekti, todėl jo darbe gali nebūti jokių nuostolių. Tokiu atveju nebus galima vadovautis vien matematiniu lūkesčiu, nes nebus atsižvelgta į darbe naudojamą riziką.

Prekyboje rinkoje matematinis lūkestis dažniausiai naudojamas prognozuojant bet kokios prekybos strategijos pelningumą arba prognozuojant prekiautojo pajamas pagal statistinius duomenis iš ankstesnės prekybos.

Kalbant apie pinigų valdymą, labai svarbu suprasti, kad atliekant sandorius su neigiamais lūkesčiais, nėra pinigų valdymo schemos, kuri neabejotinai galėtų atnešti didelį pelną. Jei ir toliau žaisite akcijų rinkoje tokiomis sąlygomis, nepriklausomai nuo to, kaip valdote savo pinigus, prarasite visą savo sąskaitą, nesvarbu, kokia ji buvo iš pradžių.

Ši aksioma galioja ne tik žaidimams ar sandoriams su neigiamais lūkesčiais, bet ir žaidimams su lygiomis galimybėmis. Todėl vienintelis atvejis, kai turite galimybę užsidirbti ilgalaikėje perspektyvoje, yra sandoriai, kurių numatoma vertė yra teigiama.

Skirtumas tarp neigiamų lūkesčių ir teigiamų lūkesčių yra skirtumas tarp gyvenimo ir mirties. Nesvarbu, koks teigiamas ar neigiamas yra lūkestis; Svarbu tik tai, ar jis teigiamas, ar neigiamas. Todėl prieš pradėdami tvarkyti pinigus, turėtumėte susirasti žaidimą su pozityviais lūkesčiais.

Jei neturite to žaidimo, tada visas pasaulio pinigų valdymas jūsų neišgelbės. Kita vertus, jei turite teigiamų lūkesčių, tinkamai valdydami pinigus galite tai paversti eksponentinės augimo funkcija. Nesvarbu, kokie maži yra teigiami lūkesčiai! Kitaip tariant, nesvarbu, kiek pelninga yra prekybos sistema, pagrįsta viena sutartimi. Jei turite sistemą, kuri laimi 10 USD už vieną kontraktą už sandorį (po komisinių ir praslydimo), galite naudoti pinigų valdymo metodus, kad ji būtų pelningesnė nei sistema, kuri vidutiniškai kainuoja 1000 USD už sandorį (atėmus komisinius ir praslydimą).

Svarbu ne tai, kiek sistema buvo pelninga, o tai, ar galima sakyti, kad sistema ateityje duos bent minimalų pelną. Todėl svarbiausias prekiautojo pasiruošimas yra užtikrinti, kad sistema ateityje parodys teigiamą tikėtiną vertę.

Norint turėti teigiamą numatomą vertę ateityje, labai svarbu neapriboti savo sistemos laisvės laipsnių. Tai pasiekiama ne tik pašalinus arba sumažinus optimizuojamų parametrų skaičių, bet ir sumažinus kuo daugiau sistemos taisyklių. Kiekvienas jūsų pridėtas parametras, kiekviena jūsų nustatyta taisyklė, kiekvienas mažas sistemos pakeitimas sumažina laisvės laipsnių skaičių. Idealiu atveju jums reikia sukurti gana primityvią ir paprastą sistemą, kuri nuolat generuotų nedidelį pelną beveik bet kurioje rinkoje. Vėlgi, jums svarbu suprasti, kad nesvarbu, kiek pelninga yra sistema, kol ji yra pelninga. Prekyboje uždirbti pinigai bus uždirbti efektyviai valdydami pinigus.

Prekybos sistema yra tiesiog įrankis, suteikiantis teigiamą tikėtiną vertę, kad galėtumėte valdyti pinigus. Sistemos, kurios veikia (rodo bent minimalų pelną) tik vienoje ar keliose rinkose arba turi skirtingas taisykles ar parametrus skirtingoms rinkoms, greičiausiai neveiks realiu laiku pakankamai ilgai. Daugumos techniškai orientuotų prekiautojų problema yra ta, kad jie praleidžia per daug laiko ir pastangų optimizuodami įvairias prekybos sistemos taisykles ir parametrų reikšmes. Tai duoda visiškai priešingus rezultatus. Užuot eikvoję energiją ir kompiuterio laiką prekybos sistemos pelno didinimui, nukreipkite savo energiją į minimalaus pelno gavimo patikimumo lygį.

Žinodamas, kad pinigų valdymas tėra skaičių žaidimas, reikalaujantis teigiamų lūkesčių, prekiautojas gali nustoti ieškoti „šventojo gralio“ akcijų prekybos. Vietoj to jis gali pradėti testuoti savo prekybos metodą, išsiaiškinti, kiek šis metodas yra logiškas ir ar jis teikia teigiamų lūkesčių. Tinkami pinigų valdymo metodai, taikomi bet kokiems, net ir labai vidutiniams prekybos metodams, likusį darbą atliks patys.

Kad bet kuris prekybininkas sėkmingai dirbtų savo darbą, jam reikia išspręsti tris svarbiausias užduotis: . Užtikrinti, kad sėkmingų operacijų skaičius viršytų neišvengiamų klaidų ir klaidingų skaičiavimų skaičių; Susikurkite savo prekybos sistemą taip, kad turėtumėte galimybę kuo dažniau užsidirbti pinigų; Pasiekite stabilių teigiamų savo operacijų rezultatų.

Ir čia mums, dirbantiems prekybininkams, matematinis lūkestis gali labai padėti. Šis terminas yra vienas iš pagrindinių tikimybių teorijos terminų. Su jo pagalba galite pateikti vidutinį tam tikros atsitiktinės vertės įvertinimą. Atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis yra panašus į svorio centrą, jei visas įmanomas tikimybes įsivaizduojate kaip skirtingų masių taškus.

Kalbant apie prekybos strategiją, jos efektyvumui įvertinti dažniausiai naudojamas matematinis pelno (ar nuostolio) lūkestis. Šis parametras apibrėžiamas kaip nurodytų pelno ir nuostolių lygių produktų ir jų atsiradimo tikimybės suma. Pavyzdžiui, parengtoje prekybos strategijoje daroma prielaida, kad 37% visų sandorių atneš pelną, o likusi dalis – 63% – bus nuostolingi. Tuo pačiu metu vidutinės pajamos iš sėkmingo sandorio bus 7 USD, o vidutinis nuostolis – 1,4 USD. Apskaičiuokime matematinius prekybos lūkesčius naudodami šią sistemą:

Ką reiškia šis skaičius? Jame rašoma, kad, vadovaujantis šios sistemos taisyklėmis, vidutiniškai iš kiekvienos uždarytos operacijos gausime 1708 USD. Kadangi gautas naudingumo koeficientas yra didesnis nei nulis, tokia sistema gali būti naudojama realiam darbui. Jei dėl skaičiavimo matematinis lūkestis pasirodo neigiamas, tai jau rodo vidutinį nuostolį ir tokia prekyba sukels žlugimą.

Vieno sandorio pelno suma taip pat gali būti išreikšta santykine verte % forma. Pavyzdžiui:

– pajamų procentas už 1 sandorį - 5%;

– sėkmingų prekybos operacijų procentas - 62%;

– nuostolio procentas už 1 sandorį - 3%;

– nesėkmingų sandorių procentas - 38%;

Tai yra, vidutinė prekyba atneš 1,96%.

Galima sukurti sistemą, kuri, nepaisant nepelningų sandorių vyravimo, duos teigiamą rezultatą, nes jos MO>0.

Tačiau vien laukti neužtenka. Sunku užsidirbti pinigų, jei sistema duoda labai mažai prekybos signalų. Tokiu atveju jos pelningumas bus panašus į banko palūkanas. Tegul kiekviena operacija atneša vidutiniškai tik 0,5 dolerio, bet kas, jei sistema apima 1000 operacijų per metus? Tai bus labai reikšminga suma per palyginti trumpą laiką. Iš to logiškai išplaukia, kad kitas skiriamasis ženklas gali būti laikoma gera prekybos sistema trumpalaikis užimančias pareigas.

Šaltiniai ir nuorodos

dic.academic.ru – akademinis internetinis žodynas

mathematics.ru – mokomoji matematikos svetainė

nsu.ru – Novosibirsko valstybinio universiteto mokomoji svetainė

webmath.ru – edukacinis portalas studentams, pretendentams ir moksleiviams.

exponenta.ru mokomoji matematinė svetainė

ru.tradimo.com – nemokama internetinė mokykla prekyba

crypto.hut2.ru – daugiadalykė informacijos šaltinis

poker-wiki.ru – nemokama pokerio enciklopedija

sernam.ru – Mokslinė rinktinių gamtos mokslų leidinių biblioteka

reshim.su – svetainė MES SPRĘSIME bandomųjų kursinių darbų problemas

unfx.ru – Forex UNFX: mokymai, prekybos signalai, pasitikėjimo valdymas

slovopedia.com – Didysis enciklopedinis žodynas Slovopedia

pokermansion.3dn.ru – Jūsų vadovas pokerio pasaulyje

statanaliz.info – informacinis tinklaraštis „Statistinių duomenų analizė“

forex-trader.rf – Forex-Trader portalas

megafx.ru – dabartinė Forex analizė

fx-by.com – viskas prekybininkui

Atsitiktinio dydžio X matematinė prognozė (vidutinė vertė), pateikta diskrečioje tikimybių erdvėje, yra skaičius m =M[X]=∑x i p i, jei eilutė absoliučiai suartėja.

Paslaugos paskirtis. Naudodamiesi paslauga internetinis režimas apskaičiuojama matematinė prognozė, dispersija ir standartinis nuokrypis(žr. pavyzdį). Be to, nubraižytas skirstinio funkcijos F(X) grafikas.

Atsitiktinio dydžio matematinio lūkesčio savybės

1. Matematinis pastovios reikšmės lūkestis lygus sau pačiam: M[C]=C, C – konstanta;
2. M=C M[X]
3. Atsitiktinių dydžių sumos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sumai: M=M[X]+M[Y]
4. Nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai: M=M[X] M[Y] , jei X ir Y yra nepriklausomi.

Dispersijos savybės

1. Konstantos reikšmės dispersija lygi nuliui: D(c)=0.
2. Pastovų koeficientą galima ištraukti iš po dispersijos ženklo, padalijus jį kvadratu: D(k*X)= k 2 D(X).
3. Jeigu atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra nepriklausomi, tai sumos dispersija lygi dispersijų sumai: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. Jei atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra priklausomi: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. Sklaidai tinka ši skaičiavimo formulė:
   D(X) = M(X 2)-(M(X)) 2

Pavyzdys. Žinomi dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių X ir Y matematiniai lūkesčiai ir dispersijos: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Raskite atsitiktinio dydžio Z=9X-8Y+7 matematinę lūkestį ir dispersiją.
Sprendimas. Remiantis matematinio lūkesčio savybėmis: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
Remiantis dispersijos savybėmis: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81 * 9 - 64 * 6 = 345

Matematinės lūkesčių skaičiavimo algoritmas

1. Poras dauginame po vieną: x i iš p i .
2. Sudėkite kiekvienos poros sandaugą x i p i .
   Pavyzdžiui, jei n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

1 pavyzdys.

2 pavyzdys. Diskretus atsitiktinis kintamasis turi tokią pasiskirstymo eilutę:

Sprendimas. A reikšmė randama iš santykio: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 arba 0,24 = 3 a , iš kur a = 0,08

3 pavyzdys. Nustatykite diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį, jei žinoma jo dispersija, ir x 1 x 1 = 6; x 2 =9; x 3 =x; x 4 = 15
p 1 =0,3; p 2 = 0,3; p 3 = 0,1; p 4 =0,3
d(x)=12,96

Sprendimas.
Čia reikia sukurti dispersijos d(x) nustatymo formulę:
d(x) = x 1 2 p 1 + x 2 2 p 2 + x 3 2 p 3 + x 4 2 p 4 -m(x) 2
kur lūkestis m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Mūsų duomenims
m(x)=6*0,3+9*0,3+x3 *0,1+15*0,3=9+0,1x3
12,96 = 6 2 0,3 + 9 2 0,3 + x 3 2 0,1 + 15 2 0,3-(9 + 0,1 x 3) 2
arba -9/100 (x 2 -20x+96) = 0
Atitinkamai, turime rasti lygties šaknis, ir jų bus dvi.
x 3 = 8, x 3 = 12
Pasirinkite tą, kuris atitinka sąlygą x 1 x 3 = 12

Diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis
x 1 = 6; x 2 =9; x 3 = 12; x 4 = 15
p 1 =0,3; p 2 = 0,3; p 3 = 0,1; p 4 =0,3