Sa konsepto ng golden ratio. Banal na pagkakaisa: ano ang ginintuang ratio sa mga simpleng salita

"Golden Ratio" ay matagal nang naging kasingkahulugan ng salitang "harmony". Kolokasyon « gintong ratio» Mayroon lamang itong mahiwagang epekto. Kung nagsasagawa ka ng ilang uri ng artistikong komisyon (hindi mahalaga kung ito ay isang pagpipinta, eskultura o disenyo), ang pariralang "ang gawain ay ginawa nang buong alinsunod sa mga patakaran gintong ratio"Maaaring maging isang mahusay na argumento sa iyong pabor - ang customer ay malamang na hindi magagawang suriin, ngunit ito ay tunog solid at nakakumbinsi. Kasabay nito, kakaunti ang nakakaunawa kung ano ang nakatago sa ilalim ng mga salitang ito. Samantala, alamin kung ano ito gintong ratio at kung paano ito gumagana ay medyo simple.

Ang golden ratio ay isang dibisyon ng isang segment sa 2 proporsyonal na bahagi, kung saan ang kabuuan ay sa mas malaking bahagi habang ang mas malaki ay sa mas maliit. . Sa matematika, ang formula na ito ay ganito ang hitsura: Sa : b = b : a o a : b = b : c.

Ang resulta ng algebraic na solusyon ng proporsyon na ito ay ang hindi makatwiran na numero Ф (Ф bilang parangal sa sinaunang Greek sculptor na si Phidias).

Hindi ko ibibigay ang equation mismo para hindi ma-load ang text. Kung ninanais, madali itong mahanap sa Internet. Sasabihin ko lang na ang F ay magiging tinatayang katumbas ng 1.618. Tandaan ang numerong ito, ito ay numeric na expression gintong ratio.

Kaya, gintong ratio– ito ang tuntunin ng proporsyon, ito ay nagpapakita ng ugnayan sa pagitan ng mga bahagi at kabuuan.

Sa anumang segment maaari kang makahanap ng isang "gintong punto" - isang punto na naghahati sa segment na ito sa mga bahagi na itinuturing na magkakasuwato. Alinsunod dito, maaari mo ring hatiin ang anumang bagay. Halimbawa, gumawa tayo ng isang parihaba na hinati alinsunod sa proporsyon na "ginintuang":

Ang ratio ng mas malaking bahagi ng nagreresultang parihaba sa mas maliit ay magiging humigit-kumulang 1.6 (tandaan na ang mas maliit na parihaba na magreresulta mula sa konstruksyon ay magiging ginintuang din).

Sa pangkalahatan, sa mga artikulong nagpapaliwanag ng prinsipyo gintong ratio, mayroong maraming katulad na mga guhit. Ito ay ipinaliwanag nang simple: ang katotohanan ay ang paghahanap ng "gintong punto" sa pamamagitan ng maginoo na pagsukat ay may problema, dahil ang bilang na F, tulad ng naaalala natin, ay hindi makatwiran. Ngunit ang mga naturang problema ay madaling malutas gamit ang mga geometric na pamamaraan, gamit ang isang compass at isang ruler.

Gayunpaman, ang pagkakaroon ng isang compass ay hindi kinakailangan upang mailapat ang batas sa pagsasanay. Mayroong isang bilang ng mga numero na itinuturing na isang arithmetic expression ng gintong ratio. Ito Serye ng Fibonacci . Ito ang hilera:

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 atbp.

Hindi kailangang isaulo ang sequence na ito; madali itong makalkula: ang bawat numero sa serye ng Fibonacci ay katumbas ng kabuuan ng nakaraang dalawang 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34, atbp., at ang ratio ng mga katabing numero sa serye ay lumalapit sa ratio ng gintong dibisyon. Kaya, 21: 34 = 0.617, at 34: 55 = 0.618.

Isa sa mga pinaka sinaunang (at kaakit-akit pa rin) na mga simbolo, ang pentagram ay isang mahusay na paglalarawan ng prinsipyo gintong ratio.

Sa kanan limang-tulis na bituin Ang bawat segment ay nahahati sa segment na nagsasalubong dito gintong ratio(sa figure sa itaas, ang ratio ng pulang segment sa berde, pati na rin ang berde sa asul, pati na rin ang asul sa violet, ay pantay). (Sipi mula sa Wikipedia).

Bakit parang magkatugma ang "gintong proporsyon"?

Ang teorya gintong ratio marami ang parehong sumusuporta at kalaban. Sa pangkalahatan, ang ideya na ang kagandahan ay masusukat at makalkula gamit ang isang mathematical formula ay hindi kaakit-akit sa lahat. At, marahil, ang konseptong ito ay talagang mukhang malayong mathematical aesthetics, kung hindi para sa maraming mga halimbawa ng natural na pagbuo ng hugis, katumbas ng gintong ratio.

Ang termino mismo gintong ratio"ipinakilala ni Leonardo da Vinci. Bilang isang mathematician, hinahangad din ni da Vinci ang isang maayos na relasyon para sa mga proporsyon ng katawan ng tao.

"Kung itali natin ang isang pigura ng tao - ang pinaka perpektong paglikha ng Uniberso - na may sinturon at pagkatapos ay sukatin ang distansya mula sa sinturon hanggang sa mga paa, kung gayon ang halagang ito ay nauugnay sa distansya mula sa parehong sinturon hanggang sa tuktok ng ulo, kung paanong ang buong taas ng isang tao ay nauugnay sa haba mula baywang hanggang paa.”

Ang paghahati ng katawan sa pamamagitan ng pusod ay ang pinakamahalagang tagapagpahiwatig gintong ratio. Ang mga proporsyon ng katawan ng lalaki ay nagbabago sa loob ng average na ratio ng 13: 8 = 1.625 at medyo mas malapit sa gintong ratio kaysa sa mga proporsyon ng babaeng katawan, na may kaugnayan kung saan ang average na halaga ng proporsyon ay ipinahayag sa ratio 8: 5 = 1.6. Sa isang bagong panganak ang proporsyon ay 1:1, sa edad na 13 ito ay 1.6, at sa edad na 21 ito ay katumbas ng sa isang lalaki. Mga proporsyon gintong ratio ipakita ang kanilang mga sarili na may kaugnayan sa iba pang mga bahagi ng katawan - ang haba ng balikat, bisig at kamay, kamay at mga daliri, atbp.

Unti-unti, gintong ratio naging isang akademikong kanon, at kapag ang isang pag-aalsa laban sa akademya ay matured sa sining, tungkol sa gintong ratio nakalimutan saglit. Gayunpaman, noong kalagitnaan ng ika-19 na siglo, ang konseptong ito ay muling naging tanyag salamat sa mga gawa ng German researcher na si Zeising. Gumawa siya ng maraming mga sukat (mga 2000 katao), at napagpasyahan iyon gintong ratio nagpapahayag ng karaniwang batas sa istatistika. Bukod sa mga tao , Sinuri ni Zeising ang mga istrukturang arkitektura, mga plorera, halaman at mundo ng hayop, poetic meters at musical rhythms. Ayon sa kanyang teorya, gintong ratio ay isang ganap, isang unibersal na tuntunin para sa anumang phenomena ng kalikasan at sining.

Ang prinsipyo ng ginintuang proporsyon ay ginagamit sa iba't ibang larangan, hindi lamang sa sining, kundi pati na rin sa agham at teknolohiya. Sa pagiging napaka-unibersal, ito ay, siyempre, napapailalim sa maraming mga pagdududa. Kadalasang mga pagpapakita gintong ratio idineklara ang resulta ng mga maling kalkulasyon o isang simpleng pagkakataon (o kahit pandaraya). Sa anumang kaso, ang anumang mga komento mula sa parehong mga tagasuporta ng teorya at mga kalaban ay dapat tratuhin nang kritikal.

Maaari mong basahin ang tungkol sa kung paano ilapat ang prinsipyong ito sa pagsasanay.

Ang ginintuang ratio ay isang unibersal na pagpapakita ng pagkakaisa ng istruktura. Ito ay matatagpuan sa kalikasan, agham, sining - sa lahat ng bagay na maaaring makontak ng isang tao. Sa sandaling nakilala ang ginintuang tuntunin, hindi na ito ipinagkanulo ng sangkatauhan.

DEPINISYON

Ang pinakakomprehensibong kahulugan ng golden ratio ay nagsasaad na ang mas maliit na bahagi ay nauugnay sa mas malaki, dahil ang mas malaking bahagi ay nauugnay sa kabuuan. Ang tinatayang halaga nito ay 1.6180339887. Sa isang bilugan na halaga ng porsyento, ang mga proporsyon ng mga bahagi ng kabuuan ay tumutugma sa 62% hanggang 38%. Ang relasyon na ito ay gumagana sa mga anyo ng espasyo at oras.

Nakita ng mga sinaunang tao ang golden ratio bilang isang salamin ng cosmic order, at tinawag ito ni Johannes Kepler na isa sa mga kayamanan ng geometry. Makabagong agham Itinuturing ang ginintuang ratio bilang "asymmetrical symmetry", na tinatawag itong isang pangkalahatang tuntunin na sumasalamin sa istraktura at kaayusan ng ating kaayusan sa mundo.

KWENTO

Ang mga sinaunang Egyptian ay may ideya tungkol sa mga gintong proporsyon, alam nila ang tungkol sa mga ito sa Rus ', ngunit sa unang pagkakataon ang ginintuang ratio ay ipinaliwanag sa siyensya ng monghe na si Luca Pacioli sa aklat na "Banal na Proporsyon" (1509), mga guhit na kung saan ay ginawa umano ni Leonardo da Vinci. Nakita ni Pacioli sa ginintuang seksyon ang banal na trinidad: ang maliit na bahagi ay nagpapakilala sa Anak, ang malaking bahagi ng Ama, at ang buong Banal na Espiritu.

Ang pangalan ng Italyano na matematiko na si Leonardo Fibonacci ay direktang nauugnay sa panuntunan ng gintong ratio. Bilang resulta ng paglutas ng isa sa mga problema, nakabuo ang siyentipiko ng isang pagkakasunud-sunod ng mga numero na kilala ngayon bilang serye ng Fibonacci: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, atbp. Binigyang-pansin ni Kepler ang kaugnayan ng pagkakasunud-sunod na ito sa ginintuang proporsyon: "Ito ay inayos sa paraang ang dalawang mas mababang termino ng walang katapusang proporsyon na ito ay nagdaragdag sa ikatlong termino, at anumang dalawang huling termino, kung idinagdag, ay magbibigay ng sa susunod na termino, at ang parehong proporsyon ay pinananatili ad infinitum " Ngayon ang serye ng Fibonacci ay ang batayan ng aritmetika para sa pagkalkula ng mga proporsyon ng ginintuang seksyon sa lahat ng mga pagpapakita nito.

Si Leonardo da Vinci ay naglaan din ng maraming oras sa pag-aaral ng mga tampok ng gintong ratio, malamang, ang termino mismo ay pag-aari niya. Ang kanyang mga guhit ng isang stereometric na katawan na nabuo ng mga regular na pentagon ay nagpapatunay na ang bawat isa sa mga parihaba na nakuha ng seksyon ay nagbibigay ng aspect ratio sa gintong dibisyon.

Sa paglipas ng panahon, ang panuntunan ng ginintuang ratio ay naging isang akademikong gawain, at tanging ang pilosopo na si Adolf Zeising ang nagbigay nito ng pangalawang buhay noong 1855. Dinala niya ang mga proporsyon ng ginintuang seksyon sa ganap, na ginagawa itong unibersal para sa lahat ng mga phenomena ng nakapaligid na mundo. Gayunpaman, ang kanyang "mathematical aesthetics" ay nagdulot ng maraming kritisismo.

KALIKASAN

Kahit na walang pagpunta sa mga kalkulasyon, ang ginintuang ratio ay madaling matagpuan sa kalikasan. Kaya, ang ratio ng buntot at katawan ng isang butiki, ang mga distansya sa pagitan ng mga dahon sa isang sanga ay nahulog sa ilalim nito, mayroong isang gintong ratio sa hugis ng isang itlog, kung ang isang kondisyon na linya ay iguguhit sa pinakamalawak na bahagi nito.

Ang Belarusian scientist na si Eduard Soroko, na nag-aral ng mga anyo ng mga gintong dibisyon sa kalikasan, ay nabanggit na ang lahat ng lumalaki at nagsusumikap na maganap sa espasyo ay pinagkalooban ng mga proporsyon ng gintong seksyon. Sa kanyang opinyon, isa sa mga pinaka kawili-wiling mga hugis Ito ay isang spiral twist.

Ang Archimedes, na binibigyang pansin ang spiral, ay nakakuha ng isang equation batay sa hugis nito, na ginagamit pa rin sa teknolohiya. Kalaunan ay binanggit ni Goethe ang pagkahumaling ng kalikasan sa mga spiral form, na tinawag ang spiral na "curve of life." Natuklasan ng mga modernong siyentipiko na ang gayong mga pagpapakita ng mga spiral form sa kalikasan bilang isang snail shell, ang pag-aayos ng mga buto ng sunflower, mga pattern ng spider web, ang paggalaw ng isang bagyo, ang istraktura ng DNA at maging ang istraktura ng mga kalawakan ay naglalaman ng serye ng Fibonacci.

TAO

Ang mga taga-disenyo ng fashion at taga-disenyo ng damit ay gumagawa ng lahat ng mga kalkulasyon batay sa mga proporsyon ng ginintuang ratio. Ang tao ay isang unibersal na anyo para sa pagsubok sa mga batas ng gintong ratio. Siyempre, sa likas na katangian, hindi lahat ng tao ay may perpektong sukat, na lumilikha ng ilang mga paghihirap sa pagpili ng mga damit.

Sa talaarawan ni Leonardo da Vinci ay may guhit ng isang hubad na lalaki na nakasulat sa isang bilog, sa dalawang superimposed na posisyon. Batay sa pananaliksik ng Romanong arkitekto na si Vitruvius, sinubukan din ni Leonardo na itatag ang mga proporsyon ng katawan ng tao. Nang maglaon, ang Pranses na arkitekto na si Le Corbusier, gamit ang "Vitruvian Man" ni Leonardo, ay lumikha ng kanyang sariling sukat ng "harmonic proportions," na nakaimpluwensya sa aesthetics ng ika-20 siglong arkitektura.

Si Adolf Zeising, na nag-aaral ng proporsyonalidad ng isang tao, ay gumawa ng napakalaking trabaho. Nagsukat siya ng halos dalawang libo katawan ng tao, pati na rin ang maraming sinaunang estatwa at napagpasyahan na ang gintong ratio ay nagpapahayag ng average na batas sa istatistika. Sa isang tao, halos lahat ng bahagi ng katawan ay nasa ilalim nito, ngunit ang pangunahing tagapagpahiwatig ng gintong ratio ay ang dibisyon ng katawan sa pamamagitan ng pusod.
Bilang resulta ng mga sukat, natuklasan ng mananaliksik na ang mga proporsyon ng katawan ng lalaki na 13:8 ay mas malapit sa gintong ratio kaysa sa mga proporsyon ng katawan ng babae - 8:5.

SINING NG MGA ANYONG SPATIAL

Sinabi ng artist na si Vasily Surikov "na sa komposisyon mayroong isang hindi nababagong batas, kapag sa isang larawan ay hindi mo maaaring alisin o magdagdag ng anuman, hindi ka maaaring magdagdag ng dagdag na punto, ito ay tunay na matematika." Sa mahabang panahon intuitive na sinunod ng mga artista ang batas na ito, ngunit pagkatapos ni Leonardo da Vinci, ang proseso ng paglikha ng isang pagpipinta ay hindi na maisasakatuparan nang hindi nalulutas ang mga geometric na problema. Halimbawa, ginamit ni Albrecht Durer ang proporsyonal na kumpas na naimbento niya upang matukoy ang mga punto ng gintong seksyon.

Ang kritiko ng sining na si F.V. Kovalev, na sinuri nang detalyado ang pagpipinta ni Nikolai Ge "Alexander Sergeevich Pushkin sa nayon ng Mikhailovskoye," ay nagsasaad na ang bawat detalye ng canvas, maging ito ay isang fireplace, isang aparador, isang armchair o ang makata mismo, ay mahigpit na nakasulat sa ginintuang sukat.

Ang mga mananaliksik ng golden ratio ay walang kapagurang pinag-aaralan at sinusukat ang mga obra maestra sa arkitektura, na sinasabing sila ay naging ganoon dahil sila ay nilikha ayon sa mga gintong canon: kasama sa kanilang listahan ang Great Pyramids of Giza, Notre Dame Cathedral, St. Basil's Cathedral, at ang Parthenon.

At ngayon, sa anumang sining ng mga spatial na anyo, sinusubukan nilang sundin ang mga proporsyon ng ginintuang seksyon, dahil, ayon sa mga kritiko ng sining, pinadali nila ang pang-unawa sa gawain at bumubuo ng isang aesthetic na pakiramdam sa manonood.

SALITA, TUNOG AT PELIKULA

Ang mga anyo ng pansamantalang sining sa kanilang sariling paraan ay nagpapakita sa atin ng prinsipyo ng gintong dibisyon. Ang mga iskolar sa panitikan, halimbawa, ay napansin na ang pinakasikat na bilang ng mga linya sa mga tula late period Ang pagkamalikhain ni Pushkin ay tumutugma sa serye ng Fibonacci - 5, 8, 13, 21, 34.

Nalalapat din ang panuntunan ng gintong seksyon sa mga indibidwal na gawa ng klasikong Ruso. Kaya, ang kasukdulan ng "The Queen of Spades" ay ang dramatikong eksena ni Herman and the Countess, na nagtatapos sa pagkamatay ng huli. Ang kuwento ay may 853 na linya, at ang rurok ay nangyayari sa linya 535 (853:535 = 1.6) - ito ang punto ng gintong ratio.

Ang musikero ng Sobyet na si E.K. Rosenov ay nagtatala ng kamangha-manghang katumpakan ng mga ratio ng gintong ratio sa mahigpit at libreng mga anyo ng mga gawa ni Johann Sebastian Bach, na tumutugma sa maalalahanin, puro, teknikal na na-verify na istilo ng master. Totoo rin ito sa mga namumukod-tanging gawa ng iba pang mga kompositor, kung saan ang pinakakapansin-pansin o hindi inaasahang solusyon sa musika ay kadalasang nangyayari sa puntong ginintuang ratio.

Ang direktor ng pelikula na si Sergei Eisenstein ay sadyang nag-coordinate ng script ng kanyang pelikulang "Battleship Potemkin" na may panuntunan ng golden ratio, na hinati ang pelikula sa limang bahagi. Sa unang tatlong seksyon ang aksyon ay nagaganap sa barko, at sa huling dalawa - sa Odessa. Ang paglipat sa mga eksena sa lungsod ay ang ginintuang gitna ng pelikula.

Nakikilala ng isang tao ang mga bagay sa paligid niya sa pamamagitan ng kanilang hugis. Ang interes sa hugis ng isang bagay ay maaaring idikta ng mahahalagang pangangailangan, o maaaring sanhi ito ng kagandahan ng hugis. Ang anyo, ang pagtatayo nito ay batay sa isang kumbinasyon ng mahusay na proporsyon at ang ginintuang ratio, ay nag-aambag sa pinakamahusay na visual na pang-unawa at ang hitsura ng isang pakiramdam ng kagandahan at pagkakaisa. Ang kabuuan ay palaging binubuo ng mga bahagi, ang mga bahagi ng iba't ibang laki ay nasa isang tiyak na kaugnayan sa bawat isa at sa kabuuan. Ang prinsipyo ng gintong ratio ay ang pinakamataas na pagpapakita ng istruktura at pagganap na pagiging perpekto ng kabuuan at mga bahagi nito sa sining, agham, teknolohiya at kalikasan.

Golden ratio - maharmonya na proporsyon

Tuwid na segment AB maaaring hatiin sa dalawang bahagi sa mga sumusunod na paraan:

sa dalawang pantay na bahagi - AB : AC = AB : Araw;





sa dalawang hindi pantay na bahagi sa anumang paggalang (ang mga bahagi ay hindi bumubuo ng mga proporsyon);





kaya, kapag AB : AC = AC : Araw.

Ang golden ratio ay isang proporsyonal na paghahati ng isang segment sa hindi pantay na mga bahagi, kung saan ang buong segment ay nauugnay sa mas malaking bahagi dahil ang mas malaking bahagi mismo ay nauugnay sa mas maliit; o sa madaling salita, ang mas maliit na bahagi ay patungo sa mas malaki gaya ng mas malaki sa kabuuan

a : b = b : c o Sa : b = b : A.

kanin. 1. Geometric na imahe ng gintong ratio

Ang praktikal na kakilala sa golden ratio ay nagsisimula sa paghahati ng isang tuwid na linya ng segment sa ginintuang proporsyon gamit ang isang compass at ruler.

kanin. 2. Paghahati ng isang tuwid na bahagi ng linya gamit ang gintong ratio. B.C. = 1/2 AB; CD = B.C.

Mula sa punto SA ang isang patayo na katumbas ng kalahati ay naibalik AB. Nakatanggap ng punto SA konektado ng isang linya sa isang punto A. Ang isang segment ay naka-plot sa resultang linya Araw nagtatapos sa isang tuldok D. Segment ng linya AD inilipat sa direktang AB. Ang resultang punto E naghahati ng isang segment AB sa golden ratio ratio.

Ang mga segment ng golden ratio ay ipinahayag bilang isang walang katapusang irrational fraction A.E.= 0.618..., kung AB kunin bilang isa MAGING= 0.382... Para sa mga praktikal na layunin, kadalasang ginagamit ang tinatayang halaga ng 0.62 at 0.38. Kung ang segment AB kinuha bilang 100 bahagi, pagkatapos ay ang mas malaking bahagi ng segment ay katumbas ng 62, at ang mas maliit na bahagi ay 38 bahagi.

Ang mga katangian ng gintong ratio ay inilarawan ng equation:

x 2 - x - 1 = 0.

Solusyon sa equation na ito:

Ang mga katangian ng golden ratio ay lumikha ng isang romantikong aura ng misteryo at halos mystical na pagsamba sa paligid ng numerong ito.

Pangalawang ginintuang ratio

Ang proporsyon na ito ay matatagpuan sa arkitektura, at nangyayari din kapag gumagawa ng mga komposisyon ng mga imahe ng isang pinahabang pahalang na format.

kanin. 3. Konstruksyon ng pangalawang gintong ratio

Ang paghahati ay isinasagawa bilang mga sumusunod (tingnan ang Fig. 3). Segment ng linya AB hinati ayon sa golden ratio. Mula sa punto SA ang patayo ay naibalik CD. Radius AB may punto D, na kung saan ay konektado sa pamamagitan ng isang linya sa isang punto A. Tamang anggulo ACD ay nahahati sa kalahati. Mula sa punto SA ang isang linya ay iguguhit hanggang sa ito ay magsalubong sa linya AD. Dot E naghahati ng isang segment AD kaugnay ng 56:44.

kanin. 4. Paghahati ng isang parihaba na may linya ng pangalawang gintong ratio

Sa Fig. Ipinapakita ng Figure 4 ang posisyon ng linya ng pangalawang golden ratio. Matatagpuan ito sa gitna sa pagitan ng linya ng golden ratio at gitnang linya ng rectangle.

Golden Triangle

kanin. 5. Konstruksyon ng isang regular na pentagon at pentagram

Upang bumuo ng isang pentagram, kailangan mong bumuo ng isang regular na pentagon. Ang paraan ng pagtatayo nito ay binuo ng Aleman na pintor at graphic artist na si Albrecht Durer (1471...1528). Hayaan O- gitna ng bilog, A- isang punto sa isang bilog at E- gitna ng segment OA. Patayo sa radius OA, naibalik sa punto TUNGKOL SA, nag-intersect sa bilog sa punto D. Gamit ang isang compass, i-plot ang isang segment sa diameter C.E. = ED. Ang haba ng gilid ng isang regular na pentagon na nakasulat sa isang bilog ay DC. Ilatag ang mga segment sa bilog DC at nakakakuha kami ng limang puntos upang gumuhit ng isang regular na pentagon. Ikinonekta namin ang mga sulok ng pentagon sa isa't isa na may mga diagonal at kumuha ng pentagram. Ang lahat ng mga diagonal ng pentagon ay nahahati sa bawat isa sa mga segment na konektado ng gintong ratio.

Ang bawat dulo ng pentagonal na bituin ay kumakatawan sa isang gintong tatsulok. Ang mga gilid nito ay bumubuo ng isang anggulo na 36° sa tuktok, at ang base, ay idineposito sa gilid, hinahati ito sa proporsyon sa gintong ratio.

kanin. 6. Konstruksyon ng gintong tatsulok

Nagsasagawa kami ng direktang AB. Mula sa punto A maglagay ng isang segment dito ng tatlong beses TUNGKOL SA arbitrary na halaga, sa pamamagitan ng resultang punto R gumuhit ng patayo sa linya AB, sa patayo sa kanan at kaliwa ng punto R isantabi ang mga segment TUNGKOL SA. Nakatanggap ng mga puntos d At d 1 kumonekta sa mga tuwid na linya patungo sa isang punto A. Segment ng linya DD ilagay ang 1 sa linya Ad 1, pagkuha ng isang punto SA. Hinati niya ang linya Ad 1 sa proporsyon sa gintong ratio. Mga linya Ad 1 at DD 1 ay ginagamit upang bumuo ng isang "ginintuang" parihaba.

Kasaysayan ng gintong ratio

Ang mga Griyego ay mga bihasang geometer. Nagturo pa sila ng aritmetika sa kanilang mga anak gamit ang mga geometric figure. Ang Pythagorean square at ang dayagonal ng parisukat na ito ay ang batayan para sa pagbuo ng mga dynamic na parihaba.

kanin. 7. Mga dynamic na parihaba

Alam din ni Plato (427...347 BC) ang tungkol sa golden division. Ang kanyang dialogue na "Timaeus" ay nakatuon sa matematika at aesthetic na pananaw ng Pythagorean school at, lalo na, sa mga isyu ng golden division.

Ang harapan ng sinaunang Greek na templo ng Parthenon ay nagtatampok ng mga gintong sukat. Sa mga paghuhukay nito, natuklasan ang mga compass na ginamit ng mga arkitekto at eskultor ng sinaunang mundo. Ang Pompeian compass (museum sa Naples) ay naglalaman din ng mga proporsyon ng gintong dibisyon.

kanin. 8. Antique golden ratio compass

Sa sinaunang panitikan na dumating sa atin, ang gintong dibisyon ay unang nabanggit sa Euclid's Elements. Sa ika-2 aklat ng "Mga Prinsipyo" isang geometriko na konstruksyon ng gintong dibisyon ay ibinigay Pagkatapos ng Euclid, ang pag-aaral ng ginintuang dibisyon ay isinagawa ng Hypsicles (II siglo BC), Pappus (III siglo AD) at iba pa. medyebal na Europa Nakilala namin ang ginintuang dibisyon mula sa mga pagsasalin ng Arabic ng Euclid's Elements. Ang tagapagsalin na si J. Campano mula sa Navarre (III siglo) ay nagbigay ng mga komento sa pagsasalin. Ang mga lihim ng ginintuang dibisyon ay naiinggit na binantayan at itinatago sa mahigpit na lihim. Sila ay kilala lamang sa mga nagsisimula.

Sa panahon ng Renaissance, ang interes sa ginintuang dibisyon ay tumaas sa mga siyentipiko at artista dahil sa paggamit nito sa parehong geometry at sining, lalo na sa arkitektura, nakita ni Leonardo da Vinci, isang artista at siyentipiko, na ang mga artistang Italyano ay may maraming karanasan sa empirikal, ngunit kakaunti. kaalaman . Naglihi siya at nagsimulang magsulat ng isang libro sa geometry, ngunit sa oras na iyon ay lumitaw ang isang libro ng monghe na si Luca Pacioli, at tinalikuran ni Leonardo ang kanyang ideya. Ayon sa mga kontemporaryo at istoryador ng agham, si Luca Pacioli ay isang tunay na luminary, ang pinakadakilang mathematician ng Italya sa panahon sa pagitan ng Fibonacci at Galileo. Si Luca Pacioli ay isang mag-aaral ng pintor na si Piero della Franceschi, na sumulat ng dalawang aklat, na ang isa ay tinawag na "On Perspective in Painting." Siya ay itinuturing na lumikha ng descriptive geometry.

Si Luca Pacioli ay lubos na naunawaan ang kahalagahan ng agham para sa sining. Noong 1496, sa paanyaya ng Duke ng Moreau, dumating siya sa Milan, kung saan nagturo siya sa matematika. Si Leonardo da Vinci ay nagtrabaho din sa Milan sa korte ng Moro noong panahong iyon. Noong 1509, ang aklat ni Luca Pacioli na "The Divine Proportion" ay nai-publish sa Venice na may napakatalino na mga guhit, kaya naman pinaniniwalaan na sila ay ginawa ni Leonardo da Vinci. Ang aklat ay isang masigasig na himno sa ginintuang ratio. Kabilang sa maraming mga pakinabang ng ginintuang proporsyon, ang monghe na si Luca Pacioli ay hindi nabigo na pangalanan ang "banal na kakanyahan" nito bilang isang pagpapahayag ng banal na trinidad - ang Diyos na anak, Diyos ang ama at Diyos ang banal na espiritu (ito ay ipinahiwatig na ang maliit Ang segment ay ang personipikasyon ng Diyos na anak, ang mas malaking bahagi - Diyos ama, at ang buong bahagi - Diyos ng Banal na Espiritu).

Si Leonardo da Vinci ay nagbigay din ng maraming pansin sa pag-aaral ng gintong dibisyon. Gumawa siya ng mga seksyon ng isang stereometric na katawan na nabuo ng mga regular na pentagon, at sa bawat oras na nakakuha siya ng mga parihaba na may mga aspect ratio sa golden division. Kaya naman binigyan niya ng pangalan ang dibisyong ito gintong ratio. Kaya nananatili pa rin itong pinakasikat.

Kasabay nito, sa hilaga ng Europa, sa Alemanya, si Albrecht Dürer ay nagtatrabaho sa parehong mga problema. Ini-sketches niya ang panimula sa unang bersyon ng treatise sa mga proporsyon. Sumulat si Dürer. “Kailangan na ang isang taong marunong gumawa ng isang bagay ay dapat magturo nito sa ibang nangangailangan nito. Ito ang itinakda kong gawin.”

Sa paghusga sa isa sa mga liham ni Dürer, nakilala niya si Luca Pacioli habang nasa Italya. Detalyadong binuo ni Albrecht Durer ang teorya ng mga proporsyon ng katawan ng tao. Nagtalaga si Dürer ng isang mahalagang lugar sa kanyang sistema ng mga relasyon sa gintong seksyon. Ang taas ng isang tao ay nahahati sa ginintuang sukat sa pamamagitan ng linya ng sinturon, pati na rin sa pamamagitan ng isang linya na iginuhit sa mga dulo ng gitnang daliri ng mga nakababang kamay, ang ibabang bahagi ng mukha sa pamamagitan ng bibig, atbp. Kilalang-kilala ang proportional compass ni Dürer.

Mahusay na astronomo noong ika-16 na siglo. Tinawag ni Johannes Kepler ang golden ratio na isa sa mga kayamanan ng geometry. Siya ang unang nagbigay pansin sa kahalagahan ng ginintuang proporsyon para sa botany (paglago ng halaman at ang kanilang istraktura).

Tinawag ni Kepler ang ginintuang proporsyon na self-continuing "Ito ay nakabalangkas sa paraang," isinulat niya, "na ang dalawang pinakamababang termino ng walang katapusang proporsyon na ito ay nagdaragdag sa ikatlong termino, at anumang dalawang huling termino, kung idinagdag nang magkasama. , ibigay ang susunod na termino, at ang parehong proporsyon ay pinananatili hanggang sa infinity."

Ang pagtatayo ng isang serye ng mga segment ng ginintuang proporsyon ay maaaring gawin pareho sa direksyon ng pagtaas (pagtaas ng serye) at sa direksyon ng pagbaba (pababang serye).

Kung nasa isang tuwid na linya ng di-makatwirang haba, itabi ang segment m, ilagay ang segment sa tabi nito M. Batay sa dalawang segment na ito, bumuo kami ng sukat ng mga segment ng ginintuang proporsyon ng pataas at pababang serye

kanin. 9. Konstruksyon ng isang sukat ng mga gintong bahagi ng proporsyon

Sa kasunod na mga siglo, ang panuntunan ng ginintuang proporsyon ay naging isang akademikong kanon, at nang, sa paglipas ng panahon, ang pakikibaka laban sa akademikong gawain ay nagsimula sa sining, sa init ng pakikibaka "itinapon nila ang sanggol na may tubig na paliguan." Ang gintong ratio ay "natuklasan" muli noong kalagitnaan ng ika-19 na siglo. Noong 1855, inilathala ng German researcher ng golden ratio, Propesor Zeising, ang kanyang akdang "Aesthetic Studies". Ang nangyari kay Zeising ay kung ano mismo ang hindi maiiwasang mangyari sa isang mananaliksik na isinasaalang-alang ang isang kababalaghan bilang ganoon, nang walang koneksyon sa iba pang mga phenomena. Binubuo niya ang proporsyon ng ginintuang seksyon, na idineklara itong unibersal para sa lahat ng phenomena ng kalikasan at sining. Si Zeising ay may maraming tagasunod, ngunit mayroon ding mga kalaban na nagpahayag ng kanyang doktrina ng mga sukat bilang "matematika na aesthetics."

kanin. 10. Mga gintong proporsyon sa mga bahagi ng katawan ng tao

Napakalaking trabaho ang ginawa ni Zeising. Sinukat niya ang humigit-kumulang dalawang libong katawan ng tao at dumating sa konklusyon na ang ginintuang ratio ay nagpapahayag ng average na batas sa istatistika. Ang paghahati ng katawan sa pamamagitan ng pusod ay ang pinakamahalagang tagapagpahiwatig ng gintong ratio. Ang mga proporsyon ng katawan ng lalaki ay nagbabago sa loob ng average na ratio ng 13: 8 = 1.625 at medyo mas malapit sa gintong ratio kaysa sa mga proporsyon ng babaeng katawan, na may kaugnayan kung saan ang average na halaga ng proporsyon ay ipinahayag sa ratio 8: 5 = 1.6. Sa isang bagong panganak ang proporsyon ay 1:1, sa edad na 13 ito ay 1.6, at sa edad na 21 ito ay katumbas ng sa isang lalaki. Ang mga proporsyon ng gintong ratio ay lilitaw din na may kaugnayan sa iba pang mga bahagi ng katawan - ang haba ng balikat, bisig at kamay, kamay at mga daliri, atbp.

kanin. labing-isa. Mga gintong proporsyon sa pigura ng tao

Sinubukan ni Zeising ang bisa ng kanyang teorya sa mga estatwa ng Greek. Binuo niya ang mga proporsyon ng Apollo Belvedere sa pinakadetalye. Ang mga plorera ng Griyego, mga istrukturang arkitektura ng iba't ibang panahon, mga halaman, mga hayop, mga itlog ng ibon, mga tono ng musika, at mga mala-tula na metro ay pinag-aralan. Nagbigay ng depinisyon si Zeising sa golden ratio at ipinakita kung paano ito ipinahayag sa mga segment ng tuwid na linya at sa mga numero. Nang makuha ang mga numerong nagpapahayag ng mga haba ng mga segment, nakita ni Zeising na bumubuo sila ng seryeng Fibonacci, na maaaring ipagpatuloy nang walang katapusan sa isang direksyon o sa iba pa. Ang kanyang susunod na libro ay pinamagatang "Ang Ginintuang Dibisyon bilang Batayang Batas ng Morpolohiya sa Kalikasan at Sining." Noong 1876, isang maliit na aklat, halos isang brochure, ang inilathala sa Russia na nagbabalangkas sa gawaing ito ni Zeising. Ang may-akda ay sumilong sa ilalim ng mga inisyal na Yu.F.V. Ang edisyong ito ay walang binanggit na isang gawa ng pagpipinta.

Sa pagtatapos ng ika-19 - simula ng ika-20 siglo. Maraming puro pormalistikong teorya ang lumitaw tungkol sa paggamit ng gintong ratio sa mga gawa ng sining at arkitektura. Sa pag-unlad ng disenyo at teknikal na aesthetics, ang batas ng gintong ratio ay pinalawak sa disenyo ng mga kotse, kasangkapan, atbp.

Serye ng Fibonacci

Isang serye ng mga numero 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, atbp. kilala bilang seryeng Fibonacci. Ang kakaiba ng pagkakasunud-sunod ng mga numero ay ang bawat isa sa mga miyembro nito, simula sa pangatlo, ay katumbas ng kabuuan ng nakaraang dalawang 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34, atbp., at ang ratio ng mga katabing numero sa serye ay lumalapit sa ratio ng gintong dibisyon. Kaya, 21: 34 = 0.617, at 34: 55 = 0.618. Ang relasyon na ito ay tinutukoy ng simbolo F. Tanging ang ratio na ito - 0.618: 0.382 - ay nagbibigay ng tuloy-tuloy na dibisyon ng isang tuwid na linya ng segment sa ginintuang proporsyon, pagtaas o pagbaba nito hanggang sa infinity, kapag ang mas maliit na segment ay nauugnay sa mas malaki dahil ang mas malaki ay sa kabuuan.

Tinutugunan din ng Fibonacci ang mga praktikal na pangangailangan ng pangangalakal: sa anong tulong pinakamababang halaga timbang maaari mong timbangin ang mga kalakal? Pinatunayan ng Fibonacci na ang pinakamainam na sistema ng mga timbang ay: 1, 2, 4, 8, 16...

Pangkalahatang ginintuang ratio

Patuloy na aktibong binuo ng mga siyentipiko ang teorya ng mga numero ng Fibonacci at ang gintong ratio. Niresolba ni Yu. Matiyasevich ang ika-10 problema ni Hilbert gamit ang mga numerong Fibonacci. Ang mga eleganteng pamamaraan ay umuusbong para sa paglutas ng ilang mga problema sa cybernetic (teorya sa paghahanap, laro, programming) gamit ang mga numero ng Fibonacci at ang ginintuang ratio. Sa USA, kahit na ang Mathematical Fibonacci Association ay nilikha, na naglalathala ng isang espesyal na journal mula noong 1963.

Isa sa mga tagumpay sa larangang ito ay ang pagtuklas ng mga pangkalahatang numero ng Fibonacci at mga pangkalahatang gintong ratio.

Ang serye ng Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8) at ang "binary" na serye ng mga timbang na natuklasan niya 1, 2, 4, 8, 16... sa unang tingin ay ganap na naiiba. Ngunit ang mga algorithm para sa kanilang pagtatayo ay halos kapareho sa bawat isa: sa unang kaso, ang bawat numero ay ang kabuuan ng nakaraang numero na may sarili nitong 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2..., sa pangalawa ito ang kabuuan ng dalawang naunang numero 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... Posible bang mahanap ang kabuuan mathematical formula, mula saan parehong nakuha ang "binary" na serye at ang Fibonacci series? O baka ang formula na ito ay magbibigay sa amin ng mga bagong numerical set na may ilang bagong natatanging katangian?

Sa katunayan, itakda natin ang numerical parameter S, na maaaring tumagal ng anumang mga halaga: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Isaalang-alang ang isang serye ng numero, S+ 1 sa mga unang termino na kung saan ay mga yunit, at ang bawat isa sa mga kasunod ay katumbas ng kabuuan ng dalawang termino ng nauna at pinaghihiwalay mula sa nauna ng S hakbang. Kung n Tinutukoy namin ang ika-kataga ng seryeng ito sa pamamagitan ng φ S ( n), pagkatapos ay makuha natin ang pangkalahatang formula φ S ( n) = φ S ( n- 1) + φ S ( n - S - 1).

Ito ay malinaw na kapag S= 0 mula sa formula na ito nakakakuha tayo ng seryeng "binary", na may S= 1 - Fibonacci series, na may S= 2, 3, 4. bagong serye ng mga numero, na tinatawag S-Mga numero ng Fibonacci.

SA pangkalahatang pananaw ginto S-ang proporsyon ay ang positibong ugat ng golden equation S-mga seksyon x S+1 - x S - 1 = 0.

Madaling ipakita iyon kapag S= 0, ang segment ay nahahati sa kalahati, at kung kailan S= 1 - ang pamilyar na klasikal na gintong ratio.

Relasyon sa pagitan ng mga kapitbahay S- Ang mga numero ng Fibonacci ay tumutugma sa ganap na katumpakan ng matematika sa limitasyon sa ginto S-proporsyon! Sa ganitong mga kaso, mathematicians sabihin na ginto S-ang mga seksyon ay mga numerical invariant S-Mga numero ng Fibonacci.

Mga katotohanang nagpapatunay sa pagkakaroon ng ginto S-mga seksyon sa kalikasan, binanggit ng Belarusian scientist na si E.M. Soroko sa aklat na "Structural Harmony of Systems" (Minsk, "Science and Technology", 1984). Lumalabas, halimbawa, na ang pinag-aralan na binary alloys ay may mga espesyal, binibigkas na functional na mga katangian (thermal stable, hard, wear-resistant, lumalaban sa oksihenasyon, atbp.) kung tiyak na gravity ang mga orihinal na bahagi ay konektado sa isa't isa sa pamamagitan ng isa sa ginto S-proporsyon. Pinahintulutan nito ang may-akda na ilagay ang hypothesis na ginto S-ang mga seksyon ay mga numerical invariant ng self-organizing system. Kapag nakumpirma nang eksperimento, ang hypothesis na ito ay maaaring may pangunahing kahalagahan para sa pagbuo ng synergetics - isang bagong larangan ng agham na nag-aaral ng mga proseso sa mga sistema ng pag-aayos ng sarili.

Gamit ang mga gintong code S-Ang mga proporsyon ay maaaring ipahayag ng anumang tunay na bilang bilang isang kabuuan ng mga kapangyarihan ng ginto S-mga proporsyon na may mga integer coefficient.

Ang pangunahing pagkakaiba sa pagitan ng pamamaraang ito ng pag-encode ng mga numero ay ang mga base ng mga bagong code, na ginto S-proporsyon, na may S> 0 pala ang mga numerong hindi makatwiran. Kaya, ang mga bagong sistema ng numero na may hindi makatwirang mga batayan ay tila naglalagay ng makasaysayang itinatag na hierarchy ng mga ugnayan sa pagitan ng mga makatwiran at hindi makatwiran na mga numero "mula ulo hanggang paa." Ang katotohanan ay ang mga natural na numero ay unang "natuklasan"; pagkatapos ang kanilang mga ratio ay mga rational na numero. At mamaya lamang - pagkatapos ng pagtuklas ng mga hindi matutumbasan na mga segment ng mga Pythagorean - ipinanganak ang mga hindi makatwiran na numero. Halimbawa, sa decimal, quinary, binary at iba pang classical positional na mga sistema ng numero, ang mga natural na numero ay pinili bilang isang uri ng pangunahing prinsipyo - 10, 5, 2 - kung saan, ayon sa ilang mga patakaran, lahat ng iba pang natural na mga numero, pati na rin ang rational at hindi makatwiran na mga numero, ay itinayo.

Isang uri ng alternatibo umiiral na mga pamamaraan ang pagnunumero ay isang bago, hindi makatwiran na sistema, bilang isang pangunahing prinsipyo, ang simula nito ay isang hindi makatwiran na numero (na, naaalala natin, ay ang ugat ng golden ratio equation); iba pang tunay na mga numero ay naipahayag na sa pamamagitan nito.

Sa ganoong sistema ng numero, anuman natural na numero laging kinakatawan bilang may hangganan - at hindi walang hanggan, gaya ng naunang naisip! - ang kabuuan ng mga antas ng alinman sa ginto S-proporsyon. Ito ay isa sa mga dahilan kung bakit ang "hindi makatwiran" na aritmetika, na nagtataglay ng kamangha-manghang pagiging simple at kagandahan ng matematika, ay tila nasisipsip pinakamahusay na mga katangian classical binary at Fibonacci arithmetic.

Mga prinsipyo ng pagbuo sa kalikasan

Ang shell ay baluktot sa isang spiral. Kung buksan mo ito, makakakuha ka ng isang haba na bahagyang mas maikli kaysa sa haba ng ahas. Ang isang maliit na sampung sentimetro na shell ay may spiral na 35 cm ang haba. Ang mga spiral ay karaniwan sa kalikasan. Ang ideya ng golden ratio ay hindi kumpleto nang hindi pinag-uusapan ang spiral.

kanin. 12. Archimedes spiral

Ang hugis ng spirally curled shell ay nakakuha ng atensyon ni Archimedes. Pinag-aralan niya ito at nakabuo ng isang equation para sa spiral. Ang spiral na iginuhit ayon sa equation na ito ay tinatawag sa kanyang pangalan. Ang pagtaas ng kanyang hakbang ay palaging pare-pareho. Sa kasalukuyan, ang Archimedes spiral ay malawakang ginagamit sa teknolohiya.

Binigyang-diin din ni Goethe ang hilig ng kalikasan patungo sa spirality. Matagal nang napansin ang helical at spiral arrangement ng mga dahon sa mga sanga ng puno. Ang spiral ay nakita sa pag-aayos ng mga sunflower seeds, pine cones, pineapples, cacti, atbp. Pakikipagtulungan Ang mga botanist at mathematician ay nagbigay liwanag sa mga kamangha-manghang natural na phenomena na ito. Ito ay lumabas na ang serye ng Fibonacci ay nagpapakita ng sarili sa pag-aayos ng mga dahon sa isang sangay (phylotaxis), mga buto ng mirasol, at mga pine cone, at samakatuwid, ang batas ng gintong ratio ay nagpapakita mismo. Hinahabi ng spider ang web nito sa isang spiral pattern. Ang isang bagyo ay umiikot na parang spiral. Ang isang takot na kawan ng mga reindeer ay nakakalat sa isang spiral. Ang molekula ng DNA ay pinaikot sa isang double helix. Tinawag ni Goethe ang spiral na "kurba ng buhay."

Kabilang sa mga damo sa tabing daan ay lumalaki ang isang hindi kapansin-pansin na halaman - chicory. Tingnan natin ito nang maigi. Ang isang shoot ay nabuo mula sa pangunahing tangkay. Ang unang dahon ay matatagpuan doon.

kanin. 13. Chicory

Ang shoot ay gumagawa ng isang malakas na pagbuga sa kalawakan, huminto, naglalabas ng isang dahon, ngunit sa pagkakataong ito ito ay mas maikli kaysa sa una, muli ay gumagawa ng isang pagbuga sa kalawakan, ngunit sa mas kaunting puwersa, naglalabas ng isang dahon na mas maliit pa ang sukat at muling ibinubog. . Kung ang unang paglabas ay kinuha bilang 100 mga yunit, kung gayon ang pangalawa ay katumbas ng 62 mga yunit, ang pangatlo - 38, ang ikaapat - 24, atbp. Ang haba ng mga petals ay napapailalim din sa ginintuang proporsyon. Sa paglaki at pagsakop sa espasyo, ang halaman ay nagpapanatili ng ilang mga sukat. Ang mga impulses ng paglago nito ay unti-unting bumaba sa proporsyon sa gintong ratio.

kanin. 14. Masiglang butiki

Sa unang tingin, ang butiki ay may mga proporsyon na kaaya-aya sa ating mga mata - ang haba ng buntot nito ay nauugnay sa haba ng natitirang bahagi ng katawan bilang 62 hanggang 38.

Sa parehong mundo ng halaman at hayop, ang pagbuo ng tendensya ng kalikasan ay patuloy na bumabagsak - simetriya tungkol sa direksyon ng paglaki at paggalaw. Dito lumilitaw ang gintong ratio sa mga proporsyon ng mga bahagi na patayo sa direksyon ng paglago.

Ang kalikasan ay nagsagawa ng paghahati sa mga simetriko na bahagi at ginintuang sukat. Ang mga bahagi ay nagpapakita ng pag-uulit ng istraktura ng kabuuan.

kanin. 15. itlog ng ibon

Ang dakilang Goethe, isang makata, naturalista at artista (iginuhit niya at ipininta sa mga watercolor), pinangarap na lumikha ng isang pinag-isang doktrina ng anyo, pagbuo at pagbabago ng mga organikong katawan. Siya ang nagpakilala ng terminong morphology sa siyentipikong paggamit.

Si Pierre Curie sa simula ng siglong ito ay bumalangkas ng ilang malalim na ideya tungkol sa simetrya. Nagtalo siya na hindi maaaring isaalang-alang ng isa ang simetrya ng anumang katawan nang hindi isinasaalang-alang ang simetrya ng kapaligiran.

Ang mga batas ng "ginintuang" symmetry ay ipinahayag sa mga paglipat ng enerhiya ng mga elementarya, sa istraktura ng ilang mga kemikal na compound, sa mga sistema ng planeta at espasyo, sa mga istruktura ng gene ng mga buhay na organismo. Ang mga pattern na ito, tulad ng ipinahiwatig sa itaas, ay umiiral sa istraktura ng mga indibidwal na organo ng tao at ang katawan sa kabuuan, at nagpapakita rin ng kanilang mga sarili sa biorhythms at paggana ng utak at visual na pang-unawa.

Golden ratio at simetrya

Ang ginintuang dibisyon ay hindi isang pagpapakita ng kawalaan ng simetrya, isang bagay na kabaligtaran ng simetrya Ayon sa modernong ideya Ang golden division ay isang asymmetrical symmetry. Kasama sa agham ng simetrya ang mga konsepto tulad ng static At dynamic na simetrya. Ang static symmetry ay nagpapakilala sa kapayapaan at balanse, habang ang dynamic na simetrya ay nagpapakilala sa paggalaw at paglaki. Kaya, sa likas na katangian, ang static na simetrya ay kinakatawan ng istraktura ng mga kristal, at sa sining ito ay nagpapakilala sa kapayapaan, balanse at kawalang-kilos. Ang dinamikong simetrya ay nagpapahayag ng aktibidad, nagpapakilala sa paggalaw, pag-unlad, ritmo, ito ay katibayan ng buhay. Ang static na symmetry ay nailalarawan sa pamamagitan ng pantay na mga segment at pantay na halaga. Ang dinamikong simetrya ay nailalarawan sa pamamagitan ng pagtaas ng mga segment o ang kanilang pagbaba, at ito ay ipinahayag sa mga halaga ng ginintuang seksyon ng isang pagtaas o pagbaba ng serye.

Ang ginintuang ratio ay isang unibersal na pagpapakita ng pagkakaisa ng istruktura. Ito ay matatagpuan sa kalikasan, agham, sining - sa lahat ng bagay na maaaring makontak ng isang tao. Sa sandaling nakilala ang ginintuang tuntunin, hindi na ito ipinagkanulo ng sangkatauhan.

Kahulugan

Ang pinaka-komprehensibong kahulugan ng golden ratio ay nagsasaad na ang mas maliit na bahagi ay nauugnay sa mas malaki, dahil ang mas malaking bahagi ay sa kabuuan. Ang tinatayang halaga nito ay 1.6180339887. Sa isang bilugan na halaga ng porsyento, ang mga proporsyon ng mga bahagi ng kabuuan ay tumutugma sa 62% hanggang 38%. Ang relasyon na ito ay gumagana sa mga anyo ng espasyo at oras. Nakita ng mga sinaunang tao ang golden ratio bilang isang salamin ng cosmic order, at tinawag ito ni Johannes Kepler na isa sa mga kayamanan ng geometry. Itinuturing ng modernong agham ang ginintuang ratio bilang "asymmetrical symmetry", na tinatawag ito sa isang malawak na kahulugan bilang isang unibersal na tuntunin na sumasalamin sa istraktura at kaayusan ng ating kaayusan sa mundo.

Kwento

Karaniwang tinatanggap na ang konsepto ng gintong dibisyon ay ipinakilala sa siyentipikong paggamit ni Pythagoras, sinaunang Griyegong pilosopo at matematiko (VI siglo BC). Mayroong isang palagay na hiniram ni Pythagoras ang kanyang kaalaman sa ginintuang dibisyon mula sa mga Egyptian at Babylonians. Sa katunayan, ang mga proporsyon ng Cheops pyramid, mga templo, bas-relief, mga gamit sa bahay at alahas mula sa libingan ng Tutankhamun ay nagpapahiwatig na ginamit ng mga manggagawang Egyptian ang mga ratio ng gintong dibisyon kapag nilikha ang mga ito. Nalaman ng Pranses na arkitekto na si Le Corbusien na sa relief mula sa templo ni Pharaoh Seti I sa Abydos at sa relief na naglalarawan kay Pharaoh Ramses, ang mga proporsyon ng mga figure ay tumutugma sa mga halaga ng gintong dibisyon. Ang arkitekto na si Khesira, na inilalarawan sa isang kaluwagan ng isang kahoy na tabla mula sa isang libingan na pinangalanan sa kanya, ay humahawak sa kanyang mga kamay ng mga instrumento sa pagsukat kung saan ang mga proporsyon ng gintong dibisyon ay naitala.

Ang mga Griyego ay mga bihasang geometer. Nagturo pa sila ng aritmetika sa kanilang mga anak gamit ang mga geometric figure. Ang Pythagorean square at ang dayagonal ng parisukat na ito ay ang batayan para sa pagbuo ng mga dynamic na parihaba.

Plato(427...347 BC) ay alam din ang tungkol sa gintong paghahati. Ang kanyang dialogue na "Timaeus" ay nakatuon sa matematika at aesthetic na pananaw ng Pythagorean school at, lalo na, sa mga isyu ng golden division.

Ang harapan ng sinaunang Greek na templo ng Parthenon ay nagtatampok ng mga gintong sukat. Sa mga paghuhukay nito, natuklasan ang mga compass na ginamit ng mga arkitekto at eskultor ng sinaunang mundo. Ang Pompeian compass (museum sa Naples) ay naglalaman din ng mga proporsyon ng gintong dibisyon.

kanin. Antique golden ratio compass

Sa sinaunang panitikan na dumating sa atin, ang gintong dibisyon ay unang nabanggit sa "Mga Elemento" Euclid. Sa ika-2 aklat ng Mga Elemento, ibinigay ang isang geometriko na konstruksyon ng gintong dibisyon. Pagkatapos ng Euclid, ang pag-aaral ng golden division ay isinagawa ng Hypsicles (2nd century BC), Pappus (3rd century AD), at iba pa Sa medieval Europe, nakilala nila ang golden division sa pamamagitan ng Arabic translations ng Euclid's Elements. Ang tagapagsalin na si J. Campano mula sa Navarre (III siglo) ay nagbigay ng mga komento sa pagsasalin. Ang mga lihim ng ginintuang dibisyon ay naiinggit na binantayan at itinatago sa mahigpit na lihim. Sila ay kilala lamang sa mga nagsisimula.

Ang konsepto ng mga gintong proporsyon ay kilala rin sa Rus', ngunit sa unang pagkakataon ang ginintuang ratio ay ipinaliwanag sa siyensiya. monghe Luca Pacioli sa aklat na "The Divine Proportion" (1509), ang mga ilustrasyon na diumano ay ginawa ni Leonardo da Vinci. Nakita ni Pacioli sa ginintuang seksyon ang banal na trinidad: ang maliit na bahagi ay nagpapakilala sa Anak, ang malaking bahagi ng Ama, at ang buong Banal na Espiritu. Ayon sa mga kontemporaryo at istoryador ng agham, si Luca Pacioli ay isang tunay na luminary, ang pinakadakilang mathematician ng Italya sa panahon sa pagitan ng Fibonacci at Galileo. Si Luca Pacioli ay isang mag-aaral ng pintor na si Piero della Franceschi, na sumulat ng dalawang aklat, na ang isa ay tinawag na "On Perspective in Painting." Siya ay itinuturing na lumikha ng descriptive geometry.

Si Luca Pacioli ay lubos na naunawaan ang kahalagahan ng agham para sa sining. Noong 1496, sa imbitasyon ni Duke Moreau, dumating siya sa Milan, kung saan nagbigay siya ng mga lektura sa matematika. Si Leonardo da Vinci ay nagtrabaho din sa Milan sa korte ng Moro noong panahong iyon.

Ang pangalan ng Italian mathematician ay direktang nauugnay sa golden ratio rule Leonardo Fibonacci. Bilang resulta ng paglutas ng isa sa mga problema, nakabuo ang siyentipiko ng isang pagkakasunud-sunod ng mga numero na kilala ngayon bilang serye ng Fibonacci: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, atbp. Binigyang-pansin ni Kepler ang kaugnayan ng pagkakasunud-sunod na ito sa ginintuang proporsyon: "Ito ay inayos sa paraang ang dalawang mas mababang termino ng walang katapusang proporsyon na ito ay nagdaragdag sa ikatlong termino, at anumang dalawang huling termino, kung idinagdag, ay magbibigay ng sa susunod na termino, at ang parehong proporsyon ay pinananatili ad infinitum " Ngayon ang serye ng Fibonacci ay ang batayan ng aritmetika para sa pagkalkula ng mga proporsyon ng gintong ratio sa lahat ng mga pagpapakita nito.

Leonardo da Vinci Naglaan din siya ng maraming oras sa pag-aaral ng mga tampok ng gintong ratio, malamang, ang termino mismo ay pag-aari niya. Ang kanyang mga guhit ng isang stereometric na katawan na nabuo ng mga regular na pentagon ay nagpapatunay na ang bawat isa sa mga parihaba na nakuha ng seksyon ay nagbibigay ng aspect ratio sa gintong dibisyon.

Sa paglipas ng panahon, ang panuntunan ng ginintuang ratio ay naging isang akademikong gawain, at ang pilosopo lamang Adolf Zeising noong 1855 binigyan niya ito ng pangalawang buhay. Dinala niya ang mga proporsyon ng ginintuang seksyon sa ganap, na ginagawa itong unibersal para sa lahat ng mga phenomena ng nakapaligid na mundo. Gayunpaman, ang kanyang "mathematical aesthetics" ay nagdulot ng maraming kritisismo.

Kalikasan

ika-16 na siglong astronomo Johannes Kepler tinawag ang golden ratio na isa sa mga kayamanan ng geometry. Siya ang unang nagbigay pansin sa kahalagahan ng ginintuang proporsyon para sa botany (paglago ng halaman at ang kanilang istraktura).

Tinawag ni Kepler ang ginintuang proporsyon na self-continuing "Ito ay nakabalangkas sa paraang," isinulat niya, "na ang dalawang pinakamababang termino ng walang katapusang proporsyon na ito ay nagdaragdag sa ikatlong termino, at anumang dalawang huling termino, kung idinagdag nang magkasama. , ibigay ang susunod na termino, at ang parehong proporsyon ay nananatili hanggang sa infinity."

Ang pagtatayo ng isang serye ng mga segment ng ginintuang proporsyon ay maaaring gawin pareho sa direksyon ng pagtaas (pagtaas ng serye) at sa direksyon ng pagbaba (pababang serye).

Kung nasa isang tuwid na linya ng di-makatwirang haba, itabi ang segment m, ilagay ang segment sa tabi nito M. Batay sa dalawang segment na ito, bumuo kami ng sukat ng mga segment ng ginintuang proporsyon ng pataas at pababang serye.

kanin. Konstruksyon ng isang sukat ng mga gintong bahagi ng proporsyon

kanin. Chicory

Kahit na walang pagpunta sa mga kalkulasyon, ang ginintuang ratio ay madaling matagpuan sa kalikasan. Kaya, ang ratio ng buntot at katawan ng isang butiki, ang mga distansya sa pagitan ng mga dahon sa isang sanga ay nahulog sa ilalim nito, mayroong isang gintong ratio sa hugis ng isang itlog, kung ang isang kondisyon na linya ay iguguhit sa pinakamalawak na bahagi nito.

kanin. Masiglang butiki

kanin. itlog ng ibon

Ang Belarusian scientist na si Eduard Soroko, na nag-aral ng mga anyo ng mga gintong dibisyon sa kalikasan, ay nabanggit na ang lahat ng lumalaki at nagsusumikap na maganap sa espasyo ay pinagkalooban ng mga proporsyon ng gintong seksyon. Sa kanyang opinyon, ang isa sa mga pinaka-kagiliw-giliw na anyo ay spiral twisting.

Higit pa Archimedes, na binibigyang pansin ang spiral, ay nagmula sa isang equation batay sa hugis nito, na ginagamit pa rin sa teknolohiya. Napansin ni Goethe ang pagkahumaling ng kalikasan sa mga spiral form, pagtawag spiral ng "kurba ng buhay". Natuklasan ng mga modernong siyentipiko na ang gayong mga pagpapakita ng mga spiral form sa kalikasan bilang isang snail shell, ang pag-aayos ng mga buto ng sunflower, mga pattern ng spider web, ang paggalaw ng isang bagyo, ang istraktura ng DNA at maging ang istraktura ng mga kalawakan ay naglalaman ng serye ng Fibonacci.

Tao

Ang mga taga-disenyo ng fashion at taga-disenyo ng damit ay gumagawa ng lahat ng mga kalkulasyon batay sa mga proporsyon ng ginintuang ratio. Ang tao ay isang unibersal na anyo para sa pagsubok sa mga batas ng gintong ratio. Siyempre, sa likas na katangian, hindi lahat ng tao ay may perpektong sukat, na lumilikha ng ilang mga paghihirap sa pagpili ng mga damit.

Sa talaarawan ni Leonardo da Vinci ay may guhit ng isang hubad na lalaki na nakasulat sa isang bilog, sa dalawang superimposed na posisyon. Batay sa pananaliksik ng Romanong arkitekto na si Vitruvius, sinubukan din ni Leonardo na itatag ang mga proporsyon ng katawan ng tao. Nang maglaon, ang Pranses na arkitekto na si Le Corbusier, gamit ang "Vitruvian Man" ni Leonardo, ay lumikha ng kanyang sariling sukat ng "harmonic proportions," na nakaimpluwensya sa aesthetics ng ika-20 siglong arkitektura. Si Adolf Zeising, na nag-aaral ng proporsyonalidad ng isang tao, ay gumawa ng napakalaking trabaho. Sinukat niya ang humigit-kumulang dalawang libong katawan ng tao, pati na rin ang maraming mga sinaunang estatwa, at napagpasyahan na ang gintong ratio ay nagpapahayag ng average na batas sa istatistika. Sa isang tao, halos lahat ng bahagi ng katawan ay nasa ilalim nito, ngunit ang pangunahing tagapagpahiwatig ng gintong ratio ay ang dibisyon ng katawan sa pamamagitan ng pusod.

Bilang resulta ng mga sukat, natuklasan ng mananaliksik na ang mga proporsyon ng katawan ng lalaki na 13:8 ay mas malapit sa gintong ratio kaysa sa mga proporsyon ng katawan ng babae - 8:5.

Ang sining ng mga spatial na anyo

Sinabi ng artist na si Vasily Surikov "na sa komposisyon mayroong isang hindi nababagong batas, kapag sa isang larawan ay hindi mo maaaring alisin o magdagdag ng anuman, hindi ka maaaring magdagdag ng dagdag na punto, ito ay tunay na matematika." Sa loob ng mahabang panahon, sinusunod ng mga artista ang batas na ito nang intuitive, ngunit pagkatapos ng Leonardo da Vinci, ang proseso ng paglikha ng isang pagpipinta ay hindi na kumpleto nang hindi nalulutas ang mga geometric na problema. Halimbawa, Albrecht Durer Upang matukoy ang mga punto ng ginintuang seksyon, ginamit niya ang proporsyonal na kumpas na kanyang naimbento.

Ang kritiko ng sining na si F.V. Kovalev, nang masuri nang detalyado ang pagpipinta ni Nikolai Ge na "Alexander Sergeevich Pushkin sa nayon ng Mikhailovskoye," ay nagsasaad na ang bawat detalye ng canvas, maging ito ay isang fireplace, isang aparador ng mga aklat, isang armchair, o ang makata mismo, ay mahigpit na nakasulat. sa ginintuang sukat. Ang mga mananaliksik ng golden ratio ay walang kapagurang pinag-aaralan at sinusukat ang mga obra maestra sa arkitektura, na sinasabing sila ay naging ganoon dahil sila ay nilikha ayon sa mga gintong canon: kasama sa kanilang listahan ang Great Pyramids of Giza, Notre Dame Cathedral, St. Basil's Cathedral, at ang Parthenon.

At ngayon, sa anumang sining ng mga spatial na anyo, sinusubukan nilang sundin ang mga proporsyon ng ginintuang seksyon, dahil, ayon sa mga kritiko ng sining, pinadali nila ang pang-unawa sa gawain at bumubuo ng isang aesthetic na pakiramdam sa manonood.

Si Goethe, isang makata, naturalista at artista (iginuhit niya at ipininta sa mga watercolor), pinangarap na lumikha ng isang pinag-isang doktrina ng anyo, pagbuo at pagbabago ng mga organikong katawan. Siya ang nagpakilala ng termino sa pang-agham na gamit morpolohiya.

Si Pierre Curie sa simula ng siglong ito ay bumalangkas ng ilang malalim na ideya tungkol sa simetrya. Nagtalo siya na hindi maaaring isaalang-alang ng isa ang simetrya ng anumang katawan nang hindi isinasaalang-alang ang simetrya ng kapaligiran.

Ang mga batas ng "ginintuang" symmetry ay ipinahayag sa mga paglipat ng enerhiya ng mga elementarya na particle, sa istraktura ng ilang mga kemikal na compound, sa mga planetary at cosmic system, sa mga istruktura ng gene ng mga nabubuhay na organismo. Ang mga pattern na ito, tulad ng ipinahiwatig sa itaas, ay umiiral sa istraktura ng mga indibidwal na organo ng tao at ang katawan sa kabuuan, at nagpapakita rin ng kanilang mga sarili sa biorhythms at paggana ng utak at visual na pang-unawa.

Golden ratio at simetrya

Ang gintong ratio ay hindi maaaring isaalang-alang sa sarili nitong, hiwalay, nang walang koneksyon sa mahusay na proporsyon. Ang mahusay na Russian crystallographer na si G.V. Itinuring ni Wulf (1863...1925) ang gintong ratio bilang isa sa mga pagpapakita ng simetrya.

Ang ginintuang dibisyon ay hindi isang pagpapakita ng kawalaan ng simetrya, isang bagay na kabaligtaran ng simetrya. Ayon sa mga modernong konsepto, ang ginintuang dibisyon ay isang asymmetrical symmetry. Kasama sa agham ng simetrya ang mga konsepto tulad ng static At dynamic na simetrya. Ang static symmetry ay nagpapakilala sa kapayapaan at balanse, habang ang dynamic na simetrya ay nagpapakilala sa paggalaw at paglaki. Kaya, sa kalikasan, ang static na simetrya ay kinakatawan ng istraktura ng mga kristal, at sa sining ay nailalarawan nito ang kapayapaan, balanse at kawalang-kilos. Ang dinamikong simetrya ay nagpapahayag ng aktibidad, nagpapakilala sa paggalaw, pag-unlad, ritmo, ito ay katibayan ng buhay. Ang static na simetrya ay nailalarawan sa pamamagitan ng pantay na mga segment at pantay na halaga. Ang dinamikong simetrya ay nailalarawan sa pamamagitan ng pagtaas ng mga segment o ang kanilang pagbaba, at ito ay ipinahayag sa mga halaga ng ginintuang seksyon ng isang pagtaas o pagbaba ng serye.

Salita, tunog at pelikula

Ang mga anyo ng pansamantalang sining sa kanilang sariling paraan ay nagpapakita sa atin ng prinsipyo ng gintong dibisyon. Ang mga iskolar sa panitikan, halimbawa, ay napansin na ang pinakasikat na bilang ng mga linya sa mga tula ng huling panahon ng gawain ni Pushkin ay tumutugma sa serye ng Fibonacci - 5, 8, 13, 21, 34.

Nalalapat din ang panuntunan ng gintong seksyon sa mga indibidwal na gawa ng klasikong Ruso. Kaya, ang kasukdulan ng "The Queen of Spades" ay ang dramatikong eksena ni Herman and the Countess, na nagtatapos sa pagkamatay ng huli. Ang kuwento ay may 853 na linya, at ang rurok ay nangyayari sa linya 535 (853:535 = 1.6) - ito ang punto ng gintong ratio.

Ang musikero ng Sobyet na si E.K. Rosenov ay nagtatala ng kamangha-manghang katumpakan ng mga ratios ng gintong seksyon sa mahigpit at libreng mga anyo ng mga gawa ni Johann Sebastian Bach, na tumutugma sa maalalahanin, puro, teknikal na na-verify na istilo ng master. Totoo rin ito sa mga namumukod-tanging gawa ng iba pang mga kompositor, kung saan ang pinakakapansin-pansin o hindi inaasahang solusyon sa musika ay kadalasang nangyayari sa puntong ginintuang ratio.

Ang direktor ng pelikula na si Sergei Eisenstein ay sadyang nag-coordinate ng script ng kanyang pelikulang "Battleship Potemkin" na may panuntunan ng golden ratio, na hinati ang pelikula sa limang bahagi. Sa unang tatlong seksyon ang aksyon ay nagaganap sa barko, at sa huling dalawa - sa Odessa. Ang paglipat sa mga eksena sa lungsod ay ang ginintuang gitna ng pelikula.

Inaanyayahan ka naming talakayin ang paksa sa aming grupo -

Golden ratio- ito ay tulad ng isang proporsyonal na paghahati ng isang segment sa hindi pantay na mga bahagi, kung saan ang mas maliit na segment ay nauugnay sa mas malaki, dahil ang mas malaki ay sa kabuuan.

a: b = b: c o c: b = b: a.

Ang proporsyon na ito ay:

Halimbawa, sa isang regular na five-pointed star, ang bawat segment ay nahahati sa isang segment na nag-intersect dito sa golden ratio (ibig sabihin, ang ratio ng asul na segment sa berde, pula sa asul, berde hanggang violet ay katumbas 1.618

Karaniwang tinatanggap na ang konsepto ng golden ratio ay ipinakilala sa siyentipikong paggamit ni Pythagoras. May isang palagay na hiniram ni Pythagoras ang kanyang kaalaman mula sa mga Egyptian at Babylonians. Sa katunayan, ang mga proporsyon ng Cheops pyramid, mga templo, bas-relief, mga gamit sa bahay at alahas mula sa libingan ng Tutankhamun ay nagpapahiwatig na ginamit ng mga manggagawang Egyptian ang mga ratio ng gintong dibisyon kapag nilikha ang mga ito.

Noong 1855, inilathala ng German researcher ng golden ratio, Propesor Zeising, ang kanyang trabaho "Aesthetic Research".
Sinusukat ni Zeising ang humigit-kumulang dalawang libong katawan ng tao at dumating sa konklusyon na ang gintong ratio ay nagpapahayag ng average na batas sa istatistika.

Mga gintong proporsyon sa mga bahagi ng katawan ng tao

Ang paghahati ng katawan sa pamamagitan ng pusod ay ang pinakamahalagang tagapagpahiwatig ng gintong ratio. Ang mga proporsyon ng katawan ng lalaki ay nagbabago sa loob ng average na ratio ng 13: 8 = 1.625 at medyo mas malapit sa gintong ratio kaysa sa mga proporsyon ng babaeng katawan, na may kaugnayan kung saan ang average na halaga ng proporsyon ay ipinahayag sa ratio 8: 5 = 1.6.

Sa isang bagong panganak ang proporsyon ay 1:1, sa edad na 13 ito ay 1.6, at sa edad na 21 ito ay katumbas ng sa isang lalaki.
Ang mga proporsyon ng gintong ratio ay lilitaw din na may kaugnayan sa iba pang mga bahagi ng katawan - ang haba ng balikat, bisig at kamay, kamay at mga daliri, atbp.
Sinubukan ni Zeising ang bisa ng kanyang teorya sa mga estatwa ng Greek. Binuo niya ang mga proporsyon ng Apollo Belvedere sa pinakadetalye. Ang mga plorera ng Griyego, mga istrukturang arkitektura ng iba't ibang panahon, mga halaman, mga hayop, mga itlog ng ibon, mga tono ng musika, at mga mala-tula na metro ay pinag-aralan.

Nagbigay ng depinisyon si Zeising sa golden ratio at ipinakita kung paano ito ipinahayag sa mga segment ng tuwid na linya at sa mga numero. Nang makuha ang mga figure na nagpapahayag ng mga haba ng mga segment, nakita ni Zeising na ang mga ito ay umaabot Serye ng Fibonacci.

Isang serye ng mga numero 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, atbp. kilala bilang seryeng Fibonacci. Ang kakaiba ng pagkakasunud-sunod ng mga numero ay ang bawat isa sa mga miyembro nito, simula sa ikatlo, katumbas ng kabuuan ng naunang dalawa 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34, atbp., at ang ratio ng mga katabing numero sa serye ay lumalapit sa ratio ng gintong dibisyon.

Kaya, 21: 34 = 0.617, at 34: 55 = 0,618. (o 1.618 , kung hinati mas malaking bilang sa mas kaunti).

Serye ng Fibonacci ay maaaring nanatili lamang sa isang matematikal na insidente, kung hindi para sa katotohanan na ang lahat ng mga mananaliksik ng ginintuang dibisyon sa mundo ng halaman at hayop, hindi banggitin ang sining, ay palaging dumating sa seryeng ito bilang isang pagpapahayag ng aritmetika ng batas ng ginintuang seksyon.

Golden ratio sa sining

Bumalik noong 1925, kritiko ng sining na si L.L. Sabaneev, na nasuri noong 1770 mga gawang musikal 42 na mga may-akda, ay nagpakita na ang karamihan sa mga namumukod-tanging mga gawa ay madaling nahahati sa mga bahagi alinman sa pamamagitan ng tema, o sa pamamagitan ng istraktura ng intonasyon, o sa pamamagitan ng istraktura ng mode, na nauugnay sa bawat isa kaugnay ng gintong ratio.

Bukod dito, mas talented ang kompositor, mas marami higit pa ang mga gintong ratio ay natagpuan sa kanyang mga gawa. Sa Arensky, Beethoven, Borodin, Haydn, Mozart, Scriabin, Chopin at Schubert, ang mga gintong seksyon ay natagpuan sa 90% ng lahat ng mga gawa. Ayon kay Sabaneev, ang gintong ratio ay humahantong sa impresyon ng isang espesyal na pagkakaisa ng isang musikal na komposisyon.

Sa sinehan, artipisyal na itinayo ni S. Eisenstein ang pelikulang Battleship Potemkin ayon sa mga patakaran ng "golden ratio". Hinati niya ang tape sa limang bahagi. Sa unang tatlo, ang aksyon ay nagaganap sa isang barko. Sa huling dalawang - sa Odessa, kung saan ang pag-aalsa ay paglalahad. Ang paglipat na ito sa lungsod ay nangyayari nang eksakto sa gintong ratio point. At ang bawat bahagi ay may sariling bali, na nangyayari ayon sa batas ng gintong ratio.

Ang isa sa mga pinakamagandang gawa ng sinaunang arkitektura ng Greek ay ang Parthenon (ika-5 siglo BC).

Ang mga figure ay nagpapakita ng isang bilang ng mga pattern na nauugnay sa golden ratio. Ang mga proporsyon ng gusali ay maaaring ipahayag sa pamamagitan ng iba't ibang kapangyarihan ng numero Ф=0.618...

Sa floor plan ng Parthenon makikita mo rin ang "mga gintong parihaba":

Makikita natin ang golden ratio sa gusali ng Notre Dame Cathedral (Notre Dame de Paris) at sa Pyramid of Cheops:

Hindi lamang ang Egyptian pyramids ay itinayo alinsunod sa perpektong proporsyon ng golden ratio; ang parehong phenomenon ay natagpuan sa Mexican pyramids.

Ang ginintuang proporsyon ay ginamit ng maraming sinaunang iskultor. Ang ginintuang proporsyon ng estatwa ni Apollo Belvedere ay kilala: ang taas ng itinatanghal na tao ay nahahati sa linya ng pusod sa gintong seksyon.

Ang paglipat sa mga halimbawa ng "gintong ratio" sa pagpipinta, hindi maaaring hindi tumutok ang isang tao sa gawain ni Leonardo da Vinci. Tingnan nating mabuti ang pagpipinta na "La Gioconda". Ang komposisyon ng larawan ay batay sa "mga gintong tatsulok".

Golden ratio sa mga font at gamit sa bahay

Golden ratio sa kalikasan

Ipinakita ng mga pag-aaral sa biyolohikal na, simula sa mga virus at halaman at nagtatapos sa katawan ng tao, ang ginintuang proporsyon ay ipinahayag sa lahat ng dako, na nagpapakilala sa proporsyonalidad at pagkakaisa ng kanilang istraktura. Ang gintong ratio ay kinikilala bilang isang unibersal na batas ng mga sistema ng pamumuhay.

Napag-alaman na ang mga numerong serye ng mga numero ng Fibonacci ay nagpapakilala sa istrukturang organisasyon ng maraming mga sistema ng pamumuhay. Halimbawa, ang helical leaf arrangement sa isang branch ay bumubuo ng isang fraction (bilang ng mga revolution sa stem/bilang ng mga dahon sa isang cycle, hal 2/5; 3/8; 5/13), na tumutugma sa Fibonacci series.

Ang "ginintuang" proporsyon ng limang talulot na mga bulaklak ng mansanas, peras at maraming iba pang mga halaman ay kilala. Ang mga carrier ng genetic code - DNA at RNA molecules - ay may double helix structure; ang mga sukat nito ay halos ganap na tumutugma sa mga numero ng serye ng Fibonacci.

Binigyang-diin ni Goethe ang hilig ng kalikasan patungo sa spirality.

Hinahabi ng spider ang web nito sa isang spiral pattern. Ang isang bagyo ay umiikot na parang spiral. Ang isang takot na kawan ng mga reindeer ay nakakalat sa isang spiral.

Tinawag ni Goethe ang spiral na "kurba ng buhay." Ang spiral ay nakita sa pag-aayos ng mga sunflower seeds, pine cones, pineapples, cacti, atbp.

Mga bulaklak at buto ng sunflower, mansanilya, kaliskis sa mga prutas ng pinya, conifer cone"naka-pack" sa logarithmic ("ginintuang") na mga spiral, na kumukulot patungo sa isa't isa, at ang mga numero ng "kanan" at "kaliwa" na mga spiral ay palaging nauugnay sa isa't isa, tulad ng magkalapit na mga numero ng Fibonacci.

Isaalang-alang ang isang chicory shoot. Ang isang shoot ay nabuo mula sa pangunahing tangkay. Ang unang dahon ay matatagpuan doon. Ang shoot ay gumagawa ng isang malakas na pagbuga sa kalawakan, huminto, naglalabas ng isang dahon, ngunit sa pagkakataong ito ito ay mas maikli kaysa sa una, muli ay gumagawa ng isang pagbuga sa kalawakan, ngunit sa mas kaunting puwersa, naglalabas ng isang dahon na mas maliit pa ang sukat at muling ibinubog. .

Kung ang unang paglabas ay kinuha bilang 100 mga yunit, kung gayon ang pangalawa ay katumbas ng 62 mga yunit, ang pangatlo - 38, ang ikaapat - 24, atbp. Ang haba ng mga petals ay napapailalim din sa ginintuang proporsyon. Sa paglaki at pagsakop sa espasyo, ang halaman ay nagpapanatili ng ilang mga sukat. Ang mga impulses ng paglago nito ay unti-unting bumaba sa proporsyon sa gintong ratio.

Sa maraming butterflies, ang ratio ng laki ng thoracic at tiyan na bahagi ng katawan ay tumutugma sa golden ratio. Sa pagtiklop ng mga pakpak nito, ang gamu-gamo ay bumubuo ng isang regular na equilateral triangle. Ngunit kung ikakalat mo ang iyong mga pakpak, makikita mo ang parehong prinsipyo ng paghahati ng katawan sa 2,3,5,8. Ang tutubi ay nilikha din ayon sa mga batas ng ginintuang proporsyon: ang ratio ng haba ng buntot at katawan ay katumbas ng ratio ng kabuuang haba sa haba ng buntot.

Sa butiki, ang haba ng buntot nito ay nauugnay sa haba ng natitirang bahagi ng katawan bilang 62 hanggang 38. Mapapansin mo ang ginintuang sukat kung titingnan mong mabuti ang itlog ng ibon.