Ang cosine ng isang matinding anggulo sa isang right triangle ay tinatawag. Kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent

Ang trigonometrya ay isang sangay ng mathematical science na nag-aaral trigonometriko function at ang kanilang paggamit sa geometry. Ang pag-unlad ng trigonometrya ay nagsimula sa sinaunang Greece. Noong Middle Ages mahalagang kontribusyon Ang mga siyentipiko mula sa Gitnang Silangan at India ay nag-ambag sa pag-unlad ng agham na ito.

Ang artikulong ito ay nakatuon sa mga pangunahing konsepto at kahulugan ng trigonometrya. Tinatalakay nito ang mga kahulugan ng mga pangunahing trigonometric function: sine, cosine, tangent at cotangent. Ang kanilang kahulugan ay ipinaliwanag at inilalarawan sa konteksto ng geometry.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Sa una, ang mga kahulugan ng trigonometric function na ang argumento ay isang anggulo ay ipinahayag sa mga tuntunin ng ratio ng mga gilid ng isang right triangle.

Mga kahulugan ng trigonometriko function

Ang sine ng isang anggulo (sin α) ay ang ratio ng binti sa tapat ng anggulong ito sa hypotenuse.

Cosine ng anggulo (cos α) - ratio katabing binti sa hypotenuse.

Angle tangent (t g α) - ang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa katabing bahagi.

Angle cotangent (c t g α) - ang ratio ng katabing bahagi sa kabaligtaran.

Ang mga kahulugan na ito ay ibinigay para sa matinding anggulo ng isang tamang tatsulok!

Magbigay tayo ng isang ilustrasyon.

Sa isang tatsulok na ABC na may tamang anggulo C, ang sine ng anggulo A ay katumbas ng ratio ng leg BC sa hypotenuse AB.

Ang mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ay nagbibigay-daan sa iyo upang kalkulahin ang mga halaga ng mga function na ito mula sa mga kilalang haba ng mga gilid ng tatsulok.

Mahalagang tandaan!

Ang hanay ng mga halaga ng sine at cosine ay mula -1 hanggang 1. Sa madaling salita, ang sine at cosine ay kumukuha ng mga halaga mula -1 hanggang 1. Ang hanay ng mga halaga ng tangent at cotangent ay ang buong linya ng numero, ibig sabihin, ang mga function na ito ay maaaring tumagal sa anumang mga halaga.

Ang mga kahulugang ibinigay sa itaas ay nalalapat sa mga talamak na anggulo. Sa trigonometrya, ipinakilala ang konsepto ng anggulo ng pag-ikot, ang halaga nito, hindi katulad ng isang matinding anggulo, ay hindi limitado sa 0 hanggang 90 degrees Ang anggulo ng pag-ikot sa mga degree o radian ay ipinahayag ng anumang tunay na numero mula - ∞ hanggang + ∞.

Sa kontekstong ito, maaari nating tukuyin ang sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo ng arbitrary na magnitude. Isipin natin ang isang bilog na yunit na may sentro nito sa pinanggalingan ng Cartesian coordinate system.

Ang paunang puntong A na may mga coordinate (1, 0) ay umiikot sa gitna ng bilog ng yunit sa isang tiyak na anggulo α at papunta sa puntong A 1. Ang kahulugan ay ibinigay sa mga tuntunin ng mga coordinate ng point A 1 (x, y).

Sine (sin) ng anggulo ng pag-ikot

Ang sine ng rotation angle α ay ang ordinate ng point A 1 (x, y). kasalanan α = y

Cosine (cos) ng anggulo ng pag-ikot

Ang cosine ng anggulo ng pag-ikot α ay ang abscissa ng punto A 1 (x, y). cos α = x

Tangent (tg) ng anggulo ng pag-ikot

Ang tangent ng anggulo ng pag-ikot α ay ang ratio ng ordinate ng point A 1 (x, y) sa abscissa nito. t g α = y x

Cotangent (ctg) ng anggulo ng pag-ikot

Ang cotangent ng anggulo ng pag-ikot α ay ang ratio ng abscissa ng punto A 1 (x, y) sa ordinate nito. c t g α = x y

Ang sine at cosine ay tinukoy para sa anumang anggulo ng pag-ikot. Ito ay lohikal, dahil ang abscissa at ordinate ng isang punto pagkatapos ng pag-ikot ay maaaring matukoy sa anumang anggulo. Iba ang sitwasyon sa tangent at cotangent. Ang tangent ay hindi natukoy kapag ang isang punto pagkatapos ng pag-ikot ay napupunta sa isang puntong may zero abscissa (0, 1) at (0, - 1). Sa ganitong mga kaso, ang expression para sa tangent t g α = y x ay walang katuturan, dahil naglalaman ito ng dibisyon sa pamamagitan ng zero. Ang sitwasyon ay katulad sa cotangent. Ang pagkakaiba ay ang cotangent ay hindi tinukoy sa mga kaso kung saan ang ordinate ng isang punto ay napupunta sa zero.

Mahalagang tandaan!

Ang sinus at cosine ay tinukoy para sa anumang mga anggulo α.

Tinutukoy ang tangent para sa lahat ng anggulo maliban sa α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

Tinutukoy ang cotangent para sa lahat ng mga anggulo maliban sa α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Kapag nilulutas ang mga praktikal na halimbawa, huwag sabihin ang "sine ng anggulo ng pag-ikot α". Ang mga salitang "anggulo ng pag-ikot" ay tinanggal lamang, na nagpapahiwatig na malinaw na sa konteksto ang tinatalakay.

Mga numero

Paano ang kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang numero, at hindi ang anggulo ng pag-ikot?

Sine, cosine, tangent, cotangent ng isang numero

Sine, cosine, tangent at cotangent ng isang numero t ay isang numero na ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng sine, cosine, tangent at cotangent in t radian.

Halimbawa, ang sine ng numerong 10 π ay katumbas ng sine ng anggulo ng pag-ikot ng 10 π rad.

May isa pang diskarte sa pagtukoy ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang numero. Tingnan natin ito nang maigi.

Anumang tunay na numero t ang isang punto sa bilog ng yunit ay nauugnay sa sentro sa pinagmulan ng hugis-parihaba na Cartesian coordinate system. Ang sine, cosine, tangent at cotangent ay tinutukoy sa pamamagitan ng mga coordinate ng puntong ito.

Ang panimulang punto sa bilog ay punto A na may mga coordinate (1, 0).

Positibong numero t

Negatibong numero t tumutugma sa punto kung saan pupunta ang panimulang punto kung ito ay gumagalaw sa bilog na pakaliwa at dadaan sa landas t.

Ngayon na ang koneksyon sa pagitan ng isang numero at isang punto sa isang bilog ay naitatag na, nagpapatuloy tayo sa kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent.

Sine (kasalanan) ng t

Sine ng isang numero t- ordinate ng isang punto sa bilog ng yunit na naaayon sa numero t. kasalanan t = y

Cosine (cos) ng t

Cosine ng isang numero t- abscissa ng punto ng bilog na yunit na naaayon sa numero t. cos t = x

Padaplis (tg) ng t

Tangent ng isang numero t- ang ratio ng ordinate sa abscissa ng isang punto sa bilog ng yunit na naaayon sa numero t. t g t = y x = sin t cos t

Ang pinakabagong mga kahulugan ay alinsunod sa at hindi sumasalungat sa kahulugan na ibinigay sa simula ng talatang ito. Ituro ang bilog na katumbas ng numero t, ay tumutugma sa punto kung saan pupunta ang panimulang punto pagkatapos lumiko sa isang anggulo t radian.

Trigonometric function ng angular at numeric na argumento

Ang bawat halaga ng anggulo α ay tumutugma sa isang tiyak na halaga ng sine at cosine ng anggulong ito. Tulad ng lahat ng mga anggulo α maliban sa α = 90 ° + 180 ° k, ang k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) ay tumutugma sa isang tiyak na halaga ng tangent. Ang Cotangent, gaya ng nakasaad sa itaas, ay tinukoy para sa lahat ng α maliban sa α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Masasabi nating ang sin α, cos α, t g α, c t g α ay mga function ng anggulo alpha, o mga function ng angular argument.

Katulad nito, maaari nating pag-usapan ang tungkol sa sine, cosine, tangent at cotangent bilang mga function ng isang numerical argument. Bawat totoong numero t tumutugma sa isang tiyak na halaga ng sine o cosine ng isang numero t. Lahat ng numero maliban sa π 2 + π · k, k ∈ Z, ay tumutugma sa isang padaplis na halaga. Ang Cotangent, katulad, ay tinukoy para sa lahat ng mga numero maliban sa π · k, k ∈ Z.

Mga pangunahing pag-andar ng trigonometrya

Sine, cosine, tangent at cotangent ay ang mga pangunahing trigonometric function.

Karaniwang malinaw sa konteksto kung aling argumento ng trigonometriko function (angular argumento o numeric argument) ang ating pinag-uusapan.

Bumalik tayo sa mga kahulugang ibinigay sa pinakasimula at ang anggulo ng alpha, na nasa hanay mula 0 hanggang 90 degrees. Ang mga kahulugan ng trigonometriko ng sine, cosine, tangent at cotangent ay ganap na naaayon sa mga geometric na kahulugan, na ibinigay gamit ang mga aspect ratio ng isang right triangle. Ipakita natin.

Kumuha tayo ng unit circle na may sentro sa isang rectangular Cartesian coordinate system. Iikot natin ang panimulang punto A (1, 0) sa isang anggulo na hanggang 90 degrees at gumuhit ng patayo sa abscissa axis mula sa nagresultang punto A 1 (x, y). Sa resultang tamang tatsulok, anggulo A 1 O H katumbas ng anggulo turn α, ang haba ng binti O H ay katumbas ng abscissa ng point A 1 (x, y). Ang haba ng binti sa tapat ng anggulo ay katumbas ng ordinate ng point A 1 (x, y), at ang haba ng hypotenuse ay katumbas ng isa, dahil ito ang radius ng unit circle.

Alinsunod sa kahulugan mula sa geometry, ang sine ng anggulo α ay katumbas ng ratio ng kabaligtaran na bahagi sa hypotenuse.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Nangangahulugan ito na ang pagtukoy sa sine ng isang talamak na anggulo sa isang tamang tatsulok sa pamamagitan ng aspect ratio ay katumbas ng pagtukoy sa sine ng anggulo ng pag-ikot α, na may alpha na nakahiga sa hanay mula 0 hanggang 90 degrees.

Katulad nito, ang pagsusulatan ng mga kahulugan ay maaaring ipakita para sa cosine, tangent at cotangent.

Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Sisimulan natin ang ating pag-aaral ng trigonometry gamit ang tamang tatsulok. Tukuyin natin kung ano ang sine at cosine, pati na rin ang tangent at cotangent ng isang matinding anggulo. Ito ang mga pangunahing kaalaman sa trigonometrya.

Paalalahanan ka namin tamang anggulo ay isang anggulo na katumbas ng 90 degrees. Sa madaling salita, kalahating naka-anggulo.

Talamak na anggulo- mas mababa sa 90 degrees.

Maling anggulo- higit sa 90 degrees. Kaugnay ng ganoong anggulo, ang "obtuse" ay hindi isang insulto, ngunit isang mathematical term :-)

Gumuhit tayo ng tamang tatsulok. Ang tamang anggulo ay karaniwang tinutukoy ng . Pakitandaan na ang gilid sa tapat ng sulok ay ipinahiwatig ng parehong titik, maliit lamang. Kaya, ang gilid na kabaligtaran ng anggulo A ay itinalaga .

Ang anggulo ay tinutukoy ng katumbas na titik ng Griyego.

Hypotenuse ng isang kanang tatsulok ay ang gilid na kabaligtaran tamang anggulo.

Mga binti- mga gilid na nakahiga sa tapat ng mga talamak na anggulo.

Ang binti na nakahiga sa tapat ng anggulo ay tinatawag kabaligtaran(kamag-anak sa anggulo). Ang kabilang binti, na namamalagi sa isa sa mga gilid ng anggulo, ay tinatawag katabi.

Sinus Ang talamak na anggulo sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa hypotenuse:

Cosine talamak na anggulo sa isang kanang tatsulok - ang ratio ng katabing binti sa hypotenuse:

Padaplis talamak na anggulo sa isang kanang tatsulok - ang ratio ng kabaligtaran sa katabi:

Isa pang (katumbas) na kahulugan: ang tangent ng isang matinding anggulo ay ang ratio ng sine ng anggulo sa cosine nito:

Cotangent talamak na anggulo sa isang kanang tatsulok - ang ratio ng katabing bahagi sa kabaligtaran (o, na pareho, ang ratio ng cosine sa sine):

Pansinin ang mga pangunahing ugnayan para sa sine, cosine, tangent, at cotangent sa ibaba. Magiging kapaki-pakinabang ang mga ito sa atin kapag nilulutas ang mga problema.

Patunayan natin ang ilan sa kanila.

Okay, nagbigay kami ng mga kahulugan at nakasulat na mga formula. Ngunit bakit kailangan pa rin natin ang sine, cosine, tangent at cotangent?

Alam natin yan ang kabuuan ng mga anggulo ng anumang tatsulok ay katumbas ng.

Alam namin ang relasyon sa pagitan mga partido kanang tatsulok. Ito ang Pythagorean theorem: .

Ito ay lumiliko na ang pag-alam ng dalawang anggulo sa isang tatsulok, maaari mong mahanap ang pangatlo. Ang pag-alam sa dalawang panig ng isang tamang tatsulok, mahahanap mo ang pangatlo. Nangangahulugan ito na ang mga anggulo ay may sariling ratio, at ang mga panig ay may sariling ratio. Ngunit ano ang dapat mong gawin kung sa isang tamang tatsulok alam mo ang isang anggulo (maliban sa tamang anggulo) at isang gilid, ngunit kailangan mong hanapin ang iba pang mga panig?

Ito ang nakatagpo ng mga tao noon sa paggawa ng mga mapa ng lugar at ng mabituing kalangitan. Pagkatapos ng lahat, hindi laging posible na direktang sukatin ang lahat ng panig ng isang tatsulok.

Sine, cosine at tangent - tinatawag din sila trigonometriko anggulo function- magbigay ng mga relasyon sa pagitan mga partido At mga sulok tatsulok. Alam ang anggulo, mahahanap mo ang lahat ng trigonometriko na pag-andar nito gamit ang mga espesyal na talahanayan. At ang pag-alam sa mga sine, cosine at tangent ng mga anggulo ng isang tatsulok at isa sa mga gilid nito, mahahanap mo ang natitira.

Gumuhit din kami ng isang talahanayan ng mga halaga ng sine, cosine, tangent at cotangent para sa "magandang" anggulo mula hanggang.

Pakitandaan ang dalawang pulang gitling sa talahanayan. Sa naaangkop na mga halaga ng anggulo, ang tangent at cotangent ay hindi umiiral.

Tingnan natin ang ilang problema sa trigonometrya mula sa FIPI Task Bank.

1. Sa isang tatsulok, ang anggulo ay , . Hanapin ang .

Ang problema ay malulutas sa loob ng apat na segundo.

Dahil , .

2. Sa isang tatsulok, ang anggulo ay , , . Hanapin ang .

Hanapin natin ito gamit ang Pythagorean theorem.

Ang problema ay nalutas.

Kadalasan sa mga problema ay may mga tatsulok na may mga anggulo at o may mga anggulo at. Alalahanin ang mga pangunahing ratio para sa kanila sa pamamagitan ng puso!

Para sa isang tatsulok na may mga anggulo at ang binti sa tapat ng anggulo sa ay katumbas ng kalahati ng hypotenuse.

Isang tatsulok na may mga anggulo at isosceles. Sa loob nito, ang hypotenuse ay beses na mas malaki kaysa sa binti.

Tiningnan namin ang mga problema sa paglutas ng mga tamang tatsulok - iyon ay, paghahanap ng mga hindi kilalang panig o anggulo. Ngunit hindi lang iyon! SA Mga opsyon sa Pinag-isang State Exam sa matematika maraming problema kung saan lumalabas ang sine, cosine, tangent o cotangent ng panlabas na anggulo ng isang tatsulok. Higit pa tungkol dito sa susunod na artikulo.

Sa artikulong ito ipapakita namin kung paano magbigay mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo at numero sa trigonometry. Dito ay pag-uusapan natin ang tungkol sa mga notasyon, magbigay ng mga halimbawa ng mga entry, at magbibigay ng mga graphic na ilustrasyon. Sa konklusyon, gumuhit tayo ng parallel sa pagitan ng mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent sa trigonometry at geometry.

Pag-navigate sa pahina.

Kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent

Tingnan natin kung paano nabuo ang ideya ng sine, cosine, tangent at cotangent kurso sa paaralan matematika. Sa mga aralin sa geometry, ibinibigay ang kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang acute angle sa isang right triangle. At sa paglaon ay pinag-aralan ang trigonometrya, na pinag-uusapan ang tungkol sa sine, cosine, tangent at cotangent ng anggulo ng pag-ikot at numero. Ilahad natin ang lahat ng mga kahulugang ito, magbigay ng mga halimbawa at magbigay ng mga kinakailangang komento.

Talamak na anggulo sa isang tamang tatsulok

Mula sa kursong geometry alam natin ang mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang acute angle sa isang right triangle. Ang mga ito ay ibinibigay bilang ratio ng mga gilid ng isang tamang tatsulok. Ibigay natin ang kanilang mga formulations.

Kahulugan.

Sine ng isang matinding anggulo sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa hypotenuse.

Kahulugan.

Cosine ng isang matinding anggulo sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng katabing binti sa hypotenuse.

Kahulugan.

Tangent ng isang matinding anggulo sa isang tamang tatsulok– ito ang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa katabing bahagi.

Kahulugan.

Cotangent ng isang matinding anggulo sa isang tamang tatsulok- ito ang ratio ng katabing bahagi sa kabaligtaran.

Ang mga pagtatalaga para sa sine, cosine, tangent at cotangent ay ipinakilala din doon - sin, cos, tg at ctg, ayon sa pagkakabanggit.

Halimbawa, kung ang ABC ay isang tamang tatsulok na may tamang anggulo C, kung gayon ang sine ng matinding anggulo A ay katumbas ng ratio ng kabaligtaran na bahagi BC sa hypotenuse AB, iyon ay, sin∠A=BC/AB.

Ang mga kahulugan na ito ay nagpapahintulot sa iyo na kalkulahin ang mga halaga ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang matinding anggulo mula sa kilalang haba ng mga gilid ng isang right triangle, pati na rin mula sa mga kilalang halaga ng sine, cosine, tangent, cotangent at ang haba ng isa sa mga gilid upang mahanap ang mga haba ng iba pang mga panig. Halimbawa, kung alam natin na sa isang right triangle ang leg AC ay katumbas ng 3 at ang hypotenuse AB ay katumbas ng 7, pagkatapos ay maaari nating kalkulahin ang halaga ng cosine ng acute angle A sa pamamagitan ng kahulugan: cos∠A=AC/ AB=3/7.

Anggulo ng pag-ikot

Sa trigonometrya, sinimulan nilang tingnan ang anggulo nang mas malawak - ipinakilala nila ang konsepto ng anggulo ng pag-ikot. Ang magnitude ng anggulo ng pag-ikot, hindi tulad ng isang matinding anggulo, ay hindi limitado sa 0 hanggang 90 degrees ang anggulo ng pag-ikot sa mga degree (at sa radians) ay maaaring ipahayag ng anumang tunay na numero mula −∞ hanggang +∞.

Sa ganitong liwanag, ang mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ay ibinibigay hindi ng isang matinding anggulo, ngunit ng isang anggulo ng di-makatwirang laki - ang anggulo ng pag-ikot. Ibinibigay ang mga ito sa pamamagitan ng x at y coordinates ng point A 1, kung saan ang tinatawag na starting point A(1, 0) ay napupunta pagkatapos ng pag-ikot nito sa pamamagitan ng isang anggulo α sa paligid ng point O - ang simula ng rectangular Cartesian coordinate system at ang gitna ng bilog na yunit.

Kahulugan.

Sine ng anggulo ng pag-ikot Ang α ay ang ordinate ng point A 1, iyon ay, sinα=y.

Kahulugan.

Cosine ng anggulo ng pag-ikot Ang α ay tinatawag na abscissa ng punto A 1, iyon ay, cosα=x.

Kahulugan.

Tangent ng anggulo ng pag-ikot Ang α ay ang ratio ng ordinate ng point A 1 sa abscissa nito, iyon ay, tanα=y/x.

Kahulugan.

Cotangent ng anggulo ng pag-ikot Ang α ay ang ratio ng abscissa ng point A 1 sa ordinate nito, iyon ay, ctgα=x/y.

Ang sine at cosine ay tinukoy para sa anumang anggulo α, dahil palagi nating matutukoy ang abscissa at ordinate ng punto, na nakukuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng panimulang punto sa pamamagitan ng anggulo α. Ngunit ang tangent at cotangent ay hindi tinukoy para sa anumang anggulo. Ang tangent ay hindi tinukoy para sa mga anggulo α kung saan ang panimulang punto ay papunta sa isang puntong may zero abscissa (0, 1) o (0, −1), at ito ay nangyayari sa mga anggulo 90°+180° k, k∈Z (π /2+π·k rad). Sa katunayan, sa ganitong mga anggulo ng pag-ikot, ang expression na tgα=y/x ay walang katuturan, dahil naglalaman ito ng dibisyon sa pamamagitan ng zero. Tulad ng para sa cotangent, hindi ito tinukoy para sa mga anggulo α kung saan ang panimulang punto ay papunta sa punto na may zero ordinate (1, 0) o (−1, 0), at ito ay nangyayari para sa mga anggulo na 180° k, k ∈Z (π·k rad).

Kaya, ang sine at cosine ay tinukoy para sa anumang mga anggulo ng pag-ikot, ang tangent ay tinukoy para sa lahat ng mga anggulo maliban sa 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad), at ang cotangent ay tinukoy para sa lahat ng mga anggulo maliban sa 180° ·k , k∈Z (π·k rad).

Kasama sa mga kahulugan ang mga pagtatalaga na alam na natin na sin, cos, tg at ctg, ginagamit din ang mga ito upang italaga ang sine, cosine, tangent at cotangent ng anggulo ng pag-ikot (kung minsan ay makikita mo ang mga pagtatalaga na tan at cot na tumutugma sa tangent at cotangent) . Kaya ang sine ng isang rotation angle na 30 degrees ay maaaring isulat bilang sin30°, ang mga entry na tg(−24°17′) at ctgα ay tumutugma sa tangent ng rotation angle −24 degrees 17 minuto at ang cotangent ng rotation angle α . Alalahanin na kapag isinusulat ang radian na sukat ng isang anggulo, ang pagtatalaga na "rad" ay madalas na tinanggal. Halimbawa, ang cosine ng isang anggulo ng pag-ikot ng tatlong pi rad ay karaniwang tinutukoy na cos3·π.

Sa pagtatapos ng puntong ito, nararapat na tandaan na kapag pinag-uusapan ang tungkol sa sine, cosine, tangent at cotangent ng anggulo ng pag-ikot, ang pariralang "anggulo ng pag-ikot" o ang salitang "pag-ikot" ay madalas na tinanggal. Iyon ay, sa halip na ang pariralang "sine ng anggulo ng pag-ikot alpha," ang pariralang "sine ng alpha angle" o, kahit na mas maikli, "sine alpha" ay karaniwang ginagamit. Ang parehong naaangkop sa cosine, tangent, at cotangent.

Sasabihin din natin na ang mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang acute angle sa isang right triangle ay pare-pareho sa mga kahulugan na ibinigay lamang para sa sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo ng pag-ikot mula 0 hanggang 90 degrees. Bibigyan natin ng katwiran ito.

Mga numero

Kahulugan.

Sine, cosine, tangent at cotangent ng isang numero Ang t ay isang numero na katumbas ng sine, cosine, tangent at cotangent ng anggulo ng pag-ikot sa t radians, ayon sa pagkakabanggit.

Halimbawa, ang cosine ng numerong 8·π ayon sa kahulugan ay isang numerong katumbas ng cosine ng anggulo ng 8·π rad. At ang cosine ng isang anggulo ng 8·π rad ay katumbas ng isa, samakatuwid, ang cosine ng numerong 8·π ay katumbas ng 1.

May isa pang diskarte sa pagtukoy ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang numero. Binubuo ito sa katotohanan na ang bawat tunay na numero t ay nauugnay sa isang punto sa bilog ng yunit na may sentro sa pinanggalingan ng rectangular coordinate system, at ang sine, cosine, tangent at cotangent ay tinutukoy sa pamamagitan ng mga coordinate ng puntong ito. Tingnan natin ito nang mas detalyado.

Ipakita natin kung paano naitatag ang isang sulat sa pagitan ng mga tunay na numero at mga punto sa isang bilog:

• ang numero 0 ay itinalaga ang panimulang punto A(1, 0);
• positibong numero Ang t ay nauugnay sa punto ng bilog ng yunit, na mapupuntahan natin kung lilipat tayo sa bilog mula sa panimulang punto sa pakaliwa na direksyon at lalakad sa landas na may haba t;
• negatibong numero Ang t ay nauugnay sa punto ng bilog ng yunit, na mapupuntahan natin kung lilipat tayo sa bilog mula sa panimulang punto sa direksyong pakanan at lalakad sa landas na may haba |t| .

Ngayon ay lumipat tayo sa mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng numerong t. Ipagpalagay natin na ang numerong t ay tumutugma sa isang punto sa bilog na A 1 (x, y) (halimbawa, ang numerong &pi/2; ay tumutugma sa puntong A 1 (0, 1)).

Kahulugan.

Sine ng numero Ang t ay ang ordinate ng punto sa bilog ng yunit na tumutugma sa bilang na t, iyon ay, sint=y.

Kahulugan.

Cosine ng numero Ang t ay tinatawag na abscissa ng punto ng bilog na yunit na naaayon sa bilang na t, iyon ay, gastos=x.

Kahulugan.

Tangent ng numero t ay ang ratio ng ordinate sa abscissa ng isang punto sa bilog ng yunit na naaayon sa bilang na t, iyon ay, tgt=y/x. Sa isa pang katumbas na pagbabalangkas, ang tangent ng isang numero t ay ang ratio ng sine ng numerong ito sa cosine, iyon ay, tgt=sint/cost.

Kahulugan.

Cotangent ng numero t ay ang ratio ng abscissa sa ordinate ng isang punto sa bilog ng yunit na naaayon sa bilang na t, iyon ay, ctgt=x/y. Ang isa pang pormulasyon ay ito: ang tangent ng numerong t ay ang ratio ng cosine ng numerong t sa sine ng numerong t: ctgt=cost/sint.

Dito ay napapansin natin na ang mga katuturang ibinigay ay naaayon sa kahulugang ibinigay sa simula ng talatang ito. Sa katunayan, ang punto sa bilog ng yunit na tumutugma sa numerong t ay tumutugma sa puntong nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng panimulang punto sa pamamagitan ng isang anggulo ng t radian.

Ito ay nagkakahalaga pa ring linawin ang puntong ito. Sabihin nating mayroon tayong entry na sin3. Paano natin mauunawaan kung pinag-uusapan natin ang sine ng numero 3 o ang sine ng anggulo ng pag-ikot ng 3 radians? Ito ay karaniwang malinaw mula sa konteksto, kung hindi, ito ay malamang na hindi mahalaga.

Trigonometric function ng angular at numeric na argumento

Ayon sa mga kahulugang ibinigay sa nakaraang talata, ang bawat anggulo ng pag-ikot α ay tumutugma sa isang napaka-espesipikong halaga ng sinα, gayundin ang halaga ng cosα. Bilang karagdagan, ang lahat ng mga anggulo ng pag-ikot maliban sa 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) ay tumutugma sa mga halaga ng tgα, at mga halaga maliban sa 180°k, k∈Z (πk rad ) – mga halaga ng ctgα . Samakatuwid ang sinα, cosα, tanα at ctgα ay mga function ng anggulong α. Sa madaling salita, ito ay mga function ng angular argument.

Maaari tayong magsalita nang katulad tungkol sa mga function na sine, cosine, tangent at cotangent ng isang numerical argument. Sa katunayan, ang bawat tunay na numero t ay tumutugma sa isang napaka tiyak na halaga ng sint, pati na rin ang gastos. Bilang karagdagan, ang lahat ng mga numero maliban sa π/2+π·k, k∈Z ay tumutugma sa mga halaga ng tgt, at mga numerong π·k, k∈Z - mga halaga ng ctgt.

Tinatawag ang mga function na sine, cosine, tangent at cotangent pangunahing mga function ng trigonometriko.

Ito ay karaniwang malinaw mula sa konteksto kung tayo ay nakikitungo sa trigonometric function ng isang angular argument o isang numerical argument. Kung hindi, maaari nating isipin ang independiyenteng variable bilang parehong sukatan ng anggulo (angular na argumento) at isang numeric na argumento.

Gayunpaman, sa paaralan pangunahin nating pinag-aaralan ang mga numerical function, iyon ay, mga function na ang mga argumento, pati na rin ang kanilang mga katumbas na halaga ng function, ay mga numero. Samakatuwid, kung pinag-uusapan natin partikular tungkol sa mga function, ipinapayong isaalang-alang ang trigonometriko function bilang mga function ng mga numerical na argumento.

Relasyon sa pagitan ng mga kahulugan mula sa geometry at trigonometry

Kung isasaalang-alang natin ang anggulo ng pag-ikot α mula 0 hanggang 90 degrees, kung gayon ang mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng rotation angle sa konteksto ng trigonometry ay ganap na naaayon sa mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang talamak na anggulo sa isang tamang tatsulok, na ibinibigay sa kursong geometry. I-justify natin ito.

Ilarawan natin ang bilog na yunit sa hugis-parihaba na Cartesian coordinate system na Oxy. Markahan natin ang panimulang punto A(1, 0) . I-rotate natin ito sa pamamagitan ng isang anggulo α mula 0 hanggang 90 degrees, makuha natin ang point A 1 (x, y). Ibagsak natin ang patayo A 1 H mula sa punto A 1 hanggang sa axis ng Ox.

Madaling makita na sa isang tamang tatsulok, ang anggulo A 1 OH ay katumbas ng anggulo ng pag-ikot α, ang haba ng binti OH na katabi ng anggulong ito ay katumbas ng abscissa ng punto A 1, iyon ay, |OH |=x, ang haba ng binti A 1 H sa tapat ng anggulo ay katumbas ng ordinate ng punto A 1, iyon ay, |A 1 H|=y, at ang haba ng hypotenuse OA 1 ay katumbas ng isa, dahil ito ang radius ng unit circle. Pagkatapos, sa pamamagitan ng kahulugan mula sa geometry, ang sine ng isang matinding anggulo α sa isang tamang tatsulok A 1 OH ay katumbas ng ratio ng tapat na binti sa hypotenuse, iyon ay, sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. At ayon sa kahulugan mula sa trigonometrya, ang sine ng rotation angle α ay katumbas ng ordinate ng point A 1, iyon ay, sinα=y. Ipinapakita nito na ang pagtukoy sa sine ng isang matinding anggulo sa isang tamang tatsulok ay katumbas ng pagtukoy sa sine ng anggulo ng pag-ikot α kapag ang α ay mula 0 hanggang 90 degrees.

Katulad nito, maipapakita na ang mga kahulugan ng cosine, tangent at cotangent ng isang acute angle α ay pare-pareho sa mga kahulugan ng cosine, tangent at cotangent ng rotation angle α.

Mga sanggunian.

1. Geometry. 7-9 baitang: aklat-aralin para sa pangkalahatang edukasyon mga institusyon / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, atbp.]. - ika-20 ed. M.: Edukasyon, 2010. - 384 p.: may sakit. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V. Geometry: Teksbuk. para sa 7-9 na baitang. pangkalahatang edukasyon mga institusyon / A. V. Pogorelov. - 2nd ed. - M.: Edukasyon, 2001. - 224 p.: may sakit. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Algebra at elementarya function: Tutorial para sa mga mag-aaral sa ika-9 na baitang mataas na paaralan/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; In-edit ng Doctor of Physical and Mathematical Sciences O. N. Golovin - 4th ed. M.: Edukasyon, 1969.
4. Algebra: Teksbuk para sa ika-9 na baitang. avg. paaralan/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Teleyakovsky - M.: Edukasyon, 1990. - 272 pp. - ISBN 5-09-002727-7
5. Algebra at ang simula ng pagsusuri: Proc. para sa 10-11 baitang. pangkalahatang edukasyon mga institusyon / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. Ed. A. N. Kolmogorov - 14th ed. - M.: Edukasyon, 2004. - 384 pp. - ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkovich A. G. Algebra at ang simula ng pagsusuri. ika-10 baitang. Sa 2 p. Bahagi 1: tutorial para sa mga institusyong pang-edukasyon(antas ng profile)/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4th ed., idagdag. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 p.: may sakit. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Algebra at ang simula ng mathematical analysis. Ika-10 baitang: aklat-aralin. para sa pangkalahatang edukasyon institusyon: basic at profile. mga antas /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; inedit ni A. B. Zhizhchenko. - 3rd ed. - I.: Education, 2010.- 368 p.: ill.- ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bashmakov M. I. Algebra at ang simula ng pagsusuri: Textbook. para sa 10-11 baitang. avg. paaralan - 3rd ed. - M.: Edukasyon, 1993. - 351 p.: may sakit. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (isang manwal para sa mga pumapasok sa mga teknikal na paaralan): Proc. allowance.- M.; Mas mataas paaralan, 1984.-351 p., may sakit.

Mga tagubilin

Kung kailangan mong hanapin ang cosine anggulo sa isang arbitrary na tatsulok, kailangan mong gamitin ang cosine theorem:
kung talamak ang anggulo: cos? = (a2 + b2 – c2)/(2ab);
kung anggulo: cos? = (c2 – a2 – b2)/(2ab), kung saan ang a, b ay ang mga haba ng mga gilid na katabi ng sulok, c ay ang haba ng gilid sa tapat ng sulok.

Kapaki-pakinabang na payo

matematikal na notasyon cosine – cos.
Ang halaga ng cosine ay hindi maaaring mas malaki sa 1 at mas mababa sa -1.

Mga Pinagmulan:

• kung paano kalkulahin ang cosine ng isang anggulo
• Trigonometric function sa bilog ng yunit

Cosine ay isang pangunahing trigonometric function ng anggulo. Ang kakayahang matukoy ang cosine ay magiging kapaki-pakinabang sa vector algebra kapag tinutukoy ang mga projection ng mga vector sa iba't ibang mga palakol.

Mga tagubilin

сos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)

Mayroong isang tatsulok na may mga gilid a, b, c na katumbas ng 3, 4, 5 mm, ayon sa pagkakabanggit.

Hanapin cosine ang anggulo sa pagitan ng malalaking panig.

Tukuyin natin ang anggulo sa tapat ng gilid ng ?, pagkatapos, ayon sa pormula na nakuha sa itaas, mayroon tayong:

сos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40 =32/40=0.8

Sagot: 0.8.

Kung ang tatsulok ay tamang anggulo, pagkatapos ay hanapin cosine at para sa isang anggulo sapat na upang malaman ang mga haba ng alinmang dalawang panig ( cosine ang tamang anggulo ay 0).

Hayaang magkaroon ng isang tamang tatsulok na may mga gilid a, b, c, kung saan ang c ay ang hypotenuse.

Isaalang-alang natin ang lahat ng mga pagpipilian:

Hanapin ang cos?, kung ang mga haba ng panig a at b (ng tatsulok) ay kilala

Gamitin din natin ang Pythagorean theorem:

сos?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(b?+b?+а?-а?)/(2*b*v(b?+а?)) =(2*b?)/(2*b*v(b?+a?))=b/v(b?+a?)

Upang matiyak na tama ang resultang formula, pinapalitan namin ito mula sa halimbawa 1, i.e.

Pagkatapos gumawa ng ilang mga pangunahing kalkulasyon, nakukuha namin:

Katulad na natagpuan cosine sa isang hugis-parihaba tatsulok sa ibang mga kaso:

Given a at c (hypotenuse at opposite side), hanapin ang cos?

сos?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(с?-а?+с?-а?)/(2*с*v(с?-а?)) =(2*с?-2*а?)/(2*с*v(с?-а?))=v(с?-а?)/с.

Ang pagpapalit ng mga halaga a=3 at c=5 mula sa halimbawa, nakukuha natin:

Kilalang b at c (hypotenuse at katabing binti).

Maghanap ng cos?

Ang pagkakaroon ng mga katulad na pagbabagong-anyo (ipinapakita sa mga halimbawa 2 at 3), nakuha namin iyon sa kasong ito cosine V tatsulok kinakalkula gamit ang isang napakasimpleng formula:

Ang pagiging simple ng hinangong pormula ay maaaring ipaliwanag nang simple: sa katunayan, katabi ng sulok? ang binti ay isang projection ng hypotenuse, ang haba nito ay katumbas ng haba ng hypotenuse na pinarami ng cos?.

Ang pagpapalit ng mga halaga b=4 at c=5 mula sa unang halimbawa, nakukuha natin:

Nangangahulugan ito na ang lahat ng aming mga formula ay tama.

Tip 5: Paano makahanap ng isang matinding anggulo sa isang tamang tatsulok

Direkta carbonic ang tatsulok ay marahil ang isa sa mga pinakatanyag, mula sa isang makasaysayang punto ng view, geometric figure. Ang "pantalon" ng Pythagorean ay maaari lamang makipagkumpitensya sa "Eureka!" Archimedes.

Kakailanganin mo

• - pagguhit ng isang tatsulok;
• - pinuno;
• - protraktor

Mga tagubilin

Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok ay 180 degrees. Sa isang hugis-parihaba tatsulok ang isang anggulo (tuwid) ay palaging magiging 90 degrees, at ang iba ay talamak, i.e. mas mababa sa 90 degrees bawat isa. Upang matukoy kung anong anggulo ang nasa isang hugis-parihaba tatsulok ay tuwid, gumamit ng ruler upang sukatin ang mga gilid ng tatsulok at matukoy ang pinakamalaki. Ito ang hypotenuse (AB) at matatagpuan sa tapat ng tamang anggulo (C). Ang natitirang dalawang panig ay bumubuo ng isang tamang anggulo at mga binti (AC, BC).

Kapag natukoy mo na kung aling anggulo ang talamak, maaari kang gumamit ng protractor upang kalkulahin ang anggulo gamit ang mga mathematical formula.

Upang matukoy ang anggulo gamit ang isang protractor, ihanay ang tuktok nito (ipahiwatig natin ito sa titik A) na may isang espesyal na marka sa ruler sa gitna ng protractor na AC ay dapat na tumutugma sa itaas na gilid nito. Markahan sa kalahating bilog na bahagi ng protractor ang punto kung saan ang hypotenuse AB. Ang halaga sa puntong ito ay tumutugma sa anggulo sa mga degree. Kung mayroong 2 mga halaga na ipinahiwatig sa protractor, pagkatapos ay para sa isang matinding anggulo kailangan mong piliin ang mas maliit, para sa isang mahinang anggulo - ang mas malaki.

Hanapin ang nagreresultang halaga sa mga sangguniang aklat ng Bradis at tukuyin kung saang anggulo tumutugma ang resultang numerical value. Ginamit ng aming mga lola ang pamamaraang ito.

Sa atin ito ay sapat na upang kunin gamit ang pag-andar ng pagkalkula ng mga trigonometrikong formula. Halimbawa, ang built-in na Windows calculator. Ilunsad ang application na "Calculator", sa item ng menu na "View", piliin ang "Engineering". Kalkulahin ang sine ng gustong anggulo, halimbawa, sin (A) = BC/AB = 2/4 = 0.5

Ilipat ang calculator sa kabaligtaran na mga pag-andar, sa pamamagitan ng pag-click sa INV button sa display ng calculator, pagkatapos ay mag-click sa arcsine function button (ipinahiwatig sa display bilang kasalanan sa minus first power). Ang sumusunod na mensahe ay lalabas sa window ng pagkalkula: asind (0.5) = 30. I.e. ang halaga ng nais na anggulo ay 30 degrees.

Mga Pinagmulan:

• Mga talahanayan ng Bradis (sines, cosine)

Ang cosine theorem sa matematika ay kadalasang ginagamit kapag kinakailangan upang mahanap ang ikatlong bahagi ng isang anggulo at dalawang panig. Gayunpaman, kung minsan ang kondisyon ng problema ay ibinabalik sa paligid: kailangan mong makahanap ng isang anggulo na may ibinigay na tatlong panig.

Mga tagubilin

Isipin na bibigyan ka ng isang tatsulok kung saan ang mga haba ng dalawang panig at ang halaga ng isang anggulo ay kilala. Ang lahat ng mga anggulo ng tatsulok na ito ay hindi pantay sa bawat isa, at ang mga gilid nito ay magkakaiba din sa laki. Ang anggulo γ ay nasa tapat ng gilid ng tatsulok, na itinalagang AB, na siyang figure na ito. Sa pamamagitan ng anggulong ito, pati na rin sa mga natitirang panig AC at BC, mahahanap mo ang gilid ng tatsulok na hindi alam gamit ang cosine theorem, na nagmula dito ang formula na ipinakita sa ibaba:
a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, kung saan a=BC, b=AB, c=AC
Ang cosine theorem ay kung hindi man ay tinatawag na generalized Pythagorean theorem.

Ngayon isipin na ang lahat ng tatlong panig ng figure ay ibinigay, ngunit ang anggulo γ nito ay hindi alam. Alam na ang anyo na a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, ibahin ang anyo ng expression na ito upang ang nais na halaga ay maging anggulo γ: b^2+c^2=2bc*cosγ+a^2.
Pagkatapos ay ilagay ang equation sa itaas sa isang bahagyang naiibang anyo: b^2+c^2-a^2=2bc*cosγ.
Ang expression na ito ay dapat na i-convert sa isa sa ibaba: cosγ=√b^2+c^2-a^2/2bc.
Ang natitira na lang ay palitan ang mga numero sa formula at isagawa ang mga kalkulasyon.

Upang mahanap ang cosine, denoted γ, dapat itong ipahayag sa mga tuntunin ng kabaligtaran ng trigonometrya, na tinatawag na arc cosine. Ang arc cosine ng numerong m ay ang halaga ng anggulo γ kung saan ang cosine ng anggulo γ ay katumbas ng m. Ang function na y=arccos m ay bumababa. Isipin, halimbawa, na ang cosine ng anggulo γ ay katumbas ng isang kalahati. Pagkatapos ang anggulo γ ay maaaring tukuyin sa pamamagitan ng arc cosine tulad ng sumusunod:
γ = arccos, m = arccos 1/2 = 60°, kung saan m = 1/2.
Sa katulad na paraan, mahahanap mo ang natitirang mga anggulo ng tatsulok kasama ang dalawa pang hindi kilalang panig nito.

Ang sine at cosine ay dalawang trigonometric function na tinatawag na "direkta". Sila ang kailangang kalkulahin nang mas madalas kaysa sa iba, at upang malutas ang problemang ito ngayon bawat isa sa atin ay may malaking pagpipilian ng mga pagpipilian. Nasa ibaba ang ilan sa karamihan mga simpleng paraan.

Mga tagubilin

Gumamit ng protractor, lapis, at isang piraso ng papel kung walang ibang paraan ng pagkalkula. Ang isa sa mga kahulugan ng cosine ay ibinigay sa mga tuntunin ng talamak na mga anggulo sa isang tamang tatsulok - ito ay katumbas ng ratio sa pagitan ng haba ng binti sa tapat ng anggulong ito at ang haba. Gumuhit ng tatsulok kung saan ang isa sa mga anggulo ay tama (90°) at ang isa ay ang anggulo na gusto mong kalkulahin. Ang haba ng mga gilid ay hindi mahalaga - iguhit ang mga ito sa paraan na mas maginhawa para sa iyo upang sukatin. Sukatin ang haba ng gustong binti at hypotenuse at hatiin ang una sa pangalawa gamit ang anuman sa isang maginhawang paraan.

Samantalahin ang halaga ng trigonometric function gamit ang calculator na nakapaloob search engine Nigma, kung mayroon kang internet access. Halimbawa, kung kailangan mong kalkulahin ang cosine ng isang anggulo ng 20°, pagkatapos pagkatapos i-load ang pangunahing pahina ng serbisyo http://nigma.ru, ipasok sa field query sa paghahanap“cosine 20” at i-click ang “Find!” Maaari mong alisin ang "degrees" at palitan ang salitang "cosine" ng cos - sa anumang kaso, ipapakita ng search engine ang resulta nang tumpak sa 15 decimal na lugar (0.939692620785908).

Buksan ang karaniwang program na naka-install sa operating system Windows, kung walang access sa Internet. Magagawa mo ito, halimbawa, sa pamamagitan ng sabay na pagpindot sa win at r key, pagkatapos ay pagpasok ng calc command at pag-click sa OK button. Upang makalkula ang mga function ng trigonometriko, narito ang isang interface na tinatawag na "engineering" o "siyentipiko" (depende sa bersyon ng OS) - piliin ang nais na item sa seksyong "View" ng menu ng calculator. Pagkatapos nito, ipasok ang halaga ng anggulo sa at mag-click sa pindutan ng cos sa interface ng programa.

Video sa paksa

Tip 8: Paano Tukuyin ang Mga Anggulo sa Tamang Triangle

Ang hugis-parihaba ay nailalarawan sa pamamagitan ng ilang mga ugnayan sa pagitan ng mga sulok at gilid. Alam ang mga halaga ng ilan sa kanila, maaari mong kalkulahin ang iba. Para sa layuning ito, ang mga formula ay ginagamit, batay, sa turn, sa mga axiom at theorems ng geometry.

Ang mga konsepto ng sine, cosine, tangent at cotangent ay ang mga pangunahing kategorya ng trigonometrya, isang sangay ng matematika, at hindi mapaghihiwalay na nauugnay sa kahulugan ng anggulo. Ang karunungan sa agham na ito sa matematika ay nangangailangan ng pagsasaulo at pag-unawa sa mga pormula at teorema, pati na rin ang pagbuo ng spatial na pag-iisip. Ito ang dahilan kung bakit ang mga kalkulasyon ng trigonometriko ay kadalasang nagdudulot ng mga paghihirap para sa mga mag-aaral at mag-aaral. Upang malampasan ang mga ito, dapat kang maging mas pamilyar sa mga function at formula ng trigonometriko.

Mga konsepto sa trigonometrya

Upang maunawaan ang mga pangunahing konsepto ng trigonometrya, kailangan mo munang maunawaan kung ano ang isang tamang tatsulok at isang anggulo sa isang bilog, at kung bakit ang lahat ng mga pangunahing kalkulasyon ng trigonometric ay nauugnay sa kanila. Ang isang tatsulok kung saan ang isa sa mga anggulo ay may sukat na 90 degrees ay hugis-parihaba. Sa kasaysayan, ang figure na ito ay kadalasang ginagamit ng mga tao sa arkitektura, nabigasyon, sining, at astronomiya. Alinsunod dito, sa pamamagitan ng pag-aaral at pagsusuri ng mga katangian ng figure na ito, ang mga tao ay dumating upang kalkulahin ang kaukulang ratios ng mga parameter nito.

Ang mga pangunahing kategorya na nauugnay sa mga tamang tatsulok ay ang hypotenuse at ang mga binti. Ang hypotenuse ay ang gilid ng isang tatsulok sa tapat ng tamang anggulo. Ang mga binti, ayon sa pagkakabanggit, ay ang iba pang dalawang panig. Ang kabuuan ng mga anggulo ng anumang mga tatsulok ay palaging 180 degrees.

Ang spherical trigonometry ay isang seksyon ng trigonometry na hindi pinag-aaralan sa paaralan, ngunit sa mga inilapat na agham tulad ng astronomy at geodesy, ginagamit ito ng mga siyentipiko. Ang kakaibang katangian ng isang tatsulok sa spherical trigonometrya ay palaging may kabuuan ng mga anggulo na higit sa 180 degrees.

Mga anggulo ng isang tatsulok

Sa isang tamang tatsulok, ang sine ng isang anggulo ay ang ratio ng binti sa tapat ng nais na anggulo sa hypotenuse ng tatsulok. Alinsunod dito, ang cosine ay ang ratio ng katabing binti at hypotenuse. Ang parehong mga halagang ito ay palaging may magnitude na mas mababa sa isa, dahil ang hypotenuse ay palaging mas mahaba kaysa sa binti.

Ang tangent ng isang anggulo ay isang halaga na katumbas ng ratio ng kabaligtaran na bahagi sa katabing bahagi ng nais na anggulo, o sine sa cosine. Ang Cotangent, sa turn, ay ang ratio ng katabing bahagi ng nais na anggulo sa kabaligtaran. Ang cotangent ng isang anggulo ay maaari ding makuha sa pamamagitan ng paghahati ng isa sa tangent na halaga.

Circle ng unit

Ang unit circle sa geometry ay isang bilog na ang radius ay katumbas ng isa. Ang nasabing bilog ay itinayo sa isang Cartesian coordinate system, na ang gitna ng bilog ay tumutugma sa pinanggalingan, at panimulang posisyon Ang radius vector ay tinutukoy ng positibong direksyon ng X axis (abscissa axis). Ang bawat punto sa bilog ay may dalawang coordinate: XX at YY, iyon ay, ang mga coordinate ng abscissa at ordinate. Sa pamamagitan ng pagpili ng anumang punto sa bilog sa XX plane at pag-drop ng isang patayo mula dito sa abscissa axis, nakakakuha kami ng isang tamang tatsulok na nabuo ng radius sa napiling punto (na tinutukoy ng titik C), ang patayo na iginuhit sa X axis (ang intersection point ay tinutukoy ng letrang G), at ang segment na abscissa axis ay nasa pagitan ng pinagmulan ng mga coordinate (ang punto ay itinalaga ng letrang A) at ang intersection point G. Ang resultang tatsulok na ACG ay isang right triangle na nakasulat sa isang bilog, kung saan ang AG ay ang hypotenuse, at ang AC at GC ay ang mga binti. Ang anggulo sa pagitan ng radius ng bilog AC at ang segment ng abscissa axis na may pagtatalagang AG ay tinukoy bilang α (alpha). Kaya, cos α = AG/AC. Isinasaalang-alang na ang AC ay ang radius ng bilog ng yunit, at ito ay katumbas ng isa, lumalabas na cos α=AG. Gayundin, kasalanan α=CG.

Bilang karagdagan, sa pag-alam sa data na ito, matutukoy mo ang coordinate ng point C sa bilog, dahil cos α=AG, at sin α=CG, na nangangahulugang ang point C ay may ibinigay na mga coordinate (cos α;sin α). Alam na ang tangent ay katumbas ng ratio ng sine sa cosine, matutukoy natin na ang tan α = y/x, at cot α = x/y. Sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang ng mga anggulo sa isang negatibong sistema ng coordinate, maaari mong kalkulahin na ang mga halaga ng sine at cosine ng ilang mga anggulo ay maaaring negatibo.

Mga kalkulasyon at pangunahing mga formula

Mga halaga ng function na trigonometric

Ang pagkakaroon ng pagsasaalang-alang sa kakanyahan ng mga pag-andar ng trigonometriko sa pamamagitan ng bilog ng yunit, maaari nating makuha ang mga halaga ng mga pag-andar na ito para sa ilang mga anggulo. Ang mga halaga ay nakalista sa talahanayan sa ibaba.

Ang pinakasimpleng trigonometriko pagkakakilanlan

Ang mga equation kung saan mayroong hindi kilalang halaga sa ilalim ng tanda ng trigonometric function ay tinatawag na trigonometric. Mga pagkakakilanlan na may halagang sin x = α, k - anumang integer:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. sin x = 1, x = π/2 + 2πk.
3. sin x = -1, x = -π/2 + 2πk.
4. kasalanan x = a, |a| > 1, walang solusyon.
5. kasalanan x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

Mga pagkakakilanlan na may value na cos x = a, kung saan ang k ay anumang integer:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x = -1, x = π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, walang solusyon.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, x = ±arccos α + 2πk.

Mga pagkakakilanlan na may halagang tg x = a, kung saan ang k ay anumang integer:

1. tan x = 0, x = π/2 + πk.
2. tan x = a, x = arctan α + πk.

Mga pagkakakilanlan na may value na ctg x = a, kung saan ang k ay anumang integer:

1. cot x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x = a, x = arcctg α + πk.

Mga formula ng pagbabawas

Ang kategoryang ito ng mga pare-parehong pormula ay tumutukoy sa mga pamamaraan kung saan maaari kang lumipat mula sa mga trigonometrikong pag-andar ng anyo patungo sa mga pag-andar ng argumento, iyon ay, bawasan ang sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo ng anumang halaga sa kaukulang mga tagapagpahiwatig ng anggulo ng pagitan mula 0 hanggang 90 degrees para sa higit na kadalian ng pagkalkula.

Ang mga formula para sa pagbabawas ng mga function para sa sine ng isang anggulo ay ganito ang hitsura:

• kasalanan(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• kasalanan(1800 - α) = kasalanan α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• kasalanan(3600 + α) = kasalanan α.

Para sa cosine ng anggulo:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Ang paggamit ng mga formula sa itaas ay posibleng napapailalim sa dalawang panuntunan. Una, kung ang anggulo ay maaaring katawanin bilang isang halaga (π/2 ± a) o (3π/2 ± a), ang halaga ng function ay nagbabago:

• mula sa kasalanan hanggang sa cos;
• mula sa cos hanggang sa kasalanan;
• mula tg hanggang ctg;
• mula ctg hanggang tg.

Ang halaga ng function ay nananatiling hindi nagbabago kung ang anggulo ay maaaring katawanin bilang (π ± a) o (2π ± a).

Pangalawa, ang tanda ng pinababang pag-andar ay hindi nagbabago: kung ito ay positibo sa una, ito ay nananatiling gayon. Pareho sa mga negatibong pag-andar.

Mga formula ng karagdagan

Ang mga formula na ito ay nagpapahayag ng mga halaga ng sine, cosine, tangent at cotangent ng kabuuan at pagkakaiba ng dalawang anggulo ng pag-ikot sa pamamagitan ng kanilang mga trigonometric function. Karaniwan ang mga anggulo ay tinutukoy bilang α at β.

Ang mga formula ay ganito ang hitsura:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Ang mga formula na ito ay wasto para sa anumang mga anggulo α at β.

Mga formula ng doble at triple anggulo

Ang double at triple angle trigonometric formula ay mga formula na nag-uugnay sa mga function ng mga anggulo 2α at 3α, ayon sa pagkakabanggit, sa mga trigonometric na function ng angle α. Nagmula sa mga pormula ng karagdagan:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2 α.
3. tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3 α.
5. cos3α = 4cos^3 α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Paglipat mula sa kabuuan patungo sa produkto

Isinasaalang-alang na ang 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), na pinasimple ang formula na ito, nakuha natin ang pagkakakilanlan sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Katulad din sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tanα + tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Paglipat mula sa produkto hanggang sa kabuuan

Ang mga formula na ito ay sumusunod mula sa mga pagkakakilanlan ng paglipat ng isang kabuuan sa isang produkto:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Mga formula ng pagbabawas ng degree

Sa mga pagkakakilanlan na ito, ang parisukat at kubiko na kapangyarihan ng sine at cosine ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng sine at cosine ng unang kapangyarihan ng maraming anggulo:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Pangkalahatang pagpapalit

Ang mga formula para sa unibersal na trigonometric substitution ay nagpapahayag ng mga function na trigonometriko sa mga tuntunin ng tangent ng kalahating anggulo.

• sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), na may x = π + 2πn;
• cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), kung saan x = π + 2πn;
• tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), kung saan x = π + 2πn;
• cot x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), na may x = π + 2πn.

Mga espesyal na kaso

Ang mga espesyal na kaso ng pinakasimpleng trigonometric equation ay ibinibigay sa ibaba (k ay anumang integer).

Mga quote para sa sine:

Mga quote para sa cosine:

Mga quote para sa tangent:

Mga quote para sa cotangent:

Theorems

Teorem ng mga sine

Mayroong dalawang bersyon ng theorem - simple at extended. Simple sine theorem: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Sa kasong ito, ang a, b, c ay ang mga gilid ng tatsulok, at ang α, β, γ ay ang magkasalungat na mga anggulo, ayon sa pagkakabanggit.

Extended sine theorem para sa isang arbitrary triangle: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. Sa pagkakakilanlang ito, ang R ay tumutukoy sa radius ng bilog kung saan ang ibinigay na tatsulok ay nakasulat.

Cosine theorem

Ang pagkakakilanlan ay ipinapakita tulad ng sumusunod: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Sa formula, ang a, b, c ay ang mga gilid ng tatsulok, at ang α ay ang anggulo sa tapat ng gilid a.

Tangent theorem

Ang formula ay nagpapahayag ng ugnayan sa pagitan ng mga tangent ng dalawang anggulo at ang haba ng mga gilid sa tapat ng mga ito. Ang mga gilid ay may label na a, b, c, at ang katumbas na magkasalungat na anggulo ay α, β, γ. Formula ng tangent theorem: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2).

Cotangent theorem

Ikinokonekta ang radius ng isang bilog na nakasulat sa isang tatsulok na may haba ng mga gilid nito. Kung ang a, b, c ay ang mga gilid ng tatsulok, at ang A, B, C, ayon sa pagkakabanggit, ay ang mga anggulo sa tapat ng mga ito, ang r ay ang radius ng inscribed na bilog, at ang p ay ang semi-perimeter ng tatsulok, ang mga sumusunod may bisa ang mga pagkakakilanlan:

• higaan A/2 = (p-a)/r;
• higaan B/2 = (p-b)/r;
• higaan C/2 = (p-c)/r.

Aplikasyon

Ang trigonometrya ay hindi lamang isang teoretikal na agham na nauugnay sa mga pormula sa matematika. Ang mga katangian, teorema at tuntunin nito ay ginagamit sa pagsasanay ng iba't ibang sangay ng aktibidad ng tao - astronomy, aerial at nabigasyon sa dagat, music theory, geodesy, chemistry, acoustics, optics, electronics, architecture, economics, mechanical engineering, measurement work, computer graphics, cartography, oceanography, at marami pang iba.

Ang sine, cosine, tangent at cotangent ay ang mga pangunahing konsepto ng trigonometrya, sa tulong kung saan ang isa ay maaaring mathematically ipahayag ang mga relasyon sa pagitan ng mga anggulo at haba ng mga gilid sa isang tatsulok, at hanapin ang mga kinakailangang dami sa pamamagitan ng mga pagkakakilanlan, theorems at mga panuntunan.