Ang batayan ng mga sistema ng numero. Mga sistema ng numero - pumunta tayo sa isang aralin sa computer science Paano matukoy ang base ng isang numero sa computer science

Number system (eng. numeral system o system of numeration) - isang simbolikong paraan ng pagtatala ng mga numero, na kumakatawan sa mga numero gamit ang mga nakasulat na character

Ano ang radix at base ng isang sistema ng numero?

Kahulugan: Base ng sistema ng numero ay ang bilang ng iba't ibang palatandaan o simbolo na
ay ginagamit upang kumatawan sa mga numero sa sistemang ito.
Ang base ay anumang natural na numero - 2, 3, 4, 16, atbp. Ibig sabihin, may walang limitasyon
maraming positional system. Halimbawa, para sa decimal system ang base ay 10.

Ang pagtukoy sa base ay napakadali; kailangan mo lamang kalkulahin ang bilang ng mga makabuluhang digit sa system. Sa madaling salita, ito ang numero kung saan nagsisimula ang pangalawang digit ng numero. Halimbawa, ginagamit natin ang mga numerong 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Eksaktong 10 ang mga ito, kaya ang base ng ating sistema ng numero ay 10 din, at ang sistema ng numero ay tinatawag na "decimal". Ang halimbawa sa itaas ay gumagamit ng mga numero 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (auxiliary 10, 100, 1000, 10000, atbp. ay hindi binibilang). Mayroon ding 10 pangunahing numero dito, at ang sistema ng numero ay decimal.

System base ay isang pagkakasunod-sunod ng mga numero na ginagamit sa pagsulat . Walang numero sa anumang sistema na katumbas ng base ng system.

Tulad ng maaari mong hulaan, kung gaano karaming mga numero ang mayroon, maaaring mayroong maraming mga base ng system ng numero. Ngunit tanging ang pinaka-maginhawang mga base ng mga sistema ng numero ang ginagamit. Bakit sa palagay mo ang base ng pinakakaraniwang ginagamit na sistema ng numero ng tao ay 10? Oo, tiyak dahil mayroon tayong 10 daliri sa ating mga kamay. "Ngunit mayroon lamang limang daliri sa isang kamay," sasabihin ng ilan, at magiging tama sila. Alam ng kasaysayan ng sangkatauhan ang mga halimbawa ng five-fold number system. "At sa mga binti ay may dalawampung daliri," sasabihin ng iba, at sila rin ay magiging ganap na tama. Ito mismo ang pinaniniwalaan ng mga Mayan. Ito ay makikita pa sa kanilang mga bilang.

Sistema ng desimal na numero

Kapag nagbibilang, lahat tayo ay nakasanayan na gumamit ng mga numero at numero na pamilyar sa atin mula pagkabata. Isa, dalawa, tatlo, apat, atbp. Sa ating pang-araw-araw na sistema ng numero mayroon lamang sampung digit (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), kung saan tayo gumagawa ng anumang mga numero. Sa pag-abot sa sampu, nagdaragdag kami ng isa sa digit sa kaliwa at muling magsisimulang magbilang mula sa zero sa pinakakanang digit. Ang sistema ng numero na ito ay tinatawag na decimal.

Hindi mahirap hulaan na pinili ito ng ating mga ninuno dahil ang bilang ng mga daliri sa magkabilang kamay ay sampu. Ngunit ano ang iba pang mga sistema ng numero doon? Palagi mo bang ginagamit ang decimal number system o may iba pa?

Ang kasaysayan ng mga sistema ng numero

Bago ang pag-imbento ng zero, ang mga espesyal na palatandaan ay ginamit upang magsulat ng mga numero. Ang bawat bansa ay may kanya-kanyang sarili. Sa Ancient Rome, halimbawa, isang non-positional number system ang nanaig.

Ang isang sistema ng numero ay tinatawag na non-positional kung ang halaga ng isang digit ay hindi nakadepende sa lugar na sinasakop nito. Ang pinaka-advanced na mga sistema ng numero ay itinuturing na mga ginamit sa Rus' at Sinaunang Greece.

Sa kanila, ang malalaking numero ay tinukoy ng mga titik, ngunit kasama ang pagdaragdag ng mga karagdagang simbolo (1 – a, 100 –i, atbp.). Ang isa pang non-positional number system ay ang sistemang ginamit sa Ancient Babylon. Sa kanilang sistema, ang mga naninirahan sa Babylon ay gumamit ng "dalawang palapag" na notasyon at tatlong palatandaan lamang: Yunit sa Babylonian number system para sa isa, Sampu sa Babylonian number system para sa sampu at Zero sa Babylonian number system para sa zero.

Mga sistema ng numero ng posisyon

Ang mga sistema ng posisyon ay naging isang hakbang pasulong. Ngayon ang sistema ng decimal ay nanalo sa lahat ng dako, ngunit may iba pang mga sistema na kadalasang ginagamit sa mga inilapat na agham. Ang isang halimbawa ng naturang sistema ng numero ay ang sistema ng binary number.
Binary number system

Ito ay kung saan nakikipag-usap ang mga computer at lahat ng electronics sa iyong tahanan. Ang sistema ng numero na ito ay gumagamit lamang ng dalawang digit: 0 at 1. Maaari mong itanong, bakit hindi posible na turuan ang isang computer na magbilang hanggang sampu, tulad ng isang tao? Ang sagot ay nasa ibabaw.

Madaling turuan ang isang makina na makilala ang dalawang simbolo: on means 1, off means 0; mayroong kasalukuyang - 1, walang kasalukuyang - 0. Nagkaroon ng mga pagtatangka na gumawa ng mga makina na maaaring makilala ang mas malaking bilang ng mga digit. Ngunit lahat sila ay naging hindi mapagkakatiwalaan, ang mga computer ay patuloy na nalilito: alinman sa 1 ang dumating sa kanila, o 2.

Napapaligiran tayo ng maraming iba't ibang sistema ng numero. Ang bawat isa sa kanila ay kapaki-pakinabang sa sarili nitong lugar. At ang sagot sa tanong kung alin ang gagamitin at kailan ay nasa atin na.

Maaari mong ipasok ang parehong mga buong numero, halimbawa 34, at mga fractional na numero, halimbawa, 637.333. Para sa mga fractional na numero, ang katumpakan ng pagsasalin pagkatapos ng decimal point ay ipinahiwatig.

Ang mga sumusunod ay ginagamit din sa calculator na ito:

Mga paraan upang kumatawan sa mga numero

Algorithm para sa pag-convert ng mga numero mula sa isang sistema ng numero patungo sa isa pa

Halimbawa Blg. 1.



Conversion mula 2 hanggang 8 hanggang 16 na sistema ng numero.
Ang mga sistemang ito ay multiple ng dalawa, samakatuwid ang pagsasalin ay isinasagawa gamit ang isang talahanayan ng pagsusulatan (tingnan sa ibaba).

Upang i-convert ang isang numero mula sa binary number system patungo sa octal (hexadecimal) na sistema ng numero, kinakailangan na hatiin ang binary na numero mula sa decimal point sa kanan at kaliwa sa mga grupo ng tatlo (apat para sa hexadecimal) na mga digit, na pandagdag sa mga panlabas na grupo na may mga zero kung kinakailangan. Ang bawat pangkat ay pinapalitan ng katumbas na octal o hexadecimal digit.

Halimbawa Blg. 2. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
dito 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1

Kapag nagko-convert sa hexadecimal system, dapat mong hatiin ang numero sa mga bahagi ng apat na digit, na sumusunod sa parehong mga panuntunan.
Halimbawa Blg. 3. 1010111010,1011 = 10.1011.1010,1011 = 2B12,13 HEX
dito 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13

Ang pag-convert ng mga numero mula 2, 8 at 16 sa decimal system ay isinasagawa sa pamamagitan ng paghiwa-hiwalay ng numero sa mga indibidwal at pagpaparami nito sa base ng system (kung saan isinalin ang numero) na itinaas sa kapangyarihan na tumutugma sa serial number nito sa ang numero na kino-convert. Sa kasong ito, ang mga numero ay binibilang sa kaliwa ng decimal point (ang unang numero ay may bilang na 0) na may pagtaas, at sa kanan na may bumababa (ibig sabihin, may negatibong palatandaan). Ang mga resulta na nakuha ay idinagdag.

Halimbawa Blg. 4.
Isang halimbawa ng conversion mula sa binary hanggang decimal number system.

1010010.101 2 = 1·2 6 +0·2 5 +1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +0·2 0 + 1·2 -1 +0·2 - 2 + 1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0.5+0+0.125 = 82.625 10 Isang halimbawa ng conversion mula sa octal hanggang decimal na sistema ng numero. 108.5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0.625 = 72.625 10 Isang halimbawa ng conversion mula sa hexadecimal hanggang decimal number system. 108.5 16 = 1·16 2 +0·16 1 +8·16 0 + 5·16 -1 = 256+0+8+0.3125 = 264.3125 10

Muli naming ulitin ang algorithm para sa pag-convert ng mga numero mula sa isang sistema ng numero patungo sa isa pang PSS

1. Mula sa sistema ng decimal na numero:
   • hatiin ang numero sa base ng sistema ng numero na isinasalin;
   • hanapin ang natitira kapag hinahati ang isang integer na bahagi ng isang numero;
   • isulat ang lahat ng natitira mula sa paghahati sa reverse order;
2. Mula sa binary number system
   • Upang ma-convert sa sistema ng decimal na numero, kinakailangan upang mahanap ang kabuuan ng mga produkto ng base 2 sa pamamagitan ng kaukulang antas ng digit;
   • Upang i-convert ang isang numero sa octal, kailangan mong hatiin ang numero sa mga triad.
     Halimbawa, 1000110 = 1,000 110 = 106 8
   • Upang i-convert ang isang numero mula sa binary patungo sa hexadecimal, kailangan mong hatiin ang numero sa mga pangkat ng 4 na digit.
     Halimbawa, 1000110 = 100 0110 = 46 16

Talahanayan para sa conversion sa octal number system

Halimbawa Blg. 2. I-convert ang numerong 100.12 mula sa decimal number system patungo sa octal number system at vice versa. Ipaliwanag ang mga dahilan para sa mga pagkakaiba.
Solusyon.
Stage 1. .

Isinulat namin ang natitira sa dibisyon sa reverse order. Nakukuha namin ang numero sa 8th number system: 144
100 = 144 8

Upang i-convert ang fractional na bahagi ng isang numero, sunud-sunod naming i-multiply ang fractional na bahagi sa base 8. Bilang resulta, sa bawat oras na isusulat namin ang buong bahagi ng produkto.
0.12*8 = 0.96 (integer na bahagi 0 )
0.96*8 = 7.68 (integer na bahagi 7 )
0.68*8 = 5.44 (integer na bahagi 5 )
0.44*8 = 3.52 (integer na bahagi 3 )
Nakukuha namin ang numero sa ika-8 sistema ng numero: 0753.
0.12 = 0.753 8

100,12 10 = 144,0753 8

Stage 2. Pag-convert ng isang numero mula sa sistema ng decimal na numero patungo sa sistema ng octal na numero.
Baliktarin ang conversion mula sa octal number system patungo sa decimal.

Upang isalin ang isang bahagi ng integer, kailangan mong i-multiply ang digit ng isang numero sa katumbas na antas ng digit.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100

Upang i-convert ang fractional na bahagi, kailangan mong hatiin ang digit ng numero sa kaukulang antas ng digit
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199

144,0753 8 = 100,96 10
Ang pagkakaiba ng 0.0001 (100.12 - 100.1199) ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng isang rounding error kapag nagko-convert sa octal number system. Maaaring mabawasan ang error na ito kung kukuha ka ng mas malaking bilang ng mga digit (halimbawa, hindi 4, ngunit 8).

Bago natin simulan ang paglutas ng mga problema, kailangan nating maunawaan ang ilang simpleng mga punto.

Isaalang-alang ang decimal na numero 875. Ang huling digit ng numero (5) ay ang natitira sa paghahati ng numerong 875 sa 10. Ang huling dalawang numero ay bumubuo sa numerong 75 - ito ang natitira sa paghahati ng numerong 875 sa 100. Ang mga katulad na pahayag ay totoo para sa anumang sistema ng numero:

Ang huling digit ng isang numero ay ang natitira kapag hinahati ang numerong ito sa base ng sistema ng numero.

Ang huling dalawang digit ng isang numero ay ang natitira kapag ang numero ay hinati sa squared base.

Halimbawa, . Hatiin ang 23 ng system base 3, makakakuha tayo ng 7 at 2 bilang natitira (2 ang huling digit ng isang numero sa ternary system). Hatiin ang 23 sa 9 (base squared), makuha natin ang 18 at 5 bilang natitira (5 = ).

Bumalik tayo muli sa karaniwang sistema ng decimal. Numero = 100000. Ibig sabihin 10 sa k power ay isa at k zero.

Ang isang katulad na pahayag ay totoo para sa anumang sistema ng numero:

Ang batayan ng sistema ng numero sa kapangyarihan k sa sistema ng numero na ito ay nakasulat bilang isa at k zero.

Halimbawa, .

1. Paghahanap ng base ng sistema ng numero

Halimbawa 1.

Sa isang sistema ng numero na may ilang base, ang decimal na numero 27 ay isinusulat bilang 30. Tukuyin ang base na ito.

Solusyon:

Tukuyin natin ang nais na base x. Tapos .I.e. x = 9.

Halimbawa 2.

Sa isang sistema ng numero na may ilang base, ang decimal na numero 13 ay isinusulat bilang 111. Tukuyin ang base na ito.

Solusyon:

Tukuyin natin ang nais na base x. Pagkatapos

Nalulutas namin ang quadratic equation, nakakakuha kami ng mga ugat 3 at -4. Dahil ang base ng sistema ng numero ay hindi maaaring negatibo, ang sagot ay 3.

Sagot: 3

Halimbawa 3

Pinaghihiwalay ng mga kuwit, sa pataas na pagkakasunud-sunod, ipahiwatig ang lahat ng mga base ng mga sistema ng numero kung saan ang numero 29 ay nagtatapos sa 5.

Solusyon:

Kung sa ilang sistema ang numero 29 ay nagtatapos sa 5, ang bilang na binawasan ng 5 (29-5 = 24) ay nagtatapos sa 0. Nauna naming sinabi na ang isang numero ay nagtatapos sa 0 sa kaso kapag ito ay nahahati sa base ng system walang natitira. Yung. kailangan nating hanapin ang lahat ng naturang numero na mga divisors ng numero 24. Ang mga numerong ito ay: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Tandaan na sa mga sistema ng numero na may base 2, 3, 4 ay walang numero 5 (at sa problema sa pagbabalangkas, ang numero 29 ay nagtatapos sa 5), ​​na nangangahulugang ang mga system na may mga base ay nananatili: 6, 8, 12,

Sagot: 6, 8, 12, 24

Halimbawa 4

Pinaghihiwalay ng mga kuwit, sa pataas na pagkakasunud-sunod, ipahiwatig ang lahat ng mga base ng mga sistema ng numero kung saan ang bilang na 71 ay nagtatapos sa 13.

Solusyon:

Kung sa ilang sistema ang isang numero ay nagtatapos sa 13, kung gayon ang base ng sistemang ito ay hindi bababa sa 4 (kung hindi man ay walang numero 3 doon).

Ang isang numerong binawasan ng 3 (71-3=68) ay nagtatapos sa 10. Ibig sabihin. Ang 68 ay ganap na hinati ng ninanais na base ng system, at ang quotient nito kapag hinati sa base ng system ay nagbibigay ng natitirang 0.

Isulat natin ang lahat ng integer divisors ng numerong 68: 2, 4, 17, 34, 68.

2 ay hindi angkop, dahil ang base ay hindi bababa sa 4. Suriin natin ang natitirang mga divisors:

68:4 = 17; 17:4 = 4 (pahinga 1) – angkop

68:17 = 4; 4:17 = 0 (pahinga 4) – hindi angkop

68:34 = 2; 2:17 = 0 (ost 2) – hindi angkop

68:68 = 1; 1:68 = 0 (pahinga 1) – angkop

Sagot: 4.68

2. Maghanap ng mga numero ayon sa mga kundisyon

Halimbawa 5

Tukuyin, na pinaghihiwalay ng mga kuwit sa pataas na pagkakasunud-sunod, ang lahat ng mga decimal na numero na hindi hihigit sa 25, ang notasyon kung saan sa base apat na sistema ng numero ay nagtatapos sa 11?

Solusyon:

Una, alamin natin kung ano ang hitsura ng numero 25 sa base 4 na sistema ng numero.

Yung. kailangan nating hanapin ang lahat ng numero, hindi hihigit sa , na nagtatapos sa 11. Ayon sa tuntunin ng sequential counting sa base 4 system,
nakukuha namin ang mga numero at . Kino-convert namin ang mga ito sa sistema ng decimal na numero:

Sagot: 5, 21

3. Paglutas ng mga equation

Halimbawa 6

Lutasin ang equation:

Isulat ang iyong sagot sa ternary system (hindi na kailangang isulat ang base ng number system sa iyong sagot).

Solusyon:

I-convert natin ang lahat ng mga numero sa sistema ng decimal na numero:

Ang quadratic equation ay may mga ugat -8 at 6 (dahil ang base ng system ay hindi maaaring negatibo). .

Sagot: 20

4. Pagbibilang ng bilang ng mga isa (zero) sa binary notation ng halaga ng isang expression

Upang malutas ang ganitong uri ng problema, kailangan nating tandaan kung paano gumagana ang columnar addition at subtraction:

Kapag nagdadagdag, nangyayari ang isang bitwise na pagsusuma ng mga digit na nakasulat sa ilalim ng isa't isa, na nagsisimula sa hindi bababa sa makabuluhang mga digit. Kung ang resultang kabuuan ng dalawang digit ay mas malaki kaysa o katumbas ng base ng sistema ng numero, ang natitira sa paghahati ng kabuuan na ito sa base ng sistema ng numero ay isusulat sa ilalim ng mga summed digit, at ang integer na bahagi ng paghahati sa kabuuan na ito ng base ng system ay idinagdag sa kabuuan ng mga sumusunod na digit.

Kapag binabawasan, ang mga digit na nakasulat sa ibaba ng isa't isa ay bitwise na binabawasan, na nagsisimula sa hindi bababa sa makabuluhang mga digit. Kung ang unang digit ay mas mababa sa pangalawa, "hiram" namin ang isa mula sa katabing (mas malaking) digit. Ang yunit na inookupahan sa kasalukuyang digit ay katumbas ng base ng sistema ng numero. Sa decimal ito ay 10, sa binary ito ay 2, sa ternary ito ay 3, atbp.

Halimbawa 7

Ilang unit ang nakapaloob sa binary notation ng expression value: ?

Solusyon:

Isipin natin ang lahat ng mga numero sa expression bilang mga kapangyarihan ng dalawa:

Sa binary notation, ang 2 sa kapangyarihan ng n ay mukhang 1 na sinusundan ng n zero. Pagkatapos ay nagsusuma at , nakakakuha tayo ng isang numero na naglalaman ng 2 unit:

Ngayon ibawas natin ang 10,000 mula sa resultang numero.Ayon sa mga tuntunin ng pagbabawas, humiram tayo mula sa susunod na digit.

Ngayon magdagdag ng 1 sa resultang numero:

Nakikita namin na ang resulta ay may 2013+1+1=2015 units.

Ehersisyo 1. Anong numero ang katumbas ng 24 16 sa decimal system?

Solusyon.

24 16 = 2 * 16 1 + 4 * 16 0 = 32 + 4 = 36

Sagot. 24 16 = 36 10

Gawain 2. Alam na ang X = 12 4 + 4 5 + 101 2. Ano ang halaga ng X sa sistema ng decimal na numero?

Solusyon.

12 4 = 1 * 41 + 2 * 40 = 4 + 2 = 6
4 5 = 4 * 5 0 = 4
101 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5
Hanapin ang numero: X = 6 + 4 + 5 = 15

Sagot. X = 15 10

Gawain 3. Kalkulahin ang halaga ng kabuuan 10 2 + 45 8 + 10 16 sa decimal notation.

Solusyon.

I-convert natin ang bawat termino sa sistema ng decimal na numero:
10 2 = 1 * 2 1 + 0 * 2 0 = 2
45 8 = 4 * 8 1 + 5 * 8 0 = 37
10 16 = 1 * 16 1 + 0 * 16 0 = 16
Ang kabuuan ay: 2 + 37 + 16 = 55

Conversion sa binary number system

Ehersisyo 1. Ano ang numero 37 sa binary?

Solusyon.

Maaari kang mag-convert sa pamamagitan ng paghahati sa 2 at pagsasama-sama ng mga natitira sa reverse order.

Ang isa pang paraan ay ang pag-decompose ng numero sa kabuuan ng mga kapangyarihan ng dalawa, simula sa pinakamataas, ang kinakalkula na resulta ay mas mababa sa ibinigay na numero. Kapag nagko-convert, ang mga nawawalang kapangyarihan ng isang numero ay dapat mapalitan ng mga zero:

37 10 = 32 + 4 + 1 = 2 5 + 2 2 + 2 0 = 1 * 2 5 + 0 * 2 4 + 0 * 2 3 + 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 100101

Sagot. 37 10 = 100101 2 .

Gawain 2. Ilang makabuluhang zero ang mayroon sa binary notation ng decimal na numero 73?

Solusyon.

I-decompose natin ang bilang na 73 sa kabuuan ng mga kapangyarihan ng dalawa, simula sa pinakamataas at kasunod na pagpaparami ng mga nawawalang kapangyarihan sa mga zero, at ang mga umiiral na kapangyarihan ng isa:

73 10 = 64 + 8 + 1 = 2 6 + 2 3 + 2 0 = 1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 0 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 1001001

Sagot. Ang binary na representasyon ng decimal na numero 73 ay may apat na makabuluhang zero.

Gawain 3. Kalkulahin ang kabuuan ng mga numerong x at y para sa x = D2 16, y = 37 8. Ipakita ang resulta sa binary number system.

Solusyon.

Alalahanin na ang bawat digit ng isang hexadecimal na numero ay binubuo ng apat na binary digit, ang bawat digit ng isang octal na numero ay tatlo:

D2 16 = 1101 0010
37 8 = 011 111

Pagsamahin natin ang mga resultang numero:

11010010 11111 -------- 11110001

Sagot. Ang kabuuan ng mga numero D2 16 at y = 37 8, na kinakatawan sa binary number system, ay 11110001.

Gawain 4. Ibinigay: a= D7 16, b= 331 8 . Aling numero c, na nakasulat sa binary number system, ay nakakatugon sa kundisyon a< c < b ?

1. 11011001
2. 11011100
3. 11010111
4. 11011000

Solusyon.

I-convert natin ang mga numero sa binary number system:

D7 16 = 11010111
331 8 = 11011001

Ang unang apat na digit ng lahat ng mga numero ay pareho (1101). Samakatuwid, ang paghahambing ay pinasimple sa paghahambing ng mas mababang apat na digit.

Ang unang numero mula sa listahan ay katumbas ng numero b, samakatuwid, ay hindi angkop.

Ang pangalawang numero ay mas malaki kaysa sa b. Ang pangatlong numero ay a.

Ang pang-apat na numero lamang ang angkop: 0111< 1000 < 1001.

Sagot. Ang ikaapat na opsyon (11011000) ay nakakatugon sa kundisyon a< c < b .

Mga gawain upang matukoy ang mga halaga sa iba't ibang mga sistema ng numero at ang kanilang mga base

Ehersisyo 1. Upang i-encode ang mga character na @, $, &, %, ginagamit ang dalawang-digit na sequential binary na numero. Ang unang character ay tumutugma sa numerong 00. Gamit ang mga character na ito, ang sumusunod na pagkakasunod-sunod ay na-encode: $%&&@$. I-decode ang sequence na ito at i-convert ang resulta sa hexadecimal number system.

Solusyon.

1. Ihambing natin ang mga binary na numero sa mga character na kanilang na-encode:
00 - @, 01 - $, 10 - &, 11 - %

3. I-convert ang binary number sa hexadecimal number system:
0111 1010 0001 = 7A1

Sagot. 7A1 16.

Gawain 2. Mayroong 100 x na puno ng prutas sa hardin, kung saan 33 x ay puno ng mansanas, 22 x ay peras, 16 x ay plum, 17 x ay seresa. Ano ang batayan ng sistema ng numero (x).

Solusyon.

1. Tandaan na ang lahat ng mga termino ay dalawang-digit na numero. Sa anumang sistema ng numero maaari silang katawanin tulad ng sumusunod:
a * x 1 + b * x 0 = ax + b, kung saan ang a at b ay ang mga digit ng mga katumbas na digit ng numero.
Para sa tatlong-digit na numero ito ay magiging ganito:
a * x 2 + b * x 1 + c * x 0 = ax 2 + bx + c

2. Ang kondisyon ng problema ay:
33 x + 22 x + 16 x + 17 x = 100 x
I-substitute natin ang mga numero sa mga formula:
3x + 3 + 2x +2 + 1x + 6 + 1x + 7 = 1x 2 + 0x + 0
7x + 18 = x 2

3. Lutasin ang quadratic equation:
-x2 + 7x + 18 = 0
D = 7 2 – 4 * (-1) * 18 = 49 + 72 = 121. Ang square root ng D ay 11.
Mga ugat ng isang quadratic equation:
x = (-7 + 11) / (2 * (-1)) = -2 o x = (-7 - 11) / (2 * (-1)) = 9

4. Ang isang negatibong numero ay hindi maaaring maging batayan ng isang sistema ng numero. Samakatuwid ang x ay maaari lamang maging katumbas ng 9.

Sagot. Ang kinakailangang base ng sistema ng numero ay 9.

Gawain 3. Sa isang sistema ng numero na may ilang base, ang decimal na numero 12 ay isinusulat bilang 110. Hanapin ang base na ito.

Solusyon.

Una, isusulat natin ang numero 110 sa pamamagitan ng formula para sa pagsusulat ng mga numero sa mga positional number system upang mahanap ang halaga sa decimal number system, at pagkatapos ay hahanapin natin ang base sa pamamagitan ng brute force.

110 = 1 * x 2 + 1 * x 1 + 0 * x 0 = x 2 + x

Kailangan nating makakuha ng 12. Subukan natin ang 2: 2 2 + 2 = 6. Subukan ang 3: 3 2 + 3 = 12.

Nangangahulugan ito na ang base ng sistema ng numero ay 3.

Sagot. Ang kinakailangang base ng sistema ng numero ay 3.

Gawain 4. Sa anong sistema ng numero ire-represent ang decimal na numero 173 bilang 445?

Solusyon.
Tukuyin natin ang hindi kilalang base bilang X. Isinulat natin ang sumusunod na equation:
173 10 = 4*X 2 + 4*X 1 + 5*X 0
Isinasaalang-alang ang katotohanan na ang anumang positibong numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng 1, muling isusulat namin ang equation (hindi namin ipahiwatig ang base 10).
173 = 4*X 2 + 4*X + 5
Siyempre, ang naturang quadratic equation ay maaaring malutas gamit ang isang discriminant, ngunit mayroong isang mas simpleng solusyon. Ibawas ang 4 mula sa kanan at kaliwang bahagi. Nakukuha namin
169 = 4*X 2 + 4*X + 1 o 13 2 = (2*X+1) 2
Mula dito makakakuha tayo ng 2*X +1 = 13 (itinatapon natin ang negatibong ugat). O X = 6.
Sagot: 173 10 = 445 6

Mga problema sa paghahanap ng ilang base ng mga sistema ng numero

Mayroong isang pangkat ng mga problema kung saan kailangan mong ilista (sa pataas o pababang pagkakasunud-sunod) ang lahat ng mga base ng mga sistema ng numero kung saan ang representasyon ng isang naibigay na numero ay nagtatapos sa isang naibigay na digit. Ang problemang ito ay nalutas nang simple. Una kailangan mong ibawas ang ibinigay na digit mula sa orihinal na numero. Ang resultang numero ang magiging unang base ng sistema ng numero. At lahat ng iba pang base ay maaari lamang maging mga divisors ng numerong ito. (Ang pahayag na ito ay napatunayan batay sa panuntunan para sa pag-convert ng mga numero mula sa isang sistema ng numero patungo sa isa pa - tingnan ang talata 4). Basta tandaan mo yan ang base ng sistema ng numero ay hindi maaaring mas mababa sa isang naibigay na digit!

Halimbawa
Pinaghihiwalay ng mga kuwit, sa pataas na pagkakasunud-sunod, ipahiwatig ang lahat ng mga base ng mga sistema ng numero kung saan ang numero 24 ay nagtatapos sa 3.

Solusyon
24 – 3 =21 ang unang base (13 21 = 13*21 1 +3*21 0 = 24).
Ang 21 ay nahahati sa 3 at 7. Ang bilang 3 ay hindi angkop, dahil Walang digit 3 sa base 3 number system.
Sagot: 7, 21

Sa mga kurso sa computer science, anuman ang paaralan o unibersidad, ang isang espesyal na lugar ay ibinibigay sa isang konsepto bilang mga sistema ng numero. Bilang isang patakaran, maraming mga aralin o praktikal na pagsasanay ang inilalaan para dito. Ang pangunahing layunin ay hindi lamang upang makabisado ang mga pangunahing konsepto ng paksa, upang pag-aralan ang mga uri ng mga sistema ng numero, kundi pati na rin upang maging pamilyar sa binary, octal at hexadecimal na arithmetic.

Ano ang ibig sabihin nito?

Magsimula tayo sa pamamagitan ng pagtukoy sa pangunahing konsepto. Tulad ng tala ng aklat-aralin na "Informatics," ang isang sistema ng numero ay isang talaan ng mga numero na gumagamit ng isang espesyal na alpabeto o isang tiyak na hanay ng mga numero.

Depende sa kung nagbabago ang halaga ng isang digit depende sa posisyon nito sa numero, mayroong dalawa: positional at non-positional number system.

Sa mga positional system, nagbabago ang kahulugan ng isang digit sa posisyon nito sa numero. Kaya, kung kukunin natin ang numero 234, kung gayon ang numero 4 sa loob nito ay nangangahulugang mga yunit, ngunit kung isasaalang-alang natin ang bilang 243, kung gayon ito ay nangangahulugang sampu, hindi mga yunit.

Sa mga non-positional system, ang kahulugan ng isang digit ay static, anuman ang posisyon nito sa numero. Ang pinaka-kapansin-pansin na halimbawa ay ang stick system, kung saan ang bawat yunit ay ipinahiwatig ng isang gitling. Hindi mahalaga kung saan mo ilalagay ang stick, ang halaga ng numero ay magbabago lamang ng isa.

Non-positional system

Kabilang sa mga non-positional number system ang:

1. Isang unit system na itinuturing na isa sa una. Gumamit ito ng mga stick sa halip na mga numero. Kung mas marami, mas malaki ang halaga ng numero. Makakakita ka ng isang halimbawa ng mga numero na nakasulat sa ganitong paraan sa mga pelikula kung saan pinag-uusapan natin ang tungkol sa mga taong nawala sa dagat, mga bilanggo na nagmamarka bawat araw sa tulong ng mga bingaw sa isang bato o puno.
2. Roman, kung saan ginamit ang mga letrang Latin sa halip na mga numero. Gamit ang mga ito, maaari kang sumulat ng anumang numero. Bukod dito, natukoy ang halaga nito gamit ang kabuuan at pagkakaiba ng mga digit na bumubuo sa numero. Kung mayroong isang mas maliit na numero sa kaliwa ng digit, pagkatapos ay ang kaliwang digit ay ibinawas mula sa kanan, at kung ang digit sa kanan ay mas mababa sa o katumbas ng digit sa kaliwa, pagkatapos ay ang kanilang mga halaga ay nasusuma. Halimbawa, ang bilang na 11 ay isinulat bilang XI, at 9 - IX.
3. Alphabetical, kung saan ang mga numero ay itinalaga gamit ang alpabeto ng isang partikular na wika. Ang isa sa kanila ay itinuturing na Slavic system, kung saan ang isang bilang ng mga titik ay hindi lamang phonetic, kundi pati na rin ang numerical na kahulugan.
4. kung saan dalawang notasyon lamang ang ginamit sa pagsulat - mga wedge at arrow.
5. Gumamit din ang Egypt ng mga espesyal na simbolo upang kumatawan sa mga numero. Kapag nagsusulat ng isang numero, ang bawat simbolo ay maaaring gamitin nang hindi hihigit sa siyam na beses.

Mga sistema ng posisyon

Malaking pansin ang binabayaran sa computer science sa mga positional number system. Kabilang dito ang mga sumusunod:

• binary;
• octal;
• decimal;
• hexadecimal;
• sexagesimal, ginagamit kapag nagbibilang ng oras (halimbawa, mayroong 60 segundo sa isang minuto, 60 minuto sa isang oras).

Ang bawat isa sa kanila ay may sariling alpabeto para sa pagsulat, mga panuntunan para sa pagsasalin at pagsasagawa ng mga operasyong aritmetika.

Decimal system

Ang sistemang ito ang pinakapamilyar sa atin. Ginagamit nito ang mga numerong 0 hanggang 9 upang magsulat ng mga numero. Tinatawag din silang Arabic. Depende sa posisyon ng digit sa numero, maaari itong magpahiwatig ng iba't ibang mga digit - mga yunit, sampu, daan-daan, libo-libo o milyon-milyon. Ginagamit namin ito kahit saan, alam namin ang mga pangunahing panuntunan kung saan isinasagawa ang mga operasyon ng aritmetika sa mga numero.

Binary system

Ang isa sa mga pangunahing sistema ng numero sa computer science ay binary. Ang pagiging simple nito ay nagpapahintulot sa computer na magsagawa ng masalimuot na mga kalkulasyon nang maraming beses nang mas mabilis kaysa sa decimal system.

Upang magsulat ng mga numero, dalawang digit lamang ang ginagamit - 0 at 1. Bukod dito, depende sa posisyon ng 0 o 1 sa numero, magbabago ang halaga nito.

Sa una, ito ay sa tulong ng mga computer na natanggap nila ang lahat ng kinakailangang impormasyon. Sa kasong ito, ang isa ay nangangahulugan ng pagkakaroon ng isang signal na ipinadala gamit ang boltahe, at ang zero ay nangangahulugan ng kawalan nito.

Octal system

Isa pang kilalang computer number system, na gumagamit ng mga numero mula 0 hanggang 7. Ginamit ito pangunahin sa mga lugar ng kaalaman na nauugnay sa mga digital device. Ngunit kamakailan lamang ay hindi gaanong madalas itong gamitin, dahil pinalitan ito ng sistema ng numerong hexadecimal.

Binary decimal system

Ang kumakatawan sa malalaking numero sa binary ay isang medyo kumplikadong proseso para sa mga tao. Upang pasimplehin ito, ito ay binuo.Karaniwang ginagamit ito sa mga elektronikong relo at calculator. Sa sistemang ito, hindi ang buong numero ay na-convert mula sa decimal system patungo sa binary, ngunit ang bawat digit ay na-convert sa katumbas nitong hanay ng mga zero at isa sa binary system. Ang conversion mula sa binary hanggang decimal ay nangyayari sa katulad na paraan. Ang bawat digit, na kinakatawan bilang isang apat na digit na hanay ng mga zero at isa, ay kino-convert sa isang decimal number system digit. Sa prinsipyo, walang kumplikado.

Upang gumana sa mga numero sa kasong ito, ang isang talahanayan ng mga sistema ng numero ay magiging kapaki-pakinabang, na magsasaad ng pagsusulatan sa pagitan ng mga numero at ng kanilang binary code.

Hexadecimal system

Kamakailan, ang sistema ng hexadecimal na numero ay lalong naging popular sa programming at computer science. Gumagamit ito ng hindi lamang mga numero mula 0 hanggang 9, kundi pati na rin ang isang bilang ng mga Latin na titik - A, B, C, D, E, F.

Kasabay nito, ang bawat isa sa mga titik ay may sariling kahulugan, kaya A=10, B=11, C=12 at iba pa. Ang bawat numero ay kinakatawan bilang isang set ng apat na character: 001F.

Pag-convert ng mga numero: mula sa decimal hanggang binary

Ang pagsasalin sa mga sistema ng numero ay nangyayari ayon sa ilang mga patakaran. Ang pinakakaraniwang conversion ay mula sa binary hanggang decimal system at vice versa.

Upang ma-convert ang isang numero mula sa decimal system patungo sa binary system, kinakailangan na sunud-sunod na hatiin ito sa base ng number system, iyon ay, ang numerong dalawa. Sa kasong ito, ang natitira sa bawat dibisyon ay dapat na maitala. Mangyayari ito hanggang ang natitirang bahagi ng dibisyon ay mas mababa sa o katumbas ng isa. Pinakamabuting magsagawa ng mga kalkulasyon sa isang hanay. Ang mga natitira sa paghahati ay isinusulat sa linya sa reverse order.

Halimbawa, i-convert natin ang numero 9 sa binary:

Hinahati namin ang 9, dahil ang numero ay hindi nahahati sa kabuuan, pagkatapos ay kukunin namin ang numero 8, ang natitira ay magiging 9 - 1 = 1.

Pagkatapos hatiin ang 8 sa 2, makakakuha tayo ng 4. Hatiin itong muli, dahil ang numero ay nahahati sa isang integer - nakakakuha tayo ng natitirang 4 - 4 = 0.

Isinasagawa namin ang parehong operasyon na may 2. Ang natitira ay 0.

Bilang resulta ng paghahati, nakakakuha tayo ng 1.

Anuman ang panghuling sistema ng numero, ang conversion ng mga numero mula sa decimal patungo sa anumang iba ay magaganap ayon sa prinsipyo ng paghahati ng numero sa base ng positional system.

Pag-convert ng mga numero: mula sa binary hanggang decimal

Napakadaling i-convert ang mga numero sa sistema ng decimal na numero mula sa binary. Upang gawin ito, sapat na malaman ang mga patakaran para sa pagpapataas ng mga numero sa mga kapangyarihan. Sa kasong ito, sa kapangyarihan ng dalawa.

Ang algorithm ng pagsasalin ay ang mga sumusunod: ang bawat digit mula sa code ng isang binary na numero ay dapat na i-multiply ng dalawa, at ang unang dalawa ay magiging kapangyarihan ng m-1, ang pangalawa - m-2 at iba pa, kung saan ang m ay ang bilang ng mga digit sa code. Pagkatapos ay idagdag ang mga resulta ng karagdagan upang makakuha ng isang integer.

Para sa mga mag-aaral, ang algorithm na ito ay maaaring ipaliwanag nang mas simple:

Upang magsimula, kinukuha namin at isulat ang bawat digit na pinarami ng dalawa, pagkatapos ay ilagay ang kapangyarihan ng dalawa mula sa dulo, simula sa zero. Pagkatapos ay idinagdag namin ang resultang numero.

Bilang halimbawa, susuriin namin ang numerong 1001 na nakuha nang mas maaga, i-convert ito sa decimal system, at sa parehong oras suriin ang kawastuhan ng aming mga kalkulasyon.

Magiging ganito ang hitsura:

1*2 3 + 0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = 8+0+0+1 =9.

Kapag pinag-aaralan ang paksang ito, maginhawang gumamit ng talahanayan na may dalawang kapangyarihan. Ito ay makabuluhang bawasan ang dami ng oras na kinakailangan upang magsagawa ng mga kalkulasyon.

Iba pang mga opsyon sa pagsasalin

Sa ilang mga kaso, maaaring isagawa ang pagsasalin sa pagitan ng mga sistema ng binary at octal na numero, binary at hexadecimal. Sa kasong ito, maaari kang gumamit ng mga espesyal na talahanayan o maglunsad ng isang calculator application sa iyong computer sa pamamagitan ng pagpili sa opsyong "Programmer" sa tab na View.

Mga operasyon sa aritmetika

Anuman ang anyo kung saan ipinakita ang numero, maaari itong magamit upang magsagawa ng mga kalkulasyon na pamilyar sa atin. Ito ay maaaring dibisyon at pagpaparami, pagbabawas at pagdaragdag sa sistema ng numero na iyong pinili. Siyempre, ang bawat isa sa kanila ay may sariling mga patakaran.

Kaya para sa binary system, ang sarili nitong mga talahanayan ay binuo para sa bawat isa sa mga operasyon. Ang parehong mga talahanayan ay ginagamit sa iba pang mga positional system.

Hindi na kailangang kabisaduhin ang mga ito - i-print lamang ang mga ito at dalhin ang mga ito sa kamay. Maaari ka ring gumamit ng calculator sa iyong PC.

Isa sa pinakamahalagang paksa sa agham ng kompyuter ay ang sistema ng numero. Ang kaalaman sa paksang ito, ang pag-unawa sa mga algorithm para sa pag-convert ng mga numero mula sa isang system patungo sa isa pa ay ang susi sa katotohanan na magagawa mong maunawaan ang mas kumplikadong mga paksa, tulad ng algorithmization at programming, at magagawa mong isulat ang iyong unang programa sa iyong sarili.