Sine at cosine gamit ang halimbawa ng inilapat na puwersa. Sine, cosine, tangent, cotangent ng isang matinding anggulo

I think you deserve more than this. Narito ang aking susi sa trigonometrya:

• Iguhit ang simboryo, dingding at kisame
• Ang mga function ng trigonometric ay walang iba kundi porsyento ang tatlong anyo na ito.

Metapora para sa sine at cosine: simboryo

Sa halip na tingnan lamang ang mga tatsulok mismo, isipin ang mga ito sa pagkilos sa pamamagitan ng paghahanap ng isang tiyak na halimbawa sa totoong buhay.

Isipin na ikaw ay nasa gitna ng isang simboryo at gusto mong magsabit ng screen ng projector ng pelikula. Itinuro mo ang iyong daliri sa simboryo sa isang tiyak na anggulo "x", at ang screen ay dapat na masuspinde mula sa puntong ito.

Tinutukoy ng anggulong itinuturo mo:

• sine(x) = sin(x) = taas ng screen (mula sa sahig hanggang dome mounting point)
• cosine(x) = cos(x) = distansya mula sa iyo papunta sa screen (sa sahig)
• hypotenuse, ang distansya mula sa iyo hanggang sa tuktok ng screen, palaging pareho, katumbas ng radius ng simboryo

Gusto mo bang maging kasing laki ng screen hangga't maaari? Ibitin ito nang direkta sa itaas mo.

Gusto mo bang mag-hang ang screen nang malayo sa iyo hangga't maaari? Ibitin ito nang patayo. Ang screen ay magkakaroon ng zero na taas sa posisyong ito at mag-hang sa pinakamalayo, gaya ng hiniling mo.

Ang taas at distansya mula sa screen ay inversely proportional: mas malapit ang screen na naka-hang, mas mataas ang taas nito.

Ang sine at cosine ay mga porsyento

Walang sinuman sa aking mga taon ng pag-aaral, sayang, ang nagpaliwanag sa akin na ang trigonometric function na sine at cosine ay hindi hihigit sa mga porsyento. Ang kanilang mga halaga ay mula sa +100% hanggang 0 hanggang -100%, o mula sa positibong maximum hanggang zero hanggang sa negatibong maximum.

Sabihin nating nagbayad ako ng buwis na 14 rubles. Hindi mo alam kung magkano ito. Ngunit kung sasabihin mong 95% ang aking binayaran sa buwis, maiintindihan mo na ako ay tinarayan lamang.

Ang ganap na taas ay walang ibig sabihin. Ngunit kung ang halaga ng sine ay 0.95, naiintindihan ko na ang TV ay nakabitin halos sa tuktok ng iyong simboryo. Sa lalong madaling panahon ay makakarating siya pinakamataas na taas sa gitna ng simboryo, at pagkatapos ay nagsisimulang bumaba muli.

Paano natin makalkula ang porsyento na ito? Napakasimple nito: hatiin ang kasalukuyang taas ng screen sa maximum na posible (ang radius ng dome, tinatawag ding hypotenuse).

kaya lang sinabihan tayo na “cosine = opposite side / hypotenuse.” Ito ay tungkol sa pagkuha ng interes! Pinakamainam na tukuyin ang sine bilang "ang porsyento ng kasalukuyang taas mula sa pinakamataas na posible." (Ang sine ay nagiging negatibo kung ang iyong anggulo ay tumuturo sa "ilalim ng lupa." Ang cosine ay magiging negatibo kung ang anggulo ay tumuturo patungo sa simboryo sa likod mo.)

Pasimplehin natin ang mga kalkulasyon sa pamamagitan ng pag-aakalang nasa gitna tayo ng bilog ng yunit (radius = 1). Maaari nating laktawan ang dibisyon at kunin lamang ang sine na katumbas ng taas.

Ang bawat bilog ay mahalagang isang yunit, pinalaki o pinaliit sa sukat hanggang tamang sukat. Kaya tukuyin ang mga koneksyon ng bilog ng unit at ilapat ang mga resulta sa iyong partikular na laki ng bilog.

Eksperimento: kumuha ng anumang anggulo at tingnan kung ano porsyento taas hanggang lapad na ipinapakita nito:

Ang graph ng paglaki ng halaga ng sine ay hindi lamang isang tuwid na linya. Ang unang 45 degrees ay sumasaklaw sa 70% ng taas, ngunit ang huling 10 degrees (mula 80° hanggang 90°) ay sumasakop lamang ng 2%.

Ito ay gagawing mas malinaw sa iyo: kung maglalakad ka sa isang bilog, sa 0° tumaas ka halos patayo, ngunit habang papalapit ka sa tuktok ng simboryo, ang taas ay nagbabago nang paunti.

Tangent at secant. Pader

Isang araw may kapitbahay na nagtayo ng pader magkatabi lang sa iyong simboryo. Sumigaw ang iyong view mula sa bintana at magandang presyo para muling ibenta!

Ngunit posible bang manalo sa ganitong sitwasyon?

Oo naman. Paano kung magsabit kami ng screen ng pelikula sa mismong dingding ng aming kapitbahay? I-target mo ang anggulo (x) at makuha ang:

• tan(x) = tan(x) = taas ng screen sa dingding
• distansya mula sa iyo sa dingding: 1 (ito ang radius ng iyong simboryo, ang dingding ay hindi gumagalaw kahit saan mula sa iyo, tama?)
• secant(x) = sec(x) = "haba ng hagdan" mula sa iyong nakatayo sa gitna ng simboryo hanggang sa tuktok ng nasuspinde na screen

Linawin natin ang ilang punto tungkol sa tangent, o taas ng screen.

• nagsisimula ito sa 0, at maaaring tumaas nang walang katapusan. Maaari mong i-stretch ang screen nang mas mataas at mas mataas sa dingding upang lumikha ng isang walang katapusang canvas para sa panonood ng iyong paboritong pelikula! (Para sa isang napakalaking isa, siyempre, kakailanganin mong gumastos ng maraming pera).
• ang tangent ay isang mas malaking bersyon lamang ng sine! At habang ang pagtaas ng sine ay bumagal habang lumilipat ka patungo sa tuktok ng simboryo, ang padaplis ay patuloy na lumalaki!

May ipagyayabang din si Sekansu:

• Ang secant ay nagsisimula sa 1 (ang hagdan ay nasa sahig, mula sa iyo hanggang sa dingding) at nagsisimulang tumaas mula doon
• Ang secant ay palaging mas mahaba kaysa sa padaplis. Ang slanted ladder na ginagamit mo sa pagsasabit ng iyong screen ay dapat na mas mahaba kaysa sa screen mismo, tama ba? (Sa mga hindi makatotohanang laki, kapag ang screen ay napakahaba at ang hagdan ay kailangang ilagay halos patayo, ang kanilang mga sukat ay halos pareho. Ngunit kahit na ang secant ay magiging mas mahaba ng kaunti).

Tandaan, ang mga halaga ay porsyento. Kung magpasya kang isabit ang screen sa isang anggulo na 50 degrees, tan(50)=1.19. Ang iyong screen ay 19% na mas malaki kaysa sa distansya sa dingding (dome radius).

(Ipasok ang x=0 at suriin ang iyong intuwisyon - tan(0) = 0 at sec(0) = 1.)

Cotangent at cosecant. Kisame

Hindi kapani-paniwala, nagpasya na ngayon ang iyong kapitbahay na magtayo ng bubong sa iyong simboryo. (Anong problema niya? Tila ayaw niyang tiktikan mo siya habang naglalakad siya sa bakuran nang hubo't hubad...)

Buweno, oras na upang magtayo ng isang labasan sa bubong at makipag-usap sa iyong kapitbahay. Pinipili mo ang anggulo ng pagkahilig at simulan ang pagtatayo:

• ang patayong distansya sa pagitan ng saksakan ng bubong at sahig ay palaging 1 (ang radius ng simboryo)
• cotangent(x) = cot(x) = distansya sa pagitan ng tuktok ng simboryo at ang exit point
• cosecant(x) = csc(x) = haba ng iyong landas patungo sa bubong

Ang tangent at secant ay naglalarawan sa dingding, at ang COtangent at COsecant ay naglalarawan sa kisame.

Ang aming mga intuitive na konklusyon sa oras na ito ay katulad ng mga nauna:

• Kung kukunin mo ang anggulo na katumbas ng 0°, ang iyong paglabas sa bubong ay mananatili magpakailanman, dahil hinding-hindi ito aabot sa kisame. Problema.
• Ang pinakamaikling "hagdan" sa bubong ay makukuha kung itatayo mo ito sa isang anggulo ng 90 degrees sa sahig. Ang cotangent ay magiging katumbas ng 0 (hindi kami gumagalaw sa bubong, mahigpit kaming lumabas nang patayo), at ang cosecant ay magiging katumbas ng 1 ("ang haba ng hagdan" ay magiging minimal).

I-visualize ang mga koneksyon

Kung ang lahat ng tatlong kaso ay iginuhit sa kumbinasyon ng dome-wall-ceiling, ang resulta ay ang mga sumusunod:

Well, pareho pa rin itong tatsulok, pinalaki ang laki para maabot ang dingding at kisame. Mayroon kaming mga patayong panig (sine, tangent), pahalang na panig (cosine, cotangent) at "hypotenuses" (secant, cosecant). (Sa pamamagitan ng mga arrow makikita mo kung saan nararating ang bawat elemento. Ang cosecant ay ang kabuuang distansya mula sa iyo patungo sa bubong).

Kaunting magic. Ang lahat ng mga tatsulok ay nagbabahagi ng parehong pagkakapantay-pantay:

Mula sa Pythagorean theorem (a 2 + b 2 = c 2) nakikita natin kung paano konektado ang mga gilid ng bawat tatsulok. Bilang karagdagan, ang mga ratio ng "taas sa lapad" ay dapat ding pareho para sa lahat ng mga tatsulok. (Ilipat lang mula sa pinakamalaking tatsulok patungo sa mas maliit. Oo, nagbago ang laki, ngunit ang mga proporsyon ng mga gilid ay mananatiling pareho).

Ang pag-alam kung aling panig sa bawat tatsulok ang katumbas ng 1 (ang radius ng simboryo), madali nating makalkula na "sin/cos = tan/1".

Palagi kong sinusubukang alalahanin ang mga katotohanang ito sa pamamagitan ng simpleng visualization. Sa larawan ay malinaw mong nakikita ang mga dependency na ito at naiintindihan mo kung saan nanggaling ang mga ito. Ang pamamaraan na ito ay mas mahusay kaysa sa pagsasaulo ng mga tuyong formula.

Huwag kalimutan ang tungkol sa iba pang mga anggulo

Psst... Huwag matigil sa isang graph, iniisip na ang tangent ay palaging mas mababa sa 1. Kung tinaasan mo ang anggulo, maaari mong maabot ang kisame nang hindi umaabot sa dingding:

Palaging gumagana ang mga koneksyon ng Pythagorean, ngunit maaaring mag-iba ang mga kamag-anak na laki.

(Maaaring napansin mo na ang mga ratio ng sine at cosine ay palaging pinakamaliit dahil ang mga ito ay nasa loob ng simboryo).

Upang buod: ano ang kailangan nating tandaan?

Para sa karamihan sa atin, masasabi kong ito ay sapat na:

• Ipinapaliwanag ng trigonometrya ang anatomy ng mga bagay na pangmatematika tulad ng mga bilog at paulit-ulit na pagitan
• Ang dome/wall/roof analogy ay nagpapakita ng kaugnayan sa pagitan ng iba't ibang trigonometriko function
• Ang trigonometric function ay nagreresulta sa mga porsyento, na inilalapat namin sa aming script.

Hindi mo kailangang isaulo ang mga formula tulad ng 1 2 + cot 2 = csc 2 . Ang mga ito ay angkop lamang para sa mga hangal na pagsusulit kung saan ang kaalaman sa isang katotohanan ay ipinapasa bilang pag-unawa dito. Maglaan ng isang minuto upang gumuhit ng kalahating bilog sa anyo ng isang simboryo, isang pader at isang bubong, lagyan ng label ang mga elemento, at ang lahat ng mga formula ay darating sa iyo sa papel.

Paglalapat: Baliktad na Mga Pag-andar

Ang anumang trigonometric function ay kumukuha ng anggulo bilang input parameter at ibinabalik ang resulta bilang porsyento. sin(30) = 0.5. Nangangahulugan ito na ang isang anggulo ng 30 degrees ay tumatagal ng 50% ng pinakamataas na taas.

Ang inverse trigonometric function ay nakasulat bilang sin -1 o arcsin. Madalas din itong nakasulat sa asin iba't ibang wika programming.

Kung ang ating taas ay 25% ng taas ng simboryo, ano ang ating anggulo?

Sa aming talahanayan ng mga proporsyon maaari kang makahanap ng ratio kung saan ang secant ay nahahati sa 1. Halimbawa, ang secant sa pamamagitan ng 1 (hypotenuse sa pahalang) ay magiging katumbas ng 1 na hinati ng cosine:

Sabihin nating ang secant natin ay 3.5, i.e. 350% ng radius ng isang unit circle. Anong anggulo ng pagkahilig sa dingding ang katumbas ng halagang ito?

Apendise: Ilang halimbawa

Isang boring na gawain. Gawin nating kumplikado ang karaniwang "hanapin ang sine" sa "Ano ang taas bilang porsyento ng maximum (hypotenuse)?"

Una, pansinin na ang tatsulok ay pinaikot. Wala namang masama dun. Ang tatsulok ay mayroon ding taas, ito ay ipinahiwatig sa berde sa figure.

Ano ang katumbas ng hypotenuse? Ayon sa Pythagorean theorem, alam natin na:

3 2 + 4 2 = hypotenuse 2 25 = hypotenuse 2 5 = hypotenuse

ayos lang! Ang sine ay ang porsyento ng taas ng pinakamahabang gilid ng tatsulok, o hypotenuse. Sa aming halimbawa, ang sine ay 3/5 o 0.60.

Siyempre, maaari tayong pumunta sa maraming paraan. Ngayon alam natin na ang sine ay 0.60, mahahanap lang natin ang arcsine:

Asin(0.6)=36.9

Narito ang isa pang diskarte. Tandaan na ang tatsulok ay "nakaharap sa dingding," kaya maaari naming gamitin ang tangent sa halip na ang sine. Ang taas ay 3, ang distansya sa dingding ay 4, kaya ang padaplis ay ¾ o 75%. Maaari naming gamitin ang arctangent upang bumalik mula sa isang porsyento na halaga pabalik sa isang anggulo:

Tan = 3/4 = 0.75 atan(0.75) = 36.9 Halimbawa: Lumalangoy ka ba sa dalampasigan?

Nasa bangka ka at mayroon kang sapat na gasolina para maglakbay ng 2 km. 0.25 km ka na ngayon mula sa baybayin. Sa anong pinakamataas na anggulo sa baybayin maaari kang lumangoy dito upang magkaroon ka ng sapat na gasolina? Karagdagan sa pahayag ng problema: mayroon lamang kaming talahanayan ng mga halaga ng arc cosine.

Kung anong meron tayo? Ang baybayin ay maaaring ilarawan bilang isang "pader" sa aming sikat na tatsulok, at ang "haba ng hagdan" na nakakabit sa dingding ay ang pinakamataas na posibleng distansya na masakop ng bangka patungo sa baybayin (2 km). Lumilitaw ang isang secant.

Una, kailangan mong pumunta sa mga porsyento. Mayroon kaming 2 / 0.25 = 8, iyon ay, maaari kaming lumangoy ng isang distansya na 8 beses ang tuwid na distansya sa baybayin (o sa dingding).

Ang tanong ay lumitaw: "Ano ang secant ng 8?" Ngunit hindi namin ito masagot, dahil mayroon lamang kaming mga arc cosine.

Ginagamit namin ang aming dating nagmula na mga dependency upang iugnay ang secant sa cosine: "sec/1 = 1/cos"

Ang secant ng 8 ay katumbas ng cosine ng ⅛. Ang isang anggulo na ang cosine ay ⅛ ay katumbas ng acos(1/8) = 82.8. At ito ang pinakamalaking anggulo na maaari nating bayaran sa isang bangka na may tinukoy na dami ng gasolina.

Hindi masama, tama ba? Kung wala ang pagkakatulad ng dome-wall-ceiling, naligaw sana ako sa isang grupo ng mga formula at kalkulasyon. Ang pag-visualize sa problema ay lubos na pinapasimple ang paghahanap para sa isang solusyon, at ito rin ay kawili-wiling upang makita kung aling trigonometriko function ang sa huli ay makakatulong.

Para sa bawat problema, mag-isip ng ganito: Interesado ba ako sa dome (sin/cos), sa dingding (tan/sec), o sa kisame (cot/csc)?

At ang trigonometry ay magiging mas kasiya-siya. Madaling kalkulasyon para sa iyo!

Ang mga konsepto ng sine, cosine, tangent at cotangent ay ang mga pangunahing kategorya ng trigonometrya, isang sangay ng matematika, at hindi mapaghihiwalay na nauugnay sa kahulugan ng anggulo. Ang karunungan sa agham na ito sa matematika ay nangangailangan ng pagsasaulo at pag-unawa sa mga pormula at teorema, pati na rin ang pagbuo ng spatial na pag-iisip. Ito ang dahilan kung bakit ang mga kalkulasyon ng trigonometriko ay kadalasang nagdudulot ng mga paghihirap para sa mga mag-aaral at mag-aaral. Upang malampasan ang mga ito, dapat kang maging mas pamilyar sa mga function at formula ng trigonometriko.

Mga konsepto sa trigonometrya

Upang maunawaan ang mga pangunahing konsepto ng trigonometrya, kailangan mo munang maunawaan kung ano ang isang tamang tatsulok at isang anggulo sa isang bilog, at kung bakit ang lahat ng mga pangunahing kalkulasyon ng trigonometric ay nauugnay sa kanila. Ang isang tatsulok kung saan ang isa sa mga anggulo ay may sukat na 90 degrees ay hugis-parihaba. Sa kasaysayan, ang figure na ito ay kadalasang ginagamit ng mga tao sa arkitektura, nabigasyon, sining, at astronomiya. Alinsunod dito, sa pamamagitan ng pag-aaral at pagsusuri ng mga katangian ng figure na ito, ang mga tao ay dumating upang kalkulahin ang kaukulang mga ratio ng mga parameter nito.

Ang mga pangunahing kategorya na nauugnay sa mga tamang tatsulok ay ang hypotenuse at ang mga binti. Hypotenuse - ang gilid ng isang tatsulok sa tapat tamang anggulo. Ang mga binti, ayon sa pagkakabanggit, ay ang iba pang dalawang panig. Ang kabuuan ng mga anggulo ng anumang mga tatsulok ay palaging 180 degrees.

Ang spherical trigonometry ay isang seksyon ng trigonometry na hindi pinag-aaralan sa paaralan, ngunit sa mga inilapat na agham tulad ng astronomy at geodesy, ginagamit ito ng mga siyentipiko. Ang kakaibang katangian ng isang tatsulok sa spherical trigonometrya ay palaging may kabuuan ng mga anggulo na higit sa 180 degrees.

Mga anggulo ng isang tatsulok

Sa isang tamang tatsulok, ang sine ng isang anggulo ay ang ratio ng binti sa tapat ng nais na anggulo sa hypotenuse ng tatsulok. Alinsunod dito, ang cosine ay ang ratio katabing binti at hypotenuse. Ang parehong mga halagang ito ay palaging may magnitude na mas mababa sa isa, dahil ang hypotenuse ay palaging mas mahaba kaysa sa binti.

Ang tangent ng isang anggulo ay isang halaga na katumbas ng ratio ng kabaligtaran na bahagi sa katabing bahagi ng nais na anggulo, o sine sa cosine. Ang Cotangent, sa turn, ay ang ratio ng katabing bahagi ng nais na anggulo sa kabaligtaran. Ang cotangent ng isang anggulo ay maaari ding makuha sa pamamagitan ng paghahati ng isa sa tangent na halaga.

Circle ng unit

Ang unit circle sa geometry ay isang bilog na ang radius ay katumbas ng isa. Ang nasabing bilog ay itinayo sa isang Cartesian coordinate system, na ang gitna ng bilog ay tumutugma sa pinanggalingan, at panimulang posisyon Ang radius vector ay tinutukoy ng positibong direksyon ng X axis (abscissa axis). Ang bawat punto sa bilog ay may dalawang coordinate: XX at YY, iyon ay, ang mga coordinate ng abscissa at ordinate. Sa pamamagitan ng pagpili ng anumang punto sa bilog sa XX plane at pag-drop ng isang patayo mula dito sa abscissa axis, nakakakuha kami ng isang tamang tatsulok na nabuo ng radius sa napiling punto (na tinutukoy ng titik C), ang patayo na iginuhit sa X axis (ang intersection point ay tinutukoy ng letrang G), at ang segment ay ang abscissa axis sa pagitan ng pinanggalingan (ang punto ay itinalaga ng titik A) at ang intersection point G. Ang resultang tatsulok na ACG ay isang kanang tatsulok na nakasulat sa isang bilog, kung saan ang AG ay ang hypotenuse, at ang AC at GC ay ang mga binti. Ang anggulo sa pagitan ng radius ng bilog AC at ang segment ng abscissa axis na may pagtatalagang AG ay tinukoy bilang α (alpha). Kaya, cos α = AG/AC. Isinasaalang-alang na ang AC ay ang radius ng bilog ng yunit, at ito ay katumbas ng isa, lumalabas na cos α=AG. Gayundin, kasalanan α=CG.

Bilang karagdagan, sa pag-alam sa data na ito, matutukoy mo ang coordinate ng point C sa bilog, dahil cos α=AG, at sin α=CG, na nangangahulugang ang point C ay may ibinigay na mga coordinate (cos α;sin α). Alam na ang tangent ay katumbas ng ratio ng sine sa cosine, matutukoy natin na ang tan α = y/x, at cot α = x/y. Sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang ng mga anggulo sa isang negatibong sistema ng coordinate, maaari mong kalkulahin na ang mga halaga ng sine at cosine ng ilang mga anggulo ay maaaring negatibo.

Mga kalkulasyon at pangunahing mga formula

Mga halaga ng function na trigonometric

Ang pagkakaroon ng pagsasaalang-alang sa kakanyahan ng mga pag-andar ng trigonometriko sa pamamagitan ng bilog ng yunit, maaari nating makuha ang mga halaga ng mga pag-andar na ito para sa ilang mga anggulo. Ang mga halaga ay nakalista sa talahanayan sa ibaba.

Ang pinakasimpleng trigonometriko pagkakakilanlan

Ang mga equation kung saan mayroong hindi kilalang halaga sa ilalim ng tanda ng trigonometric function ay tinatawag na trigonometric. Mga pagkakakilanlan na may halagang sin x = α, k - anumang integer:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. sin x = 1, x = π/2 + 2πk.
3. sin x = -1, x = -π/2 + 2πk.
4. kasalanan x = a, |a| > 1, walang solusyon.
5. kasalanan x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

Mga pagkakakilanlan na may halagang cos x = a, kung saan ang k ay anumang integer:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x = -1, x = π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, walang solusyon.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, x = ±arccos α + 2πk.

Mga pagkakakilanlan na may halagang tg x = a, kung saan ang k ay anumang integer:

1. tan x = 0, x = π/2 + πk.
2. tan x = a, x = arctan α + πk.

Mga pagkakakilanlan na may value na ctg x = a, kung saan ang k ay anumang integer:

1. cot x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x = a, x = arcctg α + πk.

Mga formula ng pagbabawas

Ang kategoryang ito ng mga pare-parehong pormula ay tumutukoy sa mga pamamaraan kung saan maaari kang lumipat mula sa mga trigonometriko na pag-andar ng anyo patungo sa mga pag-andar ng isang argumento, iyon ay, bawasan ang sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo ng anumang halaga sa kaukulang mga tagapagpahiwatig ng anggulo ng ang pagitan mula 0 hanggang 90 degrees para sa higit na kaginhawahan ng mga kalkulasyon.

Ang mga formula para sa pagbabawas ng mga function para sa sine ng isang anggulo ay ganito ang hitsura:

• kasalanan(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• kasalanan(1800 - α) = kasalanan α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• kasalanan(3600 + α) = kasalanan α.

Para sa cosine ng anggulo:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Ang paggamit ng mga formula sa itaas ay posibleng napapailalim sa dalawang panuntunan. Una, kung ang anggulo ay maaaring katawanin bilang isang halaga (π/2 ± a) o (3π/2 ± a), ang halaga ng function ay nagbabago:

• mula sa kasalanan hanggang sa cos;
• mula sa cos hanggang sa kasalanan;
• mula tg hanggang ctg;
• mula ctg hanggang tg.

Ang halaga ng function ay nananatiling hindi nagbabago kung ang anggulo ay maaaring katawanin bilang (π ± a) o (2π ± a).

Pangalawa, ang tanda ng pinababang pag-andar ay hindi nagbabago: kung ito ay positibo sa una, ito ay nananatiling gayon. Pareho sa mga negatibong pag-andar.

Mga formula ng karagdagan

Ang mga formula na ito ay nagpapahayag ng mga halaga ng sine, cosine, tangent at cotangent ng kabuuan at pagkakaiba ng dalawang anggulo ng pag-ikot sa pamamagitan ng kanilang mga trigonometric function. Karaniwan ang mga anggulo ay tinutukoy bilang α at β.

Ang mga formula ay ganito ang hitsura:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Ang mga formula na ito ay may bisa para sa anumang mga anggulo α at β.

Mga formula ng doble at triple anggulo

Ang double at triple angle trigonometric formula ay mga formula na nag-uugnay sa mga function ng mga anggulo 2α at 3α, ayon sa pagkakabanggit, sa mga trigonometric na function ng angle α. Nagmula sa mga pormula ng karagdagan:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2 α.
3. tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3 α.
5. cos3α = 4cos^3 α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Paglipat mula sa kabuuan patungo sa produkto

Isinasaalang-alang na ang 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), na pinasimple ang formula na ito, nakuha natin ang pagkakakilanlan sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Katulad din sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tanα + tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Paglipat mula sa produkto hanggang sa kabuuan

Ang mga formula na ito ay sumusunod mula sa mga pagkakakilanlan ng paglipat ng isang kabuuan sa isang produkto:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Mga formula ng pagbabawas ng degree

Sa mga pagkakakilanlan na ito, ang parisukat at kubiko na kapangyarihan ng sine at cosine ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng sine at cosine ng unang kapangyarihan ng maraming anggulo:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Pangkalahatang pagpapalit

Ang mga formula para sa unibersal na trigonometric substitution ay nagpapahayag ng mga function na trigonometriko sa mga tuntunin ng tangent ng kalahating anggulo.

• sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), na may x = π + 2πn;
• cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), kung saan x = π + 2πn;
• tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), kung saan x = π + 2πn;
• cot x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), na may x = π + 2πn.

Mga espesyal na kaso

Ang mga espesyal na kaso ng pinakasimpleng trigonometric equation ay ibinibigay sa ibaba (k ay anumang integer).

Mga quote para sa sine:

Mga quote para sa cosine:

Mga quote para sa tangent:

Mga quote para sa cotangent:

Theorems

Teorama ng mga sine

Mayroong dalawang bersyon ng theorem - simple at extended. Simple sine theorem: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Sa kasong ito, ang a, b, c ay ang mga gilid ng tatsulok, at ang α, β, γ ay ang magkasalungat na mga anggulo, ayon sa pagkakabanggit.

Extended sine theorem para sa isang arbitrary triangle: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. Sa pagkakakilanlang ito, ang R ay tumutukoy sa radius ng bilog kung saan ang ibinigay na tatsulok ay nakasulat.

Cosine theorem

Ang pagkakakilanlan ay ipinapakita tulad ng sumusunod: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Sa formula, ang a, b, c ay ang mga gilid ng tatsulok, at ang α ay ang anggulo sa tapat ng gilid a.

Tangent theorem

Ang formula ay nagpapahayag ng ugnayan sa pagitan ng mga tangent ng dalawang anggulo at ang haba ng mga gilid sa tapat ng mga ito. Ang mga gilid ay may label na a, b, c, at ang katumbas na magkasalungat na anggulo ay α, β, γ. Formula ng tangent theorem: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2).

Cotangent theorem

Ikinokonekta ang radius ng isang bilog na nakasulat sa isang tatsulok na may haba ng mga gilid nito. Kung ang a, b, c ay ang mga gilid ng tatsulok, at ang A, B, C, ayon sa pagkakabanggit, ay ang mga anggulo sa tapat ng mga ito, ang r ay ang radius ng inscribed na bilog, at ang p ay ang semi-perimeter ng tatsulok, ang mga sumusunod may bisa ang mga pagkakakilanlan:

• higaan A/2 = (p-a)/r;
• higaan B/2 = (p-b)/r;
• higaan C/2 = (p-c)/r.

Aplikasyon

Ang trigonometrya ay hindi lamang isang teoretikal na agham na nauugnay sa mga pormula sa matematika. Ang mga katangian, teorema at panuntunan nito ay ginagamit sa pagsasanay ng iba't ibang sangay ng aktibidad ng tao - astronomy, aerial at nabigasyon sa dagat, music theory, geodesy, chemistry, acoustics, optics, electronics, architecture, economics, mechanical engineering, pagsukat ng trabaho, computer graphics, cartography, oceanography, at marami pang iba.

Ang sine, cosine, tangent at cotangent ay ang mga pangunahing konsepto ng trigonometrya, sa tulong kung saan ang isa ay maaaring mathematically ipahayag ang mga relasyon sa pagitan ng mga anggulo at haba ng mga gilid sa isang tatsulok, at hanapin ang mga kinakailangang dami sa pamamagitan ng mga pagkakakilanlan, theorems at mga panuntunan.

Kung saan ang mga problema sa paglutas ng tamang tatsulok ay isinasaalang-alang, nangako akong magpapakita ng isang pamamaraan para sa pagsasaulo ng mga kahulugan ng sine at cosine. Gamit ito, palagi mong maaalala kung aling panig ang kabilang sa hypotenuse (katabi o kabaligtaran). Nagpasya akong huwag ipagpaliban ito nang matagal, kinakailangang materyal sa ibaba, pakibasa 😉

Ang katotohanan ay paulit-ulit kong naobserbahan kung paano nahihirapang alalahanin ng mga estudyante sa grade 10-11 ang mga kahulugang ito. Natatandaan nilang mabuti na ang binti ay tumutukoy sa hypotenuse, ngunit alin- nakalimutan nila at nalilito. Ang presyo ng isang pagkakamali, tulad ng alam mo sa isang pagsusulit, ay isang nawawalang punto.

Ang impormasyong ipapakita ko nang direkta ay walang kinalaman sa matematika. Ito ay nauugnay sa matalinghagang pag-iisip, at sa pandiwang- lohikal na koneksyon. Ganyan ko talaga naaalala, once and for alldata ng kahulugan. Kung nakalimutan mo ang mga ito, maaari mong palaging madaling matandaan ang mga ito gamit ang mga pamamaraan na ipinakita.

Hayaan akong ipaalala sa iyo ang mga kahulugan ng sine at cosine sa isang tamang tatsulok:

Cosine matinding anggulo sa isang kanang tatsulok, ito ang ratio ng katabing binti sa hypotenuse:

Sinus Ang talamak na anggulo sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa hypotenuse:

Kaya, anong mga asosasyon ang mayroon ka sa salitang cosine?

Malamang lahat ay may kanya-kanyang 😉Tandaan ang link:

Kaya, ang expression ay agad na lilitaw sa iyong memorya -

«… ratio ng ADJACENT leg sa hypotenuse».

Ang problema sa pagtukoy ng cosine ay nalutas na.

Kung kailangan mong tandaan ang kahulugan ng sine sa isang tamang tatsulok, pagkatapos ay maalala ang kahulugan ng cosine, madali mong maitatag na ang sine ng isang matinding anggulo sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa hypotenuse. Pagkatapos ng lahat, mayroon lamang dalawang binti; kung ang katabing binti ay "sinasakop" ng cosine, kung gayon ang kabaligtaran na binti lamang ang nananatili sa sine.

Paano ang tangent at cotangent? Ang pagkalito ay pareho. Alam ng mga mag-aaral na ito ay isang relasyon ng mga binti, ngunit ang problema ay alalahanin kung alin ang tinutukoy - alinman sa kabaligtaran sa katabi, o kabaliktaran.

Mga Kahulugan:

Padaplis Ang talamak na anggulo sa isang kanang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa katabing bahagi:

Cotangent Ang talamak na anggulo sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng katabing bahagi sa kabaligtaran:

Paano maalala? Mayroong dalawang paraan. Ang isa ay gumagamit din ng isang verbal-logical na koneksyon, ang isa ay gumagamit ng isang matematikal.

PARAAN NG MATHEMATICAL

Mayroong ganoong kahulugan - ang tangent ng isang matinding anggulo ay ang ratio ng sine ng anggulo sa cosine nito:

*Kapag kabisado ang formula, maaari mong palaging matukoy na ang tangent ng isang matinding anggulo sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa katabing bahagi.

Ganun din.Ang cotangent ng isang matinding anggulo ay ang ratio ng cosine ng anggulo sa sine nito:

Kaya! Sa pamamagitan ng pag-alala sa mga formula na ito, palagi mong matutukoy na:

- ang padaplis ng isang matinding anggulo sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa katabi.

- ang cotangent ng isang matinding anggulo sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng katabing binti sa kabaligtaran.

WORD-LOGICAL METHOD

Tungkol sa tangent. Tandaan ang link:

Iyon ay, kung kailangan mong tandaan ang kahulugan ng tangent, gamit ang lohikal na koneksyon na ito, madali mong matandaan kung ano ito

"... ang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa katabing bahagi"

Kung pinag-uusapan natin ang tungkol sa cotangent, pagkatapos ay naaalala ang kahulugan ng tangent madali mong maipahayag ang kahulugan ng cotangent -

"... ang ratio ng katabing bahagi sa kabaligtaran"

Kumain kawili-wiling pamamaraan sa pag-alala sa tangent at cotangent sa site " Tandem sa matematika " , tingnan mo.

UNIVERSAL NA PARAAN

Kabisado mo lang.Ngunit bilang nagpapakita ng kasanayan, salamat sa mga koneksyon sa pandiwa-lohikal, naaalala ng isang tao ang impormasyon sa loob ng mahabang panahon, at hindi lamang ang mga matematikal.

Umaasa ako na ang materyal ay naging kapaki-pakinabang sa iyo.

Taos-puso, Alexander Krutitskikh

P.S: Magpapasalamat ako kung sasabihin mo sa akin ang tungkol sa site sa mga social network.

Nakasentro sa punto A.
Ang α ay ang anggulo na ipinahayag sa radians.

Tangent ( tan α) ay isang trigonometric function depende sa anggulo α sa pagitan ng hypotenuse at ng binti ng isang right triangle, katumbas ng ratio ng haba ng tapat na binti |BC| sa haba ng katabing binti |AB| .

Cotangent ( ctg α) ay isang trigonometric function depende sa anggulo α sa pagitan ng hypotenuse at ng binti ng isang right triangle, katumbas ng ratio ng haba ng katabing binti |AB| sa haba ng tapat na binti |BC| .

Padaplis

saan n- buo.

Sa panitikan sa Kanluran, ang tangent ay tinukoy bilang mga sumusunod:
.
;
;
.

Graph ng tangent function, y = tan x

Cotangent

saan n- buo.

Sa panitikang Kanluranin, ang cotangent ay tinukoy bilang mga sumusunod:
.
Ang mga sumusunod na notasyon ay tinatanggap din:
;
;
.

Graph ng cotangent function, y = ctg x

Mga katangian ng tangent at cotangent

Periodicity

Mga function y = tg x at y = ctg x ay periodic na may period π.

Pagkakapantay-pantay

Ang padaplis at cotangent function ay kakaiba.

Mga lugar ng kahulugan at halaga, pagtaas, pagbaba

Ang tangent at cotangent function ay tuloy-tuloy sa kanilang domain ng kahulugan (tingnan ang patunay ng pagpapatuloy). Ang mga pangunahing katangian ng tangent at cotangent ay ipinakita sa talahanayan ( n- buo).

Mga pormula

Mga expression gamit ang sine at cosine

; ;
; ;
;

Mga formula para sa tangent at cotangent mula sa kabuuan at pagkakaiba

Ang natitirang mga formula ay madaling makuha, halimbawa

Produkto ng tangents

Formula para sa kabuuan at pagkakaiba ng mga tangent

Ang talahanayan na ito ay nagpapakita ng mga halaga ng tangent at cotangent para sa ilang mga halaga ng argumento.

Mga expression na gumagamit ng mga kumplikadong numero

Mga expression sa pamamagitan ng hyperbolic function

;
;

Derivatives

; .

.
Derivative ng nth order na may paggalang sa variable x ng function:
.
Pagkuha ng mga formula para sa padaplis > > > ; para sa cotangent > > >

Mga integral

Mga pagpapalawak ng serye

Upang makuha ang pagpapalawak ng tangent sa mga kapangyarihan ng x, kailangan mong kumuha ng ilang mga termino ng pagpapalawak sa isang serye ng kapangyarihan para sa mga function. kasalanan x At kasi x at hatiin ang mga polynomial na ito sa bawat isa, . Ito ay gumagawa ng mga sumusunod na formula.

Sa .

sa .
saan Bn- Mga numero ng Bernoulli. Ang mga ito ay tinutukoy alinman mula sa pag-uulit na kaugnayan:
;
;
saan .
O ayon sa formula ni Laplace:

Mga kabaligtaran na pag-andar

Mga kabaligtaran na pag-andar sa tangent at cotangent ay arctangent at arccotangent, ayon sa pagkakabanggit.

Arctangent, arctg

, Saan n- buo.

Arccotangent, arcctg

, Saan n- buo.

Mga sanggunian:
SA. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook ng matematika para sa mga inhinyero at mag-aaral sa kolehiyo, "Lan", 2009.
G. Korn, Handbook of Mathematics for Scientists and Engineers, 2012.

Ang sine at cosine ay orihinal na bumangon mula sa pangangailangan na kalkulahin ang mga dami sa mga tamang tatsulok. Napansin na kung ang sukat ng antas ng mga anggulo sa isang tamang tatsulok ay hindi nabago, kung gayon ang aspect ratio, gaano man kalaki ang pagbabago sa haba ng mga panig na ito, ay palaging nananatiling pareho.

Ito ay kung paano ipinakilala ang mga konsepto ng sine at cosine. Ang sine ng isang matinding anggulo sa isang kanang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa hypotenuse, at ang cosine ay ang ratio ng gilid na katabi ng hypotenuse.

Theorems ng cosines at sines

Ngunit ang mga cosine at sine ay maaaring gamitin para sa higit pa sa mga tamang tatsulok. Upang mahanap ang halaga ng isang mahina o talamak na anggulo o gilid ng anumang tatsulok, sapat na upang ilapat ang teorama ng mga cosine at sine.

Ang cosine theorem ay medyo simple: "Ang parisukat ng isang gilid ng isang tatsulok ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng iba pang dalawang panig na binawasan ng dalawang beses ang produkto ng mga panig na iyon at ang cosine ng anggulo sa pagitan nila."

Mayroong dalawang interpretasyon ng sine theorem: maliit at pinalawak. Ayon sa menor de edad: "Sa isang tatsulok, ang mga anggulo ay proporsyonal sa magkabilang panig." Ang theorem na ito ay madalas na pinalawak dahil sa pag-aari ng circumscribed na bilog ng isang tatsulok: "Sa isang tatsulok, ang mga anggulo ay proporsyonal sa magkabilang panig, at ang kanilang ratio ay katumbas ng diameter ng circumscribed na bilog."

Derivatives

Ang derivative ay isang mathematical tool na nagpapakita kung gaano kabilis nagbabago ang isang function kaugnay ng pagbabago sa argumento nito. Ang mga derivative ay ginagamit sa geometry, at sa isang bilang ng mga teknikal na disiplina.

Kapag nilutas ang mga problema, kailangan mong malaman ang mga halaga ng tabular ng mga derivatives ng mga function ng trigonometriko: sine at cosine. Ang derivative ng isang sine ay isang cosine, at isang cosine ay isang sine, ngunit may isang minus sign.

Aplikasyon sa matematika

Ang mga sine at cosine ay kadalasang ginagamit kapag nilulutas kanang tatsulok at mga gawaing nauugnay sa kanila.

Ang kaginhawahan ng mga sine at cosine ay makikita rin sa teknolohiya. Ang mga anggulo at gilid ay madaling suriin gamit ang cosine at sine theorems, na pinaghiwa-hiwalay ang mga kumplikadong hugis at bagay sa "simpleng" triangles. Ang mga inhinyero na madalas na nakikitungo sa mga kalkulasyon ng mga aspect ratio at mga sukat ng antas ay gumugol ng maraming oras at pagsisikap sa pagkalkula ng mga cosine at sine ng mga anggulo na hindi tabular.

Pagkatapos ay nagligtas ang mga talahanayan ng Bradis, na naglalaman ng libu-libong halaga ng mga sine, cosine, tangent at cotangent ng iba't ibang mga anggulo. SA panahon ng Sobyet pinilit ng ilang guro ang kanilang mga estudyante na isaulo ang mga pahina ng mga talahanayan ng Bradis.

Ang radian ay ang angular na halaga ng isang arko na ang haba ay katumbas ng radius o 57.295779513° degrees.

Degree (sa geometry) - 1/360 na bahagi ng bilog o 1/90 na bahagi ng tamang anggulo.

π = 3.141592653589793238462… (tinatayang halaga ng Pi).

Cosine table para sa mga anggulo: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.