Pagbabawas ng mga simpleng praksiyon na may iba't ibang denominador. Pagdaragdag at pagbabawas ng mga algebraic fraction na may iba't ibang denominator (mga pangunahing panuntunan, pinakasimpleng kaso)

Sasaklawin ng araling ito ang pagdaragdag at pagbabawas ng mga algebraic fraction na may iba't ibang denominator. Alam na natin kung paano magdagdag at magbawas ng mga karaniwang fraction na may iba't ibang denominator. Upang gawin ito, ang mga fraction ay dapat na bawasan sa isang karaniwang denominator. Lumalabas na ang mga algebraic fraction ay sumusunod sa parehong mga patakaran. Kasabay nito, alam na natin kung paano bawasan ang mga algebraic fraction sa isang common denominator. Ang pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominador ay isa sa pinakamahalaga at mahirap na paksa sa kursong ika-8 baitang. Bukod dito, lalabas ang paksang ito sa maraming paksa sa kursong algebra na pag-aaralan mo sa hinaharap. Bilang bahagi ng aralin, pag-aaralan natin ang mga panuntunan para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga algebraic fraction na may iba't ibang denominator, at susuriin din ang ilang karaniwang mga halimbawa.

Tingnan natin ang pinakasimpleng halimbawa para sa mga ordinaryong fraction.

Halimbawa 1. Magdagdag ng mga fraction: .

Solusyon:

Tandaan natin ang panuntunan sa pagdaragdag ng mga fraction. Upang magsimula, ang mga fraction ay dapat na bawasan sa isang karaniwang denominator. Ang karaniwang denominator para sa mga ordinaryong fraction ay hindi bababa sa karaniwang maramihang(LCM) ng mga orihinal na denominador.

Kahulugan

Ang pinakamaliit na natural na numero na nahahati sa parehong mga numero at .

Upang mahanap ang LCM, kailangan mong i-factor ang mga denominator sa prime factor, at pagkatapos ay piliin ang lahat ng prime factor na kasama sa pagpapalawak ng parehong denominator.

; . Kung gayon ang LCM ng mga numero ay dapat magsama ng dalawang dalawa at dalawang tatlo: .

Matapos mahanap ang common denominator, kailangan mong maghanap ng karagdagang factor para sa bawat fraction (sa katunayan, hatiin ang common denominator sa denominator ng kaukulang fraction).

Ang bawat fraction ay pinarami ng resultang karagdagang salik. Nakakakuha tayo ng mga fraction na may parehong denominator, na natutunan nating idagdag at ibawas sa mga nakaraang aralin.

Nakukuha namin: .

Sagot:.

Isaalang-alang natin ngayon ang pagdaragdag ng mga algebraic fraction na may iba't ibang denominator. Una, tingnan natin ang mga fraction na ang mga denominador ay mga numero.

Halimbawa 2. Magdagdag ng mga fraction: .

Solusyon:

Ang algorithm ng solusyon ay ganap na katulad sa nakaraang halimbawa. Madaling mahanap ang common denominator ng mga fraction na ito: at karagdagang mga salik para sa bawat isa sa kanila.

.

Sagot:.

Kaya, magbalangkas tayo algorithm para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga algebraic fraction na may iba't ibang denominator:

1. Hanapin ang pinakamababang common denominator ng mga fraction.

2. Maghanap ng mga karagdagang salik para sa bawat isa sa mga fraction (sa pamamagitan ng paghahati sa karaniwang denominator sa denominator ng ibinigay na fraction).

3. I-multiply ang mga numerator sa mga katumbas na karagdagang salik.

4. Magdagdag o magbawas ng mga fraction gamit ang mga panuntunan para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction na may mga katulad na denominador.

Isaalang-alang natin ngayon ang isang halimbawa na may mga fraction na ang denominator ay naglalaman ng mga expression ng titik.

Halimbawa 3. Magdagdag ng mga fraction: .

Solusyon:

Dahil ang mga expression ng titik sa parehong denominator ay pareho, dapat kang maghanap ng isang karaniwang denominator para sa mga numero. Ang panghuling common denominator ay magiging ganito: . Kaya, ang solusyon sa halimbawang ito ay mukhang:.

Sagot:.

Halimbawa 4. Ibawas ang mga fraction: .

Solusyon:

Kung hindi ka maaaring "mandaya" kapag pumipili ng isang karaniwang denominator (hindi mo ito maaaring i-factor o gumamit ng mga pinaikling pormula ng pagpaparami), pagkatapos ay kailangan mong kunin ang produkto ng mga denominador ng parehong mga fraction bilang karaniwang denominator.

Sagot:.

Sa pangkalahatan, kapag nilulutas ang mga naturang halimbawa, ang pinakamahirap na gawain ay ang paghahanap ng isang karaniwang denominator.

Tingnan natin ang isang mas kumplikadong halimbawa.

Halimbawa 5. Pasimplehin: .

Solusyon:

Kapag naghahanap ng common denominator, kailangan mo munang subukang i-factor ang mga denominator ng orihinal na fraction (upang gawing simple ang common denominator).

Sa partikular na kaso na ito:

Pagkatapos ay madaling matukoy ang karaniwang denominator: .

Tinutukoy namin ang mga karagdagang salik at lutasin ang halimbawang ito:

Sagot:.

Ngayon, itatag natin ang mga patakaran para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominator.

Halimbawa 6. Pasimplehin: .

Solusyon:

Sagot:.

Halimbawa 7. Pasimplehin: .

Solusyon:

.

Sagot:.

Isaalang-alang natin ngayon ang isang halimbawa kung saan hindi dalawa, ngunit tatlong fraction ang idinaragdag (pagkatapos ng lahat, ang mga patakaran ng karagdagan at pagbabawas para sa mas malaking bilang ng mga praksiyon ay nananatiling pareho).

Halimbawa 8. Pasimplehin: .

Sabihin nating tumakbo si Achilles ng sampung beses na mas mabilis kaysa sa pagong at isang libong hakbang sa likod nito. Sa oras na kailangan ni Achilles upang tumakbo sa distansyang ito, ang pagong ay gagapang ng isang daang hakbang sa parehong direksyon. Kapag si Achilles ay tumakbo ng isang daang hakbang, ang pagong ay gumagapang ng isa pang sampung hakbang, at iba pa. Ang proseso ay magpapatuloy sa ad infinitum, hindi na maaabutan ni Achilles ang pagong.

Ang pangangatwiran na ito ay naging isang lohikal na pagkabigla para sa lahat ng kasunod na henerasyon. Aristotle, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Itinuring nilang lahat ang aporia ni Zeno sa isang paraan o iba pa. Napakalakas ng shock kaya" ... ang mga talakayan ay nagpapatuloy hanggang sa araw na ito, ang siyentipikong komunidad ay hindi pa nakakakuha ng isang karaniwang opinyon sa kakanyahan ng mga kabalintunaan ... matematikal na pagsusuri, set theory, bagong pisikal at pilosopikal na mga diskarte ay kasangkot sa pag-aaral ng isyu ; wala sa kanila ang naging pangkalahatang tinatanggap na solusyon sa problema..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Naiintindihan ng lahat na sila ay niloloko, ngunit walang nakakaintindi kung ano ang binubuo ng panlilinlang.

Mula sa isang mathematical point of view, si Zeno sa kanyang aporia ay malinaw na nagpakita ng paglipat mula sa dami sa . Ang paglipat na ito ay nagpapahiwatig ng aplikasyon sa halip na mga permanenteng. Sa pagkakaintindi ko, ang mathematical apparatus para sa paggamit ng mga variable na unit ng pagsukat ay hindi pa nabubuo, o hindi pa ito nailapat sa aporia ni Zeno. Ang paglalapat ng ating karaniwang lohika ay humahantong sa atin sa isang bitag. Kami, dahil sa pagkawalang-kilos ng pag-iisip, ay naglalapat ng pare-parehong mga yunit ng oras sa katumbas na halaga. Mula sa pisikal na pananaw, mukhang bumagal ang oras hanggang sa tuluyang huminto sa sandaling maabutan ni Achilles ang pagong. Kung titigil ang oras, hindi na kayang malampasan ni Achilles ang pagong.

Kung iikot natin ang ating karaniwang lohika, ang lahat ay nahuhulog sa lugar. Tumatakbo si Achilles sa patuloy na bilis. Ang bawat kasunod na bahagi ng kanyang landas ay sampung beses na mas maikli kaysa sa nauna. Alinsunod dito, ang oras na ginugol sa pagtagumpayan ito ay sampung beses na mas mababa kaysa sa nauna. Kung ilalapat natin ang konsepto ng "infinity" sa sitwasyong ito, tama na sabihing "Mabilis na maaabutan ni Achilles ang pagong."

Paano maiiwasan ang lohikal na bitag na ito? Manatili sa pare-parehong mga yunit ng oras at huwag lumipat sa reciprocal na mga yunit. Sa wika ni Zeno, ganito ang hitsura:

Sa oras na kailangan ni Achilles upang tumakbo ng isang libong hakbang, ang pagong ay gagapang ng isang daang hakbang sa parehong direksyon. Sa susunod na agwat ng oras na katumbas ng una, tatakbo si Achilles ng isa pang libong hakbang, at ang pagong ay gagapang ng isang daang hakbang. Ngayon si Achilles ay walong daang hakbang sa unahan ng pagong.

Ang diskarte na ito ay sapat na naglalarawan sa katotohanan nang walang anumang mga lohikal na kabalintunaan. Ngunit hindi ito kumpletong solusyon sa problema. Ang pahayag ni Einstein tungkol sa hindi mapaglabanan ng bilis ng liwanag ay halos kapareho sa aporia ni Zeno na "Achilles and the Tortoise". Kailangan pa nating pag-aralan, pag-isipang muli at lutasin ang problemang ito. At ang solusyon ay dapat hanapin hindi sa walang katapusang malalaking numero, ngunit sa mga yunit ng pagsukat.

Ang isa pang kawili-wiling aporia ng Zeno ay nagsasabi tungkol sa isang lumilipad na palaso:

Ang lumilipad na palaso ay hindi gumagalaw, dahil sa bawat sandali ng oras ito ay nakapahinga, at dahil ito ay nakapahinga sa bawat sandali ng oras, ito ay palaging nasa pahinga.

Sa aporia na ito, ang lohikal na kabalintunaan ay napagtagumpayan nang napakasimple - sapat na upang linawin na sa bawat sandali ng oras ang isang lumilipad na arrow ay nagpapahinga sa iba't ibang mga punto sa kalawakan, na, sa katunayan, ay paggalaw. Ang isa pang punto ay kailangang tandaan dito. Mula sa isang larawan ng isang kotse sa kalsada imposibleng matukoy ang alinman sa katotohanan ng paggalaw nito o ang distansya dito. Upang matukoy kung ang isang kotse ay gumagalaw, kailangan mo ng dalawang larawan na kinunan mula sa parehong punto sa magkaibang mga punto ng oras, ngunit hindi mo matukoy ang distansya mula sa kanila. Upang matukoy ang distansya sa isang kotse, kailangan mo ng dalawang litrato na kinuha mula sa iba't ibang mga punto sa espasyo sa isang punto sa oras, ngunit mula sa kanila hindi mo matukoy ang katotohanan ng paggalaw (siyempre, kailangan mo pa rin ng karagdagang data para sa mga kalkulasyon, makakatulong sa iyo ang trigonometrya. ). Ang gusto kong bigyan ng espesyal na pansin ay ang dalawang punto sa oras at dalawang punto sa kalawakan ay magkaibang mga bagay na hindi dapat malito, dahil nagbibigay sila ng iba't ibang pagkakataon para sa pananaliksik.

Miyerkules, Hulyo 4, 2018

Ang mga pagkakaiba sa pagitan ng set at multiset ay inilarawan nang mahusay sa Wikipedia. Tingnan natin.

Tulad ng makikita mo, "hindi maaaring magkaroon ng dalawang magkaparehong elemento sa isang set," ngunit kung mayroong magkaparehong mga elemento sa isang set, ang naturang set ay tinatawag na "multiset." Ang mga makatwirang nilalang ay hindi kailanman mauunawaan ang gayong walang katotohanan na lohika. Ito ang antas ng pagsasalita ng mga parrot at sinanay na unggoy, na walang katalinuhan mula sa salitang "ganap". Ang mga mathematician ay kumikilos bilang mga ordinaryong tagapagsanay, na ipinangangaral sa amin ang kanilang mga walang katotohanan na ideya.

Noong unang panahon, ang mga inhinyero na gumawa ng tulay ay nasa isang bangka sa ilalim ng tulay habang sinusuri ang tulay. Kung ang tulay ay gumuho, ang pangkaraniwang inhinyero ay namatay sa ilalim ng mga durog na bato ng kanyang nilikha. Kung ang tulay ay makatiis sa karga, ang mahuhusay na inhinyero ay gumawa ng iba pang mga tulay.

Gaano man magtago ang mga mathematician sa likod ng pariralang "isipin mo ako, nasa bahay ako," o sa halip, "pag-aaral ng matematika ng mga abstract na konsepto," mayroong isang pusod na hindi mapaghihiwalay na nag-uugnay sa kanila sa katotohanan. Ang pusod na ito ay pera. Ilapat natin ang mathematical set theory sa mga mathematician mismo.

Nag-aral kami ng mabuti sa matematika at ngayon ay nakaupo kami sa cash register, nagbibigay ng suweldo. Kaya isang mathematician ang pumunta sa amin para sa kanyang pera. Binibilang namin ang buong halaga sa kanya at inilalatag ito sa aming mesa sa iba't ibang mga tambak, kung saan naglalagay kami ng mga bill ng parehong denominasyon. Pagkatapos ay kukuha kami ng isang kuwenta mula sa bawat tumpok at ibibigay sa mathematician ang kanyang "mathematical set of salary." Ipaliwanag natin sa mathematician na matatanggap lamang niya ang natitirang mga bayarin kapag napatunayan niya na ang isang set na walang magkatulad na elemento ay hindi katumbas ng isang set na may magkaparehong elemento. Dito nagsisimula ang saya.

Una sa lahat, gagana ang lohika ng mga kinatawan: "Maaari itong mailapat sa iba, ngunit hindi sa akin!" Pagkatapos ay magsisimula silang tiyakin sa amin na ang mga bill ng parehong denominasyon ay may iba't ibang mga numero ng bill, na nangangahulugang hindi sila maituturing na parehong mga elemento. Okay, bilangin natin ang mga suweldo sa mga barya - walang mga numero sa mga barya. Dito magsisimulang maalala ng mathematician ang pisika: ang iba't ibang mga barya ay may iba't ibang dami ng dumi, ang kristal na istraktura at pag-aayos ng mga atom ay natatangi para sa bawat barya...

At ngayon mayroon akong pinaka-kagiliw-giliw na tanong: nasaan ang linya kung saan ang mga elemento ng isang multiset ay nagiging mga elemento ng isang set at vice versa? Ang ganitong linya ay hindi umiiral - ang lahat ay napagpasyahan ng mga shaman, ang agham ay hindi malapit sa pagsisinungaling dito.

Tumingin dito. Pumili kami ng mga football stadium na may parehong field area. Ang mga lugar ng mga field ay pareho - ibig sabihin mayroon kaming multiset. Ngunit kung titingnan natin ang mga pangalan ng parehong mga istadyum, makakakuha tayo ng marami, dahil magkaiba ang mga pangalan. Tulad ng nakikita mo, ang parehong hanay ng mga elemento ay parehong set at multiset. Ano ang tama? At dito ang mathematician-shaman-sharpist ay naglabas ng isang ace of trumps mula sa kanyang manggas at nagsimulang sabihin sa amin ang tungkol sa isang set o isang multiset. Sa anumang kaso, kukumbinsihin niya tayo na tama siya.

Upang maunawaan kung paano gumagana ang mga modernong shaman gamit ang teorya ng set, tinali ito sa katotohanan, sapat na upang sagutin ang isang tanong: paano naiiba ang mga elemento ng isang set mula sa mga elemento ng isa pang set? Ipapakita ko sa iyo, nang walang anumang "maiisip bilang hindi isang solong kabuuan" o "hindi maiisip bilang isang solong kabuuan."

Linggo, Marso 18, 2018

Ang kabuuan ng mga digit ng isang numero ay isang sayaw ng mga shaman na may tamburin, na walang kinalaman sa matematika. Oo, sa mga aralin sa matematika ay tinuturuan tayong hanapin ang kabuuan ng mga digit ng isang numero at gamitin ito, ngunit iyan ang dahilan kung bakit sila ay mga shaman, upang turuan ang kanilang mga inapo ng kanilang mga kasanayan at karunungan, kung hindi, ang mga shaman ay mamamatay lamang.

Kailangan mo ba ng patunay? Buksan ang Wikipedia at subukang hanapin ang pahinang "Kabuuan ng mga digit ng isang numero." Wala siya. Walang formula sa matematika na magagamit upang mahanap ang kabuuan ng mga digit ng anumang numero. Pagkatapos ng lahat, ang mga numero ay mga graphic na simbolo kung saan namin isinusulat ang mga numero, at sa wika ng matematika ang gawain ay ganito ang tunog: "Hanapin ang kabuuan ng mga graphic na simbolo na kumakatawan sa anumang numero." Hindi malulutas ng mga matematiko ang problemang ito, ngunit madali itong magagawa ng mga shaman.

Alamin natin kung ano at paano natin gagawin upang mahanap ang kabuuan ng mga digit ng isang naibigay na numero. At sa gayon, magkaroon tayo ng numerong 12345. Ano ang kailangang gawin upang mahanap ang kabuuan ng mga digit ng numerong ito? Isaalang-alang natin ang lahat ng mga hakbang sa pagkakasunud-sunod.

1. Isulat ang numero sa isang papel. Ano'ng nagawa natin? Na-convert namin ang numero sa isang simbolo ng graphical na numero. Ito ay hindi isang mathematical operation.

2. Pinutol namin ang isang nagresultang larawan sa ilang mga larawan na naglalaman ng mga indibidwal na numero. Ang pagputol ng larawan ay hindi isang mathematical operation.

3. I-convert ang mga indibidwal na graphic na simbolo sa mga numero. Ito ay hindi isang mathematical operation.

4. Idagdag ang mga resultang numero. Ngayon ito ay matematika.

Ang kabuuan ng mga digit ng numerong 12345 ay 15. Ito ang mga "kurso sa pagputol at pananahi" na itinuro ng mga shaman na ginagamit ng mga mathematician. Ngunit hindi lang iyon.

Mula sa isang mathematical point of view, hindi mahalaga kung saang sistema ng numero tayo nagsusulat ng isang numero. Kaya, sa iba't ibang mga sistema ng numero ang kabuuan ng mga digit ng parehong numero ay magkakaiba. Sa matematika, ang sistema ng numero ay ipinahiwatig bilang isang subscript sa kanan ng numero. Sa malaking bilang na 12345, hindi ko nais na lokohin ang aking ulo, isaalang-alang natin ang numero 26 mula sa artikulo tungkol sa. Isulat natin ang numerong ito sa binary, octal, decimal at hexadecimal na mga sistema ng numero. Hindi namin titingnan ang bawat hakbang sa ilalim ng mikroskopyo; nagawa na namin iyon. Tingnan natin ang resulta.

Tulad ng nakikita mo, sa iba't ibang mga sistema ng numero ang kabuuan ng mga digit ng parehong numero ay iba. Ang resultang ito ay walang kinalaman sa matematika. Ito ay katulad ng kung tinukoy mo ang lugar ng isang parihaba sa metro at sentimetro, makakakuha ka ng ganap na magkakaibang mga resulta.

Pareho ang hitsura ng Zero sa lahat ng sistema ng numero at walang kabuuan ng mga digit. Ito ay isa pang argumento na pabor sa katotohanang iyon. Tanong para sa mga mathematician: paano itinalaga sa matematika ang isang bagay na hindi isang numero? Ano, para sa mga mathematician walang umiiral maliban sa mga numero? Maaari kong payagan ito para sa mga shaman, ngunit hindi para sa mga siyentipiko. Ang katotohanan ay hindi lamang tungkol sa mga numero.

Ang resulta na nakuha ay dapat isaalang-alang bilang patunay na ang mga sistema ng numero ay mga yunit ng pagsukat para sa mga numero. Pagkatapos ng lahat, hindi natin maihahambing ang mga numero sa iba't ibang mga yunit ng pagsukat. Kung ang parehong mga aksyon na may iba't ibang mga yunit ng pagsukat ng parehong dami ay humantong sa iba't ibang mga resulta pagkatapos ihambing ang mga ito, kung gayon ito ay walang kinalaman sa matematika.

Ano ang tunay na matematika? Ito ay kapag ang resulta ng isang mathematical operation ay hindi nakadepende sa laki ng numero, ang yunit ng pagsukat na ginamit at kung sino ang nagsasagawa ng pagkilos na ito.

Oh! Hindi ba ito ang palikuran ng mga babae?
- Batang babae! Isa itong laboratoryo para sa pag-aaral ng indephilic na kabanalan ng mga kaluluwa sa kanilang pag-akyat sa langit! Halo sa itaas at arrow pataas. Anong palikuran?

Babae... Ang halo sa itaas at ang arrow pababa ay lalaki.

Kung ang ganitong gawain ng sining ng disenyo ay kumikislap sa harap ng iyong mga mata nang maraming beses sa isang araw,

Kung gayon, hindi nakakagulat na bigla kang makakita ng kakaibang icon sa iyong sasakyan:

Sa personal, nagsisikap akong makita ang minus na apat na degree sa isang tumatae na tao (isang larawan) (isang komposisyon ng ilang mga larawan: isang minus sign, ang numero apat, isang pagtatalaga ng mga degree). At hindi ko akalain na ang babaeng ito ay isang hangal na hindi marunong sa pisika. Mayroon lang siyang malakas na stereotype sa pag-unawa sa mga graphic na larawan. At itinuturo ito sa amin ng mga mathematician sa lahat ng oras. Narito ang isang halimbawa.

Ang 1A ay hindi “minus four degrees” o “one a”. Ito ay "pooping man" o ang numerong "dalawampu't anim" sa hexadecimal notation. Ang mga taong patuloy na nagtatrabaho sa sistema ng numero na ito ay awtomatikong nakikita ang isang numero at isang titik bilang isang graphic na simbolo.

Maaari kang magsagawa ng iba't ibang mga operasyon na may mga fraction, halimbawa, pagdaragdag ng mga fraction. Ang pagdaragdag ng mga fraction ay maaaring nahahati sa ilang uri. Ang bawat uri ng pagdaragdag ng mga fraction ay may sariling mga panuntunan at algorithm ng mga aksyon. Tingnan natin ang bawat uri ng karagdagan nang detalyado.

Pagdaragdag ng mga fraction na may katulad na denominator.

Tingnan natin ang isang halimbawa kung paano magdagdag ng mga fraction na may karaniwang denominator.

Naglakad ang mga turista mula sa punto A hanggang sa punto E. Sa unang araw ay naglakad sila mula sa punto A hanggang B o \(\frac(1)(5)\) ng buong landas. Sa ikalawang araw ay naglakad sila mula sa punto B hanggang D o \(\frac(2)(5)\) sa buong daan. Gaano kalayo ang kanilang nilakbay mula sa simula ng paglalakbay hanggang sa punto D?

Upang mahanap ang distansya mula sa punto A hanggang sa punto D, kailangan mong idagdag ang mga fraction \(\frac(1)(5) + \frac(2)(5)\).

Ang pagdaragdag ng mga fraction na may katulad na denominator ay nangangahulugan na kailangan mong idagdag ang mga numerator ng mga fraction na ito, ngunit ang denominator ay mananatiling pareho.

\(\frac(1)(5) + \frac(2)(5) = \frac(1 + 2)(5) = \frac(3)(5)\)

Sa literal na anyo, ang kabuuan ng mga fraction na may parehong denominator ay magiging ganito:

\(\bf \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a + b)(c)\)

Sagot: ang mga turista ay naglakad \(\frac(3)(5)\) sa buong daan.

Pagdaragdag ng mga fraction na may iba't ibang denominator.

Tingnan natin ang isang halimbawa:

Kailangan mong magdagdag ng dalawang fraction \(\frac(3)(4)\) at \(\frac(2)(7)\).

Upang magdagdag ng mga fraction na may iba't ibang denominator, kailangan mo munang hanapin, at pagkatapos ay gamitin ang panuntunan para sa pagdaragdag ng mga fraction na may mga katulad na denominator.

Para sa mga denominador 4 at 7, ang karaniwang denominator ay ang bilang na 28. Ang unang fraction \(\frac(3)(4)\) ay dapat i-multiply sa 7. Ang pangalawang fraction \(\frac(2)(7)\ ) ay dapat i-multiply sa 4.

\(\frac(3)(4) + \frac(2)(7) = \frac(3 \times \color(pula) (7) + 2 \times \color(pula) (4))(4 \ beses \color(pula) (7)) = \frac(21 + 8)(28) = \frac(29)(28) = 1\frac(1)(28)\)

Sa literal na anyo nakukuha natin ang sumusunod na formula:

\(\bf \frac(a)(b) + \frac(c)(d) = \frac(a \times d + c \times b)(b \times d)\)

Pagdaragdag ng mga mixed number o mixed fractions.

Ang pagdaragdag ay nangyayari ayon sa batas ng karagdagan.

Para sa mga halo-halong fraction, idinaragdag namin ang buong bahagi na may mga buong bahagi at ang mga fractional na bahagi na may mga fraction.

Kung ang mga fractional na bahagi ng mga pinaghalong numero ay may parehong denominator, pagkatapos ay idaragdag namin ang mga numerator, ngunit ang denominator ay nananatiling pareho.

Idagdag natin ang mga pinaghalong numero na \(3\frac(6)(11)\) at \(1\frac(3)(11)\).

\(3\frac(6)(11) + 1\frac(3)(11) = (\kulay(pula) (3) + \kulay(asul) (\frac(6)(11))) + ( \kulay(pula) (1) + \kulay(asul) (\frac(3)(11))) = (\kulay(pula) (3) + \kulay(pula) (1)) + (\kulay( asul) (\frac(6)(11)) + \color(blue) (\frac(3)(11))) = \color(pula)(4) + (\color(blue) (\frac(6 + 3)(11))) = \kulay(pula)(4) + \kulay(asul) (\frac(9)(11)) = \kulay(pula)(4) \kulay(asul) (\frac (9)(11))\)

Kung ang mga fractional na bahagi ng pinaghalong numero ay may iba't ibang denominator, makikita natin ang karaniwang denominator.

Isagawa natin ang pagdaragdag ng mga pinaghalong numero na \(7\frac(1)(8)\) at \(2\frac(1)(6)\).

Iba ang denominator, kaya kailangan nating hanapin ang common denominator, ito ay katumbas ng 24. I-multiply ang unang fraction \(7\frac(1)(8)\) sa isang karagdagang factor ng 3, at ang pangalawang fraction \( 2\frac(1)(6)\) ng 4.

\(7\frac(1)(8) + 2\frac(1)(6) = 7\frac(1 \times \color(pula) (3))(8 \times \color(pula) (3) ) = 2\frac(1\beses \color(pula) (4))(6\beses \color(pula) (4)) =7\frac(3)(24) + 2\frac(4)(24 ) = 9\frac(7)(24)\)

Mga kaugnay na tanong:
Paano magdagdag ng mga fraction?
Sagot: kailangan mo munang magpasya kung anong uri ng expression ito: ang mga fraction ay may parehong denominator, iba't ibang denominator o mixed fraction. Depende sa uri ng pagpapahayag, nagpapatuloy kami sa algorithm ng solusyon.

Paano lutasin ang mga fraction na may iba't ibang denominator?
Sagot: kailangan mong hanapin ang common denominator, at pagkatapos ay sundin ang panuntunan para sa pagdaragdag ng mga fraction na may parehong denominator.

Paano lutasin ang mga mixed fraction?
Sagot: nagdaragdag kami ng mga bahaging integer na may mga integer at mga bahaging praksyonal na may mga praksyon.

Halimbawa #1:
Maaari bang magresulta ang kabuuan ng dalawa sa isang wastong fraction? Hindi tamang fraction? Magbigay ng halimbawa.

\(\frac(2)(7) + \frac(3)(7) = \frac(2 + 3)(7) = \frac(5)(7)\)

Ang fraction \(\frac(5)(7)\) ay isang proper fraction, ito ay resulta ng kabuuan ng dalawang proper fractions \(\frac(2)(7)\) at \(\frac(3) (7)\).

\(\frac(2)(5) + \frac(8)(9) = \frac(2 \times 9 + 8 \times 5)(5 \times 9) =\frac(18 + 40)(45) = \frac(58)(45)\)

Ang fraction \(\frac(58)(45)\) ay isang di-wastong fraction, ito ay resulta ng kabuuan ng mga proper fractions \(\frac(2)(5)\) at \(\frac(8) (9)\).

Sagot: Ang sagot sa dalawang tanong ay oo.

Halimbawa #2:
Idagdag ang mga fraction: a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11)\) b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9)\) .

a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11) = \frac(3 + 5)(11) = \frac(8)(11)\)

b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9) = \frac(1 \times \color(pula) (3))(3 \times \color(red) (3)) + \frac(2)(9) = \frac(3)(9) + \frac(2)(9) = \frac(5)(9)\)

Halimbawa #3:
Isulat ang pinaghalong fraction bilang kabuuan ng natural na numero at tamang fraction: a) \(1\frac(9)(47)\) b) \(5\frac(1)(3)\)

a) \(1\frac(9)(47) = 1 + \frac(9)(47)\)

b) \(5\frac(1)(3) = 5 + \frac(1)(3)\)

Halimbawa #4:
Kalkulahin ang kabuuan: a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7)\) b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13 ) \) c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15)\)

a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7) = (8 + 2) + (\frac(5)(7) + \frac(1)(7)) = 10 + \frac(6)(7) = 10\frac(6)(7)\)

b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) = 2 + (\frac(9)(13) + \frac(2)(13)) = 2\frac(11 )(13) \)

c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(2\times 3)(5\times 3) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(6)(15) + 3\frac(4)(15) = (7 + 3)+(\frac(6)(15) + \frac(4)(15)) = 10 + \frac (10)(15) = 10\frac(10)(15) = 10\frac(2)(3)\)

Gawain 1:
Sa tanghalian kumain kami ng \(\frac(8)(11)\) mula sa cake, at sa gabi sa hapunan kumain kami ng \(\frac(3)(11)\). Sa tingin mo ba ang cake ay ganap na kinakain o hindi?

Solusyon:
Ang denominator ng fraction ay 11, ito ay nagpapahiwatig kung gaano karaming mga bahagi ang cake ay hinati. Sa tanghalian kumain kami ng 8 piraso ng cake sa 11. Sa hapunan kumain kami ng 3 piraso ng cake sa 11. Magdagdag tayo ng 8 + 3 = 11, kumain kami ng mga piraso ng cake sa 11, iyon ay, ang buong cake.

\(\frac(8)(11) + \frac(3)(11) = \frac(11)(11) = 1\)

Sagot: kinain ang buong cake.

Sasaklawin ng araling ito ang pagdaragdag at pagbabawas ng mga algebraic fraction na may katulad na denominator. Alam na natin kung paano magdagdag at magbawas ng mga karaniwang fraction na may mga katulad na denominator. Lumalabas na ang mga algebraic fraction ay sumusunod sa parehong mga patakaran. Ang pag-aaral na gumawa ng mga fraction na may katulad na denominator ay isa sa mga pundasyon ng pag-aaral kung paano gumawa ng mga algebraic fraction. Sa partikular, ang pag-unawa sa paksang ito ay magpapadali sa pag-master ng isang mas kumplikadong paksa - pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominator. Bilang bahagi ng aralin, pag-aaralan natin ang mga panuntunan para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga algebraic fraction na may katulad na denominator, at susuriin din ang ilang karaniwang mga halimbawa.

Panuntunan para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga algebraic fraction na may katulad na denominator

Sfor-mu-li-ru-em pra-vi-lo slo-zhe-niya (you-chi-ta-niya) al-geb-ra-i-che-skih fractions mula sa one-on-to-you -mi know-me-na-te-la-mi (ito ay kasabay ng analogous rule para sa ordinaryong shot-beats): Iyon ay para sa karagdagan o pagkalkula ng al-geb-ra-i-che-skih fractions na may one-to-you know-me-on-the-la-mi kailangan -ho-di-mo-compile ng kaukulang al-geb-ra-i-che-sum ng mga numero, at ang sign-me-na-tel ay umalis nang walang anuman.

Naiintindihan namin ang panuntunang ito kapwa para sa halimbawa ng mga ordinaryong ven-draws at para sa halimbawa ng al-geb-ra-i-che-draws. hit.

Mga halimbawa ng paglalapat ng panuntunan para sa mga ordinaryong fraction

Halimbawa 1. Magdagdag ng mga fraction: .

Solusyon

Idagdag natin ang bilang ng mga fraction, at iwanan ang sign na pareho. Pagkatapos nito, binubulok namin ang numero at nag-sign in sa mga simpleng multiplicity at kumbinasyon. Kunin natin ito: .

Tandaan: isang karaniwang error na pinapayagan kapag nilulutas ang mga katulad na uri ng mga halimbawa, para sa -klu-cha-et-sya sa sumusunod na posibleng solusyon: . Ito ay isang malaking pagkakamali, dahil ang tanda ay nananatiling pareho sa orihinal na mga fraction.

Halimbawa 2. Magdagdag ng mga fraction: .

Solusyon

Ang isang ito ay hindi naiiba sa nauna: .

Mga halimbawa ng paglalapat ng panuntunan para sa mga algebraic fraction

Mula sa ordinaryong dro-beats, lumipat tayo sa al-geb-ra-i-che-skim.

Halimbawa 3. Magdagdag ng mga fraction: .

Solusyon: gaya ng nabanggit na sa itaas, ang komposisyon ng al-geb-ra-i-che-fractions ay hindi naiiba sa salitang katulad ng karaniwang mga shot-fight. Samakatuwid, ang paraan ng solusyon ay pareho: .

Halimbawa 4. Ikaw ang fraction: .

Solusyon

You-chi-ta-nie ng al-geb-ra-i-che-skih fractions mula sa karagdagan lamang sa pamamagitan ng ang katunayan na sa numero pi-sy-va-et-sya pagkakaiba sa bilang ng mga ginamit na fractions. Kaya naman .

Halimbawa 5. Ikaw ang fraction: .

Solusyon: .

Halimbawa 6. Pasimplehin: .

Solusyon: .

Mga halimbawa ng paglalapat ng panuntunang sinusundan ng pagbabawas

Sa isang fraction na may parehong kahulugan sa resulta ng compounding o pagkalkula, mga kumbinasyon ay posible nia. Bilang karagdagan, hindi mo dapat kalimutan ang tungkol sa ODZ ng al-geb-ra-i-che-skih fractions.

Halimbawa 7. Pasimplehin: .

Solusyon: .

Kung saan . Sa pangkalahatan, kung ang ODZ ng mga paunang fraction ay tumutugma sa ODZ ng kabuuan, maaari itong alisin (pagkatapos ng lahat, ang fraction ay nasa sagot, ay hindi rin iiral kasama ang kaukulang makabuluhang pagbabago). Ngunit kung ang ODZ ng mga ginamit na fraction at ang sagot ay hindi tugma, kung gayon ang ODZ ay kailangang ipahiwatig.

Halimbawa 8. Pasimplehin: .

Solusyon: . Kasabay nito, y (ang ODZ ng mga paunang fraction ay hindi nag-tutugma sa ODZ ng resulta).

Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominator

Upang magdagdag at magbasa ng mga al-geb-ra-i-che-fraction na may iba't ibang know-me-on-the-la-mi, ginagawa namin ang ana-lo -giyu gamit ang ordinary-ven-ny fractions at inilipat ito sa al-geb -ra-i-che-fractions.

Tingnan natin ang pinakasimpleng halimbawa para sa mga ordinaryong fraction.

Halimbawa 1. Magdagdag ng mga fraction: .

Solusyon:

Tandaan natin ang mga tuntunin sa pagdaragdag ng mga fraction. Upang magsimula sa isang fraction, kinakailangan upang dalhin ito sa isang karaniwang tanda. Sa papel na ginagampanan ng isang pangkalahatang tanda para sa mga ordinaryong fraction, kumilos ka hindi bababa sa karaniwang maramihang(NOK) mga paunang palatandaan.

Kahulugan

Ang pinakamaliit na numero, na hinati sa parehong oras sa mga numero at.

Upang mahanap ang NOC, kailangan mong hatiin ang kaalaman sa mga simpleng hanay, at pagkatapos ay piliin ang lahat ng marami, na kasama sa dibisyon ng parehong mga palatandaan.

; . Kung gayon ang LCM ng mga numero ay dapat magsama ng dalawang dalawa at dalawang tatlo: .

Matapos mahanap ang pangkalahatang kaalaman, kinakailangan para sa bawat isa sa mga fraction na makahanap ng kumpletong multiplicity resident (sa katunayan, sa katunayan, upang ibuhos ang karaniwang sign sa sign ng kaukulang fraction).

Pagkatapos ang bawat fraction ay pinarami ng kalahating buong kadahilanan. Kumuha tayo ng ilang mga praksyon mula sa kapareho mong alam, dagdagan ang mga ito at basahin ang mga ito.-napag-aralan sa mga nakaraang aralin.

Kain tayo: .

Sagot:.

Tingnan natin ngayon ang komposisyon ng al-geb-ra-i-che-fractions na may iba't ibang palatandaan. Ngayon tingnan natin ang mga fraction at tingnan kung mayroong anumang mga numero.

Pagdaragdag at pagbabawas ng mga algebraic fraction na may iba't ibang denominator

Halimbawa 2. Magdagdag ng mga fraction: .

Solusyon:

Al-go-ritmo ng desisyon ab-so-lyut-ngunit ana-lo-gi-chen sa naunang halimbawa. Madaling kunin ang karaniwang tanda ng mga ibinigay na fraction: at mga karagdagang multiplier para sa bawat isa sa kanila.

.

Sagot:.

So, form tayo al-go-ritmo ng pagdaragdag at pagkalkula ng mga al-geb-ra-i-che-skih fraction na may iba't ibang mga palatandaan:

1. Hanapin ang pinakamaliit na karaniwang tanda ng fraction.

2. Maghanap ng mga karagdagang multiplier para sa bawat isa sa mga fraction (sa katunayan, ang karaniwang tanda ng sign ay binibigyan ng -th fraction).

3. Hanggang-sa-maraming mga numero sa kaukulang up-to-full multiplicity.

4. Magdagdag o magkalkula ng mga praksiyon, gamit ang mga tuntunin ng pagsasama-sama at pagkalkula ng mga praksiyon na may parehong kaalaman -me-na-te-la-mi.

Ngayon tingnan natin ang isang halimbawa na may mga fraction, sa tanda kung saan mayroong mga titik na you -nia.

Ang mga patakaran para sa pagdaragdag ng mga fraction na may iba't ibang denominator ay napakasimple.

Tingnan natin ang mga panuntunan para sa pagdaragdag ng mga fraction na may iba't ibang denominator nang hakbang-hakbang:

1. Hanapin ang LCM (least common multiple) ng mga denominator. Ang magreresultang LCM ang magiging common denominator ng mga fraction;

2. Bawasan ang mga fraction sa isang karaniwang denominator;

3. Magdagdag ng mga fraction na binawasan sa isang common denominator.

Gamit ang isang simpleng halimbawa, matututunan natin kung paano ilapat ang mga patakaran para sa pagdaragdag ng mga fraction na may iba't ibang denominator.

Halimbawa

Isang halimbawa ng pagdaragdag ng mga fraction na may iba't ibang denominator.

Magdagdag ng mga fraction na may iba't ibang denominator:

Magpapasya kami nang hakbang-hakbang.

1. Hanapin ang LCM (least common multiple) ng mga denominator.

Ang numero 12 ay nahahati sa 6.

Mula dito napagpasyahan namin na ang 12 ay ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng mga numero 6 at 12.

Sagot: ang bilang ng mga numero 6 at 12 ay 12:

LCM(6, 12) = 12

Ang magreresultang LCM ang magiging common denominator ng dalawang fraction na 1/6 at 5/12.

2. Bawasan ang mga fraction sa isang karaniwang denominator.

Sa aming halimbawa, ang unang fraction lang ang kailangang bawasan sa isang common denominator na 12, dahil ang pangalawang fraction ay mayroon nang denominator na 12.

Hatiin ang common denominator ng 12 sa denominator ng unang fraction:

2 ay may karagdagang multiplier.

I-multiply ang numerator at denominator ng unang fraction (1/6) sa karagdagang factor na 2.