Tüm kenarları bilen bir üçgenin açısı. Bir üçgenin kenarları

Birincisi dik açıya bitişik olan bölümlerdir ve hipotenüs şeklin en uzun kısmıdır ve 90 derecelik açının karşısında yer alır. Pisagor üçgeni, kenarları doğal sayılara eşit olan üçgendir; bu durumda uzunluklarına “Pisagor üçlüsü” adı verilir.

Mısır üçgeni

Şimdiki neslin geometriyi şu anda okullarda öğretildiği şekliyle tanıyabilmesi için, geometri birkaç yüzyıl boyunca gelişmiştir. Temel nokta Pisagor teoremi olarak kabul edilir. Dikdörtgenin kenarlarının 3, 4, 5 olduğu tüm dünyada bilinmektedir.

Çok az insan "Pisagor pantolonları her yöne eşittir" ifadesine aşina değildir. Ancak gerçekte teorem şöyle görünür: c 2 (hipotenüsün karesi) = a 2 + b 2 (bacakların karelerinin toplamı).

Matematikçiler arasında kenarları 3, 4, 5 (cm, m vb.) olan üçgene “Mısırlı” denir. İlginç olan şekilde yazılı olanın bire eşit olmasıdır. İsim, Yunan filozoflarının Mısır'a seyahat ettiği MÖ 5. yüzyılda ortaya çıktı.

Piramitleri inşa ederken mimarlar ve araştırmacılar 3:4:5 oranını kullandılar. Bu tür yapıların orantılı, görünümü hoş ve ferah olduğu ve ayrıca nadiren çöktüğü ortaya çıktı.

İnşaatçılar dik açı oluşturmak için üzerine 12 düğümlü bir halat kullandılar. Bu durumda dik üçgen oluşturma olasılığı %95'e çıkmıştır.

Rakamların eşitliğinin işaretleri

• İkinci üçgendeki aynı elemanlara eşit olan dik üçgendeki dar açı ve uzun kenar, rakamların eşitliğinin tartışılmaz bir işaretidir. Açıların toplamını dikkate alarak ikinci dar açıların da eşit olduğunu kanıtlamak kolaydır. Dolayısıyla ikinci kritere göre üçgenler aynıdır.
• İki rakamı üst üste bindirirken, onları birleştirdiklerinde tek bir ikizkenar üçgen olacak şekilde döndürüyoruz. Özelliğine göre kenarlar, daha doğrusu hipotenüsler eşittir, tabandaki açılar da eşittir, yani bu şekiller aynıdır.

İlk işarete dayanarak, üçgenlerin gerçekten eşit olduğunu kanıtlamak çok kolaydır; asıl mesele, iki küçük tarafın (yani bacakların) birbirine eşit olmasıdır.

Özü bacağın eşitliği ve dar açı olan ikinci kritere göre üçgenler aynı olacaktır.

Dik açılı bir üçgenin özellikleri

Dik açıdan alçaltılan yükseklik, figürü iki eşit parçaya böler.

Bir dik üçgenin kenarları ve medyanı şu kuralla kolayca tanınabilir: Hipotenüse düşen medyan bunun yarısına eşittir. hem Heron formülüyle hem de bacakların çarpımının yarısına eşit olduğu ifadesiyle bulunabilir.

Bir dik üçgende 30°, 45° ve 60° açıların özellikleri geçerlidir.

• 30° açıyla karşı bacağın en büyük kenarın 1/2'sine eşit olacağı unutulmamalıdır.
• Açı 45° ise ikinci dar açı da 45° olur. Bu, üçgenin ikizkenar olduğunu ve bacaklarının aynı olduğunu gösterir.
• 60°lik açının özelliği üçüncü açının ölçüsünün 30° olmasıdır.

Alan üç formülden biri kullanılarak kolayca bulunabilir:

1. yükseklik ve alçaldığı taraf boyunca;
2. Heron'un formülüne göre;
3. yanlarda ve aralarındaki açıda.

Dik üçgenin kenarları veya daha doğrusu bacakları iki yükseklikte birleşir. Üçüncüyü bulmak için ortaya çıkan üçgeni dikkate almak ve ardından Pisagor teoremini kullanarak gerekli uzunluğu hesaplamak gerekir. Bu formüle ek olarak alanın iki katı ile hipotenüs uzunluğu arasında da bir ilişki vardır. Öğrenciler arasında en yaygın ifade, daha az hesaplama gerektirdiği için ilk ifadedir.

Dik üçgene uygulanan teoremler

Sağ üçgen geometrisi aşağıdaki gibi teoremlerin kullanımını içerir:

ANDREY PROKIP: “SEVGİLİM RUS EKOLOJİSİDİR. BUNA YATIRIM YAPMALISINIZ!”
4-5 Eylül tarihlerinde “Şehirlerin İklimsel Şekli” çevre forumu düzenlendi. Etkinliğin başlatıcısı BM tarafından 2005 yılında kurulan C40 kuruluşudur. Formun ve şehirlerin temel görevi şehirlerdeki iklim değişikliğini kontrol altına almaktır.
Uygulamanın gösterdiği gibi, sosyal etkinliklerin ve "gece kulüplerindeki toplantıların" aksine, çok az sayıda milletvekili ve tanınmış kişi vardı. Çevresel durumla ilgili gerçekten endişe duyanlar arasında Prokip Adrey Zinovievich de vardı. Rusya Federasyonu Cumhurbaşkanı'nın iklim sorunlarıyla ilgili özel temsilcisi Ruslan Edelgeriev, Moskova Konut ve Toplumsal Hizmetlerden Sorumlu Belediye Başkan Yardımcısı Pyotr Biryukov ve İtalyan belediye başkanı yabancı temsilcilerle birlikte tüm genel kurul oturumlarında aktif rol aldı. Savona şehri - Ilario Caprioglio. Katılımcılar projelerini sundular ve artan küresel sıcaklıkları kontrol altına almaya yönelik stratejileri tartıştılar ve sürdürülebilir kentsel gelişim için pratik çözümler önerdiler.
ANDREY PROKIP ŞAŞLIKLAR, MİLLETVEKİLLERİ VE YEŞİL BİNA HAKKINDA
Aralarında Avrupalı ​​mimarların, bilim adamlarının ve Savona belediye başkanlarının da bulunduğu konuşmacıların konuşmaları Rus tarafı tarafından özellikle ilgi gördü. Konuşmanın konusu ÜST yön - “yeşil inşaat” idi. Andrey Prokip'in kendisinin de belirttiği gibi, “Moskova gibi bir metropol için kaynakların doğru şekilde yeniden dağıtılmasının yanı sıra Avrupa inşaat standartlarının dikkate alınması da önemlidir. Rusya'nın Federal düzeyde “yeşil finansmana” yönelik bir yol izlemesi gerekiyor, özellikle de ekonomik olarak mümkün olduğu ve pratikte görüldüğü gibi karlı olduğu için.” Ayrıca, çevre felaketleri ve büyük ve küçük sanayi işletmelerinin atık bertarafına ilişkin çevre standartlarına uyulmaması nedeniyle Rusların sağlığının bozulmasına ilişkin endişelerini de dile getirdi.” DSÖ Avrupa Sağlık Yatırım Ofisi profesörü Francesco Zambona'nın konuşması da korkularını doğruladı.
Andrei, karakteristik bir mizah anlayışıyla, foruma davet edilen ancak hiçbir zaman gelmeyen ünlü kişilere, "doğayı yalnızca mangal yapmak veya balığa gitmek istediklerinde değil, hatırlayın" çağrısında bulundu. Sonuçta tüm insanların sağlığı, ne yazık ki onları da içeren doğanın iyiliğine bağlı.”
Andrei Zinovievich'in yeni "doğa aşığı" ve çevre konusunda sorumluluk almanın önemi hakkındaki tutkulu konuşmaların yanı sıra, forumun önemli bir etkinliği de "Yeni neslin nasıl eğitileceği" konulu genel kurul oturumuydu. Forum katılımcıları sadece çocukların değil yetişkin neslin de eğitilmesi gerektiği konusunda hemfikirdi. İş hayatında olduğu kadar günlük davranışlarda da doğaya karşı sorumluluğu aşılamak çok önemlidir.
Moskova için "medeni bir şekilde yaşamayı öğrenme" özel projesi başlatılacak. Bu, nüfusun ve yaş kategorilerinin tüm kesimlerine yönelik bir eğitim projesidir. Ancak teori ve iyi niyet ne kadar harika olursa olsun, "kızarmış horoz gagalayana kadar aptal kendini geçemez" sözü Rusya için hala geçerli.
Ünlü tiyatro yönetmeni Timothy Netter'a göre sanat her şeyi değiştirebilir. Bir konuşmasında doğayı koruma fikrinin tiyatro ve sinemada nasıl sunulması gerektiğinden, yarın bize ve doğaya olacaklardan sorumlu olacak şekilde insanları sanat yoluyla eğitmenin ne kadar önemli olduğundan bahsetti.
Rus üniversitelerinden öğrenciler, neme ve sıcaklığa dayanıklı konteyner üretimi için çevre dostu teknolojiye ilişkin bir proje sunarak Rentv operatörlerinin ve Andrey Prokirpa'nın dikkatini çekti. Bu çok acil bir sorun, çünkü dünya çapında plastik kaplara karşı yasalar çıkarılıyor; plastik kapların ayrışması 30 yıldan fazla sürüyor, toprağı kirletiyor ve hayvanların ölümüne neden oluyor.
Moskova'nın C40 organizasyonuna katılan 94 şehirden biri olması ve her yıl daha fazla ünlü şahsiyet ve vatandaşın ilgisini çeken forumun üçüncü kez düzenlenmesi cesaret verici.

Üçgen Tanımı

Üçgen uçları aynı düz çizgi üzerinde yer almayan üç parçanın kesişmesi sonucu oluşan geometrik şekildir. Herhangi bir üçgenin üç kenarı, üç köşesi ve üç açısı vardır.

Cevrimici hesap makinesi

Üçgenler farklı türlerde gelir. Örneğin, bir eşkenar üçgen (tüm kenarların eşit olduğu), ikizkenar (iki kenarın eşit olduğu) ve bir dik üçgen (açılardan birinin düz, yani 90 dereceye eşit olduğu) vardır.

Bir üçgenin alanı, problemin koşullarından şeklin hangi elemanlarının bilindiğine bağlı olarak, açılar, uzunluklar ve hatta üçgenle ilişkili dairelerin yarıçapları gibi çeşitli şekillerde bulunabilir. Örneklerle her yönteme ayrı ayrı bakalım.

Tabanına ve yüksekliğine göre bir üçgenin alanı için formül

S = 1 2 ⋅ a ⋅ h S= \frac(1)(2)\cdot a\cdot hS=2 1 ​ ⋅ bir ⋅H,

bir bir A- üçgenin tabanı;
h h H- verilen a tabanına çizilen üçgenin yüksekliği.

Tabanının uzunluğu 10 (cm) ve bu tabana çizilen yüksekliğin 5 (cm) olduğu bilinen bir üçgenin alanını bulun.

Çözüm

bir = 10 bir=10 bir =1 0
sa = 5 sa=5 saat =5

Bunu alan formülünde yerine koyarsak:
S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 = 25 S=\frac(1)(2)\cdot10\cdot 5=25S=2 1 ​ ⋅ 1 0 ⋅ 5 = 2 5 (bkz. kare)

Cevap: 25 (cm. kare)

Tüm kenarların uzunluklarına dayalı bir üçgenin alanı için formül

S = p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) S= \sqrt(p\cdot(p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c))S=p ⋅ (p - a ) ⋅ (p - b ) ⋅ (p - c)​ ,

A, b, c a, b, c a, b, c- üçgenin kenarlarının uzunlukları;
p p P- üçgenin tüm kenarlarının toplamının yarısı (yani üçgenin çevresinin yarısı):

P = 1 2 (a + b + c) p=\frac(1)(2)(a+b+c)p =2 1 ​ (bir +b+C)

Bu formül denir Heron'un formülü.

Üç tarafının uzunluğu biliniyorsa, 3 (cm), 4 (cm), 5 (cm)'ye eşit olan bir üçgenin alanını bulun.

Çözüm

bir = 3 bir=3 bir =3
b = 4 b=4 b =4
c = 5 c=5 c =5

Çevrenin yarısını bulalım p p P:

P = 1 2 (3 + 4 + 5) = 1 2 ⋅ 12 = 6 p=\frac(1)(2)(3+4+5)=\frac(1)(2)\cdot 12=6p =2 1 ​ (3 + 4 + 5 ) = 2 1 ​ ⋅ 1 2 = 6

O halde Heron formülüne göre üçgenin alanı:

S = 6 ⋅ (6 − 3) ⋅ (6 − 4) ⋅ (6 − 5) = 36 = 6 S=\sqrt(6\cdot(6-3)\cdot(6-4)\cdot(6-) 5))=\sqrt(36)=6S=6 ⋅ (6 − 3 ) ⋅ (6 − 4 ) ⋅ (6 − 5 ) ​ = 3 6 ​ = 6 (bkz. kare)

Cevap: 6 (kareye bakın)

Bir tarafı ve iki açısı verilen üçgenin alanı formülü

S = a 2 2 ⋅ günah ⁡ β günah ⁡ γ günah ⁡ (β + γ) S=\frac(a^2)(2)\cdot \frac(\sin(\beta)\sin(\gamma))( \sin(\beta+\gamma))S=2 A 2 ​ ⋅ günah(β + γ)günah β günah γ ​ ,

bir bir A- üçgenin kenarının uzunluğu;
β , γ \beta, \gamma β , γ - tarafa bitişik açılar bir bir A.

Bir üçgenin bir kenarı 10 (cm) ve komşu iki açısı 30 derecedir. Üçgenin alanını bulun.

Çözüm

bir = 10 bir=10 bir =1 0
β = 3 0 ∘ \beta=30^(\circ)β = 3 0 ∘
γ = 3 0 ∘ \gamma=30^(\circ)γ = 3 0 ∘

Formüle göre:

S = 1 0 2 2 ⋅ günah ⁡ 3 0 ∘ günah ⁡ 3 0 ∘ günah ⁡ (3 0 ∘ + 3 0 ∘) = 50 ⋅ 1 2 3 ≈ 14,4 S=\frac(10^2)(2)\cdot \frac(\sin(30^(\circ))\sin(30^(\circ)))(\sin(30^(\circ)+30^(\circ)))=50\cdot\frac( 1)(2\sqrt(3))\yaklaşık14,4S=2 1 0 2 ​ ⋅ günah(3 0 ∘ + 3 0 ∘ ) günah 3 0 ∘ günah 3 0 ∘ ​ = 5 0 ⋅ 2 3 ​ 1 ​ ≈ 1 4 . 4 (bkz. kare)

Cevap: 14.4 (bkz. metrekare)

Üç tarafa ve çevrel dairenin yarıçapına dayalı bir üçgenin alanı için formül

S = a ⋅ b ⋅ c 4 R S=\frac(a\cdot b\cdot c)(4R)S=4Ra ⋅ b ⋅ c​ ,

A, b, c a, b, c a, b, c- üçgenin kenarları;
RR R- üçgenin etrafındaki çevrelenmiş dairenin yarıçapı.

İkinci problemimizdeki sayıları alıp onlara yarıçapı ekleyelim. RR R daireler. 10 (cm)'ye eşit olsun.

Çözüm

bir = 3 bir=3 bir =3
b = 4 b=4 b =4
c = 5 c=5 c =5
R = 10 R = 10 R=1 0

S = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 4 ⋅ 10 = 60 40 = 1,5 S=\frac(3\cdot 4\cdot 5)(4\cdot 10)=\frac(60)(40)=1,5S=4 ⋅ 1 0 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ​ = 4 0 6 0 ​ = 1 . 5 (bkz. kare)

Cevap: 1,5 (cm2)

Üç tarafa ve yazılı dairenin yarıçapına dayalı bir üçgenin alanı için formül

S = p ⋅ r S=p\cdot rS= P⋅ R,

p pP- üçgenin çevresinin yarısı:

p = a + b + c 2 p=\frac(a+b+c)(2)P= 2 A+ B+ C​ ,

a, b, c a, b, cA, B, C- üçgenin kenarları;
r rR- üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapı.

Yazılı dairenin yarıçapı 2 (cm) olsun. Kenar uzunluklarını önceki problemden alacağız.

Çözüm

$A=3b\; =\; 4\; b=4B=4c\; =\; 5\; c=5C=5r\; =\; 2\; r=2R=2$

$P=23+4+5=6$

S = 6 ⋅ 2 = 12 S=6\cdot 2=12S= 6 ⋅ 2 = 1 2 (bkz. kare)

Cevap: 12 (cm. kare)

İki tarafa ve aralarındaki açıya dayalı bir üçgenin alanı için formül

S = 1 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ günah ⁡ (α) S=\frac(1)(2)\cdot b\cdot c\cdot\sin(\alpha)S= 2 1 ​ ⋅ B⋅ C⋅ günah(α ) ,

b , c b, cB, C- üçgenin kenarları;

α\alfaα - kenarlar arasındaki açı b bB Ve c cC.

Üçgenin kenarları 5 (cm) ve 6 (cm), aralarındaki açı 30 derecedir. Üçgenin alanını bulun.

Çözüm

$B=5c\; =\; 6\; c=6C=6\alpha \; =\; 3\; 0\; \circ \; \backslash alpha=30^(\backslash circ)\alpha =30^{\circ }$

S = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ günah ⁡ (3 0 ∘) = 7,5 S=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 6\cdot\sin(30^(\circ))=7,5S= 2 1 ​ ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ günah(3 0 ∘ ) = 7 . 5 (bkz. kare)

Cevap: 7,5 (cm. kare)

Üçgen, aynı doğru üzerinde yer almayan üç noktayı birleştiren üç parçadan oluşan geometrik bir sayıdır. Bir üçgeni oluşturan noktalara onun noktaları denir ve bölümler yan yanadır.

Üçgenin türüne (dikdörtgen, tek renkli vb.) bağlı olarak, girdi verilerine ve problemin koşullarına bağlı olarak üçgenin kenarını farklı şekillerde hesaplayabilirsiniz.

Bir makale için hızlı gezinme

Bir dik üçgenin kenarlarını hesaplamak için, hipotenüsün karesinin bacakların karelerinin toplamına eşit olduğunu belirten Pisagor teoremi kullanılır.

Bacakları "a" ve "b", hipotenüsü ise "c" olarak etiketlersek sayfalar aşağıdaki formüllerle bulunabilir:

Bir dik üçgenin (a ve b) dar açıları biliniyorsa kenarları aşağıdaki formüllerle bulunabilir:

Kırpılmış üçgen

Her iki tarafı da aynı olan üçgene eşkenar üçgen denir.

İki bacakta hipotenüs nasıl bulunur?

"a" harfi aynı sayfanın aynısı ise, "b" taban, "b" tabanın karşısındaki açı, "a" bitişik açı ise sayfaları hesaplamak için aşağıdaki formülleri kullanabilirsiniz:

İki köşe ve bir kenar

Herhangi bir üçgenin bir sayfası (c) ve iki açısı (a ve b) biliniyorsa, kalan sayfaları hesaplamak için sinüs formülü kullanılır:

Üçüncü değeri y = 180 - (a + b) bulmalısınız çünkü

bir üçgenin tüm açılarının toplamı 180°'dir;

İki kenar ve bir açı

Bir üçgenin iki tarafı (a ve b) ve aralarındaki açı (y) biliniyorsa, üçüncü tarafı hesaplamak için kosinüs teoremi kullanılabilir.

Dik üçgenin çevresi nasıl belirlenir

Üçgen üçgen, biri 90 derece, diğer ikisi dar açı olan bir üçgendir. hesaplama çevreçok üçgen hakkında bilinen bilgi miktarına bağlıdır.

Buna ihtiyacın olacak

• Duruma bağlı olarak, üçgenin üç tarafının yanı sıra dar açılarından biri de 2 becerisine sahiptir.

talimatlar

Birinci Yöntem 1. Üç sayfanın tümü biliniyorsa üçgen Daha sonra, ister dik ister üçgen olsun, çevre şu şekilde hesaplanır: P = A + B + C, mümkünse c hipotenüstür; a ve b bacaklardır.

ikinci Yöntem 2.

Bir dikdörtgenin yalnızca iki kenarı varsa Pisagor teoremini kullanarak, üçgenşu formül kullanılarak hesaplanabilir: P = v (a2 + b2) + a + b veya P = v (c2 - b2) + b + c.

üçüncü Yöntem 3. Hipotenüs c ve bir dar açı olsun? Bir dik üçgen verildiğinde çevreyi şu şekilde bulmak mümkün olacaktır: P = (1 + sin?

dördüncü Yöntem 4. Dik üçgende bir bacağın uzunluğunun a'ya eşit olduğunu ve tam tersine dar bir açıya sahip olduğunu söylüyorlar. O zaman hesapla çevre Bu üçgen aşağıdaki formüle göre gerçekleştirilecektir: P = a * (1 / tg?

1/oğul? + 1)

beşte biri Yöntem 5.

Çevrimiçi üçgen hesaplama

Bacağımız önde olsun ve buna dahil olsun, o zaman aralık şu şekilde hesaplanacaktır: P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos?)

İlgili videolar

Pisagor teoremi tüm matematiğin temelidir. Gerçek bir üçgenin kenarları arasındaki ilişkiyi belirler. Bu teoremin şu anda 367 kanıtı var.

talimatlar

Birinci Pisagor teoreminin klasik okul formülasyonu şu şekildedir: Hipotenüsün karesi, bacakların karelerinin toplamına eşittir.

İki Catet dik üçgeninde hipotenüsü bulmak için, bacakların uzunluklarının karesine başvurmanız, bunları toplamanız ve toplamın karekökünü almanız gerekir. İfadesinin orijinal formülasyonunda piyasa, Catete'nin ürettiği 2 karenin karelerinin toplamına eşit olan hipotenüse dayanmaktadır. Bununla birlikte, modern cebirsel formülasyon, bir alan temsilinin eklenmesini gerektirmez.

ikinciÖrneğin, kenarları 7 cm ve 8 cm olan bir dik üçgen.

O zaman Pisagor teoremine göre kare hipotenüs R + S = 49 + 64 = 113 cm'ye eşittir, hipotenüs ise 113 sayısının kareköküne eşittir.

Dik üçgenin açıları

Sonuç asılsız bir sayıydı.

üçüncüÜçgenin kenarları 3 ve 4 ise hipotenüs = 25 = 5. Karekökünü aldığınızda doğal bir sayı elde edersiniz. 3, 4, 5 sayıları x ilişkisini sağladıklarından Pygagor üçlüsünü oluştururlar. +E? = Z, bu doğaldır.

Pisagor üçlüsünün diğer örnekleri şunlardır: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.

dördüncü Bu durumda bacaklar birbirinin aynısı ise Pisagor teoremi daha ilkel bir denkleme dönüşür. Örneğin, böyle bir elin A sayısına eşit olduğunu ve hipotenüsün C için tanımlandığını varsayalım ve sonra c? = Ap + Ap, C = 2A2, C = A? 2. Bu durumda A'ya ihtiyacınız yoktur.

beşte biri Pisagor teoremi, bir üçgenin üç tarafı arasındaki ilişkiyi, ikisi arasındaki herhangi bir açı için kuran genel kosinüs teoreminden daha büyük olan özel bir durumdur.

İpucu 2: Bacaklar ve açılar için hipotenüs nasıl belirlenir

Hipotenüs, dik üçgende 90 derecelik açının karşısındaki kenardır.

talimatlar

Birinci Bilinen kateterler durumunda, bir dik üçgenin akut açısının yanı sıra, hipotenüs, açının zıt / e olması durumunda bacağın bu açının kosinüs / sinüs oranına eşit bir boyuta sahip olabilir: H = C1 (veya C2) / sin, H = C1 (veya C2?) / cos?. Örnek: ABC'ye hipotenüsü AB ve dik açısı C olan düzensiz bir üçgen verilsin.

B 60 derece ve A 30 derece olsun. BC sapının uzunluğu 8 cm'dir AB hipotenüsünün uzunluğu bulunmalıdır. Bunu yapmak için yukarıdaki yöntemlerden birini kullanabilirsiniz: AB = BC / cos60 = 8 cm AB = BC / sin30 = 8 cm.

Hipotenüs dikdörtgenin en uzun kenarıdır üçgen. Dik açıda bulunur. Bir dikdörtgenin hipotenüsünü bulma yöntemi üçgen Kaynak verilerine bağlı olarak.

talimatlar

Birinci Bacaklarınız dik ise üçgen, daha sonra dikdörtgenin hipotenüsünün uzunluğu üçgen Pisagor benzetmesi ile keşfedilebilir - hipotenüsün uzunluğunun karesi, bacakların uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir: c2 = a2 + b2, burada a ve b, sağdaki bacakların uzunluğudur üçgen .

ikinci Bacaklardan biri biliniyorsa ve dar bir açıdaysa, hipotenüsü bulma formülü, bilinen bacağa - bitişik (bacak yakın konumdadır) veya tam tersi ile ilgili olarak belirli bir açının varlığına veya yokluğuna bağlı olacaktır ( tam tersi durumda ise negatif bulunur.V belirtilen açının kosinüs açısındaki bacağın hipotenüsüne eşittir: a = a/cos;E, diğer yandan hipotenüs sinüs açılarının oranıyla aynıdır: da = a/sin.

İlgili videolar

Faydalı ipuçları
Kenarları 3:4:5 ile ilişkili olan açısal üçgene, bu figürlerin eski Mısır mimarları tarafından yaygın olarak kullanılması nedeniyle Mısır deltası adı verilmiştir.

Bu aynı zamanda sayfaların ve alanın tam sayılarla temsil edildiği Jero üçgenlerinin en basit örneğidir.

Açısı 90° olan üçgene dikdörtgen denir. Sağ köşenin karşısındaki tarafa hipotenüs, diğerine ise bacaklar denir.

Normal üçgenlerin bazı özelliklerinden, yani dar açıların toplamının 90° olması ve karşı kenarın uzunluğunun hipotenüsün yarısı olması gerçeğinden yararlanılarak bir dik üçgenin nasıl oluşturulduğunu bulmak istiyorsanız 30°'dir.

Bir makale için hızlı gezinme

Kırpılmış üçgen

Eşit üçgenin özelliklerinden biri de iki açısının eşit olmasıdır.

Dik bir eş üçgenin açısını hesaplamak için şunu bilmeniz gerekir:

• Bu 90°'den daha kötü değil.
• Akut açıların değerleri şu formülle belirlenir: (180 ° -90 °) / 2 = 45 °, yani.

  α ve β açıları 45°'ye eşittir.

Dar açılardan birinin bilinen değeri biliniyorsa diğeri şu formül kullanılarak bulunabilir: β = 180°-90°-α veya α = 180°-90°-β.

Bu oran en çok açılardan birinin 60° veya 30° olması durumunda kullanılır.

Anahtar kavramlar

Üçgenin iç açılarının toplamı 180°dir.

Çünkü tek seviye, ikisi keskin kalıyor.

Üçgeni çevrimiçi hesapla

Onları bulmak istiyorsanız şunu bilmeniz gerekir:

diğer yöntemler

Bir dik üçgenin akut açılarının değerleri ortalamadan hesaplanabilir - üçgenin karşı tarafındaki bir noktadan bir çizgi ve yükseklik - çizgi hipotenüsten dik açıyla çizilen bir diktir. .

Kenarortay sağ köşeden hipotenüsün ortasına kadar uzansın ve yükseklik h olsun. Bu durumda şu ortaya çıkıyor:

• günah α = b / (2 * s); günah β = a / (2 * s).
• çünkü α = a / (2 * s); çünkü β = b / (2 * s).
• günah α = h/b; günah β = h/a.

İki sayfa

Hipotenüsün ve bacaklardan birinin uzunlukları bir dik üçgende veya her iki tarafta biliniyorsa, akut açıların değerlerini belirlemek için trigonometrik özdeşlikler kullanılır:

• α = arksin (a/c), β = arksin (b/c).
• α = arcos (b/c), β = arcos (a/c).
• α = arktan (a / b), β = arktan (b / a).

Bir dik üçgenin uzunluğu

Üçgenin Alanı ve Alanı

çevre

Herhangi bir üçgenin çevresi üç kenarının uzunluklarının toplamına eşittir. Üçgen bulmanın genel formülü şöyledir:

burada P üçgenin çevresi, a, b ve c kenarlarıdır.

Eşit bir üçgenin çevresi kenar uzunluklarının art arda birleştirilmesiyle veya kenar uzunluğunun 2 ile çarpılıp taban uzunluğunun çarpıma eklenmesiyle bulunabilir.

Bir denge üçgeni bulmanın genel formülü şöyle görünecektir:

burada P eşit bir üçgenin çevresidir, ancak ya b ya da b tabandır.

Eşkenar üçgenin çevresi Kenar uzunluklarının sırayla birleştirilmesiyle veya herhangi bir sayfanın uzunluğunun 3 ile çarpılmasıyla bulunabilir.

Eşkenar üçgenlerin kenarını bulmanın genel formülü şöyle görünecektir:

burada P eşkenar üçgenin çevresidir, a ise kenarlarından herhangi biridir.

bölge

Bir üçgenin alanını ölçmek istiyorsanız bunu paralelkenarla karşılaştırabilirsiniz. ABC üçgenini düşünün:

Aynı üçgeni alıp bir paralelkenar elde edecek şekilde sabitlersek, bu üçgenle aynı yüksekliğe ve tabana sahip bir paralelkenar elde ederiz:

Bu durumda üçgenlerin ortak kenarları kalıplanmış paralelkenarın köşegeni boyunca birbirine katlanır.

Paralelkenarın özelliklerinden. Bir paralelkenarın köşegenlerinin her zaman iki eşit üçgene bölündüğü, bu durumda her üçgenin yüzeyinin paralelkenarın aralığının yarısına eşit olduğu bilinmektedir.

Paralelkenarın alanı taban yüksekliğinin çarpımına eşit olduğundan üçgenin alanı bu çarpımın yarısına eşit olacaktır. Böylece ΔABC için alan aynı olacaktır.

Şimdi bir dik üçgen düşünün:

Birbirinin hipotenüsü olan iki özdeş dik üçgen, onlara yaslanırsa bir dikdörtgen şeklinde bükülebilir.

Dikdörtgenin yüzeyi bitişik kenarların yüzeyiyle çakıştığı için bu üçgenin alanı aynıdır:

Bundan herhangi bir dik üçgenin yüzeyinin bacakların çarpımının 2'ye eşit olduğu sonucuna varabiliriz.

Bu örneklerden, her üçgenin yüzeyinin uzunluğun çarpımı ile aynı olduğu ve yüksekliğin alt tabakanın 2'ye bölünmesiyle azaltıldığı sonucuna varılabilir.

Bir üçgenin alanını bulmak için genel formül şöyle görünecektir:

burada S üçgenin alanıdır, ancak tabanıdır, ancak yüksekliği a tabanına düşer.

Cevrimici hesap makinesi.
Üçgen çözme.

Bir üçgeni çözmek, üçgeni tanımlayan herhangi üç öğeden altı öğesinin tamamını (yani üç kenar ve üç açı) bulmaktır.

Bu matematik programı kullanıcı tarafından belirlenen kenarlardan \(a, b\) kenar \(c\), açıları \(\alpha \) ve \(\beta \) ve bunlar arasındaki açıyı \(\gamma \) bulur

Program sadece sorunun cevabını vermekle kalmıyor, aynı zamanda çözüm bulma sürecini de gösteriyor.

Bu çevrimiçi hesap makinesi, ortaokullardaki lise öğrencileri için testlere ve sınavlara hazırlanırken, Birleşik Devlet Sınavından önce bilgiyi test ederken ve ebeveynler için matematik ve cebirdeki birçok problemin çözümünü kontrol etmek için yararlı olabilir. Ya da belki bir öğretmen tutmak ya da yeni ders kitapları satın almak sizin için çok mu pahalı? Yoksa matematik veya cebir ödevinizi mümkün olduğu kadar çabuk bitirmek mi istiyorsunuz? Bu durumda detaylı çözümlere sahip programlarımızı da kullanabilirsiniz.

Bu sayede hem kendi eğitiminizi hem de küçük kardeşlerinizin eğitimini yürütebilir, sorun çözme alanındaki eğitim düzeyi de artar.

Sayı girme kurallarına aşina değilseniz, bunları öğrenmenizi öneririz.

Sayı girme kuralları

Sayılar yalnızca tam sayı olarak değil kesirli olarak da belirtilebilir.
Ondalık kesirlerdeki tamsayı ve kesirli kısımlar nokta veya virgülle ayrılabilir.
Örneğin 2,5 veya 2,5 gibi ondalık kesirleri girebilirsiniz.

Bu sorunu çözmek için gerekli olan bazı scriptlerin yüklenmediği ve programın çalışmayabileceği tespit edildi.
AdBlock'u etkinleştirmiş olabilirsiniz.
Bu durumda devre dışı bırakın ve sayfayı yenileyin.

Çünkü Sorunu çözmek isteyen çok kişi var, talebiniz sıraya alındı.
Birkaç saniye içinde çözüm aşağıda görünecektir.
Lütfen bekleyin saniye...

Eğer sen çözümde bir hata fark ettim, ardından Geri Bildirim Formu'na bu konuda yazabilirsiniz.
Unutma hangi görevi belirtin ne olduğuna sen karar ver alanlara girin.

Oyunlarımız, bulmacalarımız, emülatörlerimiz:

Küçük bir teori.

Sinüs teoremi

Teorem

Bir üçgenin kenarları karşıt açıların sinüsleriyle orantılıdır:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) = \frac(c)(\sin C) $$

Kosinüs teoremi

Teorem
ABC üçgeninde AB = c, BC = a, CA = b olsun. Daha sonra
Bir üçgenin bir kenarının karesi, diğer iki kenarın karelerinin toplamından eksi bu kenarların çarpımının iki katı ile aralarındaki açının kosinüsüne eşittir.
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$

Üçgenleri çözme

Bir üçgeni çözmek, üçgeni tanımlayan herhangi üç öğeden altı öğesinin tamamını (yani üç kenar ve üç açı) bulmak anlamına gelir.

Bir üçgenin çözülmesiyle ilgili üç probleme bakalım. Bu durumda ABC üçgeninin kenarları için şu notasyonu kullanacağız: AB = c, BC = a, CA = b.

İki kenarı ve aralarındaki açıyı kullanarak bir üçgeni çözme

Verilen: \(a, b, \angle C\). \(c, \açı A, \açı B\)'yi bulun

Çözüm
1. Kosinüs teoremini kullanarak \(c\)'yi buluruz:

3. \(\açı B = 180^\daire -\açı A -\açı C\)

Bir üçgeni yan ve komşu açılarıyla çözme

Verilen: \(a, \angle B, \angle C\). \(\A açısı A, b, c\)'yi bulun

Çözüm
1. \(\açı A = 180^\circ -\angle B -\angle C\)

Üç kenarı kullanarak üçgen çözme

Verilen: \(a, b, c\). \(\açı A, \açı B, \açı C\)'yi bulun

Çözüm
1. Kosinüs teoremini kullanarak şunu elde ederiz:
$$ \cos A = \frac(b^2+c^2-a^2)(2bc) $$

2. Benzer şekilde B açısını da buluyoruz.
3. \(\açı C = 180^\daire -\açı A -\açı B\)

İki kenarı ve bilinen bir kenarın karşısındaki açıyı kullanarak bir üçgeni çözme

Verilen: \(a, b, \angle A\). \(c, \B açısı, \C açısı\)'nı bulun

Çözüm
1. Sinüs teoremini kullanarak \(\sin B\)'yi buluruz:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) \Rightarrow \sin B = \frac(b)(a) \cdot \sin A $$

Gösterimi tanıtalım: \(D = \frac(b)(a) \cdot \sin A \). D sayısına bağlı olarak aşağıdaki durumlar mümkündür:
Eğer D > 1 ise böyle bir üçgen mevcut değildir çünkü \(\sin B\) 1'den büyük olamaz
D = 1 ise, benzersiz bir \(\angle B: \quad \sin B = 1 \Rightarrow \angle B = 90^\circ \) vardır.
Eğer D If D 2. \(\angle C = 180^\circ -\angle A -\angle B\)

3. Sinüs teoremini kullanarak c tarafını hesaplıyoruz:
$$ c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$