Hogyan oldjuk meg a törteket. Törtek megoldása

Kényelmes és egyszerű online számológép törtek részletes megoldásokkal Talán:

• Összeadás, kivonás, szorzás és osztás törtek online,
• Kap kész megoldás törteket képpel, és kényelmesen átvihető.

A törtek megoldásának eredménye itt lesz...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Törtjel "/" + - * :
_erase Törölje
Online törtszámítógépünk gyors bevitelt biztosít. Például a törtek megoldásához egyszerűen írjon 1/2+2/7 lépjen be a számológépbe, és nyomja meg a " Törteket oldani". A számológép írni fog neked részletes megoldás törtekés kiadja könnyen másolható kép.

Számológépben való íráshoz használt jelek

Az online törtszámítógép jellemzői

Ha meg kell oldania a negatív törteket, használja a mínusz tulajdonságait. A negatív törtek szorzásakor és osztásakor a mínusz mínusz pluszt ad. Vagyis a negatív törtek szorzata és osztása megegyezik ugyanazon pozitív törtek szorzatával és osztásával. Ha egy tört negatív szorzáskor vagy osztáskor, egyszerűen távolítsa el a mínuszt, majd adja hozzá a válaszhoz. Negatív törtek hozzáadásakor az eredmény ugyanaz lesz, mintha ugyanazokat a pozitív törteket adná hozzá. Ha hozzáad egy negatív törtet, akkor ez ugyanaz, mint ugyanazt a pozitív törtet kivonni.
A negatív törtek kivonásakor az eredmény ugyanaz lesz, mintha felcserélnénk és pozitívvá tették volna. Azaz a mínuszról mínuszra ebben az esetben pluszt ad, de a feltételek átrendezése nem változtat az összegen. Ugyanezeket a szabályokat használjuk a törtek kivonásakor, amelyek közül az egyik negatív.

A vegyes frakciók (olyan frakciók, amelyekben a teljes rész el van izolálva) megoldásához egyszerűen illessze a teljes részt a törtbe. Ehhez szorozza meg a teljes részt a nevezővel, és adja hozzá a számlálóhoz.

Ha 3 vagy több törtet kell online megoldania, egyenként kell megoldania. Először számolja meg az első 2 törtet, majd oldja meg a következő törtet a kapott válasszal, és így tovább. Hajtsa végre a műveleteket egyenként, 2 törtenként, és végül megkapja a helyes választ.

Az egyik legfontosabb tudomány, amelynek alkalmazása olyan tudományágakban is megfigyelhető, mint a kémia, a fizika, sőt a biológia is, a matematika. Ennek a tudománynak a tanulmányozása lehetővé teszi bizonyos mentális tulajdonságok fejlesztését és koncentrációs képességének javítását. A matematika kurzusban az egyik kiemelt figyelmet érdemlő téma a törtek összeadása és kivonása. Sok diáknak nehézséget okoz a tanulás. Talán cikkünk segít jobban megérteni ezt a témát.

Hogyan kell kivonni azokat a törteket, amelyeknek a nevezője azonos

A törtek ugyanazok a számok, amelyekkel különféle műveleteket hajthat végre. Az egész számoktól való eltérésük a nevező jelenlétében rejlik. Éppen ezért a törtekkel végzett műveletek során tanulmányoznia kell egyes jellemzőit és szabályait. Legtöbb egyszerű eset azon közönséges törtek kivonása, amelyek nevezői azonos számként vannak ábrázolva. Ennek a műveletnek a végrehajtása nem lesz nehéz, ha ismer egy egyszerű szabályt:

• Ahhoz, hogy egy törtből egy másodpercet levonjunk, ki kell vonni a kivont tört számlálóját a csökkentendő tört számlálójából. Ezt a számot beírjuk a különbség számlálójába, és a nevezőt változatlannak hagyjuk: k/m - b/m = (k-b)/m.

Példák az azonos nevezőkkel rendelkező törtek kivonására

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

A „7” tört számlálójából kivonjuk a kivonandó „3” tört számlálóját, „4”-et kapunk. Ezt a számot a válasz számlálójába írjuk, és a nevezőbe ugyanazt a számot adjuk, amely az első és a második tört nevezőjében volt - „19”.

Az alábbi képen több hasonló példa látható.

Tekintsünk egy bonyolultabb példát, ahol a hasonló nevezővel rendelkező törteket kivonjuk:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

A „29” tört számlálójából le kell vonni az összes következő tört számlálóit - „3”, „8”, „2”, „7”. Ennek eredményeként a „9” eredményt kapjuk, amelyet a válasz számlálójába írunk, a nevezőben pedig azt a számot, amely ezeknek a törteknek a nevezőiben található - „47”.

Azonos nevezővel rendelkező törtek összeadása

A közönséges törtek összeadása és kivonása ugyanezt az elvet követi.

• Ha olyan törteket szeretne hozzáadni, amelyeknek a nevezője azonos, össze kell adnia a számlálókat. A kapott szám az összeg számlálója, a nevező pedig változatlan marad: k/m + b/m = (k + b)/m.

Nézzük meg, hogyan néz ki ez egy példa segítségével:

1/4 + 2/4 = 3/4.

A tört első tagjának számlálójához - „1” - adja hozzá a tört második tagjának számlálóját - „2”. Az eredményt - „3” - beírjuk az összeg számlálójába, és a nevező ugyanaz marad, mint a törtekben - „4”.

Különböző nevezőjű törtek és kivonásuk

Már megvizsgáltuk az azonos nevezővel rendelkező törtekkel végzett műveletet. Mint látjuk, tudva egyszerű szabályok, az ilyen példák megoldása meglehetősen egyszerű. De mi van akkor, ha különböző nevezőkkel rendelkező törtekkel kell műveletet végrehajtania? Sok középiskolást megzavarnak az ilyen példák. De még itt sem lesz nehéz számodra a példa, ha ismered a megoldás elvét. Itt is van egy szabály, amely nélkül az ilyen törtek megoldása egyszerűen lehetetlen.

A különböző nevezőjű törtek kivonásához azokat ugyanarra a legkisebb nevezőre kell csökkenteni.



Ennek módjáról részletesebben fogunk beszélni.

Egy tört tulajdonsága

Ahhoz, hogy több törtet ugyanarra a nevezőre hozzon, a megoldásban a tört fő tulajdonságát kell használni: a számláló és a nevező azonos számmal való elosztása vagy szorzása után az adott törtet kapjuk.

Így például a 2/3 törtnek lehetnek nevezői, például „6”, „9”, „12” stb., azaz bármilyen szám alakja lehet, amely a „3” többszöröse. Miután megszoroztuk a számlálót és a nevezőt 2-vel, a 4/6-ot kapjuk. Miután az eredeti tört számlálóját és nevezőjét megszorozzuk „3-mal”, 6/9-et kapunk, ha pedig hasonló műveletet végzünk a „4” számmal, akkor 8/12-t kapunk. Egy egyenlőség a következőképpen írható fel:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Hogyan konvertálhatunk több törtet ugyanarra a nevezőre

Nézzük meg, hogyan lehet több törtet ugyanarra a nevezőre redukálni. Vegyük például az alábbi képen látható törteket. Először meg kell határoznia, hogy melyik szám válhat mindegyik nevezőjévé. A dolgok megkönnyítése érdekében a meglévő nevezőket faktorizáljuk.

Az 1/2 tört és a 2/3 tört nevezője nem faktorizálható. A 7/9 nevezőnek két tényezője van: 7/9 = 7/(3 x 3), az 5/6 tört nevezője = 5/(2 x 3). Most meg kell határoznunk, hogy mely tényezők lesznek a legkisebbek mind a négy tört esetében. Mivel az első tört nevezőjében a „2” szám szerepel, ez azt jelenti, hogy a 7/9 törtben minden nevezőben szerepelnie kell, ami azt jelenti, hogy mindkettőnek szerepelnie kell a nevezőben. A fentiek figyelembevételével megállapítjuk, hogy a nevező három tényezőből áll: 3, 2, 3, és egyenlő 3 x 2 x 3 = 18-cal.



Tekintsük az első törtet - 1/2. A nevezőjében van egy „2”, de nincs egyetlen „3” számjegy sem, hanem kettőnek kell lennie. Ehhez megszorozzuk a nevezőt két hármasával, de a tört tulajdonsága szerint a számlálót meg kell szorozni két hármasával:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

Ugyanígy járunk el a maradék törtekkel is.

• 2/3 - egy három és egy kettő hiányzik a nevezőből:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 vagy 7/(3 x 3) - a nevezőből hiányzik a kettő:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 vagy 5/(2 x 3) – a nevezőből hiányzik a három:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Mindez együtt így néz ki:



Hogyan lehet kivonni és összeadni a különböző nevezőkkel rendelkező törteket

Mint fentebb említettük, a különböző nevezőjű törtek összeadásához vagy kivonásához azokat ugyanarra a nevezőre kell redukálni, majd alkalmazni kell az azonos nevezővel rendelkező törtek kivonására vonatkozó, már tárgyalt szabályokat.

Nézzük ezt példaként: 4/18 - 3/15.

A 18 és 15 számok többszörösének megkeresése:

• A 18-as szám 3 x 2 x 3-ból áll.
• A 15-ös szám 5 x 3-ból áll.
• A közös többszörös a következő tényezők: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

A nevező megtalálása után ki kell számítani azt a tényezőt, amely törtenként eltérő lesz, vagyis azt a számot, amellyel nemcsak a nevezőt, hanem a számlálót is meg kell szorozni. Ehhez osszuk el a talált számot (a közös többszöröst) annak a törtnek a nevezőjével, amelyhez további tényezőket kell meghatározni.

• 90 osztva 15-tel. A kapott „6” szám a 3/15 szorzója lesz.
• 90 osztva 18-cal. A kapott „5” szám a 4/18 szorzója lesz.

Megoldásunk következő lépése az, hogy minden törtet 90-es nevezőre redukálunk.

Már beszéltünk arról, hogy ez hogyan történik. Nézzük meg, hogyan van ez megírva egy példában:

(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Ha a törtek kis számokkal rendelkeznek, akkor meghatározhatja a közös nevezőt, az alábbi képen látható példának megfelelően.



Ugyanez igaz a különböző nevezőkkel rendelkezőkre is.

Kivonás és egész számmal rendelkező részek

A törtek kivonását és összeadását már részletesen tárgyaltuk. De hogyan kell kivonni, ha egy törtnek egész része van? Ismét használjunk néhány szabályt:

• Alakítsa át az összes egész részt tartalmazó törtet helytelen törtekre. Beszélő egyszerű szavakkal, távolítsa el az egész részt. Ehhez meg kell szorozni az egész rész számát a tört nevezőjével, és a kapott szorzatot hozzáadni a számlálóhoz. A műveletek után megjelenő szám a számláló helytelen tört. A nevező változatlan marad.
• Ha a törtek különböző nevezőkkel rendelkeznek, akkor azokat ugyanarra a nevezőre kell csökkenteni.
• Végezzen összeadást vagy kivonást ugyanazokkal a nevezőkkel.
• Nem megfelelő tört fogadásakor válassza ki a teljes részt.



Van egy másik módja annak, hogy egész részeket tartalmazó törteket adjunk össze és vonjunk ki. Ehhez a műveleteket külön-külön egész részekkel, a törtekkel külön-külön hajtják végre, és az eredményeket együtt rögzítik.



A megadott példa olyan törtekből áll, amelyeknek azonos a nevezője. Abban az esetben, ha a nevezők különbözőek, akkor azokat azonos értékre kell hozni, majd a példában látható műveleteket végrehajtani.

Törtszámok kivonása egész számokból

A törtekkel végzett művelet másik típusa az az eset, amikor egy törtet ki kell vonni Első pillantásra egy ilyen példa nehezen megoldható. Itt azonban minden nagyon egyszerű. A megoldáshoz az egész számot törtté kell konvertálni, és ugyanazzal a nevezővel, amely a kivont törtben van. Ezután a kivonáshoz hasonló kivonást hajtunk végre azonos nevezőkkel. Egy példában így néz ki:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

A cikkben megadott törtek kivonása (6. osztály) az alapja a több megoldásnak összetett példák, amelyekről a következő órákon lesz szó. A témakör ismereteit a későbbiekben függvények, deriváltok stb. megoldására használják. Ezért nagyon fontos megérteni és megérteni a fent tárgyalt törtekkel végzett műveleteket.

Online számológép.
Kifejezés értékelése -val numerikus törtek.
Különböző nevezőkkel rendelkező törtek szorzása, kivonása, osztása, összeadása és kicsinyítése.

Ezzel az online számológéppel megteheti szorozni, kivonni, osztani, összeadni és csökkenteni törteket különböző nevezőkkel.

A program szabályos, helytelen és vegyes számtörtekkel működik.

Ez a program (online számológép) képes:
- vegyes törtek összeadása különböző nevezőkkel
- vegyes törtek kivonását különböző nevezőkkel
- vegyes törteket osztani különböző nevezőkkel
- vegyes törteket szorozni különböző nevezőkkel
- a törteket közös nevezőre redukálni
- kevert frakciókat nem megfelelő törtté alakítani
- csökkenti a frakciókat

Megadhat egy kifejezést sem törtekkel, hanem egyetlen törttel.
Ebben az esetben a tört csökken, és a teljes rész elválik az eredménytől.

A numerikus törteket tartalmazó kifejezések számítására szolgáló online számológép nem csupán a problémára ad választ, hanem részletes megoldást ad magyarázatokkal, pl. megjeleníti a megoldás keresésének folyamatát.

Ez a program hasznos lehet középiskolás diákok számára a felkészülés során tesztek valamint vizsgák, az Egységes Államvizsga előtti tudásellenőrzés során a szülőknek számos matematikai és algebrai feladat megoldásának ellenőrzésére.

Vagy talán túl drága önnek oktatót felvenni vagy új tankönyveket vásárolni? Vagy csak a matematikai vagy algebrai házi feladatot szeretné a lehető leggyorsabban elvégezni? Ebben az esetben részletes megoldásokkal is használhatja programjainkat.

Ily módon Ön saját és/vagy öccsei képzését tudja lebonyolítani, miközben a problémamegoldás területén növekszik a képzettség.

Ha nem ismeri a numerikus törteket tartalmazó kifejezések bevitelére vonatkozó szabályokat, javasoljuk, hogy ismerkedjen meg velük.

A numerikus törteket tartalmazó kifejezések bevitelének szabályai

Csak egy egész szám lehet tört számlálója, nevezője és egész része.

A nevező nem lehet negatív. /
Törtszám beírásakor a számlálót osztásjel választja el a nevezőtől:
Bemenet: -2/3 + 7/5

Eredmény: \(-\frac(2)(3) + \frac(7)(5)\) &
A teljes részt az és jel választja el a törttől:
Bemenet: -1&2/3 * 5&8/3

Eredmény: \(-1\frac(2)(3) \cdot 5\frac(8)(3)\)
A törtek felosztását a kettőspont jel vezeti be: :
Bemenet: -9&37/12: -3&5/14
Eredmény: \(-9\frac(37)(12) : \left(-3\frac(5)(14) \right) \)

Ne feledje, hogy nem oszthat nullával!
Használhat zárójelet, amikor numerikus törteket tartalmazó kifejezéseket ír be. -2/3 * (6&1/2-5/9) : 2&1/4 + 1/3
Bemenet:

Számítsa ki
Kiderült, hogy a probléma megoldásához szükséges néhány szkript nem lett betöltve, és előfordulhat, hogy a program nem működik.
Lehetséges, hogy az AdBlock engedélyezve van.

Íme a JavaScript engedélyezése a böngészőben.
Mert Nagyon sokan vannak, akik hajlandóak megoldani a problémát, kérései sorba kerültek.
Néhány másodperc múlva megjelenik a megoldás lent. Kérjük, várjon

mp... Ha te hibát észlelt a megoldásban
, akkor erről írhatsz a Visszajelzési űrlapon. Ne felejtsd el jelezze, melyik feladatot te döntöd el, mit.

Játékaink, rejtvényeink, emulátoraink:

Egy kis elmélet.

Közönséges törtek. Osztani a maradékkal

Ha a 497-et el kell osztanunk 4-gyel, akkor az elosztásnál látni fogjuk, hogy a 497 nem osztható egyenletesen 4-gyel, azaz. a hadosztály többi része marad. Ilyenkor azt mondják, hogy kész osztás maradékkal, és a megoldást a következőképpen írjuk:
497:4 = 124 (1 maradék).

Az egyenlőség bal oldalán lévő osztási komponenseket ugyanúgy nevezzük, mint a maradék nélküli osztásnál: 497 - osztalék, 4 - osztó. Az osztás eredményét maradékkal osztva nevezzük hiányos privát. Esetünkben ez a 124-es szám. És végül az utolsó komponens, amely nem a szokásos felosztásban van, a maradék. Azokban az esetekben, amikor nincs maradék, azt mondjuk, hogy egy szám osztva van egy másikkal nyom nélkül, vagy teljesen. Úgy gondolják, hogy ilyen felosztás esetén a maradék nulla. Esetünkben a maradék 1.

A maradék mindig kisebb, mint osztó.

Az osztás szorzással ellenőrizhető. Ha például van egy egyenlőség 64: 32 = 2, akkor az ellenőrzést így lehet elvégezni: 64 = 32 * 2.

Gyakran olyan esetekben, amikor a maradékkal való osztást hajtják végre, kényelmes az egyenlőség használata
a = b * n + r,
ahol a az osztó, b az osztó, n a parciális hányados, r a maradék.

A természetes számok hányadosa felírható törtként.

A tört számlálója az osztó, a nevezője pedig az osztó.

Mivel a tört számlálója az osztó, a nevezője pedig az osztó, higgyük el, hogy a tört vonala az osztás műveletét jelenti. Néha célszerű az osztást törtként írni a ":" jel használata nélkül.

Az m és n természetes számok osztásának hányadosa felírható törtként \(\frac(m)(n) \), ahol az m számláló az osztó, az n nevező pedig az osztó:
\(m:n = \frac(m)(n) \)

A következő szabályok igazak:

A \(\frac(m)(n)\ tört meghatározásához az egységet n egyenlő részre (részvényre) kell osztani, és m ilyen részt kell venni.

A \(\frac(m)(n)\ tört meghatározásához el kell osztani az m számot az n számmal.

Az egész egy részének megtalálásához az egésznek megfelelő számot el kell osztani a nevezővel, és az eredményt meg kell szorozni az ezt a részt kifejező tört számlálójával.

Ahhoz, hogy a részéből egy egészet találjon, el kell osztania az ennek a résznek megfelelő számot a számlálóval, és meg kell szoroznia az eredményt annak a törtnek a nevezőjével, amely ezt a részt fejezi ki.

Ha egy tört számlálóját és nevezőjét is megszorozzuk ugyanazzal a számmal (nulla kivételével), a tört értéke nem változik:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Ha egy tört számlálóját és nevezőjét is ugyanazzal a számmal osztjuk (nulla kivételével), a tört értéke nem változik:
\(\nagy \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Ezt a tulajdonságot ún tört fő tulajdonsága.

Az utolsó két transzformációt ún töredékének csökkentése.

Ha a törteket azonos nevezőjű törtként kell ábrázolni, akkor ezt a műveletet meg kell hívni törteket közös nevezőre redukálni.

Helyes és helytelen törtek. Vegyes számok

Azt már tudod, hogy törtet kaphatunk, ha egy egészet egyenlő részekre osztunk, és több ilyen részt veszünk. Például a \(\frac(3)(4)\) tört háromnegyed egyet jelent. Az előző bekezdésben szereplő problémák közül sok esetben a törteket egy egész részeinek ábrázolására használták. A józan ész azt diktálja, hogy a résznek mindig kisebbnek kell lennie, mint az egésznek, de mi a helyzet az olyan törtekkel, mint a \(\frac(5)(5)\) vagy a \(\frac(8)(5)\)? Nyilvánvaló, hogy ez már nem része az egységnek. Valószínűleg ezért nevezzük azokat a törteket, amelyek számlálója nagyobb vagy egyenlő, mint a nevező helytelen törtek. A maradék törteket, vagyis azokat a törteket, amelyek számlálója kisebb, mint a nevező, az ún. helyes törtek.

Mint tudják, bármely közös tört, legyen az igazi és helytelen is, a számlálónak a nevezővel való elosztásának eredményeként fogható fel. Ezért a matematikában a hétköznapi nyelvtől eltérően a „nem megfelelő tört" nem azt jelenti, hogy valamit rosszul csináltunk, hanem csak azt, hogy ennek a törtnek a számlálója nagyobb vagy egyenlő a nevezővel.

Ha egy szám egész részből és törtből áll, akkor a törteket vegyesnek nevezzük.

Például:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 az egész rész, a \(\frac(2)(3) \) pedig a tört rész.

Ha a \(\frac(a)(b)\) tört számlálója osztható vele természetes szám n, majd ennek a törtnek az n-nel való osztásához el kell osztania a számlálóját ezzel a számmal:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Ha a \(\frac(a)(b)\) tört számlálója nem osztható n természetes számmal, akkor ennek a törtnek az n-nel való osztásához meg kell szoroznia a nevezőt ezzel a számmal:
\(\nagy \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Figyeljük meg, hogy a második szabály akkor is igaz, ha a számláló osztható n-nel. Ezért akkor használhatjuk, ha első pillantásra nehéz megállapítani, hogy egy tört számlálója osztható-e n-nel vagy sem.

Műveletek törtekkel. Törtek hozzáadása.

Törtszámokkal is végezhet aritmetikai műveleteket, akárcsak a természetes számokkal. Először nézzük meg a törtek összeadását. Könnyen hozzáadható a hasonló nevezőkkel rendelkező tört. Keressük meg például a \(\frac(2)(7)\) és \(\frac(3)(7)\ összegét. Könnyen érthető, hogy \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Az azonos nevezőjű törtek hozzáadásához hozzá kell adni a számlálóikat, és a nevezőt változatlannak kell hagyni.

Betűk használatával a hasonló nevezőt tartalmazó törtek összeadásának szabálya a következőképpen írható fel:
\(\nagy \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Ha különböző nevezőjű törteket kell összeadnia, akkor azokat először közös nevezőre kell redukálni. Például:
\(\nagy \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3) ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Törtekre, akárcsak a természetes számokra, az összeadás kommutatív és asszociatív tulajdonságai érvényesek.

Vegyes frakciók hozzáadása

Az olyan jelöléseket, mint a \(2\frac(2)(3)\) hívják meg vegyes frakciók. Ebben az esetben a 2-es számot hívják egész rész vegyes tört, és a \(\frac(2)(3)\) szám az törtrész. A \(2\frac(2)(3)\) bejegyzés a következőképpen szól: „két és kétharmad”.

Ha elosztja a 8-as számot 3-mal, két választ kaphat: \(\frac(8)(3)\) és \(2\frac(2)(3)\). Ugyanazt a törtszámot fejezik ki, azaz \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)

Így a \(\frac(8)(3)\) nem megfelelő tört \(2\frac(2)(3)\) vegyes törtként jelenik meg. Ilyenkor azt mondják, hogy nem megfelelő törtből kiemelte az egész részt.

Törtek kivonása (törtszámok)

Kivonás törtszámok, mint a természetesek, az összeadás művelete alapján határozzák meg: az egyik számból egy másikat kivonni azt jelenti, hogy olyan számot találunk, amelyet a másodikhoz hozzáadva az elsőt kapjuk. Például:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) mivel \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9) = \frac(8)(9)\)

A hasonló nevezőt tartalmazó törtek kivonásának szabálya hasonló az ilyen törtek összeadásának szabályához:
Az azonos nevezőjű törtek közötti különbség megállapításához ki kell vonni a második számlálóját az első tört számlálójából, és a nevezőt változatlannak kell hagyni.

Betűket használva ez a szabály így van írva:
\(\nagy \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Törtek szorzása

Egy tört törttel való szorzásához meg kell szorozni a számlálóikat és nevezőiket, és az első szorzatot számlálóként, a másodikat nevezőként kell írni.

Betűk használatával a törtek szorzásának szabálya a következőképpen írható fel:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

A megfogalmazott szabály segítségével egy tört természetes számmal szorozható meg vegyes frakció, és vegyes törteket is szorozzon. Ehhez egy természetes számot 1-es nevezőjű törtként, egy vegyes törtet pedig helytelen törtként kell felírni.

A szorzás eredményét (ha lehetséges) egyszerűsíteni kell a tört csökkentésével és a nem megfelelő tört teljes részének elkülönítésével.

Törtekre, akárcsak a természetes számokra, a szorzás kommutatív és kombinatív tulajdonságai, valamint a szorzás összeadáshoz viszonyított eloszlási tulajdonságai érvényesek.

A törtek felosztása

Vegyük a \(\frac(2)(3)\) törtet, és „fordítsuk meg”, felcserélve a számlálót és a nevezőt. A \(\frac(3)(2)\ törtet kapjuk. Ezt a törtet nevezzük fordított törtek \(\frac(2)(3)\).

Ha most „megfordítjuk” a \(\frac(3)(2)\ törtet, akkor az eredeti \(\frac(2)(3)\ törtet kapjuk. Ezért az olyan törteket, mint a \(\frac(2)(3)\) és \(\frac(3)(2)\) hívjuk. kölcsönösen inverz.

Például a \(\frac(6)(5) \) és \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) és \(\frac (18) )(7)\).

Betűk használatával a reciprok törtek a következőképpen írhatók: \(\frac(a)(b) \) és \(\frac(b)(a) \)

Egyértelmű, hogy a reciprok törtek szorzata egyenlő 1-gyel. Például: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

A reciprok törtek használatával a törtek osztását szorzásra csökkentheti.

A tört törttel való osztásának szabálya a következő:
Egy tört egy másikkal való osztásához meg kell szorozni az osztalékot az osztó reciprokával.

Frakció- egy számábrázolási forma a matematikában. A törtsáv az osztási műveletet jelöli. Számláló törtét osztaléknak nevezzük, és nevező- osztó. Például egy törtben a számláló 5, a nevező pedig 7.

Helyes Olyan törtet nevezünk, amelyben a számláló modulusa nagyobb, mint a nevező modulusa. Ha egy tört megfelelő, akkor értékének modulusa mindig kisebb, mint 1. Minden más tört igen rossz.

A tört úgynevezett vegyes, ha egész számként és törtként van felírva. Ez megegyezik ennek a számnak és a törtnek az összegével:

A tört fő tulajdonsága

Ha egy tört számlálóját és nevezőjét megszorozzuk ugyanazzal a számmal, akkor a tört értéke nem változik, azaz pl.

Törtek redukálása közös nevezőre

Két tört közös nevezőhöz hozásához a következőkre lesz szüksége:

1. Szorozzuk meg az első tört számlálóját a második nevezőjével
2. Szorozzuk meg a második tört számlálóját az első tört nevezőjével
3. Cserélje le mindkét tört nevezőjét a szorzatukkal!

Műveletek törtekkel

Kiegészítés. Két frakció hozzáadásához szükséges

1. Adja hozzá mindkét tört új számlálóját, és hagyja változatlanul a nevezőt

Példa:

Kivonás. Ahhoz, hogy az egyik törtet a másikból kivonhassa, szüksége van

1. Csökkentse a törteket közös nevezőre
2. Vonja ki a második számlálóját az első tört számlálójából, és hagyja változatlanul a nevezőt

Példa:

Szorzás. Egy tört egy másikkal való szorzásához szorozza meg számlálójukat és nevezőit:

Osztály. Az egyik tört egy másikkal való osztásához szorozza meg az első tört számlálóját a második nevezőjével, és szorozza meg az első tört nevezőjét a második tört számlálójával:

Frakció- egy szám, amely egy egység törteinek egész számából áll, és a következő formában van ábrázolva: a/b

Tört számlálója (a)- a törtvonal felett található szám, amely a részvények számát mutatja, amelyekre az egységet felosztották.

Tört nevező (b)- a törtvonal alatt található szám, amely azt mutatja, hogy az egység hány részre van osztva.

2. Törtek redukálása közös nevezőre

3. Aritmetikai műveletek közönséges törtekkel

3.1. Közönséges frakciók hozzáadása

3.2. Törtek kivonása

3.3. Közönséges törtek szorzása

3.4. Osztó törtek

4. Reciprok számok

5. Tizedesjegyek

6. Aritmetikai műveletek tizedesjegyekkel

6.1. Tizedesjegyek hozzáadása

6.2. Tizedesjegyek kivonása

6.3. Tizedesjegyek szorzása

6.4. Tizedes osztás

#1. A tört fő tulajdonsága

Ha egy tört számlálóját és nevezőjét ugyanazzal a számmal szorozzuk vagy osztjuk, amely nem egyenlő nullával, akkor az adott törttel egyenlő törtet kapunk.

3/7=3*3/7*3=9/21, azaz 3/7=9/21

a/b=a*m/b*m - így néz ki egy tört fő tulajdonsága.

Más szóval, az eredeti tört számlálóját és nevezőjét ugyanazzal a természetes számmal megszorozva vagy osztva az adott törtet kapjuk.

Ha ad=bc, akkor két tört a/b =c /d egyenlőnek számítanak.

Például a 3/5 és 9/15 törtek egyenlőek lesznek, mivel 3*15=5*9, azaz 45=45

Töredék csökkentése egy olyan tört cseréjének folyamata, amelyben az új tört egyenlő az eredetivel, de kisebb számlálóval és nevezővel.

A törteket a tört alaptulajdonsága alapján szokás redukálni.

Például, 45/60=15/ ​ ​20 =9/12=3/4 ​ ​ ​ (a számlálót és a nevezőt elosztjuk 3-mal, 5-tel és 15-tel).

Irreducibilis tört a forma töredéke 3/4 ​ ​ , ahol a számláló és a nevező kölcsönös prímszámok. A tört redukálásának fő célja a tört redukálhatatlanná tétele.

2. Törtek redukálása közös nevezőre

Két tört közös nevezőhöz hozásához a következőket kell tennie:

1) bontsa ki az egyes törtek nevezőjét a következőre elsődleges tényezők;

2) szorozza meg az első tört számlálóját és nevezőjét a hiányzókkal!

a második nevező bővüléséből származó tényezők;

3) szorozza meg a második tört számlálóját és nevezőjét az első bővítésből hiányzó tényezőkkel.

Példák: Csökkentse a törteket közös nevezőre.

Tekintsük a nevezőket egyszerű tényezőkre: 18=3∙3∙2, 15=3∙5

Szorozzuk meg a tört számlálóját és nevezőjét a második bővítésből hiányzó 5-tel.

a tört számlálója és nevezője az első bővítésből hiányzó 3. és 2. tényezőbe.

= , 90 – törtek közös nevezője.

3. Aritmetikai műveletek közönséges törtekkel

3.1. Közönséges frakciók hozzáadása

a) Mikor ugyanazok a nevezők Az első tört számlálóját hozzáadjuk a második tört számlálójához, így a nevező változatlan marad. Ahogy a példában is látható:

a/b+c/b=(a+c)/b ​ ​ ;

b) Különböző nevezők esetén a törteket először közös nevezőre redukáljuk, majd a számlálókat az a) szabály szerint összeadjuk:

7/3+1/4=7*4/12+1*3/12=(28+3)/12=31/12

3.2. Törtek kivonása

a) Ha a nevezők azonosak, akkor az első tört számlálójából vonjuk ki a második tört számlálóját úgy, hogy a nevező változatlan marad:

a/b-c/b=(a-c)/b ​ ​ ;

b) Ha a törtek nevezői eltérőek, akkor először a törteket hozzuk közös nevezőre, majd az a) pontban leírtak szerint ismételjük meg a műveleteket.

3.3. Közönséges törtek szorzása

A törtek szorzása betartja a következő szabályt:

a/b*c/d=a*c/b*d,

vagyis külön-külön szorozzák a számlálókat és a nevezőket.

Például:

3/5*4/8=3*4/5*8=12/40.

3.4. Osztó törtek

A törteket a következőképpen osztjuk fel:

a/b:c/d=a*d/b*c,

vagyis az a/b törtet megszorozzuk az adott inverz törtével, azaz megszorozzuk d/c-vel.

Példa: 7/2:1/8=7/2*8/1=56/2=28

4. Reciprok számok

Ha a*b=1, akkor a b szám az kölcsönös szám az a számhoz.

Példa: a 9-es szám reciprok értéke 1/9 ​ ​ , mivel 9*1/9 = 1 , az 5-ös szám esetén az inverz szám 1/5 ​ ​ , mert 5* ​ 1/5 ​ ​ = 1 .

5. Tizedesjegyek

Decimális egy megfelelő tört, amelynek nevezője egyenlő 10, 1000, 10 000, …, 10^n 1 0 , 1 0 0 0 , 1 0 0 0 0 , . . . , 1 0 ​ n​ ​ .

Például: 6/10 =0,6; 44/1000=0,044 ​ .

A nevezővel rendelkező helyteleneket ugyanúgy írjuk 10^n vagy vegyes számok.

Például: 51/10= 5,1; 763/100=7,63

Bármely szám ábrázolható tizedes törtként közönséges tört olyan nevezővel, amely 10 bizonyos hatványának osztója.

váltó, amely a 10 szám egy bizonyos hatványának osztója.

Példa: 5 osztója 100-nak, tehát tört 1/5=1 *20/5*20=20/100=0,2 ​ 0 = 0 , 2 .

6. Aritmetikai műveletek tizedesjegyekkel

6.1. Tizedesjegyek hozzáadása

Két tizedes tört hozzáadásához úgy kell elrendeznie őket, hogy egymás alatt azonos számjegyek, a vessző alatt pedig vessző legyenek, majd a törteket a közönséges számokhoz hasonlóan össze kell adni.

6.2. Tizedesjegyek kivonása

Ez ugyanúgy történik, mint az összeadás.

6.3. Tizedesjegyek szorzása

Szorzáskor decimális számok Elegendő a megadott számokat megszorozni, figyelmen kívül hagyva a vesszőt (például a természetes számokat), és a kapott válaszban a jobb oldali vessző annyi számjegyet választ el, ahány tizedesvessző után van mindkét tényezőben összesen.

Szorozzuk meg a 2,7-et 1,3-mal. megvan 27\cdot 13=351 2 7 ⋅ 1 3 = 3 5 1 . A jobb oldalon két számjegyet vesszővel választunk el (az első és a második számjegy a tizedesvessző után egy számjegyet tartalmaz; 1+1=2 1 + 1 = 2 ). Ennek eredményeként azt kapjuk 2,7\cdot 1,3=3,51 2 , 7 ⋅ 1 , 3 = 3 , 5 1 .

Ha a kapott eredmény kevesebb számjegyet tartalmaz, mint amennyit vesszővel el kell választani, akkor a hiányzó nullákat előre írjuk, például:

10, 100, 1000-zel való szorzáshoz a tizedesvesszőt 1, 2, 3 számjeggyel jobbra kell mozgatni (ha szükséges, jobbra kell hozzárendelni bizonyos szám nullák).

Például: 1,47\cdot 10 000 = 14 700 1 , 4 7 ⋅ 1 0 0 0 0 = 1 4 7 0 0 .

6.4. Tizedes osztás

A tizedes tört természetes számmal való osztása ugyanúgy történik, mint a természetes szám természetes számmal való osztása. A hányadosban a vessző a teljes rész felosztása után kerül elhelyezésre.

Ha az osztalék egész része kisebb, mint az osztó, akkor a válasz nulla egész szám, például:

Nézzük a tizedesjegy elosztását egy tizedessel. Tegyük fel, hogy 2,576-ot el kell osztanunk 1,12-vel. Először is szorozzuk meg a tört osztóját és osztóját 100-zal, vagyis tegyük jobbra a tizedesvesszőt az osztóban, és osztjunk annyi tizedesjegygel, amennyi a tizedesvessző utáni osztóban van (in ebben a példában kettővel). Ezután el kell osztania a 257,6 törtet a 112-es természetes számmal, vagyis a probléma a már megvizsgált esetre redukálódik:

Előfordul, hogy a végeredmény nem mindig születik meg decimális amikor az egyik számot elosztjuk a másikkal. Az eredmény egy végtelen tizedes tört. Ilyen esetekben áttérünk a közönséges törtekre.

Például 2,8: 0,09= 28/10: 9/100= 28*100/10*9=2800/90=280/9= ​ 31 1/9 ​ ​ .