Különböző nevezővel rendelkező egyszerű törtek kivonása. Különböző nevezőkkel rendelkező algebrai törtek összeadása és kivonása (alapszabályok, legegyszerűbb esetek)

Ez a lecke a különböző nevezőkkel rendelkező algebrai törtek összeadásával és kivonásával foglalkozik. Már tudjuk, hogyan kell összeadni és kivonni a különböző nevezőjű köztörteket. Ehhez a törteket közös nevezőre kell redukálni. Kiderült, hogy az algebrai törtek ugyanazokat a szabályokat követik. Ugyanakkor már tudjuk, hogyan lehet az algebrai törteket közös nevezőre redukálni. A különböző nevezőjű törtek összeadása és kivonása az egyik legfontosabb és legnehezebb téma a 8. osztályos tanfolyamon. Sőt, ez a téma számos témakörben megjelenik az algebra tanfolyamon, amelyet a jövőben tanulni fog. A lecke részeként tanulmányozzuk a különböző nevezőjű algebrai törtek összeadásának és kivonásának szabályait, valamint számos tipikus példát elemezünk.

Nézzük a közönséges törtek legegyszerűbb példáját.

1. példa Törtszám hozzáadása: .

Megoldás:

Emlékezzünk a törtek összeadásának szabályára. Kezdésként a törteket közös nevezőre kell redukálni. A közönséges törtek közös nevezője az legkisebb közös többszörös(LCM) az eredeti nevezők.

Meghatározás

A legkisebb természetes szám, amely osztható számokkal és számokkal is.

Az LCM megtalálásához a nevezőket prímtényezőkké kell figyelembe venni, majd ki kell választania az összes nevezőt, amely mindkét nevező kiterjesztésében szerepel.

; . Ekkor a számok LCM-jének tartalmaznia kell két kettőt és két hármast: .

A közös nevező megtalálása után minden törthez további tényezőt kell találnia (valójában el kell osztani a közös nevezőt a megfelelő tört nevezőjével).

Ezután minden törtet megszorozunk a kapott további tényezővel. Azonos nevezőjű törteket kapunk, amelyeket az előző leckéken megtanultunk összeadni és kivonni.

Kapunk: .

Válasz:.

Tekintsük most a különböző nevezőjű algebrai törtek összeadását. Először nézzük meg azokat a törteket, amelyek nevezői számok.

2. példa Törtszám hozzáadása: .

Megoldás:

A megoldási algoritmus teljesen hasonló az előző példához. Könnyű megtalálni ezeknek a törteknek a közös nevezőjét: és mindegyikhez további tényezőket.

.

Válasz:.

Szóval, fogalmazzunk algoritmus különböző nevezőjű algebrai törtek összeadására és kivonására:

1. Keresse meg a törtek legkisebb közös nevezőjét!

2. Keressen további tényezőket minden törthez (a közös nevezőt elosztva az adott tört nevezőjével).

3. Szorozzuk meg a számlálókat a megfelelő további tényezőkkel.

4. Adjon hozzá vagy vonjon ki törteket a hasonló nevezővel rendelkező törtek összeadási és kivonási szabályai szerint.

Tekintsünk most egy példát olyan törtekkel, amelyek nevezője betűkifejezéseket tartalmaz.

3. példa Törtszám hozzáadása: .

Megoldás:

Mivel a betűkifejezések mindkét nevezőben azonosak, érdemes közös nevezőt találni a számoknak. A végső közös nevező így fog kinézni: . Így ennek a példának a megoldása így néz ki:.

Válasz:.

4. példa Törtek kivonása: .

Megoldás:

Ha a közös nevező kiválasztásakor nem tud „csalni” (nem tud faktorozni vagy rövidített szorzóképleteket használni), akkor mindkét tört nevezőinek szorzatát kell közös nevezőnek venni.

Válasz:.

Általában az ilyen példák megoldása során a legnehezebb feladat a közös nevező megtalálása.

Nézzünk egy összetettebb példát.

5. példa Leegyszerűsítve: .

Megoldás:

A közös nevező megtalálásakor először az eredeti törtek nevezőit kell figyelembe venni (a közös nevező egyszerűsítése érdekében).

Ebben a konkrét esetben:

Ezután könnyű meghatározni a közös nevezőt: .

További tényezőket határozunk meg, és megoldjuk ezt a példát:

Válasz:.

Most határozzuk meg a különböző nevezőjű törtek összeadásának és kivonásának szabályait.

6. példa. Leegyszerűsítve: .

Megoldás:

Válasz:.

7. példa. Leegyszerűsítve: .

Megoldás:

.

Válasz:.

Tekintsünk most egy példát, amelyben nem két, hanem három törtet adunk össze (elvégre az összeadás és a kivonás szabályai nagyobb számú tört esetén ugyanazok maradnak).

8. példa. Leegyszerűsítve: .

Tegyük fel, hogy Akhilleusz tízszer gyorsabban fut, mint a teknősbéka, és ezer lépéssel mögötte van. Amíg Akhilleusz lefutja ezt a távot, a teknősbéka száz lépést kúszik ugyanabba az irányba. Amikor Akhilleusz száz lépést fut, a teknősbéka újabb tíz lépést kúszik, és így tovább. A folyamat a végtelenségig folytatódik, Akhilleusz soha nem éri utol a teknősbékát.

Ez az érvelés logikus megrázkódtatássá vált minden következő generáció számára. Arisztotelész, Diogenész, Kant, Hegel, Hilbert... Valamennyien így vagy úgy tekintették Zénón apóriáját. A sokk olyan erős volt, hogy " ... a viták a mai napig folynak, a tudományos közösség még nem tudott közös véleményre jutni a paradoxonok lényegéről ... matematikai elemzés, halmazelmélet, új fizikai és filozófiai megközelítések vontak be a kérdés vizsgálatába ; egyik sem lett általánosan elfogadott megoldás a problémára..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Mindenki megérti, hogy becsapják, de senki sem érti, miből áll a megtévesztés.

Matematikai szempontból Zénó aporiájában egyértelműen bemutatta a mennyiségből a -ba való átmenetet. Ez az átmenet állandó helyett alkalmazást jelent. Ha jól értem, a változó mértékegységek használatára szolgáló matematikai apparátust vagy még nem fejlesztették ki, vagy nem alkalmazták Zénó apóriájára. A megszokott logikánk alkalmazása csapdába vezet bennünket. Mi a gondolkodás tehetetlensége miatt állandó időegységeket alkalmazunk a reciprok értékre. Fizikai szempontból ez úgy tűnik, mintha az idő lelassulna, amíg teljesen meg nem áll abban a pillanatban, amikor Akhilleusz utoléri a teknőst. Ha megáll az idő, Akhilleusz már nem tudja lehagyni a teknősbékát.

Ha megfordítjuk a megszokott logikánkat, minden a helyére kerül. Akhilleusz állandó sebességgel fut. Útjának minden következő szakasza tízszer rövidebb, mint az előző. Ennek megfelelően a leküzdésére fordított idő tízszer kevesebb, mint az előzőnél. Ha ebben a helyzetben alkalmazzuk a „végtelen” fogalmát, akkor helyes lenne azt mondani, hogy „Achilles végtelenül gyorsan utoléri a teknőst”.

Hogyan lehet elkerülni ezt a logikai csapdát? Maradjon állandó időegységben, és ne váltson át reciprok mértékegységekre. Zénón nyelvén ez így néz ki:

Amíg Akhilleusz ezer lépést fut, addig a teknősbéka száz lépést kúszik ugyanabba az irányba. Az elsővel megegyező következő időintervallumban Akhilleusz újabb ezer lépést fut, a teknősbéka pedig száz lépést kúszik. Most Akhilleusz nyolcszáz lépéssel megelőzi a teknősbékát.

Ez a megközelítés adekvát módon írja le a valóságot minden logikai paradoxon nélkül. De ez nem teljes megoldás a problémára. Einstein kijelentése a fénysebesség ellenállhatatlanságáról nagyon hasonlít Zénón „Achilles és a teknős” című apóriájához. Ezt a problémát még tanulmányoznunk, újragondolnunk és megoldanunk kell. A megoldást pedig nem végtelenül nagy számokban, hanem mértékegységekben kell keresni.

Zénó másik érdekes apóriája egy repülő nyílról mesél:

A repülő nyíl mozdulatlan, hiszen az idő minden pillanatában nyugalomban van, és mivel minden pillanatban nyugalomban van, mindig nyugalomban van.

Ebben az apóriában a logikai paradoxont ​​nagyon egyszerűen leküzdjük - elég tisztázni, hogy minden időpillanatban egy repülő nyíl nyugalomban van a tér különböző pontjain, ami valójában mozgás. Itt még egy szempontot kell megjegyezni. Egy úton lévő autóról készült fényképből lehetetlen meghatározni sem a mozgás tényét, sem a távolságot. Annak megállapításához, hogy egy autó mozog-e, két fényképre van szüksége, amelyek ugyanarról a pontról készültek, különböző időpontokban, de nem tudja meghatározni a távolságot tőlük. Az autótól való távolság meghatározásához két fényképre van szükség, amelyek a tér különböző pontjairól készültek egy időben, de ezekből nem lehet meghatározni a mozgás tényét (természetesen további adatokra van szükség a számításokhoz, a trigonometria segít ). Amire külön szeretném felhívni a figyelmet, az az, hogy két időpont és két térpont különböző dolog, amit nem szabad összekeverni, mert más-más kutatási lehetőséget biztosítanak.

2018. július 4., szerda

A készlet és a multihalmaz közötti különbségek nagyon jól le vannak írva a Wikipédián. Lássuk.

Amint láthatja, „nem lehet két azonos elem egy halmazban”, de ha egy halmazban azonos elemek vannak, akkor az ilyen halmazt „multisetnek” nevezzük. Az értelmes lények soha nem fogják megérteni az ilyen abszurd logikát. Ez a beszélő papagájok és képzett majmok szintje, akiknek nincs intelligenciája a „teljesen” szóból. A matematikusok közönséges oktatóként viselkednek, és abszurd elképzeléseiket hirdetik nekünk.

Egyszer régen a hidat építő mérnökök egy csónakban voltak a híd alatt, miközben tesztelték a hidat. Ha a híd összeomlott, a középszerű mérnök meghalt teremtménye romjai alatt. Ha a híd bírta a terhelést, a tehetséges mérnök más hidakat épített.

Bármennyire is bújnak a matematikusok a „figyelj, a házban vagyok” kifejezés mögé, vagy inkább: „a matematika elvont fogalmakat tanulmányoz”, van egy köldökzsinór, amely elválaszthatatlanul összeköti őket a valósággal. Ez a köldökzsinór pénz. Alkalmazzuk a matematikai halmazelméletet magukra a matematikusokra.

Nagyon jól tanultunk matematikát, és most a pénztárnál ülünk, és kiosztjuk a fizetéseket. Tehát egy matematikus jön hozzánk a pénzéért. Kiszámoljuk neki a teljes összeget, és az asztalunkra fektetjük különböző kupacokba, amelyekbe azonos címletű bankjegyeket teszünk. Ezután minden kupacból kiveszünk egy számlát, és megadjuk a matematikusnak a „matematikai fizetéskészletét”. Magyarázzuk el a matematikusnak, hogy a fennmaradó számlákat csak akkor kapja meg, ha bebizonyítja, hogy az azonos elemek nélküli halmaz nem egyenlő az azonos elemeket tartalmazó halmazzal. Itt kezdődik a móka.

Először is működni fog a képviselők logikája: „Ezt másokra lehet alkalmazni, de rám nem!” Aztán elkezdenek megnyugtatni bennünket, hogy az azonos címletű váltószámok eltérőek, ami azt jelenti, hogy nem tekinthetők azonos elemeknek. Oké, számoljuk a fizetéseket érmében – nincsenek számok az érméken. Itt a matematikus eszeveszetten emlékezni kezd a fizikára: a különböző érmékben különböző mennyiségű szennyeződés van, a kristályszerkezet és az atomok elrendezése minden érménél egyedi...

És most van a legérdekesebb kérdésem: hol van az a határ, amelyen túl a multihalmaz elemei halmaz elemeivé válnak, és fordítva? Ilyen vonal nem létezik – mindent a sámánok döntenek el, a tudomány itt meg sem hazudik.

Nézz ide. Azonos pályaterületű futballstadionokat választunk. A mezők területei megegyeznek - ami azt jelenti, hogy van egy multihalmazunk. De ha megnézzük ezeknek a stadionoknak a nevét, sokat kapunk, mert a nevek különbözőek. Amint látja, ugyanaz az elemkészlet halmaz és multihalmaz is. Melyik a helyes? És itt a matematikus-sámán-éles előhúz egy adu ászt az ingujjából, és mesélni kezd nekünk vagy egy halmazról, vagy egy multihalmazról. Mindenesetre meg fog győzni minket az igazáról.

Ahhoz, hogy megértsük, hogyan operálnak a modern sámánok a halmazelmélettel, a valósághoz kötve, elég egy kérdésre válaszolni: miben különböznek egy halmaz elemei egy másik halmaz elemeitől? Megmutatom, minden "nem egyetlen egészként elképzelhető" vagy "egyetlen egészként nem elképzelhető" nélkül.

2018. március 18. vasárnap

Egy szám számjegyeinek összege sámánok tánca tamburával, aminek semmi köze a matematikához. Igen, a matematika órán azt tanítják, hogy keressük meg egy szám számjegyeinek összegét és használjuk, de ezért ők sámánok, hogy megtanítsák leszármazottaikat tudásukra és bölcsességükre, különben a sámánok egyszerűen kihalnak.

Bizonyítékra van szüksége? Nyissa meg a Wikipédiát, és próbálja meg megtalálni a "Számjegyek összege" oldalt. Ő nem létezik. A matematikában nincs olyan képlet, amellyel bármely szám számjegyeinek összegét meg lehetne találni. Hiszen a számok grafikus szimbólumok, amelyekkel számokat írunk, és a matematika nyelvén a feladat így hangzik: „Keresd meg a tetszőleges számot ábrázoló grafikus szimbólumok összegét!” A matematikusok nem tudják megoldani ezt a problémát, de a sámánok könnyen meg tudják oldani.

Találjuk ki, mit és hogyan tegyünk annak érdekében, hogy megtaláljuk egy adott szám számjegyeinek összegét. Tehát legyen az 12345 szám. Mit kell tenni, hogy megtaláljuk ennek a számnak a számjegyeinek összegét? Vegyük sorra az összes lépést.

1. Írja fel a számot egy papírra. Mit tettünk? A számot grafikus számszimbólummá alakítottuk át. Ez nem matematikai művelet.

2. Egy kapott képet több, egyedi számokat tartalmazó képre vágunk. A kép kivágása nem matematikai művelet.

3. Alakítsa át az egyes grafikus szimbólumokat számokká. Ez nem matematikai művelet.

4. Adja hozzá a kapott számokat. Ez most a matematika.

Az 12345 számjegyeinek összege 15. Ezek a sámánok által tanított „szabás- és varrótanfolyamok”, amelyeket a matematikusok használnak. De ez még nem minden.

Matematikai szempontból nem mindegy, hogy melyik számrendszerben írunk egy számot. Tehát különböző számrendszerekben ugyanazon szám számjegyeinek összege eltérő lesz. A matematikában a számrendszert alsó indexként tüntetjük fel a számtól jobbra. Az 12345-ös nagy számmal nem akarom becsapni a fejem, vegyük figyelembe a cikk 26-os számát. Írjuk fel ezt a számot bináris, oktális, decimális és hexadecimális számrendszerben. Nem nézünk mikroszkóp alatt minden lépést, ezt már megtettük. Nézzük az eredményt.

Mint látható, a különböző számrendszerekben ugyanazon szám számjegyeinek összege eltérő. Ennek az eredménynek semmi köze a matematikához. Ez ugyanaz, mintha egy téglalap területét méterben és centiméterben határozná meg, teljesen más eredményeket kapna.

A nulla minden számrendszerben ugyanúgy néz ki, és nincs számjegyek összege. Ez egy újabb érv amellett, hogy. Kérdés matematikusokhoz: hogyan jelölik ki a matematikában azt, ami nem szám? A matematikusok számára a számokon kívül semmi sem létezik? Ezt megengedhetem a sámánoknak, de nem a tudósoknak. A valóság nem csak a számokból áll.

A kapott eredményt annak bizonyítékának kell tekinteni, hogy a számrendszerek a számok mértékegységei. Hiszen nem hasonlíthatjuk össze a számokat különböző mértékegységekkel. Ha ugyanazok a műveletek ugyanazon mennyiség különböző mértékegységeivel eltérő eredményre vezetnek az összehasonlítás után, akkor ennek semmi köze a matematikához.

Mi az igazi matematika? Ilyenkor egy matematikai művelet eredménye nem függ a szám nagyságától, az alkalmazott mértékegységtől és attól, hogy ki végzi el ezt a műveletet.

Ó! Ez nem a női mosdó?
- Fiatal nő! Ez egy laboratórium a lelkek indefil szentségének tanulmányozására a mennybemenetelük során! Halo a tetején és nyíl felfelé. Milyen másik wc?

Nő... A tetején lévő halo és a lefelé mutató nyíl férfi.

Ha egy ilyen dizájnművészeti alkotás naponta többször felvillan a szemed előtt,

Akkor nem meglepő, hogy hirtelen egy furcsa ikont talál az autójában:

Én személy szerint igyekszem mínusz négy fokot látni egy kakáló emberben (egy kép) (több képből álló kompozíció: mínusz jel, négyes szám, fokok megjelölése). És szerintem ez a lány nem bolond, aki nem ismeri a fizikát. Csak erős sztereotípiája van a grafikus képek észlelésével kapcsolatban. A matematikusok pedig állandóan ezt tanítják nekünk. Íme egy példa.

Az 1A nem „mínusz négy fok” vagy „egy a”. Ez a "pooping man" vagy a "huszonhat" szám hexadecimális jelöléssel. Azok, akik folyamatosan ebben a számrendszerben dolgoznak, automatikusan egy számot és egy betűt egyetlen grafikus szimbólumként érzékelnek.

Különféle műveleteket hajthat végre a törtekkel, például törtek hozzáadásával. A frakciók összeadása több típusra osztható. A törtek összeadásának minden típusának megvannak a saját szabályai és cselekvési algoritmusai. Nézzük meg részletesen az egyes kiegészítések típusait.

Hasonló nevezőt tartalmazó törtek hozzáadása.

Nézzünk egy példát arra, hogyan adjunk hozzá közös nevezővel rendelkező törteket.

A turisták kirándultak A pontból E pontba. Az első napon végigsétáltak A pontból B-be vagy \(\frac(1)(5)\) a teljes útból. A második napon B pontból D-be vagy \(\frac(2)(5)\) gyalog mentek az egész úton. Milyen messzire mentek az út elejétől a D pontig?

Az A pont és a D pont közötti távolság meghatározásához össze kell adni a \(\frac(1)(5) + \frac(2)(5)\ törteket.

A hasonló nevezőt tartalmazó törtek összeadása azt jelenti, hogy hozzá kell adni ezeknek a törteknek a számlálóit, de a nevező változatlan marad.

\(\frac(1)(5) + \frac(2)(5) = \frac(1 + 2)(5) = \frac(3)(5)\)

Szó szerinti formában az azonos nevezővel rendelkező törtek összege így fog kinézni:

\(\bf \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a + b)(c)\)

Válasz: a turisták az egész utat \(\frac(3)(5)\) gyalogolták.

Különböző nevezőjű törtek összeadása.

Nézzünk egy példát:

Két törtet kell hozzáadnia: \(\frac(3)(4)\) és \(\frac(2)(7)\).

Különböző nevezőjű törtek hozzáadásához először meg kell találnia, majd használja a szabályt a hasonló nevezőkkel rendelkező törtek összeadásához.

A 4-es és 7-es nevezőknél a közös nevező a 28. Az első tört \(\frac(3)(4)\) 7-tel meg kell szorozni. A második tört \(\frac(2)(7)\ ) meg kell szorozni 4-gyel.

\(\frac(3)(4) + \frac(2)(7) = \frac(3 \times \color(piros) (7) + 2 \times \color(piros) (4))(4 \ alkalommal \szín(piros) (7)) = \frac(21 + 8)(28) = \frac(29)(28) = 1\frac(1)(28)\)

Szó szerinti formában a következő képletet kapjuk:

\(\bf \frac(a)(b) + \frac(c)(d) = \frac(a \times d + c \times b)(b \times d)\)

Vegyes számok vagy vegyes törtek hozzáadása.

Az összeadás az összeadás törvénye szerint történik.

Vegyes törtek esetén az egész részeket az egész részekkel, a tört részeket a törtekkel adjuk hozzá.

Ha a vegyes számok törtrészeinek nevezője azonos, akkor a számlálókat összeadjuk, de a nevező változatlan marad.

Adjuk össze a \(3\frac(6)(11)\) és \(1\frac(3)(11)\ vegyes számokat.

\(3\frac(6)(11) + 1\frac(3)(11) = (\szín(piros) (3) + \szín(kék) (\frac(6)(11))) + ( \szín(piros) (1) + \szín(kék) (\frac(3)(11))) = (\szín(piros) (3) + \szín(piros) (1)) + (\szín( kék) (\frac(6)(11)) + \szín(kék) (\frac(3)(11))) = \szín(piros)(4) + (\szín(kék) (\frac(6) + 3)(11))) = \szín(piros)(4) + \szín(kék) (\frac(9)(11)) = \szín(piros)(4) \szín(kék) (\frac (9) (11))\)

Ha a vegyes számok törtrészeinek különböző nevezője van, akkor megtaláljuk a közös nevezőt.

Végezzük el a \(7\frac(1)(8)\) és \(2\frac(1)(6)\ vegyes számok összeadását.

A nevező eltérő, ezért meg kell találnunk a közös nevezőt, ez egyenlő 24-gyel. Az első törtet \(7\frac(1)(8)\) szorozzuk meg további 3-mal, a második törtet pedig \( 2\frac(1)(6)\) 4-gyel.

\(7\frac(1)(8) + 2\frac(1)(6) = 7\frac(1 \times \color(red) (3))(8 \times \color(piros) (3) ) = 2\frac(1\szer \szín(piros) (4))(6\szín(piros) (4)) =7\frac(3)(24) + 2\frac(4)(24 ) = 9\frac(7)(24)\)

Kapcsolódó kérdések:
Hogyan adjunk törteket?
Válasz: először el kell döntenie, hogy milyen típusú kifejezésről van szó: a törtek azonos nevezőkkel, különböző nevezőkkel vagy vegyes törtekkel rendelkeznek. A kifejezés típusától függően továbblépünk a megoldási algoritmushoz.

Hogyan lehet megoldani a különböző nevezőjű törteket?
Válasz: meg kell találni a közös nevezőt, majd követni kell az azonos nevezőjű törtek összeadásának szabályát.

Hogyan oldjuk meg a vegyes frakciókat?
Válasz: egész részeket egész számokkal, tört részeket törtekkel adunk hozzá.

1. példa:
Adhat-e megfelelő tört kettő összege? Nem megfelelő tört? Adj rá példákat.

\(\frac(2)(7) + \frac(3)(7) = \frac(2 + 3)(7) = \frac(5)(7)\)

A \(\frac(5)(7)\) tört egy megfelelő tört, két megfelelő tört \(\frac(2)(7)\) és \(\frac(3) összegének eredménye. (7)\).

\(\frac(2)(5) + \frac(8)(9) = \frac(2 \times 9 + 8 \times 5)(5 \times 9) =\frac(18 + 40)(45) = \frac(58)(45)\)

A \(\frac(58)(45)\) tört helytelen tört, a \(\frac(2)(5)\) és a \(\frac(8) megfelelő törtek összegének eredménye. (9)\).

Válasz: Mindkét kérdésre igen a válasz.

2. példa:
Adja hozzá a törteket: a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11)\) b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9)\) .

a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11) = \frac(3 + 5)(11) = \frac(8)(11)\)

b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9) = \frac(1 \times \color(red) (3))(3 \times \color(piros) (3)) + \frac(2)(9) = \frac(3)(9) + \frac(2)(9) = \frac(5)(9)\)

3. példa:
Írja fel a vegyes törtet egy természetes szám és egy megfelelő tört összegeként: a) \(1\frac(9)(47)\) b) \(5\frac(1)(3)\)

a) \(1\frac(9)(47) = 1 + \frac(9)(47)\)

b) \(5\frac(1)(3) = 5 + \frac(1)(3)\)

4. példa:
Számítsa ki az összeget: a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7)\) b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) ) \) c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15)\)

a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7) = (8 + 2) + (\frac(5)(7) + \frac(1)(7)) = 10 + \frac(6)(7) = 10\frac(6)(7)\)

b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) = 2 + (\frac(9)(13) + \frac(2)(13)) = 2\frac(11) )(13) \)

c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(2\x3)(5\frac(3) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(6)(15) + 3\frac(4)(15) = (7 + 3)+(\frac(6)(15) + \frac(4)(15)) = 10 + \frac (10)(15) = 10\frac(10)(15) = 10\frac(2)(3)\)

1. feladat:
Ebédre \(\frac(8)(11)\)-t ettünk a tortából, este pedig a \(\frac(3)(11)\-t vacsoráztuk. Szerinted a tortát teljesen megették vagy nem?

Megoldás:
A tört nevezője 11, ez jelzi, hány részre osztották a tortát. Ebédre 8 tortát ettünk a 11-ből. Vacsorára 3 tortát ettünk a 11-ből. Adjunk hozzá 8 + 3 = 11-et, 11-ből megettük a tortadarabokat, vagyis az egész tortát.

\(\frac(8)(11) + \frac(3)(11) = \frac(11)(11) = 1\)

Válasz: az egész tortát megették.

Ez a lecke a hasonló nevezőkkel rendelkező algebrai törtek összeadásával és kivonásával foglalkozik. Már tudjuk, hogyan adjunk össze és vonjunk ki közös törteket hasonló nevezőkkel. Kiderült, hogy az algebrai törtek ugyanazokat a szabályokat követik. A hasonló nevezőjű törtekkel való munka megtanulása az algebrai törtekkel való munka megtanulásának egyik sarokköve. Ennek a témának a megértése különösen megkönnyíti egy összetettebb téma elsajátítását - a különböző nevezőkkel rendelkező törtek összeadását és kivonását. A lecke részeként megvizsgáljuk a hasonló nevezővel rendelkező algebrai törtek összeadásának és kivonásának szabályait, valamint számos tipikus példát elemezünk.

Hasonló nevezővel rendelkező algebrai törtek összeadásának és kivonásának szabálya

Sfor-mu-li-ru-em pra-vi-lo slo-zhe-niya (you-chi-ta-niya) al-geb-ra-i-che-skih frakciók az egy az ön-hoz -mi-ből know-me-na-te-la-mi (ez egybeesik a közönséges lövésekre vonatkozó analóg szabállyal): Ez az al-geb-ra-i-che-skih törtek összeadása vagy kiszámítása egy-hoz-hoz know-me-on-te-la-mi szükséges -ho-di-mo-összeállítani a megfelelő al-geb-ra-i-che-sum számokat, és a jel-me-na-tel nélkül hagyni.

Ezt a szabályt mind a közönséges ven-draw, mind az al-geb-ra-i-che-draws példájára értjük.

Példák a szabály alkalmazására közönséges törtekre

Példa 1. Törtszámok hozzáadása: .

Megoldás

Adjuk össze a törtek számát, és hagyjuk a jelet változatlannak. Ezt követően a számot felbontjuk, és egyszerű multiplicitásokra és kombinációkra jelentkezünk. Szerezzük meg: .

Megjegyzés: egy szabványos hiba, amely megengedett hasonló típusú példák megoldása során a -klu-cha-et-sya esetében a következő lehetséges megoldásban: . Ez durva hiba, mivel a jel ugyanaz marad, mint az eredeti törtekben.

2. példa Törtszámok hozzáadása: .

Megoldás

Ez semmiben sem különbözik az előzőtől: .

Példák az algebrai törtek szabályának alkalmazására

A közönséges dro-beatektől áttérünk az al-geb-ra-i-che-skim-re.

3. példa Törtszámok hozzáadása: .

Megoldás: mint már fentebb említettük, az al-geb-ra-i-che-frakciók összetétele semmiben sem különbözik a szótól, ugyanaz, mint a szokásos lövöldözés. Ezért a megoldási mód ugyanaz: .

Példa 4. Ön a tört: .

Megoldás

You-chi-ta-nie az al-geb-ra-i-che-skih törtek összeadásából csak az a tény, hogy a pi-sy-va-et-sya számban különbség van a felhasznált törtek számában. Ezért .

Példa 5. Ön a tört: .

Megoldás: .

Példa 6. Egyszerűsítés: .

Megoldás: .

Példák a szabály, majd a redukció alkalmazására

Egy olyan törtben, amelynek az összeállítás vagy a számítás eredménye ugyanaz, kombinációk lehetségesek nia. Ezenkívül nem szabad megfeledkezni az al-geb-ra-i-che-skih frakciók ODZ-jéről.

Példa 7. Egyszerűsítés: .

Megoldás: .

Ahol . Általánosságban elmondható, hogy ha a kezdeti törtek ODZ-je egybeesik a teljes ODZ-vel, akkor ez elhagyható (végül is a tört szerepel a válaszban, szintén nem fog létezni a megfelelő jelentős változásokkal). De ha a felhasznált törtek ODZ-je és a válasz nem egyezik, akkor az ODZ-t fel kell tüntetni.

Példa 8. Egyszerűsítse: .

Megoldás: . Ugyanakkor y (a kezdeti törtek ODZ-je nem esik egybe az eredmény ODZ-jével).

Különböző nevezőjű törtek összeadása és kivonása

A különböző know-me-on-the-la-mi-vel rendelkező al-geb-ra-i-che-törtek hozzáadásához és olvasásához az ana-lo -giyu-t a közönséges-ven-ny törtekkel végezzük, és átvisszük az al-geb-be. -ra-i-che-frakciók.

Nézzük a közönséges törtek legegyszerűbb példáját.

1. példa Törtszám hozzáadása: .

Megoldás:

Emlékezzünk a törtek összeadásának szabályaira. A törttel való kezdéshez közös jelre kell hozni. A közönséges törtek általános jelének szerepében cselekszel legkisebb közös többszörös(NOK) kezdeti jelei.

Meghatározás

A legkisebb szám, amely egyszerre van felosztva számokra és.

A NOC megtalálásához egyszerű halmazokra kell bontani a tudást, majd ki kell választani mindazt, ami sok van, ami mindkét jel felosztásában szerepel.

; . Ekkor a számok LCM-jének tartalmaznia kell két kettőt és két hármast: .

Az általános ismeretek megtalálása után minden törtnek találnia kell egy teljes multiplicitás-rezidenst (sőt, a közös jelet a megfelelő tört előjelére kell önteni).

Ezután minden törtet megszorozunk egy félig teli tényezővel. Vegyünk néhány törtet azokból, amelyeket ismersz, add össze és olvasd fel őket.-tanulmányoztam az előző leckéken.

Együnk: .

Válasz:.

Nézzük most a különböző előjelű al-geb-ra-i-che-frakciók összetételét. Most nézzük meg a törteket, és nézzük meg, vannak-e számok.

Algebrai törtek összeadása és kivonása különböző nevezőkkel

2. példa Törtszám hozzáadása: .

Megoldás:

Al-go-ritmusa a döntés ab-so-lyut-but ana-lo-gi-chen az előző példához. Könnyű venni az adott törtek közös jelét: és mindegyikhez további szorzót.

.

Válasz:.

Szóval formáljunk al-go-ritmus összeadás és al-geb-ra-i-che-skih törtek különböző előjelekkel:

1. Keresse meg a tört legkisebb közös jelét!

2. Keressen további szorzót minden törthez (valóban az előjel közös jele -edik tört).

3. Legfeljebb sok szám a megfelelő legfeljebb teljes szorzókon.

4. Adjon hozzá vagy számítson ki törteket a kisebb összeadások és a törtek kiszámításával azonos tudással -me-na-te-la-mi.

Most nézzünk egy példát a törtekkel, amelyek jelében te -nia betűk vannak.

A különböző nevezőjű törtek összeadásának szabályai nagyon egyszerűek.

Lépésről lépésre nézzük meg a különböző nevezőjű törtek összeadásának szabályait:

1. Keresse meg a nevezők LCM-jét (legkisebb közös többszörösét). A kapott LCM lesz a törtek közös nevezője;

2. Csökkentse a törteket közös nevezőre;

3. Adja hozzá a közös nevezőre csökkentett törteket.

Egy egyszerű példa segítségével megtanuljuk, hogyan kell alkalmazni a különböző nevezőkkel rendelkező törtek összeadásának szabályait.

Példa

Példa különböző nevezőjű törtek összeadására.

Különböző nevezőjű törtek hozzáadása:

Lépésről lépésre döntünk.

1. Keresse meg a nevezők LCM-jét (legkisebb közös többszörösét).

A 12-es szám osztható 6-tal.

Ebből arra következtetünk, hogy a 12 a 6 és 12 számok legkisebb közös többszöröse.

Válasz: a 6-os és 12-es számok száma 12:

LCM(6; 12) = 12

A kapott LCM lesz a közös nevező két tört 1/6 és 5/12 között.

2. Csökkentse a törteket közös nevezőre.

Példánkban csak az első törtet kell 12-es közös nevezőre redukálni, mert a második törtnek már 12-es a nevezője.

Osszuk el a 12 közös nevezőjét az első tört nevezőjével:

2-nek van egy további szorzója.

Szorozzuk meg az első tört (1/6) számlálóját és nevezőjét további 2-szeres tényezővel.