Oldja meg az egyenleteket hatványokkal. Exponenciális egyenletek

Ebben a leckében bonyolultabb exponenciális egyenletek megoldásával foglalkozunk, és felidézzük az exponenciális függvénnyel kapcsolatos alapvető elméleti elveket.

1. Az exponenciális függvény definíciója és tulajdonságai, módszerek a legegyszerűbb exponenciális egyenletek megoldására

Emlékezzünk vissza az exponenciális függvény definíciójára és alapvető tulajdonságaira. Az összes exponenciális egyenlet és egyenlőtlenség megoldása ezeken a tulajdonságokon alapul.

Exponenciális függvény az alak függvénye, ahol az alap a fok, és itt x a független változó, argumentum; y a függő változó, függvény.

Rizs. 1. Az exponenciális függvény grafikonja

A grafikon a növekvő és csökkenő exponenciálisokat mutatja, illusztrálva exponenciális függvény egynél nagyobb és egynél kisebb, de nullánál nagyobb bázissal.

Mindkét görbe áthalad a ponton (0;1)

Az exponenciális függvény tulajdonságai:

Tartomány: ;

Értéktartomány: ;

A funkció monoton, vel növekszik, vel csökken.

A monoton függvény minden egyes értékét egyetlen argumentumértékkel veszi fel.

Amikor az argumentum mínuszról plusz végtelenre nő, a függvény nulláról plusz végtelenre növekszik. Ellenkezőleg, amikor az argumentum mínuszról plusz végtelenre nő, a függvény végtelenről nullára csökken, nem inkluzív.

2. Szabványos exponenciális egyenletek megoldása

Emlékeztetjük, hogyan kell megoldani a legegyszerűbb exponenciális egyenleteket. Megoldásuk az exponenciális függvény monotonitásán alapul. Szinte minden összetett exponenciális egyenlet redukálható ilyen egyenletekre.

Kitevők egyenlősége at egyenlő alapon az exponenciális függvény tulajdonsága, nevezetesen a monotonitása miatt.

Megoldás módja:

Egyenlítse ki a fokok alapjait;

Tegye egyenlővé a kitevőket.

Térjünk át a bonyolultabb exponenciális egyenletekre, a célunk az, hogy mindegyiket a legegyszerűbbre redukáljuk.

Szabaduljunk meg a bal oldali gyökértől, és hozzuk a fokokat ugyanarra az alapra:

Annak érdekében, hogy egy összetett exponenciális egyenletet a legegyszerűbbre redukáljunk, gyakran alkalmazzák a változók helyettesítését.

Használjuk a teljesítmény tulajdonságot:

Bevezetünk egy cserét. Akkor legyen

A kapott egyenletet szorozzuk meg kettővel, és mozgassuk az összes tagot a bal oldalra:

Az első gyök nem elégíti ki az y értékek tartományát, ezért eldobjuk. Kapunk:

Csökkentsük a fokokat ugyanerre a mutatóra:

Mutassunk be egy cserét:

Akkor legyen . Egy ilyen cserénél nyilvánvaló, hog y szigorúan elfogadja pozitív értékeket. Kapunk:

Tudjuk, hogyan kell megoldani az ilyen másodfokú egyenleteket, felírhatjuk a választ:

A gyökök helyes megtalálásához ellenőrizheti Vieta tételét, azaz keresse meg a gyökök és szorzatuk összegét, és hasonlítsa össze őket az egyenlet megfelelő együtthatóival.

Kapunk:

3. Másodfokú homogén exponenciális egyenletek megoldásának módszertana

Tanulmányozzuk a következő fontos exponenciális egyenlettípusokat:

Az ilyen típusú egyenleteket az f és g függvények tekintetében másodfokú homogénnek nevezzük. A bal oldalán van másodfokú trinomikus f-hez képest g paraméterrel vagy másodfokú trinomiális g-hez f paraméterrel.

Megoldás módja:

Ezt az egyenletet másodfokú egyenletként is meg lehet oldani, de könnyebb másként csinálni. Két esetet kell figyelembe venni:

Az első esetben azt kapjuk

A második esetben jogunk van a legmagasabb fokozattal osztani, és megkapjuk:

Változóváltást kellene bevezetnünk, kapjuk másodfokú egyenlet y-hoz képest:

Vegyük észre, hogy az f és g függvények tetszőlegesek lehetnek, de minket az az eset érdekel, amikor ezek exponenciális függvények.

4. Példák homogén egyenletek megoldására

Vigyük át az összes tagot az egyenlet bal oldalára:

Mivel az exponenciális függvények szigorúan pozitív értékeket kapnak, jogunk van azonnal elosztani az egyenletet -vel, figyelmen kívül hagyva azt az esetet, amikor:

Kapunk:

Mutassunk be egy cserét: (az exponenciális függvény tulajdonságai szerint)

Kaptunk egy másodfokú egyenletet:

A gyököket Vieta tételével határozzuk meg:

Az első gyök nem elégíti ki y értéktartományát, eldobjuk, így kapjuk:

Használjuk a fokok tulajdonságait, és redukáljuk le az összes fokot egyszerű alapokra:

Könnyen észrevehető az f és g függvény:

Mivel az exponenciális függvények szigorúan pozitív értékeket kapnak, jogunk van azonnal elosztani az egyenletet -vel, anélkül, hogy figyelembe vennénk azt az esetet, amikor .

1º. Exponenciális egyenletek olyan egyenleteknek nevezzük, amelyek egy kitevőben változót tartalmaznak.

Az exponenciális egyenletek megoldása a hatványok tulajdonságán alapul: két azonos bázisú hatvány akkor és csak akkor egyenlő, ha a kitevőjük egyenlő.

2º. Alapvető módszerek exponenciális egyenletek megoldására:

1) a legegyszerűbb egyenletnek van megoldása;

2) az alapra logaritmikus alakú egyenlet a formára redukálni;

3) a forma egyenlete ekvivalens az egyenlettel;

4) a forma egyenlete egyenlő az egyenlettel.

5) az alak egyenletét egy egyenletre való behelyettesítéssel redukáljuk, majd egyszerű exponenciális egyenleteket oldunk meg;

6) egyenlet reciprokokkal behelyettesítéssel egyenletre redukálnak, majd egyenlethalmazt oldanak meg;

7) tekintetében homogének egyenletek a g(x)És b g(x) tekintettel arra típus behelyettesítéssel egyenletre redukálnak, majd egyenlethalmazt oldanak meg.

Exponenciális egyenletek osztályozása.

1. Az egyenletek úgy oldhatók meg, hogy egy bázisra megyünk.

18. példa Oldja meg az egyenletet! .

Megoldás: Használjuk ki, hogy minden hatványalap az 5-ös szám hatványa: .

2. Egy kitevőnek való átadással megoldott egyenletek.

Ezeket az egyenleteket úgy oldjuk meg, hogy az eredeti egyenletet a formára transzformáljuk , amelyet az arány tulajdonság segítségével a legegyszerűbbre redukálunk.

19. példa Oldja meg az egyenletet:

3. Az egyenletek úgy oldhatók meg, hogy a közös tényezőt kivesszük a zárójelekből.

Ha egy egyenletben minden kitevő egy bizonyos számmal különbözik a másiktól, akkor az egyenleteket úgy oldjuk meg, hogy a legkisebb kitevővel rendelkező kitevőt zárójelbe tesszük.

20. példa Oldja meg az egyenletet!

Megoldás: Vegyük ki az egyenlet bal oldalán lévő zárójelekből a legkisebb kitevővel rendelkező fokot:

21. példa Oldja meg az egyenletet!

Megoldás: Csoportosítsuk külön az egyenlet bal oldalán a 4-es, a jobb oldalon - a 3-as hatványokat tartalmazó kifejezéseket, majd a legkisebb kitevővel rendelkező hatványokat tegyük zárójelbe:

4. Másodfokú (vagy köbös) egyenletekre redukáló egyenletek.

A következő egyenletek egy új y változó másodfokú egyenletévé redukálódnak:

a) a helyettesítés típusa, ebben az esetben;

b) a helyettesítés típusa és .

22. példa Oldja meg az egyenletet! .

Megoldás: Változtassuk meg a változót, és oldjuk meg a másodfokú egyenletet:

.

Válasz: 0; 1.

5. Az exponenciális függvények tekintetében homogének egyenletek.

A forma egyenlete az homogén egyenlet másodfokú az ismeretlenekhez képest egy xÉs b x. Az ilyen egyenleteket úgy redukáljuk, hogy először mindkét oldalt elosztjuk másodfokú egyenletekkel, majd behelyettesítjük őket másodfokú egyenletekbe.

23. példa Oldja meg az egyenletet!

Megoldás: Ossza el az egyenlet mindkét oldalát:

Feltételezve egy másodfokú egyenletet kapunk gyökökkel.

Most a probléma egy egyenletsor megoldása . Az első egyenletből azt találjuk, hogy . A második egyenletnek nincs gyöke, hiszen bármely értékhez x.

Válasz: -1/2.

6. Racionális egyenletek az exponenciális függvényekre vonatkozóan.

24. példa Oldja meg az egyenletet!

Megoldás: Ossza el a tört számlálóját és nevezőjét ezzel 3 xés kettő helyett egy exponenciális függvényt kapunk:

7. A forma egyenletei .

Az ilyen, a feltétel által meghatározott megengedett értékkészlettel (APV) rendelkező egyenletek az egyenlet mindkét oldalának logaritmusának figyelembevételével egy ekvivalens egyenletre redukálódnak, amelyek viszont egyenértékűek egy két egyenletből álló halmazzal vagy.

25. példa Oldja meg az egyenletet: .

.

Didaktikai anyag.

Oldja meg az egyenleteket:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

9. ; 10. ; 11. ;

14. ; 15. ;

16. ; 17. ;

18. ; 19. ;

20. ; 21. ;

22. ; 23. ;

24. ; 25. .

26. Határozza meg az egyenlet gyökeinek szorzatát! .

27. Határozza meg az egyenlet gyökeinek összegét! .

Keresse meg a kifejezés jelentését:

28. , hol x 0- az egyenlet gyöke ;

29. , hol x 0– az egyenlet teljes gyöke .

Oldja meg az egyenletet:

31. ; 32. .

Válaszok: 10; 2. -2/9; 3. 1/36; 4, 0, 0,5; 50; 6,0; 7. -2; 8,2; 9. 1, 3; 10. 8; 11,5; 12,1; 13. ¼; 14,2; 15. -2, -1; 16. -2, 1; 17,0; 18,1; 19,0; 20. -1, 0; 21. -2, 2; 22. -2, 2; 23,4; 24. -1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0,3; 27,3; 28,11; 29,54; 30. -1, 0, 2, 3; 31. ; 32. .

8. témakör.

Exponenciális egyenlőtlenségek.

1º. A kitevőben változót tartalmazó egyenlőtlenséget nevezzük exponenciális egyenlőtlenség.

2º. A forma exponenciális egyenlőtlenségeinek megoldása a következő állításokon alapul:

ha , akkor az egyenlőtlenség ekvivalens ;

ha , akkor az egyenlőtlenség ekvivalens .

Az exponenciális egyenlőtlenségek megoldásánál ugyanazokat a technikákat alkalmazzuk, mint az exponenciális egyenletek megoldásánál.

26. példa Oldja meg az egyenlőtlenséget (az egy bázisra való áttérés módja).

Megoldás: Mivel , akkor az adott egyenlőtlenség így írható fel: . Mivel , akkor ez az egyenlőtlenség egyenlő az egyenlőtlenséggel .

Az utolsó egyenlőtlenséget megoldva azt kapjuk, hogy .

27. példa Oldja meg az egyenlőtlenséget: ( a közös tényező zárójelből való kiemelésével).

Megoldás: Vegyünk ki a zárójelekből az egyenlőtlenség bal oldalán, az egyenlőtlenség jobb oldalán, és osszuk el az egyenlőtlenség mindkét oldalát (-2-vel), megváltoztatva az egyenlőtlenség előjelét az ellenkezőjére:

Mivel , majd a mutatók egyenlőtlenségére lépve az egyenlőtlenség előjele ismét az ellenkezőjére változik. Kapunk. Így ennek az egyenlőtlenségnek az összes megoldásának halmaza az intervallum.

28. példa Oldja meg az egyenlőtlenséget ( új változó bevezetésével).

Megoldás: Hagyjuk. Ekkor ez az egyenlőtlenség a következő formában jelenik meg: vagy , melynek megoldása az intervallum .

Innen. Mivel a függvény növekszik, akkor .

Didaktikai anyag.

Adja meg az egyenlőtlenség megoldásainak halmazát:

1. ; 2. ; 3. ;

6. Milyen értékeken x A függvénygrafikon pontjai az egyenes alatt helyezkednek el?

7. Milyen értékeken x A függvény grafikonjának pontjai legalább olyan magasan helyezkednek el, mint az egyenes?

Oldja meg az egyenlőtlenséget:

8. ; 9. ; 10. ;

13. Adja meg az egyenlőtlenség legnagyobb egész számú megoldását! .

14. Határozza meg az egyenlőtlenség legnagyobb egészének és legkisebb egész számú megoldásának szorzatát! .

Oldja meg az egyenlőtlenséget:

15. ; 16. ; 17. ;

18. ; 19. ; 20. ;

21. ; 22. ; 23. ;

24. ; 25. ; 26. .

Keresse meg a függvény tartományát:

27. ; 28. .

29. Keresse meg azon argumentumértékek halmazát, amelyeknél az egyes függvények értéke nagyobb 3-nál:

És .

Válaszok: 11,3; 12,3; 13. -3; 14,1; 15. (0; 0,5); 16. ; 17. (-1; 0)U(3; 4); 18. [-2; 2]; 19. (0; +∞); 20. (0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0,5; +∞); 23. (0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0; 2]; 26. (3; 3.5)U (4; +∞); 27. (-∞; 3)U(5); 28. )