Lineáris homogén egyenletrendszerek. Mi az a homogén lineáris egyenletrendszer

Folytatjuk a technológiánk csiszolását elemi átalakulások tovább homogén rendszer lineáris egyenletek .
Az első bekezdések alapján az anyag unalmasnak és középszerűnek tűnhet, de ez a benyomás csalóka. A technikák továbbfejlesztése mellett sok új információ is lesz, ezért kérjük, ne hanyagolja el a cikkben szereplő példákat.

Mi az a homogén lineáris egyenletrendszer?

A válasz önmagát sugallja. Egy lineáris egyenletrendszer homogén, ha a szabad tag mindenki a rendszer egyenlete nulla. Például:

Ez teljesen egyértelmű a homogén rendszer mindig konzisztens, vagyis mindig van megoldás. És mindenekelőtt ami megakad a szemedben, az az ún jelentéktelen megoldás . A triviális, azoknak, akik egyáltalán nem értik a jelző jelentését, azt jelenti, hogy nem mutatkozik. Persze nem akadémikusan, de érthetően =) ...Miért vergődni, nézzük meg, van-e más megoldása ennek a rendszernek:

1. példa

Megoldás: homogén rendszer megoldásához meg kell írni rendszermátrixés elemi transzformációk segítségével hozzák azt lépcsős nézet. Kérjük, vegye figyelembe, hogy itt nem kell felírni a függőleges sávot és a szabad kifejezések nulla oszlopát - elvégre bármit is csinál a nullákkal, azok nullák maradnak:

(1) Az első sort hozzáadtuk a másodikhoz, megszorozva –2-vel. Az első sort hozzáadtuk a harmadikhoz, megszorozva –3-mal.

(2) A második sort hozzáadtuk a harmadikhoz, megszorozva –1-gyel.

A harmadik sort 3-mal osztani nem sok értelme van.

Az elemi átalakítások eredményeként egy ekvivalens homogén rendszert kapunk , és a Gauss-módszer inverzével könnyen ellenőrizhető, hogy a megoldás egyedi-e.

Válasz:

Fogalmazzunk meg egy nyilvánvaló kritériumot: egy homogén lineáris egyenletrendszer rendelkezik csak triviális megoldás, Ha rendszermátrix rang(jelen esetben 3) egyenlő a változók számával (ebben az esetben – 3 darab).

Melegítsük be és hangoljuk rádiónkat az elemi átalakulások hullámára:

2. példa

Oldjon meg egy homogén lineáris egyenletrendszert!

Az algoritmus végleges konszolidálásához elemezzük a végső feladatot:

7. példa

Oldjon meg egy homogén rendszert, írja le a választ vektoros formában!

Megoldás: írjuk fel a rendszer mátrixát, és elemi transzformációkkal hozzuk lépésenkénti formába:

(1) Az első sor jele megváltozott. Ismételten felhívom a figyelmet egy sokszor találkozott technikára, amivel jelentősen leegyszerűsítheti a következő műveletet.

(1) Az első sor hozzáadásra került a 2. és 3. sorhoz. Az első sort 2-vel megszorozva hozzáadtuk a 4. sorhoz.

(3) Az utolsó három sor arányos, ebből kettőt eltávolítottak.

Ennek eredményeként szabványos lépésmátrixot kapunk, és a megoldás a recézett pályán folytatódik:

– alapváltozók;
– szabad változók.

Az alapváltozókat fejezzük ki szabad változókkal. A 2. egyenletből:

– cserélje be az 1. egyenletbe:

És így, közös döntés:

Mivel a vizsgált példában három szabad változó van, az alaprendszer három vektort tartalmaz.

Cseréljük be az értékek hármasát az általános megoldásba, és kapjunk egy vektort, amelynek koordinátái kielégítik a homogén rendszer minden egyenletét. És ismét megismétlem, hogy nagyon tanácsos minden egyes fogadott vektort ellenőrizni - ez nem fog sok időt igénybe venni, de teljesen megvédi Önt a hibáktól.

Az értékek hármasáért keresse meg a vektort

És végül a háromnak megkapjuk a harmadik vektort:

Válasz: , Ahol

Azok, akik szeretnék elkerülni a tört értékeket, fontolóra vehetik a hármasokat és kapjon választ egyenértékű formában:

Ha már a törtekről beszélünk. Nézzük meg a feladatban kapott mátrixot és tegyük fel magunknak a kérdést: lehetséges-e egyszerűsíteni a további megoldást? Hiszen itt először az alapváltozót fejeztük ki törtekkel, majd törtekkel az alapváltozót, és meg kell mondjam, ez a folyamat nem volt a legegyszerűbb és nem a legkellemesebb.

Második megoldás:

Az ötlet az, hogy megpróbáljuk válasszon más bázisváltozókat. Nézzük meg a mátrixot, és vegyünk észre kettőt a harmadik oszlopban. Akkor miért ne lehetne nulla a tetején? Végezzünk el még egy elemi átalakítást:

Olyan lineáris egyenletrendszert nevezünk, amelyben minden szabad tag egyenlő nullával homogén :

Bármely homogén rendszer mindig konzisztens, hiszen mindig is az volt nulla (jelentéktelen ) megoldást. Felmerül a kérdés, hogy milyen feltételek mellett lesz egy homogén rendszernek nem triviális megoldása.

5.2. Tétel.Egy homogén rendszernek akkor és csak akkor van nemtriviális megoldása, ha az alapul szolgáló mátrix rangja kevesebb szám az ismeretlenek.

Következmény. Egy négyzet alakú homogén rendszernek akkor és csak akkor van nemtriviális megoldása, ha a rendszer főmátrixának determinánsa nem egyenlő nullával.

5.6. példa. Határozza meg az l paraméter azon értékeit, amelyeknél a rendszernek nemtriviális megoldásai vannak, és keresse meg ezeket a megoldásokat:

Megoldás. Ennek a rendszernek nem triviális megoldása lesz, ha a fő mátrix determinánsa egyenlő nullával:

Így a rendszer nem triviális, ha l=3 vagy l=2. l=3 esetén a rendszer főmátrixának rangja 1. Ekkor csak egy egyenletet hagyva, feltételezve, hogy y=aÉs z=b, kapunk x=b-a, azaz

l=2 esetén a rendszer főmátrixának rangja 2. Ezután a mollot választva alapul:

egyszerűsített rendszert kapunk

Innentől azt találjuk x=z/4, y=z/2. hinni z=4a, kapunk

Egy homogén rendszer összes megoldásának halmaza nagyon fontos lineáris tulajdonság : ha az X oszlopok 1 és X 2 - homogén rendszer megoldásai AX = 0, akkor ezek bármely lineáris kombinációja a x 1 + b x 2 megoldás lesz erre a rendszerre is. Valóban, azóta FEJSZE 1 = 0 És FEJSZE 2 = 0 , Azt A(a x 1 + b x 2) = a FEJSZE 1 + b FEJSZE 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Ennek a tulajdonságnak köszönhető, hogy ha egy lineáris rendszernek több megoldása van, akkor ezekből a megoldásokból végtelen sok lesz.

Lineárisan független oszlopok E 1 , E 2 , Ek, amelyek egy homogén rendszer megoldásai, úgynevezett alapvető megoldási rendszer homogén lineáris egyenletrendszer, ha ennek a rendszernek az általános megoldása felírható ezen oszlopok lineáris kombinációjaként:

Ha egy homogén rendszer rendelkezik n változók, és a rendszer főmátrixának rangja egyenlő r, Azt k = n-r.

5.7. példa. Keresse meg a következő lineáris egyenletrendszer alapvető megoldási rendszerét:

Megoldás. Keressük meg a rendszer főmátrixának rangját:

Így ennek az egyenletrendszernek a megoldási halmaza a dimenzió lineáris alterét alkotja n-r= 5 - 2 = 3. Válasszunk alapnak moll

.

Ezután csak az alapegyenleteket (a többi ezen egyenletek lineáris kombinációja lesz) és az alapváltozókat (a többit, az ún. szabad változókat jobbra mozgatjuk) meghagyva egy egyszerűsített egyenletrendszert kapunk:

hinni x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, találunk

, .

hinni a= 1, b = c= 0, megkapjuk az első alapmegoldást; hinni b= 1, a = c= 0, megkapjuk a második alapmegoldást; hinni c= 1, a = b= 0, akkor a harmadik alapmegoldást kapjuk. Ennek eredményeként a megoldások normál alapvető rendszere fog formát ölteni

Az alaprendszer segítségével egy homogén rendszer általános megoldása így írható fel

x = aE 1 + lenni 2 + cE 3. a

Figyeljünk meg néhány inhomogén lineáris egyenletrendszer megoldási tulajdonságait AX=Bés kapcsolatuk a megfelelő homogén egyenletrendszerrel AX = 0.

Inhomogén rendszer általános megoldásaegyenlő a megfelelő homogén rendszer AX = 0 általános megoldásának és az inhomogén rendszer tetszőleges egyedi megoldásának összegével. Valóban, hagyjuk Y A 0 egy inhomogén rendszer tetszőleges partikuláris megoldása, pl. AY 0 = B, És Y- heterogén rendszer általános megoldása, azaz. AY=B. Ha kivonjuk az egyik egyenlőséget a másikból, azt kapjuk
A(Y-Y 0) = 0, azaz Y-Y 0 a megfelelő homogén rendszer általános megoldása FEJSZE=0. Ennélfogva, Y-Y 0 = x, vagy Y=Y 0 + x. Q.E.D.

Legyen az inhomogén rendszer AX = B alakú 1 + B 2 . Ekkor egy ilyen rendszer általános megoldása X = X formában írható fel 1 + x 2 , ahol AX 1 = B 1 és AX 2 = B 2. Ez a tulajdonság bármely egyetemes tulajdonságát fejezi ki lineáris rendszerek(algebrai, differenciális, funkcionális stb.). A fizikában ezt a tulajdonságot ún szuperpozíció elve, az elektro- és rádiótechnikában - szuperpozíció elve. Például a lineáris elméletben elektromos áramkörök bármely áramkörben az áramot úgy kaphatjuk meg algebrai összeg az egyes energiaforrások által okozott áramok külön-külön.

Az iskolában mindannyian egyenleteket és valószínűleg egyenletrendszereket tanultunk. De kevesen tudják, hogy többféle megoldás is létezik ezekre. Ma részletesen elemezzük a kettőnél több egyenlőségből álló lineáris algebrai egyenletrendszer megoldásának összes módszerét.

Sztori

Ma már ismert, hogy az egyenletek és rendszereik megoldásának művészete az ókori Babilonból és Egyiptomból származik. Az egyenlőségek ismerős formájukban azonban az "=" egyenlőségjel megjelenése után jelentek meg, amelyet 1556-ban vezetett be az angol matematikus Record. Ezt a jelet egyébként okkal választották: két párhuzamos egyenlő szegmenst jelent. És ez igaz legjobb példa az egyenlőséget nem lehet kitalálni.

Az ismeretlenek és a fokozatok jeleinek modern betűjelölésének megalapítója egy francia matematikus, azonban elnevezései jelentősen eltértek a maiaktól. Például egy ismeretlen szám négyzetét Q betűvel jelölte (lat. „quadratus”), egy kockát pedig C betűvel (lat. „cubus”). Ez a jelölés most kínosnak tűnik, de akkoriban ez volt a legérthetőbb módja a lineáris algebrai egyenletrendszerek felírásának.

Az akkori megoldási módszerek hibája azonban az volt, hogy a matematikusok csak a pozitív gyököket vették figyelembe. Talán ez annak köszönhető, hogy negatív értékeket nem volt praktikus alkalmazás. Így vagy úgy, Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano és Raphael Bombelli olasz matematikusok voltak az elsők, akik a 16. században negatív gyökereket számoltak. A modern megjelenés, a fő megoldási módszer (a diszkrimináns révén) csak a 17. században jött létre Descartes és Newton munkásságának köszönhetően.

A 18. század közepén Gabriel Cramer svájci matematikus megtalálta új út hogy megkönnyítsék a lineáris egyenletrendszerek megoldását. Ezt a módszert később róla nevezték el, és a mai napig alkalmazzuk. De Cramer módszeréről egy kicsit később beszélünk, de most beszéljük meg a lineáris egyenleteket és a megoldási módszereket a rendszertől elkülönítve.

Lineáris egyenletek

A lineáris egyenletek a legegyszerűbb egyenletek változóval (változókkal). Algebrainak minősülnek. általános formában a következőképpen írva: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b. A későbbi rendszerek és mátrixok összeállításakor ebben a formában kell ábrázolnunk őket.

Lineáris algebrai egyenletrendszerek

Ennek a kifejezésnek a definíciója: olyan egyenletek halmaza, amelyek közös ismeretlen mennyiségekkel és közös megoldással rendelkeznek. Általában az iskolában mindenki két vagy akár három egyenletből álló rendszereket oldott meg. De léteznek négy vagy több összetevőből álló rendszerek. Először is találjuk ki, hogyan írjuk le őket, hogy a jövőben kényelmesen megoldható legyen. Először is, a lineáris algebrai egyenletrendszerek jobban fognak kinézni, ha minden változót x-ként írunk le a megfelelő alsó indexszel: 1,2,3 stb. Másodszor, minden egyenletet kanonikus formába kell hozni: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b.

Mindezen lépések után elkezdhetünk beszélni arról, hogyan lehet megoldást találni a lineáris egyenletrendszerekre. A mátrixok nagyon hasznosak lesznek ehhez.

Mátrixok

A mátrix egy táblázat, amely sorokból és oszlopokból áll, és ezek metszéspontjában vannak elemei. Ezek lehetnek konkrét értékek vagy változók. Leggyakrabban az elemek jelzésére alsó indexeket helyeznek el (például 11 ​​vagy 23). Az első index a sorszámot jelenti, a második pedig az oszlop számát. A mátrixokon különféle műveletek végezhetők, mint bármely más matematikai elemmel. Így a következőket teheti:

2) Szorozz meg egy mátrixot tetszőleges számmal vagy vektorral.

3) Transzponálás: a mátrixsorokat oszlopokká, az oszlopokat pedig sorokká alakítja.

4) Szorozzuk meg a mátrixokat, ha az egyik sorainak száma megegyezik a másik oszlopainak számával.

Beszéljük meg ezeket a technikákat részletesebben, mivel a jövőben hasznosak lesznek számunkra. A mátrixok kivonása és összeadása nagyon egyszerű. Mivel azonos méretű mátrixokat veszünk, az egyik táblázat minden eleme korrelál a másik táblázat minden elemével. Így ezt a két elemet összeadjuk (kivonjuk) (fontos, hogy a mátrixukban ugyanazokon a helyeken álljanak). Amikor egy mátrixot megszoroz egy számmal vagy vektorral, egyszerűen megszorozza a mátrix minden elemét ezzel a számmal (vagy vektorral). Az átültetés nagyon érdekes folyamat. Nagyon érdekes néha látni őt való élet például egy táblagép vagy telefon tájolásának megváltoztatásakor. Az asztalon lévő ikonok egy mátrixot képviselnek, és ha a pozíció megváltozik, az áthelyeződik és szélesedik, de csökken a magassága.

Nézzünk egy másik folyamatot, mint például: Habár nem lesz rá szükségünk, mégis hasznos lesz megismerni. Két mátrixot csak akkor szorozhat meg, ha az egyik táblázatban az oszlopok száma megegyezik a másik táblázatban lévő sorok számával. Most vegyük az egyik mátrix egy sorának elemeit és egy másik mátrix megfelelő oszlopának elemeit. Szorozzuk meg őket egymással, majd adjuk össze (azaz például az a 11 és a 12 elemek szorzata b 12-vel és b 22-vel egyenlő lesz: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Így megkapjuk a táblázat egyik elemét, amelyet hasonló módszerrel töltünk tovább.

Most elkezdhetjük megvizsgálni, hogyan lehet megoldani egy lineáris egyenletrendszert.

Gauss módszer

Ezzel a témával az iskolában kezdenek foglalkozni. Jól ismerjük a „két lineáris egyenletrendszer” fogalmát, és tudjuk, hogyan kell megoldani őket. De mi van akkor, ha az egyenletek száma kettőnél több? Ez segíteni fog nekünk

Természetesen ez a módszer kényelmesen használható, ha mátrixot készítünk a rendszerből. De nem kell átalakítani és tiszta formájában megoldani.

Tehát hogyan oldja meg ez a módszer a lineáris Gauss-egyenletrendszert? Egyébként, bár ezt a módszert róla nevezték el, az ókorban fedezték fel. Gauss a következőket javasolja: hajtsunk végre műveleteket egyenletekkel annak érdekében, hogy végül a teljes halmazt lépcsőzetes formára redukáljuk. Azaz szükséges, hogy fentről lefelé (ha helyesen van elrendezve) az első egyenlettől az utolsóig csökkenjen az ismeretlen. Vagyis ügyelnünk kell arra, hogy mondjuk három egyenletet kapjunk: az elsőben három ismeretlen, a másodikban kettő, a harmadikban egy. Ezután az utolsó egyenletből megkeressük az első ismeretlent, behelyettesítjük az értékét a második vagy első egyenletbe, majd megkeressük a maradék két változót.

Cramer módszer

A módszer elsajátításához létfontosságú a mátrixok összeadásának és kivonásának készsége, valamint meg kell tudni találni a determinánsokat. Ezért, ha mindezt rosszul csinálja, vagy egyáltalán nem tudja, hogyan kell, tanulnia és gyakorolnia kell.

Mi ennek a módszernek a lényege, és hogyan lehet úgy elkészíteni, hogy lineáris Cramer-egyenletrendszert kapjunk? Minden nagyon egyszerű. Meg kell alkotnunk egy lineáris algebrai egyenletrendszer numerikus (majdnem mindig) együtthatóiból álló mátrixot. Ehhez egyszerűen az ismeretlenek elé vesszük a számokat, és egy táblázatba rendezzük a rendszerbe való beírásuk sorrendjében. Ha a szám előtt „-” jel van, akkor negatív együtthatót írunk fel. Összeállítottuk tehát az ismeretlenek együtthatóinak első mátrixát, amely nem tartalmazza az egyenlőségjelek utáni számokat (természetesen az egyenletet kanonikus formára kell redukálni, ha csak a szám van a jobb oldalon, és az összes együtthatós ismeretlen A bal). Ezután több további mátrixot kell létrehoznia - minden változóhoz egyet. Ehhez az első mátrixban minden oszlopot együtthatókkal helyettesítünk az egyenlőségjel utáni számokkal. Így több mátrixot kapunk, majd megtaláljuk a determinánsukat.

Miután megtaláltuk a meghatározókat, ez egy kis dolog. Van egy kezdeti mátrixunk, és több eredő mátrix van, amelyek különböző változóknak felelnek meg. A rendszer megoldásainak megszerzéséhez elosztjuk a kapott táblázat determinánsát a kezdeti tábla determinánsával. A kapott szám az egyik változó értéke. Hasonlóképpen megtaláljuk az összes ismeretlent.

Egyéb módszerek

Számos további módszer létezik a lineáris egyenletrendszerek megoldására. Például az úgynevezett Gauss-Jordan módszer, amellyel megoldásokat találnak a rendszerre másodfokú egyenletekés a mátrixok használatával is összefügg. Létezik a Jacobi-módszer is egy lineáris algebrai egyenletrendszer megoldására. Ez a legkönnyebben adaptálható számítógéphez, és a számítástechnikában használják.

Összetett esetek

A bonyolultság általában akkor merül fel, ha az egyenletek száma kevesebb, mint a változók száma. Ekkor biztosan kijelenthetjük, hogy a rendszer vagy inkonzisztens (vagyis nincs gyökere), vagy a megoldásainak száma a végtelenbe hajlik. Ha megvan a második eset, akkor fel kell írnunk a lineáris egyenletrendszer általános megoldását. Legalább egy változót tartalmazni fog.

Következtetés

Itt a végére értünk. Összefoglalva: rájöttünk, mi a rendszer és a mátrix, és megtanultuk, hogyan találjunk általános megoldást egy lineáris egyenletrendszerre. Ezen kívül más lehetőségeket is mérlegeltünk. Megtudtuk, hogyan kell megoldani egy lineáris egyenletrendszert: a Gauss-módszert és beszéltünk róla nehéz esetekés egyéb megoldások keresésének módjai.

Valójában ez a téma sokkal kiterjedtebb, és ha jobban meg akarja érteni, javasoljuk, hogy olvassa el a szakirodalmat.

Hadd M 0 – egy homogén lineáris egyenletrendszer (4) megoldásainak halmaza.

Meghatározás 6.12. Vektorok Val vel 1 ,Val vel 2 , …, p, amelyek egy homogén lineáris egyenletrendszer megoldásai az úgynevezett alapvető megoldáskészlet(rövidítve FNR), ha

1) vektorok Val vel 1 ,Val vel 2 , …, p lineárisan független (azaz egyik sem fejezhető ki a többivel);

2) egy homogén lineáris egyenletrendszer bármely más megoldása kifejezhető megoldásokkal Val vel 1 ,Val vel 2 , …, p.

Vegye figyelembe, hogy ha Val vel 1 ,Val vel 2 , …, p– bármely f.n.r., majd a kifejezés k 1× Val vel 1 + k 2× Val vel 2 + … + k p× p leírhatod az egész készletet M 0 megoldása a (4) rendszernek, így hívják a rendszermegoldás általános képe (4).

6.6. Tétel. Bármely határozatlan homogén lineáris egyenletrendszernek van alapvető megoldási halmaza.

A megoldások alapvető halmazának megtalálásának módja a következő:

Általános megoldást találni egy homogén lineáris egyenletrendszerre;

Épít ( n – r) ennek a rendszernek a részmegoldásai, míg a szabad ismeretlenek értékeinek identitásmátrixot kell alkotniuk;

Letisztáz általános forma megoldások tartalmazzák M 0 .

6.5. példa. Keressen egy alapvető megoldást a következő rendszerhez:

Megoldás. Keressünk egy általános megoldást erre a rendszerre.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ Öt ismeretlen van ebben a rendszerben ( n= 5), amelyből két fő ismeretlen van ( r= 2), három szabad ismeretlen van ( n – r), azaz az alapvető megoldáshalmaz három megoldási vektort tartalmaz. Építsük meg őket. Nekünk van x 1 és x 3 – fő ismeretlenek, x 2 , x 4 , x 5 – szabad ismeretlenek

Szabad ismeretlenek értékei x 2 , x 4 , x 5 alkotják az identitásmátrixot E harmadik rend. Megvannak a vektorok Val vel 1 ,Val vel 2 , Val vel 3 forma f.n.r. ennek a rendszernek. Ekkor ennek a homogén rendszernek a megoldásainak halmaza lesz M 0 = {k 1× Val vel 1 + k 2× Val vel 2 + k 3× Val vel 3 , k 1 , k 2 , k 3 О R).

Nézzük most meg egy homogén lineáris egyenletrendszer nullától eltérő megoldásainak létezésének feltételeit, más szóval egy alapvető megoldáshalmaz létezésének feltételeit.

Egy homogén lineáris egyenletrendszernek vannak nem nullától eltérő megoldásai, vagyis bizonytalan, hogy

1) a rendszer főmátrixának rangja kisebb, mint az ismeretlenek száma;

2) egy homogén lineáris egyenletrendszerben az egyenletek száma kevesebb, mint az ismeretlenek száma;

3) ha egy homogén lineáris egyenletrendszerben az egyenletek száma egyenlő az ismeretlenek számával, és a főmátrix determinánsa egyenlő nullával (azaz | A| = 0).

6.6. példa. Milyen paraméterértéken a homogén lineáris egyenletrendszer vannak nem nulla megoldások?

Megoldás. Állítsuk össze ennek a rendszernek a főmátrixát és keressük meg a determinánsát: = = 1×(–1) 1+1 × = – A– 4. Ennek a mátrixnak a determinánsa egyenlő nullával a = –4.

Válasz: –4.

7. Számtan n-dimenziós vektortér

Alapfogalmak

BAN BEN korábbi szakaszok Találkoztunk már a valós számok meghatározott sorrendbe rendezett halmazának fogalmával. Ez egy sormátrix (vagy oszlopmátrix) és egy lineáris egyenletrendszer megoldása n ismeretlen. Ez az információ összefoglalható.

Meghatározás 7.1. n-dimenziós aritmetikai vektor rendezett halmazának nevezzük n valós számok.

Eszközök A= (a 1 , a 2 , …, a n), hol egy énО R, én = 1, 2, …, n– a vektor általános képe. Szám n hívott dimenzió vektorok és számok a én az övének nevezik koordináták.

Például: A= (1, –8, 7, 4, ) – ötdimenziós vektor.

Minden kész n-dimenziós vektorokat általában úgy jelöljük Rn.

Meghatározás 7.2. Két vektor A= (a 1 , a 2 , …, a n) És b= (b 1 , b 2 , …, b n) azonos méretű egyenlő akkor és csak akkor, ha a megfelelő koordinátáik egyenlőek, azaz a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= b n.

Meghatározás 7.3.Összeg kettő n-dimenziós vektorok A= (a 1 , a 2 , …, a n) És b= (b 1 , b 2 , …, b n) vektornak nevezzük a + b= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, …, a n+b n).

Meghatározás 7.4. A munka valós szám k vektorhoz A= (a 1 , a 2 , …, a n) vektornak nevezzük k× A = (k×a 1, k×a 2 , …, k×a n)

Meghatározás 7.5. Vektor O= (0, 0, …, 0) meghívásra kerül nulla(vagy null vektor).

Könnyen ellenőrizhető, hogy a vektorok összeadásának és valós számmal való szorzásának műveletei (műveletei) a következő tulajdonságokkal rendelkeznek: a, b, c Î Rn, " k, lО R:

1) a + b = b + a;

2) a + (b+ c) = (a + b) + c;

3) a + O = a;

4) a+ (–a) = O;

5) 1× a = a, 1 О R;

6) k×( l× a) = l×( k× a) = (l× k)× a;

7) (k + l)× a = k× a + l× a;

8) k×( a + b) = k× a + k× b.

Meghatározás 7.6. Egy csomó Rn a vektorok összeadása és a rajta megadott valós számmal való szorzás műveleteivel nevezzük aritmetikai n-dimenziós vektortér.

A szolgáltatás célja. Az online számológépet úgy tervezték, hogy egy nem triviális és alapvető megoldást találjon az SLAE-hez. Az eredményül kapott megoldás Word fájlba kerül (lásd a megoldás példáját).

Utasítás. Mátrixdimenzió kiválasztása:

Lineáris homogén egyenletrendszerek tulajdonságai

Tétel. Egy rendszernek m=n esetben akkor és csak akkor van nemtriviális megoldása, ha ennek a rendszernek a determinánsa nulla.

Tétel. A megoldások bármely lineáris kombinációja egy rendszerre egyben megoldás is a rendszerre.
Meghatározás. A lineáris homogén egyenletrendszer megoldásainak halmazát ún alapvető megoldási rendszer, ha ez a halmaz lineárisan független megoldásokból áll, és a rendszer bármely megoldása ezen megoldások lineáris kombinációja.

Tétel. Ha a rendszermátrix r rangja kisebb, mint az n ismeretlenek száma, akkor létezik egy alapvető megoldási rendszer, amely (n-r) megoldásokból áll.

Algoritmus lineáris homogén egyenletrendszerek megoldására

1. A mátrix rangjának megkeresése.
2. Kiválasztjuk az alapmollt. Megkülönböztetünk függő (alap) és szabad ismeretleneket.
3. Áthúzzuk a rendszer azon egyenleteit, amelyek együtthatói nem szerepelnek a bázis-mollban, mivel ezek a többi (a tétel alapján a moll) következményei.
4. A szabad ismeretleneket tartalmazó egyenletek tagjait a jobb oldalra mozgatjuk. Ennek eredményeként egy r egyenletrendszert kapunk, amelyben r ismeretlen, ekvivalens az adott egyenletnek, amelynek determinánsa nem nulla.
5. A kapott rendszert az ismeretlenek kiiktatásával oldjuk meg. A függő változókat szabadon keresztül kifejező kapcsolatokat találunk.
6. Ha a mátrix rangja nem egyenlő a változók számával, akkor megtaláljuk a rendszer alapvető megoldását.
7. A cseng = n esetben van egy triviális megoldásunk.

Példa. Keresse meg a vektorrendszer alapját (a 1, a 2,...,a m), rangsorolja és fejezze ki a vektorokat az alap alapján! Ha a 1 =(0,0,1,-1), és 2 =(1,1,2,0), és 3 =(1,1,1,1), és 4 =(3,2,1 ,4), és 5 =(2,1,0,3).
Írjuk fel a rendszer fő mátrixát: