온라인 2차 미분 방정식의 일반 솔루션입니다. 온라인으로 미분 방정식 풀기

I. 상미분방정식

1.1. 기본 개념 및 정의

미분 방정식은 독립 변수와 관련된 방정식입니다. 엑스, 필요한 기능 와이그리고 그 파생상품이나 미분상품.

기호적으로 미분 방정식은 다음과 같이 작성됩니다.

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

필요한 함수가 하나의 독립 변수에 의존하는 경우 미분 방정식을 일반 방정식이라고 합니다.

미분 방정식 풀기이 방정식을 항등식으로 바꾸는 함수라고 합니다.

미분방정식의 차수이 방정식에 포함된 가장 높은 도함수의 차수입니다.

예.

1. 1차 미분방정식을 고려해보세요

이 방정식의 해는 함수 y = 5 ln x입니다. 실제로 대체 와이"방정식에 우리는 항등식을 얻습니다.

그리고 이는 함수 y = 5 ln x–가 이 미분 방정식의 해라는 것을 의미합니다.

2. 2차 미분방정식을 고려해보세요 y" - 5y" +6y = 0. 함수는 이 방정식의 해입니다.

정말, .

이러한 표현을 방정식에 대입하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

그리고 이는 함수가 이 미분 방정식의 해라는 것을 의미합니다.

미분방정식 적분해결책을 찾는 과정이라고 합니다 미분 방정식.

미분방정식의 일반해형태의 함수라고 불린다. , 이는 방정식의 차수만큼 독립적인 임의 상수를 포함합니다.

미분방정식의 부분해는 임의의 상수의 다양한 수치에 대한 일반해로부터 구한 해이다. 임의의 상수 값은 인수와 함수의 특정 초기 값에서 발견됩니다.

미분 방정식에 대한 특정 해의 그래프를 다음과 같이 부릅니다. 적분 곡선.

예

1. 1차 미분방정식에 대한 특정 해 찾기

xdx + ydy = 0, 만약에 와이= 4시에 엑스 = 3.

해결책. 방정식의 양쪽을 통합하면, 우리는 다음을 얻습니다:

논평. 적분의 결과로 얻은 임의의 상수 C는 추가 변환에 편리한 어떤 형태로든 표시될 수 있습니다. 이 경우 원의 정식 방정식을 고려하면 임의의 상수 C를 형식으로 표현하는 것이 편리합니다.

- 공동의 결정미분 방정식.

초기 조건을 만족하는 방정식의 특정 해 와이 = 4시에 엑스 = 3은 초기 조건을 일반 해에 대입하여 일반 해에서 구합니다. 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

C=5를 일반해에 대입하면 다음을 얻습니다. x 2 +y 2 = 5 2 .

이는 주어진 초기 조건 하에서 일반 해로부터 얻은 미분 방정식에 대한 특정 해입니다.

2. 미분방정식의 일반해 찾기

이 방정식의 해는 C가 임의의 상수인 형태의 함수입니다. 실제로 방정식을 대체하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

결과적으로, 이 미분 방정식은 상수 C의 다른 값에 대해 평등이 방정식에 대한 다른 해를 결정하기 때문에 무한한 수의 해를 갖습니다.

예를 들어, 직접 대체를 통해 다음 함수가 다음과 같은지 확인할 수 있습니다. 방정식의 해입니다.

방정식에 대한 특정 해를 찾아야 하는 문제 y" = f(x,y)초기 조건을 만족하는 와이(x 0) = 와이 0, 코시 문제라고 합니다.

방정식 풀기 y" = f(x,y), 초기 조건을 만족하며, 와이(x 0) = 와이 0, 코시 문제에 대한 해결책이라고 합니다.

코시 문제의 해법은 단순한 기하학적 의미를 갖고 있습니다. 실제로 이러한 정의에 따르면 코시 문제를 해결하려면 y" = f(x,y)~을 고려하면 와이(x 0) = 와이 0, 방정식의 적분 곡선을 찾는 것을 의미합니다. y" = f(x,y)특정 지점을 통과하는 엠 0 (x0,와이 0).

II. 1차 미분방정식

2.1. 기본 개념

1차 미분 방정식은 다음 형식의 방정식입니다. F(x,y,y") = 0.

1차 미분 방정식은 1차 도함수를 포함하고 고차 도함수는 포함하지 않습니다.

방정식 y" = f(x,y)는 도함수에 대해 풀린 1차 방정식이라고 합니다.

1계 미분방정식의 일반적인 해는 하나의 임의의 상수를 포함하는 형식의 함수입니다.

예. 1차 미분방정식을 생각해 보세요.

이 방정식의 해는 함수입니다.

실제로, 이 방정식을 그 값으로 대체하면, 우리는 다음을 얻습니다:

그건 3배=3배

따라서 이 함수는 임의의 상수 C에 대한 방정식의 일반적인 해입니다.

초기 조건을 만족하는 이 방정식의 특정 해를 구합니다. y(1)=1초기 조건 대체 x = 1, y =1방정식의 일반적인 해법에 대해 우리는 어디에서 얻습니까? C=0.

따라서 우리는 이 방정식에 결과 값을 대입하여 일반적인 해로부터 특정 해를 얻습니다. C=0– 개인 솔루션.

2.2. 분리 가능한 변수가 있는 미분 방정식

분리 가능한 변수가 있는 미분 방정식은 다음 형식의 방정식입니다. y"=f(x)g(y)또는 차등을 통해 에프엑스(f(x))그리고 g(y)– 지정된 기능.

그런 분들을 위해 와이, 이에 대한 방정식은 y"=f(x)g(y)방정식과 동일합니다. 여기서 변수는 와이는 왼쪽에만 존재하고, 변수 x는 오른쪽에만 존재합니다. 그들은 "Eq. y"=f(x)g(y변수를 분리하자."

형태의 방정식 분리변수 방정식이라고 부른다.

방정식의 양쪽을 통합 에 의해 엑스, 우리는 얻는다 G(y) = F(x) + C는 방정식의 일반적인 해입니다. 여기서 G(y)그리고 에프엑스(F(x))– 각각 함수의 일부 역도함수 에프엑스(f(x)), 씨임의의 상수.

분리 가능한 변수를 사용하여 1차 미분 방정식을 풀기 위한 알고리즘

실시예 1

방정식을 풀어보세요 y" = xy

해결책. 함수의 파생 와이"그것을 대체하다

변수를 분리하자

평등의 양쪽을 통합해 봅시다:

실시예 2

2yy" = 1- 3x 2, 만약에 와이 0 = 3~에 x 0 = 1

이는 분리변수 방정식이다. 미분으로 상상해 봅시다. 이를 위해 이 방정식을 다음 형식으로 다시 작성합니다. 여기에서

마지막 평등의 양쪽을 통합하면 우리는 다음을 찾습니다.

초기값 대체 x 0 = 1, y 0 = 3우리는 찾을 것이다 와 함께 9=1-1+씨, 즉. C = 9.

따라서 필요한 부분 적분은 다음과 같습니다. 또는

실시예 3

한 점을 통과하는 곡선의 방정식을 작성하세요. 남(2;-3)각도 계수와 접선을 가짐

해결책. 조건에 따라

이것은 분리가능한 변수를 갖는 방정식이다. 변수를 나누면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

방정식의 양쪽을 통합하면 다음을 얻습니다.

초기 조건을 사용하여, 엑스 = 2그리고 y = - 3우리는 찾을 것이다 씨:

따라서 필요한 방정식의 형식은 다음과 같습니다.

2.3. 1차 선형 미분 방정식

1차 선형 미분 방정식은 다음 형식의 방정식입니다. y" = f(x)y + g(x)

어디 에프엑스(f(x))그리고 g(x)- 일부 지정된 기능.

만약에 g(x)=0선형 미분 방정식을 균질이라고 하며 다음과 같은 형식을 갖습니다. y" = f(x)y

그렇다면 방정식 y" = f(x)y + g(x)이질적이라고 합니다.

선형 균질 미분 방정식의 일반 해 y" = f(x)y공식은 다음과 같습니다. 와 함께– 임의의 상수.

특히, 만약 C=0,그렇다면 해결책은 와이 = 0선형 균질 방정식의 형식이 다음과 같은 경우 y" = 캬어디 케이가 상수이면 일반적인 해는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

선형 불균일 미분 방정식의 일반 해 y" = f(x)y + g(x)공식에 의해 주어진다 ,

저것들. 는 해당 선형 균질 방정식의 일반 해와 이 방정식의 특정 해의 합과 같습니다.

다음 형식의 선형 불균일 방정식의 경우 y" = kx + b,

어디 케이그리고 비- 일부 숫자와 특정 해는 상수 함수가 됩니다. 따라서 일반적인 해는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

예. 방정식을 풀어보세요 y" + 2y +3 = 0

해결책. 방정식을 다음과 같은 형태로 표현해보자 y" = -2y - 3어디 k = -2, b= -3일반적인 해는 공식으로 제공됩니다.

따라서 여기서 C는 임의의 상수입니다.

2.4. 베르누이 방법으로 1차 선형 미분 방정식 풀기

1차 선형 미분 방정식의 일반 해 찾기 y" = f(x)y + g(x)치환을 사용하여 분리된 변수를 사용하여 두 개의 미분 방정식을 푸는 것으로 줄어듭니다. y=uv, 어디 유그리고 V- 알 수 없는 기능 엑스. 이 해법을 베르누이의 방법이라고 합니다.

1차 선형 미분 방정식을 풀기 위한 알고리즘

y" = f(x)y + g(x)

1. 대체 입력 y=uv.

2. 이 평등을 차별화하세요 y" = u"v + uv"

3. 대체 와이그리고 와이"이 방정식에: u"v + uv" =f(x)uv + g(x)또는 u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. 방정식의 항을 그룹화하여 다음과 같이 하십시오. 유대괄호에서 꺼내십시오.

5. 괄호에서 0과 동일시하여 함수를 찾습니다.

이것은 분리 가능한 방정식입니다.

변수를 나누어 다음을 얻습니다.

어디 . .

6. 결과 값을 대체합니다. V방정식에(4단계부터):

그리고 함수를 찾으세요. 이것은 분리 가능한 변수가 있는 방정식입니다:

7. 일반적인 솔루션을 다음 형식으로 작성합니다. , 즉. .

실시예 1

방정식에 대한 특정 해 찾기 y" = -2y +3 = 0만약에 와이 =1~에 엑스 = 0

해결책. 치환을 이용해서 풀어보자 y=uv,.y" = u"v + uv"

대체 와이그리고 와이"이 방정식에 우리는

방정식 왼쪽의 두 번째 항과 세 번째 항을 그룹화하여 공통 인수를 꺼냅니다. 유 괄호 밖으로

괄호 안의 표현을 0과 동일시하고 결과 방정식을 풀어서 함수를 찾습니다. v = v(x)

우리는 분리된 변수를 가진 방정식을 얻습니다. 이 방정식의 양쪽을 통합해 보겠습니다. 함수 찾기 V:

결과 값을 대체합시다 V우리가 얻는 방정식에:

이는 분리변수 방정식이다. 방정식의 양쪽을 통합해 보겠습니다. 함수를 찾아보자 당신 = 당신(x,c) 일반적인 해결책을 찾아보겠습니다. 초기 조건을 만족하는 방정식의 특정 해를 찾아봅시다. 와이 = 1~에 엑스 = 0:

III. 고차 미분 방정식

3.1. 기본 개념 및 정의

2차 미분 방정식은 2차 이하의 도함수를 포함하는 방정식입니다. 일반적인 경우 2차 미분 방정식은 다음과 같이 작성됩니다. F(x,y,y",y") = 0

2계 미분 방정식의 일반적인 해는 두 개의 임의 상수를 포함하는 형식의 함수입니다. C 1그리고 C 2.

2차 미분 방정식의 특정 해는 임의 상수의 특정 값에 대한 일반 해로부터 얻은 해입니다. C 1그리고 C 2.

3.2. 2차 선형 균질 미분 방정식 일정한 계수.

상수 계수를 갖는 2차 선형 동차 미분 방정식형태의 방정식이라고 불린다. y" + py" +qy = 0, 어디 피그리고 큐- 상수 값.

상수 계수를 사용하여 동차 2차 미분 방정식을 풀기 위한 알고리즘

1. 미분 방정식을 다음 형식으로 작성하십시오. y" + py" +qy = 0.

2. 다음을 나타내는 특성 방정식을 만듭니다. 와이"~을 통해 r 2, 와이"~을 통해 아르 자형, 와이 1에서: r 2 + pr +q = 0

1차 미분방정식. 솔루션의 예.
분리 가능한 변수가 있는 미분 방정식

미분 방정식(DE). 이 두 단어는 대개 보통 사람을 겁에 질리게 합니다. 미분방정식은 많은 학생들에게 엄두도 못 내고 익히기 어려운 것 같습니다. 으으으으으... 미분방정식, 이 모든 것을 어떻게 살아남을 수 있을까요?!

이 의견과 이러한 태도는 근본적으로 잘못된 것입니다. 미분 방정식 - 간단하면서도 재미있습니다.. 미분방정식을 푸는 방법을 배우려면 무엇을 알아야 하고 무엇을 할 수 있어야 합니까? 확산을 성공적으로 연구하려면 통합과 차별화에 능숙해야 합니다. 주제를 더 잘 연구할수록 하나의 변수에 대한 함수의 파생그리고 부정 적분, 미분 방정식을 이해하는 것이 더 쉬울 것입니다. 더 말하겠습니다. 어느 정도 괜찮은 통합 기술이 있다면 주제는 거의 마스터되었습니다! 더 많은 적분 다양한 방식당신은 결정하는 방법을 알고 있습니다. 그러면 훨씬 더 좋습니다. 왜? 많이 통합해야 할 것입니다. 그리고 차별화하세요. 또한 강력 추천찾는 법을 배우십시오.

95%의 경우에 테스트 1차 미분 방정식에는 3가지 유형이 있습니다. 분리 가능한 방정식이번 강의에서 살펴보겠습니다. 동차방정식그리고 선형 불균일 방정식. 디퓨저를 공부하기 시작하는 분들은 정확히 이 순서대로 강의를 읽어보시길 권합니다. 처음 두 기사를 공부한 후에는 추가 워크숍에서 기술을 통합하는 것도 나쁘지 않을 것입니다. 동차로 감소하는 방정식.

더 희귀한 유형의 미분 방정식도 있습니다: 총 미분 방정식, 베르누이 방정식 및 기타 일부. 마지막 두 가지 유형 중 가장 중요한 것은 총 미분 방정식입니다. 왜냐하면 이 미분 방정식 외에도 제가 고려하기 때문입니다. 신소재 – 부분 통합.

하루 이틀밖에 남지 않았다면, 저것 초고속 준비를 위한있다 공습 코스 PDF 형식으로.

이제 랜드마크가 설정되었습니다. 이동해 보겠습니다.

먼저, 일반적인 대수 방정식을 기억해 봅시다. 여기에는 변수와 숫자가 포함됩니다. 가장 간단한 예: . 일반적인 방정식을 푼다는 것은 무엇을 의미합니까? 찾아낸다는 뜻이다 숫자 세트, 이는 이 방정식을 만족시킵니다. 어린이 방정식의 근이 하나라는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 재미삼아 찾은 근을 확인하고 방정식에 대입해 보겠습니다.

– 올바른 동등성을 얻었습니다. 이는 해가 올바르게 발견되었음을 의미합니다.

디퓨저는 거의 같은 방식으로 디자인되었습니다!

미분 방정식 첫 주문일반적으로 포함:
1) 독립변수;
2) 종속변수(함수);
3) 함수의 1차 미분: .

일부 1차 방정식에는 "x" 및/또는 "y"가 없을 수 있지만 이는 중요하지 않습니다. 중요한통제실로 가려면 ~였다 1차 미분, 그리고 하지 않았다고차 파생 상품 - 등.

무슨 뜻인가요?미분 방정식을 푸는 것은 다음을 찾는 것을 의미합니다. 모든 기능 세트, 이는 이 방정식을 만족시킵니다. 이러한 함수 집합은 종종 (– 임의의 상수) 형식을 갖습니다. 미분 방정식의 일반 해.

실시예 1

미분방정식 풀기

전체 탄약. 어디서부터 시작해야 할까요? 해결책?

우선, 파생물을 약간 다른 형태로 다시 작성해야 합니다. 우리는 아마도 많은 분들이 우스꽝스럽고 불필요해 보였던 번거로운 명칭을 기억합니다. 이것이 디퓨저의 규칙입니다!

두 번째 단계에서는 가능한지 살펴보겠습니다. 별도의 변수?변수를 분리한다는 것은 무엇을 의미합니까? 대략적으로 말하면, 왼쪽에우리는 떠나야 해 오직 "그리스인", ㅏ 오른쪽에정리하다 "X"만. 변수 분할은 "학교" 조작을 사용하여 수행됩니다. 즉, 괄호 안에 넣기, 기호 변경을 통해 용어를 부분에서 부분으로 옮기기, 비율 규칙에 따라 요소를 부분에서 부분으로 옮기기 등입니다.

차등은 적대 행위에 대한 완전한 승수이자 적극적인 참여자입니다. 고려 중인 예에서 변수는 비율 법칙에 따라 요인을 던져서 쉽게 분리됩니다.

변수가 구분됩니다. 왼쪽에는 "Y"만 있고 오른쪽에는 "X"만 있습니다.

다음 단계 - 미분 방정식의 적분. 간단합니다. 양쪽에 적분을 넣습니다.

물론 적분을 해야 합니다. 이 경우 테이블 형식입니다.

우리가 기억하는 것처럼 모든 역도함수에는 상수가 할당됩니다. 여기에는 두 개의 적분이 있지만 상수를 한 번만 작성하면 충분합니다. (상수 + 상수는 여전히 다른 상수와 동일하므로). 대부분의 경우 오른쪽에 배치됩니다.

엄밀히 말하면, 적분을 취한 후에는 미분 방정식이 풀린 것으로 간주됩니다. 유일한 것은 우리의 "y"가 "x"를 통해 표현되지 않는다는 것입니다. 즉, 솔루션이 제시됩니다. 암시적으로형태. 암시적 형식의 미분 방정식에 대한 해를 다음과 같이 부릅니다. 미분 방정식의 일반 적분. 즉, 이것은 일반 적분입니다.

이 형식의 답변은 상당히 수용 가능하지만 더 나은 옵션이 있습니까? 얻으려고 노력하자 공동의 결정.

제발, 첫 번째 기술을 기억하세요, 매우 일반적이며 실제 작업에 자주 사용됩니다. 적분 후 오른쪽에 로그가 나타나면 많은 경우(항상 그런 것은 아닙니다!) 로그 아래에 상수를 쓰는 것이 좋습니다..

그건, 대신에항목은 일반적으로 작성됩니다 .

이것이 왜 필요한가요? 그리고 '게임'을 좀 더 쉽게 표현하기 위해서요. 로그의 성질을 이용하여 . 이 경우:

이제 로그와 모듈을 제거할 수 있습니다:

함수가 명시적으로 표시됩니다. 이것이 일반적인 해결책입니다.

답변: 일반적인 결정: .

많은 미분 방정식의 답은 확인하기가 매우 쉽습니다. 우리의 경우에는 매우 간단하게 수행됩니다. 찾은 솔루션을 가져와 차별화합니다.

그런 다음 미분을 원래 방정식으로 대체합니다.

– 올바른 동등성이 얻어졌습니다. 이는 일반 솔루션이 확인해야 할 방정식을 충족한다는 것을 의미합니다.

상수를 주는 것 다른 의미, 당신은 무한히 많은 것을 얻을 수 있습니다 개인 솔루션미분 방정식. , 등의 기능이 있음이 분명합니다. 미분 방정식을 만족합니다.

때로는 일반적인 솔루션이 호출됩니다. 함수 계열. 안에 이 예에서는공동의 결정 - 가족이에요 선형 함수, 또는 오히려 직접적인 비례의 가족입니다.

첫 번째 예를 철저히 검토한 후 미분 방정식에 대한 몇 가지 간단한 질문에 대답하는 것이 적절합니다.

1)이 예에서는 변수를 분리할 수 있었습니다. 항상 할 수 있습니까?항상 그런 것은 아닙니다. 그리고 훨씬 더 자주 변수를 분리할 수 없습니다. 예를 들어, 동차 1차 방정식, 먼저 교체해야 합니다. 다른 유형의 방정식(예: 1차 선형 불균일 방정식)에서는 일반적인 해를 찾기 위해 다양한 기술과 방법을 사용해야 합니다. 첫 번째 강의에서 고려한 분리 변수가 있는 방정식은 가장 간단한 유형의 미분 방정식입니다.

2) 미분 방정식을 적분하는 것이 항상 가능합니까?항상 그런 것은 아닙니다. 적분할 수 없는 "멋진" 방정식을 생각해내는 것은 매우 쉽습니다. 또한, 취할 수 없는 적분도 있습니다. 그러나 이러한 DE는 대략적인 방법을 사용하여 해결할 수 있습니다. D'Alembert와 Cauchy는 보증합니다... ...윽, 숨어 있습니다. 지금은 많은 내용을 읽으려고 "다른 세계에서"라고 덧붙일 뻔했습니다.

3) 이 예에서는 일반 적분 형태의 해를 얻었습니다. . 일반적분에서 일반해를 찾는 것, 즉 "y"를 명시적으로 표현하는 것이 항상 가능합니까?항상 그런 것은 아닙니다. 예를 들어: . 자, 여기서 "그리스어"를 어떻게 표현할까요?! 이러한 경우 답은 일반 적분으로 작성되어야 합니다. 게다가, 때로는 일반적인 해를 찾는 것도 가능하지만, 너무 번거롭고 서투르게 작성되어 있기 때문에 그 답을 일반적분의 형태로 남기는 것이 더 좋습니다.

4) ...아마도 지금은 그것으로 충분할 것입니다. 첫 번째 예에서 우리는 다른 것 중요한 점 , 하지만 "인형"을 새로운 정보의 눈사태로 덮지 않기 위해 다음 수업까지 남겨 두겠습니다.

우리는 서두르지 않을 것입니다. 또 다른 간단한 원격 제어 및 또 다른 일반적인 솔루션:

실시예 2

초기 조건을 만족하는 미분 방정식의 특정 해를 구합니다.

해결책: 조건에 따라 찾아야 합니다. 프라이빗 솔루션주어진 초기 조건을 만족하는 DE입니다. 이 질문의 공식화는 또한 코시 문제.

먼저 우리는 일반적인 해결책을 찾습니다. 방정식에는 "x" 변수가 없지만 혼동해서는 안 됩니다. 가장 중요한 것은 1차 도함수가 있다는 것입니다.

우리는 도함수를 다음과 같이 다시 씁니다. 올바른 형태로:

분명히 변수는 왼쪽에 남자아이, 오른쪽에 여자아이로 구분될 수 있습니다.

방정식을 통합해 보겠습니다.

일반 적분을 얻습니다. 여기서는 별표로 상수를 그렸습니다. 사실 이 상수는 곧 다른 상수로 바뀔 것입니다.

이제 일반 적분을 일반 해로 변환하려고 합니다(“y”를 명시적으로 표현). 학교에서 좋았던 것들을 기억해 봅시다: . 이 경우:

표시기의 상수는 어쩐지 일관성이 없어 보이기 때문에 일반적으로 실제로 사용됩니다. 자세하게는 이렇게 됩니다. 각도의 속성을 사용하여 함수를 다음과 같이 다시 작성합니다.

가 상수이고 다음도 상수이면 다음 문자로 다시 지정해 보겠습니다.

상수를 "철거"하는 것은 두 번째 기술, 미분 방정식을 풀 때 자주 사용됩니다.

따라서 일반적인 해결책은 다음과 같습니다. 이것은 지수 함수의 훌륭한 계열입니다.

마지막 단계에서는 주어진 초기 조건을 만족하는 특정 해를 찾아야 합니다. 이것도 간단합니다.

임무는 무엇입니까? 픽업해야 함 그런조건이 만족되도록 상수의 값을 구합니다.

다양한 방법으로 형식을 지정할 수 있지만 아마도 이것이 가장 명확한 방법일 것입니다. 일반적인 솔루션에서는 "X" 대신 0을 대체하고 "Y" 대신 2를 대체합니다.



그건,

표준 디자인 버전:

이제 찾은 상수 값을 일반 솔루션으로 대체합니다.
– 이것이 우리에게 필요한 특별한 솔루션입니다.

답변: 비공개 솔루션:

점검 해보자. 비공개 솔루션 확인에는 다음 두 단계가 포함됩니다.

먼저 찾은 특정 솔루션이 실제로 초기 조건을 충족하는지 확인해야 합니까? "X" 대신에 0을 대체하고 무슨 일이 일어나는지 확인합니다.
- 예, 실제로 2가 수신되었습니다. 이는 초기 조건이 충족되었음을 의미합니다.

두 번째 단계는 이미 익숙합니다. 결과 특정 솔루션을 사용하여 파생 상품을 찾습니다.

우리는 원래 방정식으로 대체합니다.

– 올바른 평등이 얻어집니다.

결론: 특정 솔루션이 올바르게 발견되었습니다.

좀 더 의미 있는 예로 넘어가겠습니다.

실시예 3

미분방정식 풀기

해결책:우리는 필요한 형식으로 파생물을 다시 작성합니다.

변수를 분리하는 것이 가능한지 평가해 볼까요? 할 수 있다. 부호를 변경하여 두 번째 항을 오른쪽으로 이동합니다.

그리고 우리는 비율의 법칙에 따라 승수를 옮깁니다.

변수가 분리되어 있으므로 두 부분을 통합해 보겠습니다.

심판의 날이 다가오고 있음을 경고해야 합니다. 공부를 잘 못 했다면 부정 적분, 몇 가지 예제를 해결했다면 갈 곳이 없습니다. 지금 마스터해야 합니다.

좌변의 적분은 찾기 쉬우며, 수업에서 살펴본 표준 기법을 사용하여 코탄젠트의 적분을 다룹니다. 삼각함수 통합하기작년:

오른쪽에는 로그가 있고, 나의 첫 번째 기술 권장 사항에 따르면 상수도 로그 아래에 작성되어야 합니다.

이제 우리는 일반 적분을 단순화하려고 노력합니다. 로그만 있으므로 이를 제거하는 것이 가능하고 필요합니다. 사용하여 알려진 속성우리는 로그를 가능한 한 많이 "포장"합니다. 나는 그것을 매우 자세하게 적어 놓을 것입니다 :

포장은 야만적일 정도로 너덜너덜하게 마감되었습니다.

'게임'이라는 표현이 가능한가요? 할 수 있다. 두 부분을 모두 정사각형으로 만드는 것이 필요합니다.

하지만 꼭 이렇게 할 필요는 없습니다.

세 번째 기술 팁:일반적인 해결책을 얻기 위해 권력을 장악하거나 뿌리를 내리는 것이 필요하다면, 대부분의 경우에이러한 행위를 자제하고 일반 적분의 형태로 답을 남겨야 합니다. 사실 일반적인 해결책은 큰 뿌리, 표지판 및 기타 쓰레기로 인해 끔찍해 보일 것입니다.

따라서 우리는 일반 적분의 형태로 답을 씁니다. 즉, 오른쪽에는 가능하면 상수만 남겨 두는 것이 좋습니다. 꼭 이렇게 할 필요는 없지만 교수님을 기쁘게 하는 것은 항상 유익합니다 ;-)

답변:일반 적분:

! 메모: 모든 방정식의 일반 적분은 여러 가지 방법으로 작성할 수 있습니다. 따라서 결과가 이전에 알려진 답과 일치하지 않는다고 해서 방정식을 잘못 풀었다는 의미는 아닙니다.

일반 적분도 확인하기 매우 쉽습니다. 가장 중요한 것은 찾을 수 있다는 것입니다. 암시적으로 지정된 함수의 파생물. 답을 구별해 봅시다:

두 항에 다음을 곱합니다.

그리고 다음과 같이 나눕니다.

원래의 미분방정식이 정확하게 구해졌는데, 이는 일반적분이 정확하게 구해졌다는 것을 의미합니다.

실시예 4

초기 조건을 만족하는 미분 방정식의 특정 해를 구합니다. 점검을 수행하십시오.

이는 다음에 대한 예입니다. 독립적인 결정.

알고리즘은 두 단계로 구성되어 있음을 상기시켜 드리겠습니다.
1) 일반적인 해결책을 찾는 것;
2) 필요한 특정 솔루션을 찾습니다.

점검은 두 단계로 수행됩니다(예제 2의 샘플 참조). 다음을 수행해야 합니다.
1) 찾은 특정 솔루션이 초기 조건을 충족하는지 확인하십시오.
2) 특정 솔루션이 일반적으로 미분 방정식을 만족하는지 확인합니다.

완벽한 솔루션그리고 수업이 끝나면 답변이 나옵니다.

실시예 5

미분 방정식의 특정 해 찾기 , 초기 조건을 만족합니다. 점검을 수행하십시오.

해결책:먼저 일반해를 구해보겠습니다. 이 방정식에는 이미 미리 만들어진 미분값이 포함되어 있으므로 해가 단순화됩니다. 변수를 분리합니다.

방정식을 통합해 보겠습니다.

왼쪽의 적분은 표 형식이고 오른쪽의 적분은 취해진 것입니다. 미분 부호 아래에 함수를 포함시키는 방법:

일반적분을 구했는데, 일반해를 성공적으로 표현할 수 있나요? 할 수 있다. 우리는 양쪽에 로그를 걸어 놓습니다. 양수이므로 모듈러스 기호는 필요하지 않습니다.

(변신을 모두가 이해하길 바랍니다. 그런 것들은 이미 알려져 있어야 합니다)

따라서 일반적인 해결책은 다음과 같습니다.

주어진 초기 조건에 대응하는 특정 해를 찾아봅시다.
일반적인 해법에서는 "X" 대신 0을 대체하고 "Y" 대신 2의 로그를 대체합니다.

더욱 친숙한 디자인:

우리는 상수의 발견된 값을 일반해에 대체합니다.

답변:개인 솔루션:

확인: 먼저 초기 조건이 충족되는지 확인하겠습니다.
- 모든 좋은.

이제 찾은 특정 해가 미분방정식을 전혀 만족하는지 확인해 보겠습니다. 파생상품 찾기:

원래 방정식을 살펴보겠습니다. – 차등으로 표시됩니다. 확인하는 방법에는 두 가지가 있습니다. 발견된 도함수로부터 미분을 표현하는 것이 가능합니다:

찾은 특정 해와 결과 미분을 원래 방정식으로 대체해 보겠습니다. :

우리는 기본 로그 항등식을 사용합니다:

올바른 동등성을 얻었습니다. 이는 특정 솔루션이 올바르게 발견되었음을 의미합니다.

두 번째 확인 방법은 미러링되어 더 친숙합니다. 방정식에서 도함수를 표현해 보겠습니다. 이를 위해 모든 조각을 다음과 같이 나눕니다.

그리고 변환된 DE에 우리는 얻은 부분 해와 발견된 도함수를 대체합니다. 단순화의 결과로 올바른 동등성도 얻어야 합니다.

실시예 6

미분방정식을 푼다. 일반 적분의 형태로 답을 제시하십시오.

이것은 수업이 끝날 때 스스로 해결하고 완전한 솔루션과 답을 얻을 수 있는 예입니다.

분리 가능한 변수를 사용하여 미분 방정식을 풀 때 어떤 어려움이 있습니까?

1) 변수가 분리될 수 있다는 것이 항상 명확하지는 않습니다(특히 “찻주전자”의 경우). 조건부 예를 고려해 보겠습니다. 여기서는 대괄호에서 인수를 꺼내고 루트를 구분해야 합니다. 다음에 무엇을 해야 할지 분명합니다.

2) 통합 자체의 어려움. 적분은 종종 가장 단순하지 않으며, 찾는 기술에 결함이 있는 경우 부정 적분, 그러면 디퓨저가 많으면 어려울 것입니다. 또한 "미분 방정식은 간단하므로 적어도 적분은 더 복잡하게 놔두십시오"라는 논리는 컬렉션 및 교육 매뉴얼 컴파일러 사이에서 인기가 있습니다.

3) 상수를 사용한 변환. 모두가 알고 있듯이 미분 방정식의 상수는 매우 자유롭게 처리할 수 있으며 일부 변환은 초보자에게 항상 명확하지 않습니다. 또 다른 조건부 예를 살펴보겠습니다. . 모든 용어에 2를 곱하는 것이 좋습니다. . 결과 상수는 일종의 상수이기도 하며 다음과 같이 표시할 수 있습니다. . 예, 그리고 오른쪽에 로그가 있으므로 상수를 다른 상수의 형태로 다시 작성하는 것이 좋습니다. .

문제는 색인을 신경 쓰지 않고 동일한 문자를 사용하는 경우가 많다는 것입니다. 결과적으로 결정 기록은 다음과 같은 형식을 취합니다.

어떤 종류의 이단입니까? 바로 거기에 실수가 있습니다! 엄밀히 말하면 그렇습니다. 그러나 실질적인 관점에서 볼 때, 변수 상수를 변환한 결과 여전히 변수 상수가 얻어지기 때문에 오류가 없습니다.

또는 또 다른 예를 들어 방정식을 푸는 과정에서 일반 적분을 얻는다고 가정해 보겠습니다. 이 답변은 보기에 좋지 않으므로 각 용어의 부호를 변경하는 것이 좋습니다. . 공식적으로 여기에 또 다른 실수가 있습니다. 오른쪽에 작성해야합니다. 그러나 비공식적으로는 "minus ce"가 여전히 상수임을 암시합니다( 어떤 의미든 쉽게 받아들일 수 있습니다!)이므로 "마이너스"를 넣는 것은 의미가 없으며 동일한 문자를 사용할 수 있습니다.

부주의한 접근 방식을 피하고 상수를 변환할 때 상수에 다른 인덱스를 할당하도록 노력하겠습니다.

실시예 7

미분방정식을 푼다. 점검을 수행하십시오.

해결책:이 방정식을 사용하면 변수를 분리할 수 있습니다. 변수를 분리합니다.

다음을 통합하자:

여기서는 상수를 로그로 정의할 필요가 없습니다. 왜냐하면 이것으로부터 유용한 것이 나오지 않기 때문입니다.

답변:일반 적분:

확인: 답을 차별화합니다( 암시적 함수):

두 항에 다음을 곱하여 분수를 제거합니다.

원래의 미분방정식이 얻어졌는데, 이는 일반적분을 정확하게 찾았음을 의미합니다.

실시예 8

DE의 특정 솔루션을 찾으십시오.
,

이것은 스스로 해결하는 예입니다. 유일한 힌트는 여기에서 일반적인 적분을 얻을 수 있다는 것입니다. 더 정확하게 말하면 특정 솔루션이 아니라 찾으려고 노력해야 합니다. 부분적분. 강의가 끝나면 전체 솔루션과 답변이 제공됩니다.

도함수와 관련하여 이미 해결되었거나 도함수와 관련하여 해결될 수 있습니다. .

공통의 결정 미분 방정식간격에 입력 엑스주어진 는 이 평등의 양쪽을 적분하여 구할 수 있습니다.

우리는 얻는다 .

부정적분의 속성을 살펴보면 원하는 일반 해를 찾을 수 있습니다.

y = F(x) + C,

어디 에프엑스(F(x))- 기본 기능 중 하나 에프엑스(f(x))사이 엑스, ㅏ 와 함께- 임의의 상수.

대부분의 문제에서는 간격이 엑스표시하지 마십시오. 이는 모두를 위한 해결책을 찾아야 함을 의미합니다. 엑스, 원하는 기능 와이, 원래 방정식이 의미가 있습니다.

초기 조건을 만족하는 미분 방정식에 대한 특정 해를 계산해야 하는 경우 와이(x 0) = 와이 0, 일반 적분을 계산한 후 y = F(x) + C, 여전히 상수의 값을 결정하는 것이 필요합니다. 기 = 기 0, 초기 조건을 사용합니다. 즉, 상수 기 = 기 0방정식에서 결정 F(x0) + C = y0, 미분 방정식의 원하는 부분 해법은 다음과 같은 형식을 취합니다.

y = F(x) + C0.

예를 살펴보겠습니다:

미분방정식의 일반적인 해를 구하고 결과의 정확성을 확인해 봅시다. 초기 조건을 만족하는 이 방정식의 특정 해를 찾아보겠습니다.

해결책:

주어진 미분 방정식을 적분하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

.

부분별 적분 방법을 사용하여 이 적분을 생각해 보겠습니다.

저것., 미분방정식의 일반해이다.

결과가 올바른지 확인하기 위해 확인해 보겠습니다. 이를 위해 우리가 찾은 솔루션을 주어진 방정식으로 대체합니다.

.

즉, 언제 원래 방정식은 항등식으로 변합니다.

따라서 미분 방정식의 일반 해가 올바르게 결정되었습니다.

우리가 찾은 해결책은 각각의 미분방정식에 대한 일반해입니다. 유효한인수 값 엑스.

초기 조건을 만족하는 ODE에 대한 특정 해를 계산하는 일이 남아 있습니다. 즉, 상수의 값을 계산해야 합니다. 와 함께, 평등이 참이 될 것입니다:

.

.

그런 다음 대체 C = 2 ODE의 일반 해에 대해 초기 조건을 충족하는 미분 방정식의 특정 해를 얻습니다.

.

상미분방정식 방정식의 2변을 다음과 같이 나누어 도함수를 구할 수 있습니다. 에프엑스(f(x)). 이 변환은 다음과 같습니다. 에프엑스(f(x))어떤 상황에서도 0으로 변하지 않습니다 엑스미분 방정식의 적분 구간에서 엑스.

인수의 일부 값에 대해 다음과 같은 상황이 있을 수 있습니다. 엑스 ∈ 엑스기능 에프엑스(f(x))그리고 g(x)동시에 0이 됩니다. 비슷한 값의 경우 엑스미분방정식의 일반해는 임의의 함수이다 와이, 왜냐하면 그 안에 정의되어 있기 때문입니다. .

일부 인수 값의 경우 엑스 ∈ 엑스조건이 충족됩니다. 이는 이 경우 ODE에 해가 없음을 의미합니다.

다른 모든 사람을 위해 엑스간격에서 엑스미분 방정식의 일반 해는 변환된 방정식으로부터 결정됩니다.

예를 살펴보겠습니다:

예시 1.

ODE에 대한 일반적인 해를 찾아보겠습니다. .

해결책.

기본 기본 함수의 속성을 보면 다음과 같은 함수가 있음이 분명합니다. 자연로그음수가 아닌 인수 값에 대해 정의되므로 표현식의 범위는 다음과 같습니다. ln(x+3)간격이 있다 엑스 > -3 . 이는 주어진 미분 방정식이 다음에 대해 의미가 있음을 의미합니다. 엑스 > -3 . 이러한 인수 값에 대해 표현식은 x+3사라지지 않으므로 두 부분을 다음과 같이 나누어 도함수에 대한 ODE를 풀 수 있습니다. x + 3.

우리는 얻는다 .

다음으로, 미분과 관련하여 해결된 결과 미분 방정식을 적분합니다. . 이 적분을 취하기 위해 우리는 이를 미분 부호 아래에 포함시키는 방법을 사용합니다.

상미분방정식 독립 변수, 이 변수의 알려지지 않은 함수 및 다양한 차수의 파생물(또는 미분)을 관련시키는 방정식입니다.

미분방정식의 차수 그 안에 포함된 가장 높은 파생물의 순서라고 합니다.

일반적인 방정식 외에도 편미분 방정식도 연구됩니다. 이는 독립 변수와 관련된 방정식, 이러한 변수의 알려지지 않은 함수 및 동일한 변수에 대한 편도함수입니다. 그러나 우리는 단지 고려할 것입니다 상미분 방정식 그러므로 간결함을 위해 "보통"이라는 단어를 생략하겠습니다.

미분 방정식의 예:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

방정식 (1)은 4차, 방정식 (2)는 3차, 방정식 (3)과 (4)는 2차, 방정식 (5)는 1차입니다.

미분 방정식 N차수는 반드시 명시적인 함수를 포함할 필요는 없으며, 첫 번째 차수부터 차수까지의 모든 파생물입니다. N-차수 및 독립변수. 특정 차수, 함수 또는 독립 변수의 파생물을 명시적으로 포함할 수 없습니다.

예를 들어, 방정식 (1)에는 함수뿐만 아니라 3차 및 2차 도함수도 분명히 없습니다. 방정식 (2)에서 - 2차 미분과 함수; 방정식 (4)에서 - 독립 변수; 방정식 (5)에서 - 기능. 방정식 (3)만이 모든 도함수, 함수 및 독립 변수를 명시적으로 포함합니다.

미분 방정식 풀기 모든 함수가 호출됩니다. y = f(x), 방정식에 대입하면 항등식으로 변합니다.

미분방정식의 해를 구하는 과정을 미분방정식이라고 한다. 완성.

예시 1.미분 방정식의 해를 구합니다.

해결책. 이 방정식을 의 형식으로 작성해 보겠습니다. 해결책은 파생물에서 함수를 찾는 것입니다. 적분 미적분학에서 알려진 원래 함수는 다음과 같은 역도함수입니다.

그게 바로 그거야 이 미분 방정식의 해 . 그 안에서 변화 씨, 우리는 다른 솔루션을 얻을 것입니다. 우리는 1차 미분방정식의 해가 무한히 많다는 것을 알아냈습니다.

미분방정식의 일반해 N차수는 미지의 함수에 대해 명시적으로 표현되고 다음을 포함하는 해입니다. N독립적인 임의의 상수, 즉

예제 1의 미분 방정식의 해는 일반적입니다.

미분방정식의 부분해 임의의 상수에 특정 수치 값을 부여하는 솔루션이 호출됩니다.

예시 2.미분 방정식의 일반 해와 다음의 특정 해를 구합니다. .

해결책. 미분방정식의 차수와 동일한 횟수만큼 방정식의 양변을 적분해 봅시다.

,

.

그 결과, 우리는 일반적인 해결책을 얻었습니다.

주어진 3차 미분방정식의

이제 이에 대한 구체적인 해결책을 찾아보겠습니다. 지정된 조건. 이렇게 하려면 임의의 계수 대신 해당 값을 대체하고 다음을 얻습니다.

.

미분 방정식에 추가하여 초기 조건이 형식으로 주어지면 이러한 문제를 호출합니다. 코시 문제 . 값과 방정식의 일반 해를 대체하고 임의의 상수 값을 찾습니다. 씨, 그리고 발견된 값에 대한 방정식의 특정 해 씨. 이것이 코시 문제의 해결책이다.

예시 3.를 조건으로 예제 1의 미분 방정식에 대한 코시 문제를 해결합니다.

해결책. 초기조건의 값을 일반해에 대입해보자 와이 = 3, 엑스= 1. 우리는 얻는다

우리는 이 1차 미분방정식에 대한 Cauchy 문제의 해를 다음과 같이 기록합니다.

가장 단순한 방정식이라 할지라도 미분방정식을 풀려면 복잡한 함수를 포함한 훌륭한 적분 및 미분 기술이 필요합니다. 이는 다음 예에서 볼 수 있습니다.

예시 4.미분방정식의 일반해를 구합니다.

해결책. 방정식은 양변을 즉시 적분할 수 있는 형태로 작성되었습니다.

.

변수의 변경(대체)에 의한 적분법을 적용합니다. 그럼 그렇게 놔두세요.

복용 필수 dx이제 - 주의 - 우리는 복잡한 함수의 차별화 규칙에 따라 이것을 수행합니다. 엑스그리고 거기에 복잡한 기능("사과" - 추출 제곱근또는 똑같은 것은 무엇입니까? "반"의 힘을 키우고 "다진 고기"는 뿌리 아래의 표현입니다.)

우리는 적분을 찾습니다:

변수로 돌아가기 엑스, 우리는 다음을 얻습니다:

.

이것이 이 1차 미분 방정식의 일반적인 해입니다.

실력뿐만 아니라 이전 섹션미분방정식을 푸는 데는 더 높은 수준의 수학이 필요할 뿐만 아니라 초등학교, 즉 학교 수학의 기술도 필요합니다. 이미 언급했듯이 어떤 차수의 미분 방정식에도 독립 변수, 즉 변수가 없을 수 있습니다. 엑스. 학교에서 잊혀지지 않은 (그러나 누구에 따라) 학교 비율에 대한 지식은 이 문제를 해결하는 데 도움이 될 것입니다. 이것이 다음 예입니다.