양면의 평행사변형 공식의 면적. 평행사변형의 면적을 찾는 방법

평행사변형의 면적을 찾는 방법을 배우기 전에 평행사변형이 무엇인지, 그리고 높이가 무엇인지 기억해야 합니다. 평행사변형은 반대쪽 변이 쌍으로 평행한(평행선 위에 있는) 사각형입니다. 이 변을 포함하는 선의 반대쪽 임의의 점에서 그은 수직선을 평행사변형의 높이라고 합니다.

정사각형, 직사각형 및 마름모는 평행사변형의 특별한 경우입니다.

평행사변형의 면적은 (S)로 표시됩니다.

평행사변형의 면적을 구하는 공식

S=a*h, 여기서 a는 밑면이고, h는 밑면에 그려지는 높이입니다.

S=a*b*sinα, 여기서 a와 b는 밑변이고 α는 밑변 a와 b 사이의 각도입니다.

S =p*r, 여기서 p는 반주위이고, r은 평행사변형에 내접하는 원의 반지름입니다.

벡터 a와 b로 구성된 평행사변형의 면적은 주어진 벡터의 곱의 계수와 같습니다. 즉,

예 1 번을 생각해 봅시다 : 변이 7cm이고 높이가 3cm 인 평행 사변형이 주어지면 평행 사변형의 면적을 찾는 방법에 대한 해법 공식이 필요합니다.

따라서 S= 7x3입니다. S=21. 답: 21cm 2.

예제 2를 생각해 봅시다. 주어진 밑면은 6cm와 7cm이고 밑면 사이의 각도도 60도입니다. 평행사변형의 면적을 찾는 방법은 무엇입니까? 해결에 사용되는 공식:

따라서 먼저 각도의 사인을 찾습니다. 사인 60 = 0.5, 각각 S = 6*7*0.5=21 답: 21cm 2.

이 예제가 문제 해결에 도움이 되기를 바랍니다. 그리고 가장 중요한 것은 공식에 대한 지식과 세심함입니다.

평행사변형은 두 변이 쌍으로 평행한 사각형입니다.

이 그림에서는 마주보는 변과 각이 서로 같습니다. 평행사변형의 대각선은 한 점에서 교차하고 이등분합니다. 평행사변형의 면적에 대한 공식을 사용하면 변, 높이 및 대각선을 사용하여 값을 찾을 수 있습니다. 특별한 경우에는 평행사변형을 표시할 수도 있습니다. 직사각형, 정사각형 및 마름모로 간주됩니다.
먼저 평행사변형의 넓이를 높이와 낮추는 면으로 계산하는 예를 살펴보겠습니다.

이 사례는 전형적인 사례로 간주되며 추가 조사가 필요하지 않습니다. 두 변의 면적과 그 사이의 각도를 계산하는 공식을 고려하는 것이 좋습니다. 계산에도 동일한 방법이 사용됩니다. 변과 그 사이의 각도가 주어지면 면적은 다음과 같이 계산됩니다.

변 a = 4cm, b = 6cm인 평행사변형이 있고 그 사이의 각도는 α = 30°라고 가정합니다. 해당 지역을 찾아봅시다:

대각선을 통한 평행사변형의 면적

대각선을 사용한 평행사변형의 면적 공식을 사용하면 값을 빠르게 찾을 수 있습니다.
계산을 위해서는 대각선 사이의 각도 크기가 필요합니다.

대각선을 사용하여 평행사변형의 면적을 계산하는 예를 고려해 보겠습니다. 대각선 D = 7cm, d = 5cm인 평행사변형이 주어지고 그 사이의 각도는 α = 30°입니다. 데이터를 공식으로 대체해 보겠습니다.

대각선을 통해 평행사변형의 면적을 계산하는 예는 8.75라는 훌륭한 결과를 제공했습니다.

대각선을 통한 평행사변형의 면적 공식을 알면 많은 흥미로운 문제를 해결할 수 있습니다. 그 중 하나를 살펴보겠습니다.

일: 92제곱미터 면적의 평행사변형이 주어졌습니다. 점 F는 BC 변의 중앙에 위치합니다. 평행사변형에 놓이게 될 사다리꼴 ADFB의 면적을 구해 봅시다. 먼저, 조건에 따라 우리가 받은 모든 것을 그려봅시다.
해결책을 살펴보겠습니다.

우리의 조건에 따르면 ah =92이므로 사다리꼴의 면적은 다음과 같습니다.

평행사변형의 면적

정리 1

평행사변형의 면적은 변의 길이와 높이의 곱으로 정의됩니다.

여기서 $a$는 평행사변형의 한 변이고, $h$는 이 변에 그려진 높이입니다.

증거.

$AD=BC=a$인 평행사변형 $ABCD$를 생각해 보겠습니다. 높이 $DF$와 $AE$를 그려보겠습니다(그림 1).

그림 1.

분명히 $FDAE$ 그림은 직사각형입니다.

\[\angle BAE=(90)^0-\angle A,\ \] \[\angle CDF=\angle D-(90)^0=(180)^0-\angle A-(90)^0 =(90)^0-\각도 A=\각 BAE\]

결과적으로, $CD=AB,\ DF=AE=h$이므로 삼각형 $\triangle BAE=\triangle CDF$의 동일성에 대한 $I$ 기준에 따릅니다. 그 다음에

따라서 직사각형 영역의 정리에 따르면 다음과 같습니다.

정리가 입증되었습니다.

정리 2

평행사변형의 면적은 인접한 변의 길이에 이들 변 사이의 각도의 사인을 곱한 값으로 정의됩니다.

수학적으로 이는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

여기서 $a,\ b$는 평행사변형의 변이고, $\alpha $는 두 변 사이의 각도입니다.

증거.

$BC=a,\ CD=b,\ \angle C=\alpha $인 평행사변형 $ABCD$가 있다고 가정하겠습니다. 높이 $DF=h$를 그려봅시다(그림 2).

그림 2.

사인의 정의에 따라 우리는 다음을 얻습니다.

따라서

따라서 정리 $1$에 따르면:

정리가 입증되었습니다.

삼각형의 면적

정리 3

삼각형의 면적은 변의 길이와 그 높이의 곱의 절반으로 정의됩니다.

수학적으로 이는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

여기서 $a$는 삼각형의 변이고, $h$는 이 변에 그려진 높이입니다.

증거.

그림 3.

따라서 정리 $1$에 따르면:

정리가 입증되었습니다.

정리 4

삼각형의 면적은 인접한 변의 길이와 이들 변 사이의 각도 사인의 곱의 절반으로 정의됩니다.

수학적으로 이는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

여기서 $a,\b$는 삼각형의 변이고, $\alpha$는 두 변 사이의 각도입니다.

증거.

$AB=a$인 삼각형 $ABC$가 있다고 가정하겠습니다. 높이 $CH=h$를 구해 봅시다. 평행사변형 $ABCD$로 만들어 보겠습니다(그림 3).

분명히 삼각형의 동일성에 대한 $I$ 기준에 따르면 $\triangle ACB=\triangle CDB$입니다. 그 다음에

따라서 정리 $1$에 따르면:

정리가 입증되었습니다.

사다리꼴의 면적

정리 5

사다리꼴의 면적은 밑변 길이와 높이의 합의 절반으로 정의됩니다.

수학적으로 이는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

증거.

$AK=a,\ BC=b$인 사다리꼴 $ABCK$가 있다고 가정해 보겠습니다. 여기에 높이 $BM=h$ 및 $KP=h$와 대각선 $BK$를 그려 보겠습니다(그림 4).

그림 4.

정리 $3$에 의해 우리는 다음을 얻습니다.

정리가 입증되었습니다.

샘플 작업

실시예 1

한 변의 길이가 $a.$일 때 정삼각형의 넓이를 구하세요.

해결책.

삼각형은 정삼각형이므로 모든 각도는 $(60)^0$와 같습니다.

그러면 $4$ 정리에 의해 우리는

답변:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

이 문제의 결과는 주어진 변을 가진 정삼각형의 면적을 찾는 데 사용될 수 있습니다.

유클리드 기하학에서와 마찬가지로 점과 직선이 평면 이론의 주요 요소이므로 평행사변형은 볼록 사각형의 주요 도형 중 하나입니다. 그것으로부터 공의 실처럼 "직사각형", "사각형", "마름모" 및 기타 기하학적 양의 개념이 흐릅니다.

접촉 중

평행사변형의 정의

볼록한 사각형,각 쌍이 평행한 선분으로 구성된 것을 기하학에서는 평행사변형이라고 합니다.

고전적인 평행사변형의 모습은 사각형 ABCD로 표시됩니다. 변을 밑변(AB, BC, CD 및 AD)이라고 하고, 모든 꼭지점에서 이 꼭지점의 반대쪽 변에 수직으로 그린 ​​것을 높이(BE 및 BF)라고 하며, 선 AC 및 BD를 대각선이라고 합니다.

주목!정사각형, 마름모, 직사각형은 평행사변형의 특별한 경우입니다.

측면과 각도 : 관계의 특징

주요 속성은 대체로 지정 자체에 의해 미리 결정된, 그들은 정리에 의해 증명됩니다. 이러한 특성은 다음과 같습니다.

1. 반대편의 변은 쌍으로 동일합니다.
2. 서로 반대되는 각도는 쌍으로 동일합니다.

증명: 사각형 ABCD를 직선 AC로 나누어 얻은 ΔABC와 ΔADC를 생각해 보세요. ∠BCA=∠CAD 및 ∠BAC=∠ACD. AC가 공통이기 때문입니다(각각 BC||AD 및 AB||CD의 수직 각도). ΔABC = ΔADC(삼각형의 평등의 두 번째 기호)는 다음과 같습니다.

ΔABC의 세그먼트 AB 및 BC는 ΔADC의 선 CD 및 AD에 쌍으로 해당합니다. 이는 두 세그먼트가 동일함을 의미합니다. AB = CD, BC = AD. 따라서 ∠B는 ∠D에 해당하며 동일합니다. ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD는 쌍별로 동일하므로 ∠A = ∠C입니다. 속성이 입증되었습니다.

그림의 대각선 특성

주요 특징평행사변형의 선 중 교차점은 이를 반으로 나눕니다.

증명: 즉 그림 ABCD의 대각선 AC와 BD의 교차점을 라 하겠습니다. 이들은 ΔABE와 ΔCDE라는 두 개의 상응하는 삼각형을 형성합니다.

AB=CD는 반대이기 때문입니다. 라인과 시컨트에 따르면 ∠ABE = ∠CDE 및 ∠BAE = ∠DCE입니다.

두 번째 평등 기준에 따르면 ΔABE = ΔCDE입니다. 이는 요소 ΔABE 및 ΔCDE가 AE = CE, BE = DE이며 동시에 AC 및 BD의 비례 부분임을 의미합니다. 속성이 입증되었습니다.

인접한 모서리의 특징

인접한 변의 각도의 합은 180°입니다., 평행선과 횡단선의 같은 쪽에 있기 때문입니다. 사각형 ABCD의 경우:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180°

이등분선의 속성:

1. 한쪽으로 내려간 은 수직입니다.
2. 반대쪽 꼭짓점은 평행한 이등분선을 갖습니다.
3. 이등분선을 그려 얻은 삼각형은 이등변이 됩니다.

정리를 이용한 평행 사변형의 특징 결정

이 그림의 특징은 다음과 같은 주요 정리를 따릅니다. 사각형은 평행사변형으로 간주됩니다대각선이 교차하는 경우 이 점은 대각선을 동일한 세그먼트로 나눕니다.

증명: 사각형 ABCD의 선 AC와 BD가 다음에서 교차한다고 가정합니다. ∠AED = ∠BEC이고 AE+CE=AC BE+DE=BD이므로 ΔAED = ΔBEC(삼각형의 동일성에 대한 첫 번째 기준에 따라). 즉, ∠EAD = ∠ECB입니다. 이는 또한 선 AD와 BC에 대한 시컨트 AC의 내부 교차각이기도 합니다. 따라서 병렬성의 정의에 따라 - AD || 기원전 BC선과 CD선의 유사한 특성도 파생됩니다. 정리가 입증되었습니다.

그림의 면적 계산

이 그림의 면적 여러 가지 방법으로 찾아낸가장 간단한 것 중 하나는 높이와 그려지는 밑면을 곱하는 것입니다.

증명: 꼭지점 B와 C에서 수직선 BE와 CF를 그립니다. AB = CD이고 BE = CF이기 때문에 ΔABE와 ΔDCF는 동일합니다. ABCD는 S ABE 및 S EBCD, S DCF 및 S EBCD와 같은 적절한 숫자로 구성되므로 직사각형 EBCF와 크기가 동일합니다. 따라서 이 기하학적 도형의 면적은 직사각형의 면적과 동일합니다.

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

평행사변형의 면적에 대한 일반 공식을 결정하기 위해 높이를 다음과 같이 표시하겠습니다. ㅎ, 그리고 측면 - 비. 각기:

지역을 찾는 다른 방법

면적 계산 평행사변형의 변과 각도를 통해는 두 번째로 알려진 방법입니다.

,

Spr-ma - 지역;

a와 b는 변이다

α는 세그먼트 a와 b 사이의 각도입니다.

이 방법은 실질적으로 첫 번째 방법을 기반으로 하지만 경우에 따라 알 수 없습니다. 즉, 매개변수가 삼각법 항등식으로 발견되는 직각삼각형을 항상 잘라냅니다. 관계를 변환하면 을 얻습니다. 첫 번째 방법의 방정식에서 우리는 높이를 이 곱으로 대체하고 이 공식의 타당성에 대한 증거를 얻습니다.

평행사변형의 대각선과 각도를 통해,교차할 때 생성되는 영역을 찾을 수도 있습니다.

증명: AC와 BD는 교차하여 ABE, BEC, CDE 및 AED라는 4개의 삼각형을 형성합니다. 그 합은 이 사변형의 면적과 같습니다.

이들 Δ 각각의 면적은 a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB인 식으로 구할 수 있습니다. 이후 계산에서는 단일 사인 값을 사용합니다. 그건 . AE+CE=AC= d 1 및 BE+DE=BD= d 2이므로 면적 공식은 다음과 같이 줄어듭니다.

.

벡터 대수학의 응용

이 사변형의 구성 부분의 특징은 벡터 대수학, 즉 두 벡터의 추가에 적용됩니다. 평행사변형 규칙은 다음과 같이 명시합니다. 벡터가 주어지면그리고아니다동일선상에 있으면 그 합은 이 그림의 대각선과 같으며 그 밑변은 이 벡터에 해당합니다.

증명: 임의로 선택한 시작부터 - 즉 - 벡터를 구성하고 . 다음으로, 세그먼트 OA와 OB가 변인 평행사변형 OASV를 구성합니다. 따라서 OS는 벡터 또는 합계에 있습니다.

평행사변형의 매개변수를 계산하는 공식

ID는 다음 조건에 따라 제공됩니다.

1. a와 b, α - 변과 그 사이의 각도;
2. d 1 및 d 2, γ - 대각선과 교차점.
3. h a 및 h b - 높이가 a 및 b 측면으로 낮아졌습니다.

매개변수	공식
측면 찾기
대각선과 그 사이의 각도의 코사인을 따라
대각선과 측면을 따라
높이와 반대쪽 꼭지점을 통해
대각선의 길이 구하기
측면과 그 사이의 정점의 크기
측면과 대각선 중 하나를 따라	 결론 기하학의 주요 수치 중 하나인 평행사변형은 건축이나 부지 면적이나 기타 측정을 계산할 때와 같이 생활에서 사용됩니다. 따라서 다양한 매개변수를 계산하는 독특한 특징과 방법에 대한 지식은 인생의 어느 때나 유용할 수 있습니다.

이 주제에 대한 문제를 해결할 때 제외 기본 속성 평행사변형해당 공식을 사용하면 다음을 기억하고 적용할 수 있습니다.

1. 평행사변형의 내각의 이등분선은 이등변삼각형을 잘라냅니다.
2. 평행사변형의 한 변에 인접한 내각의 이등분선은 서로 수직입니다
3. 평행사변형의 내부 반대쪽 모서리에서 나오는 이등분선은 서로 평행하거나 같은 직선 위에 있습니다.
4. 평행사변형의 대각선의 제곱의 합은 그 변의 제곱의 합과 같습니다
5. 평행사변형의 면적은 대각선과 그 사이 각도의 사인의 곱의 절반과 같습니다.

이러한 속성이 사용되는 문제를 고려해 보겠습니다.

작업 1.

평행사변형 ABCD의 각 C의 이등분선은 점 M에서 변 AD와 교차하고 점 E에서 점 A를 넘어 변 AB의 연속과 교차합니다. AE = 4, DM = 3인 경우 평행사변형의 둘레를 구합니다.

해결책.

1. 삼각형 CMD는 이등변이다. (속성 1). 따라서 CD = MD = 3cm입니다.

2. 삼각형 EAM은 이등변이다.
따라서 AE = AM = 4cm입니다.

3. AD = AM + MD = 7cm.

4. 둘레 ABCD = 20cm.

답변. 20cm.

작업 2.

대각선은 볼록한 사각형 ABCD로 그려집니다. 삼각형 ABD, ACD, BCD의 면적은 동일하다는 것이 알려져 있습니다. 이 사각형이 평행사변형임을 증명하세요.

해결책.

1. BE를 삼각형 ABD의 높이, CF를 삼각형 ACD의 높이라고 하겠습니다. 문제의 조건에 따라 삼각형의 면적이 동일하고 공통 밑변 AD를 ​​갖기 때문에 이 삼각형의 높이는 동일합니다. 비 = CF.

2. BE, CF는 AD에 수직입니다. 점 B와 C는 직선 AD를 기준으로 같은 쪽에 위치합니다. 비 = CF. 따라서 직선 BC || 기원 후. (*)

3. AL을 삼각형 ACD의 고도, BK를 삼각형 BCD의 고도로 설정합니다. 문제의 조건에 따라 삼각형의 면적이 동일하고 공통 기본 CD를 가지므로 이 삼각형의 높이는 동일합니다. AL = BK.

4. AL과 BK는 CD에 수직입니다. 점 B와 A는 직선 CD를 기준으로 같은 쪽에 위치합니다. AL = BK. 따라서 직선 AB || CD (**)

5. 조건 (*), (**)에 따르면 ABCD는 평행사변형입니다.

답변. 입증되었습니다. ABCD는 평행사변형입니다.

작업 3.

평행사변형 ABCD의 변 BC와 CD에는 점 M과 H가 각각 표시되어 세그먼트 BM과 HD가 점 O에서 교차합니다.<ВМD = 95 о,