Dalikliai ir kartotiniai. Mažiausiai paplitęs kelias (LCM) – apibrėžimas, pavyzdžiai ir savybės

Apsvarstykime sprendimą kita užduotis. Berniuko žingsnis – 75 cm, o mergaitės – 60 cm. Reikia rasti mažiausią atstumą, kuriuo jie abu nueina sveiką žingsnių skaičių.

Sprendimas. Visas kelias, kurį nueis vaikai, turi dalytis iš 60 ir 70, nes kiekvienas turi žengti sveiką skaičių žingsnių. Kitaip tariant, atsakymas turi būti 75 ir 60 kartotinis.

Pirmiausia užrašysime visus skaičiaus 75 kartotinius. Gauname:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Dabar užsirašykime skaičius, kurie bus 60 kartotiniai. Gauname:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Dabar randame skaičius, esančius abiejose eilutėse.

• Bendrieji skaičių kartotiniai būtų 300, 600 ir kt.

Mažiausias iš jų yra skaičius 300. Šiuo atveju jis bus vadinamas mažiausiu bendruoju skaičių 75 ir 60 kartotiniu.

Grįžtant prie problemos būklės, mažiausias atstumas, kuriuo vaikinai atliks sveiką žingsnių skaičių, bus 300 cm. Šį kelią berniukas įveiks 4 žingsniais, o merginai reikės žengti 5 žingsnius.

Mažiausio bendrojo skaičiaus nustatymas

• Mažiausias dviejų natūraliųjų skaičių a ir b bendras kartotinis yra mažiausias natūralusis skaičius, kuris yra a ir b kartotinis.

Norint rasti mažiausią bendrąjį dviejų skaičių kartotinį, nebūtina užrašyti visų šių skaičių kartotinių iš eilės.

Galite naudoti šį metodą.

Kaip rasti mažiausią bendrą kartotinį

Pirmiausia turite išskaidyti šiuos skaičius į pagrindiniai veiksniai.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Dabar surašykime visus veiksnius, kurie yra pirmojo skaičiaus (2,2,3,5) išplėtime, ir pridėkime prie jo visus trūkstamus veiksnius iš antrojo skaičiaus (5) išplėtimo.

Dėl to gauname pirminių skaičių seriją: 2,2,3,5,5. Šių skaičių sandauga bus mažiausiai bendras šių skaičių veiksnys. 2*2*3*5*5 = 300.

Bendra mažiausiojo bendro kartotinio suradimo schema

• 1. Padalinkite skaičius į pirminius veiksnius.
• 2. Užrašykite pirminius veiksnius, kurie yra vieno iš jų dalis.
• 3. Prie šių veiksnių pridėkite visus tuos, kurie yra kitų plėtinyje, bet ne pasirinktame.
• 4. Raskite visų užrašytų veiksnių sandaugą.

Šis metodas yra universalus. Jis gali būti naudojamas norint rasti bet kokio natūraliųjų skaičių mažiausią bendrą kartotinį.

Kaip rasti LCM (mažiausias bendras kartotinis)

Mažiausias bendras dviejų sveikųjų skaičių kartotinis yra mažiausias iš visų sveikųjų skaičių, kuris dalijasi iš abiejų pateiktų skaičių nepaliekant liekanos.

1 būdas. Savo ruožtu galite rasti kiekvieno iš pateiktų skaičių LCM, didėjančia tvarka užrašydami visus skaičius, gautus padauginus juos iš 1, 2, 3, 4 ir pan.

Pavyzdys 6 ir 9 numeriams.
Skaičius 6 padauginame iš eilės iš 1, 2, 3, 4, 5.
Mes gauname: 6, 12, 18 , 24, 30
Skaičius 9 padauginame iš eilės iš 1, 2, 3, 4, 5.
Mes gauname: 9, 18 , 27, 36, 45
Kaip matote, 6 ir 9 skaičių LCM bus lygus 18.

Šis metodas yra patogus, kai abu skaičiai yra maži ir juos lengva padauginti iš sveikųjų skaičių sekos. Tačiau kartais reikia rasti LCM dviejų skaitmenų arba triženklius skaičius, taip pat kai yra trys ar net daugiau pradinių skaičių.

2 metodas. LCM galite rasti įtraukę pradinius skaičius į pirminius veiksnius.
Po išskaidymo reikia išbraukti identiškus skaičius iš gautos pirminių faktorių serijos. Likę pirmojo skaičiaus skaičiai bus antrojo daugikliai, o likę antrojo skaičiai bus pirmojo daugikliai.

Pavyzdys 75 ir 60 numeriams.
Mažiausią skaičių 75 ir 60 bendrąjį kartotinį galima rasti neužrašant šių skaičių kartotinių iš eilės. Norėdami tai padaryti, padalykite 75 ir 60 į paprastus veiksnius:
75 = 3 * 5 * 5, a
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Kaip matote, 3 ir 5 faktoriai rodomi abiejose eilutėse. Protiškai mes juos „perbraukiame“.
Užrašykime likusius veiksnius, įtrauktus į kiekvieno iš šių skaičių išplėtimą. Išskaidžius skaičių 75 liekame su skaičiumi 5, o išskaidžius skaičių 60 – 2 * 2
Tai reiškia, kad norint nustatyti skaičių 75 ir 60 LCM, turime padauginti likusius skaičius iš 75 išplėtimo (tai yra 5) iš 60 ir padauginti skaičius, likusius iš 60 išplėtimo (tai yra 2). * 2) iš 75. Tai yra, kad būtų lengviau suprasti, sakome, kad dauginame „skersai“.
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Taip radome skaičių 60 ir 75 LCM. Tai skaičius 300.

Pavyzdys. Nustatykite skaičių 12, 16, 24 LCM
Tokiu atveju mūsų veiksmai bus šiek tiek sudėtingesni. Bet pirmiausia, kaip visada, suskaidykime visus skaičius
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Norėdami teisingai nustatyti LCM, pasirenkame mažiausią iš visų skaičių (tai yra skaičius 12) ir nuosekliai peržiūrime jo veiksnius, juos perbraukdami, jei bent vienoje iš kitų skaičių eilučių susiduriame su tuo pačiu veiksniu, kurio dar nėra. buvo perbrauktas.

1 žingsnis . Matome, kad 2 * 2 pasitaiko visose skaičių serijose. Perbraukime juos.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

2 veiksmas. Skaičiaus 12 pirminiuose veiksniuose lieka tik skaičius 3, tačiau jis yra pirminiuose skaičiaus 24 veiksniuose. Išbraukiame skaičių 3 iš abiejų eilučių, o su skaičiumi 16 veiksmų nesitikima. .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Kaip matote, išskaidydami skaičių 12, mes „nubraukėme“ visus skaičius. Tai reiškia, kad LOC paieška baigta. Belieka tik apskaičiuoti jo vertę.
Jei norite gauti skaičių 12, paimkite likusius skaičiaus 16 veiksnius (toliau didėjančia tvarka)
12 * 2 * 2 = 48
Tai yra NOC

Kaip matote, šiuo atveju LCM rasti buvo šiek tiek sunkiau, tačiau kai reikia jį rasti trims ar daugiau numerių, šis metodas leidžia tai padaryti greičiau. Tačiau abu LCM paieškos būdai yra teisingi.

Moksleiviams pateikiama daug matematikos užduočių. Tarp jų labai dažnai kyla problemų dėl šios formuluotės: yra dvi reikšmės. Kaip rasti mažiausią bendrąjį duotųjų skaičių kartotinį? Būtina mokėti atlikti tokias užduotis, nes įgyti įgūdžiai naudojami dirbant su trupmenomis, kai skirtingus vardiklius. Šiame straipsnyje apžvelgsime, kaip rasti LOC ir pagrindines sąvokas.

Prieš rasdami atsakymą į klausimą, kaip rasti LCM, turite apibrėžti terminą "daugelis".. Dažniausiai šios sąvokos formuluotė skamba taip: tam tikros reikšmės kartotinis A yra natūralusis skaičius, kuris dalijasi iš A be liekanos. Taigi 4 kartotiniai bus 8, 12, 16, 20. ir taip toliau, iki reikiamos ribos.

Šiuo atveju konkrečios reikšmės daliklių skaičius gali būti ribojamas, tačiau kartotinių yra be galo daug. Ta pati vertė yra ir gamtos vertybėms. Tai rodiklis, kuris yra padalintas į juos be likučio. Supratę tam tikrų rodiklių mažiausios reikšmės sąvoką, pereikime prie to, kaip ją rasti.

NOC radimas

Mažiausias dviejų ar daugiau eksponentų kartotinis yra mažiausias natūralusis skaičius, kuris visiškai dalijasi iš visų nurodytų skaičių.

Yra keletas būdų, kaip rasti tokią vertę, apsvarstykite šiuos metodus:

1. Jei skaičiai yra maži, užrašykite ant eilutės visus tuos, kurie dalijasi iš jo. Tęskite tai tol, kol tarp jų rasite ką nors bendro. Raštu jie žymimi raide K. Pavyzdžiui, 4 ir 3 mažiausias kartotinis yra 12.
2. Jei jie yra dideli arba jums reikia rasti 3 ar daugiau reikšmių kartotinį, turėtumėte naudoti kitą metodą, kuris apima skaičių skaidymą į pirminius veiksnius. Pirmiausia išdėliokite didžiausią išvardintą, tada visus kitus. Kiekvienas iš jų turi savo skaičių daugiklių. Pavyzdžiui, išskaidykime 20 (2*2*5) ir 50 (5*5*2). Mažesnio veiksnius pabraukite ir pridėkite prie didžiausio. Rezultatas bus 100, o tai bus mažiausias pirmiau minėtų skaičių bendras kartotinis.
3. Radus 3 skaičius (16, 24 ir 36), principai yra tokie patys kaip ir kitų dviejų. Išplėskime kiekvieną iš jų: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Tik du du iš skaičiaus 16 išplėtimo nebuvo įtraukti į didžiausio išplėtimą. Sudedame juos ir gauname 144, tai yra mažiausias rezultatas pagal anksčiau nurodytas skaitines reikšmes.

Dabar žinome, kokia yra bendroji dviejų, trijų ar daugiau verčių mažiausios vertės nustatymo metodika. Tačiau yra ir privačių metodų, padeda ieškoti NOC, jei ankstesni nepadeda.

Kaip rasti GCD ir NOC.

Privatūs paieškos metodai

Kaip ir bet kurioje matematinėje dalyje, yra ypatingų LCM radimo atvejų, kurie padeda konkrečiose situacijose:

• jei vienas iš skaičių dalijasi iš kitų be liekanos, tai mažiausias šių skaičių kartotinis jam lygus (60 ir 15 LCM yra 15);
• santykinai pirminiai skaičiai neturi bendrų pirminių veiksnių. Mažiausia jų reikšmė lygi šių skaičių sandaugai. Taigi skaičiams 7 ir 8 bus 56;
• ta pati taisyklė galioja ir kitais atvejais, įskaitant specialiuosius, apie kuriuos galima pasiskaityti specializuotoje literatūroje. Tai taip pat turėtų apimti sudėtinių skaičių išskaidymo atvejus, kurie yra atskirų straipsnių ir net kandidatų disertacijų tema.

Ypatingi atvejai yra mažiau paplitę nei standartiniai pavyzdžiai. Tačiau jų dėka galite išmokti dirbti su įvairaus sudėtingumo frakcijomis. Tai ypač pasakytina apie trupmenas, kur yra nevienodi vardikliai.

Kai kurie pavyzdžiai

Pažvelkime į kelis pavyzdžius, kurie padės suprasti mažiausio kartojimo principą:

1. Raskite LOC (35; 40). Pirmiausia išskaidome 35 = 5*7, tada 40 = 5*8. Pridėkite 8 prie mažiausio skaičiaus ir gaukite LOC 280.
2. NOC (45; 54). Kiekvieną iš jų išskaidome: 45 = 3*3*5 ir 54 = 3*3*6. Prie 45 pridedame skaičių 6. Gauname LCM lygų 270.
3. Na, paskutinis pavyzdys. Yra 5 ir 4. Pirminių jų kartotinių nėra, todėl mažiausias bendrasis kartotinis šiuo atveju bus jų sandauga, kuri lygi 20.

Pavyzdžių dėka galite suprasti, kaip yra NOC, kokie yra niuansai ir kokia yra tokių manipuliacijų prasmė.

NOC rasti yra daug lengviau, nei gali atrodyti iš pradžių. Tam naudojamas paprastas išplėtimas ir daugyba paprastos vertybės Vienas kitą. Gebėjimas dirbti su šia matematikos dalimi padeda toliau studijuoti matematines temas, ypač trupmenas įvairaus laipsnio sunkumų.

Nepamirškite periodiškai spręsti pavyzdžių įvairių metodų, tai lavina loginį aparatą ir leidžia atsiminti daugybę terminų. Sužinokite, kaip rasti tokį rodiklį, ir galėsite gerai atlikti likusias matematikos dalis. Sėkmės mokantis matematikos!

Vaizdo įrašas

Šis vaizdo įrašas padės suprasti ir prisiminti, kaip rasti mažiausią bendrąjį kartotinį.

Kaip rasti mažiausią bendrą kartotinį?

Turime rasti kiekvieną kiekvieno iš dviejų skaičių, kurių randame mažiausią bendrą kartotinį, koeficientą, o tada padauginti vienas iš kito veiksnius, kurie sutampa pirmajame ir antrajame skaičiais. Produkto rezultatas bus reikalingas kartotinis.

Pavyzdžiui, turime skaičius 3 ir 5 ir turime rasti LCM (mažiausią bendrą kartotinį). Mes reikia padauginti ir trys ir penki visiems skaičiams, prasidedantiems nuo 1 2 3 ... ir taip toliau, kol pamatysime tą patį skaičių abiejose vietose.

Padauginkite tris ir gaukite: 3, 6, 9, 12, 15

Padauginkite iš penkių ir gaukite: 5, 10, 15

Pirminio faktorizavimo metodas yra pats klasikinis kelių skaičių mažiausiai bendrojo kartotinio (LCM) radimo metodas. Šis metodas aiškiai ir paprastai parodytas šiame vaizdo įraše:

Sudėti, dauginti, dalyti, mažinti iki bendro vardiklio ir kitos aritmetinės operacijos yra labai įdomi veikla, ypač žaviuosi pavyzdžiais, kurie užima visą lapą.

Taigi raskite bendrą dviejų skaičių kartotinį, kuris bus mažiausias skaičius, iš kurio padalyti du skaičiai. Noriu pastebėti, kad norint rasti tai, ko ieškote, nebūtina ateityje griebtis formulių, jei galite mintyse skaičiuoti (ir tai galima išmokyti), tada galvoje pasirodo patys skaičiai ir tada frakcijos trūkinėja kaip riešutai.

Pirmiausia sužinokime, kad galite padauginti du skaičius vienas iš kito, tada sumažinti šį skaičių ir padalyti pakaitomis iš šių dviejų skaičių, taip rasime mažiausią kartotinį.

Pavyzdžiui, du skaičiai 15 ir 6. Padauginkite ir gaukite 90. Tai akivaizdu didesnis skaičius. Be to, 15 dalijasi iš 3, o 6 dalijasi iš 3, vadinasi, mes taip pat dalijame 90 iš 3. Gauname 30. Bandome 30 padalinti 15 lygu 2. Ir 30 padalinti 6 lygu 5. Kadangi 2 yra riba, jis pasisuka. kad mažiausias skaičių kartotinis yra 15, o 6 bus 30.

Su didesniais skaičiais bus šiek tiek sunkiau. bet jei žinote, kurie skaičiai dalijant ar dauginant palieka nulį, tai iš esmės didelių sunkumų nekyla.

• Kaip rasti NOC

  Štai vaizdo įrašas, kuriame rasite du būdus, kaip rasti mažiausią bendrąjį kartotinį (LCM). Pasipraktikuodami naudodami pirmąjį iš siūlomų metodų, galite geriau suprasti, kas yra rečiausias kartotinis.

Pateikiu kitą būdą, kaip rasti mažiausią bendrą kartotinį. Pažvelkime į tai aiškiu pavyzdžiu.

Vienu metu turite rasti trijų skaičių LCM: 16, 20 ir 28.

• Kiekvieną skaičių pavaizduojame kaip jo pirminių veiksnių sandaugą:
• Užrašome visų pirminių veiksnių galias:

16 = 224 = 2^24^1

20 = 225 = 2^25^1

28 = 227 = 2^27^1

• Parenkame visus pirminius daliklius (daugiklius), turinčius didžiausias galias, juos padauginame ir randame LCM:

LCM = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.

LCM(16; 20; 28) = 560.

Taigi skaičiavimo rezultatas buvo skaičius 560. Tai mažiausias bendras kartotinis, tai yra, dalijasi iš kiekvieno iš trijų skaičių be liekanos.

Mažiausias bendras kartotinis yra skaičius, kurį galima padalyti į kelis duotus skaičius nepaliekant likučio. Norėdami apskaičiuoti tokį skaičių, turite paimti kiekvieną skaičių ir išskaidyti jį į paprastus veiksnius. Sutampantys skaičiai pašalinami. Palieka visus po vieną, padaugina juos tarpusavyje ir gauna norimą – mažiausią bendrą kartotinį.

NOC arba mažiausias bendras kartotinis, yra mažiausias natūralusis dviejų ar daugiau skaičių skaičius, kuris dalijasi iš kiekvieno iš pateiktų skaičių be liekanos.

Štai pavyzdys, kaip rasti mažiausią bendrą skaičių 30 ir 42 kartotinį.

• Pirmas žingsnis yra įtraukti šiuos skaičius į pirminius veiksnius.

30 yra 2 x 3 x 5.

42 atveju tai yra 2 x 3 x 7. Kadangi 2 ir 3 yra skaičiaus 30 plėtinyje, juos išbraukiame.

• Išrašome veiksnius, kurie yra įtraukti į skaičiaus 30 išplėtimą. Tai yra 2 x 3 x 5.
• Dabar reikia juos padauginti iš trūkstamo koeficiento, kurį turime išplečiant 42, kuris yra 7. Gauname 2 x 3 x 5 x 7.
• Surandame, kam yra 2 x 3 x 5 x 7, ir gauname 210.

Dėl to matome, kad skaičių 30 ir 42 LCM yra 210.

Norėdami rasti mažiausią bendrą kartotinį, turite atlikti kelis iš eilės paprasti veiksmai. Pažvelkime į tai naudodami du skaičius kaip pavyzdį: 8 ir 12

1. Abu skaičius sudedame į pirminius koeficientus: 8=2*2*2 ir 12=3*2*2
2. Vieno iš skaičių tuos pačius veiksnius sumažiname. Mūsų atveju 2 * 2 sutampa, sumažinkime juos iki 12, tada 12 liks vienas koeficientas: 3.
3. Raskite visų likusių faktorių sandaugą: 2*2*2*3=24

Tikrindami įsitikiname, kad 24 dalijasi ir iš 8, ir iš 12, ir tai yra mažiausias natūralusis skaičius, kuris dalijasi iš kiekvieno iš šių skaičių. Štai ir mes rado mažiausią bendrą kartotinį.

Pabandysiu paaiškinti, kaip pavyzdį naudodamas skaičius 6 ir 8. Mažiausias bendras kartotinis yra skaičius, kurį galima padalyti iš šių skaičių (mūsų atveju iš 6 ir 8), o likučio nebus.

Taigi, pirmiausia pradedame dauginti 6 iš 1, 2, 3 ir tt ir 8 iš 1, 2, 3 ir tt.

Mažiausias bendras dviejų skaičių kartotinis yra tiesiogiai susijęs su didžiausiu bendruoju tų skaičių dalikliu. Tai ryšys tarp GCD ir NOC nustatoma pagal šią teoremą.

Teorema.

Mažiausias dviejų teigiamų sveikųjų skaičių a ir b kartotinis yra lygus a ir b sandaugai, padalytai iš didžiausio bendras daliklis skaičiai a ir b, tai yra, LCM(a, b)=a b:GCD(a, b).

Įrodymas.

Leisti M yra tam tikras skaičių a ir b kartotinis. Tai yra, M dalijasi iš a, o pagal dalijimosi apibrėžimą yra koks nors sveikasis skaičius k, kad lygybė M=a·k yra teisinga. Bet M taip pat dalijasi iš b, tada a·k dalijasi iš b.

Pažymėkime gcd(a, b) kaip d. Tada galime užrašyti lygybes a=a 1 ·d ir b=b 1 ·d, o a 1 =a:d ir b 1 =b:d bus santykinai pirminiai skaičiai. Vadinasi, ankstesnėje pastraipoje gautą sąlygą, kad a · k dalijasi iš b, galima performuluoti taip: a 1 · d · k dalijama iš b 1 · d , ir tai dėl dalijamumo savybių yra lygiavertė sąlygai kad a 1 · k dalijasi iš b 1 .

Taip pat turite užsirašyti dvi svarbias nagrinėjamos teoremos pasekmes.

Dviejų skaičių bendrieji kartotiniai yra tokie patys kaip jų mažiausio bendro kartotiniai.

Taip yra iš tikrųjų, nes bet kuris bendras skaičių a ir b M kartotinis yra nulemtas lygybės M=LMK(a, b)·t kai kuriai sveikojo skaičiaus reikšmei t.

Mažiausias koprime bendras kartotinis teigiami skaičiai a ir b yra lygūs jų sandaugai.

Šio fakto priežastis yra gana akivaizdi. Kadangi a ir b yra santykinai pirminiai, tada gcd(a, b)=1, todėl GCD(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

Mažiausias bendras trijų ar daugiau skaičių kartotinis

Mažiausio trijų ar daugiau skaičių bendro kartotinio radimas gali būti sumažintas iki dviejų skaičių LCM iš eilės. Kaip tai daroma, parodyta sekančioje teoremoje a 1 , a 2 , …, a k sutampa su skaičių m k-1 bendraisiais kartotiniais, todėl a k sutampa su skaičiaus m k bendraisiais kartotiniais. O kadangi mažiausias teigiamas skaičiaus m k kartotinis yra pats skaičius m k, tai mažiausias skaičių a 1, a 2, ..., a k bendras kartotinis yra m k.

Bibliografija.

• Vilenkinas N.Ya. ir kiti. 6 klasė: vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigoms.
• Vinogradovas I.M. Skaičių teorijos pagrindai.
• Mikhelovičius Sh.H. Skaičių teorija.
• Kulikovas L.Ya. ir kiti algebros ir skaičių teorijos uždaviniai: Pamoka fizikos ir matematikos studentams. pedagoginių institutų specialybės.