Natūralūs skaičiai. Natūraliųjų skaičių serija

Paprasčiau tariant, tai daržovės, virtos vandenyje pagal specialų receptą. Apsvarstysiu du pradinius komponentus (daržovių salotas ir vandenį) ir galutinį rezultatą - barščius. Geometriškai jį galima įsivaizduoti kaip stačiakampį, kurio viena pusė reiškia salotas, o kita - vandenį. Šių dviejų pusių suma parodys barščius. Tokio „barščio“ stačiakampio įstrižainė ir plotas yra grynai matematines sąvokas ir niekada nenaudojami barščių receptuose.

Matematikos vadovėliuose nieko nerasite apie tiesines kampines funkcijas. Bet be jų negali būti matematikos. Matematikos dėsniai, kaip ir gamtos dėsniai, veikia nepriklausomai nuo to, ar žinome apie jų egzistavimą, ar ne.

Tiesinės kampinės funkcijos yra sudėjimo dėsniai. Pažiūrėkite, kaip algebra virsta geometrija, o geometrija – trigonometrija.

Ar galima apsieiti be linijinių kampinių funkcijų? Tai įmanoma, nes matematikai vis tiek apsieina be jų. Matematikos gudrybė yra ta, kad jie mums visada pasakoja tik apie tas problemas, kurias patys žino, kaip išspręsti, ir niekada nekalba apie tas problemas, kurių negali išspręsti. Žiūrėk. Jei žinome sudėjimo ir vieno nario rezultatą, kitam dėmeniui rasti naudojame atimtį. Visi. Mes nežinome kitų problemų ir nežinome, kaip jas išspręsti. Ką daryti, jei žinome tik pridėjimo rezultatą ir nežinome abiejų terminų? Šiuo atveju sudėjimo rezultatas turi būti išskaidytas į du terminus, naudojant tiesines kampines funkcijas. Toliau mes patys pasirenkame, koks gali būti vienas narys, o tiesinės kampinės funkcijos parodo, koks turi būti antrasis narys, kad pridėjimo rezultatas būtų būtent toks, kokio mums reikia. Tokių terminų porų gali būti be galo daug. IN kasdienybė Mes galime puikiai, neišskaidydami sumos, mums pakanka. Bet kada mokslinius tyrimus gamtos dėsniai, suskaidymas į jos komponentus gali būti labai naudingas.

Kitas papildymo dėsnis, apie kurį matematikai nemėgsta kalbėti (dar vienas jų triukas), reikalauja, kad terminai turėtų tuos pačius matavimo vienetus. Salotoms, vandeniui ir barščiams tai gali būti svorio, tūrio, vertės arba matavimo vienetai.

Paveiksle pavaizduoti du matematinio skirtumo lygiai. Pirmasis lygis yra skaičių lauko skirtumai, kurie yra nurodyti a, b, c. Taip daro matematikai. Antrasis lygis yra matavimo vienetų lauko skirtumai, kurie rodomi laužtiniuose skliaustuose ir nurodomi raide U. Taip daro fizikai. Galime suprasti trečiąjį lygmenį – aprašomų objektų ploto skirtumus. Skirtingi objektai gali turėti tiek pat identiškų matavimo vienetų. Kaip tai svarbu, matome barščių trigonometrijos pavyzdyje. Jei prie to paties skirtingų objektų matavimo vienetų žymėjimo pridėsime apatinius indeksus, galėtume tiksliai pasakyti, kuris matematinis dydis apibūdina konkretų objektą ir kaip jis keičiasi laikui bėgant arba dėl mūsų veiksmų. Laiškas W Vandenį pažymėsiu raide S Aš pažymėsiu salotas raide B- barščiai. Taip atrodys barščių linijinės kampinės funkcijos.

Jei paimsime dalį vandens ir dalį salotų, kartu jos pavirs viena barščių porcija. Čia siūlau šiek tiek pailsėti nuo barščių ir prisiminti tolimą vaikystę. Prisimeni, kaip mus mokė sujungti zuikius ir antis? Reikėjo išsiaiškinti, kiek bus gyvūnų. Ko tada buvome išmokyti? Mus mokė atskirti matavimo vienetus nuo skaičių ir sudėti skaičius. Taip, bet kurį numerį galima pridėti prie bet kurio kito skaičiaus. Tai tiesus kelias į šiuolaikinės matematikos autizmą – mes tai darome nesuprantamai, ką, nesuprantamai kodėl ir labai menkai suprantame, kaip tai susiję su realybe, nes dėl trijų skirtumų lygių matematikai operuoja tik su vienu. Teisingiau būtų išmokti pereiti nuo vieno matavimo vieneto prie kito.

Kiškučius, antis ir gyvūnėlius galima suskaičiuoti gabalais. Vienas bendras skirtingų objektų matavimo vienetas leidžia juos sujungti. Tai vaikiška problemos versija. Pažvelkime į panašią užduotį suaugusiems. Ką gausite pridėję zuikius ir pinigų? Čia galime pasiūlyti du sprendimus.

Pirmas variantas. Mes apibrėžiame rinkos vertės zuikius ir pridėkite prie turimos pinigų sumos. Mes gavome bendrą mūsų turto vertę pinigine išraiška.

Antras variantas. Prie mūsų turimo skaičiaus galite pridėti zuikių skaičių banknotai. Kilnojamojo turto kiekį gausime vienetais.

Kaip matote, tas pats papildymo įstatymas leidžia gauti skirtingus rezultatus. Viskas priklauso nuo to, ką tiksliai norime žinoti.

Bet grįžkime prie mūsų barščių. Dabar pamatysime, kas bus kada skirtingos reikšmės tiesinių kampinių funkcijų kampas.

Kampas lygus nuliui. Turime salotų, bet ne vandens. Mes nemokame virti barščių. Barščių kiekis taip pat lygus nuliui. Tai visai nereiškia, kad nulis barščių yra lygus nuliui vandens. Gali būti nuliniai barščiai su nulinėmis salotomis (stačiu kampu).

Man asmeniškai tai yra pagrindinis matematinis įrodymas, kad . Nulis nekeičia skaičiaus, kai pridedamas. Taip atsitinka todėl, kad pats papildymas neįmanomas, jei yra tik vienas narys ir trūksta antrojo. Galite jausti tai kaip norite, bet atminkite - visas matematines operacijas su nuliu sugalvojo patys matematikai, todėl meskite savo logiką ir kvailai prikimškite matematikų sugalvotus apibrėžimus: „dalyti iš nulio neįmanoma“, „bet koks skaičius padaugintas iš nulis lygus nuliui“, „už pradūrimo taško nulis“ ir kitos nesąmonės. Pakanka vieną kartą prisiminti, kad nulis nėra skaičius, ir daugiau niekada nekils klausimų, ar nulis yra natūralusis skaičius, ar ne, nes toks klausimas praranda bet kokią prasmę: kaip tai, kas nėra skaičius, gali būti laikomas skaičiumi ? Tai panašu į klausimą, prie kokios spalvos turėtų būti priskirta nematoma spalva. Pridėti nulį prie skaičiaus yra tas pats, kas tapyti dažais, kurių nėra. Pamojavome sausu teptuku ir visiems pasakėme, kad „dažėme“. Bet aš šiek tiek nukrypstu.

Kampas yra didesnis nei nulis, bet mažesnis nei keturiasdešimt penki laipsniai. Turime daug salotų, bet nepakankamai vandens. Dėl to gausime tirštus barščius.

Kampas yra keturiasdešimt penki laipsniai. Vandens ir salotų turime vienodus kiekius. Tai tobuli barščiai (atleiskite, virėjai, tai tik matematika).

Kampas yra didesnis nei keturiasdešimt penki laipsniai, bet mažesnis nei devyniasdešimt laipsnių. Turime daug vandens ir mažai salotų. Gausite skystų barščių.

Tiesus kampas. Turime vandens. Iš salotų lieka tik prisiminimai, nes toliau matuojame kampą nuo linijos, kuri kadaise žymėjo salotas. Mes nemokame virti barščių. Barščių kiekis lygus nuliui. Tokiu atveju laikykis ir gerk vandens, kol jo turi)))

Čia. Kažkas panašaus. Čia galiu papasakoti kitų istorijų, kurios čia būtų daugiau nei tinkamos.

Du draugai turėjo savo akcijų bendrame versle. Nužudžius vieną iš jų, viskas atiteko kitam.

Matematikos atsiradimas mūsų planetoje.

Visos šios istorijos pasakojamos matematikos kalba naudojant tiesines kampines funkcijas. Kada nors kitą kartą parodysiu tikrąją šių funkcijų vietą matematikos struktūroje. Tuo tarpu grįžkime prie barščių trigonometrijos ir apsvarstykime projekcijas.

Šeštadienis, 2019 m. spalio 26 d

2019 m. rugpjūčio 7 d., trečiadienis

Baigdami pokalbį, turime apsvarstyti begalinį rinkinį. Esmė ta, kad „begalybės“ sąvoka veikia matematikus taip, kaip boa konstriktorius veikia triušį. Drebantis begalybės siaubas atima iš matematikų sveiką protą. Štai pavyzdys:

Pradinis šaltinis yra. Alfa reiškia realų skaičių. Lygybės ženklas aukščiau pateiktose išraiškose rodo, kad jei prie begalybės pridėsite skaičių arba begalybę, niekas nepasikeis, rezultatas bus ta pati begalybė. Jei kaip pavyzdį paimsime begalinę natūraliųjų skaičių aibę, tada nagrinėjamus pavyzdžius galima pavaizduoti taip:

Norėdami aiškiai įrodyti, kad jie buvo teisūs, matematikai sugalvojo daugybę skirtingų metodų. Asmeniškai aš į visus šiuos metodus žiūriu kaip į šamanus, šokančius su tamburinais. Iš esmės jie visi susiveda į tai, kad kai kurie kambariai yra neapgyvendinti ir įsikelia nauji svečiai, arba kai kurie lankytojai yra išmesti į koridorių, kad būtų vietos svečiams (labai žmogiškai). Savo požiūrį į tokius sprendimus pateikiau fantastinės istorijos apie blondinę forma. Kuo remiasi mano samprotavimai? Begalinio lankytojų skaičiaus perkėlimas užima be galo daug laiko. Kai atlaisvinsime pirmą kambarį svečiui, vienas iš lankytojų visada eis koridoriumi iš savo kambario į kitą iki laiko pabaigos. Žinoma, laiko faktorių galima kvailai ignoruoti, bet tai bus kategorija „neįstatymas nėra parašytas kvailiams“. Viskas priklauso nuo to, ką mes darome: prideriname tikrovę prie matematinių teorijų ar atvirkščiai.

Kas yra „begalinis viešbutis“? Begalinis viešbutis yra viešbutis, kuriame visada yra bet koks tuščių lovų skaičius, nepaisant to, kiek kambarių yra užimta. Jei begaliniame „lankytojų“ koridoriuje visi kambariai užimti, atsiranda kitas begalinis koridorius su „svečių“ kambariais. Tokių koridorių bus be galo daug. Be to, „begalinis viešbutis“ turi begalinį aukštų skaičių begaliniame skaičiuje pastatų begaliniame skaičiuje planetų begaliniame skaičiuje visatų, sukurtų begalinio skaičiaus dievų. Matematikai nesugeba atsiriboti nuo banalių kasdienių problemų: visada yra tik vienas Dievas-Allah-Buda, yra tik vienas viešbutis, yra tik vienas koridorius. Taigi matematikai bando manipuliuoti serijos numeriais viešbučio kambariai, įtikindamas mus, kad įmanoma „įstumti tai, ko negalima nustumti“.

Savo samprotavimų logiką jums parodysiu naudodamas begalinės natūraliųjų skaičių aibės pavyzdį. Pirmiausia reikia atsakyti į labai paprastą klausimą: kiek yra natūraliųjų skaičių aibių – vienas ar daug? Nėra teisingo atsakymo į šį klausimą, nes mes patys sugalvojome skaičius gamtoje. Taip, Gamta puikiai moka skaičiuoti, tačiau tam ji naudoja kitus mums nepažįstamus matematinius įrankius. Kitą kartą pasakysiu, ką gamta galvoja. Kadangi mes išradome skaičius, mes patys nuspręsime, kiek yra natūraliųjų skaičių aibių. Apsvarstykime abu variantus, kaip ir dera tikriems mokslininkams.

Variantas vienas. „Duokite mums“ vieną natūraliųjų skaičių rinkinį, kuris ramiai guli lentynoje. Šį rinkinį paimame iš lentynos. Tai štai, kitų natūraliųjų skaičių lentynoje neliko ir nėra kur paimti. Negalime jo pridėti prie šio rinkinio, nes jį jau turime. O jeigu tu tikrai to nori? Jokių problemų. Galime paimti vieną iš jau paimto rinkinio ir grąžinti į lentyną. Po to galime paimti vieną iš lentynos ir pridėti prie to, kas liko. Dėl to vėl gausime begalinę natūraliųjų skaičių aibę. Visas mūsų manipuliacijas galite užrašyti taip:

Veiksmus užrašiau algebriniu ir aibių teorijos žymėjimu, detaliai išvardijau aibės elementus. Indeksas rodo, kad turime vieną ir vienintelį natūraliųjų skaičių rinkinį. Pasirodo, natūraliųjų skaičių aibė išliks nepakitusi tik iš jos atėmus vieną ir pridėjus tą patį vienetą.

Antras variantas. Savo lentynoje turime daugybę skirtingų begalinių natūraliųjų skaičių rinkinių. Pabrėžiu – SKIRTINGI, nepaisant to, kad jie praktiškai nesiskiria. Paimkime vieną iš šių rinkinių. Tada paimame vieną iš kitos natūraliųjų skaičių aibės ir pridedame prie jau paimtos aibės. Galime pridėti net dvi natūraliųjų skaičių aibes. Štai ką mes gauname:

Indeksai „vienas“ ir „du“ rodo, kad šie elementai priklausė skirtingiems rinkiniams. Taip, jei pridėsite vieną prie begalinės aibės, rezultatas taip pat bus begalinis aibė, tačiau jis nebus toks pat kaip pradinis rinkinys. Jei prie vienos begalinės aibės pridėsite kitą begalinę aibę, bus sukurta nauja begalinė aibė, susidedanti iš pirmųjų dviejų aibių elementų.

Natūraliųjų skaičių aibė naudojama skaičiuoti taip pat, kaip liniuote matuoti. Dabar įsivaizduokite, kad prie liniuotės pridėjote vieną centimetrą. Tai bus kita eilutė, neprilygsta pradinei.

Galite priimti arba nepriimti mano samprotavimų – tai jūsų pačių reikalas. Bet jei kada nors susidursite su matematinėmis problemomis, pagalvokite, ar einate klaidingų samprotavimų keliu, kurį žengia matematikų kartos. Juk matematikos pamokos visų pirma formuoja mumyse stabilų mąstymo stereotipą, o tik tada papildo mūsų protinius gebėjimus(arba atvirkščiai, jie atima iš mūsų laisvą mąstymą).

pozg.ru

2019 m. rugpjūčio 4 d., sekmadienis

Baigiau rašyti straipsnį apie tai ir pamačiau šį nuostabų tekstą Vikipedijoje:

Skaitome: „... turtingas teorinis pagrindas Babilono matematika neturėjo holistinio pobūdžio ir buvo sumažinta iki skirtingų metodų, neturinčių bendra sistema ir įrodymų bazė“.

Oho! Kokie mes protingi ir kaip gerai matome kitų trūkumus. Ar mums sunku tame pačiame kontekste pažvelgti į šiuolaikinę matematiką? Šiek tiek perfrazuodamas aukščiau pateiktą tekstą, aš asmeniškai gavau štai ką:

Turtingas šiuolaikinės matematikos teorinis pagrindas neturi holistinio pobūdžio ir yra sumažintas iki skirtingų skyrių rinkinio, neturinčio bendros sistemos ir įrodymų bazės.

Toli neisiu, kad patvirtinčiau savo žodžius – jos kalba ir sutartys skiriasi nuo kalbos ir simboliai daugelis kitų matematikos šakų. Tie patys pavadinimai skirtingose ​​matematikos šakose gali turėti skirtingas reikšmes. Aiškiausioms šiuolaikinės matematikos klaidoms noriu skirti visą eilę publikacijų. Iki pasimatymo.

Šeštadienis, 2019 m. rugpjūčio 3 d

Kaip aibę padalyti į poaibius? Norėdami tai padaryti, turite įvesti naują matavimo vienetą, kuris yra kai kuriuose pasirinkto rinkinio elementuose. Pažiūrėkime į pavyzdį.

Tegul turime daug A susidedantis iš keturių žmonių. Šis rinkinys sudarytas remiantis „žmonėmis“ Pažymėkime raide A, indeksas su numeriu nurodys kiekvieno šio rinkinio asmens serijos numerį. Įveskime naują matavimo vienetą „lytis“ ir pažymėkime jį raide b. Kadangi seksualinės savybės būdingos visiems žmonėms, mes padauginame kiekvieną rinkinio elementą A remiantis lytimi b. Atkreipkite dėmesį, kad mūsų „žmonių“ rinkinys dabar tapo „žmonių, turinčių lyčių savybių“, rinkiniu. Po to galime suskirstyti seksualines savybes į vyriškas bm ir moterų bw seksualinės savybės. Dabar galime pritaikyti matematinį filtrą: pasirenkame vieną iš šių seksualinių savybių, nesvarbu, kuri – vyriška ar moteriška. Jei žmogus turi, tai dauginame iš vieneto, jei tokio ženklo nėra, dauginame iš nulio. Ir tada mes naudojame įprastą mokyklinę matematiką. Pažiūrėk, kas atsitiko.

Po dauginimo, mažinimo ir pertvarkymo gavome du pogrupius: vyrų pogrupį Bm ir moterų pogrupis Bw. Matematikai samprotauja maždaug taip pat, kai aibių teoriją taiko praktiškai. Tačiau jie mums nepasako detalių, o pateikia galutinį rezultatą – „daug žmonių susideda iš vyrų ir moterų pogrupio“. Natūralu, kad jums gali kilti klausimas: kaip teisingai matematika buvo pritaikyta aukščiau aprašytose transformacijose? Drįstu patikinti, kad iš esmės transformacijos buvo padarytos teisingai, pakanka žinoti aritmetikos, Būlio algebros ir kitų matematikos šakų matematinius pagrindus. kas tai? Kažkada apie tai papasakosiu.

Kalbant apie superrinkinius, galite sujungti du rinkinius į vieną superrinkinį, pasirinkdami šių dviejų rinkinių elementuose esantį matavimo vienetą.

Kaip matote, matavimo vienetai ir įprasta matematika aibių teoriją paverčia praeities reliktu. Požymis, kad su aibių teorija ne viskas gerai, yra tai, kad matematikai sugalvojo savo kalbą ir žymėjimą aibių teorijai. Matematikai elgėsi kaip kadaise šamanai. Tik šamanai žino, kaip „teisingai“ pritaikyti savo „žinias“. Jie mus moko šių „žinių“.

Baigdamas noriu parodyti, kaip matematikai manipuliuoja .

Pirmadienis, 2019 m. sausio 7 d

Penktame amžiuje prieš Kristų senovės graikų filosofas Zenonas iš Elėjos suformulavo savo garsiąsias aporijas, iš kurių garsiausia yra „Achilo ir vėžlio“ aporija. Štai kaip tai skamba:

Tarkime, Achilas bėga dešimt kartų greičiau už vėžlį ir atsilieka nuo jo tūkstančiu žingsnių. Per tą laiką, kurio Achilui reikia nubėgti šį atstumą, vėžlys nušliaups šimtą žingsnių ta pačia kryptimi. Kai Achilas nubėga šimtą žingsnių, vėžlys šliaužia dar dešimt žingsnių ir t.t. Procesas tęsis iki begalybės, Achilas niekada nepasivys vėžlio.

Šis samprotavimas tapo logišku šoku visoms vėlesnėms kartoms. Aristotelis, Diogenas, Kantas, Hegelis, Hilbertas... Visi jie vienaip ar kitaip svarstė Zenono aporiją. Šokas buvo toks stiprus, kad " ... diskusijos tęsiasi iki šiol, mokslo bendruomenė dar nesugebėjo prieiti prie bendros nuomonės apie paradoksų esmę... į klausimo tyrimą įtraukta matematinė analizė, aibių teorija, nauji fizikiniai ir filosofiniai požiūriai; ; nė vienas iš jų netapo visuotinai priimtu problemos sprendimu..."[Wikipedia, "Zeno aporia". Visi supranta, kad yra kvailinami, bet niekas nesupranta, iš ko susideda apgaulė.

Matematiniu požiūriu Zenonas savo aporijoje aiškiai pademonstravo perėjimą nuo kiekybės prie . Šis perėjimas reiškia taikymą, o ne nuolatinį. Kiek suprantu, matematinis taikymo aparatas kintamieji vienetai matavimas arba dar nesukurtas, arba nepritaikytas Zenono aporijai. Mūsų naudojimas įprasta logikaįveda mus į spąstus. Mes, dėl mąstymo inercijos, abipusei vertei taikome pastovius laiko vienetus. Iš fizinės pusės tai atrodo kaip laikas sulėtėjęs, kol visiškai sustoja tuo metu, kai Achilas pasiveja vėžlį. Jei laikas sustos, Achilas nebegali aplenkti vėžlio.

Jei apverstume savo įprastą logiką, viskas stoja į savo vietas. Achilas bėga pastoviu greičiu. Kiekviena paskesnė jo kelio atkarpa yra dešimt kartų trumpesnė nei ankstesnė. Atitinkamai, laikas, skirtas jai įveikti, yra dešimt kartų mažesnis nei ankstesnis. Jei šioje situacijoje pritaikytume „begalybės“ sąvoką, būtų teisinga sakyti „Achilas be galo greitai pasivys vėžlį“.

Kaip išvengti šių loginių spąstų? Laikykitės pastovių laiko vienetų ir neperjunkite prie abipusių vienetų. Zenono kalba tai atrodo taip:

Per tą laiką, kurio prireiks Achilui nubėgti tūkstantį žingsnių, vėžlys nuropos šimtą žingsnių ta pačia kryptimi. Per kitą laiko intervalą, lygų pirmajam, Achilas nubėgs dar tūkstantį žingsnių, o vėžlys nuropos šimtą žingsnių. Dabar Achilas aštuoniais šimtais žingsnių lenkia vėžlį.

Šis požiūris adekvačiai apibūdina tikrovę be jokių loginių paradoksų. Bet taip nėra pilnas sprendimas problemų. Einšteino teiginys apie šviesos greičio nenugalimą yra labai panašus į Zenono aporiją „Achilas ir vėžlys“. Dar turime studijuoti, permąstyti ir išspręsti šią problemą. Ir sprendimo reikia ieškoti ne be galo dideliais skaičiais, o matavimo vienetais.

Kita įdomi Zenono aporija pasakoja apie skraidančią strėlę:

Skraidanti strėlė yra nejudanti, nes kiekvienu laiko momentu ji yra ramybės būsenoje, o kadangi ji ilsisi kiekvienu laiko momentu, ji visada yra ramybės būsenoje.

Šioje aporijoje loginis paradoksas įveikiamas labai paprastai – pakanka paaiškinti, kad kiekvienu laiko momentu skraidanti strėlė ilsisi skirtinguose erdvės taškuose, o tai iš tikrųjų yra judėjimas. Čia reikia atkreipti dėmesį į dar vieną dalyką. Iš vienos automobilio nuotraukos kelyje neįmanoma nustatyti nei jo judėjimo fakto, nei atstumo iki jo. Norint nustatyti, ar automobilis juda, reikia dviejų nuotraukų, padarytų iš to paties taško skirtingu laiku, tačiau negalite nustatyti atstumo nuo jų. Norint nustatyti atstumą iki automobilio, reikia dviejų nuotraukų, padarytų iš skirtingus taškus erdvės vienu laiko momentu, tačiau iš jų neįmanoma nustatyti judėjimo fakto (natūralu, kad skaičiavimams dar reikia papildomų duomenų, jums padės trigonometrija). Į ką noriu atkreipti dėmesį ypatingas dėmesys, yra tai, kad du laiko taškai ir du erdvės taškai yra skirtingi dalykai, kurių nereikėtų painioti, nes jie suteikia skirtingas tyrimo galimybes.
Parodysiu procesą pavyzdžiu. Mes pasirenkame „raudoną kietą spuogelyje“ - tai mūsų „visa“. Tuo pačiu matome, kad šie dalykai yra su lanku, o yra be lanko. Po to išrenkame dalį „visumos“ ir sudarome rinkinį „su lanku“. Taip šamanai gauna maistą, susiedami savo aibės teoriją su realybe.

Dabar padarykime nedidelį triuką. Paimkime „kietą su spuogeliu ir lanku“ ir derinkime šias „visumus“ pagal spalvą, pasirinkdami raudonus elementus. Gavome daug „raudonos“. Dabar paskutinis klausimas: ar gauti rinkiniai „su lanku“ ir „raudona“ yra tas pats rinkinys, ar du skirtingi rinkiniai? Tik šamanai žino atsakymą. Tiksliau, jie patys nieko nežino, bet kaip sako, taip ir bus.

Šis paprastas pavyzdys rodo, kad aibių teorija yra visiškai nenaudinga, kai kalbama apie tikrovę. Kokia paslaptis? Suformavome rinkinį „raudonos kietos su spuogeliu ir lankeliu“. Formavimas vyko keturiais skirtingais matavimo vienetais: spalva (raudona), stiprumas (vientisas), šiurkštumas (spuoguotas), dekoravimas (su lanku). Tik matavimo vienetų rinkinys leidžia adekvačiai apibūdinti realius objektus matematikos kalba. Štai kaip atrodo.

Raidė „a“ su skirtingais indeksais žymi skirtingus matavimo vienetus. Matavimo vienetai, pagal kuriuos preliminariajame etape išskiriama „visuma“, yra paryškinti skliausteliuose. Matavimo vienetas, pagal kurį formuojamas rinkinys, išimamas iš skliaustų. Paskutinėje eilutėje rodomas galutinis rezultatas – rinkinio elementas. Kaip matote, jei aibei sudaryti naudojame matavimo vienetus, tai rezultatas nepriklauso nuo mūsų veiksmų eilės. Ir tai yra matematika, o ne šamanų šokiai su tamburinais. Šamanai gali „intuityviai“ pasiekti tą patį rezultatą, teigdami, kad tai „akivaizdu“, nes matavimo vienetai nėra jų „mokslinio“ arsenalo dalis.

Naudojant matavimo vienetus, labai lengva padalyti vieną rinkinį arba sujungti kelis rinkinius į vieną superkomplektą. Pažvelkime atidžiau į šio proceso algebrą.

Paprasčiausias skaičius yra natūralusis skaičius. Jie naudojami kasdieniame gyvenime skaičiuojant objektus, t.y. apskaičiuoti jų skaičių ir tvarką.

Kas yra natūralusis skaičius: natūraliuosius skaičiusįvardinkite skaičius, prie kurių esate įpratę skaičiuojant elementus arba nurodyti bet kurios prekės serijos numerį iš visų vienarūšių daiktų.

Natūralūs skaičiai yra skaičiai, prasidedantys nuo vieno. Skaičiuojant jie susidaro natūraliai.Pavyzdžiui, 1,2,3,4,5... -pirmieji natūralieji skaičiai.

Mažiausias natūralusis skaičius- vienas. Didžiausio natūraliojo skaičiaus nėra. Skaičiuojant skaičių Nulis nenaudojamas, todėl nulis yra natūralusis skaičius.

Natūraliųjų skaičių serija yra visų natūraliųjų skaičių seka. Natūralių skaičių rašymas:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

Natūralioje serijoje kiekvienas skaičius yra didesnis nei ankstesnis.

Kiek skaičių yra natūraliojoje eilutėje? Natūralioji serija yra begalinė; didžiausias natūralusis skaičius neegzistuoja.

Dešimtainė nuo 10 vienetų iš bet kurio skaitmens sudaro 1 didžiausio skaitmens vienetą. Poziciškai taip kaip skaitmens reikšmė priklauso nuo jo vietos skaičiuje, t.y. iš kategorijos, kurioje parašyta.

Natūraliųjų skaičių klasės.

Bet koks natūralusis skaičius gali būti parašytas naudojant 10 arabiškų skaitmenų:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Norint perskaityti natūraliuosius skaičius, jie skirstomi, pradedant iš dešinės, į grupes po 3 skaitmenis. 3 pirmas skaičiai dešinėje yra vienetų klasė, kiti 3 yra tūkstančių klasė, tada milijonų, milijardų irtaip toliau. Kiekvienas klasės skaitmuo vadinamas joiškrovimas.

Natūraliųjų skaičių palyginimas.

Iš 2 natūraliųjų skaičių mažesnis yra tas skaičius, kuris skaičiuojant vadinamas anksčiau. Pavyzdžiui, numeris 7 mažiau 11 (parašyta taip:7 < 11 ). Kai vienas skaičius daugiau nei antrasis, parašyta taip:386 > 99 .

Skaičių ir skaičių klasių lentelė.

Natūralūs skaičiai yra skaičiai, naudojami skaičiuojant objektus. Natūralūs skaičiai neapima:

• Neigiami skaičiai (pavyzdžiui -1, -2, -100).
• Trupmeniniai skaičiai (pavyzdžiui, 1,1 arba 6/89).
• Skaičius 0.

Užrašykite natūraliuosius skaičius, mažesnius už 5

Bus keli tokie skaičiai:
1, 2, 3, 4 – tai visi natūralūs skaičiai, mažesni už 5. Daugiau tokių skaičių nėra.
Dabar belieka užrašyti skaičius, kurie yra priešingi rastiems natūraliems skaičiams. Duomenų priešingybės yra skaičiai, turintys priešingą ženklą (kitaip tariant, tai yra skaičiai, padauginti iš -1). Kad rastume priešingus skaičius 1, 2, 3, 4, turime parašyti visus šiuos skaičius su priešingas ženklas(padauginkite iš -1). Padarykime taip:
-1, -2, -3, -4 – tai visi skaičiai, kurie yra priešingi skaičiams 1, 2, 3, 4. Užrašykime atsakymą.
Atsakymas: natūralieji skaičiai, kurie yra mažesni už 5, yra skaičiai 1, 2, 3, 4;
skaičiai, kurie yra priešingi rastiems skaičiams, yra skaičiai -1, -2, -3, -4.

Natūraliųjų skaičių istorija prasidėjo primityviais laikais. Nuo seniausių laikų žmonės skaičiavo daiktus. Pavyzdžiui, prekyboje reikėjo prekių sąskaitos, o statyboje – medžiagų sąskaitos. Taip, net kasdieniame gyvenime taip pat tekdavo skaičiuoti daiktus, maistą, gyvulius. Iš pradžių skaičiai buvo naudojami tik skaičiuojant gyvenime, praktikoje, tačiau vėliau, tobulėjant matematikai, jie tapo mokslo dalimi.

Natūralūs skaičiai- tai yra skaičiai, kuriuos naudojame skaičiuodami objektus.

Pavyzdžiui: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ….

Nulis nėra natūralusis skaičius.

Visi natūralieji skaičiai arba, tarkime, natūraliųjų skaičių aibė, žymimi simboliu N.

Natūraliųjų skaičių lentelė.

Natūrali serija.

Natūralūs skaičiai, parašyti iš eilės didėjimo tvarka natūrali serija arba natūraliųjų skaičių serija.

Natūralios serijos savybės:

• Mažiausias natūralusis skaičius yra vienas.
• Natūralioje serijoje kitas skaičius yra didesnis nei ankstesnis. (1, 2, 3, ...) Jei neįmanoma užbaigti skaičių sekos, dedami trys taškai arba elipsės.
• Natūralioji serija neturi didžiausio skaičiaus, ji yra begalinė.

1 pavyzdys:
Parašykite pirmuosius 5 natūraliuosius skaičius.
Sprendimas:
Natūralūs skaičiai prasideda nuo vieno.
1, 2, 3, 4, 5

2 pavyzdys:
Ar nulis yra natūralusis skaičius?
Atsakymas: ne.

3 pavyzdys:
Koks yra pirmasis skaičius natūralioje serijoje?
Atsakymas: Natūrali serija prasideda nuo vieno.

4 pavyzdys:
Koks paskutinis skaičius natūralioje eilutėje? Koks yra didžiausias natūralusis skaičius?
Atsakymas: Natūrali serija prasideda vienu. Kiekvienas kitas skaičius po vieną yra didesnis nei ankstesnis, todėl paskutinis skaičius neegzistuoja. pats didelis skaičius Nr.

5 pavyzdys:
Ar vienas iš natūralių serijų turi ankstesnį numerį?
Atsakymas: ne, nes vienas yra pirmasis skaičius natūralioje serijoje.

6 pavyzdys:
Pavadinkite kitą natūraliosios eilutės skaičių: a)5, b)67, c)9998.
Atsakymas: a)6, b)68, c)9999.

7 pavyzdys:
Kiek skaičių yra natūralioje eilutėje tarp skaičių: a) 1 ir 5, b) 14 ir 19.
Sprendimas:
a) 1, 2, 3, 4, 5 – trys skaičiai yra tarp skaičių 1 ir 5.
b) 14, 15, 16, 17, 18, 19 – keturi skaičiai yra tarp skaičių 14 ir 19.

8 pavyzdys:
Pasakykite ankstesnį skaičių po 11.
Atsakymas: 10.

9 pavyzdys:
Kokie skaičiai naudojami skaičiuojant objektus?
Atsakymas: natūralieji skaičiai.