Формулы сложения вероятностей.

Тема: 15. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ

ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ИХ СЛЕДСТВИЯ

1. Теорема сложения вероятностей совместных событий.

2. Теорема умножения вероятностей независимых событий.

3. Условная вероятность события. Теорема умножения вероятностей зависимых событий.

4. Теорема сложения вероятностей совместных событий.

5. Формула полной вероятности, формула Бейеса.

6. Повторение испытаний.

1. Теорема сложения вероятностей совместных событий.

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий.

Если события А и В – совместные, то их сумма А+В обозначает наступление или события А, или события В, или обоих событий вместе. Если А и В – несовместные события, то их сумма А+В означает наступление или события А, или события В.

Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении этих событий.

Теорема: Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий

Р (А+В) = Р (А)+ Р(В).

Следствие: Сумма вероятностей несовместных событий А 1 ,...,А n , образующих полную группу, равна единице:

Р(А 1) + Р(А 2)+... +Р (А n) = 1

2. Теорема умножения вероятностей независимых

событий .

Два события называются независимыми, если вероятность появления одного из них не зависит от того, появилось или не появилось другое событие.

Несколько событий называются взаимно независимыми (или независимыми в совокупности), если каждое из них и любая комбинация, составленная из остальных (части или всех) событий, являются независимыми событиями.

Если события А 1 ,А 2 ,...,А n взаимно независимы, то и противоположные их события также взаимно независимы.

Теорема : Вероятность произведения нескольких взаимно независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Р(А 1 А 2 ,...А n ) = Р(А 1 )  Р(А 2 )  ...  Р(А n )

Для двух событий Р(АВ) = Р(А)  Р(В)

Задача . Два товароведа работают независимо друг от друга. Вероятность пропустить бракованное изделие первым товароведом 0,1; вторым 0,2. Какова вероятность то­го, что при просмотре изделия оба товароведа не пропустят брак.

Решение : событие А - брак пропустил I товаровед, событие В - брак пропустил II товаровед.

Где событие А – брак не пропустит I товаровед,

событие В - брак не пропустит II товаровед.

Так как оба работают независимо друг от друга, то А и В независимые события.

3. Условная вероятность события. Теорема умножения вероятностей зависимых событий.

Событие В называют зависимым от события А, если появление события А изменяет вероятность появления события В.

Вероятность события В, найденная при условии, что событие А произошло, называется условной вероятностью события В и обозначается Р А (В).

Теорема : Вероятность совместного появления двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на ус­ловную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событиеуже наступило, т.е.

Р(АВ) = Р(А)  Р А (В) или Р(АВ) = Р(В) Р В (А)

Теорема умножения вероятностей может быть распространена на любое число m зависимых событий А 1 А 2 ...А m .

Р(А 1 А 2 ..А m )=Р(А 1 ) 

причем вероятность последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие произошли.

Задача. В коробке 2 белых и 3 синих ручки. Из коробки вынимают подряд две ручки. Найти вероятность того, что обе ручки белые.

Решение: событие А - обе ручки белые, событие В - появление первой белой ручки, событие С - появление второй белой ручки.

Тогда А= В  С.

Так как первая ручка не возвращается в коробку, т.е. состав коробки изменился, то события В и С зависимые.

Р (В) = 2/5; Вероятность события С находим в предположении, что В уже произошло, т.е. Р B (С) = ¼.

Искомая вероятность

Важные замечания!
1. Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь:
2. Прежде чем на начнешь читать статью, обрати внимание на наш навигатор по самым полезным ресурса для

Что такое вероятность?

Столкнувшись с этим термином первый раз, я бы не понял, что это такое. Поэтому попытаюсь объяснить доступно.

Вероятность - это шанс того, что произойдет нужное нам событие.

Например, ты решил зайти к знакомому, помнишь подъезд и даже этаж на котором он живет. А вот номер и расположение квартиры забыл. И вот стоишь ты на лестничной клетке, а перед тобой двери на выбор.

Каков шанс (вероятность) того, что если ты позвонишь в первую дверь, тебе откроет твой друг? Всего квартиры, а друг живет только за одной из них. С равным шансом мы можем выбрать любую дверь.

Но каков этот шанс?

Дверей, нужная дверь. Вероятность угадать, позвонив в первую дверь: . То есть один раз из трех ты точно угадаешь.

Мы хотим узнать, позвонив раз, как часто мы будем угадывать дверь? Давай рассмотри все варианты:

1. Ты позвонил в 1ю дверь
2. Ты позвонил в 2ю дверь
3. Ты позвонил в 3ю дверь

А теперь рассмотрим все варианты, где может находиться друг:

а. За 1ой дверью
б. За 2ой дверью
в. За 3ей дверью

Сопоставим все варианты в виде таблицы. Галочкой обозначены варианты, когда твой выбор совпадает с местоположением друга, крестиком - когда не совпадает.

Как видишь всего возможно вариантов местоположения друга и твоего выбора, в какую дверь звонить.

А благоприятных исходов всего . То есть раза из ты угадаешь, позвонив в дверь раз, т.е. .

Это и есть вероятность - отношение благоприятного исхода (когда твой выбор совпал с местоположение друга) к количеству возможных событий.

Определение - это и есть формула. Вероятность принято обозначать p, поэтому:

Такую формулу писать не очень удобно, поэтому примем за - количество благоприятных исходов, а за - общее количество исходов.

Вероятность можно записывать в процентах, для этого нужно умножить получившийся результат на:

Наверное, тебе бросилось в глаза слово «исходы». Поскольку математики называют различные действия (у нас такое действие - это звонок в дверь) экспериментами, то результатом таких экспериментов принято называть исход.

Ну а исходы бывают благоприятные и неблагоприятные.

Давай вернемся к нашему примеру. Допустим, мы позвонили в одну из дверей, но нам открыл незнакомый человек. Мы не угадали. Какова вероятность, что если позвоним в одну из оставшихся дверей, нам откроет наш друг?

Если ты подумал, что, то это ошибка. Давай разбираться.

У нас осталось две двери. Таким образом, у нас есть возможные шаги:

1) Позвонить в 1-ую дверь
2) Позвонить во 2-ую дверь

Друг, при всем этом, точно находится за одной из них (ведь за той, в которую мы звонили, его не оказалось):

а) Друг за 1-ой дверью
б) Друг за 2-ой дверью

Давай снова нарисуем таблицу:

Как видишь, всего есть варианта, из которых - благоприятны. То есть вероятность равна.

А почему не?

Рассмотренная нами ситуация - пример зависимых событий. Первое событие - это первый звонок в дверь, второе событие - это второй звонок в дверь.

А зависимыми они называются потому что влияют на следующие действия. Ведь если бы после первого звонка в дверь нам открыл друг, то какова была бы вероятность того, что он находится за одной из двух других? Правильно, .

Но если есть зависимые события, то должны быть и независимые ? Верно, бывают.

Хрестоматийный пример - бросание монетки.

1. Бросаем монетку раз. Какова вероятность того, что выпадет, например, орел? Правильно - , ведь вариантов всего (либо орел, либо решка, пренебрежем вероятностью монетки встать на ребро), а устраивает нас только.
2. Но выпала решка. Ладно, бросаем еще раз. Какова сейчас вероятность выпадения орла? Ничего не изменилось, все так же. Сколько вариантов? Два. А сколько нас устраивает? Один.

И пусть хоть тысячу раз подряд будет выпадать решка. Вероятность выпадения орла на раз будет все также. Вариантов всегда, а благоприятных - .

Отличить зависимые события от независимых легко:

1. Если эксперимент проводится раз (раз бросают монетку, 1 раз звонят в дверь и т.д.), то события всегда независимые.
2. Если эксперимент проводится несколько раз (монетку бросают раз, в дверь звонят несколько раз), то первое событие всегда независимое. А дальше, если количество благоприятных или количество всех исходов меняется, то события зависимые, а если нет - независимые.

Давай немного потренируемся определять вероятность.

Пример 1.

Монетку бросают два раза. Какова вероятность того, что два раза подряд выпадет орел?

Решение:

Рассмотрим все возможные варианты:

1. Орел-орел
2. Орел-решка
3. Решка-орел
4. Решка-решка

Как видишь, всего варианта. Из них нас устраивает только. То есть вероятность:

Если в условии просят просто найти вероятность, то ответ нужно давать в виде десятичной дроби. Если было бы указано, что ответ нужно дать в процентах, тогда мы умножили бы на.

Ответ:

Пример 2.

В коробке конфет все конфеты упакованы в одинаковую обертку. Однако из конфет - с орехами, с коньяком, с вишней, с карамелью и с нугой.

Какова вероятность, взяв одну конфету, достать конфету с орехами. Ответ дайте в процентах.

Решение:

Сколько всего возможных исходов? .

То есть, взяв одну конфету, она будет одной из, имеющихся в коробке.

А сколько благоприятных исходов?

Потому что в коробке только конфет с орехами.

Ответ:

Пример 3.

В коробке шаров. из них белые, - черные.

1. Какова вероятность вытащить белый шар?
2. Мы добавили в коробку еще черных шаров. Какова теперь вероятность вытащить белый шар?

Решение:

а) В коробке всего шаров. Из них белых.

Вероятность равна:

б) Теперь шаров в коробке стало. А белых осталось столько же - .

Ответ:

Полная вероятность

Допустим, в ящике красных и зеленых шаров. Какова вероятность вытащить красный шар? Зеленый шар? Красный или зеленый шар?

Вероятность вытащить красный шар

Зеленый шар:

Красный или зеленый шар:

Как видишь, сумма всех возможных событий равна (). Понимание этого момента поможет тебе решить многие задачи.

Пример 4.

В ящике лежит фломастеров: зеленых, красных, синих, желтых, черный.

Какова вероятность вытащить НЕ красный фломастер?

Решение:

Давай посчитаем количество благоприятных исходов.

НЕ красный фломастер, это значит зеленый, синий, желтый или черный.

Правило умножения вероятностей независимых событий

Что такое независимые события ты уже знаешь.

А если нужно найти вероятность того, что два (или больше) независимых события произойдут подряд?

Допустим мы хотим знать, какова вероятность того, что бросая монетку раза, мы два раза увидим орла?

Мы уже считали - .

А если бросаем монетку раза? Какова вероятность увидеть орла раза подряд?

Всего возможных вариантов:

1. Орел-орел-орел
2. Орел-орел-решка
3. Орел-решка-орел
4. Орел-решка-решка
5. Решка-орел-орел
6. Решка-орел-решка
7. Решка-решка-орел
8. Решка-решка-решка

Не знаю как ты, но я раза ошибся, составляя этот список. Ух! А подходит нам только вариант (первый).

Для 5 бросков можешь составить список возможных исходов сам. Но математики не столь трудолюбивы, как ты.

Поэтому они сначала заметили, а потом доказали, что вероятность определенной последовательности независимых событий каждый раз уменьшается на вероятность одного события.

Другими словами,

Рассмотрим на примере все той же, злосчастной, монетки.

Вероятность выпадения орла в испытании? . Теперь мы бросаем монетку раз.

Какова вероятность выпадения раз подряд орла?

Это правило работает не только, если нас просят найти вероятность того, что произойдет одно и то же событие несколько раз подряд.

Если бы мы хотели найти последовательность РЕШКА-ОРЕЛ-РЕШКА, при бросках подряд, мы поступили бы также.

Вероятность выпадения решка - , орла - .

Вероятность выпадения последовательности РЕШКА-ОРЕЛ-РЕШКА-РЕШКА:

Можешь проверить сам, составив таблицу.

Правило сложения вероятностей несовместных событий.

Так стоп! Новое определение.

Давай разбираться. Возьмем нашу изношенную монетку и бросим её раза.
Возможные варианты:

1. Орел-орел-орел
2. Орел-орел-решка
3. Орел-решка-орел
4. Орел-решка-решка
5. Решка-орел-орел
6. Решка-орел-решка
7. Решка-решка-орел
8. Решка-решка-решка

Так вот несовместные события, это определенная, заданная последовательность событий. - это несовместные события.

Если мы хотим определить, какова вероятность двух (или больше) несовместных событий то мы складываем вероятности этих событий.

Нужно понять, что выпадение орла или решки - это два независимых события.

Если мы хотим определить, какова вероятность выпадения последовательности) (или любой другой), то мы пользуемся правилом умножения вероятностей.
Какова вероятность выпадения при первом броске орла, а при втором и третьем решки?

Но если мы хотим узнать, какова вероятность выпадения одной из нескольких последовательностей, например, когда орел выпадет ровно раз, т.е. варианты и, то мы должны сложить вероятности этих последовательностей.

Всего вариантов, нам подходит.

То же самое мы можем получить, сложив вероятности появления каждой последовательности:

Таким образом, мы складываем вероятности, когда хотим определить вероятность некоторых, несовместных, последовательностей событий.

Есть отличное правило, помогающее не запутаться, когда умножать, а когда складывать:

Возвратимся к примеру, когда мы подбросили монетку раза, и хотим узнать вероятность увидеть орла раз.
Что должно произойти?

Должны выпасть:
(орел И решка И решка) ИЛИ (решка И орел И решка) ИЛИ (решка И решка И орел).
Вот и получается:

Давай рассмотрим несколько примеров.

Пример 5.

В коробке лежит карандашей. красных, зеленых, оранжевых и желтых и черных. Какова вероятность вытащить красный или зеленый карандаши?

Решение:

Пример 6.

Игральную кость бросают дважды, какова вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков?

Решение.

Как мы можем получить очков?

(и) или (и) или (и) или (и) или (и).

Вероятность выпадения одной (любой) грани - .

Считаем вероятность:

Тренировка.

Думаю, теперь тебе стало понятно, когда нужно как считать вероятности, когда их складывать, а когда умножать. Не так ли? Давай немного потренируемся.

Задачи:

Возьмем карточную колоду, в которой карты, из них пик, червей, 13 треф и 13 бубен. От до туза каждой масти.

1. Какова вероятность вытащить трефы подряд (первую вытащенную карту мы кладем обратно в колоду и перемешиваем)?
2. Какова вероятность вытащить черную карту (пики или трефы)?
3. Какова вероятность вытащить картинку (вальта, даму, короля или туза)?
4. Какова вероятность вытащить две картинки подряд (первую вытащенную карту мы убираем из колоды)?
5. Какова вероятность, взяв две карты, собрать комбинацию - (валет, дама или король) и туз Последовательность, в которой будут вытащены карты, не имеет значения.

Ответы:

Если ты смог сам решить все задачи, то ты большой молодец! Теперь задачи на теорию вероятностей в ЕГЭ ты будешь щелкать как орешки!

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Рассмотрим пример. Допустим, мы бросаем игральную кость. Что это за кость такая, знаешь? Так называют кубик с цифрами на гранях. Сколько граней, столько и цифр: от до скольки? До.

Итак, мы бросаем кость и хотим, чтобы выпало или. И нам выпадает.

В теории вероятностей говорят, что произошло благоприятное событие (не путай с благополучным).

Если бы выпало, событие тоже было бы благоприятным. Итого может произойти всего два благоприятных события.

А сколько неблагоприятных? Раз всего возможных событий, значит, неблагоприятных из них события (это если выпадет или).

Определение:

Вероятностью называется отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий . То есть вероятность показывает, какая доля из всех возможных событий приходится на благоприятные.

Обозначают вероятность латинской буквой (видимо, от английского слова probability - вероятность).

Принято измерять вероятность в процентах (см. темы и ) . Для этого значение вероятности нужно умножать на. В примере с игральной костью вероятность.

А в процентах: .

Примеры (реши сам):

1. С какой вероятностью при бросании монетки выпадет орел? А с какой вероятностью выпадет решка?
2. С какой вероятностью при бросании игральной кости выпадет четное число? А с какой - нечетное?
3. В ящике простых, синих и красных карандашей. Наугад тянем один карандаш. Какова вероятность вытащить простой?

Решения:

1. Сколько всего вариантов? Орел и решка - всего два. А сколько из них благоприятных? Только один - орел. Значит, вероятность

   С решкой то же самое: .

2. Всего вариантов: (сколько сторон у кубика, столько и различных вариантов). Благоприятных из них: (это все четные числа:).
   Вероятность. С нечетными, естественно, то же самое.
3. Всего: . Благоприятных: . Вероятность: .

Полная вероятность

Все карандаши в ящике зеленые. Какова вероятность вытащить красный карандаш? Шансов нет: вероятность (ведь благоприятных событий -).

Такое событие называется невозможным .

А какова вероятность вытащить зеленый карандаш? Благоприятных событий ровно столько же, сколько событий всего (все события - благоприятные). Значит, вероятность равна или.

Такое событие называется достоверным .

Если в ящике зеленых и красных карандашей, какова вероятность вытащить зеленый или красный? Опять же. Заметим такую вещь: вероятность вытащить зеленый равна, а красный - .

В сумме эти вероятности равны ровно. То есть, сумма вероятностей всех возможных событий равна или.

Пример:

В коробке карандашей, среди них синих, красных, зеленых, простых, желтый, а остальные - оранжевые. Какова вероятность не вытащить зеленый?

Решение:

Помним, что все вероятности в сумме дают. А вероятность вытащить зеленый равна. Значит, вероятность не вытащить зеленый равна.

Запомни этот прием: вероятность того, что событие не произойдет равна минус вероятность того, что событие произойдет.

Независимые события и правило умножения

Ты кидаешь монетку раза, и хочешь, чтобы оба раза выпал орел. Какова вероятность этого?

Давай переберем все возможные варианты и определим, сколько их:

Орел-Орел, Решка-Орел, Орел-Решка, Решка-Решка. Какие еще?

Всего варианта. Из них нам подходит только один: Орел-Орел. Итого, вероятность равна.

Хорошо. А теперь кидаем монетку раза. Посчитай сам. Получилось? (ответ).

Ты мог заметить, что с добавлением каждого следующего броска вероятность уменьшается в раза. Общее правило называется правилом умножения :

Вероятности независимых событий переменожаются.

Что такое независимые события? Все логично: это те, которые не зависят друг от друга. Например, когда мы бросаем монетку несколько раз, каждый раз производится новый бросок, результат которого не зависит от всех предыдущих бросков. С таким же успехом мы можем бросать одновременно две разные монетки.

Еще примеры:

1. Игральную кость бросают дважды. Какова вероятность, что оба раза выпадет?
2. Монетку бросают раза. Какова вероятность, что в первый раз выпадет орел, а потом два раза решка?
3. Игрок бросает две кости. Какова вероятность, что сумма чисел на них будет равна?

Ответы:

1. События независимы, значит, работает правило умножения: .
2. Вероятность орла равна. Вероятность решки - тоже. Перемножаем:
3. 12 может получиться только, если выпадут две -ки: .

Несовместные события и правило сложения

Несовместными называются события, которые дополняют друг друга до полной вероятности. Из названия видно, что они не могут произойти одновременно. Например, если бросаем монетку, может выпасть либо орел, либо решка.

Пример.

В коробке карандашей, среди них синих, красных, зеленых, простых, желтый, а остальные - оранжевые. Какова вероятность вытащить зеленый или красный?

Решение .

Вероятность вытащить зеленый карандаш равна. Красный - .

Благоприятных событий всего: зеленых + красных. Значит, вероятность вытащить зеленый или красный равна.

Эту же вероятность можно представить в таком виде: .

Это и есть правило сложения: вероятности несовместных событий складываются.

Задачи смешанного типа

Пример.

Монетку бросают два раза. Какова вероятность того, что результат бросков будет разный?

Решение .

Имеется в виду, что если первым выпал орел, второй должна быть решка, и наоборот. Получается, что здесь две пары независимых событий, и эти пары друг с другом несовместны. Как бы не запутаться, где умножать, а где складывать.

Есть простое правило для таких ситуаций. Попробуй описать, что должно произойти, соединяя события союзами «И» или «ИЛИ». Например, в данном случае:

Должны выпасть (орел и решка) или (решка и орел).

Там где стоит союз «и», будет умножение, а там где «или» - сложение:

Попробуй сам:

1. С какой вероятностью при двух бросаниях монетки оба раза выпадет одно и та же сторона?
2. Игральную кость бросают дважды. Какова вероятность, что в сумме выпадет очков?

Решения:

Еще пример:

Бросаем монетку раза. Какова вероятность, что хотя-бы один раз выпадет орел?

Решение:

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Вероятность - это отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий.

Независимые события

Два события независимы если при наступлении одного вероятность наступления другого не изменяется.

Полная вероятность

Вероятность всех возможных событий равна ().

Вероятность того, что событие не произойдет, равна минус вероятность того, что событие произойдет.

Правило умножения вероятностей независимых событий

Вероятность определенной последовательности независимых событий, равна произведению вероятностей каждого из событий

Несовместные события

Несовместными называются события, которые никак не могут произойти одновременно в результате эксперимента. Ряд несовместных событий образуют полную группу событий.

Вероятности несовместных событий складываются.

Описав что должно произойти, используя союзы «И» или «ИЛИ», вместо «И» ставим знак умножения, а вместо «ИЛИ» — сложения.

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время .

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

1. Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье -
2. Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 499 руб

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Теорема сложения вероятностей

Рассмотрим несовместные случайные события.

Известно, что несовместные случайные события $A$ и $B$ в одном и том же испытании имеют вероятности появления $P\left(A\right)$ и $P\left(B\right)$ соответственно. Найдем вероятность суммы $A+B$ этих событий, то есть вероятность появления хотя бы одного из них.

Предположим, что в данном испытании число всех равновозможных элементарных событий $n$. Из них событиям $A$ и $B$ благоприятствуют $m_{A} $ и $m_{B} $ элементарных событий соответственно. Поскольку события $A$ и $B$ несовместные, то событию $A+B$ благоприятствуют $m_{A} +m_{B} $ элементарных событий. Имеем $P\left(A+B\right)=\frac{m_{A} +m_{B} }{n} =\frac{m_{A} }{n} +\frac{m_{B} }{n} =P\left(A\right)+P\left(B\right)$.

Теорема 1

Вероятность суммы двух несовместных событий равняется сумме их вероятностей.

Примечание 1

Следствие 1. Вероятность суммы любого количества несовместных событий равняется сумме вероятностей этих событий.

Следствие 2. Сумма вероятностей полной группы несовместных событий (сумма вероятностей всех элементарных событий) равна единице.

Следствие 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, поскольку они образуют полную группу несовместных событий.

Пример 1

Вероятность того, что на протяжении некоторого времени в городе ни разу не будет идти дождь, $p=0,7$. Найти вероятность $q$ того, что на протяжении этого же времени дождь в городе будет идти хотя бы один раз.

События "на протяжении некоторого времени в городе ни разу не шел дождь" и "на протяжении некоторого времени дождь в городе шел хотя бы один раз" противоположные. Поэтому $p+q=1$, откуда $q=1-p=1-0,7=0,3$.

Рассмотрим совместные случайные события.

Известно, что совместные случайные события $A$ и $B$ в одном и том же испытании имеют вероятности появления $P\left(A\right)$ и $P\left(B\right)$ соответственно. Найдем вероятность суммы $A+B$ этих событий, то есть вероятность появления хотя бы одного из них.

Предположим, что в данном испытании число всех равновозможных элементарных событий $n$. Из них событиям $A$ и $B$ благоприятствуют $m_{A} $ и $m_{B} $ элементарных событий соответственно. Поскольку события $A$ и $B$ совместны, то из всего количества $m_{A} +m_{B} $ элементарных событий определенное количество $m_{AB} $ благоприятствует одновременно и событию $A$, и событию $B$, то есть совместному их наступлению (произведению событий $A\cdot B$). Это количество $m_{AB} $ вошло одновременно и в $m_{A} $, и в $m_{B} $ Итак событию $A+B$ благоприятствуют $m_{A} +m_{B} -m_{AB} $ элементарных событий. Имеем: $P\left(A+B\right)=\frac{m_{A} +m_{B} -m_{AB} }{n} =\frac{m_{A} }{n} +\frac{m_{B} }{n} -\frac{m_{AB} }{n} =P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cdot B\right)$.

Теорема 2

Вероятность суммы двух совместных событий равняется сумме вероятностей этих событий за минусом вероятности их произведения.

Замечание. Если события $A$ и $B$ несовместны, то их произведение $A\cdot B$ является невозможным событием, вероятность которого $P\left(A\cdot B\right)=0$. Следовательно, формула сложения вероятностей несовместных событий является частным случаем формулы сложения вероятностей совместных событий.

Пример 2

Найти вероятность того, что при одновременном бросании двух игральных кубиков цифра 5 выпадет хотя бы один раз.

При одновременном бросании двух игральных кубиков число всех равновозможных элементарных событий равно $n=36$, поскольку на каждую цифру первого кубика может выпасти шесть цифр второго кубика. Из них событие $A$ -- выпадение цифры 5 на первом кубике -- осуществляется 6 раз, событие $B$ -- выпадение цифры 5 на втором кубике -- тоже осуществляется 6 раз. Из всех двенадцати раз цифра 5 один раз выпадает на обоих кубиках. Таким образом, $P\left(A+B\right)=\frac{6}{36} +\frac{6}{36} -\frac{1}{36} =\frac{11}{36} $.

Теорема умножения вероятностей

Рассмотрим независимые события.

События $A$ и $B$, которые происходят в двух последовательных испытаниях, называются независимыми, если вероятность появления события $B$ не зависит от того, состоялось или не состоялось событие $A$.

Например, пусть в урне находятся 2 белых и 2 черных шар а. Испытанием является извлечение шара. Событие $A$ -- "вынут белый шар в первом испытании". Вероятность $P\left(A\right)=\frac{1}{2} $. После первого испытания шар положили назад и провели второе испытание. Событие $B$ -- ``вынут белый шар во втором испытании"". Вероятность $P\left(B\right)=\frac{1}{2} $. Вероятность $P\left(B\right)$ не зависит от того, состоялось или нет событие $A$, следовательно события $A$ и $B$ независимы.

Известно, что независимые случайные события $A$ и $B$ двух последовательных испытаний имеют вероятности появления $P\left(A\right)$ и $P\left(B\right)$ соответственно. Найдем вероятность произведения $A\cdot B$ этих событий, то есть вероятность совместного их появления.

Предположим, что в первом испытании число всех равновозможных элементарных событий $n_{1} $. Из них событию $A$ благоприятствуют $m_{1} $ элементарных событий. Предположим также, что во втором испытании число всех равновозможных элементарных событий $n_{2} $. Из них событию $B$ благоприятствуют $m_{2} $ элементарных событий. Теперь рассмотрим новое элементарное событие, которое состоит в последовательном наступлении событий из первого и второго испытаний. Общее количество таких равновозможных элементарных событий равно $n_{1} \cdot n_{2} $. Поскольку события $A$ и $B$ независимы, то из этого числа совместному наступлению события $A$ и события $B$ (произведения событий $A\cdot B$) благоприятствует $m_{1} \cdot m_{2} $ событий. Имеем: $P\left(A\cdot B\right)=\frac{m_{1} \cdot m_{2} }{n_{1} \cdot n_{2} } =\frac{m_{1} }{n_{1} } \cdot \frac{m_{2} }{n_{2} } =P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)$.

Теорема 3

Вероятность произведения двух независимых событий равняется произведению вероятностей этих событий.

Рассмотрим зависимые события.

В двух последовательных испытаниях происходят события $A$ и $B$. Событие $B$ называется зависимым от события $A$, если вероятность появления события $B$ зависит от того, состоялось или не состоялось событие $A$. Тогда вероятность события $B$, которая была вычислена при условии, что событие $A$ состоялось, называется условной вероятностью события $B$ при условии $A$ и обозначается $P\left(B/A\right)$.

Например, пусть в урне находятся 2 белых и 2 черных шара. Испытанием является извлечением шара. Событие $A$ -- "вынут белый шар в первом испытании". Вероятность $P\left(A\right)=\frac{1}{2} $. После первого испытания шар назад не кладут и выполняют второе испытание. Событие $B$ -- ``вынут белый шар во втором испытании"". Если в первом испытании был вынут белый шар, то вероятность $P\left(B/A\right)=\frac{1}{3} $. Если же в первом испытании был вынут черный шар, то вероятность $P\left(B/\overline{A}\right)=\frac{2}{3} $. Таким образом вероятность события $B$ зависит от того, состоялось или нет событие $A$, следовательно, событие $B$ зависит от события $A$.

Предположим, что события $A$ и $B$ происходят в двух последовательных испытаниях. Известно, что событие $A$ имеет вероятность появления $P\left(A\right)$. Известно также, что событие $B$ является зависимым от события $A$ и его условная вероятность при условии $A$ равна $P\left(B/A\right)$.

Теорема 4

Вероятность произведения события $A$ и зависимого от него события $B$, то есть вероятность совместного их появления, может быть найдена по формуле $P\left(A\cdot B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B/A\right)$.

Справедливой является также симметричная формула $P\left(A\cdot B\right)=P\left(B\right)\cdot P\left(A/B\right)$, где событие $A$ предполагается зависимым от события $B$.

Для условий последнего примера найдем вероятность того, что белый шар будет извлечен в обоих испытаниях. Такое событие является произведением событий $A$ и $B$. Его вероятность равна $P\left(A\cdot B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B/A\right)=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} =\frac{1}{6} $.

Тип задания: 4

Условие

Вероятность того, что аккумулятор не заряжен, равна 0,15. Покупатель в магазине приобретает случайную упаковку, которая содержит два таких аккумулятора. Найдите вероятность того, что оба аккумулятора в этой упаковке окажутся заряжены.

Решение

Вероятность того, что аккумулятор заряжён, равна 1-0,15 = 0,85. Найдём вероятность события «оба аккумулятора заряжены». Обозначим через A и B события «первый аккумулятор заряжён» и «второй аккумулятор заряжён». Получили P(A) = P(B) = 0,85. Событие «оба аккумулятора заряжены» — это пересечение событий A \cap B, его вероятность равна P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B) = 0,85\cdot 0,85 = 0,7225.

Ответ

Тип задания: 4
Тема: Сложение и умножение вероятностей событий

Условие

Вероятность того, что ручка бракованная, равна 0,05 . Покупатель в магазине приобретает случайную упаковку, которая содержит две ручки. Найдите вероятность того, что обе ручки в этой упаковке окажутся исправными.

Решение

Вероятность того, что ручка исправная, равна 1-0,05 = 0,95. Найдём вероятность события «обе ручки исправны». Обозначим через A и B события «первая ручка исправна» и «вторая ручка исправна». Получили P(A) = P(B) = 0,95. Событие «обе ручки исправны» — это пересечение событий A\cap B, его вероятность равна P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B) = 0,95\cdot 0,95 = 0,9025.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 4
Тема: Сложение и умножение вероятностей событий

Условие

На рисунке изображён лабиринт. Жук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти в обратном направлении жук не может, поэтому на каждой развилке он выбирает один из путей, в котором еще не был. С какой вероятностью жук придет к выходу Д, если выбор дальнейшего пути является случайным.

Решение

Расставим на перекрёстках стрелки в направлениях, по которым может двигаться жук (см. рис.).

Выберем на каждом из перекрёстков одно направление из двух возможных и будем считать, что при попадании на перекрёсток жук будет двигаться по выбранному нами направлению.

Чтобы жук достиг выхода Д, нужно, чтобы на каждом перекрёстке было выбрано направление, обозначенное сплошной красной линией. Всего выбор направления делается 4 раза, каждый раз независимо от предыдущего выбора. Вероятность того, что каждый раз выбрана сплошная красная стрелка, равна \frac12\cdot\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12= 0,5^4= 0,0625.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 4
Тема: Сложение и умножение вероятностей событий

Условие

Стоянка освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,4. Найдите вероятность того, что за год хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение

Сначала найдём вероятность события «обе лампы перегорели в течение года», противоположного событию из условия задачи. Обозначим через A и B события «первая лампа перегорела в течение года» и «вторая лампа перегорела в течение года». По условию P(A) = P(B) = 0,4. Событие «обе лампы перегорели в течение года» — это A \cap B, его вероятность равна P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0,4 \cdot 0,4 = 0,16 (так как события A и B независимы).

Искомая вероятность равна 1 - P(A \cap B) = 1 - 0,16 = 0,84.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 4
Тема: Сложение и умножение вероятностей событий

Условие

В гостинице стоят два кулера. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,2 независимо от другого кулера. Определите вероятность того, что хотя бы один из этих кулеров исправен.

Решение

Сначала найдём вероятность события «оба кулера неисправны», противоположного событию из условия задачи. Обозначим через A и B события «первый кулер неисправен» и «второй кулер неисправен». По условию P(A) = P(B) = 0,2. Событие «оба кулера неисправны» — это A \cap B , пересечение событий A и B , его вероятность равна P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B) = 0,2\cdot 0,2 = 0,04 (так как события A и B независимы). Искомая вероятность равна 1-P(A \cap B)=1-0,04=0,96.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 4
Тема: Сложение и умножение вероятностей событий

Условие

На экзамене по физике студент отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что этот вопрос на тему «Механика», равна 0,25 . Вероятность того, что этот вопрос на тему «Электричество», равна 0,3 . Вопросов, которые относились бы сразу к двум темам, нет. Найдите вероятность того, что студенту попадётся вопрос по одной из этих двух тем.

Лекция 7. Теория вероятностей

СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Была рассмотрена теорема сложения для несовместных событий. Здесь будет изложена теорема сложения для совместных событий.

Два события называют совместными , если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Пример 1 . А – появление четырех очков при бросании игральной кости; В – появление четного числа очков. События А и В – совместные.

Пусть события А и В совместны, причем даны вероятности этих событий и вероятность их совместного появления. Как найти вероятность события А + В, состоящего в том, что появится хотя бы одно из событий А и В? Ответ на этот вопрос дает теорема сложения вероятностей совместных событий.

Теорема . Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

Доказательство . Поскольку события А и В, по условию, совместны, то событие А + В наступит, если наступит одно из следующих трех несовместных событий: . По теореме сложения вероятностей несовместных событий, имеем:

Р(А + В) = Р(А ) + Р( В) + Р(АВ). (*)

Событие А произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий: А
или АВ. По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем

Р(А) = Р(А ) + Р(АВ).

Р(А )=Р(А) – Р(АВ). (**)

Аналогично имеем

Р(В) = Р(ĀВ) + Р(АВ).

Р(ĀВ) = Р(В) – Р(АВ). (***)

Подставив (**) и (***) в (*), окончательно получим

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ). (****)

Что и требовалось доказать.

Замечание 1. При использовании полученной формулы следует иметь в виду, что события А и В могут быть как независимыми , так и зависимыми .

Для независимых событий

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А)*Р(В);

Для зависимых событий

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А)*Р А (В).

Замечание 2. Если события А и В несовместны , то их совмещение есть невозможное событие и, следовательно, Р(АВ) = 0.

Формула (****) для несовместных событий принимает вид

Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Мы вновь получили теорему сложения для несовместных событий. Таким образом, формула (****) справедлива как для совместных, так и для несовместных событий.

Пример 2. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: p 1 = 0,7; p 2 = 0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе
(из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.

Решение . Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результата стрельбы из другого орудия, поэтому события А (попадание первого орудия) и В (попадание второго орудия) независимы.

Вероятность события АВ (оба орудия дали попадание)

Р(АВ) = Р(А) * Р(В) = 0,7 * 0,8 = 0,56.

Искомая вероятность Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) = 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.

Замечание 3. Так как в настоящем примере события А и В независимые, то можно было воспользоваться формулой Р = 1 – q 1 q 2

В самом деле, вероятности событий, противоположных событиям А и В, т.е. вероятности промахов, таковы:

q 1 = 1 – p 1 = 1 – 0,7 = 0,3;

q 2 = 1 – p 2 = 1 – 0,8 = 0,2;

Искомая вероятность того, что при одном залпе хотя бы одно орудие даст попадание, равна

P = 1 – q 1 q 2 = 1 – 0,3 * 0,2 = 1 – 0,06 = 0,94.

Как и следовало ожидать, получен тот же результат.