Как сравнить два отрезка: способы и примеры. Урок "сравнение отрезков и углов"

§ 1 Точка

Начнем изучение темы с такого понятия, как точка. Точкой называют довольно абстрактный объект в пространстве. Ее нельзя измерить, у неё нет длины или ширины. Однако точка является одним из фундаментальных понятий в математике. Точку можно сравнить с меткой. Например, обозначение населенного пункта на карте. Или след от шариковой ручки на листе бумаги. Обозначают точку заглавной латинской буквой, строят карандашом, подписывают ручкой. Например, точка А, точка В, точка С и т.д.

§ 2 Отрезок

Если к двум точкам приложить линейку и соединить, то получится отрезок. Например, отрезок АВ. Тот же отрезок можно обозначить ВА. Точки А и В называют концами отрезка АВ. Любые две точки можно соединить только одним отрезком!

Определение этого понятия следующее:

Отрезок - это часть прямой, ограниченная двумя точками.

На данном рисунке вы видите отрезок ОР, точка Е лежит на отрезке ОР, а точка К и точка С не лежат на отрезке ОР. Таким образом, делаем вывод:

Точка может лежать внутри отрезка, то есть принадлежать ему, а может и не принадлежать отрезку.

§ 3 Сравнение отрезков

Отрезки можно сравнивать между собой. Например, на этом рисунке вы видите, что точка F лежит на отрезке BD, значит отрезок BF является частью отрезка BD, то есть можно сказать, что он короче или меньше отрезка BD, аналогично и отрезок FD меньше отрезка BD. А про отрезок BD, наоборот, можно сказать, что он длиннее или больше отрезка BF и отрезка FD.

А какие отрезки называются равными? Если отрезки при наложении друг на друга полностью совпадают, то они называются равными.

Однако на практике не всегда можно воспользоваться способом наложения при сравнении отрезков, проще их измерить, а затем сравнить.

§ 4 Единицы измерения длины

А как измерять отрезки? Каждый отрезок имеет длину. Длиной отрезка называют расстояние между его концами. Например, отрезок АВ имеет длину, равную расстоянию между точками А и В. Отрезок, длина которого принята за единицу, называется единицей измерения. В нашей стране используют такие единицы измерения как миллиметр, сантиметр, дециметр, метр, километр.

Если расстояние между точками А и В равно 7 см, то записывают АВ = 7 см, читают эту запись так: длина отрезка АВ равна 7 см.

Единицы измерения связаны между собой, например:

1 дециметр = 10 см = 100 мм

1 метр = 10 дециметров =100 см = 1000 мм

1 км = 1000 м.

Все эти соотношения между различными единицами измерения длины нам пригодятся для решения, например, таких задач как:

Выразите в сантиметрах:

8 дм 7 см = 87 см.

Или же выразите в метрах:

3 км 4 м = 3004 м.

Другое задание: Выразите в см и мм:

84 мм = 8 см 4 мм.

Давайте вернемся к сравнению отрезков, можем сделать вывод:

Больше тот отрезок, который имеет большую длину и наоборот, меньше тот отрезок, длина которого меньше. Равными же будут те отрезки, длины которых равны.

Список использованной литературы:

1. Математика 5 класс. Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др. 31-е изд., стер. - М: 2013.
2. Дидактические материалы по математике 5 класс. Автор - Попов М.А. - 2013 год
3. Вычисляем без ошибок. Работы с самопроверкой по математике 5-6 классы. Автор - Минаева С.С. - 2014 год
4. Дидактические материалы по математике 5 класс. Авторы: Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В. - 2010 год
5. Контрольные и самостоятельные работы по математике 5 класс. Авторы - Попов М.А. - 2012 год
6. Математика. 5 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович. - 9-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 270 с.: ил.

На этом уроке учитель продолжит разговор о линиях и точках, расскажет, что такое отрезок, как он обозначается. Также вы узнаете о четырех способах сравнения отрезков и узнаете о единицах измерения длины. В конце урока вы вместе с учителем потренируетесь решать задачи, используя единицы измерения длины.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок и

Если заданы точка и линия, то точка либо принадлежит этой линии, либо нет. Еще говорят, что линия проходит через точку.

На рисунке 1 точка не принадлежит линии , или линия не проходит через точку . Точка принадлежит линии , или линия проходит через точку .

Рис. 1. Линия и точки: принадлежащие линии и не принадлежащие

Пусть у нас есть две точки и (рис. 2). Сколько можно провести линий, которые будут проходить через обе эти точки? Или сколькими линиями можно соединить эти две точки? Бесконечное количество.

Рис. 2. Точки и

Точки и могут обозначать два места, например дом и школу. А линии, их соединяющие, - траекторию, по которой можно пройти от дома до школы (рис. 3). Часто интересует самая короткая дорога от дома до школы, от одного места до другого, от точки до точки .

Рис. 3. Дорога от дома до школы как отрезок

Какая дорога от школы до дома самая короткая? Какая линия, соединяющая и , будем самой короткой?

Чтобы дорога оказалась самой короткой, идти от школы до дома надо по прямой. Чтобы линия, соединяющая точки, оказалась самой короткой, соединять их нужно по прямой.

Соединим и самой короткой возможной линией. Такая линия называется отрезком (рис. 4). Точки и называются концами отрезка.

Рис. 4. Точки и - концы отрезка

Обозначается сам отрезок , по именам точек - концов отрезка. Другой такой же короткой линии, соединяющей и , не существует. Если провести из в любую другую линию, она обязательно окажется длиннее. То есть существует только одна кратчайшая линия между и . Она и называется отрезком.

Если мы хотим указать на другие линии, соединяющие наши точки, например верхние или нижние, то нужно добавить еще точки, чтобы не было путаницы (рис. 5).

Рис. 5. Линии и , соединяющие точки и

Если две точки и необходимо соединить отрезком, то используется линейка. Линия, проведенная по линейке от точки до точки по линейке, и будет нужным отрезком (рис. 6). Сам отрезок будет называться . Точки и - его концами. Отрезок является кратчайшей линией, соединяющей точки и .

Рис. 6. Построение отрезка с помощью линейки

Любая точка либо принадлежит отрезку, либо не принадлежит.

Или говорят еще: «точка лежит на отрезке либо не лежит на отрезке». На рисунке точки и не принадлежат отрезку , точка принадлежит отрезку (рис. 7).

Рис. 7. Точки, принадлежащие и не принадлежащие отрезку

Сами точки и , концы отрезка, тоже принадлежат отрезку .

Посмотрим на два отрезка на рисунке 8. Что про них можно сказать? Отрезок короче отрезка (рис. 8). .

Рис. 8. Отрезки и

Как мы это поняли? Просто увидели. То есть сравнить эти два отрезка оказалось несложно.

Задача сравнения отрезков, их длины встречается в жизни достаточно часто. Например, два человека хотят выяснить, чей рост больше, кто из них выше.

1 способ: на глаз

Он подходит, если отрезки сильно отличаются и ответ однозначен.

Очевидно, что на рисунке 9 отрезок больше, длиннее, чем отрезок .

Очевидно, что папа выше сына.

Рис. 9. Сравнение роста папы и сына

Очевидно, что телебашня выше дерева на рисунке 10.

Рис. 10. Сравнение высоты телебашни и дерева

Этот способ очень прост, но может привести к ошибке.

Иногда, когда мы смотрим на картинку, то мы совершенно уверены, что понимаем, какой из двух отрезков больше. Но оказывается, что мы ошибаемся, потому что дополнительные построения вокруг отрезков обманывают зрение.

На картинке 1 нам кажется, что верхний отрезок длиннее нижнего.

Рис. 10.2. Иллюзия: кажется, что отрезки разной длины

Но это не так. В этом легко убедиться, если построить еще две линии.

Рис. 10.3. Одинаковые отрезки

Один из самых простых примеров ошибки восприятия. Какой отрезок короче на рисунке 3?

Рис. 10.4. Иллюзия: кажется, что отрезки не равны по длине

«Конечно же, первый!» - говорит наше восприятие. Но это не так. Эти отрезки одинаковые. В этом можно будет убедиться, воспользовавшись любым из остальных способов сравнения отрезков, которые мы рассматриваем на нашем сегодняшнем уроке.

Сложно поверить, что отрезки и равны. Дополнительные линии вокруг заставляют нас поверить, что отрезок намного короче отрезка на рисунке 4.

Рис. 10.5. Иллюзия: отрезки и имеют одинаковую длину

Все рассмотренные картинки являются примерами оптических иллюзий. Наберите в поисковой системе «оптические иллюзии», и вы найдете огромное количество очень интересных примеров по этой теме. Не только про сравнение отрезков.

Ну а мы с вами делаем главный вывод из этих примеров: не всегда можно доверять нашей оценке «на глаз». Нужны более точные методы сравнения отрезков.

Если бабушка хочет понять, одинаковы ли две спицы по длине, то она возьмет их вместе, зажмет в руку и несильно стукнет ими по столу, чтобы нижние края спиц оказались на одном уровне (рис. 11). По положению верхних краев она поймет, одинаковы ли спицы, если нет, то какая из них длиннее.

Рис. 11. Проверка с помощью наложения

Такой способ можно использовать, если предметы, которые мы сравниваем, можно легко приложить один к другому. Например, для сравнения роста люди встают спиной друг к другу и смотрят, чья макушка окажется выше.

Итак, метод заключается в том, что два предмета прикладывают друг к другу, совмещают концы с одной стороны и по положению других концов понимают, какой отрезок больше или, может быть, они равны.

Этот метод уже является точным, в отличие от первого. Но у него есть один серьезный недостаток. Чтобы им воспользоваться, нужно иметь возможность взять один отрезок и переместить, приложить его ко второму. Это не всегда возможно.

Ведь даже если нарисованы два отрезка, затруднительно взять один из них и приложить к другому. Если только разрезать лист, сложить части друг с другом и посмотреть на просвет.

Если один предмет мы не можем приставить к другому, то можно использовать третий, который легко совмещается с первым и вторым по очереди. Таким измерителем часто являются наши руки.

Если мы хотим понять, пройдет ли диван в дверной проем, мы руками отмечаем его ширину и, стараясь не изменить расстояние между руками, подходим к дверному проему и проверяем, хватит ли ширины дверей.

Мы можем использовать веревку, нитку, палку, чтобы сравнить длины двух предметов, которые сложно перемещать. Приложить нитку к одному предмету, потом ее же к другому. Так сразу будет понятно, какой из предметов длиннее. В математике для этой цели используются специальный измеритель, циркуль.

Нужно сравнить два отрезка и (рис. 12).

Рис. 12. Отрезки для сравнения

Совмещаем концы отрезка с иголками измерителя (рис. 13) и, не меняя раствора, сравниваем с другим отрезком (рис. 14).

Отрезок равен отрезку .

Записывается это так: .

Или может оказаться такая ситуация (рис. 15).

Рис. 15. Отрезки для сравнения

Отрезок не равен отрезку . Он равен отрезку , который является частью отрезка (рис. 16).

Рис. 16. Отрезок равен части отрезка

Отрезок меньше отрезка , так как является его частью.

Отрезок меньше отрезка , потому что равен его части.

Во всех предыдущих способах мы сравнивали отрезки, выясняли, у кого из них длина больше. Но саму длину не измеряли. Мы ее не знали.

Так, два человека могут встать друг другу спиной и выяснить, кто из них выше. Но каков рост каждого из них, они не узнают.

Последний способ, который мы сейчас рассмотрим, заключается в том, чтобы измерить длину каждого отрезка и сравнить их длины.

Так, если два человека знают, что рост одного составляет 1 м 73 см, а другого - 1 м 75 см, то понятно, что второй выше, и не нужно вставать рядом, чтобы это понять.

Длина, выраженная числом, то есть измеренная, становится очень удобным инструментом. Мы теперь эту длину можем записать, передать по телефону, запомнить.

Чтобы измерить отрезок, нужно приложить к нему линейку с нанесенной шкалой.

На рисунке 17 мы видим, что длина первого отрезка составляет 6 см, второго - 7 см.

Рис. 17. Измерение отрезков линейкой

Второй отрезок больше. Кроме того, мы теперь знаем, что второй не просто больше, а больше на 1 см.

А что если один отрезок измерял один человек, а второй - другой человек, да еще и в другом городе? Можно ли будет сравнить эти два отрезка? Да, это возможно потому, что на всех линейках нанесены одинаковые деления и не важно, какой конкретно линейкой мы пользовались. Скорее всего, на всех таких линейках мы увидим одинаковые деления - сантиметры и миллиметры.

Одна из самых часто встречающихся единиц длины - это метр.

Метр используется при измерении объектов не маленьких, но и не огромных, таких, которые можно оценить на глаз, увидеть сразу целиком: длина комнаты или двора, высота дерева или дома, расстояние от дома до школы и так далее. Сокращенно метр обозначается буквой «м». Точка, обозначающая сокращение, не нужна.

Все остальные единицы для измерения либо очень больших объектов, либо намного меньших получаются из метра.

Приставка «кило-» означает тысячу. Если перед словом метр поставить приставку «кило-», то полученное слово «километр» будет обозначать тысячу метров.

Сам километр кратко обозначается двумя буквами «км», тоже без точки для сокращения.

В километрах мы меряем большие расстояния, например расстояния между городами.

Если соединить центры Москвы и Санкт-Петербурга воображаемым отрезком (рис. 18), то его длина будет равна 635 км, или 635 000 метров.

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Сравнение отрезков и углов

1)Что называется углом?

2)Какие фигуры на рисунках являются углами? Объяснить.

3)Назвать углы на рисунках, их стороны и вершины.

M N K a b A D E F O k h

4)Какие точки принадлежат внутренней области угла, какие – внешней?

M A P C D B K O E F X

Сравнение отрезков и углов

Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.

A M B N MN  AB

A M B M - середина отрезка AB

Точка отрезка, делящая его пополам, т.е.на два равных отрезка, называется серединой отрезка.

A B  MNK   ABC С M N K

A B С D BD -биссектриса  ABD= D BC

Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называется биссектрисой угла.

A B №1 .На рисунке CB = BE , DE  AC . Сравните AB и DB . С D E

A B №2 .На рисунке  AO B =  DOC . Есть ли еще на рисунке равные углы? С O D

№ 3 .На прямой a от точки A в одном направлении отложены два отрезка AB и AC (AC  AB). От точки С на этой прямой отложите такой отрезок CE , чтобы AC = BE . Что вы можете сказать о длине отрезка CE ?

A B С E a AC  AB AC = BE CE - ?

A B № 4 .На рисунке  AO С =  DOB , OM –биссектриса  AOB . Докажите, что OM -биссектриса угла С OD . С O D M

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Основные свойства откладывания отрезков и углов

В основе системы обучения, которую я сейчас использую на своих уроках,лежит принцип: позиция учителя - к классу не с ответом(готовые знания, умения и навыки), а с вопросом, позиция ученика - за познан...

Инструкция

Видео по теме

Полезный совет

Нулевая отметка измерительного прибора должна находиться строго в начале отрезка. При любых измерениях чрезвычайно важно пользоваться одними и теми же мерами. Нельзя сравнивать отрезки, если один из них измерили в сантиметрах, а другой - в дюймах. Одну из мер необходимо перевести.

Для того чтобы измерить длину выемки или отверстия, пользуйтесь более точными измерительными приборами - например, штангенциркулем.

Для сравнения чисел тоже можно пользоваться методом отрезков. Его используют для занятий с дошкольниками и младшими школьниками, а также при изучении отрицательных чисел. Например, нужно сравнить числа 5 и -6. Начертите отрезок, обозначив его начальную точку как 0. Через равные промежутки отложите отрезки, обозначив их как 1, 2 и т.д. От нуля отложите отрезок и влево. Отложите в этом направлении нужное количество равных отрезков. Затем сравните полученные отрезки с помощью любого доступного вам измерительного прибора.

Источники:

• сравнение отрезков в 2018