Определение выпуклого многоугольника и его элементы. Выпуклые многоугольники
Понятие многоугольника
Определение 1
Многоугольником называется геометрическая фигура в плоскости, которая состоит из попарно соединенных между собой отрезков, соседние из которых не лежат на одной прямой.
При этом отрезки называются сторонами многоугольника , а их концы - вершинами многоугольника .
Определение 2
$n$-угольником называется многоугольник, у которого $n$ вершин.
Виды многоугольников
Определение 3
Если многоугольник всегда будет лежать по одну сторону от любой прямой, проходящей через его стороны, то многоугольник называется выпуклым (рис. 1).
Рисунок 1. Выпуклый многоугольник
Определение 4
Если многоугольник лежит по разные стороны хотя бы одной прямой, проходящей через его стороны, то многоугольник называется невыпуклым (рис. 2).
Рисунок 2. Невыпуклый многоугольник
Сумма углов многоугольника
Введем теорему о сумме углов -угольника.
Теорема 1
Сумма углов выпуклого -угольника определяется следующим образом
\[(n-2)\cdot {180}^0\]
Доказательство.
Пусть нам дан выпуклый многоугольник $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$. Соединим его вершину $A_1$ со всеми другими вершинами данного многоугольника (рис. 3).
Рисунок 3.
При таком соединении мы получим $n-2$ треугольника. Просуммировав их углы мы получим сумму углов данного -угольника. Так как сумма углов треугольника равняется ${180}^0,$ получим, что сумма углов выпуклого -угольника определяется по формуле
\[(n-2)\cdot {180}^0\]
Теорема доказана.
Понятие четырехугольника
Используя определение $2$, легко ввести определение четырехугольника.
Определение 5
Четырехугольником называется многоугольник, у которого $4$ вершины (рис. 4).
Рисунок 4. Четырехугольник
Для четырехугольника аналогично определены понятия выпуклого четырехугольника и невыпуклого четырехугольника. Классическими примерами выпуклых четырехугольников являются квадрат, прямоугольник, трапеция, ромб, параллелограмм (рис. 5).
Рисунок 5. Выпуклые четырехугольники
Теорема 2
Сумма углов выпуклого четырехугольника равняется ${360}^0$
Доказательство.
По теореме $1$, мы знаем, что сумма углов выпуклого -угольника определяется по формуле
\[(n-2)\cdot {180}^0\]
Следовательно, сумма углов выпуклого четырехугольника равняется
\[\left(4-2\right)\cdot {180}^0={360}^0\]
Теорема доказана.
Определение выпуклости многоугольника.
Алгоритм Кируса–Бэка предполагает наличие выпуклого многоугольника, используемого в качестве окна.
Однако на практике весьма часто возникает задача отсечения многоугольником, а информация о том, является он выпуклым или нет изначально не задается. В таком случае, прежде чем начать процедуру отсечения необходимо определить какой задан многоугольник – выпуклый или нет.
Дадим некотрые определения выпуклости многоугольника
Выпуклым считается многоугольник, для которого выполняется одно из ниже перечисленных условий:
1)в выпуклом многоугольнике все вершины располагаются по одну сторону от линии, несущей любое ребро (по внутреннюю сторону относительно данного ребра);
2)все внутренние углы многоугольника меньше 180 о;
3)все диагонали, связывающие вершины многоугольника, лежат внутри этого многоугольника;
4)все углы многоугольника обходятся в одном направлении (Рис. 3.3‑1).
Для выработки аналитического представление последнего критерия выпуклости, используем векторное произведение.
Векторное произведение W двух векторов a и b (Рис. 3.3‑2 а) определяется как:
A x ,a y ,a z и b x ,b y ,b z являются проекциями на оси координат X ,Y ,Z , соответственно, векторов – сомножителей a и b ,
- i , j , k – единичные векторы по координатным осям X , Y , Z .
Рис. 3.3 ‑ 1
Рис. 3.3 ‑ 2
Если рассматривать двумерное представление многоугольника как представление его в координатной плоскости XY трехмерной системе координат X ,Y ,Z (Рис. 3.3‑2 b ), то выражение для формирования векторного произведения векторов U и V , где векторы U и V являются соседними ребрами, образующими угол многоугольника, можно записать в виде определитель:
Вектор векторного произведения перпендикулярен плоскости, в которой находятся вектора-сомножители. Направление вектора произведения определяется по правилу буравчика или по правилу винта с правой нарезкой.
Для случая, представленного на Рис. 3.3‑2 b ), вектор W , соответствующий векторному произведению векторов V , U , будет иметь ту же направленность, что и направленность координатной оси Z .
Учитывая то, что проекции на ось Z векторов –сомножителей в этом случае равны нулю, векторное произведение можно представить в виде:
(3.3-1)
Единичный вектор k всегда положительный, следовательно, знак вектора w векторного произведения будет определяться только знаком определителя D в выше приведенном выражении. Отметим, что на основании свойства векторного произведения, при перестановке местами векторов-сомножителей U и V знак вектора w будет меняться на противоположный.
Отсюда следует, что, если в качестве векторов V и U рассматривать два соседних ребра многоугольника, то порядок перечисления векторов в векторном произведении можно поставить в соответствие c обходом рассматриваемого угла многоугольника или ребер, образующих этот угол. Это позволяет использовать в качестве критерия определения выпуклости многоугольника правило:
если для всех пар ребер многоугольника выполняется условие:
Если знаки векторных произведений для отдельных углов не совпадают, то многоугольник не выпуклый.
Так как ребра многоугольник задаются в виде координат их концевых точек, то для определения знака векторного произведения удобнее использовать определитель.
На этом уроке мы приступим уже к новой теме и введем новое для нас понятие «многоугольник». Мы рассмотрим основные понятия, связанные с многоугольниками: стороны, вершины углы, выпуклость и невыпуклость. Затем докажем важнейшие факты, такие как теорема о сумме внутренних углов многоугольника, теорема о сумме внешних углов многоугольника. В итоге, мы вплотную подойдем к изучению частных случаев многоугольников, которые будут рассматриваться на дальнейших уроках.
Тема: Четырехугольники
Урок: Многоугольники
В курсе геометрии мы изучаем свойства геометрических фигур и уже рассмотрели простейшие из них: треугольники и окружности. При этом мы обсуждали и конкретные частные случаи этих фигур, такие как прямоугольные, равнобедренные и правильные треугольники. Теперь пришло время поговорить о более общих и сложных фигурах - многоугольниках .
С частным случаем многоугольников мы уже знакомы - это треугольник (см. Рис. 1).
Рис. 1. Треугольник
В самом названии уже подчеркивается, что это фигура, у которой три угла. Следовательно, в многоугольнике их может быть много, т.е. больше, чем три. Например, изобразим пятиугольник (см. Рис. 2), т.е. фигуру с пятью углами.
Рис. 2. Пятиугольник. Выпуклый многоугольник
Определение. Многоугольник - фигура, состоящая из нескольких точек (больше двух) и соответствующего количества отрезков, которые их последовательно соединяют. Эти точки называются вершинами многоугольника, а отрезки - сторонами . При этом никакие две смежные стороны не лежат на одной прямой и никакие две несмежные стороны не пересекаются.
Определение. Правильный многоугольник - это выпуклый многоугольник, у которого все стороны и углы равны.
Любой многоугольник разделяет плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю. Внутреннюю область также относят к многоугольнику .
Иными словами, например, когда говорят о пятиугольнике , имеют в виду и всю его внутреннюю область, и границу. А ко внутренней области относятся и все точки, которые лежат внутри многоугольника, т.е. точка тоже относится к пятиугольнику (см. Рис. 2).
Многоугольники еще иногда называют n-угольниками, чтобы подчеркнуть, что рассматривается общий случай наличия какого-то неизвестного количества углов (n штук).
Определение. Периметр многоугольника - сумма длин сторон многоугольника.
Теперь надо познакомиться с видами многоугольников. Они делятся на выпуклые и невыпуклые . Например, многоугольник, изображенный на Рис. 2, является выпуклым, а на Рис. 3 невыпуклым.
Рис. 3. Невыпуклый многоугольник
Определение 1. Многоугольник называется выпуклым , если при проведении прямой через любую из его сторон весь многоугольник лежит только по одну сторону от этой прямой. Невыпуклыми являются все остальные многоугольники .
Легко представить, что при продлении любой стороны пятиугольника на Рис. 2 он весь окажется по одну сторону от этой прямой, т.е. он выпуклый. А вот при проведении прямой через в четырехугольнике на Рис. 3 мы уже видим, что она разделяет его на две части, т.е. он невыпуклый.
Но существует и другое определение выпуклости многоугольника.
Определение 2. Многоугольник называется выпуклым , если при выборе любых двух его внутренних точек и при соединении их отрезком все точки отрезка являются также внутренними точками многоугольника.
Демонстрацию использования этого определения можно увидеть на примере построения отрезков на Рис. 2 и 3.
Определение. Диагональю многоугольника называется любой отрезок, соединяющий две не соседние его вершины.
Для описания свойств многоугольников существуют две важнейшие теоремы об их углах: теорема о сумме внутренних углов выпуклого многоугольника и теорема о сумме внешних углов выпуклого многоугольника . Рассмотрим их.
Теорема. О сумме внутренних углов выпуклого многоугольника (n -угольника).
Где - количество его углов (сторон).
Доказательство 1. Изобразим на Рис. 4 выпуклый n-угольник.
Рис. 4. Выпуклый n-угольник
Из вершины проведем все возможные диагонали. Они делят n-угольник на треугольника, т.к. каждая из сторон многоугольника образует треугольник, кроме сторон, прилежащих к вершине . Легко видеть по рисунку, что сумма углов всех этих треугольников как раз будет равна сумме внутренних углов n-угольника. Поскольку сумма углов любого треугольника - , то сумма внутренних углов n-угольника:
Что и требовалось доказать.
Доказательство 2. Возможно и другое доказательство этой теоремы. Изобразим аналогичный n-угольник на Рис. 5 и соединим любую его внутреннюю точку со всеми вершинами.
Рис. 5.
Мы получили разбиение n-угольника на n треугольников (сколько сторон, столько и треугольников). Сумма всех их углов равна сумме внутренних углов многоугольника и сумме углов при внутренней точке, а это угол . Имеем:
Что и требовалось доказать.
Доказано.
По доказанной теореме видно, что сумма углов n-угольника зависит от количества его сторон (от n). Например, в треугольнике , а сумма углов . В четырехугольнике , а сумма углов - и т.д.
Теорема. О сумме внешних углов выпуклого многоугольника (n -угольника).
Где - количество его углов (сторон), а , …, - внешние углы.
Доказательство. Изобразим выпуклый n-угольник на Рис. 6 и обозначим его внутренние и внешние углы.
Рис. 6. Выпуклый n-угольник с обозначенными внешними углами
Т.к. внешний угол связан со внутренним как смежные, то и аналогично для остальных внешних углов. Тогда:
В ходе преобразований мы воспользовались уже доказанной теоремой о сумме внутренних углов n-угольника .
Доказано.
Из доказанной теоремы следует интересный факт, что сумма внешних углов выпуклого n-угольника равна от количества его углов (сторон). Кстати, в отличие от суммы внутренних углов.
Список литературы
- Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. - М.: Просвещение, 2006.
- Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. - М.: Просвещение, 2011.
- Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. - М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.
- Profmeter.com.ua ().
- Narod.ru ().
- Xvatit.com ().
Домашнее задание