Параметр в егэ. Уравнения с параметрами

Цель данной работы – изучение различных способов решения задач с параметрами. Возможность и умение решать задачи с параметрами демонстрируют владение методами решения уравнений и неравенств, осмысленное понимание теоретических сведений, уровень логического мышления, стимулируют познавательную деятельность. Для развития этих навыков необходимы длительнее усилия, именно поэтому в профильных 10-11 классах с углубленным изучением точных наук введен курс: “Математический практикум”, частью которого является решение уравнений и неравенств с параметрами. Курс входит в число дисциплин, включенных в компонент учебного плана школы.

Успешному изучению методов решения задач с параметрами могут помочь элективный или факультативный курсы, или компонент за сеткой по теме: “Задачи с параметрами”.

Рассмотрим четыре больших класса задач с параметрами:

1. Уравнения, неравенства и их системы, которые необходимо решить для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих определенному множеству.
2. Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра.
3. Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения (системы, неравенства) имеют заданное число решений.
4. Уравнения, неравенства и их системы, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Методы решений задач с параметрами.

1. Аналитический метод.

Это способ прямого решения, повторяющий стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра.

Пример 1. Найдите все значения параметра a , при которых уравнение:

(2a – 1)x 2 + ax + (2a – 3) =0 имеет не более одного корня.

При 2a – 1 = 0 данное уравнение квадратным не является, поэтому случай a =1/2 разбираем отдельно.

Если a = 1/2, то уравнение принимает вид 1/2x – 2 = 0, оно имеет один корень.

Если a ≠ 1/2, то уравнение является квадратным; чтобы оно имело не более одного корня необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был неположителен:

D = a 2 – 4(2a – 1)(2a – 3) = -15a 2 + 32a – 12;

Чтобы записать окончательный ответ, необходимо понять,

2. Графический метод.

В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a ) рассматриваются графики в координатной плоскости (x;y ) или в плоскости (x;a ).

Пример 2. Для каждого значения параметра a определите количество решений уравнения .

Заметим, что количество решений уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций и y = a.

График функции показан на рис.1.

y = a – это горизонтальная прямая. По графику несложно установить количество точек пересечения в зависимости от a (например, при a = 11 – две точки пересечения; при a = 2 – восемь точек пересечения).

Ответ: при a < 0 – решений нет; при a = 0 и a = 25/4 – четыре решения; при 0 < a < 6 – восемь решений; при a = 6 – семь решений; при

6 < a < 25/4 – шесть решений; при a > 25/4 – два решения.

3. Метод решения относительно параметра.

При решении этим способом переменные х и а принимаются равноправными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение становится более простым. После упрощений нужно вернуться к исходному смыслу переменных х и а и закончить решение.

Пример 3. Найти все значения параметра а , при каждом из которых уравнение = -ax +3a +2 имеет единственное решение.

Будем решать это уравнение заменой переменных. Пусть = t , t ≥ 0 , тогда x = t 2 + 8 и уравнение примет вид at 2 + t + 5a – 2 = 0 . Теперь задача состоит в том, чтобы найти все а , при которых уравнение at 2 + t + 5a – 2 = 0 имеет единственное неотрицательное решение. Это имеет место в следующих случаях.

1) Если а = 0, то уравнение имеет единственное решение t = 2.

Решение некоторых типов уравнений и неравенств с параметрами.

Задачи с параметрами помогают в формировании логического мышления, в приобретении навыков исследовательской деятельности.

Решение каждой задачи своеобразно и требует к себе индивидуального, нестандартного подхода, поскольку не существует единого способа решения таких задач.

Задача № 1. При каких значениях параметра b уравнение не имеет корней?

Задача №2. Найти все значения параметра a , при которых множество решений неравенства:

содержит число 6, а также содержит два отрезка длиной 6, не имеющие общих точек.

Преобразуем обе части неравенства.

Для того, чтобы множество решений неравенства содержало число 6, необходимо и достаточно выполнение условия:

Рис.4

При a > 6 множество решений неравенства: .

Интервал (0;5) не может содержать ни одного отрезка длины 6. Значит, два непересекающихся отрезка длины 6 должны содержаться в интервале (5; a ).

Задача № 3. В области определения функции взяли все целые положительные числа и сложили их. Найти все значения, при которых такая сумма будет больше 5, но меньше 10.

1) Графиком дробно-линейной функции является гипербола. По условию x > 0. При неограниченном возрастании х дробь монотонно убывает и приближается к нулю, а значения функции z возрастают и приближаются к 5. Кроме того, z(0) = 1.

2) По определению степени область определения D(y) состоит из решений неравенства . При a = 1 получаем неравенство, у которого решений нет. Поэтому функция у нигде не определена.

3) При 0 < a < 1 показательная функция с основанием а убывает и неравенство равносильно неравенству . Так как x > 0 , то z (x ) > z (0) = 1 . Значит, каждое положительное значение х является решением неравенства . Поэтому для таких а указанную в условии сумму нельзя найти.

4) При a > 1 показательная функция с основанием а возрастает и неравенство равносильно неравенству . Если a ≥ 5, то любое положительное число является его решением, и указанную в условии сумму нельзя найти. Если 1 < a < 5, то множество положительных решений – это интервал (0;x 0) , где a = z (x 0) .

5) Целые числа расположены в этом интервале подряд, начиная с 1. Вычислим суммы последовательно идущих натуральных чисел, начиная с 1: 1; 1+2 = 3; 1+2+3 = 6; 1+2+3+4 = 10;… Поэтому указанная сумма будет больше 5 и меньше 10, только если число 3 лежит в интервале (0;x 0), а число 4 не лежит в этом интервале. Значит, 3 < x 0 ≤ 4 . Так как возрастает на , то z (3) < z (x 0) ≤ z (4) .

Решение иррациональных уравнений и неравенств, а также уравнений, неравенств и систем, содержащих модули рассмотрены в Приложении 1.

Задачи с параметрами являются сложными потому, что не существует единого алгоритма их решения. Спецификой подобных задач является то, что наряду с неизвестными величинами в них фигурируют параметры, численные значения которых не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом множестве. При этом значения параметров существенно влияют на логический и технический ход решения задачи и форму ответа.

По статистике многие из выпускников не приступают к решению задач с параметрами на ЕГЭ. По данным ФИПИ всего 10% выпускников приступают к решению таких задач, и процент их верного решения невысок: 2–3%, поэтому приобретение навыков решения трудных, нестандартных заданий, в том числе задач с параметрами, учащимися школ по-прежнему остается актуальным.

Уравнение вида f (x ; a ) = 0 называется уравнением с переменной х и параметром а .

Решить уравнение с параметром а – это значит, для каждого значения а найти значения х , удовлетворяющие этому уравнению.

Пример 1. ах = 0

Пример 2. ах = а

Пример 3.

х + 2 = ах
х – ах = -2
х(1 – а) = -2

Если 1 – а = 0, т.е. а = 1, то х 0 = -2 корней нет

Если 1 – а 0, т.е. а 1, то х =

Пример 4.

(а 2 – 1) х = 2а 2 + а – 3
(а – 1)(а + 1)х = 2(а – 1)(а – 1,5)
(а – 1)(а + 1)х = (1а – 3)(а – 1)

Если а = 1, то 0х = 0
х – любое действительное число

Если а = -1, то 0х = -2
Корней нет

Если а 1, а -1, то х = (единственное решение).

Это значит, что каждому допустимому значению а соответствует единственное значение х .

Например:

если а = 5, то х = = ;

если а = 0, то х = 3 и т. д.

1. ах = х + 3

2. 4 + ах = 3х – 1

3. а = +

при а = 1 корней нет.

при а = 3 корней нет.

при а = 1 х – любое действительное число, кроме х = 1

при а = -1, а = 0 решений нет.

при а = 0, а = 2 решений нет.

при а = -3, а = 0, 5, а = -2 решений нет

при а = -с , с = 0 решений нет.

Квадратные уравнения с параметром

Пример 1. Решить уравнение

(а – 1)х 2 = 2(2а + 1)х + 4а + 3 = 0

При а = 1 6х + 7 = 0

В случае а 1 выделим те значения параметра, при которых Д обращается в нуль.

Д = (2(2а + 1)) 2 – 4(а – 1)(4а + 30 = 16а 2 + 16а + 4 – 4(4а 2 + 3а – 4а – 3) = 16а 2 + 16а + 4 – 16а 2 + 4а + 12 = 20а + 16

20а + 16 = 0

20а = -16

Если а < -4/5, то Д < 0, уравнение имеет действительный корень.

Если а > -4/5 и а 1, то Д > 0,

х =

Если а = 4/5, то Д = 0,

Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение

х 2 + 2(а + 1)х + 9а – 5 = 0 имеет 2 различных отрицательных корня?

Д = 4(а + 1) 2 – 4(9а – 5) = 4а 2 – 28а + 24 = 4(а – 1)(а – 6)

4(а – 1)(а – 6) > 0

по т. Виета: х 1 + х 2 = -2(а + 1)
х 1 х 2 = 9а – 5

По условию х 1 < 0, х 2 < 0 то –2(а + 1) < 0 и 9а – 5 > 0

В итоге

4(а – 1)(а – 6) > 0 - 2(а + 1) < 0 9а – 5 > 0

а < 1: а > 6 а > - 1 а > 5/9

(Рис. 1 ) < a < 1, либо a > 6

Пример 3. Найдите значения а , при которых данное уравнение имеет решение.

х 2 – 2(а – 1)х + 2а + 1 = 0

Д = 4(а – 1) 2 – 4(2а + 10 = 4а 2 – 8а + 4 – 8а – 4 = 4а 2 – 16а

4а 2 – 16 0

4а (а – 4) 0

а(а – 4)) 0

а(а – 4) = 0

а = 0 или а – 4 = 0
а = 4

(Рис. 2 )

Ответ: а 0 и а 4

Дидактический материал

1. При каком значении а уравнение ах 2 – (а + 1) х + 2а – 1 = 0 имеет один корень?

2. При каком значении а уравнение (а + 2) х 2 + 2(а + 2)х + 2 = 0 имеет один корень?

3. При каких значениях а уравнение (а 2 – 6а + 8) х 2 + (а 2 – 4) х + (10 – 3а – а 2) = 0 имеет более двух корней?

4. При каких значениях а уравнение 2х 2 + х – а = 0 имеет хотя бы один общий корень с уравнением 2х 2 – 7х + 6 = 0?

5. При каких значениях а уравнения х 2 +ах + 1 = 0 и х 2 + х + а = 0 имеют хотя бы один общий корень?

1. При а = - 1/7, а = 0, а = 1

2. При а = 0

3. При а = 2

4. При а = 10

5. При а = - 2

Показательные уравнения с параметром

Пример 1 .Найти все значения а , при которых уравнение

9 х – (а + 2)*3 х-1/х +2а *3 -2/х = 0 (1) имеет ровно два корня.

Решение. Умножив обе части уравнения (1) на 3 2/х, получим равносильное уравнение

3 2(х+1/х) – (а + 2)*3 х+1/х + 2а = 0 (2)

Пусть 3 х+1/х = у , тогда уравнение (2) примет вид у 2 – (а + 2)у + 2а = 0, или

(у – 2)(у – а ) = 0, откуда у 1 =2, у 2 = а .

Если у = 2, т.е. 3 х+1/х = 2 то х + 1/х = log 3 2 , или х 2 – х log 3 2 + 1 = 0.

Это уравнение не имеет действительных корней, так как его Д = log 2 3 2 – 4 < 0.

Если у = а , т.е. 3 х+1/х = а то х + 1/х = log 3 а , или х 2 – х log 3 а + 1 = 0. (3)

Уравнение (3) имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда

Д = log 2 3 2 – 4 > 0, или |log 3 а| > 2.

Если log 3 а > 2, то а > 9, а если log 3 а < -2, то 0 < а < 1/9.

Ответ: 0 < а < 1/9, а > 9.

Пример 2 . При каких значениях а уравнение 2 2х – (а – 3) 2 х – 3а = 0 имеет решения?

Для того чтобы заданное уравнение имело решения, необходимо и достаточно, чтобы уравнение t 2 – (a – 3) t – 3a = 0 имело хотя бы один положительный корень. Найдем корни по теореме Виета: х 1 = -3, х 2 = а = >

а – положительное число.

Ответ: при а > 0

Дидактический материал

1. Найти все значения а, при которых уравнение

25 х – (2а + 5)*5 х-1/х + 10а * 5 -2/х = 0 имеет ровно 2 решения.

2. При каких значениях а уравнение

2 (а-1)х?+2(а+3)х+а = 1/4 имеет единственный корень?

3. При каких значениях параметра а уравнение

4 х - (5а -3)2 х +4а 2 – 3а = 0 имеет единственное решение?

Пример 1. Найти все значения а , при которых уравнение

log 4x (1 + ах ) = 1/2 (1)

имеет единственное решение.

Решение. Уравнение (1) равносильно уравнению

1 + ах = 2х при х > 0, х 1/4 (3)

х = у

ау 2 –у + 1 = 0 (4)

Не выполняется (2) условие из (3).

Пусть а 0, то ау 2 – 2у + 1 = 0 имеет действительные корни тогда и только тогда, когда Д = 4 – 4а 0, т.е. при а 1.Чтобы решить неравенство (3), построим графики функций Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа. – М.: Просвещение, 1990

МКОУ «Лодейнопольская средняя общеобразовательная школа № 68»

_________________________________________________________________________________________________________________________________

Выступление на заседании МО

Методы решения задач

с параметрами

Прокушева Наталья Геннадьевна

г. Лодейное Поле

2013-2014

Задачи с параметрами

Задачи с параметрами относятся к наиболее сложным из задач, предлагающихся как на Едином государственном экзамене, так и на дополнительных конкурсных экзаменах в ВУЗы.

Они играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры. Затруднения, возникающие при их решении связаны с тем, что каждая задача с параметрами представляет собой целый класс обычных задач, для каждой из которых должно быть получено решение.

Если в уравнении (неравенстве) некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение (неравенство) параметрическим.

Как правило, неизвестные обозначаются последними буквами латинского алфавита: x , y , z , …, а параметры – первыми: a , b , c , …

Решить уравнение (неравенство) с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они. Два уравнения (неравенства), содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:

а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;

б) каждое решение первого уравнения (неравенства) является решением второго и наоборот.

Естественно, такой небольшой класс задач многим не позволяет усвоить главное: параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а во-вторых, – степень свободы общения ограничивается его неизвестностью. Так, деление на выражение, содержащее параметр, извлечение корня четной степени из подобных выражений требуют предварительных исследований. Как правило, результаты этих исследований влияют и на решение, и на ответ.

Как начинать решать такие задачи? Не надо бояться задач с параметрами. Прежде всего, надо сделать то, что делается при решении любого уравнения или неравенства- привести заданное уравнение (неравенство) к более простому виду, если это возможно: разложить рациональное выражение на множители, разложить тригонометрический многочлен на множители, избавиться от модулей, логарифмов, и т.д.. затем необходимо внимательно еще и еще прочитать задание.

При решении задач, содержащих параметр, встречаются задачи, которые условно можно разделить на два большие класса. В первый класс можно отнести задачи, в которых надо решить неравенство или уравнение при всех возможных значениях параметра. Ко второму классу отнесем задания, в которых надо найти не все возможные решения, а лишь те из них, которые удовлетворяют некоторым дополнительным условиям.

Наиболее понятный для школьников способ решения таких задач состоит в том, что сначала находят все решения, а затем отбирают те, которые удовлетворяют дополнительным условиям. Но это удается не всегда. Встречаются большое количество задач, в которых найти все множество решений невозможно, да нас об этом и не просят. Поэтому приходится искать способ решить поставленную задачу, не имея в распоряжении всего множества решений данного уравнения или неравенства, например, поискать свойства входящих в уравнение функций, которые позволят судить о существовании некоторого множества решений.

Основные типы задач с параметрами

Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.

Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределяет успех и при решении задач всех других основных типов.

Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров).

Обращаем внимание на то, что при решении задач данного типа нет необходимости ни решать заданные уравнения, неравенства, их системы и совокупности и т. д., ни приводить эти решения; такая лишняя в большинстве случаев работа является тактической ошибкой, приводящей к неоправданным затратам времени. Однако не стоит абсолютизировать сказанное, так как иногда прямое решение в соответствии с типом 1 является единственным разумным путем получения ответа при решении задачи типа 2.

Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений).

Легко увидеть, что задачи типа 3 в каком-то смысле обратны задачам типа 2.

Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Например, найти значения параметра, при которых:

1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка;
2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго уравнения и т. д.

Комментарий. Многообразие задач с параметром охватывает весь курс школьной математики (и алгебры, и геометрии), но подавляющая часть из них на выпускных и вступительных экзаменах относится к одному из четырех перечисленных типов, которые по этой причине названы основными.

Наиболее массовый класс задач с параметром - задачи с одной неизвестной и одним параметром. Следующий пункт указывает основные способы решения задач именно этого класса.

Основные методы решения задач с параметром

Способ I (аналитический). Это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Иногда говорят, что это способ силового, в хорошем смысле «наглого» решения.

Способ II (графический). В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a ) рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y ), или в координатной плоскости (x ; a ).

Комментарий. Исключительная наглядность и красота графического способа решения задач с параметром настолько увлекает изучающих тему «Задачи с параметром», что они начинают игнорировать другие способы решения, забывая общеизвестный факт: для любого класса задач их авторы могут сформулировать такую, которая блестяще решается данным способом и с колоссальными трудностями остальными способами. Поэтому на начальной стадии изучения опасно начинать с графических приемов решения задач с параметром.

Способ III (решение относительно параметра). При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных x и a и заканчиваем решение.

Перейдем теперь к демонстрации указанных способов решения задач с параметром.

1. Линейные уравнения и неравенства с параметрами

Линейная функция: – уравнение прямой с угловым коэффициентом . Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси .

Линейные уравнения с параметрами вида

Если , уравнение имеет единственное решение.

Если , тоуравнение не имеет решений , когда , и уравнение имеет бесконечно много решений , когда .

Пример 1. Решить уравнение | x | = a .

Решение:

a > 0, => x 1,2 = ± a

a = 0, => x = 0

a < 0, => решений нет.

Ответ: x 1,2 = ±a при a > 0; x = 0 при a = 0; решений нет при a < 0.

Пример 2. Решить уравнение |3 – x | = a .

Решение:

a > 0, => 3 – x = ± a , => x = 3 ± a

a = 0, => 3 – x = 0. => x = 3

a < 0, => решений нет.

Ответ: x 1,2 = 3 ±a при a > 0; x = 3 при a = 0; решений нет при a < 0.

Пример 3. Решить уравнение m ² x – m = x + 1.

Решение:

m ² x – m = x + 1

m ² x – x = m + 1

(m² – 1)x = m + 1

Ответ:
при m ≠ ± 1; x Є R при m = –1; решений нет при m = 1.

Пример 4. а решить уравнение: ( a 2 – 4) x = a + 2 .

Решение: Разложим коэффициент при на множители. .

Если , уравнение имеет единственное решение: .

Если , уравнение не имеет решений.

Если , тоуравнение имеет бесконечно много решений .

Пример 6. При всех значениях параметра a решить уравнение:
.

Решение: ОДЗ: . При этом условии уравнение равносильно следующему: . Проверим принадлежность к ОДЗ: , если . Если же , то уравнение не имеет решений.

Пример 7. При всех значениях параметра а решить уравнение: | х + 3| – a | x – 1| = 4.

Решение: Разобьем числовую прямую на 3 части точками, в которых выражения под знаком модуля обращаются в нуль и решим 3 системы:

1) , если . Найденный будет решением, если .

2) , если . Найденный удовлетворяет нужному неравенству, следовательно, является решением при . Если же , то решением является любой .

3) , если . Найденный не удовлетворяет нужному неравенству, следовательно, не является решением при . Если же , то решением является любой x > 1.

Ответ: при ; при ;

п ри ; является также решением при всех .

Пример 8. Найти все а , при каждом из которых хотя бы одно из решений уравнения 15x – 7a = 2 – 3ax + 6a меньше 2 .

Решение: Найдем решения уравнения при каждом . , если . Решим неравенство: .

При уравнение не имеет решений.

Ответ : а Î (–5 , 4) .

Линейные неравенства с параметрами

Например: Решить неравенство: kx < b .

Если k > 0, то
. Если k < 0, то
. Если k = 0, то при b > 0 решением является любой x Є R , а при
решений нет.

Аналогично решите остальные неравенства в рамочке.

Пример 1. Для всех значений параметра а решить неравенство
.

Решение:

. Если скобка перед x положительна, т.е. при
, то
. Если скобка перед x отрицательна, т.е. при
, то
. Если же a = 0 или a = , то решений нет.

Ответ:
при
;
при
;

решений нет при a = 0 или a = .

Пример 2 . Для всех значений параметра а решить неравенство |х – а| – |x + a | < 2a .

Решение:

При a =0 имеем неверное неравенство 0 < 0, т.е. решений нет. Пусть a > 0, тогда при x < –a оба модуля раскрываются с минусом и получаем неверное неравенство 2a < 2a , т.е. решений нет. Если x Є [–a ; a ] , то первый модуль раскрывается с минусом, а второй с плюсом и получаем неравенство –2x < 2a , т.е. x > –a , т.е., решением является любой x Є (–a ; a ]. Если x > a оба модуля раскрываются с плюсом и получаем верное неравенство –2a < 2a , т.е. , решением является любой x Є (a ; +∞). Объединяя оба ответа, получим, что при a > 0 x Є (–a ; +∞).

Пусть a < 0, тогда первое слагаемое больше, чем второе, поэтому разность в левой части неравенства положительна и, следовательно, не может быть меньше отрицательного числа 2a . Т.о., при a < 0 решений нет.

Ответ: x Є (–a ; +∞) при a > 0, решений нет при
.

Замечание. Решение данной задачи получается быстрее и проще, если использовать геометрическую интерпретацию модуля разности двух чисел, как расстояние между точками. Тогда выражение в левой части можно интерпретировать, как разность расстояний от точки х до точек а и –а .

Пример 3. Найти все а , при каждом из которых все решения неравенства
удовлетворяют неравенству 2x – a ² + 5 < 0.

Решение:

Решением неравенства |x | ≤ 2 является множество A =[–2; 2], а решением неравенства 2x – a ² + 5 < 0 является множество B = (–∞;
) . Чтобы удовлетворить условию задачи, нужно, чтобы множество А входило в множество В (). Это условие выполнится тогда и только тогда, когда .

Ответ: a Є (–∞; –3)U (3; +∞).

Пример 4. Найти все значения a , при которых неравенство
выполняется для всех x из отрезка .

Решение:

Дробь – меньше нуля между корнями, поэтому надо выяснить, какой корень больше.

–3a + 2 < 2a + 4
и –3a + 2 > 2a + 4
. Т.о., при
x Є (–3a + 2; 2a + 4) и чтобы неравенство выполнялось для всех x из отрезка , нужно, чтобы

При
x Є (2a + 4; –3a + 2) и чтобы неравенство выполнялось для всех x из отрезка , нужно, чтобы

При a = – (когда корни совпадают) решений нет, т.к. в этом случае неравенство приобретает вид: .

Ответ:
.

Пример 5. а неравенство справедливо при всех отрицательных значениях х ?

Решение:

Функция монотонно возрастает, если коэффициент при x неотрицательный, и она монотонно убывает, если коэффициент при x отрицательный.

Выясним знак коэффициента при

a ≤ –3,

a ≥ 1; (a ² + 2 a – 3) < 0 <=> –3 < a < 1.

a ≤ –3,

Пусть a ≥ 1. Тогда функция f (x ) монотонно не убывает, и условие задачи будет выполнено, если f (x ) ≤ 0 <=> 3a ² – a – 14 ≤ 0 <=>
.

a ≤ –3,

Вместе с условиями a ≥ 1; получим:

Пусть –3 < a < 1. Тогда функция f (x ) монотонно убывает, и условие задачи никогда не может быть выполнено.

Ответ :
.

2. Квадратные уравнения и неравенства с параметрами

Квадратичная функция:
.

В множестве действительных чисел это уравнение исследуется по следующей схеме.

Пример 1 . При каких значениях a уравнение x ² – ax + 1 = 0 не имеет действительных корней?

Решение:

x ² – ax + 1 = 0

D = a ² – 4 · 1 = a ² – 4

a ² – 4 < 0 + – +

( a – 2)( a + 2) < 0 –2 2

Ответ : при a Є (–2; 2)

Пример 2. При каких значениях а уравнение а (х ² – х + 1) = 3 х + 5 имеет два различных действительных корня?

Решение:

а (х ² – х + 1) = 3 х + 5, а ≠ 0

ах ² – ах+ а – 3 х – 5 = 0

ах ² – ( а + 3) х + а – 5 = 0

D = ( a +3)² – 4 a ( a – 5) = a ² +6 a + 9 – 4 a ² + 20 a = –3 a ² + 26 a + 9

–3 a ² + 26 a + 9 > 0

3 a ² – 26 a – 9 < 0

D = 26² – 4 · 3 · (–9) = 784

a 1 =
; a 2 =
+ – +

0 9

Ответ: при a Є (–1/3; 0) U (0; 9)

Пример 3. Решить уравнение
.

Решение:

ОДЗ : x ≠1, x ≠ a

x – 1 + x – a = 2, 2 x = 3 + a ,

1)
; 3 + a ≠ 2; a ≠ –1

2)
; 3 + a ≠ 2 a ; a ≠ 3

Ответ:
при a Є (–∞; –1) U (–1; 3) U (3; +∞);

решений нет при a = –1; 3 .

Пример 4 . Решить уравнение | x ²–2 x –3 | = a .

Решение:

Рассмотрим функции y = | x ²–2 x –3 | и y = a .

При a < 0 нет решений;
при a = 0 и a > 4 два решения;
при 0 < a < 4 – четыре решения;
при a = 4 – три решения.

Ответ:

при a < 0 нет решений;
при a = 0 и a > 4 два решения;
при 0 < a < 4 – четыре решения;
при a = 4 – три решения.

Пример 5. Найти все значения a , при каждом из которых уравнение | x ²–( a +2) x +2 a | = | 3 x –6 |
имеет ровно два корня. Если таких значений a больше одного, в ответе укажите их произведение.

Решение:

Разложим квадратный трехчлен x ²–( a +2) x +2 a на множители.
;
;
;

Получим | ( x –2)( x – a ) | = 3 | x –2 |.
Это уравнение равносильно совокупности

Поэтому данное уравнение имеет ровно два корня, если a + 3 = 2 и a – 3 = 2.
Отсюда находим, что искомыми значениями a являются a 1 = –1; a 2 = 5; a 1 · a 2 = –5.

Ответ: –5.

Пример 6. Найти все значения a , при которых корни уравнения ax ² – 2( a + 1) x – a + 5 = 0 положительны .

Решение:

Контрольная точка a = 0, т.к. меняет суть уравнения.

1. a = 0 –2x + = 0;

Ответ: a Є U .

Пример 7. При каких значениях параметра a уравнение | x ² – 4 x + 3 | = ax имеет 3 корня.

Решение:

Построим графики функций y = | x ² – 4 x + 3 | и y = ax .

На отрезке построен график функции
.
Данное уравнение будет иметь три корня, если график функции y = ax будет являться касательной к графику y = x ²+ 4 x – 3 на
отрезке .

Уравнение касательной имеет вид y = f (x 0 ) + f ’(x 0 )(x – x 0 ),



Т.к. уравнение касательной y = a , получим систему уравнений

Т.к. x 0 Є ,

Ответ: при a = 4 – 2
.

Квадратные неравенства с параметрами

Пример. Найдите все значения параметра a , при каждом из которых среди решений неравенства
нет ни одной точки отрезка .

Решение:

Сначала решим неравенство при всех значениях параметра, а потом найдем те из них, для которых среди решений нет ни одной точки отрезка .
Пусть
, ax = t ²

t ≥ 0

При такой замене переменных ОДЗ неравенства выполняется автоматически. x можно выразить через t , если a ≠ 0. Поэтому случай, когда a = 0, рассмотрим отдельно.
1.Пусть a = 0, тогда х > 0, и заданный отрезок является решением.
2.Пусть a ≠ 0, тогда
и неравенство
примет вид
,

Решение неравенства зависит от значений a , поэтому придется рассмотреть два случая.
1) Если a >0, то
при
, или в старых переменных,

Решение не содержит ни одной точки заданного отрезка , тогда и только тогда, когда выполнены условия a ≤ 7,

16a ≥ 96. Отсюда, a Є .
2). Если а < 0, то
;
; t Є (4a ; a ). Так как t ≥ 0, то решений нет.

Ответ: .

Иррациональные уравнения с параметрами

При решении иррациональных уравнений и неравенств с параметром, во-первых, следует учитывать область допустимых значений. Во-вторых, если обе части неравенства – неотрицательные выражения, то такое неравенство можно возводить в квадрат с сохранением знака неравенства.
Во многих случаях иррациональные уравнения и неравенства после замены переменных сводятся к квадратным.

Пример 1. Решить уравнение
.

Решение:

ОДЗ: x + 1 ≥ 0, x ≥ –1, a ≥ 0.

x + 1 = a ².

Если x = a ² – 1, то условие выполняется.

Ответ: x = a ² – 1 при а ≥ 0; решений нет при a < 0.

Пример 2. Решить уравнение
.

Решение:

ОДЗ: x + 3 ≥ 0, x ≥ –3,

a – x ≥ 0; x ≤ a ;

x + 3 = a – x ,

2x = a – 3,

<=>
<=>
<=> a ≥ –3.

Ответ:
при a ≥ –3; решений нет при a < –3.

Пример 3. Сколько корней имеет уравнение
в зависимости от значений параметра а ?

Решение:

Область допустимых значений уравнения: x Є [–2; 2]

Построим графики функций. График первой функции – это верхняя половина окружности x ² + y ² = 4. График второй функции – биссектрисы первого и второго координатных углов. Из графика первой функции вычтем график второй и получим график функции
. Если заменить у на а , то последний график функции есть множество точек (х; а), удовлетворяющих исходному уравнению.

По графику видим ответ.

Ответ: при а Є (–∞; –2) U (1; +∞), корней нет;

при а Є [–2; 2), два корня;

при а = 1, один корень.

Пример 4. При каких значениях параметра а уравнение
имеет единственное решение?

Решение:

1 способ (аналитический):

Ответ:

2 способ (графический):

Ответ: при а ≥ –2 уравнение имеет единственное решение

Пример 5. При каких значениях параметра а уравнение = 2 + х имеет единственное решение.

Решение:

Рассмотрим графический вариант решения данного уравнения, то есть построим две функции:
у 1 = 2 + х и у 2 =

Первая функция является линейной и проходит через точки (0; 2) и (–2; 0).
График второй функции содержит параметр. Рассмотрим сначала график этой функции при а = 0 (рис.1). При изменении значения параметра график будет передвигаться по оси ОХ на соответсвующее значение влево (при положительных а ) или вправо (при отрицательных а ) (рис.2)

Из рисунка видно, что при а < –2 графики не пересекают друг друга, а следовательно не имеют общих решений. Если же значение параметра а больше либо равно –2, то графики имеют одну точку пересечения, а следовательно одно решение.

Ответ: при a ≥ –2 уравнение имеет единственное решение.

Тригонометрические уравнения с параметрами.

Пример 1. Решите уравнение sin (– x + 2 x – 1) = b + 1.

Решение:

Учитывая нечетность функции
, данное уравнение сведем к равносильному
.

1. b = –1

3. b =–2

4. | b + 1| > 1

Решений нет.

5. b Є(–1; 0)

6. b Є(–2; –1)

Пример 2. Найдите все значения параметра p, при которых уравнение
не имеет решений.

Решение:

Выразим cos 2x через sinx .

Пусть
тогда задача свелась к нахождению всех значений p , при которых уравнение не имеет решений на [–1; 1]. Уравнение алгоритмически не решается, поэтому решим задачу, используя график. Запишем уравнение в виде , и теперь эскиз графика левой части
строится несложно.
Уравнение не имеет решений, если прямая y = p + 9 не пересекает график на отрезке [–1; 1], т. е.

Ответ: p Є (–∞; –9) U (17; +∞).

Системы уравнений с параметрами

Системы двух линейных уравнений с параметрами

Система уравнений

Решениями системы двух линейных уравненийявляются точки пересечения двух прямых: и .

Возможны 3 случая:

1. Прямые не параллельны . Тогда и их нормальные вектора не параллельны, т.е. . В этом случае система имеет единственное решение.

2. Прямые параллельны и не совпадают. Тогда и их нормальные вектора параллельны, но сдвиги различны, т.е. .

В этом случае система решений не имеет .

3. Прямые совпадают. Тогда их нормальные вектора параллельны и сдвиги совпадают, т.е. . В этом случае система имеет бесконечно много решений – все точки прямой.