Смежные углы. Смежные и вертикальные углы
Геометрия - это весьма многогранная наука. Она развивает логику, воображение и интеллект. Конечно, из-за своей сложности и огромного количества теорем и аксиом, она не всегда нравится школьникам. Кроме этого, существует необходимость постоянно доказывать свои выводы, используя общепринятые стандарты и правила.
Смежные и вертикальные углы - это неотъемлемая составляющая геометрии. Наверняка многие школьники просто обожают их по той причине, что их свойства понятны и просты в доказательстве.
Образование углов
Любой угол образуется путем пересечения двух прямых или проведения двух лучей из одной точки. Они могут называться либо одной буквой, либо тремя, которые последовательно обозначают точки построения угла.
Углы измеряются в градусах и могут (в зависимости от их значения) по-разному называться. Так, существует прямой угол, острый, тупой и развернутый. Каждому из названий соответствует определенная градусная мера или ее промежуток.
Острым называется угол, мера которого не превышает 90 градусов.
Тупым является угол, превышающий 90 градусов.
Угол называется прямым в том случае, когда его градусная мера равна 90.
В том случае, когда он образован одной сплошной прямой, и его градусная мера равна 180, его называют развернутым.
Углы, имеющие общую сторону, вторая сторона которых продолжает друг друга, называются смежными. Они могут быть как острыми, так и тупыми. Пересечение линией образует смежные углы. Свойства их следующие:
- Сумма таких углов будет равна 180 градусам (существует теорема, доказывающая это). Поэтому можно легко вычислить один из них, если известен другой.
- Из первого пункта следует, что смежные углы не могут быть образованы двумя тупыми или двумя острыми углами.
Благодаря этим свойствам, можно всегда вычислить градусную меру угла, имея значение другого угла или, по крайней мере, отношение между ними.
Вертикальные углы
Углы, стороны которых являются продолжением друг друга, называются вертикальными. В качестве такой пары могут выступать любые их разновидности. Вертикальные углы всегда равны между собой.
Они образуются при пересечении прямых. Совместно с ними всегда присутствуют и смежные углы. Угол может быть одновременно смежным для одного и вертикальным для другого.
При пересечении произвольной линией также рассматривают еще несколько видов углов. Такая линия называется секущей, она и образует соответственные, односторонние и накрест лежащие углы. Они равны между собой. Их можно рассматривать в свете свойств, которые имеют вертикальные и смежные углы.
Таким образом, тема углов представляется довольно простой и понятной. Все их свойства легко запомнить и доказать. Решение задач не представляется сложным до тех пор, пока углам соответствует числовое значение. Уже дальше, когда начнется изучение sin и cos, придется запоминать множество сложных формул, их выводов и следствий. А до того времени можно просто наслаждаться легкими задачками, в которых необходимо найти смежные углы.
В процессе изучения курса геометрии понятия “угол”, “вертикальные углы”, “смежные углы” встречаются достаточно часто. Понимание каждого из терминов поможет разобраться в поставленной задаче и правильно ее решить. Что такое смежные углы и как их определять?
Смежные углы – определение понятия
Термин “смежные углы” характеризует два угла, образованных общим лучом и двумя дополнительными полупрямыми, лежащими на одной прямой. Все три луча выходят из одной точки. Общая полупрямая является одновременно стороной как одного, так и второго угла.
Смежные углы – основные свойства
1. Исходя из формулировки смежных углов, нетрудно заметить, что сумма таких углов всегда образует развернутый угол, градусная мера которого равна 180°:
- Если μ и η являются смежными углами, то μ + η = 180°.
- Зная величину одного из смежных углов (например, μ), можно легко вычислить градусную меру второго угла (η), используя выражение η = 180° – μ.
2. Данное свойство углов позволяет сделать следующий вывод: угол, являющийся смежным прямому углу, также будет прямым.
3. Рассматривая тригонометрический функции (sin, cos, tg, ctg), основываясь на формулах приведения для смежных углов μ и η справедливо следующее:
- sinη = sin(180° – μ) = sinμ,
- cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
- tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
- ctgη = ctg(180° – μ) = -ctgμ.
Смежные углы – примеры
Пример 1
Задан треугольник с вершинами M, P, Q – ΔMPQ. Найти углы, смежные углам ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.
- Продлим каждую из сторон треугольника прямой.
- Зная о том, что смежные углы дополняют друг друга до развернутого угла, выясняем, что:
смежным для угла ∠QMP будет ∠LMP,
смежным для угла ∠MPQ будет ∠SPQ,
смежным для угла ∠PQM будет ∠HQP.
Пример 2
Величина одного смежного угла составляет 35°. Чему равна градусная мера второго смежного угла?
- Два смежных угла в сумме образуют 180°.
- Если ∠μ = 35°, то смежный ему ∠η = 180° – 35° = 145°.
Пример 3
Определить величины смежных углов, если известно, что градусная мера одного из низ втрое больше градусной меры другого угла.
- Обозначим величину одного (меньшего) угла через – ∠μ = λ.
- Тогда, согласно условию задачи, величина второго угла будет равна ∠η = 3λ.
- Исходя из основного свойства смежных углов, μ + η = 180° следует
λ + 3λ = μ + η = 180°,
λ = 180°/4 = 45°.
Значит первый один угол ∠μ = λ = 45°, а второй угол ∠η = 3λ = 135°.
Умение апеллировать терминологией, а также знание основных свойств смежных углов поможет справиться с решением многих геометрических задач.
Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами. На рисунке 20 углы АОВ и ВОС смежные.
Сумма смежных углов равна 180°
Теорема 1. Сумма смежных углов равна 180°.
Доказательство. Луч ОВ (см. рис.1) проходит между сторонами развернутого угла. Поэтому ∠ АОВ + ∠ ВОС = 180° .
Из теоремы 1 следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.
Вертикальные углы равны
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого. Углы АОВ и COD, BOD и АОС, образованные при пересечении двух прямых, являются вертикальными (рис. 2).
Теорема 2. Вертикальные углы равны.
Доказательство. Рассмотрим вертикальные углы АОВ и COD (см. рис. 2). Угол BOD является смежным для каждого из углов АОВ и COD. По теореме 1 ∠ АОВ + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.
Отсюда заключаем, что ∠ АОВ = ∠ COD.
Следствие 1. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.
Рассмотрим две пересекающиеся прямые АС и BD (рис.3). Они образуют четыре угла. Если один из них прямой (угол 1 на рис.3), то остальные углы также прямые (углы 1 и 2, 1 и 4 - смежные, углы 1 и 3 - вертикальные). В этом случае говорят, что эти прямые пересекаются под прямым углом и называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными). Перпендикулярность прямых АС и BD обозначается так: AC ⊥ BD.
Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная к этому отрезку и проходящая через его середину.
АН - перпендикуляр к прямой
Рассмотрим прямую а и точку А, не лежащую на ней (рис.4). Соединим точку А отрезком с точкой Н прямой а. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой а, если прямые АН и а перпендикулярны. Точка Н называется основанием перпендикуляра.
Чертежный угольник
Справедлива следующая теорема.
Теорема 3. Из всякой точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.
Для проведения на чертеже перпендикуляра из точки к прямой используют чертежный угольник (рис.5).
Замечание. Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы. Например, условие теоремы 2 - углы вертикальные; заключение - эти углы равны.
Всякую теорему можно подробно выразить словами так, что ее условие будет начинаться словом «если», а заключение - словом «то». Например, теорему 2 можно подробно высказать так: «Если два угла вертикальные, то они равны».
Пример 1. Один из смежных углов равен 44°. Чему равен другой?
Решение.
Обозначим градусную меру другого угла через x , тогда согласно теореме 1.
44° + х = 180°.
Решая полученное уравнение, находим, что х = 136°. Следовательно, другой угол равен 136°.
Пример 2. Пусть на рисунке 21 угол COD равен 45°. Чему равны углы АОВ и АОС?
Решение.
Углы COD и АОВ вертикальные, следовательно, по теореме 1.2 они равны, т. е. ∠ АОВ = 45°. Угол АОС смежный с углом COD, значит, по теореме 1.
∠ АОС = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.
Пример 3. Найти смежные углы, если один из них в 3 раза больше другого.
Решение.
Обозначим градусную меру меньшего угла через х. Тогда градусная мера большего угла будет Зх. Так как сумма смежных углов равна 180° (теорема 1), то х + Зх = 180°, откуда х = 45°.
Значит, смежные углы равны 45° и 135°.
Пример 4. Сумма двух вертикальных углов равна 100°. Найти величину каждого из четырех углов.
Решение.
Пусть условию задачи отвечает рисунок 2. Вертикальные углы COD к АОВ равны (теорема 2), значит, равны и их градусные меры. Поэтому ∠ COD = ∠ АОВ = 50° (их сумма по условию 100°). Угол BOD (также и угол
АОС) смежный с углом COD, и, значит, по теореме 1
∠ BOD = ∠ АОС = 180° - 50° = 130°.
Вопрос 1.
Какие углы называются смежными?
Ответ.
Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.
На рисунке 31 углы (a 1 b) и (a 2 b) смежные. У них сторона b общая, а стороны a 1 и a 2 являются дополнительными полупрямыми.
Вопрос 2.
Докажите, что сумма смежных углов равна 180°.
Ответ.
Теорема 2.1.
Сумма смежных углов равна 180°.
Доказательство.
Пусть угол (a 1 b) и угол (a 2 b) - данные смежные углы (см. рис.31). Луч b проходит между сторонами a 1 и a 2 развёрнутого угла. Поэтому сумма углов (a 1 b) и (a 2 b) равна развёрнутому углу, т. е. 180°. Что и требовалось доказать.
Вопрос 3.
Докажите, что если два угла равны, то смежные с ними углы также равны.
Ответ.
Из теоремы 2.1
следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.
Допустим, углы (a 1 b) и (c 1 d) равны. Нам нужно доказать, что углы (a 2 b) и (c 2 d) тоже равны.
Сумма смежных углов равна 180°. Из этого следует, что a 1 b + a 2 b = 180° и c 1 d + c 2 d = 180°. Отсюда, a 2 b = 180° - a 1 b и c 2 d = 180° - c 1 d. Так как углы (a 1 b) и (c 1 d) равны, то мы получаем, что a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. По свойству транзитивности знака равенства следует, что a 2 b = c 2 d. Что и требовалось доказать.
Вопрос 4.
Какой угол называется прямым (острым, тупым)?
Ответ.
Угол, равный 90°, называется прямым углом.
Угол, меньший 90°, называется острым углом.
Угол, больший 90° и меньший 180°, называется тупым.
Вопрос 5.
Докажите, что угол, смежный с прямым, есть прямой угол.
Ответ.
Из теоремы о сумме смежных углов следует, что угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол: x + 90° = 180°, x= 180° - 90°, x = 90°.
Вопрос 6.
Какие углы называются вертикальными?
Ответ.
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого.
Вопрос 7.
Докажите, что вертикальные углы равны.
Ответ. Теорема 2.2. Вертикальные углы равны.
Доказательство.
Пусть (a 1 b 1) и (a 2 b 2)- данные вертикальные углы (рис. 34). Угол (a 1 b 2) является смежным с углом (a 1 b 1) и с углом (a 2 b 2). Отсюда по теореме о сумме смежных углов заключаем, что каждый из углов (a 1 b 1) и (a 2 b 2) дополняет угол (a 1 b 2) до 180°, т.е. углы (a 1 b 1) и (a 2 b 2) равны. Что и требовалось доказать.
Вопрос 8.
Докажите, что если при пересечении двух прямых один из углов прямой, то остальные три угла тоже прямые.
Ответ.
Предположим, что прямые AB и CD пересекают друг друга в точке O. Предположим, что угол AOD равен 90°. Так как сумма смежных углов равна 180°, то получаем, что AOC = 180°-AOD = 180°- 90°=90°. Угол COB вертикален углу AOD, поэтому они равны. То есть угол COB = 90°. Угол COA вертикален углу BOD, поэтому они равны. То есть угол BOD = 90°. Таким образом, все углы равны 90°, то есть они все – прямые. Что и требовалось доказать.
Вопрос 9.
Какие прямые называются перпендикулярными? Какой знак используется для обозначения перпендикулярности прямых?
Ответ.
Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.
Перпендикулярность прямых обозначается знаком \(\perp\). Запись \(a\perp b\) читается: «Прямая a перпендикулярна прямой b».
Вопрос 10.
Докажите, что через любую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.
Ответ. Теорема 2.3.
Через каждую прямую можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.
Доказательство.
Пусть a - данная прямая и A - данная точка на ней. Обозначим через a 1 одну из полупрямых прямой a с начальной точкой A (рис. 38). Отложим от полупрямой a 1 угол (a 1 b 1), равный 90°. Тогда прямая, содержащая луч b 1 , будет перпендикулярна прямой a.
Допустим, что существует другая прямая, тоже проходящая через точку A и перпендикулярная прямой a. Обозначим через c 1 полупрямую этой прямой, лежащую в одной полуплоскости с лучом b 1 .
Углы (a 1 b 1) и (a 1 c 1), равные каждый 90°, отложены в одну полуплоскость от полупрямой a 1 . Но от полупрямой a 1 в данную полуплоскость можно отложить только один угол, равный 90°. Поэтому не быть другой прямой, проходящей через точку A и перпендикулярной прямой a. Теорема доказана.
Вопрос 11.
Что такое перпендикуляр к прямой?
Ответ.
Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения. Этот конец отрезка называется основанием
перпендикуляра.
Вопрос 12.
Объясните, в чём состоит доказательство от противного.
Ответ.
Способ доказательства, который мы применили в теореме 2.3, называется доказательством от противного. Этот способ доказательства состоит в том, что мы cначала делаем предположение, противоположное тому, что утверждается теоремой. Затем путем рассуждений, опираясь на аксиомы и доказанные теоремы, приходим к выводу, противоречащему либо условию теоремы, либо одной из аксиом, либо доказанной ранее теореме. На этом основании заключаем, что наше предположение было неверным, а значит, верно утверждение теоремы.
Вопрос 13.
Что называется биссектрисой угла?
Ответ.
Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол пополам.
Сейтмамбетова Ильвира Алимсеитовна
Тема урока: Смежные углы.
Цели урока:
Образовательные: ввести понятие смежных углов;
Научить учащихся строить смежные углы;
Доказать теорему и следствия из нее;
Рассмотреть разные виды углов.
Развивающие: развитие логического мышления;
Развитие геометрического воображения;
Воспитательные: формирование математической культуры записи решения.
Тип урока: усвоение новых знаний;
Оборудование: модель смежных углов, интерактивная доска
Ход урока
I Организационный момент (приветствие, оглашение темы урока, цели урока учащиеся формулируют самостоятельно)
II Проверка домашнего задания. (разбор выявленных трудностей, выборочная проверка ответов и решений)
III Актуализация опорных знаний и умений
Задание классу
Нарисуйте два дополнительных луча ОА и ОВ (по ходу решения вспомнить определение дополнительных лучей)
Какой угол образуют эти лучи?
Какова его величина?
Нарисуйте луч, проходящий между сторонами развернутого угла
Какой луч считается проходящим между сторон угла? (любой луч, выходящий из вершины угла, отличный от сторон угла)
Сформулируйте аксиому измерения углов (на рисунке изображается луч ОС, цифрами обозначаются углы и делается запись ∠ 1+ ∠ 2= ∠ AOB
IV Изучение нового материала
Введение понятий ведется таким образом, чтобы учащиеся самостоятельно формулировали определение смежных углов, теорему и пробовали ее доказать.
Введение понятия «смежные углы»
Задание классу (один учащийся работает у доски)
Нарисуйте два угла, у которых одна сторона общая
Нарисуйте два угла, у которых одна сторона
первого из углов является дополнительным лучом стороны второго угла.
Нарисуйте два угла, у которых одна сторона общая, а две другие – дополнительные лучи
Вывод: углы, изображенные на последнем чертеже,
являются смежными.
Формулирование определения смежных углов:
Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а
две другие – дополнительные лучи.
Устное первичное закрепление
Найти на чертеже смежные углы, и выписать их
а) б)
Задание классу
Учитель на доске строит угол.
Необходимо построить угол, смежный данному. Сколько решений имеет данная задача. Какой вывод можно сделать из рассмотренной задачи?
Свойство смежных углов
Задание классу:
Задача: Даны два смежных угла ∠ BCD и ∠ ACD , причем ∠ BCD = 35 о
Найдите ∠ ACD .
Вариант рассуждений: ∠ AC В развернутый, следовательно, его градусная мера равна 180 о . Луч CD проходит между сторонами этого угла, поскольку он выходит из его вершины и отличен от его сторон. По аксиоме ∠ ACD + ∠ BCD = ∠ AC В, т.е. ∠ ACD + ∠ BCD =180 о . следовательно, ∠ ACD =180 о - ∠ BCD =180 о -35 о =145 о .
Какое свойство смежных углов можно заметить?
Вывод: Сумма смежных углов равна 180 о .
Доказательство теоремы.
Теорема: Сумма смежных углов равна 180 о .
Дано: ∠1 и ∠2 – смежные углы
Доказать: ∠1 и ∠2= 180 о
Доказательство:
По условию, ∠1 и ∠2 – смежные углы, следовательно, СА и СВ – дополнительные лучи (определение смежных углов). Тогда ∠АСВ-развернутый (определение развернутого угла).
∠АСВ= 180 о (аксиома).
Луч CD проходит между сторонами развернутого угла (по определению). Итак, ∠1 и ∠2=∠АСВ, т.е. ∠1 и ∠2= 180 о
Теорема доказана.
Во время изучения некоторых следствий из теоремы и видов углов удобно использовать простую модель смежных углов. Она изготовлена так: к подвижной стороне, закрепленной в вершине смежных углов, с обеих сторон прикреплены сектора. Во время вращения общей стороной оба сектора передвигаются в пазах, проделанных вдоль двух других сторон. С помощью шкал, нанесенных на сектора, демонстрируются смежные углы различной величины.
Следствия из теоремы:
Если два угла равны, то смежные с ними углы равны
Доказательство
Обозначим градусную меру равных углов через х, тогда величина каждого из смежных углов, будет равна 180 о -х, т.е. эти углы будут равны.
Если угол неразвернутый, то он меньше 180 о
Доказательство
Пусть дан произвольный неразвернутый угол ∠( ab ), следовательно, ∠(ab ) не равен 180 о . Построим луч а 1, дополнительный к лучу а. По определению, углы ( ab ) и ( а 1 b ) будут смежными. По теореме ∠ (ab ) +∠ ( а 1 b )= 180 о или ∠ ( а 1 b ) = 180 о - ∠ ( а b ). Предположим, что угол (ab ) не меньше 180 о . Если, что противоречит аксиоме. Это означает, что. Значит, .
Угол, смежный с прямым, является прямым
Доказательство
Угол, равный, называется прямым. Пусть один из смежных углов прямой, т.е. равен. Поскольку, сумма смежных углов равна, то второй угол равен, следовательно, он прямой.
Виды углов (учащиеся уже знают, обобщить по таблице)
V Закрепление новых знаний и умений
Решение задач
Сумма двух углов равна, докажите, что они не являются смежными.
Один из смежных углов, равен, найдите второй угол.
Один из смежных углов на больше, чем второй. Найдите эти углы.
Пусть градусная мера меньшего из двух углов равна х. Тогда больший угол будет равен (х+), а их сумма (х+(х+40)) или (по теореме).
Составим и решим уравнение
х+(х+40)=;
Ответ: и.
Один из смежных углов в 3 раза больше, чем второй. Найдите эти углы.
Один из смежных углов больше, чем второй на. Найдите эти углы.
Замечание: последние две задачи решить двумя способами: с помощью уравнения и без составления уравнения.
Величины смежных углов относятся как 2:3. Найдите эти углы.
Решение (алгебраическим способом)
Пусть градусная мера смежный углов равна х. Тогда больший угол будет равен 3х, а меньший 2х. Их сумма 2х+3х=5х или (по теореме).
Составим и решим уравнение
5х=;
Значит, меньший из смежных углов, равен, а больший.
Ответ: и.
VI Подведение итогов урока. Рефлексия
Является ли верным утверждение: если сумма двух углов равна 180, то они смежные? (Нет, уместно привести контрпример)
Может ли разность двух смежных углов быть равной прямому углу (Да,)
VII Домашнее задание
они относятся как 7:29 (ответ);
их разность равна? (ответ);
Две прямые пересекаются. Сколько при этом пар смежных углов образовалось? (ответ: 4)
Найти градусные меры смежных углов, если:
Выучить определение смежных углов, уметь доказывать теорему о смежных углах и следствия из нее.
