Geometriai összegképlet. A geometriai progresszió nevezője: képletek és tulajdonságok

Már az ókori Egyiptomban is ismerték nemcsak a számtani, hanem a geometriai progressziót is. Itt van például egy probléma a Rhindi papiruszból: „Hét arcnak hét macskája van; Minden macska hét egeret eszik, minden egér hét kalász kukoricát, és minden árpaszem hét mérték árpát tud termeszteni. Mekkorák a számok ebben a sorozatban és ezek összege?

Rizs. 1. Ókori egyiptomi geometriai progressziós probléma

Ezt a feladatot sokszor megismételték különböző variációkkal más népeknél máskor. Például a 13. században írt. A pisai Leonardo (Fibonacci) „Az abakusz könyve” című filmnek egy olyan problémája van, amelyben 7 öregasszony jelenik meg Róma felé vezető úton (nyilvánvalóan zarándokok), akiknek mindegyikének 7 öszvére van, mindegyikben 7 táska, 7 cipót tartalmaz, mindegyikben 7 kés van, és mindegyiknek 7 hüvelye van. A probléma azt kérdezi, hogy hány objektum van.

Az S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) geometriai haladás első n tagjának összege. Ez a képlet például így bizonyítható: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.

Adja hozzá a b 1 q n számot S n-hez, és kapja meg:

Innen S n (q – 1) = b 1 (q n – 1), és megkapjuk a szükséges képletet.

Már az ókori Babilon egyik agyagtábláján, amely a 6. századból származik. időszámításunk előtt e., tartalmazza az 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1 összeget. Igaz, mint számos más esetben, nem tudjuk, hogy ezt a tényt a babilóniaiak honnan ismerték .

A geometriai progresszió gyors növekedését számos kultúrában, különösen az indiaiban, ismételten a világegyetem hatalmasságának vizuális szimbólumaként használják. A sakk megjelenéséről szóló híres legendában az uralkodó lehetőséget ad feltalálójának, hogy maga válassza ki a jutalmat, és megkérdezi, hány búzaszemet kapunk, ha az első mezőre kerül. sakktábla, kettő a második, négy a harmadik, nyolc a negyedik stb., minden alkalommal, amikor a szám megduplázódik. Vladyka azt hitte, legfeljebb néhány táskáról beszélünk, de rosszul számolt. Könnyen belátható, hogy a sakktábla mind a 64 mezőjére a feltalálónak (2 64 - 1) szemcsét kell kapnia, ami 20 jegyű számként van kifejezve; ha a Föld teljes felületét be is vetnék, legalább 8 évbe telne a szükséges mennyiségű szem összegyűjtése. Ezt a legendát néha úgy értelmezik, hogy a sakkjátékban rejlő gyakorlatilag korlátlan lehetőségeket jelzi.

Könnyen belátható, hogy ez a szám valóban 20 jegyű:

2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6∙10 19 (pontosabb számítás 1,84∙10 19). De kíváncsi vagyok, megtudja-e, hogy ez a szám melyik számjegyre végződik?

A geometriai haladás lehet növekvő, ha a nevező nagyobb, mint 1, vagy csökkenő, ha kisebb, mint egy. Ez utóbbi esetben a kellően nagy n-hez tartozó q n szám tetszőlegesen kicsivé válhat. Míg a növekvő geometriai progresszió váratlanul gyorsan növekszik, a csökkenő geometriai progresszió ugyanolyan gyorsan csökken.

Minél nagyobb n, annál gyengébb a q n szám, amely eltér nullától, és minél közelebb van az S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) geometriai haladás n tagjának összege az S = b 1 / ( 1 – q). (Például F. Viet így érvelt). Az S számot egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összegének nevezzük. A matematikusok számára azonban évszázadokon át nem volt elég világos a kérdés, hogy mit jelent a végtelen számú taggal rendelkező TELJES geometriai progresszió összegzése.

Csökkenő geometriai progresszió figyelhető meg például Zénón „Félosztály” és „Achilles és a teknős” című aporiaiban. Az első esetben jól látható, hogy a teljes út (1 hosszt feltételezve) végtelen számú 1/2, 1/4, 1/8 stb. szakasz összege. Ez természetesen így van a véges összegű végtelen geometriai progresszióról alkotott elképzelések nézőpontja. És mégis – hogy lehet ez?

Az Akhilleuszról szóló apóriában kicsit bonyolultabb a helyzet, mert itt nem 1/2 a progresszió nevezője, hanem valami más szám. Legyen például Akhilleusz v sebességgel, a teknős u sebességgel mozog, és a köztük lévő kezdeti távolság l. Achilles ezt a távolságot l/v idő alatt teszi meg, és ezalatt a teknős egy lu/v távolságot tesz meg. Amikor Akhilleusz átfut ezen a szakaszon, a közte és a teknős közötti távolság egyenlő lesz l (u /v) 2-vel stb. Kiderült, hogy a teknős utolérése azt jelenti, hogy meg kell találni egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összegét az elsővel l tag és az u /v nevező. Ez az összeg – az a szegmens, amelyet Akhilleusz végül a teknőssel találkozási helyre fut – egyenlő l / (1 – u /v) = lv / (v – u). De ismét, hogyan kell értelmezni ezt az eredményt, és miért van egyáltalán értelme? hosszú ideje nem volt túl világos.

Archimedes a geometriai progresszió összegét használta egy parabola szakasz területének meghatározásához. Határolja ezt a parabola szakaszt az AB húr, és legyen a parabola D pontjában lévő érintő párhuzamos AB-vel. Legyen C az AB felezőpontja, E az AC felezőpontja, F a CB felezőpontja. Rajzoljunk DC-vel párhuzamos egyeneseket az A, E, F, B pontokon keresztül; A D pontban húzott érintő metsze ezeket az egyeneseket a K, L, M, N pontokban. Rajzoljunk AD és DB szegmenseket is. Az EL egyenes az AD egyenest a G pontban, a parabolát pedig a H pontban metszi; Az FM egyenes a DB egyenest a Q pontban, a parabolát pedig az R pontban metszi. Alapján általános elmélet kúpszelvények, DC – a parabola átmérője (vagyis a tengelyével párhuzamos szakasz); ez és a D pontban lévő érintő szolgálhat x és y koordinátatengelyként, amelyben a parabola egyenlete y 2 = 2px (x a távolság D-től egy adott átmérőjű bármely pontig, y a parabola hossza egy adott érintővel párhuzamos szakasz ebből az átmérőpontból magának a parabolának valamely pontjába).

A parabola-egyenlet értelmében DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA, és mivel DK = 2DL, akkor KA = 4LH. Mert KA = 2LG, LH = HG. Egy parabola ADB szegmensének területe megegyezik az ΔADB háromszög területével és az AHD és DRB szegmensek területeivel együtt. Az AHD szegmens területe viszont megegyezik az AHD háromszög területével és a többi AH és HD szegmens területével, amelyek mindegyikével ugyanazt a műveletet hajthatja végre - háromszögre osztva (Δ) és a fennmaradó két szegmens () stb.:

A ΔAHD háromszög területe egyenlő az ΔALD háromszög területének felével (ezek közös alap AD, és a magasságok 2-szer térnek el egymástól), ami viszont egyenlő a ΔAKD háromszög területének felével, tehát az ΔACD háromszög területének felével. Így a ΔAHD háromszög területe megegyezik az ΔACD háromszög területének negyedével. Hasonlóképpen, a ΔDRB háromszög területe egyenlő a ΔDFB háromszög területének egynegyedével. Tehát a ΔAHD és ΔDRB háromszögek területei együttvéve megegyeznek az ΔADB háromszög területének negyedével. Az AH, HD, DR és RB szegmensekre alkalmazva ezt a műveletet megismételve háromszögeket választunk ki belőlük, amelyek területe együttvéve 4-szer kisebb lesz, mint a ΔAHD és ΔDRB háromszögek területe együttvéve, és tehát 16-szor kisebb, mint az ΔADB háromszög területe. Stb:

Így Arkhimédész bebizonyította, hogy „minden szakasz, amely egy egyenes és egy parabola között van, egy ugyanolyan alappal és azonos magasságú háromszög négyharmadát alkotja”.

>>Matek: Geometriai progresszió

Az olvasó kényelmét szolgálja, hogy ez a bekezdés pontosan ugyanazon terv szerint készült, mint amit az előző bekezdésben követtünk.

1. Alapfogalmak.

Meghatározás. Geometriai progressziónak nevezzük azt a numerikus sorozatot, amelynek minden tagja különbözik 0-tól, és amelynek minden tagja a másodiktól kezdve az előző tagból származik, ugyanazzal a számmal szorozva. Ebben az esetben az 5-ös számot a geometriai progresszió nevezőjének nevezzük.

Így a geometriai progresszió egy numerikus sorozat (b n), amelyet a relációk ismétlődően határoznak meg

Meg lehet nézni egy számsorozatot, és eldönteni, hogy geometriai progresszióról van-e szó? Tud. Ha meg van győződve arról, hogy a sorozat bármely tagjának az előző taghoz viszonyított aránya állandó, akkor geometriai progressziója van.
1. példa

1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.

2. példa

Ez egy geometriai progresszió
3. példa

Ez egy geometriai progresszió
4. példa

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Ez egy geometriai progresszió, amelyben b 1 - 8, q = 1.

Vegye figyelembe, hogy ez a sorozat egyben aritmetikai sorozat is (lásd a 3. példát a 15. §-ból).

5. példa

2,-2,2,-2,2,-2.....

Ez egy geometriai folyamat, amelyben b 1 = 2, q = -1.

Nyilvánvaló, hogy a geometriai progresszió növekvő sorozat, ha b 1 > 0, q > 1 (lásd az 1. példát), és csökkenő sorozat, ha b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

Annak jelzésére, hogy a (b n) sorozat geometriai progresszió, a következő jelölés néha kényelmes:

Az ikon helyettesíti a „geometriai progresszió” kifejezést.
Vegyük észre a geometriai progresszió egy furcsa és egyben nyilvánvaló tulajdonságát:
Ha a sorrend egy geometriai progresszió, akkor a négyzetek sorozata, azaz. egy geometriai progresszió.
A második geometriai haladásban az első tag egyenlő és egyenlő q 2-vel.
Ha egy geometriai folyamatban elvetjük az összes b n utáni tagot, akkor véges geometriai haladást kapunk
A szakasz további bekezdéseiben a geometriai progresszió legfontosabb tulajdonságait tárgyaljuk.

2. Egy geometriai folyamat n-edik tagjának képlete.

Tekintsünk egy geometriai progressziót nevező q. Nekünk van:

Nem nehéz kitalálni, hogy bármely n számra igaz az egyenlőség

Ez a geometriai progresszió n-edik tagjának képlete.

Megjegyzés.

Ha elolvasta az előző bekezdés fontos megjegyzését, és megértette, akkor próbálja meg bizonyítani az (1) képletet a matematikai indukció módszerével, ugyanúgy, mint az aritmetikai sorozat n-edik tagjának képletével.

Írjuk át a geometriai progresszió n-edik tagjának képletét

és bevezetjük a jelölést: y = mq 2-t kapunk, vagy részletesebben,
Az x argumentum a kitevőben található, ezért ezt a függvényt exponenciális függvénynek nevezzük. Ez azt jelenti, hogy egy geometriai progresszió tekinthető a természetes számok N halmazán meghatározott exponenciális függvénynek. ábrán. A 96a. ábra a függvény grafikonját mutatja. 966 - függvénygrafikon Mindkét esetben izolált pontjaink vannak (x = 1, x = 2, x = 3 stb. abszcisszákkal), amelyek egy bizonyos görbén fekszenek (mindkét ábra ugyanazt a görbét mutatja, csak eltérően elhelyezve és más léptékben ábrázolva). Ezt a görbét exponenciális görbének nevezzük. Az exponenciális függvényről és grafikonjáról bővebben a 11. osztályos algebra tanfolyamon lesz szó.

Térjünk vissza az előző bekezdés 1-5. példáihoz.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Ez egy geometriai progresszió, amelyre b 1 = 1, q = 3. Készítsük el az n-edik tag képletét
2) Ez egy geometriai progresszió, amelyhez készítsünk egy képletet az n-edik taghoz

Ez egy geometriai progresszió Készítsük el az n-edik tag képletét
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Ez egy geometriai progresszió, amelyre b 1 = 8, q = 1. Készítsük el az n-edik tag képletét
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Ez egy geometriai folyamat, amelyben b 1 = 2, q = -1. Készítsük el az n-edik tag képletét

6. példa

Adott egy geometriai progresszió

A megoldás minden esetben a geometriai progresszió n-edik tagjának képletén alapul

a) Ha n = 6-ot teszünk a geometriai haladás n-edik tagjának képletébe, azt kapjuk

b) Van

Mivel 512 = 2 9, azt kapjuk, hogy n - 1 = 9, n = 10.

d) Megvan

7. példa.

A geometriai progresszió hetedik és ötödik tagjának különbsége 48, a progresszió ötödik és hatodik tagjának összege szintén 48. Határozzuk meg ennek a progressziónak a tizenkettedik tagját!

Első fázis. Matematikai modell készítése.

A probléma feltételeit röviden így írhatjuk le:

A geometriai progresszió n-edik tagjának képletét használva a következőket kapjuk:
Ekkor a feladat második feltétele (b 7 - b 5 = 48) így írható fel

A feladat harmadik feltétele (b 5 + b 6 = 48) így írható fel

Ennek eredményeként egy két egyenletrendszert kapunk két b 1 és q változóval:

amely a fent leírt 1) feltétellel kombinálva a probléma matematikai modelljét reprezentálja.

Második fázis.

Munka az összeállított modellel. A rendszer mindkét egyenletének bal oldalát egyenlővé téve a következőt kapjuk:

(az egyenlet mindkét oldalát elosztottuk a b 1 q 4 nem nulla kifejezéssel).

A q 2 - q - 2 = 0 egyenletből azt kapjuk, hogy q 1 = 2, q 2 = -1. A q = 2 értéket behelyettesítve a rendszer második egyenletébe, azt kapjuk
A q = -1 értéket a rendszer második egyenletébe behelyettesítve b 1 1 0 = 48-at kapunk; ennek az egyenletnek nincs megoldása.

Tehát b 1 =1, q = 2 - ez a pár a megoldása az összeállított egyenletrendszerre.

Most felírhatjuk a geometriai progressziót, amelyről arról beszélünk a feladatban: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

Harmadik szakasz.

Válasz a problémás kérdésre. Ki kell számolni a b 12-t. Nekünk van

Válasz: b 12 = 2048.

3. Egy véges geometriai haladás tagösszegének képlete.

Legyen adott egy véges geometriai progresszió

Jelöljük S n-nel a tagjainak összegét, azaz.

Vezessünk egy képletet ennek az összegnek a meghatározásához.

Kezdjük a legelejéről egyszerű eset, ha q = 1. Ekkor a b 1 , b 2 , b 3 ,..., bn geometriai haladás n számból áll, amelyek egyenlőek b 1 -el, azaz. a progresszió így néz ki: b 1, b 2, b 3, ..., b 4. Ezeknek a számoknak az összege nb 1.

Legyen most q = 1 Az S n meghatározásához mesterséges technikát alkalmazunk: végrehajtjuk az S n q kifejezés néhány transzformációját. Nekünk van:

A transzformációk végrehajtása során először is a geometriai progresszió definícióját használtuk, amely szerint (lásd a harmadik gondolatmenetet); másodszor összeadtak és kivontak, ami miatt a kifejezés jelentése természetesen nem változott (lásd a negyedik gondolatmenetet); harmadszor a geometriai progresszió n-edik tagjának képletét használtuk:

Az (1) képletből a következőket kapjuk:

Ez a képlet egy geometriai folyamat n tagjának összegére (olyan esetre, amikor q = 1).

8. példa.

Adott egy véges geometriai progresszió

a) a progresszió feltételeinek összege; b) tagjainak négyzetösszege.

b) Fentebb (ld. 132. o.) már megjegyeztük, hogy ha egy geometriai haladás minden tagját négyzetre emeljük, akkor olyan geometriai folyamatot kapunk, amelynek első tagja b 2 és nevezője q 2. Ekkor az új progresszió hat tagjának összegét kiszámítja

9. példa.

Keresse meg annak a geometriai progressziónak a 8. tagját, amelyre

Valójában a következő tételt igazoltuk.

Egy numerikus sorozat akkor és csak akkor geometriai haladás, ha minden tagjának négyzete, kivéve az első tételt (és az utolsót, véges sorozat esetén), egyenlő az előző és az azt követő tagok szorzatával (a egy geometriai progresszió jellemző tulajdonsága).

A geometriai progresszió n-edik tagjának képlete nagyon egyszerű. Jelentésében és általános megjelenésében egyaránt. De mindenféle probléma van az n-edik tag képletével – a nagyon primitívtől az egészen komolyig. Ismerkedésünk során pedig mindenképpen figyelembe vesszük mindkettőt. Nos, ismerkedjünk?)

Szóval kezdésnek tulajdonképpen képletn

Itt is van:

b n = b 1 · qn -1

A képlet csak egy képlet, semmi természetfeletti. Még egyszerűbbnek és kompaktabbnak tűnik, mint egy hasonló formula. A képlet jelentése is olyan egyszerű, mint a filccsizma.

Ez a képlet lehetővé teszi, hogy a geometriai progresszió BÁRMELY tagját megtalálja a SZÁMA SZERINT " n".

Amint látja, a jelentés teljes analógia egy aritmetikai sorozattal. Ismerjük az n számot – e szám alá is számíthatjuk a tagot. Amelyiket szeretnénk. Anélkül, hogy többszörösen sokszor megszorozzuk "q"-val. Ez az egész lényeg.)

Megértem, hogy a progressziókkal való munka ezen a szintjén a képletben szereplő összes mennyiségnek már világosnak kell lennie az Ön számára, de továbbra is kötelességemnek tartom mindegyiket megfejteni. Csak abban az esetben.

Szóval, tessék:

b 1 – első geometriai progresszió kifejezése;

q – ;

n- tag szám;

b n – nth (nth) egy geometriai progresszió tagja.

Ez a képlet összekapcsolja bármely geometriai progresszió négy fő paraméterét - bn, b 1 , qÉs n. És az összes progressziós probléma e négy kulcsfigura körül forog.

– Hogyan távolítják el?– hallok egy kíváncsi kérdést... Elemi! Néz!

Amivel egyenlő második a progresszió tagja? Nincs mit! Közvetlenül írjuk:

b 2 = b 1 ·q

Mi a helyzet a harmadik taggal? Nem is probléma! A második tagot megszorozzuk még egyszer beq.

Mint ez:

B 3 = b 2 q

Emlékezzünk most arra, hogy a második tag viszont egyenlő b 1 ·q-val, és cseréljük be ezt a kifejezést az egyenlőségünkbe:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

Kapunk:

B 3 = b 1 ·q 2

Most pedig olvassuk el orosz nyelvű bejegyzésünket: harmadik tag egyenlő az első taggal szorozva q in-vel második fokon. Érted? Még nem? Oké, még egy lépés.

Mi a negyedik kifejezés? Minden a régi! Szorozni előző(azaz a harmadik tag) a q-n:

B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3

Teljes:

B 4 = b 1 ·q 3

És ismét lefordítjuk oroszra: negyedik tag egyenlő az első taggal, megszorozva q in-vel harmadik fokon.

Stb. Szóval hogy is van ez? Megfogtad a mintát? Igen! Bármely számmal rendelkező tag esetén az azonos q tényezők száma (azaz a nevező foka) mindig eggyel kevesebb, mint a kívánt tag száman.

Ezért a képletünk a következő lesz, opciók nélkül:

b n =b 1 · qn -1

Ez minden.)

Nos, oldjuk meg a problémákat, gondolom?)

Képletfeladatok megoldásanegy geometriai progresszív tag.

Kezdjük szokás szerint a képlet közvetlen alkalmazásával. Íme egy tipikus probléma:

A geometriai progresszióban ismert, hogy b 1 = 512 és q = -1/2. Keresse meg a progresszió tizedik tagját.

Természetesen ez a probléma képletek nélkül is megoldható. Közvetlenül a geometriai progresszió értelmében. De be kell melegednünk az n-edik tag képletével, nem? Itt melegítünk.

Adataink a képlet alkalmazásához a következők.

Az első tag ismert. Ez az 512.

b 1 = 512.

A progresszió nevezője is ismert: q = -1/2.

Már csak azt kell kitalálni, hogy mennyi az n tagok száma. Nincs mit! Érdekel minket a tizedik ciklus? Tehát az általános képletben n helyett tízet helyettesítünk.

És gondosan számolja ki az aritmetikát:

Válasz: -1

Mint látható, a progresszió tizedik tagja mínusznak bizonyult. Semmi meglepő: progressziós nevezőnk -1/2, azaz. negatív szám. És ez azt mutatja, hogy a fejlődésünk jelei váltakoznak, igen.)

Itt minden egyszerű. Itt van egy hasonló probléma, csak kicsit bonyolultabb a számítások szempontjából.

A geometriai progresszióban ismert, hogy:

b 1 = 3

Keresse meg a progresszió tizenharmadik tagját.

Minden a régi, csak ezúttal a progresszió nevezője irracionális. Kettő gyökere. Nos, ez rendben van. A képlet univerzális dolog, bármilyen számot képes kezelni.

Közvetlenül a következő képlet szerint dolgozunk:

A képlet természetesen működött, ahogy kell, de... itt elakad néhány ember. Mi a teendő ezután a gyökérrel? Hogyan emeljünk gyökeret a tizenkettedik hatványra?

Hogy-hogyan... Meg kell értened, hogy minden képlet természetesen jó, de az összes korábbi matematika ismerete nem veszíthető el! Hogyan építsünk? Igen, emlékezz a fokok tulajdonságaira! Fordítsuk át a gyökeret töredékes fokés – a fokozat fokra emelésének képlete szerint.

Mint ez:

Válasz: 192

És ennyi.)

Mi a fő nehézség az n-edik tagképlet közvetlen alkalmazásában? Igen! A fő nehézség az végzettséggel dolgozik! Mégpedig a hatványozás negatív számok, frakciók, gyökerek és hasonló szerkezetek. Tehát akinek ezzel gondja van, kérem ismételje meg a fokozatokat és azok tulajdonságait! Különben ezt a témát is lelassítod, igen...)

Most oldjuk meg a tipikus keresési problémákat a képlet egyik eleme, ha az összes többi adott. Az ilyen problémák sikeres megoldásához a recept egységes és borzasztóan egyszerű - írd le a képletetnth tag be Általános nézet! Közvetlenül a füzetben az állapot mellett. És akkor a feltételekből kitaláljuk, mi adatik nekünk és mi hiányzik. És a képletből fejezzük ki a kívánt értéket. Minden!

Például egy ilyen ártalmatlan probléma.

A 3-as nevezővel rendelkező geometriai sorozat ötödik tagja 567. Keresse meg ennek a haladásnak az első tagját.

Semmi bonyolult. Közvetlenül a varázslat szerint dolgozunk.

Írjuk fel az n-edik tag képletét!

b n = b 1 · qn -1

Mit kaptunk? Először is megadjuk a progresszió nevezőjét: q = 3.

Ráadásul nekünk megadatott ötödik tagja: b 5 = 567 .

Minden? Nem! n számot is kaptunk! Ez öt: n = 5.

Remélem, már érted, mi van a felvételen b 5 = 567 két paraméter egyszerre el van rejtve - ez maga az ötödik tag (567) és annak száma (5). Erről már beszéltem egy hasonló leckében, de szerintem itt is érdemes megemlíteni.)

Most behelyettesítjük adatainkat a képletbe:

567 = b 1 ·3 5-1

Számtani, leegyszerűsítjük és valami egyszerűt kapunk lineáris egyenlet:

81 b 1 = 567

Megoldjuk és megkapjuk:

b 1 = 7

Mint látható, nincs probléma az első kifejezés megtalálásával. De amikor a nevezőt keresem qés számok n Lehetnek meglepetések is. És ezekre is fel kell készülni (meglepetések), igen.)

Például ez a probléma:

Egy pozitív nevezővel rendelkező geometriai haladás ötödik tagja 162, ennek a haladásnak az első tagja pedig 2. Keresse meg a haladás nevezőjét!

Ezúttal az első és az ötödik tagot kapjuk, és meg kell találnunk a progresszió nevezőjét. Essünk neki.

Felírjuk a képletetntag!

b n = b 1 · qn -1

Kiinduló adataink a következők lesznek:

b 5 = 162

b 1 = 2

n = 5

Hiányzó érték q. Nincs mit! Keressük meg most.) Mindent behelyettesítünk a képletbe, amit tudunk.

Kapunk:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

Egy egyszerű negyedik fokú egyenlet. És most - gondosan! A megoldás ezen szakaszában sok diák azonnal örömmel húzza ki a gyökeret (a negyedik fokozatból), és megkapja a választ q=3 .

Mint ez:

q4 = 81

q = 3

De valójában ez egy befejezetlen válasz. Pontosabban hiányos. Miért? A lényeg az, hogy a válasz q = -3 is alkalmas: (-3) 4 is 81 lesz!

Ez azért van, mert a hatványegyenlet x n = a mindig van két ellentétes gyökér nál nél mégn . Plusz és mínusz:

Mindkettő alkalmas.

Például döntéskor (pl. második fok)

x 2 = 9

Valamiért nem lep meg a megjelenés kettő gyökök x=±3? Ez itt is ugyanaz. És bármely mással még fokozat (negyedik, hatodik, tizedik stb.) ugyanaz lesz. Részletek a témakörben találhatók

Ezért helyes megoldás ilyen lesz:

q 4 = 81

q= ±3

Rendben, elszámoltuk a jeleket. Melyik a helyes - plusz vagy mínusz? Nos, olvassuk el újra a problémafelvetést, hogy keressük további információ. Természetesen lehet, hogy nem létezik, de ebben a problémában ilyen információkat elérhető. Feltételünk egyszerű szövegben kimondja, hogy a progresszió -val van megadva pozitív nevező.

Ezért a válasz egyértelmű:

q = 3

Itt minden egyszerű. Ön szerint mi történne, ha a problémameghatározás a következő lenne:

Egy geometriai sorozat ötödik tagja 162, és ennek a haladásnak az első tagja 2. Keresse meg a haladás nevezőjét!

Mi a különbség? Igen! Állapotban Semmi nem tesznek említést a nevező jeléről. Sem közvetlenül, sem közvetve. És itt már meg is lenne a probléma két megoldás!

q = 3 És q = -3

Igen igen! Mind pluszban, mind mínuszban.) Matematikailag ez a tény azt jelentené, hogy vannak két progresszió, amelyek megfelelnek a probléma feltételeinek. És mindegyiknek megvan a maga nevezője. Csak a szórakozás kedvéért gyakoroljon, és írja ki mindegyik első öt kifejezését.)

Most gyakoroljuk a tag számának megtalálását. Ez a probléma a legnehezebb, igen. De kreatívabb is.)

Adott egy geometriai progresszió:

3; 6; 12; 24; …

Ebben a folyamatban melyik szám a 768?

Az első lépés továbbra is ugyanaz: írd le a képletetntag!

b n = b 1 · qn -1

És most szokás szerint behelyettesítjük az általunk ismert adatokat. Hm... nem megy! Hol az első tag, hol a nevező, hol van minden más?!

Hol, hol... Miért van szükségünk szemre? Rebegteti a szempilláit? Ezúttal közvetlenül a formában kapjuk meg a progressziót sorozatok. Láthatjuk az első tagot? Látjuk! Ez egy hármas (b 1 = 3). Mi a helyzet a nevezővel? Még nem látjuk, de nagyon könnyű megszámolni. Ha persze érted...

Szóval számolunk. Közvetlenül a geometriai progresszió jelentése szerint: vesszük bármelyik tagját (az első kivételével), és elosztjuk az előzővel.

Legalábbis így:

q = 24/12 = 2

Mit tudunk még? Ismerjük ennek a progressziónak néhány tagját is, ami egyenlő 768-cal. Valamely n szám alatt:

b n = 768

Nem tudjuk a számát, de a mi feladatunk pontosan az, hogy megtaláljuk.) Tehát keressük. A helyettesítéshez szükséges összes adatot már letöltöttük a képletbe. Ön tudta nélkül.)

Itt helyettesítjük:

768 = 3 2n -1

Végezzük el az elemieket – osszuk el mindkét oldalt hárommal, és írjuk át az egyenletet a szokásos formában: a bal oldalon ismeretlen, a jobb oldalon ismert.

Kapunk:

2 n -1 = 256

Ez egy érdekes egyenlet. Meg kell találnunk az "n"-t. Mi, szokatlan? Igen, nem vitatkozom. Valójában ez a legegyszerűbb. Azért hívják, mert az ismeretlen (jelen esetben ez a szám n) költségek be indikátor fokon.

A geometriai progresszióval való ismerkedés szakaszában (ez kilencedik osztály) exponenciális egyenletek Nem tanítanak meg dönteni, igen... Ez egy középiskolai téma. De nincs semmi ijesztő. Még ha nem is tudja, hogyan oldják meg az ilyen egyenleteket, próbáljuk meg megtalálni a miénket n, egyszerű logika és józan ész vezérli.

Kezdjünk el beszélni. A bal oldalon van egy kettőnk bizonyos mértékig. Még nem tudjuk, hogy pontosan mi ez a diploma, de ez nem ijesztő. De biztosan tudjuk, hogy ez a fok egyenlő 256-tal! Emlékszünk tehát, hogy a kettő milyen mértékben ad nekünk 256-ot. Emlékszel? Igen! BAN BEN nyolcadik fokok!

256 = 2 8

Ha nem emlékszik, vagy problémái vannak a fokozatok felismerésével, akkor ez is rendben van: csak egymás után négyzet kettő, kocka, negyedik, ötödik stb. Valójában a kiválasztás, de ezen a szinten egészen jól fog működni.

Így vagy úgy kapjuk:

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

Tehát a 768 kilencedik fejlődésünk tagja. Ennyi, a probléma megoldva.)

Válasz: 9

Mit? Unalmas? Unod már az elemi dolgokat? Egyetért. És én is. Lépjünk a következő szintre.)

Bonyolultabb feladatok.

Most oldjuk meg a nagyobb kihívást jelentő problémákat. Nem éppen szuperjó, de olyanok, amelyeknél egy kis munka szükséges a válasz megtalálásához.

Például ezt.

Határozzuk meg egy geometriai progresszió második tagját, ha a negyedik tagja -24, a hetedik tagja pedig 192.

Ez a műfaj klasszikusa. A progresszió két különböző kifejezése ismert, de egy másik kifejezést kell találni. Ráadásul NEM minden tag szomszédos. Ami elsőre zavaró, igen...

Az ilyen problémák megoldásához két módszert fogunk figyelembe venni. Az első módszer univerzális. Algebrai. Hibátlanul működik bármilyen forrásadattal. Ezért kezdjük ezzel.)

Az egyes kifejezéseket a képlet szerint írjuk le ntag!

Minden pontosan ugyanaz, mint az aritmetikai sorozatnál. Ezúttal csak együtt dolgozunk egy másikáltalános képlet. Ennyi.) De a lényeg ugyanaz: veszünk és egyenként A kiindulási adatainkat behelyettesítjük az n-edik tag képletébe. Minden tagnak - a saját.

A negyedik kifejezésre ezt írjuk:

b 4 = b 1 · q 3

-24 = b 1 · q 3

Eszik. Egy egyenlet készen áll.

A hetedik tagra ezt írjuk:

b 7 = b 1 · q 6

192 = b 1 · q 6

Összesen két egyenletet kaptunk ugyanaz a progresszió .

Összeállítunk belőlük egy rendszert:

A fenyegető megjelenés ellenére a rendszer meglehetősen egyszerű. A legkézenfekvőbb megoldás az egyszerű helyettesítés. kifejezzük b 1 a felső egyenletből, és cserélje be az alsóba:

Miután kicsit trükköztünk az alsó egyenlettel (csökkentjük a hatványokat és osztjuk -24-gyel), a következőt kapjuk:

q 3 = -8

Egyébként ugyanezt az egyenletet egyszerűbben is meg lehet kapni! Melyik? Most egy újabb titkot mutatok be, de nagyon szép, erőteljes és hasznos módon megoldásokat az ilyen rendszerekre. Olyan rendszerek, amelyek egyenletei közé tartozik csak működik. Legalábbis az egyikben. Hívott osztás módszere egyik egyenlet a másikhoz.

Tehát egy rendszer áll előttünk:

Mindkét egyenletben a bal oldalon - munka, a jobb oldalon pedig csak egy szám. Ez nagyon jó jel.) Vegyük és... osszuk el mondjuk az alsó egyenletet a felsővel! Mit jelent, osszuk el az egyik egyenletet a másikkal? Nagyon egyszerű. Vegyük bal oldal egy egyenlet (alsó) és feloszt rajta bal oldal egy másik egyenlet (felső). A jobb oldal hasonló: jobb oldal egy egyenlet feloszt tovább jobb oldal egy másik.

A teljes felosztási folyamat így néz ki:

Most, csökkentve mindent, ami csökkenthető, a következőket kapjuk:

q 3 = -8

Mi a jó ebben a módszerben? Igen, mert az ilyen felosztás során minden rossz és kellemetlen biztonságosan csökkenthető, és egy teljesen ártalmatlan egyenlet marad! Ezért olyan fontos, hogy legyen csak szorzás a rendszer legalább egyik egyenletében. Nincs szorzás - nincs mit csökkenteni, igen...

Általában ez a módszer (mint sok más nem triviális rendszermegoldási módszer) még egy külön leckét is megérdemel. Mindenképpen meg fogom vizsgálni részletesebben. Majd egyszer…

Nem mindegy azonban, hogy pontosan hogyan oldja meg a rendszert, mindenesetre most meg kell oldanunk a kapott egyenletet:

q 3 = -8

Nem probléma: bontsa ki a kockagyökeret, és kész!

Kérjük, vegye figyelembe, hogy kibontáskor nem kell ide plusz/mínusz jelet írni. Van egy páratlan (harmadik) fokú gyökünk. És a válasz is ugyanaz, igen.)

Tehát megtaláltuk a progresszió nevezőjét. Mínusz kettő. Nagy! A folyamat folyamatban van.)

Az első tagra (mondjuk a felső egyenletből) a következőket kapjuk:

Nagy! Ismerjük az első tagot, ismerjük a nevezőt. És most lehetőségünk van megtalálni a progresszió bármely tagját. Beleértve a másodikat is.)

A második ciklusban minden nagyon egyszerű:

b 2 = b 1 · q= 3·(-2) = -6

Válasz: -6

Tehát lebontottuk a probléma megoldásának algebrai módszerét. Nehéz? Nem igazán, egyetértek. Hosszú és unalmas? Igen határozottan. De néha jelentősen csökkentheti a munka mennyiségét. Erre van grafikus módszer. Régi szép és ismerős számunkra.)

Rajzoljunk egy feladatot!

Igen! Pontosan. Ismét ábrázoljuk a haladást a számtengelyen. Nem kell vonalzót követni, nem kell egyenlő távolságot tartani a tagok között (ami egyébként nem lesz ugyanaz, hiszen a progresszió geometriai!), hanem egyszerűen sematikusan Rajzoljuk fel a sorozatunkat.

Én így kaptam:

Most nézd meg a képet, és találd ki. Hány azonos "q" tényező válik el egymástól negyedikÉs hetedik tagok? Így van, három!

Ezért minden jogunk megvan ahhoz, hogy ezt írjuk:

-24·q 3 = 192

Innen már könnyű megtalálni a q-t:

q 3 = -8

q = -2

Ez nagyszerű, már a zsebünkben van a nevező. Most nézzük újra a képet: hány ilyen nevező között ül másodikÉs negyedik tagok? Kettő! Ezért a kifejezések közötti kapcsolat rögzítéséhez emeljük a nevezőt négyzet alakú.

Tehát ezt írjuk:

b 2 · q 2 = -24 , ahol b 2 = -24/ q 2

A talált nevezőnket behelyettesítjük a b 2 kifejezésbe, megszámoljuk és megkapjuk:

Válasz: -6

Mint látható, minden sokkal egyszerűbb és gyorsabb, mint a rendszeren keresztül. Ráadásul itt egyáltalán nem is kellett az első tagot számolnunk! Egyáltalán.)

Itt van egy ilyen egyszerű és vizuális út-fény. De van egy komoly hátránya is. Kitaláltad? Igen! Csak nagyon rövid szakaszokra jó. Azok, ahol nem túl nagyok a távolságok a számunkra érdekes tagok között. De minden más esetben már nehéz képet rajzolni, igen... Aztán a problémát analitikusan, a rendszeren keresztül oldjuk meg.) A rendszerek pedig univerzális dolgok. Bármilyen számot tudnak kezelni.

Egy újabb epikus kihívás:

A geometriai progresszió második tagja 10-zel több, mint az első, a harmadik tagja pedig 30-zal több több mint a második. Keresse meg a progresszió nevezőjét!

Mi, jó? Egyáltalán nem! Minden a régi. Ismét lefordítjuk a problémafelvetést tiszta algebrára.

1) Az egyes kifejezéseket a képlet szerint írjuk le ntag!

Második tag: b 2 = b 1 q

Harmadik tag: b 3 = b 1 q 2

2) A problémafelvetésből felírjuk a tagok közötti kapcsolatot.

Olvassuk a feltételt: "A geometriai progresszió második tagja 10-el nagyobb, mint az első."Állj, ez értékes!

Tehát ezt írjuk:

b 2 = b 1 +10

És ezt a kifejezést lefordítjuk tiszta matematikára:

b 3 = b 2 +30

Két egyenletet kaptunk. Kössük össze őket egy rendszerré:

A rendszer egyszerűnek tűnik. De túl sok különböző index van a betűkhöz. Helyettesítsük be a második és harmadik tag helyett azok kifejezését az első taggal és a nevezővel! Hiába festettük őket?

Kapunk:

De egy ilyen rendszer már nem ajándék, igen... Hogyan lehet ezt megoldani? Sajnos nincs univerzális titkos varázslat az összetett megoldására nemlineáris A matematikában nincsenek rendszerek, és nem is lehetnek. Ez fantasztikus! De az első dolog, ami eszébe kell jutnia, amikor megpróbálja feltörni egy ilyen kemény diót, az az, hogy rájön De nem redukálható-e a rendszer egyik egyenlete? csodálatos kilátás, lehetővé téve például, hogy az egyik változót egyszerűen egy másikkal fejezzük ki?

Találjuk ki. A rendszer első egyenlete egyértelműen egyszerűbb, mint a második. Megkínozzuk.) Nem kellene az első egyenletből megpróbálnunk valami keresztül kifejezni valami? Mivel meg akarjuk találni a nevezőt q, akkor számunkra a legelőnyösebb lenne kifejezni b 1 keresztül q.

Tehát próbáljuk meg ezt az eljárást az első egyenlettel elvégezni, a régi jó egyenletekkel:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q – b 1 = 10

b 1 (q-1) = 10

Minden! Tehát kifejeztük szükségtelenátadjuk a (b 1) változót szükséges(q). Igen, ez nem a legegyszerűbb kifejezés. Valami töredék... De a rendszerünk tisztességes szinten van, igen.)

Tipikus. Tudjuk, mit tegyünk.

ODZ-t írunk (Szükségszerűen!) :

q ≠ 1

Mindent megszorozunk a nevezővel (q-1), és töröljük az összes törtet:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

Mindent elosztunk tízzel, kinyitjuk a zárójeleket, és balról összegyűjtünk mindent:

q 2 – 4 q + 3 = 0

Megoldjuk az eredményt, és két gyökeret kapunk:

q 1 = 1

q 2 = 3

Csak egy végső válasz van: q = 3 .

Válasz: 3

Amint láthatja, a legtöbb probléma megoldásának útja a geometriai progresszió n-edik tagjának képletével mindig ugyanaz: olvassa el figyelmesen a probléma feltételét és az n-edik tag képletével lefordítjuk az egészet hasznos információ a tiszta algebrába.

Ugyanis:

1) A feladatban megadott minden tagot külön írunk le a képlet szerintnth tagja.

2) A feladat feltételeiből lefordítjuk a tagok közötti kapcsolatot matematikai formára. Összeállítunk egy egyenletet vagy egyenletrendszert.

3) Megoldjuk a kapott egyenletet vagy egyenletrendszert, megkeressük a progresszió ismeretlen paramétereit.

4) Félreérthető válasz esetén figyelmesen olvassa el a feladatkörülményeket további információk kereséséhez (ha van ilyen). A kapott választ a DL feltételeivel is ellenőrizzük (ha van ilyen).

Most soroljuk fel azokat a fő problémákat, amelyek leggyakrabban hibákhoz vezetnek a geometriai progressziós problémák megoldása során.

1. Elemi számtan. Műveletek törtekkel és negatív számokkal.

2. Ha e három pont közül legalább az egyikkel probléma van, akkor elkerülhetetlenül hibázik ebben a témában. Sajnos... Szóval ne légy lusta, és ismételd meg a fentebb említetteket. És kövesse a linkeket - menjen. Néha segít.)

Módosított és ismétlődő képletek.

Most nézzünk meg néhány tipikus vizsgaproblémát a feltétel kevésbé ismert bemutatásával. Igen, igen, kitaláltad! Ez módosítottÉs visszatérő n-edik tagképletek. Találkoztunk már ilyen képletekkel, és dolgoztunk az aritmetikai progresszión. Itt minden hasonló. A lényeg ugyanaz.

Például ez a probléma az OGE-ből:

A geometriai progressziót a képlet adja meg b n = 3 2 n . Keresse meg első és negyedik tagjának összegét!

Ezúttal a fejlődés nem egészen olyan, mint nálunk. Valamilyen képlet formájában. És akkor mi van? Ez a képlet az képlet isntag! Te és én tudjuk, hogy az n-edik tag képlete felírható általános formában, betűk használatával és for specifikus progresszió. VAL VEL különleges első tag és nevező.

Esetünkben tulajdonképpen egy általános képletet kapunk egy geometriai progresszióhoz a következő paraméterekkel:

b 1 = 6

q = 2

Ellenőrizzük?) Írjuk fel az n-edik tag képletét általános formában, és cseréljük be b 1 És q. Kapunk:

b n = b 1 · qn -1

b n= 6 2n -1

Egyszerűsítjük a faktorizációt és a hatványok tulajdonságait, és a következőket kapjuk:

b n= 6 2n -1 = 3·2·2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n

Amint látja, minden igazságos. De a célunk nem egy konkrét képlet származtatásának bemutatása. Ez így van, lírai kitérő. Pusztán a megértés kedvéért.) Célunk a feladat megoldása a feltételben nekünk adott képlet szerint. Érted?) Tehát közvetlenül a módosított képlettel dolgozunk.

Az első tagot számoljuk. Cseréljük n=1 az általános képletbe:

b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

Mint ez. Egyébként nem leszek lusta, és ismét felhívom a figyelmet egy tipikus hibára az első tag kiszámításakor. A képletet nézve NE b n= 3 2n, azonnal rohanj leírni, hogy az első tag egy három! Ez durva hiba, igen...)

Folytassuk. Cseréljük n=4 és számold meg a negyedik tagot:

b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

És végül kiszámítjuk a szükséges mennyiséget:

b 1 + b 4 = 6+48 = 54

Válasz: 54

Még egy probléma.

A geometriai progressziót a következő feltételek határozzák meg:

b 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

Keresse meg a progresszió negyedik tagját.

Itt a progressziót egy ismétlődő képlet adja meg. Hát rendben.) Hogyan kell dolgozni ezzel a képlettel – mi is tudjuk.

Tehát cselekszünk. Lépésről lépésre.

1) Számolj kettőt egymást követő a progresszió tagja.

Az első kifejezést már megkaptuk. Mínusz hét. De a következő, második tag könnyen kiszámítható az ismétlődési képlet segítségével. Természetesen, ha megérti a működési elvét.)

Tehát a második tagot számoljuk Által először ismert:

b 2 = 3 b 1 = 3·(-7) = -21

2) Számítsa ki a progresszió nevezőjét!

Nem is probléma. Egyenesen, osszuk el második fasz első.

Kapunk:

q = -21/(-7) = 3

3) Írd le a képletet!nth tagot a szokásos formában, és számítsa ki a szükséges tagot.

Tehát ismerjük az első tagot és a nevezőt is. Tehát ezt írjuk:

b n= -7·3n -1

b 4 = -7·3 3 = -7·27 = -189

Válasz: -189

Amint láthatja, a geometriai sorozat ilyen képleteivel való munka lényegében nem különbözik az aritmetikai sorozatétól. Csak e képletek általános lényegét és jelentését fontos megérteni. Nos, érteni kell a geometriai progresszió jelentését is, igen.) És akkor nem lesznek hülye hibák.

Nos, döntsünk mi magunk?)

Nagyon alapvető feladatok a bemelegítéshez:

1. Adott egy geometriai progresszió, amelyben b 1 = 243, a q = -2/3. Keresse meg a progresszió hatodik tagját.

2. A geometriai progresszió általános tagját a képlet adja meg b n = 5∙2 n +1 . Keresse meg ennek a progressziónak az utolsó háromjegyű tagjának számát!

3. A geometriai progressziót a feltételek adják meg:

b 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

Keresse meg a progresszió ötödik tagját.

Kicsit bonyolultabb:

4. Adott egy geometriai progresszió:

b 1 =2048; q =-0,5

Mivel egyenlő a hatodik negatív tag?

Mi tűnik rendkívül nehéznek? Egyáltalán nem. A logika és a geometriai progresszió jelentésének megértése megmenti Önt. Nos, természetesen az n-edik tag képlete.

5. A geometriai haladás harmadik tagja -14, a nyolcadik tagja pedig 112. Keresse meg a haladás nevezőjét!

6. A geometriai sorozat első és második tagjának összege 75, a második és harmadik tag összege 150. Határozzuk meg a haladás hatodik tagját!

Válaszok (rendetlenségben): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.

Ez majdnem minden. Nem kell mást tennünk, mint megtanulni számolni egy geometriai sorozat első n tagjának összege igen felfedezni végtelenül csökkenő geometriai progresszióés annak mennyisége. Amúgy nagyon érdekes és szokatlan dolog! Erről bővebben a következő leckékben.)

Utasítás

10, 30, 90, 270...

Meg kell találni a geometriai progresszió nevezőjét.
Megoldás:

1.opció. Vegyük a progresszió egy tetszőleges tagját (például 90), és osszuk el az előzővel (30): 90/30=3.

Ha egy geometriai sorozat több tagjának összege vagy egy csökkenő geometriai haladás összes tagjának összege ismert, akkor a progresszió nevezőjének meghatározásához használja a megfelelő képleteket:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), ahol Sn a geometriai progresszió első n tagjának összege és
S = b1/(1-q), ahol S egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összege (az egynél kisebb nevezővel rendelkező haladás összes tagjának összege).
Példa.

Egy csökkenő geometriai progresszió első tagja egyenlő eggyel, az összes tagjának összege pedig kettővel.

Meg kell határozni ennek a progressziónak a nevezőjét.
Megoldás:

Helyettesítse be a feladat adatait a képletbe. Ki fog derülni:
2=1/(1-q), ahonnan – q=1/2.

A progresszió egy számsorozat. A geometriai sorozatban minden következő tagot úgy kapunk, hogy az előzőt megszorozzuk egy bizonyos q számmal, amelyet a progresszió nevezőjének neveznek.

Utasítás

Ha két szomszédos b(n+1) és b(n) geometriai tag ismert, a nevező megszerzéséhez el kell osztani a számot a nagyobbal az előtte lévővel: q=b(n+1)/b (n). Ez következik a progresszió definíciójából és nevezőjéből. Fontos feltétel az első tag egyenlőtlensége és a nulláig való progresszió nevezője, ellenkező esetben határozatlannak tekinthető.

Így a progresszió tagjai között a következő összefüggések jönnek létre: b2=b1 q, b3=b2 q, ... , b(n)=b(n-1) q. A b(n)=b1 q^(n-1) képlet segítségével a geometriai haladás bármely tagja kiszámítható, amelyben a q nevező és a b1 tag ismert. Továbbá mindegyik progresszió modulusa egyenlő a szomszédos tagok átlagával: |b(n)|=√, ahol a progresszió megkapta a .

A geometriai progresszió analógja a legegyszerűbb exponenciális függvény y=a^x, ahol x kitevő, a egy bizonyos szám. Ebben az esetben a progresszió nevezője egybeesik az első taggal, és egyenlő az a számmal. Az y függvény értéke úgy értelmezhető n-edik tag progresszió, ha az x argumentumot n természetes számnak (számlálónak) vesszük.

Egy másik fontos tulajdon geometriai progresszió, amely geometriai progressziót adott

Ha minden természetes számra n valós számmal egyezik a n , akkor azt mondják, hogy adott számsor :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Tehát a számsorozat a természetes argumentum függvénye.

Szám a 1 hívott a sorozat első tagja , szám a 2 — a sorozat második tagja , szám a 3 — harmadik stb. Szám a n hívott n-edik tag sorozatok , és egy természetes szám n — a számát .

Két szomszédos tagból a n És a n +1 szekvencia tagja a n +1 hívott későbbi (felé a n ), A a n — előző (felé a n +1 ).

Egy sorozat definiálásához meg kell adni egy metódust, amely lehetővé teszi a sorozat tetszőleges számú tagjának megtalálását.

A sorrendet gyakran a segítségével határozzák meg n-edik tagképletek , azaz egy képlet, amely lehetővé teszi egy sorozat tagjának a szám alapján történő meghatározását.

Például,

pozitív sorozat páratlan számok képlettel adható meg

a n= 2n- 1,

és a váltakozás sorrendje 1 És -1 - képlet

b n = (-1)n +1 . ◄

A sorrend meghatározható visszatérő képlet, vagyis egy képlet, amely a sorozat bármely tagját kifejezi, néhánytól kezdve, az előző (egy vagy több) tagon keresztül.

Például,

Ha a 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Ha egy 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , majd az első hét tagot számsor a következőképpen telepítse:

egy 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = egy 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

egy 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

egy 5 = a 3 + egy 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

A szekvenciák lehetnek végső És végtelen .

A sorozat az ún végső , ha véges számú tagja van. A sorozat az ún végtelen , ha végtelen sok tagja van.

Például,

kétjegyű természetes számok sorozata:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

végső.

Prímszámok sorozata:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

végtelen. ◄

A sorozat az ún növekvő , ha minden tagja a másodiktól kezdve nagyobb, mint az előző.

A sorozat az ún csökkenő , ha minden tagja a másodiktól kezdve kisebb, mint az előző.

Például,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — növekvő sorrend;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — csökkenő sorrend. ◄

Olyan sorozatot nevezünk, amelynek elemei a szám növekedésével nem csökkennek, vagy éppen ellenkezőleg, nem nőnek monoton sorozat .

A monoton szekvenciák különösen növekvő és csökkenő szekvenciák.

Aritmetikai progresszió

Aritmetikai progresszió olyan sorozat, amelyben minden tag a másodiktól kezdve egyenlő az előzővel, amelyhez ugyanannyit adunk.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

egy aritmetikai progresszió, ha van ilyen természetes szám n a feltétel teljesül:

a n +1 = a n + d,

Ahol d - egy bizonyos szám.

Így egy adott aritmetikai sorozat következő és előző tagjai közötti különbség mindig állandó:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Szám d hívott a számtani progresszió különbsége.

Egy aritmetikai progresszió meghatározásához elegendő annak első tagját és különbségét feltüntetni.

Például,

Ha a 1 = 3, d = 4 , akkor a sorozat első öt tagját a következőképpen találjuk meg:

egy 1 =3,

a 2 = egy 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

egy 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Az első taggal végzett aritmetikai sorozathoz a 1 és a különbség d neki n

a n = egy 1 + (n- 1)d.

Például,

keresse meg az aritmetikai sorozat harmincadik tagját

1, 4, 7, 10, . . .

egy 1 =1, d = 3,

egy 30 = egy 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = egy 1 + (n- 2)d,

a n= egy 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

akkor nyilván

Egy számtani sorozat minden tagja a másodiktól kezdve egyenlő az előző és az azt követő tagok számtani átlagával.

az a, b és c számok akkor és csak akkor, ha az egyik egyenlő a másik kettő számtani középével.

Például,

a n = 2n- 7 , egy aritmetikai sorozat.

Használjuk a fenti állítást. Nekünk van:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Ennélfogva,

◄

Vegye figyelembe, hogy n Egy aritmetikai sorozat tizedik tagja nem csak a keresztül a 1 , hanem bármely korábbi a k

a n = a k + (n- k)d.

Például,

Mert a 5 le lehet írni

egy 5 = egy 1 + 4d,

egy 5 = a 2 + 3d,

egy 5 = a 3 + 2d,

egy 5 = egy 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

akkor nyilván

egy aritmetikai sorozat bármely tagja a másodiktól kezdve egyenlő a tőle egyenlő távolságra lévő számtani sorozat tagjainak összegének felével.

Ezenkívül bármely aritmetikai progresszióra a következő egyenlőség érvényes:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Például,

számtani haladásban

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = egy 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) egy 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, mert

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

5+9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ a n,

első n egy aritmetikai progresszió tagja egyenlő a szélső tagok összegének felének és a tagok számának szorzatával:

Ebből különösen az következik, hogy ha összegezni kell a feltételeket

a k, a k +1 , . . . , a n,

akkor az előző képlet megtartja szerkezetét:

Például,

számtani haladásban 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Ha adott aritmetikai progresszió, majd a mennyiségeket a 1 , a n, d, nÉsS n két képlet köti össze:

Ezért, ha ezen mennyiségek közül három értékét megadjuk, akkor a másik két mennyiség megfelelő értékeit ezekből a képletekből határozzuk meg, két egyenletrendszerbe kombinálva, két ismeretlennel.

Az aritmetikai sorozat egy monoton sorozat. Ahol:

• Ha d > 0 , akkor növekszik;
• Ha d < 0 , akkor csökken;
• Ha d = 0 , akkor a sorozat stacioner lesz.

Geometriai progresszió

Geometriai progresszió olyan sorozat, amelyben minden egyes tag a másodiktól kezdve egyenlő az előzővel, szorozva ugyanazzal a számmal.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

geometriai progresszió, ha bármely természetes számra n a feltétel teljesül:

b n +1 = b n · q,

Ahol q ≠ 0 - egy bizonyos szám.

Így egy adott geometriai progresszió következő tagjának az előzőhöz viszonyított aránya egy állandó szám:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Szám q hívott a geometriai progresszió nevezője.

A geometriai progresszió meghatározásához elegendő annak első tagját és nevezőjét megadni.

Például,

Ha b 1 = 1, q = -3 , akkor a sorozat első öt tagját a következőképpen találjuk meg:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 és nevező q neki n A kifejezés a következő képlettel kereshető:

b n = b 1 · qn -1 .

Például,

keresse meg a geometriai progresszió hetedik tagját 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

akkor nyilván

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

a geometriai progresszió minden tagja a másodiktól kezdve egyenlő az előző és az azt követő tagok mértani átlagával (arányos).

Mivel ennek fordítva is igaz, a következő állítás érvényes:

az a, b és c számok valamilyen geometriai haladás egymást követő tagjai akkor és csak akkor, ha az egyik négyzete egyenlő a másik kettő szorzatával, vagyis az egyik szám a másik kettő mértani közepe.

Például,

Bizonyítsuk be, hogy a képlet által adott sorozat b n= -3 2 n , egy geometriai progresszió. Használjuk a fenti állítást. Nekünk van:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Ennélfogva,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

ami bizonyítja a kívánt állítást. ◄

Vegye figyelembe, hogy n A geometriai progresszió tizedik tagja nem csak ezen keresztül található meg b 1 , hanem bármely korábbi tag is b k , amihez elég a képletet használni

b n = b k · qn - k.

Például,

Mert b 5 le lehet írni

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

akkor nyilván

b n 2 = b n - k· b n + k

egy geometriai sorozat bármely tagjának négyzete a másodiktól kezdve egyenlő ennek a haladásnak az egyenlő távolságra lévő tagjainak szorzatával.

Ezenkívül minden geometriai progresszióra igaz az egyenlőség:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Például,

geometriai haladásban

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , mert

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

első n nevezővel rendelkező geometriai progresszió tagjai q ≠ 0 képlettel számolva:

És mikor q = 1 - a képlet szerint

S n= nb 1

Vegye figyelembe, hogy ha összegeznie kell a feltételeket

b k, b k +1 , . . . , b n,

akkor a következő képletet használjuk:

Például,

geometriai haladásban 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Ha adott egy geometriai progresszió, akkor a mennyiségek b 1 , b n, q, nÉs S n két képlet köti össze:

Ezért, ha ezen mennyiségek közül bármelyik három értékét megadjuk, akkor a másik két mennyiség megfelelő értékeit ezekből a képletekből határozzuk meg, két egyenletrendszerbe kombinálva, két ismeretlennel.

Egy geometriai progresszióhoz az első taggal b 1 és nevező q a következők történnek a monotonitás tulajdonságai :

• a progresszió növekszik, ha az alábbi feltételek egyike teljesül:

b 1 > 0 És q> 1;

b 1 < 0 És 0 < q< 1;

• A progresszió csökken, ha az alábbi feltételek egyike teljesül:

b 1 > 0 És 0 < q< 1;

b 1 < 0 És q> 1.

Ha q< 0 , akkor a geometriai progresszió váltakozó: a páratlan számú tagok előjele megegyezik az első tagjával, a páros számokkal pedig ellentétes előjelű. Nyilvánvaló, hogy a váltakozó geometriai progresszió nem monoton.

Az első terméke n a geometriai progresszió tagjai a következő képlettel számíthatók ki:

Pn= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Például,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Végtelenül csökkenő geometriai progresszió

Végtelenül csökkenő geometriai progresszió végtelen geometriai progressziónak nevezzük, amelynek a nevező modulusa kisebb 1 , vagyis

|q| < 1 .

Vegye figyelembe, hogy a végtelenül csökkenő geometriai progresszió nem feltétlenül csökkenő sorozat. Alkalomhoz illik

1 < q< 0 .

Ilyen nevező esetén a sorozat váltakozó. Például,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összege nevezd meg azt a számot, amelyhez az elsők összege korlátlanul közelít! n egy progresszió tagjai korlátlan számnövekedéssel n . Ez a szám mindig véges, és a képlettel fejezzük ki

Például,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Az aritmetikai és a geometriai progresszió kapcsolata

Az aritmetikai és a geometriai progresszió szorosan összefügg. Nézzünk csak két példát.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , Azt

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Például,

1, 3, 5, . . . - aritmetikai progresszió különbséggel 2 És

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geometriai progresszió nevezővel 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - geometriai progresszió nevezővel q , Azt

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - aritmetikai progresszió különbséggel log aq .

Például,

2, 12, 72, . . . - geometriai progresszió nevezővel 6 És

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - aritmetikai progresszió különbséggel lg 6 . ◄