Hogyan találjuk meg egy függvény legnagyobb értékét egy intervallumon.

Mi a függvény szélsőértéke és mi az szükséges feltétel szélső?

Egy függvény extrémuma a függvény maximuma és minimuma.

Egy függvény maximumának és minimumának (szélsőértékének) a szükséges feltétele a következő: ha az f(x) függvénynek az x = a pontban van szélsője, akkor ezen a ponton a derivált vagy nulla, vagy végtelen, vagy nem léteznek.

Ez a feltétel szükséges, de nem elégséges. Az x = a pontban lévő derivált mehet nullára, végtelenre, vagy nem létezhet anélkül, hogy a függvénynek ebben a pontban lenne szélsősége.

Mi elégséges feltétele egy függvény szélsőértékének (maximum vagy minimum)?

Első feltétel:

Ha kellő közelségben az x = a ponthoz az f?(x) derivált a-tól balra pozitív, a-tól jobbra negatív, akkor az x = a pontban az f(x) függvénynek van maximális

Ha kellő közelségben az x = a ponthoz az f?(x) derivált negatív a-tól balra, pozitív pedig a-tól jobbra, akkor az x = a pontban az f(x) függvénynek van minimális feltéve, hogy itt az f(x) függvény folytonos.

Ehelyett használhatja a második elégséges feltételt egy függvény szélsőértékéhez:

Tűnjön el az x = a pontban az f?(x) első derivált; ha az f??(a) második derivált negatív, akkor az f(x) függvénynek maximuma van az x = a pontban, ha pozitív, akkor minimuma.

Mi a függvény kritikus pontja, és hogyan lehet megtalálni?

Ez annak a függvényargumentumnak az értéke, amelynél a függvénynek szélsőértéke van (azaz maximum vagy minimum). Ahhoz, hogy megtalálja, szüksége van rá keresse meg a származékot f?(x) függvény, és nullával egyenlővé téve, oldja meg az egyenletet f?(x) = 0. Ennek az egyenletnek a gyökerei, valamint azok a pontok, amelyekben ennek a függvénynek a deriváltja nem létezik, kritikus pontok, azaz az argumentum azon értékei, amelyeknél szélsőség lehet. Könnyen azonosíthatók ránézésre derivált gráf: az argumentum azon értékei érdekelnek minket, amelyeknél a függvény grafikonja metszi az abszcissza tengelyt (Ox tengely), és azok, amelyeknél a grafikon megszakadásokat szenved.

Például keressük meg parabola extrémuma.

y(x) függvény = 3x2 + 2x - 50.

A függvény deriváltja: y?(x) = 6x + 2

Oldja meg az egyenletet: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

Ebben az esetben a kritikus pont x0=-1/3. Ezzel az argumentumértékkel rendelkezik a függvény extrémum. Neki lelet, cserélje ki a talált számot a kifejezésben a függvény helyére az „x” helyett:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Hogyan határozzuk meg egy függvény maximumát és minimumát, pl. annak legnagyobb és legkisebb érték?

Ha a derivált előjele az x0 kritikus ponton áthaladva „pluszról” mínuszra változik, akkor x0 maximális pont; ha a derivált előjele mínuszról pluszra változik, akkor x0 az minimum pont; ha az előjel nem változik, akkor az x0 pontban nincs se maximum, se minimum.

A figyelembe vett példához:

A kritikus ponttól balra lévő argumentum tetszőleges értékét vesszük fel: x = -1

Ha x = -1, a derivált értéke y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (azaz az előjel „mínusz”).

Most felvesszük a kritikus ponttól jobbra lévő argumentum tetszőleges értékét: x = 1

x = 1 esetén a derivált értéke y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (azaz az előjel „plusz”).

Amint láthatja, a derivált jele mínuszról pluszra változott, amikor áthaladt a kritikus ponton. Ez azt jelenti, hogy az x0 kritikus értéknél van egy minimumpontunk.

Egy függvény legnagyobb és legkisebb értéke az intervallumon(egy szegmensen) ugyanazzal az eljárással találjuk meg, csak azt a tényt figyelembe véve, hogy talán nem minden kritikus pont lesz a megadott intervallumon belül. Az intervallumon kívül eső kritikus pontokat ki kell zárni a figyelembevételből. Ha csak egy kritikus pont van az intervallumon belül, akkor annak vagy maximuma vagy minimuma van. Ebben az esetben a függvény legnagyobb és legkisebb értékének meghatározásához figyelembe vesszük a függvény értékeit is az intervallum végén.

Például keressük meg a függvény legnagyobb és legkisebb értékét

y(x) = 3sin(x) - 0,5x

időközönként:

Tehát a függvény deriváltja az

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Megoldjuk a 3cos(x) - 0,5 = 0 egyenletet

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ±arccos(0,16667) + 2πk.

Kritikus pontokat találunk a [-9; 9]:

x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (nem szerepel az intervallumban)

x = -arccos(0,16667) – 2π*1 = -7,687

x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (nem szerepel az intervallumban)

A függvény értékeit az argumentum kritikus értékeinél találjuk:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Látható, hogy a [-9; 9] a függvénynek a legnagyobb értéke x = -4,88 esetén:

x = -4,88, y = 5,398,

és a legkisebb - x = 4,88-nál:

x = 4,88, y = -5,398.

Az intervallumon [-6; -3] egyetlen kritikus pontunk van: x = -4,88. A függvény értéke x = -4,88-nál egyenlő y = 5,398-cal.

Keresse meg a függvény értékét az intervallum végén:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Az intervallumon [-6; -3] a függvény legnagyobb értékével rendelkezünk

y = 5,398, x = -4,88

legkisebb érték -

y = 1,077 x = -3 esetén

Hogyan találjuk meg a függvénygráf inflexiós pontjait és határozzuk meg a konvex és konkáv oldalakat?

Az y = f(x) egyenes összes inflexiós pontjának megtalálásához meg kell találnia a második deriváltot, egyenlővé kell tennie nullával (meg kell oldania az egyenletet), és meg kell vizsgálnia az x összes olyan értékét, amelyre a második derivált nulla, végtelen vagy nem létezik. Ha ezen értékek valamelyikén áthaladva a második derivált előjelet vált, akkor a függvény grafikonja ezen a ponton inflexióval rendelkezik. Ha nem változik, akkor nincs kanyar.

Az f egyenlet gyökerei? (x) = 0, valamint a függvény és a második derivált lehetséges szakadási pontjai a függvény definíciós tartományát több intervallumra osztják. Mindegyik intervallumon a konvexitást a második derivált előjele határozza meg. Ha a vizsgált intervallum egy pontjában a második derivált pozitív, akkor az y = f(x) egyenes felfelé konkáv, és ha negatív, akkor lefelé.

Hogyan találjuk meg két változó függvényének szélsőértékét?

A specifikáció tartományában differenciálható f(x,y) függvény szélsőértékének megtalálásához a következőkre van szüksége:

1) keresse meg a kritikus pontokat, és ehhez oldja meg az egyenletrendszert

fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) minden P0(a;b) kritikus pontnál vizsgálja meg, hogy a különbség előjele változatlan marad-e

minden (x;y) pontra kellően közel P0-hoz. Ha a különbség pozitív marad, akkor a P0 pontban van minimumunk, ha negatív, akkor maximumunk. Ha a különbség nem tartja meg az előjelét, akkor a P0 pontban nincs szélsőérték.

A függvény extrémjeit hasonlóképpen határozzuk meg többérvek.

Ezzel a szolgáltatással megteheti keresse meg egy függvény legnagyobb és legkisebb értékét egy f(x) változó a Wordben formázott megoldással. Ha az f(x,y) függvény adott, akkor két változó függvényének szélsőértékét kell megtalálni. Megtalálhatja a növekvő és csökkenő függvények intervallumait is.

A függvények bevitelének szabályai:

Egy változó függvényének szélsőértékének szükséges feltétele

Elegendő feltétel egy változó függvényének szélsőértékéhez

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Ekkor az x * pont a függvény lokális (globális) minimumának pontja.

Ha az x * pontban a feltétel teljesül:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Ekkor az x * pont egy lokális (globális) maximum.

1. számú példa. Keresse meg a függvény legnagyobb és legkisebb értékét: a szegmensen.
Megoldás.

A kritikus pont egy x 1 = 2 (f’(x)=0). Ez a pont a szegmenshez tartozik. (Az x=0 pont nem kritikus, mivel 0∉).
Kiszámoljuk a függvény értékeit a szegmens végén és a kritikus ponton.
f(1)=9, f(2)=5/2, f(3)=38/81
Válasz: f min = 5/2 x=2 esetén; f max = 9 x = 1

2. példa. Magasabb rendű deriváltokkal keressük meg az y=x-2sin(x) függvény szélsőértékét.
Megoldás.
Keresse meg a függvény deriváltját: y’=1-2cos(x) . Keressük meg a kritikus pontokat: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Megtaláljuk, hogy y’’=2sin(x), számítsuk ki, ami azt jelenti, hogy x= π / 3 +2πk, k∈Z a függvény minimumpontjai; , ami azt jelenti, hogy x=- π / 3 +2πk, k∈Z a függvény maximumpontjai.

3. példa. Vizsgáljuk meg az extrémumfüggvényt az x=0 pont környezetében!
Megoldás. Itt meg kell találni a függvény szélsőértékét. Ha az extrémum x=0, akkor derítse ki a típusát (minimum vagy maximum). Ha a talált pontok között nincs x = 0, akkor számítsuk ki az f(x=0) függvény értékét!
Megjegyzendő, hogy amikor egy adott pont mindkét oldalán a derivált nem változtatja az előjelét, akkor a lehetséges helyzetek még differenciálható függvényeknél sem merülnek ki: előfordulhat, hogy a pont egyik oldalán lévő tetszőlegesen kis környékre x 0 ill. mindkét oldalon a derivált változik jele. Ezeken a pontokon más módszereket kell alkalmazni az extrémum függvényeinek tanulmányozására.

A gyakorlatban meglehetősen elterjedt a derivált használata a függvény legnagyobb és legkisebb értékének kiszámításához. Ezt a műveletet akkor hajtjuk végre, amikor kitaláljuk, hogyan lehet minimalizálni a költségeket, növelni a profitot, számolni optimális terhelés gyártáshoz stb., vagyis olyan esetekben, amikor meg kell határozni optimális érték bármilyen paramétert. Az ilyen problémák helyes megoldásához jól meg kell értenie, hogy mi a függvény legnagyobb és legkisebb értéke.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ezeket az értékeket általában egy bizonyos x intervallumon belül definiáljuk, ami viszont megfelelhet a függvény vagy annak egy részének teljes tartományának. Olyan lehet, mint egy szegmens [a; b ] , és nyílt intervallum (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), végtelen intervallum (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) vagy végtelen intervallum - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

Ebben az anyagban elmondjuk, hogyan kell kiszámítani egy explicit módon definiált függvény legnagyobb és legkisebb értékét egy változóval y=f(x) y = f (x) .

Alapvető definíciók

Kezdjük, mint mindig, az alapvető definíciók megfogalmazásával.

1. definíció

Az y = f (x) függvény legnagyobb értéke egy bizonyos x intervallumon az m a x y = f (x 0) x ∈ X érték, amely bármely x x ∈ X értékre x ≠ x 0 az f (x) egyenlőtlenséget adja. ≤ f (x) érvényes 0) .

2. definíció

Az y = f (x) függvény legkisebb értéke egy bizonyos x intervallumon az m i n x ∈ X y = f (x 0) érték, amely bármely x ∈ X, x ≠ x 0 értékre az f(X f) egyenlőtlenséget adja. (x) ≥ f (x 0) .

Ezek a meghatározások teljesen nyilvánvalóak. Még egyszerűbben ezt mondhatjuk: egy függvény legnagyobb értéke egy ismert intervallumon a legnagyobb értéke az abszcissza x 0-nál, a legkisebb pedig az ugyanazon az intervallumon x 0-nál lévő legkisebb elfogadott érték.

3. definíció

A stacionárius pontok egy függvény argumentumának azon értékei, amelyeknél a deriváltja 0 lesz.

Miért kell tudnunk, mik azok az állópontok? A kérdés megválaszolásához emlékeznünk kell Fermat tételére. Ebből következik, hogy stacionárius pont az a pont, ahol a differenciálható függvény szélsőpontja (vagyis a lokális minimuma vagy maximuma) található. Következésképpen a függvény egy adott intervallumon pontosan az egyik stacionárius pontban veszi fel a legkisebb vagy legnagyobb értéket.

Egy függvény azokon a pontokon is felveheti a legnagyobb vagy legkisebb értéket, ahol maga a függvény definiálva van, és az első deriváltja nem létezik.

Az első kérdés, ami a téma tanulmányozásakor felmerül: minden esetben meg tudjuk határozni egy függvény legnagyobb vagy legkisebb értékét egy adott intervallumon? Nem, ezt nem tehetjük meg, ha egy adott intervallum határai egybeesnek a definíciós terület határaival, vagy ha végtelen intervallumról van szó. Az is előfordul, hogy egy függvény egy adott szegmensben vagy a végtelenben végtelenül kicsi vagy végtelen nagy értékek. Ezekben az esetekben nem lehet meghatározni a legnagyobb és/vagy legkisebb értéket.

Ezek a pontok világosabbá válnak a grafikonon való ábrázolás után:

Az első ábra egy olyan függvényt mutat be, amely a legnagyobb és legkisebb értéket (m a x y és m i n y) veszi fel a szakaszon elhelyezkedő stacionárius pontokban [-6; 6].

Vizsgáljuk meg részletesen a második grafikonon jelzett esetet. Változtassuk meg a szegmens értékét [ 1 ; 6 ], és azt találjuk, hogy a függvény maximális értékét abban a pontban érjük el, ahol az abszcissza az intervallum jobb határán van, a minimumot pedig az álló pontban.

A harmadik ábrán a pontok abszciszái a szakasz határpontjait jelentik [ - 3 ; 2]. Egy adott függvény legnagyobb és legkisebb értékének felelnek meg.

Most pedig nézzük a negyedik képet. Ebben a függvény m a x y-t (a legnagyobb érték) és m i n y-t (a legkisebb értéket) vesz fel a nyitott intervallum (- 6 ; 6) stacionárius pontjain.

Ha az intervallumot vesszük [ 1 ; 6), akkor azt mondhatjuk, hogy a rajta lévő függvény legkisebb értéke egy stacionárius pontban lesz elérhető. A legnagyobb érték ismeretlen lesz számunkra. A függvény akkor veheti fel a maximális értékét, ha x = 6, ha az intervallumhoz x = 6 tartozik. Pontosan ez az eset az 5. grafikonon látható.

A 6. grafikonon ez a függvény a legkisebb értékét a (- 3; 2 ] intervallum jobb határán kapja, és a legnagyobb értékre vonatkozóan nem tudunk határozott következtetést levonni.

A 7. ábrán azt látjuk, hogy a függvénynek m a x y lesz egy stacionárius pontjában, amelynek abszcissza értéke 1. A függvény a c intervallum határán éri el minimális értékét jobb oldalon. Mínusz végtelennél a függvényértékek aszimptotikusan megközelítik az y = 3-at.

Ha az x ∈ 2 intervallumot vesszük; + ∞ , akkor látni fogjuk, hogy az adott függvény sem a legkisebb, sem a legnagyobb értéket nem veszi fel rajta. Ha x 2-re hajlik, akkor a függvény értékei mínusz végtelenre hajlanak, mivel az x = 2 egyenes egy függőleges aszimptota. Ha az abszcissza a végtelent növeli, akkor a függvényértékek aszimptotikusan megközelítik az y = 3-at. Pontosan ez az eset a 8. ábrán látható.

Ebben a bekezdésben bemutatjuk azokat a műveleteket, amelyeket végre kell hajtani, hogy egy adott szegmensen megtaláljuk egy függvény legnagyobb vagy legkisebb értékét.

1. Először keressük meg a függvény definíciós tartományát. Vizsgáljuk meg, hogy benne van-e benne a feltételben megadott szegmens.
2. Most pedig számítsuk ki azokat a pontokat ebben a szegmensben, ahol az első derivált nem létezik. Leggyakrabban olyan függvényekben találhatók meg, amelyek argumentumát a modulusjel alá írjuk, vagy olyan hatványfüggvényekben, amelyek kitevője egy tört racionális szám.
3. Ezután megtudjuk, hogy mely stacioner pontok esnek az adott szegmensben. Ehhez ki kell számítani a függvény deriváltját, majd egyenlővé kell tenni 0-val és meg kell oldani a kapott egyenletet, majd kiválasztani a megfelelő gyököket. Ha egyetlen stacionárius pontot sem kapunk, vagy nem esnek bele az adott szegmensbe, akkor továbblépünk a következő lépésre.
4. Meghatározzuk, hogy a függvény milyen értékeket vesz fel adott stacionárius pontokban (ha van), vagy azokon a pontokon, ahol az első derivált nem létezik (ha van ilyen), vagy kiszámítjuk az értékeket x = a és x = b.
5. 5. Számos függvényértékünk van, amelyek közül most ki kell választanunk a legnagyobbat és a legkisebbet. Ezek lesznek a függvény legnagyobb és legkisebb értékei, amelyeket meg kell találnunk.

Nézzük meg, hogyan kell helyesen alkalmazni ezt az algoritmust a problémák megoldása során.

1. példa

Állapot: az y = x 3 + 4 x 2 függvény adott. Határozza meg a legnagyobb és legkisebb értékét a szegmenseken [1; 4 ] és [ - 4 ; - 1 ] .

Megoldás:

Kezdjük azzal, hogy megkeressük egy adott függvény definíciós tartományát. Ebben az esetben a 0 kivételével az összes valós szám halmaza lesz. Más szavakkal, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . A feltételben megadott mindkét szegmens a definíciós területen belül lesz.

Most kiszámítjuk a függvény deriváltját a törtdifferenciálás szabálya szerint:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Megtanultuk, hogy egy függvény deriváltja a szegmensek minden pontján létezni fog [1; 4 ] és [ - 4 ; - 1 ] .

Most meg kell határoznunk a függvény stacionárius pontjait. Tegyük ezt meg az x 3 - 8 x 3 = 0 egyenlet segítségével. Csak egy valódi gyökere van, ez a 2. Ez a függvény stacionárius pontja lesz, és az első szegmensbe esik [1; 4].

Számítsuk ki a függvény értékeit az első szegmens végén és ezen a ponton, pl. x = 1, x = 2 és x = 4 esetén:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Megállapítottuk, hogy az m a x y x ∈ függvény legnagyobb értéke [1; 4 ] = y (2) = 3 akkor lesz elérhető, ha x = 1, és a legkisebb m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – x = 2-nél.

A második szegmens nem tartalmaz egyetlen stacionárius pontot, ezért a függvényértékeket csak az adott szakasz végén kell kiszámítanunk:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Ez azt jelenti, hogy m a x y x ∈ [-4; - 1 ] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Válasz: A szegmenshez [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3, m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , a [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Lásd a képet:

Mielőtt tanulmányozná ezt a módszert, javasoljuk, hogy tekintse át, hogyan kell helyesen kiszámítani az egyoldali határértéket és a határértéket a végtelenben, valamint tanulja meg megtalálásuk alapvető módszereit. Egy függvény legnagyobb és/vagy legkisebb értékének meghatározásához nyitott vagy végtelen intervallumon, hajtsa végre a következő lépéseket egymás után.

1. Először is ellenőrizni kell, hogy az adott intervallum az adott függvény tartományának részhalmaza lesz-e.
2. Határozzuk meg az összes olyan pontot, amely a szükséges intervallumban található, és ahol az első derivált nem létezik. Általában olyan függvényeknél fordulnak elő, ahol az argumentum a modulusjelben van, illetve a tört racionális kitevővel rendelkező hatványfüggvényeknél. Ha ezek a pontok hiányoznak, akkor folytassa a következő lépéssel.
3. Most határozzuk meg, hogy mely stacionárius pontok esnek az adott intervallumba. Először a deriváltot egyenlővé tesszük 0-val, megoldjuk az egyenletet és kiválasztjuk a megfelelő gyököket. Ha nincs egyetlen stacioner pontunk, vagy nem esnek a megadott intervallumon belülre, akkor azonnal folytatjuk a további műveleteket. Ezeket az intervallum típusa határozza meg.

• Ha az intervallum [ a ; b) , akkor ki kell számítanunk a függvény értékét az x = a pontban és a lim x → b - 0 f (x) egyoldali határértéket.
• Ha az intervallum alakja (a; b ], akkor ki kell számítanunk a függvény értékét az x = b pontban és a lim x → a + 0 f (x) egyoldali határértéket.
• Ha az intervallum alakja (a; b), akkor ki kell számítanunk a lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x) egyoldali határértékeket.
• Ha az intervallum [ a ; + ∞), akkor ki kell számítanunk az értéket az x = a pontban és a határértéket a plusz végtelennél lim x → + ∞ f (x) .
• Ha az intervallum így néz ki, mint (- ∞ ; b ] , akkor kiszámítjuk az értéket az x = b pontban és a határértéket a mínusz végtelennél lim x → - ∞ f (x) .
• Ha - ∞ ; b , akkor figyelembe vesszük a lim x → b - 0 f (x) egyoldalú határértéket és a mínusz végtelen lim x → - ∞ f (x) határértéket.
• Ha - ∞; + ∞ , akkor figyelembe vesszük a mínusz és plusz végtelen határait lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

1. A végén következtetést kell levonnia a kapott függvényértékek és határértékek alapján. Itt számos lehetőség áll rendelkezésre. Tehát, ha az egyoldali határ egyenlő mínusz végtelennel vagy plusz végtelennel, akkor azonnal világos, hogy semmit nem lehet mondani a függvény legkisebb és legnagyobb értékéről. Az alábbiakban megnézünk egyet tipikus példa. Részletes leírások segít megérteni, mi az. Ha szükséges, visszatérhet az anyag első részének 4-8.

Feltétel: adott függvény y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Számítsa ki a legnagyobb és legkisebb értékét a - ∞ intervallumokban; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2 ), [ 1 ; 2 ), 2 ; + ∞ , [ 4 ; + ∞) .

Megoldás

Először is megtaláljuk a függvény definíciós tartományát. A tört nevezője tartalmazza másodfokú trinomikus, aminek nem szabad 0-ra mennie:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Megkaptuk a függvény definíciós tartományát, amelyhez a feltételben megadott összes intervallum tartozik.

Most különböztessük meg a függvényt, és kapjuk meg:

y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 ​​× + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Következésképpen egy függvény származékai a teljes definíciós tartományban léteznek.

Térjünk át az állópontok megkeresésére. A függvény deriváltja 0 lesz, ha x = - 1 2 . Ez egy stacionárius pont, amely a (-3 ; 1 ] és (- 3 ; 2) intervallumokban található.

Számítsuk ki a függvény értékét x = - 4-nél a (- ∞ ; - 4 ] intervallumra, valamint a határértéket a mínusz végtelennél:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Mivel 3 e 1 6 - 4 > - 1, ez azt jelenti, hogy m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Ez nem teszi lehetővé, hogy egyértelműen meghatározzuk a legkisebb értékét. Csak azt a következtetést vonhatjuk le, hogy a - 1 alatt van egy megszorítás, mivel ehhez az értékhez közelít a függvény aszimptotikusan a mínusz végtelennél.

A második intervallum sajátossága, hogy nincs benne egyetlen stacionárius pont és egyetlen szigorú határ sem. Következésképpen nem tudjuk kiszámítani sem a függvény legnagyobb, sem legkisebb értékét. Ha a határértéket mínusz végtelenben határoztuk meg, és a bal oldalon -3-ra mutató argumentumot, csak egy értékintervallumot kapunk:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Ez azt jelenti, hogy a függvényértékek a - 1 intervallumban lesznek; +∞

A függvény legnagyobb értékének megtalálásához a harmadik intervallumban határozzuk meg az értékét az x = - 1 2 stacionárius pontban, ha x = 1. Ismernünk kell az egyoldalú határt is arra az esetre, amikor az argumentum a jobb oldalon 3-ra hajlamos:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Kiderült, hogy a függvény egy stacionárius pontban veszi fel a legnagyobb értéket m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Ami a legkisebb értéket illeti, azt nem tudjuk meghatározni. Minden, amit tudunk , az alsó határ megléte -4-re.

A (- 3 ; 2) intervallumhoz vegyük az előző számítás eredményeit, és számoljuk ki még egyszer, hogy mennyi az egyoldali határ, ha a bal oldalon 2-re hajlik:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

Ez azt jelenti, hogy m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, és a legkisebb érték nem határozható meg, és a függvény értékeit alulról a - 4 szám korlátozza. .

A két előző számításban kapottak alapján elmondhatjuk, hogy az intervallumon [ 1 ; 2) a függvény akkor veszi fel a legnagyobb értéket, ha x = 1, de lehetetlen megtalálni a legkisebbet.

A (2 ; + ∞) intervallumon a függvény nem éri el sem a legnagyobb, sem a legkisebb értéket, azaz. az értékeket a -1 intervallumból veszi; + ∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0-4 = -1

Kiszámoltuk, hogy a függvény értéke mekkora lesz x = 4-nél, azt találjuk, hogy m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , és az adott függvény plusz végtelenben aszimptotikusan megközelíti az y = - 1 egyenest.

Hasonlítsuk össze az egyes számításokban kapottakat az adott függvény grafikonjával. Az ábrán az aszimptotákat szaggatott vonal jelzi.

Ennyit szerettünk volna elmondani egy függvény legnagyobb és legkisebb értékének megtalálásáról. Az általunk megadott műveletsorok segítenek a szükséges számítások lehető leggyorsabb és egyszerűbb elvégzésében. De ne feledje, hogy gyakran hasznos először kideríteni, hogy a függvény milyen időközönként csökken, és melyik növekedési ütemben, majd további következtetéseket vonhat le. Így pontosabban meghatározhatja a függvény legnagyobb és legkisebb értékét, és igazolhatja a kapott eredményeket.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Egy függvény legnagyobb és legkisebb értéke

Egy függvény legnagyobb értéke a legnagyobb, a legkisebb értéke a legkisebb az összes értéke közül.

Egy függvénynek csak egy legnagyobb és egy legkisebb értéke lehet, de lehet, hogy nincs is. A folytonos függvények legnagyobb és legkisebb értékének megtalálása a függvények következő tulajdonságain alapul:

1) Ha egy bizonyos intervallumban (véges vagy végtelen) az y=f(x) függvény folytonos és csak egy szélsőértéke van, és ha ez egy maximum (minimum), akkor ez lesz a függvény legnagyobb (legkisebb) értéke. ebben az intervallumban.

2) Ha az f(x) függvény folytonos egy bizonyos szakaszon, akkor szükségszerűen ezen a szakaszon van a legnagyobb és a legkisebb értéke. Ezeket az értékeket vagy a szakaszon belüli szélsőséges pontokon, vagy ennek a szakasznak a határain érjük el.

Egy szegmens legnagyobb és legkisebb értékének megtalálásához ajánlott a következő sémát használni:

1. Keresse meg a származékot.

2. Keresse meg a függvény kritikus pontjait, ahol =0 vagy nem létezik.

3. Keresse meg a függvény értékeit kritikus pontokés a szegmens végén, és válassza ki közülük a legnagyobb f max-ot és a legkisebb f max-ot.

Alkalmazott feladatok, különösen optimalizálási feladatok megoldásánál fontosak egy függvény legnagyobb és legkisebb értékének (globális maximumának és globális minimumának) megtalálása az X intervallumon. Az ilyen problémák megoldásához a feltétel alapján kell , válasszon ki egy független változót, és fejezze ki a vizsgált értéket ezen a változón keresztül. Ezután keresse meg az eredményül kapott függvény kívánt legnagyobb vagy legkisebb értékét. Ebben az esetben a feladat feltételeiből meghatározzuk a független változó változási intervallumát is, amely lehet véges vagy végtelen.

Példa. A nyitott felső négyszögletes paralelepipedon alakú tartályt belülről bádoggal kell ónozni. Mekkora legyen a tartály mérete, ha űrtartalma 108 liter? vizet, hogy az ónozás költsége minimális legyen?

Megoldás. A tartály ónnal való bevonásának költsége minimális lesz, ha adott kapacitás mellett a felülete minimális. Jelöljük a dm az alap oldalát, b dm a tartály magasságát. Ekkor felületének S területe egyenlő

ÉS

Az így kapott összefüggés megállapítja a kapcsolatot az S tározó felülete (függvény) és az a alap oldala között (érv). Vizsgáljuk meg az S függvényt szélsőségre. Keressük meg az első deriváltot, egyenlősítsük nullával, és oldjuk meg a kapott egyenletet:

Ezért a = 6. (a) > 0, ha a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Példa. Keresse meg egy függvény legnagyobb és legkisebb értékét az intervallumon.

Megoldás: Meghatározott funkció folyamatos a teljes számegyenesen. Függvény származéka

Származék a -ra és -ra. Számítsuk ki a függvényértékeket ezeken a pontokon:

.

A függvény értékei az adott intervallum végén egyenlőek. Ezért a függvény legnagyobb értéke egyenlő at -vel, a függvény legkisebb értéke at -vel.

Önellenőrző kérdések

1. Fogalmazza meg L'Hopital szabályát az űrlap bizonytalanságának feltárására. Lista különféle típusok bizonytalanságok, amelyekre a L'Hopital-szabály használható.

2. Fogalmazza meg a növekvő és csökkenő függvények jeleit!

3. Határozza meg egy függvény maximumát és minimumát.

4. Fogalmazzon meg egy extrémum létezésének szükséges feltételét!

5. Az érvelés mely értékeit (mely pontokat) nevezzük kritikusnak? Hogyan lehet megtalálni ezeket a pontokat?

6. Melyek elegendő jelei egy függvény szélsőértékének létezésére? Vázoljon fel egy sémát egy szélsőértékben lévő függvény tanulmányozásához az első derivált használatával!

7. Vázoljon fel egy sémát egy szélsőséges függvény tanulmányozására a második derivált segítségével!

8. Határozza meg a görbe konvexitását és konkávságát!

9. Mit nevezünk egy függvény grafikonjának inflexiós pontjának? Jelöljön meg egy módszert ezeknek a pontoknak a megtalálására.

10. Fogalmazza meg egy adott szakaszon a görbe domborúságának és konkávságának szükséges és elégséges jeleit!

11. Határozza meg egy görbe aszimptotáját! Hogyan találjuk meg egy függvény grafikonjának függőleges, vízszintes és ferde aszimptotáját?

12. Vázlat általános séma függvény kutatása és grafikonjának megalkotása.

13. Fogalmazzon meg egy szabályt egy függvény legnagyobb és legkisebb értékének megtalálására egy adott intervallumon!

Megoldásához pedig minimális ismeretre lesz szüksége a témában. A következő véget ér tanévben, mindenki nyaralni szeretne, és hogy közelebb hozzam ezt a pillanatot, rögtön a lényegre térek:

Kezdjük a területtel. A feltételben említett terület az korlátozott zárt pontok halmaza egy síkon. Például egy háromszög által határolt pontok halmaza, beleértve az EGÉSZ háromszöget is (ha honnan határok legalább egy pontot „szúrjunk ki”, akkor a régió többé nem lesz bezárva). A gyakorlatban vannak olyan területek is, amelyek téglalap alakúak, kör alakúak és valamivel nagyobbak. összetett formák. Meg kell jegyezni, hogy a matematikai elemzés elméletében szigorú definíciók vannak megadva korlátok, elszigeteltség, határok stb., de szerintem intuitív szinten mindenki tisztában van ezekkel a fogalmakkal, és most már semmi sem kell.

A lapos régiót általában betűvel jelölik, és általában analitikusan határozzák meg - több egyenlettel (nem feltétlenül lineáris); ritkábban egyenlőtlenségek. Tipikus igekötő: „zárt terület, vonalak határolják ».

A vizsgált feladat szerves része a rajzon egy terület kialakítása. Hogyan kell ezt csinálni? Az összes felsorolt ​​vonalat meg kell rajzolnia (ebben az esetben a 3 egyenes), és elemezze a történteket. A keresett terület általában enyhén árnyékolt, határát pedig vastag vonal jelzi:


Ugyanez a terület is beállítható lineáris egyenlőtlenségek: , amelyeket valamilyen oknál fogva gyakran inkább felsorolt ​​listaként írnak, mintsem rendszer.
Mivel a határ a régióhoz tartozik, akkor természetesen minden egyenlőtlenség, laza.

És most a feladat lényege. Képzeld el, hogy a tengely egyenesen feléd jön ki az origóból. Vegyünk egy olyan funkciót, amely folyamatos mindegyikben területi pont. Ennek a függvénynek a grafikonja néhányat ábrázol felület, és az a kis boldogság, hogy a mai probléma megoldásához nem kell tudnunk, hogy néz ki ez a felület. Elhelyezhető magasabban, alacsonyabban, metszi a síkot - mindez nem számít. És a következő fontos: szerint Weierstrass tételei, folyamatos V korlátozottan zárt területen a függvény eléri a legnagyobb értékét (legmagasabb")és a legkevésbé (a "legalacsonyabb")értékek, amelyeket meg kell találni. Ilyen értékek érhetők el vagy V álló pontok, régióhoz tartozóD , vagy pontokon, amelyek e terület határán fekszenek. Ez egy egyszerű és átlátható megoldási algoritmushoz vezet:

1. példa

Korlátozottan zárt terület

Megoldás: Először is le kell ábrázolnia a területet a rajzon. Sajnos technikailag nehezemre esik interaktív modellt készíteni a problémáról, ezért azonnal bemutatom a végső illusztrációt, amely bemutatja a kutatás során talált összes „gyanús” pontot. Általában egymás után szerepelnek, ahogy felfedezik őket:

A preambulum alapján a döntés kényelmesen két pontra osztható:

I) Álló pontok keresése. Ez egy szokásos művelet, amelyet ismételten végrehajtottunk az órán. több változó szélsőségeiről:

Állópontot találtunk tartozik területek: (jelölje meg a rajzon), ami azt jelenti, hogy ki kell számítanunk a függvény értékét egy adott pontban:

- mint a cikkben Egy függvény legnagyobb és legkisebb értéke egy szegmensen, a fontos eredményeket félkövérrel emelem ki. Kényelmes nyomon követni őket egy jegyzetfüzetben ceruzával.

Figyeljünk a második boldogságunkra – nincs értelme ellenőrizni elégséges feltétel az extrémumhoz. Miért? Még akkor is, ha egy ponton a függvény eléri pl. helyi minimum, akkor ez NEM JELENTI, hogy a kapott érték lesz minimális az egész régióban (lásd a lecke elejét a feltétlen szélsőségekről) .

Mi a teendő, ha az állópont NEM tartozik a területhez? Szinte semmi! Ezt meg kell jegyezni, és tovább kell lépni a következő pontra.

II) Feltárjuk a régió határát.

Mivel a szegély egy háromszög oldalaiból áll, célszerű a tanulmányt 3 alszakaszra osztani. De jobb, ha nem teszed meg. Az én szempontomból elõször is elõnyösebb a koordinátatengelyekkel párhuzamos szakaszokat, és elsõsorban magukon a tengelyeken elhelyezkedõ szakaszokat figyelembe venni. A műveletek teljes sorrendjének és logikájának megértéséhez próbálja meg tanulmányozni a befejezést „egy lélegzettel”:

1) Foglalkozzunk a háromszög alsó oldalával. Ehhez írja be közvetlenül a függvénybe:

Alternatív megoldásként megteheti a következőképpen:

Geometriailag ez azt jelenti, hogy a koordinátasík (amit az egyenlet is megad)"farag" belőle felületek"térbeli" parabola, amelynek teteje azonnal gyanúba kerül. Találjuk ki hol található:

– a kapott érték „beesett” a területre, és könnyen kiderülhet, hogy pont (a rajzon jelölve) a függvény eléri a legnagyobb vagy legkisebb értéket az egész régióban. Így vagy úgy, végezzük el a számításokat:

A többi „jelölt” természetesen a szegmens végei. Számítsuk ki a függvény értékeit a pontokban (a rajzon jelölve):

Itt egyébként szóbeli mini-ellenőrzést végezhet „lecsupaszított” verzióval:

2) A háromszög jobb oldalának tanulmányozásához cserélje be a függvénybe, és „rakjon rendet”:

Itt azonnal elvégzünk egy durva ellenőrzést, „becsengetve” a szegmens már feldolgozott végét:
, Remek.

A geometriai helyzet az előző ponthoz kapcsolódik:

– az így kapott érték is „érdekkörünkbe került”, ami azt jelenti, hogy ki kell számolnunk, hogy a megjelenő pontban mennyivel egyenlő a függvény:

Vizsgáljuk meg a szegmens második végét:

A funkció használata , hajtsunk végre egy ellenőrzési ellenőrzést:

3) Valószínűleg mindenki kitalálja, hogyan fedezze fel a fennmaradó oldalt. Behelyettesítjük a funkcióba, és egyszerűsítéseket hajtunk végre:

A szegmens végei már kutatott, de a tervezetben még mindig ellenőrizzük, hogy helyesen találtuk-e meg a függvényt :
– egybeesett az 1. albekezdés eredményével;
– egybeesett a 2. albekezdés eredményével.

Még ki kell deríteni, van-e valami érdekes a szegmensben:

- Van! Az egyenest behelyettesítve az egyenletbe, megkapjuk ennek az „érdekességnek” az ordinátáját:

Jelölünk egy pontot a rajzon, és megtaláljuk a függvény megfelelő értékét:

Ellenőrizzük a számításokat a „költségvetési” verzió segítségével :
, rendelni.

És az utolsó lépés: Óvatosan végignézzük az összes "félkövér" számot, kezdőknek ajánlom, hogy akár egyetlen listát is készítsenek:

amelyek közül kiválasztjuk a legnagyobb és a legkisebb értékeket. VálaszÍrjuk le a megtalálás problémájának stílusában egy függvény legnagyobb és legkisebb értéke egy szegmensen:

Minden esetre még egyszer megjegyzem az eredmény geometriai jelentését:
– itt van a felszín legmagasabb pontja a régióban;
– itt van a felszín legalacsonyabb pontja a területen.

Az elemzett feladatban 7 „gyanús” pontot azonosítottunk, de ezek száma feladatonként változik. Egy háromszög alakú régió esetében a minimális „kutatási halmaz” három pontból áll. Ez akkor fordul elő, ha a függvény például megadja repülőgép– teljesen világos, hogy nincsenek stacionárius pontok, és a függvény csak a háromszög csúcsainál érheti el a maximális/legkisebb értékeit. De csak egy-két hasonló példa van – általában némelyikkel kell foglalkozni 2. rendű felület.

Ha egy kicsit megoldod az ilyen feladatokat, akkor a háromszögek felpörgetik a fejedet, és ezért szokatlan példákat készítettem számodra, hogy négyzet alakú legyen :))

2. példa

Keresse meg egy függvény legnagyobb és legkisebb értékét vonalakkal határolt zárt területen

3. példa

Keresse meg egy függvény legnagyobb és legkisebb értékét egy korlátozott zárt tartományban.

Különös figyelmetÜgyeljen a régió határának tanulmányozásának racionális rendjére és technikájára, valamint a közbenső ellenőrzések láncolatára, amely szinte teljesen elkerüli a számítási hibákat. Általánosságban elmondható, hogy tetszés szerint megoldhatja, de bizonyos problémákban, például a 2. példában, minden esély megvan arra, hogy sokkal nehezebbé tegye az életét. Hozzávetőleges minta az utolsó feladatokból az óra végén.

Rendszerezzük a megoldási algoritmust, egyébként az én pók szorgalmammal valahogy elveszett az 1. példa hosszú kommentszálában:

– Első lépésben egy területet építünk, célszerű árnyékolni, és a szegélyt vastag vonallal kiemelni. A megoldás során olyan pontok jelennek meg, amelyeket meg kell jelölni a rajzon.

– Álló pontok keresése és a függvény értékeinek kiszámítása csak azokban amelyek a régióhoz tartoznak. A kapott értékeket kiemeljük a szövegben (például karikázzuk be őket ceruzával). Ha egy stacioner pont NEM tartozik a régióhoz, akkor ezt a tényt ikonnal vagy szóban jelöljük. Ha egyáltalán nincsenek stacioner pontok, akkor írásos következtetést vonunk le, hogy hiányoznak. Mindenesetre ezt a pontot nem lehet kihagyni!

– Feltárjuk a régió határát. Először is célszerű megérteni azokat az egyeneseket, amelyek párhuzamosak a koordinátatengelyekkel (ha vannak egyáltalán). Kiemeljük a „gyanús” pontokon számított függvényértékeket is. A megoldási technikáról fentebb már sok szó esett, alább pedig még másról lesz szó - olvass, olvass újra, mélyedj el benne!

– A kiválasztott számok közül válassza ki a legnagyobb és legkisebb értéket, és adja meg a választ. Néha előfordul, hogy egy függvény egyszerre több ponton ér el ilyen értékeket - ebben az esetben ezeknek a pontoknak tükröződniük kell a válaszban. Legyen pl. és kiderült, hogy ez a legkisebb érték. Aztán felírjuk

Az utolsó példákat másoknak ajánljuk hasznos ötleteket ami a gyakorlatban hasznos lesz:

4. példa

Keresse meg egy függvény legnagyobb és legkisebb értékét egy zárt tartományban .

Megtartottam a szerző megfogalmazását, amelyben a terület kettős egyenlőtlenség formájában van megadva. Ez a feltétel írható egy ekvivalens rendszerrel vagy hagyományosabb formában a problémára:

Emlékeztetlek arra, hogy nemlineáris egyenlőtlenségekkel találkoztunk, és ha nem érti a jelölés geometriai jelentését, akkor kérem, ne késlekedjen, és most azonnal tisztázza a helyzetet;-)

Megoldás, mint mindig, egy olyan terület felépítésével kezdődik, amely egyfajta „talpot” jelent:

Hmm, néha nem csak a tudomány gránitját kell rágni...

I) Álló pontok keresése:

A rendszer egy idióta álma :)

Egy stacionárius pont a régióhoz tartozik, vagyis annak határán fekszik.

És rendben van... a lecke jól sikerült – ezt jelenti a megfelelő teát inni =)

II) Feltárjuk a régió határát. Minden további nélkül kezdjük az x tengellyel:

1) Ha , akkor

Nézzük meg, hol van a parabola csúcsa:
– értékeld az ilyen pillanatokat – pontosan „eltalálsz” arra a pontra, ahonnan már minden világos. De továbbra sem feledkezzünk meg az ellenőrzésről:

Számítsuk ki a függvény értékeit a szegmens végén:

2) Foglalkozzunk a „talp” alsó részével „egy ülésben” - minden komplexus nélkül behelyettesítjük a függvénybe, és csak a szegmens érdekelni fog minket:

Ellenőrzés:

Ez már visz némi izgalmat a monoton vezetésbe a recés pályán. Keressük a kritikus pontokat:

Döntsünk másodfokú egyenlet, emlékszel még valamire erről? ...Azonban persze ne feledje, különben nem olvasná ezeket a sorokat =) Ha az előző két példában a számítások tizedesjegyek(ami egyébként ritka), akkor itt a megszokottak várnak ránk közönséges törtek. Megkeressük az „X” gyököket, és az egyenlet segítségével meghatározzuk a „jelölt” pontok megfelelő „játék” koordinátáit:


Számítsuk ki a függvény értékeit a talált pontokban:

Ellenőrizze saját maga a funkciót.

Most alaposan áttanulmányozzuk a megnyert trófeákat, és leírjuk válasz:

Ezek „jelöltek”, ezek „jelöltek”!

A megoldás saját kezűleg:

5. példa

Keresse meg egy függvény legkisebb és legnagyobb értékét zárt területen

A göndör kapcsos zárójelekkel ellátott bejegyzés így hangzik: „pontok halmaza olyan, hogy.”

Néha ilyen példákban használják Lagrange-szorzó módszer, de nem valószínű, hogy valóban szükség lesz a használatára. Így például ha egy azonos területű „de” függvényt adunk meg, akkor behelyettesítés után – a nehézségek nélküli deriválttal; Ezenkívül minden „egy sorban” (jelekkel) van felállítva, anélkül, hogy külön kellene figyelembe venni a felső és az alsó félkört. De persze van több is összetett esetek, ahol a Lagrange függvény nélkül (ahol például ugyanaz a kör egyenlete) Nehéz boldogulni – ahogyan jó pihenés nélkül is!

Jó szórakozást mindenkinek, és hamarosan találkozunk a következő szezonban!

Megoldások és válaszok:

2. példa: Megoldás: Ábrázoljuk a területet a rajzon: